精品解析：上海市闵行区2026年九年级学业质量抽样调研 数学学科

初三年级学业质量抽样调研数学学科 注意： 1.本场调研时间100分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2.作答前，在答题纸指定位置填写姓名、报名号、座位号，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置． 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分． 4.填涂选择题和作图用2B铅笔，作答其余题型用黑色字迹钢笔、签字笔或圆珠笔． 一、选择题（共24分，每小题4分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列实数中，比0小的是（ ） A. B. C. D. 的倒数 【答案】D 【解析】 【分析】计算每个选项的结果，将结果与0比较大小，即可得到正确选项． 【详解】解：逐一计算各选项结果并比较大小： A选项 ， A不符合要求 B选项 ， B不符合要求 C选项 ， C不符合要求 D选项 的倒数是， D符合要求． 2. 下列函数，图象不是一条直线的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数图象特征作出判断即可． 【详解】解：对于选项A：是二次函数，图象是一条抛物线，符合题意； 对于选项B： 是一次函数，图象是一条直线，不符合题意； 对于选项C： 是一条平行于轴的直线，不符合题意； 对于选项D： 是正比例函数，图象是一条直线，不符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对应法则分别计算各选项即可得到正确结果． 【详解】根据幂的运算法则和合并同类项法则对各选项逐一判断： 选项A：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，A错误； 选项B：∵合并同类项时，同类项的系数相加，字母和指数不变， ∴，B错误； 选项C：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，C错误； 选项D：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴，D正确． 4. 博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转180度后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：A、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意； B、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意； C、该图形属于中心对称图形，故该选项符合题意； D、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 在投掷实心球的比赛中，甲、乙两人各投掷了次，球的落地位置如图所示．已知两人次投掷所得的平均成绩相同，对于甲、乙两人这次成绩的方差的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差来衡量数据波动大小、离散程度，进行判断即可． 【详解】解：∵一组数据中，方差越小，数据越稳定、波动越小，方差越大，数据越分散、波动越大， ∴观察图片可知，甲的成绩比乙的成绩更加分散， ∴． 6. 如图是一把完全打开的折扇，此时扇面面积为．当扇面张开的角度为时，扇面面积为，如果，那么与关系的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设扇形的半径为r，完全打开时的角度为t，表示出，再表示出当扇面张开的角度为时，扇面面积，然后得到，进而求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为r，完全打开时的角度为t， ∴， 当扇面张开的角度为时，扇面面积， ∴， ∴与成正比例关系， ∴与关系的大致图像是： ． 二、填空题（共48分，每小题4分） 7. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：. 8. 如果分式有意义，那么实数的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得： 9. 方程的解是____． 【答案】 【解析】 【分析】将方程两边平方转化为一元一次方程求解，求解后需检验根的有效性． 【详解】解：， 两边平方，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为，得 ， 检验：当时，左边＝右边， 因此是原方程的解． 10. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 11. 已知抛物线经过和两点，将该抛物线向右平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为_____． 【答案】直线 【解析】 【分析】先根据抛物线上纵坐标相等的两点坐标求出原抛物线的对称轴，再根据抛物线平移规律得到平移后抛物线的对称轴． 【详解】∵抛物线经过和两点，两点纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， ∴原抛物线的对称轴为：直线， ∵将抛物线向右平移个单位时，对称轴同步向右平移个单位， ∴平移后抛物线的对称轴为直线 ． 12. 从，，这三个数中随机抽取其中的两个数，分别记作和．如果点的坐标为，那么点在第二象限内的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，先列举出所有等可能的结果，再根据第二象限内点的坐标特征找出符合条件的结果，最后利用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意，列举所有等可能的点，共有种等可能的结果， 分别为：，，，，，， 第二象限内点的坐标特征为横坐标小于，纵坐标大于， 符合该特征的点有个，分别为，， 根据概率公式可得点在第二象限内的概率为． 13. 在中，，，，那么____． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理计算，然后根据向量加法的三角形法则求解． 【详解】解：如图， 在中，，，， 由勾股定理得， ∴． 14. 可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其用户总数在上线21天后达到了，那么平均每天上线人数用科学记数法表示为____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出平均每天上线人数，再根据科学记数法的要求表示结果，科学记数法的表示形式为，其中，为整数． 【详解】解：由题意得，平均每天上线人数为． 15. 生活中很多瓶装矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费．为此数学兴趣小组对某次会议所发瓶装矿泉水的使用情况进行统计，大致可分为四种：I．全部喝完；Ⅱ．约；Ⅲ．约一半；Ⅳ．整瓶但基本未喝．同学们根据统计结果绘制如图所示的两个不完整的统计图，那么参加这次会议的人中矿泉水剩约一半的人数为____人． 【答案】 10 【解析】 【分析】根据样本推算总体后即可求解． 【详解】解：参加这次会议的有：（人）， 则参加这次会议的人中矿泉水剩约一半的人数为：（人）． 16. 已知半径为2的正多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个正多边形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正多边形内角和与外角和的关系求出边数，再将正多边形分解为若干个全等的等腰三角形，通过计算单个等腰三角形面积，求和得到正多边形的面积． 【详解】解：设正多边形的边数为， 根据题意得， 解得， ∴该正多边形为正八边形，如图正八边形，连接，，，交于点O，过点A作于I， ∵半径为2 ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴正八边形的面积． 17. 如图，在中，，，垂足为点，点是的重心，，，点为边上一动点，如果以点为圆心为半径的与以点为圆心的相切，那么的半径的取值范围是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】如图，过点O作于点E，交于点F，首先利用三线合一求出，利用勾股定理求出，利用等面积法求出，然后由重心的性质求出，然后根据题意分与外切和与内切两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】解：如图，过点O作于点E，交于点F， ∵在中，，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，点是的重心， ∴ ∵以点为圆心为半径的与以点为圆心的相切 当与外切时，如图，当点D在点E处时， ∴， ∴的半径取得最小值，即的长度； 如图，当点D在点A处时， ∴， ∴的半径取得最大值，即的长度8； ∴； 当与内切时，如图，当点D在点E处时，与的延长线交于点H， ∴， ∴的半径取得最小值，即的长度； 如图，当点D在点A处时，与的延长线交于点I， ∴， ∴的半径取得最大值，即的长度16； ∴． 综上所述，的半径的取值范围是或． 18. 如图，四边形是平行四边形，将绕点顺时针旋转，点恰好落在延长线上的点处，作的平分线交的延长线于点，连接，如果，那么的正切值是____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点F作于点G，设，，得到，利用勾股定理表示出，设，证明出，得到，利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点F作于点G ∵ ∴设， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴，， 根据题意得，， ∴ ∴ 设 ∵，平分 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的正切值是． 三、解答题（本大题共7题，共78分）如无特别说明，本大题作答须写出证明或计算的主要步骤． 19. 计算：． 【答案】3 【解析】 【详解】解： ． 20. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再确定解集的公共部分得出答案． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集是． 21. 探究：在铁片上裁剪正方形． （1）如图是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁出顶点在边上的一个正方形铁片． Ⅰ．根据以下步骤画图： ①在边上取点（如图），过作，垂足为； ②以为边在内部作正方形； ③连接并延长交于点； ④过作交于点、交于点；过作交于点． Ⅱ．以上画图步骤作为条件，求证：四边形是正方形． （2）如果是一块边长为3、4、5的直角三角形废铁片，利用其剪裁一个顶点在边上的正方形铁片，那么这个正方形铁片的最大面积为_____． 【答案】（1） 解：如图所示， 证明：∵四边形是正方形，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴ ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， 又∵， ∴， ∴矩形为正方形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形，根据作图得出四边形为矩形，进而根据相似三角形的性质与判定证明，即可得出四边形是正方形； （2）勾股定理求得的面积，分两种情况讨论，分别求得正方形的面积，比较大小，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，， ， ∴， ∴ ①当正方形的边在的直角边上时， 如图，连接，设正方形的边长为，则， ∴ ∴正方形的面积为 ②当正方形的边在的斜边上时，如图 设正方形的边长为， ∵ ∴ ∴，即， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴，即 ∴ ∴ 解得： ∴正方形的面积为 ∵ ∴这个正方形铁片的最大面积为 22. 小闵在探究纸杯叠放的高度规律时，得到了一套遗失了部分实验数据的图纸．图①是一张缺失了部分信息的函数图纸，实验数据表示的点，，都落在了线段上；图②是同一次实验的另一张缺失了部分图像的示意图，图中显示了6个相同规格的纸杯叠放后增加的高度． （1）求叠放在一起的纸杯总高度（厘米）关于纸杯数量（个）的函数解析式（不写定义域）； （2）为了保持纸杯清洁，在最上端的纸杯加装一个盖子以后，高度增加了2厘米，此时总高度为46.8厘米，求纸杯的数量． 【答案】（1）； （2）纸杯的数量为30个． 【解析】 【小问1详解】 解：我们可以先分析图②：6个纸杯叠放增加的高度是，所以每增加1个纸杯，高度增加， 由图①知，当时，， ∴函数解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得， 答：纸杯的数量为30个． 23. 如图，在中，，．点在边上，点在的延长线上，连结、，过点作的垂线，分别交、、于点、和，且． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明；∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴； （2） 证明：由（1）知，，，是等腰三角形， ∴， 又∵，，， ∴，， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴代入上式得． 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点． （1）根据为等腰直角三角形，为等腰三角形，得到对应底角相等，根据三角形外角定理以及角的和差关系得到，根据等角的余角相等得到，继而根据等腰三角形三线合一的性质得证结论． （2）通过证明，，得到对应线段成比例，继而通过线段的等量代换得证结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 在平面直角坐标系中，过、两点的抛物线（其中、是常数）与轴的另一个交点为，顶点为． （1）求这条抛物线的表达式； （2）如果点在抛物线上，且在第四象限，过点作轴，与抛物线的另一个交点为，连接，作轴，交于点，连接． ①当时，求的值； ②抛物线关于直线对称所得新抛物线的顶点为，如果点刚好落在线段上，求点的坐标． 【答案】（1） （2）①或②点或． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）①分类在对称轴的左右侧进行讨论，分别把的坐标用来表示，根据构造方程求解即可；②根据对称得到点的坐标，设出直线的解析式，将坐标代入求解即可． 【小问1详解】 解：将、两点代入， 得：， 解得： 则抛物线的表达式为：， 【小问2详解】 ①当在对称轴的左侧， 由题可知，点,, 设直线的解析式为：， 将点,,、代入解析式得：， 解得：， 则直线的解析式为：， ∵点在抛物线上， 则点， 点，， ∴， ∵ ∴ ∴解得：， 当在对称轴的右侧， 点， 点，， ∴， ∵ ∴ ∴解得：， 综上所述：或 ②根据题意可知 ∵点，点 ∴点 ，， 设直线的解析式为：， 则将，代入解析式得 解得：， 则直线的解析式为：， 将点代入直线解析式 得： 解得或 点或． 25. 已知：如图，为半圆的直径，点为的中点，连接交弦于点、交弦于点，且，连接、． （1）如图①，求证：四边形是等腰梯形； （2）点在直径上（不与、重合），连接交于点． Ⅰ．如图②，当，且为的中点时，求的值； Ⅱ．连接，半圆的半径为1，．当为直角三角形时，求的长． 【答案】（1） 解：为半圆的直径， ． ． ， ． ． ． 点为的中点， ． ． ，，． ，． 四边形是等腰梯形． （2）Ⅰ．；Ⅱ． 【解析】 【分析】（1）根据，证明，则点为的中点，再根据点为的中点，可得，则，，，即可得证； （2）Ⅰ．设，则，．，先证明四边形是平行四边形，再证明，即可求解；Ⅱ．分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：Ⅰ．设， 为的中点， ． ． ． ，， ． ， ∴四边形是平行四边形． ． ， ． ． ． Ⅱ．如图，当时， 设，则， 由（1）可得四边形是平行四边形， ，． ，， ． , ． ． ， ，． ． ． ． ． ． ，解得（舍），． ． 如图，当时， ，， ． ， ． 此时点与点重合，此种情况不存在． 当时， ， ∴此种情况不存在． 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级学业质量抽样调研数学学科 注意： 1.本场调研时间100分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2.作答前，在答题纸指定位置填写姓名、报名号、座位号，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置． 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分． 4.填涂选择题和作图用2B铅笔，作答其余题型用黑色字迹钢笔、签字笔或圆珠笔． 一、选择题（共24分，每小题4分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列实数中，比0小的是（ ） A. B. C. D. 的倒数 2. 下列函数，图象不是一条直线的是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 在投掷实心球的比赛中，甲、乙两人各投掷了次，球的落地位置如图所示．已知两人次投掷所得的平均成绩相同，对于甲、乙两人这次成绩的方差的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图是一把完全打开的折扇，此时扇面面积为．当扇面张开的角度为时，扇面面积为，如果，那么与关系的大致图像是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共48分，每小题4分） 7. 因式分解：________． 8. 如果分式有意义，那么实数的取值范围是____． 9. 方程的解是____． 10. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围为__________． 11. 已知抛物线经过和两点，将该抛物线向右平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为_____． 12. 从，，这三个数中随机抽取其中的两个数，分别记作和．如果点的坐标为，那么点在第二象限内的概率是____． 13. 在中，，，，那么____． 14. 可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其用户总数在上线21天后达到了，那么平均每天上线人数用科学记数法表示为____． 15. 生活中很多瓶装矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费．为此数学兴趣小组对某次会议所发瓶装矿泉水的使用情况进行统计，大致可分为四种：I．全部喝完；Ⅱ．约；Ⅲ．约一半；Ⅳ．整瓶但基本未喝．同学们根据统计结果绘制如图所示的两个不完整的统计图，那么参加这次会议的人中矿泉水剩约一半的人数为____人． 16. 已知半径为2的正多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个正多边形的面积为_____． 17. 如图，在中，，，垂足为点，点是的重心，，，点为边上一动点，如果以点为圆心为半径的与以点为圆心的相切，那么的半径的取值范围是_____． 18. 如图，四边形是平行四边形，将绕点顺时针旋转，点恰好落在延长线上的点处，作的平分线交的延长线于点，连接，如果，那么的正切值是____． 三、解答题（本大题共7题，共78分）如无特别说明，本大题作答须写出证明或计算的主要步骤． 19. 计算：． 20. 解不等式组：． 21. 探究：在铁片上裁剪正方形． （1）如图是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁出顶点在边上的一个正方形铁片． Ⅰ．根据以下步骤画图： ①在边上取点（如图），过作，垂足为； ②以为边在内部作正方形； ③连接并延长交于点； ④过作交于点、交于点；过作交于点． Ⅱ．以上画图步骤作为条件，求证：四边形是正方形． （2）如果是一块边长为3、4、5的直角三角形废铁片，利用其剪裁一个顶点在边上的正方形铁片，那么这个正方形铁片的最大面积为_____． 22. 小闵在探究纸杯叠放的高度规律时，得到了一套遗失了部分实验数据的图纸．图①是一张缺失了部分信息的函数图纸，实验数据表示的点，，都落在了线段上；图②是同一次实验的另一张缺失了部分图像的示意图，图中显示了6个相同规格的纸杯叠放后增加的高度． （1）求叠放在一起的纸杯总高度（厘米）关于纸杯数量（个）的函数解析式（不写定义域）； （2）为了保持纸杯清洁，在最上端的纸杯加装一个盖子以后，高度增加了2厘米，此时总高度为46.8厘米，求纸杯的数量． 23. 如图，在中，，．点在边上，点在的延长线上，连结、，过点作的垂线，分别交、、于点、和，且． （1）求证：； （2）求证：． 24. 在平面直角坐标系中，过、两点的抛物线（其中、是常数）与轴的另一个交点为，顶点为． （1）求这条抛物线的表达式； （2）如果点在抛物线上，且在第四象限，过点作轴，与抛物线的另一个交点为，连接，作轴，交于点，连接． ①当时，求的值； ②抛物线关于直线对称所得新抛物线的顶点为，如果点刚好落在线段上，求点的坐标． 25. 已知：如图，为半圆的直径，点为的中点，连接交弦于点、交弦于点，且，连接、． （1）如图①，求证：四边形是等腰梯形； （2）点在直径上（不与、重合），连接交于点． Ⅰ．如图②，当，且为的中点时，求的值； Ⅱ．连接，半圆的半径为1，．当为直角三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $