专题02 几何三大变换热点（折叠、旋转、平移及综合应用）有关的4类核心题型（方法+题型+实战）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 以“性质公式-模型工具-靶向训练”构建几何三大变换突破体系，聚焦转化思想与动态问题静态化，适配中考核心素养要求。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |折叠变换|10题/3例|折叠全等性+勾股定理方程建模|轴对称性质→边长角度计算→最值存在性| |旋转变换|11题/3例|旋转不变性+特殊角坐标公式|旋转半径/角→全等构造→动态轨迹分析| |平移变换|11题/3例|坐标平移规律+平移最值模型|平移性质→坐标运算→图形面积/交点问题| |综合应用|6题/7例|三大变换识别+分类讨论|单一变换→多变换组合→几何代数综合|

专题02 几何三大变换热点 （折叠、旋转、平移及综合应用）有关的4类核心题型 目录 第一部分 命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向 第二部分 方法建模 构建方法体系，提供通用工具 【结论背记清单】 方法一 折叠变换应用及技巧 方法二 旋转变换应用及解题技巧 方法三 平移变换应用及解题技巧 方法四 三大变换综合应用及解题技巧 第三部分 题型专攻 实施靶向训练，提升应试效率。 【题型01】折叠变换应用 【题型02】旋转变换应用 【题型03】平移变换应用 【题型04】三大变换综合应用 第四部分 答题实战 检验学习成效，锤炼应用能力 1. 考向聚焦（精炼概括本专题在中考中的核心考查方向与价值） 核心考向1：折叠（轴对称）—— 高频基础+中档压轴，侧重考查折叠的轴对称性质（对应边、对应角相等，对称轴垂直平分对应点连线），常结合直角三角形、矩形、菱形，求解边长、角度、面积，是中考必考点。 核心考向2：旋转—— 压轴核心，聚焦旋转不变性（对应边、对应角相等，旋转角相等），常与等腰三角形、全等/相似、坐标系结合，考查最值、存在性、图形构造，是区分度核心题型（如半角模型、旋转构造全等）。 核心考向3：平移—— 基础融合型，侧重平移的性质（对应边平行且相等、对应点连线平行且相等），多与函数、网格、多边形结合，考查坐标计算、图形面积，难度适中，常作为基础大题或压轴题铺垫。 共性考向：三大变换均侧重“转化思想”，将分散的条件集中，实现“化繁为简”，贴合中考“几何直观、逻辑推理”核心素养要求。 2. 思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板） 瓶颈1：性质应用不灵活，无法快速关联三大变换的核心性质（如折叠忽略“对称轴垂直平分对应点连线”，旋转遗漏“旋转角相等”），导致无法找到解题突破口。 瓶颈2：图形构造能力薄弱，面对旋转、折叠的动态问题，不会通过“还原图形” “构造全等/相似”转化条件，难以将动态问题转化为静态问题求解。 瓶颈3：分类讨论不全面，针对折叠中的“落点位置”、旋转中的“旋转方向”（顺时针/逆时针），容易遗漏特殊情况，导致漏解；平移问题中忽略定义域（动点范围）。 瓶颈4：几何与代数衔接不畅，在坐标系中遇到变换问题时，不会将图形变换转化为坐标计算，无法建立几何性质与代数表达式的关联。 结论背记 一、三大变换核心基础公式（解题地基，必背必用） 核心原则：三大变换均为全等变换，变换前后图形的形状、大小不变，仅位置改变，对应边、对应角、对应线段长度、对应角平分线/中线/高均相等。 （一）平移基础公式 1. 坐标平移公式（中考高频，适配平面直角坐标系+动点平移） 点 沿轴方向平移：向右平移个单位→；向左平移个单位→（） 点 沿轴方向平移：向上平移个单位→；向下平移个单位→（） 斜向平移（拓展）：沿与轴成角方向平移个单位→（中考偶尔考，多用于几何最值） 1. 平移核心关联公式 平移距离：对应点连线长度（即平移的路程），公式：（两点距离公式，与二次函数专题衔接） 平移后线段关系：对应线段平行（或共线）且相等，对应线段所在直线斜率相等（） （二）折叠（轴对称）基础公式 1. 轴对称核心性质公式 对应点连线：被对称轴垂直平分，即对称轴是对应点连线的垂直平分线 垂直平分线公式：若两点、关于直线对称，则： 对称轴的斜率与的斜率满足：（垂直） 的中点在对称轴上（平分） 1. 折叠常用基础公式 折叠后对应边相等：、对应角相等：（核心，用于求边长、角度） 折叠中的勾股定理：折叠后形成直角三角形，可列方程：（中考折叠题必考，求边长/折叠高度） （三）旋转基础公式 1. 旋转核心性质公式 旋转中心到对应点距离相等（旋转半径）：、（为旋转中心） 旋转角相等：（为旋转角，中考常考30°、45°、60°、90°、180°） 1. 特殊旋转角坐标公式（中考高频，平面直角坐标系+旋转动点） 点 绕原点顺时针旋转90°→ 点 绕原点逆时针旋转90°→ 点 绕原点旋转180°→（中心对称，中考常考） 点 绕原点旋转60°（拓展）： 1. 旋转关联公式 旋转弧长（拓展，部分地区中考考）：（为旋转角，为旋转半径） 二、三大变换万能建模公式&拓展公式（中考解题神器，全国通用） 核心：将三大变换转化为“坐标运算”或“几何等量关系”，适配中考高频题型（最值、存在性、计算），直接套用可快速破题。 （一）平移万能建模公式（适配：平移+动点+最值/计算） 1. 平移最值万能公式 模型：动点沿某条直线平移，求的最小值（、为定点） 公式：将点（或）沿平移方向平移个单位（为平移距离）得到，则的最小值=（两点距离公式计算） 关键：平移后转化为“两点之间线段最短”，本质是将军饮马模型的平移变形 1. 平移综合建模公式（平移+二次函数/四边形） 若图形平移后得到，设平移向量为，则任意对应点坐标满足：，（、为平移量，可通过已知对应点求解） 适用场景：求平移后图形的顶点坐标、判断平移后图形与抛物线的交点个数 （二）折叠万能建模公式（中考Top1热点，适配：折叠+最值/存在性/计算） 1. 折叠求边长/角度万能公式 核心：设未知数→利用“折叠对应边相等”表示各边长度→在直角三角形中套用勾股定理 万能关系式：折叠前边长折叠后边长，直角边直角边斜边 示例：矩形折叠后，顶点落在另一边，设折叠后重合的边长为，用矩形边长表示出直角三角形的三边，列勾股定理求解（中考必考题型） 1. 折叠最值万能公式（将军饮马+折叠） 模型：点是折叠后的动点，求的最小值 公式：利用折叠的轴对称性，找到点（或）的对称点（折叠后的对应点），则的最小值=（两点距离公式计算） 拓展：折叠后求点到直线的最短距离，直接转化为“对称点到直线的距离”（垂线段最短） 1. 折叠存在性万能公式 模型：判断平面内是否存在点，使折叠后某两点重合/某图形为特殊图形（等腰三角形、矩形） 公式：① 对称点连线的垂直平分线（对称轴）；② 折叠后对应边相等、对应角相等；③ 特殊图形的判定条件（如等腰三角形：两边相等），联立求解点坐标 技法归纳 方法一 折叠变换应用及技巧 利用折叠前后图形全等、对应点连线被折痕垂直平分，找等边长、等角度，结合勾股定理、相似列方程求解。 例题1 （2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）在平行四边形中，进行如下折叠： (1)如图1，将沿折叠，使点C与点A重合，折痕与、边分别交于点E、F，求证：； (2)如图2，E、F分别是、边上的动点，连接，将沿折叠，点D落在点处，点C落在点处，交于点G，分别交、于点H、K，如果，请猜想和的数量关系，并说明理由； (3)在图1的基础上，连接与交于点H，如图3所示，若，，，请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析； (3) 【分析】（1）根据平行四边形和折叠的性质，推出，从而得到，即可得证； （2）根据平行四边形和折叠的性质，推出，即可得解； （3）过点作的延长线于点，过点作交于点，在中，求出，，设，利用勾股定理列方程，求出，，再根据，，求出，即可求出的面积． 【详解】（1）解：， ， ， 由折叠的性质可知，，， ， ， ； （2）解：， ，， ，即， 由折叠的性质可知，，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作的延长线于点，过点作交于点， ， ， ， 在中，，， ，， ， 由（1）可知， 设，则，，， 在中，， ， 解得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， 的面积． 例题2 （2026·辽宁沈阳·一模）在中，，D是边的中点，E是射线上一点，将沿翻折得到，点F是点B的对应点． (1)如图1，点E在线段上，，分别交于点G，H． ①求证：四边形是菱形； ②连接，求的面积； (2)如图2，点E在延长线上，分别交于点M，N．连接，，若，求的长． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）①由翻折得出，证明，进而得出，即可得出结论；②先求出，证明，得出，求出，，即可求出结论； （2）连接，延长交于点G，证明，设，则，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出结论即可． 【详解】（1）①证明：∵将沿翻折得到， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形； ②连接，设交于点M， ，D是边的中点， ， ， ， 在中，， ∵四边形是菱形， ， ， ， ， ，即， 解得：，， ， ， ； （2）解：， ， 连接， ， ， ， ， 延长交于点G， 由翻折知，， 则， ， ， ， 设， ， ， 在中，， ， 解得：（不合题意舍去），或， ， ， ， ， ， 在中， ． 例题3 （2026·河北石家庄·一模）【主题研究】利用正方形或矩形纸片折叠出特殊度数的角． 【操作1】如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．在上选一点，沿折叠，使点恰好落在折痕上的点处．结论是：，请你说明理由． 【操作2】如图2，已知正方形的边长为4．按与【操作1】相同的步骤得到折痕，连接，将沿折叠，使点落在正方形内的点处． (1)尺规作图：在图2中画出点的位置，连接并延长交于点，连接，． (2)求的度数与的长． 【答案】(1) (2)，的长为 【分析】操作1：先推导出，得到，求出，则，即可解答；         操作2：（1）以点A为圆心，为半径作弧，再以点F为圆心，为半径作弧，两弧的交点即为点M，连接并延长交于点，连接，，即可解答；        （2）先推导出，得到，，进而求出，设，则，，根据勾股定理得到，代入求出，即的长为，即可解答． 【详解】（1）解：由折叠可知：，，． 中，， ， ． ． （2）解：（1）如图所示，点M即为所求；         （2）四边形是正方形， ，， 由折叠可知：，， ，． ，，， 又， ， ，． ， 设，则，， ∵， ， 解得：，即的长为． 方法二 旋转变换应用及解题技巧 抓住旋转前后图形全等、旋转角相等、对应点到旋转中心距离相等，构造等腰 / 直角三角形，转化线段与角度关系解题。 例题1 （2026·贵州遵义·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，则线段的最小值是_____． 【答案】/ 【分析】过点作轴，过点分别作的垂线于点，设直线交轴于点，交于点，证明，设，结合全等三角形的性质得出，进而可得点在直线上运动，当时，的值最小，证明是直角三角形，，得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转到， ∴， ∵点是直线上的一个动点， 设 如图，过点作轴，过点分别作的垂线于点，设直线交轴于点，交于点， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴，即 令， ∴ ∴点在直线上运动，当时，的值最小， 联立，解得： ∴ ∴，， ∴，， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴，即线段的最小值是． 例题2 （2026·辽宁沈阳·一模）如图中，过点作，垂足为点，将绕点逆时针旋转得到，点落在上点处，点落在内部点处，延长交于点，连接、，且与交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)在上取一点，连接、，，，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，再由垂直的定义确定，利用旋转的性质及角的等量代换得出，即可证明； （2）过点G作交于点N，根据平行四边形及旋转的性质得出，确定，再由全等三角形的判定和性质得出，，即点P是的中点，利用直角三角形斜边中线的性质即可证明； （3）过点D作于点M，连接，设，利用勾股定理建立方程得出，确定，再由正切函数得出，结合图形即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过点G作交于点N，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转， ∴， ∴， ， ∵， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴， ∴，即点P是的中点， ∴ （3）过点D作于点M，连接， 在中，设， ∴， ∵ ∴， 在中，， 在中， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：． 例题3 （2026·辽宁沈阳·一模）在中，，点D在边上，，以为一边做等腰，其中，点E在上方． (1)如图1，与交于点F，求的长； (2)将图1中的绕点B逆时针旋转（）， ①如图2，当时，与交于点F，求的长； ②如图3，当点A在边上时，连接，求的长． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】（1）证明和都是等腰直角三角形，在中，解直角三角形即可求解； （2）①过点作于点，求得，在和中，分别解直角三角形即可求解； ②作交延长线于点，过点作交延长线于点，过点作于点，证明四边形是矩形，证得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∵，， ∴是等腰直角三角形，，， ∵点D在边上， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：①∵旋转角， ∴， ∴， 在中，， 过点作于点， 在中，， 在中，， ∴； ②∵点A在边上，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 过点作交延长线于点，过点作交延长线于点，过点作于点，如图， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴． 方法三 平移变换应用及解题技巧 依据平移后图形全等、对应线段平行且相等，结合坐标平移规律，转化线段位置与长度关系。 例题1 （2025·河南周口·一模）综合与实践 学完图形的平移后，小慧为了加深理解，对其进行了进一步探究． 【模型感知】 （1）她把边长为3的正方形纸片沿着对角线剪开，如图1．然后固定纸片，把纸片沿剪痕的方向平移得到，如图2．连接，，，在平移过程中： ①四边形的形状始终是________（点与点重合时除外）； ②求的最小值． 【拓展探究】 （2）如图3，她把正方形改为边长为1的菱形，，将沿射线的方向平移得到，连接，，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）①平行四边形；②；（2） 【分析】（1）①根据平移的性质以及平行四边形的判定定理，即可得到结论； ②作点关于的对称点，连接，，当共线时，有最小值，再证明是等腰直角三角形，且共线，在直角中，利用勾股定理即可求解． （2）同理可得是等边三角形，且共线，进而利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）①∵纸片沿剪痕的方向平移得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故答案是：平行四边形； ②∵四边形是平行四边形， ∴， ∴=， 作点关于的对称点，连接，， 当共线时，有最小值， 此时的最小值， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵关于的对称点， ∴，， ∴是等腰直角三角形，且共线， ∴在直角中，， ∴的最小值=． （2）如图所示，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴=， 作点关于的对称点，连接，， 当共线时，有最小值， 此时的最小值， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵关于的对称点， ∴，， ∴是等边三角形，且共线， ∴在直角中，， ∴的最小值=． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，平移和轴对称的性质，作出点关于的对称点，是解题的关键． 例题2 （2025·山西长治·三模）综合与探究 问题情境： 如图1，在正方形中，，，分别是，，边上的点，连接，．若，判断与之间的数量关系．老师在课堂上给出如下分析：将沿方向平移到，连接．根据平移的性质，可判断四边形是平行四边形，再证明，得到，继而得到． 尝试初探： （1）老师提出该问题的变式问题：将正方形改为菱形，，如图2，，，分别是，，边上的点，连接与交于点．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由， 通过探究发现，可以利用平移这一手段，将有些条件集中在一起来解决问题． 迁移应用： （2）如图3，在中，点，分别在，边上，且，，交于点，．判断与的大小关系，并说明理由． 拓展探究： （3）如图4，在正方形中，点，分别在，边上，过点作于点，交边于点，连接，．若，，请直接写出的最小值． 【答案】（1），理由见详解（2），理由见详解（３） 【分析】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正方形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并善于运用给出的思路． （1）沿平移线段，使点与点重合，点与点重合，连接，根据平移的性质和菱形的性质，得到边角相等，证出，即可得到结论； （2）如图，沿平移线段，使点与点重合，点与点重合，连接，利用平移的性质和平行线的性质得出为等边三角形，进而得到，最后利用三角形的三边关系即可得出结论； （3）沿平移线段，使点与点重合，点与点重合，连接， 根据平移的性质和正方形的性质得出，然后利用三点共线线段的和最小，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，沿平移线段，使点与点重合，点与点重合，连接 根据平移的性质可得，， ， ∵四边形为菱形，且， ， 与都是等边三角形， ，， ， ， 在与中， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，沿平移线段，使点与点重合，点与点重合，连接， 根据平移的性质可得，， ， 又，即， 为等边三角形， ， 在中， ∴； （3） 如图，沿平移线段，使点与点重合，点与点重合，连接， 根据平移的性质可得，， 又∵， ∴ ∴, ∵四边形为正方形，，， ， 在中，由勾股定理得, 由图1结论可得， ∴， ∵ ∴当点共线时，最小，即最小，最小值为的长度， ∴在中，由勾股定理得， 即的最小值为． 例题3 （2026·山西晋中·一模）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景探索几何元素之间的关系．已知在矩形中，分别是的中点，点在边的延长线上，且，连接． (1)特例分析：如图1，小睿同学画出了时的图形，并提出如下问题，请你解答：猜想线段与的数量关系，并证明你的结论； 拓展探究：小玫同学继续进行探究．如图2，已知在矩形中，，她提出如下问题，请你解答： (2)①求此时的值； ②将图2中的从当前位置开始，沿射线的方向平移得到（其中点分别是点的对应点），点是平面内的一点，请直接写出以点为顶点的四边形是菱形时，平移的距离． 【答案】(1)，见解析； (2)①； ②平移的距离是或． 【分析】根据矩形、正方形、菱形的性质，勾股定理解三角形，平移的性质求解即可，关键是进行分情况分析． （1）根据题意可知，由勾股定理得，结合，即可证得结论； （2）①根据题意得到，由勾股定理求得，结合可求得，进而求得，即可解答； ②分三种情况讨论：；；；分别利用勾股定理结合图形求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵四边形是矩形， ， 分别是的中点， ， 在中，由勾股定理，得， ， ， ∵点G在边的延长线上， ， ，即． （2）解：①∵四边形是矩形， ， 分别是的中点， ， 在中，由勾股定理，得， ， ， ， ，点G在边的延长线上， ， ； ②平移的距离是或． 如图1，若， ∴点在线段的垂直平分线上， 由①得， ∴； 若，连接，过点作于点M，过点作的延长线于点N，如图所示： ∴，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 此时； 如图3，若，过点G作，过点作的延长线于点M， 根据题意得：， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 方法四 三大变换综合应用及解题技巧 先识别折叠 / 旋转 / 平移类型，利用变换的全等性质，结合勾股、相似、坐标法，分类讨论求解综合问题。 例题1 （2026·陕西西安·三模）问题探究 (1)如图，在中，，，点是的中点，点是上一动点，则的最小值为______； (2)如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，的最小值是多少？ (3)问题解决：如图，一家养老院的平面示意图可抽象为直角梯形，经测量可得，，，老年公寓位于点处，且m，根据养老院规划，需要在边上建立一个半径为的餐厅，即半圆，并在半圆的三等分点处设置餐厅入口，在半圆与交点处设置餐厅出口，同时以直角梯形的边建设以点为入口的老年活动中心，因活动中心场地规划需求，要使．线段、是要修的两条道路，为节约成本，希望最小，试求最小值及此时的长． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，此时的长度为 【分析】（1）利用轴对称性质，将点关于对称，把转化为两点间线段，结合直角三角形中位线与勾股定理计算最小值； （2）先通过全等三角形证明，确定点的运动轨迹为一段圆弧，再利用圆外一点到圆上点的最短距离（即−半径）求出的最小值； （3）通过平移变换将转化为，结合轴对称将转化为，把转化为，利用圆的轨迹（，在以为直径的半圆上），结合勾股定理与中位线性质，求出的最小值及此时的长度． 【详解】（1）解：如图，作点关于的对称点，连接，此时的最小值为 取的中点，连接， ∵点是的中点， ， ， ； （2）解：如图，是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ， 点的运动轨迹是为圆心，为半径的弧上运动， 其中， 过点作于点， 由垂径定理，，， 在中，， 连接交于，当点与重合时，的值最小，最小值； （3）解：如左图，连接，，作，为垂足． 如图，平移线段至，点与点重合，以为对称轴作点的对称点，交于点． 根据线段平移的性质，四边形为平行四边形， ∴，， 设的中点为，由于点，的相对位置固定不变，动点的轨迹是以为直径的半圆，此时半径， 且点在以为圆心，为半径的圆上运动， 连接、， ，即， 当且仅当，，，四点共线时，等号成立， 的最小值为， 的最小值为，即为的最小值， 在如图中，半圆形餐厅的半径，， ， ，， 根据平移的性质，点移至点，相当于先向左平移了长度，再向上平移了长度， ， 根据轴对称的性质，， 由平移得：， 过点作的平行线交的延长线于，得四边形为矩形， ，， ， 在中，， 最小值为：， 即的最小值为， 设和的交点， ，， 为中位线，， 当取最小值时，动点位置为和的交点， 故的最小值为，此时的长度为． 【点睛】本题考查了轴对称求最短路径、等边三角形性质与全等三角形、圆的轨迹与最值、平移与轴对称变换及勾股定理等核心知识点，通过几何变换将复杂的线段和最值问题转化为可计算的几何模型，是解答本题的关键． 例题2 （2025·天津河东·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，是等边三角形，点C在第二象限． (1)填空：如图①，点B的坐标为_________，点C的坐标为_________； (2)将沿x轴向右平移得到，点B，C，O的对应点分别为． ①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，其中t的取值范围是；② 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合、等边三角形的性质与判定、三角函数及平移的性质，熟练掌握一次函数与几何的综合、等边三角形的性质与判定、三角函数及平移的性质是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据等边三角形的性质及三角函数可得，进而问题可求解； （2）①由平移的性质可得，，则有是等边三角形，在中，，则，然后可得，进而根据割补法可进行求解； ②以和为邻边构造平行四边形，然后可得，则由（1）得，点O关于直线的对称点为点，故，当三点共线时，值最小，连接即为的最小值，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为等边三角形，作轴于点D，如图①所示， 则， ∴， ∴点B的坐标为的坐标为， 故答案为：； （2）解：①由平移的性质可得，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 在中，，则， ∴， 在中，， ∵， ∴， 所以 ， 当点重合时，，此时与重叠部分不是五边形，当点重合时，，此时与重叠部分不是五边形， ∴t的取值范围是：； ②如图所示，连接和， 以和为邻边构造平行四边形，设， ∴， 解得，， ∴， 由（1）得，点O关于直线的对称点为点， 故，当三点共线时，值最小，连接即为的最小值， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴的坐标为． 例题3 （2026·辽宁营口·一模）已知中，，，点是边上任意一点（不与点，重合），将沿所在直线翻折，点的对应点为点． (1)如图，过点的直线，当点在直线l上时，请画出点和折痕（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），判断此时四边形的形状，并说明理由； (2)连接并延长，与的延长线相交于点， 如图，若，，当时，求的长； 当点与中点不重合时，猜想，，的关系（用含有的式子表示），并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)；，，的关系为或，理由见解析． 【分析】（）以为圆心，为半径画弧交于点，然后分别以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，连接，则点，即为所求，然后通过菱形的判定方法即可求证； （）作于点，证明，所以，则有，由翻折可知，，，再证明，所以，即，然后求得即可求解； 分当点在中点右侧时，当点在中点左侧时，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图，点，即为所求， 证明：由翻折可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：作于点， ∵， ∴，， ∴， 由翻折可知：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由翻折可知，，， ∴，， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， 又，， ∴， 又， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； ，，的关系为或，理由如下， 当点在中点右侧时，作， 由可知，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 当点在中点左侧时， 延长与相交于点， 由翻折可知，，， ∴，，， 又， ∴，即， 又，， ∴， 又，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； 综上可得：，，的关系为或． 例题4 （2026·河北石家庄·一模）如图1，将纸片沿中位线折叠，使点A的对称点D落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形， (1)将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段_______，______；_____． (2)纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形，若，，求的长． (3)如图4，四边形纸片满足，，，，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．请你帮助画出两个不同叠合方式的叠合正方形的示意图，并直接写出，的长． 【答案】(1)、； (2)13 (3)图见解析，，或， 【分析】（1）根据题意得出操作形成的折痕分别是线段；由折叠的性质得出的面积的面积，四边形的面积=四边形的面积，得出，即可得出答案； （2）由矩形的性质和勾股定理求出，即可得出答案； （3）折法1中，由折叠的性质得：，，，，，由叠合正方形的性质得出，由勾股定理得出，得出，； 折法2中，由折叠的性质得：四边形的面积梯形的面积，，，，，，求出，由叠合正方形的性质得出，正方形的面积，由勾股定理求出，设，则，由梯形的面积得出，求出，由得出方程，解方程求出，，进而得到、的长． 【详解】（1）解：根据题意得：操作形成的折痕分别是线段、； 由折叠的性质得：，四边形四边形， ∴的面积的面积，四边形的面积=四边形的面积， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形，，，， ∴， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∴； （3）解：①折法1中，如图4所示： 由折叠的性质得：，，，，， ∵四边形是叠合正方形， ∴， ∴， ∴，； ②折法2中，如图5所示： 由折叠的性质得：四边形的面积梯形的面积，，，，，， ∴， ∵四边形是叠合正方形， ∴，正方形的面积， ∵， ∴， 设，则， ∵梯形的面积， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，． 例题5 （2026·陕西·一模）【问题背景】在几何学习中，利用旋转的性质可以将一些零散、难以关联的条件进行有效转化，从而使题目变得简单． (1)【问题提出】如图1，在等边中有一点，，求的度数； (2)【问题解决】如图2，某地计划新建一个四边形的休闲场所（四边形），在点处修建两个管理室，且两个管理室的距离为．根据设计要求，将休闲场所分为与两部分，其中在中，，用来作为游乐场，由管理室负责管理；在中，，将它作为开心农场，由管理室负责，为了容纳更多动物，要求开心农场的面积尽可能大，请你利用所学知识求出开心农场（）的最大面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图：将绕顶点A旋转到处，此时，连接，即，；易得是等边三角形，则，，再利用勾股定理逆定理可得，再根据角的和差即可解答； （2）如图2，连接，将绕点A顺时针旋转得，连接．利用旋转的性质以及勾股定理可得，再说明；如图2∶过点 B 作， 垂足为 N， 过点作， 交的延长线于点 M．则，进而得到；设点 O 为所在圆的圆心， 连接．过点 O 作 ， 垂足为 F； 过点 B 作， 垂足为 E， 则．利用三角形的不等关系可得的最大值为．最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图：将绕顶点A旋转到处，此时，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∴． （2）解：如图2，连接，将绕点A顺时针旋转得，连接． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． 如图2∶过点 B 作， 垂足为 N， 过点作， 交的延长线于点 M． 则， ∴． ∴，， ∴， ∵， ∴ 点B在以 为弦， 所含圆周角为的弧上． 设点 O 为所在圆的圆心， 连接．过点O作 ， 垂足为 F； 过点 B 作， 垂足为 E， 则． ∴． ∵， ∴， ∴的最大值为． ∵， ∴开心农场（）的最大面积为． 例题6 （2026·河北沧州·一模）如图，在矩形中，，，将边绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于点，交矩形边于点，连接． (1)当点在边上时，的度数为______； (2)连接，在旋转过程中求出的最小值，并求出此时的长； (3)若点到直线的距离为3时，求边扫过区域的面积； (4)连接，直接写出的最小值． 【答案】(1)； (2)的最小值为，此时的长为； (3)或； (4) 【分析】（1）由旋转得，结合可知垂直平分，故；用证，结合矩形，得． （2）在以为圆心、为半径的圆上，矩形对角线，故最小值为；设，在中列方程求解得． （3）边扫过区域为扇形，分在矩形内、外两种情况：由到距离为得，在矩形内时旋转角，面积；在矩形外时，面积． （3），取中点，由斜边中线得；在中算得，故最小值为． 【详解】（1）解：∵边绕点顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴． 在和中， ， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴． （2）解：∵绕点旋转， ∴点在以为圆心，为半径的圆上． ∵四边形是矩形，，， ∴． 根据两点之间线段最短，当在线段上时，取得最小值，最小值为． 由（1）， ∴，，， ∴，． 设，则． 在中，，解得， ∴． （3）解：如图，过点作于，由题意得． ∵，在中，， ∴． 当在矩形内时，， 此时． 当在矩形外时，， 此时． 综上，边扫过区域的面积或． （4）解：如图，取的中点，连接、． ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形，，， ∴，． 在中，由勾股定理得． ∵，当且仅当、、三点共线时，取得最小值， ∴最小值为． 例题7 （25-26九年级上·重庆·期末）如图，在等腰三角形中，，点E在直线上，点D是平面内一点，连接. (1)如图1，若，点E在线段上，，连接，将绕点A逆时针旋转至，连接，点D为中点，连接，求出此时的面积； (2)如图2，若，点D在外部，点E，点F分别是，的中点，连接，将绕点F顺时针旋转至，连接，，，试猜想线段和的数量关系，并证明； (3)如图3，若，若点D是平面内一动点，连接，将沿翻折得，当B，D，Q三点共线时，在线段上取一点N，使，点E是直线上的动点，将绕点E顺时针旋转至，连接，当取最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)猜想：，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点F作于点K，证明三角形是等边三角形，再证，在中，求出的长，最后求出； （2）连接，过点D作交延长线于点Q，连接，，先证，再证，最后运用相似三角形性质，特殊角的三角函数值等知识，得出； （3）先证明A，B，C，D四点共圆，再推导出点D在圆上，在上确定一个点F，连接，，使得，连接，，证得，连接，将绕F点顺时针旋转，并将缩短，得到，则点N在圆上，运用瓜豆原理得到点K的运动轨迹，最后得到取最小值时， ． 【详解】（1）解：如图1，过点F作于点K， ∵等腰三角形中，，， ∴三角形是等边三角形， ∵， ∴，， ∵将绕点A逆时针旋转至， ∴，， ∴， ∴，即， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∵点D为中点，， ∴， ∴； （2）解：猜想：，理由如下： 如图2，连接，过点D作交延长线于点Q，连接，， ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵将绕点F顺时针旋转至， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，     ∵，， ∴， ∴． ∵在等腰三角形中，，， ∴， ∵，点E是的中点， ∴，即， 在中，     ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，     ∵， ∴， ∴， ， ∴； （3）解：∵等腰三角形中，，， ∴三角形是等边三角形， ∵将沿翻折得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴A，B，C，D四点共圆， ∴， 设， 则点D在以O为圆心的圆上，点O为等边的内心， 如图3，作，连接，， 则，，， ∴，，， ∴， ∴如图3，点D在以O为圆心，为半径的圆上， 如图4，在上确定一个点F，连接，，使得，连接，， ∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 如图5，连接，将绕F点顺时针旋转，并将缩短，得到， 即，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴点N在以为圆心，为半径的圆上， ∵，， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴，． ∵点E是直线上的动点，将绕点E顺时针旋转至， ∴点K也在直线上运动， 如图6，设点E运动到中点处为，点E运动到B点处为，作出，的对应点，，连接，则点K在直线上运动， 设直线与延长线交于点S，作于点K，当，N，K三点共线，且点N位于之间时，取最小值． ∵，，， ∵为中点，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴， 过点K作于点P，设交于点L， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴如图7，在中， 作于点Z， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了等边及等腰三角形的性质与判定，相似三角形及全等三角形的性质与判定，隐圆，瓜豆线等动点问题，综合难度大． 【题型01】折叠变换应用（共10题） 1．（2026·湖北·模拟预测）如图折叠一张长方形纸片，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据平行线的性质求出，然后根据折叠的性质得到的度数. 【详解】解：根据折叠得出，， ， ， ， ， ． 2．（2026·河南周口·一模）如图，在中，将沿对角线折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用折叠和平行四边形的性质可得，，，即可得，四边形是矩形，再根据矩形的性质解答即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ，， ∵点在的延长线上，即、、三点共线， ， ， ∵四边形是平行四边形， ，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴． 3．（2026·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点落在点处，于点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点的坐标得，求出点，运用待定系数法求出直线的解析式为，求得，设，则，由两点间距离公式得，解得，进而可得点D的坐标． 【详解】解：∵四边形为菱形，边在轴正半轴上， ∴轴， ∵于点，且点的坐标为， ∴轴， ∴，， ∴， 过点作轴于点，则， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， ∴， ∴直线的解析式为， 由折叠可得，， ∴， 设，则 ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 4．（2026·江西南昌·一模）如图，在菱形中，，，点E是对角线上任意一点，连接，将线段沿着直线翻折，得到线段，若是等腰三角形，则E，F两点间的距离不可能为（   ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】先根据菱形的性质和折叠的性质可知，，，然后分三种情况讨论：、、，再根据直角三角形的性质和勾股定理分别求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴当时，连接，交于点M，如图所示， ∵将线段沿着直线翻折，得到线段， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 当时，如图所示， 同理，， 则在中，，， ∴， ∴； 当时，此时交的延长线于点M，如图所示， 此时点E与点C重合，， 同理，， 则在中，，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，A选项符合题意． 5．（2022·江西赣州·模拟预测）如图，在中，，，将沿折叠，使点与上的点重合，若，则的长为________． 【答案】 【分析】先由三角形内角和求出，再根据折叠性质得到，，利用三角形外角性质得，即可得，最后利用等角对等边得． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠得，， ∵， ∵， ∴， ∴． 6．（2026·江西吉安·模拟预测）如图，在中，，，D，P分别为，上的动点，将沿直线翻折（点B的对应点为），使射线恰好经过点A，若为等腰三角形，则的度数为________． 【答案】 或或 【分析】首先根据等腰三角形的性质求出的度数，由折叠性质及射线经过点可得，进而得出与的数量关系；然后分、、三种情况讨论为等腰三角形时的度数，分别计算即可求解． 【详解】解：，， ． 由折叠的性质可知，，． 射线恰好经过点，即、、三点共线， ． ． 在中，． 点在上， ． ①当时， ， ； ②当时， ， ； ③当时， ， ， ． 综上所述，的度数为或或． 7．（2026·广东深圳·二模）如图，在中，，，，分别是，边上一点，将沿折叠得，沿折叠得，若，则_____． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，设，根据折叠的性质得，，，，，推出，根据含的直角三角形的性质及勾股定理得，，，，，，最后在中，根据建立关于方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，设， ∵将沿折叠得，沿折叠得，， ∴，， ∴，，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， 即． 8．（2026·山东淄博·一模）【问题情境】 某数学兴趣小组在学习了图形旋转的相关知识之后，在等腰三角形纸片上进行了关于旋转的研究性学习．中，．同学们在边上取点，连接，将以点为中心旋转，由于同学们所取点的位置不同，的角度大小不同，产生了以下两种方案． 【探究感悟】 小明方案：取，旋转使点的对应点落到线段上； (1)如图1，小明发现，此时点的对应点与点的连线恰好平分，则线段的长是_____； 【深入探究】 小刚方案：如图2，旋转使点的对应点落到点上，折叠使点与点D重合，折痕为； (2)在图2中找出与相等的角，并证明； (3)如图3，F为线段上的点，．若，求的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）证明，可得，从而得到，进而得到，即可求解； （2）证明，可得，即可求解； （3）证明，可得，再结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵点与点的连线恰好平分， ∴， 由旋转的性质得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 由题意得垂直平分， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得： ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．（2026·辽宁铁岭·二模）在中，点D在上，连接，将沿翻折得到，点B与点E是对应点． (1)如图1，若点E落在上，求证：； (2)如图2，，点E落在的内部，的延长线交于点F，若时，求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，若平分，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)． 【分析】（1）过点作交的延长线于点，证明，利用相似三角形的性质结合等量代换即可得到； （2）过点作交的延长线于点，证明，求得，再证明，求得，据此求解即可； （3）过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点，设，则，由（2）得，证明，求得，证明和，利用相似三角形的判定和性质列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：过点作交的延长线于点， 由折叠的性质得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作交的延长线于点， ∴， ∴，即， 由折叠的性质得， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点， 由折叠的性质得，，， 设， ∴， 由（2）得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得（舍去负值）， ∴， ∴． 10．（2026·山东德州·一模）综合与实践 【问题情境】 数学兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠，折痕与边，分别交于点，，点的对应点记为，点的对应点记为． (1)【特例探究】 角的探究：如图1，连接，与交于点，当点，，三点共线时，与相等的角为______（写出一个即可）； (2)线段的探究：如图2，当为的中点时，点恰好落在边上． ①猜想，，三条线段的数量关系，并说明理由； ②延长交于点，连接，，判断与的位置关系，并说明理由． (3)【深入探究】 如图3，将矩形纸片更换为平行四边形、，，，为的中点，当所在直线垂直于平行四边形的一边所在直线时，直接写出的值． 【答案】(1)或； (2)，理由见解析； ，理由见解析； (3)的值为或． 【分析】（1）由矩形的性质，可得，由折叠可得，，，可得，由直角三角形的两个锐角互余，结合同（等）角的余角相等，即可求解； （2）由折叠可得，，，，由矩形的性质，可得，，由平行线的性质，结合等角对等边，可得，结合已知可得，即可得，，三条线段的数量关系；由矩形的性质，可得，由折叠可得，，，可得，证明，可得，，点、在线段的垂直平分线上，即可判断与的位置关系； （3）按照，进行分类讨论，分别画出图形，根据折叠的性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， 由折叠可得，，， ∴， 又∵， ∴， 又∵点、、三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相等的角为或． （2）解：，理由： 由折叠可得，，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴． ，理由： ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点、在线段的垂直平分线上， ∴． （3）解：当时，如图，垂足为点，过点作于，连接交于， ∵，四边形是平行四边形， ∴，，，， 由折叠可得，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 当时，如图，垂足为点，延长交于点， 由折叠可得，，，，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的值为或． 【题型02】旋转变换应用（共11题） 11．（2026·辽宁营口·一模）如图，矩形中，，点E是边上任意一个点，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，则线段最小值为（   ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】过F作于H，设，证明，得出，，在中，根据勾股定理求出，然后根据二次函数的性质求出的最小值，即可求解． 【详解】解：∵矩形中，， ∴，，， 过F作于H，设， ∵绕点E顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，取最小值为72， ∴的最小值为． 12．（2026·广东佛山·一模）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正方形及线段旋转的性质，得到；通过作，结合等腰三角形性质得，再通过角的互余关系推得，用证明，得出；设，则，在中用勾股定理求得，最后根据余弦定义算出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵线段绕点旋转得到， ∴， ∴， 如图，过点作于点， 在中，，且， ∴， ∵，即， 在中，， ∴， ∴ ， 在和中： ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理： 在中，根据余弦的定义：， ∵，， ∴． 13．（2026·黑龙江佳木斯·一模）如下图，在正方形 中， 连接， 将含的三角板放在如图 的位置上，，，将三角板绕点B 顺时针旋转到△的位置，旋转角是一个锐角，并且使 ， 交 于点F， 求 的长是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作，根据正方形的性质得，再根据平行线的性质得，结合旋转的性质和解直角三角形求解即可． 【详解】解：如图，四边形 是正方形，过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∵三角板绕点B 旋转至△， ∴，， 在中，， 即， 解得：， 在中，， 即， 解得：． 14．（2026·江苏扬州·一模）如图，中，，，．点是上的一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接．点在从向运动的过程中，线段的最小值为(   ) A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】过点作于点，连接，过点作于点，则，求得，，进而求得的长得出，证明，进而得出垂直平分，，当时，取得最小值，，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接，过点作于点，则 ∵中，，，． ∴，， 在中， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴垂直平分 ∴， 而 ∴， ∴当时，取得最小值，，即线段的最小值为 15．（2026·山东德州·一模）如图，将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接、，由旋转的性质可得等边三角形，可得，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵正方形绕点A逆时针旋转得到正方形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∴． 16．（2026·安徽马鞍山·一模）如图，中，，，D为边的中点，将线段以B点为中心逆时针旋转得到线段，连接 （1）若，则长为___________． （2）长最大为___________． 【答案】 4 【分析】（1）利用勾股定理以及旋转的性质进行求解； （2）以为直径画，过点作，使，连接，以线段的中点为圆心，长为半径画，证明，，得出点在以为直径的圆弧上，连接并延长，交于点，此时长最大，最后利用勾股定理进行求解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴由勾股定理得， ∵D为边的中点， ∴， 由旋转可得； （2）如图，以为直径画， ∵， ∴点在上， 过点作，使，连接， 以线段的中点为圆心，长为半径画， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆弧上， 连接并延长，交于点，此时长最大， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴． 17．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平行四边形中，，，，点E在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接交对角线于点G，作于点M，于点N，则______． 【答案】 【分析】过点Ｄ作于点H，由平行四边形的性质及含角的直角三角形的性质求出、的长，根据勾股定理求出的长，由旋转的性质得出为等边三角形，最后利用面积法即可求的长． 【详解】解：作于点H 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 由旋转的性质可知： ， 是等边三角形， ，，， 即． 18．（2022·江西赣州·模拟预测）如图，在正方形中，，点E是上一点，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接、，若，则的面积为________． 【答案】 【分析】由旋转的性质可得，，可证，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，过点F作，交的延长线于H， ∵将绕点E顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 四边形是正方形， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 19．（2022·湖北十堰·模拟预测）如图1，在等腰直角三角形中，．点分别为的中点，为线段上一动点（不与点重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接． (1)证明：； (2)如图2，连接交于点． ①证明：在点的运动过程中，总有； ②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②当的长度为或时，为等腰三角形 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，根据题意可得，，进而即可证明． （2）①先证得，进而即可得解；②根据题意可得时，为等腰三角形，进而分，，，种情况进行分析求解即可． 【详解】（1）证明∵将线段绕点逆时针方向旋转得到， ∴，， 又∵在等腰直角三角形中，，， ∴， ∴； （2）解：①证明∵在等腰直角三角形中，，点分别为的中点， ∴，是等腰直角三角形， ∴，   ∵，， ∴， ∴， ∴，即； ②∵，点分别为的中点， ∴， 由（1）知，为等腰直角三角形， ∴， ∵时，为等腰三角形，分3种情况讨论： （a）当时，如图， 则， ∴平分， ∴点是的中点， ∴； （b）当时，如图， 则， ∴， ∴， ∴； （c）当时， 点与点重合，不符合题意，舍去， 综上所述：当的长度为或时，为等腰三角形． 20．（2026·江苏扬州·一模）综合与探究 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图1，在中，取的中点O，连接并延长，使得，连接、，四边形为平行四边形． 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将保持固定，绕点A按逆时针方向旋转，其中，若，当点E落在AB边上时，连接并延长，使得，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接、，取的中点P，连接交于点Q，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接，M是射线上的一点，连接，过点A作的垂线交于点G，若G是的三等分点，请直接写出的值． 【答案】(1)矩形，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)或2 【分析】（1）由旋转证明 是等边三角形，再证明，进而得到，证明，则四边形是平行四边形．证明 ，则问题可证； （2）延长至点 ，使 ，连接，证明，从而证明，C、B、F共线，再证明，得到，再由角度的互余关系证明，则问题可证； （3）延长交延长线于点F，证明，得到，再有，和证明，再证明，由，故得到，最后分别利用G是BE的三等分点，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：，，， ，， 点 落在 边上， 中，，， 是等边三角形， ，， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ∴E 是 中点，， 在 和 中： ，， （SAS）， ，， ∴， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． （2），且 ， 理由：延长至点 ，使 ， 连接， 是的中点， ， 在 和 中： ， ， ， （SAS）， ，， ， 是绕点 逆时针旋转 得到， ，， ， ∴C、B、F共线， ， 在 和 中： ， ， ， ， ，， ， ，即 ， ， ． （3）解：延长交延长线于点F， 是绕点 逆时针旋转 得到， ，， ， ， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ， ， ∵ ， ， ∵G是的三等分点 ∴当 时，， 当 时，， 或 ． 【点睛】本题需要运用"倍长中线法"构造全等三角形和相似三角形， 通过证明全等三角形，转化边的数量关系是解题的关键． 21．（2026·广东深圳·一模）综合与探究：菱形 中，，，连接，是上的动点，将绕点顺时针旋转得到． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，连接交于，当是等腰三角形时，求的长度； (3)如图3，连接交于，连接，记的面积为，的面积为，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或或 (3) 【分析】（1）证明，得，可证出，即可证明； （2）对等腰三角形的相等边进行分类讨论，结合相似三角形和三角函数求得对应的的长度； （3）由于的面积与的面积相等，得，通过相似三角形面积比为相似比得平方，可得出的临界值，得出最终结果． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，，， ， 又∵绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：①∵，， ∴， 当重合时，， 此时重合，： ②， ∵， ， ∴， ∴， 此时， 连接，交于点，如下图所示： ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ③， 此时， ∴， ∴， 综上所述，或或． （3）解：由菱形的对称性得：， 的面积与的面积相等， ∴， 当与，重合时，取得最大值， 所以， 当时，取得最小值， 所以， 综上所述． 【题型03】平移变换应用（共11题） 22．（2026·河北廊坊·一模）如图，美工组用机械臂绘图时，对平面直角坐标系中的菱形执行了两步操作：先以O为位似中心将菱形放大为原来的2倍，然后拖动菱形平移，得到菱形．已知，，，若菱形内部一点F经过上述操作后得到的对应点与它本身重合，则点F的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由菱形的性质求出，由位似变换得，根据点得平移方式为先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，设菱形内任意一点，经过操作后对应点，由点与重合可得，，从而可求出点的坐标为． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴点是对角线的中点， ∵， ∴， ∵以O为位似中心将菱形放大为原来的2倍， ∴点经过位似变换后，坐标变为， 又点平移后得到， ∴平移的方式为：先向左平移2个单位，再向下平移2个单位， 设菱形内任意一点，则经过操作后，对应点， ∵点与重合， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 23．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知直线经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为10，若将线段平移至，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】先求出的坐标，判断直线是怎样平移，再用的坐标推出坐标． 【详解】解：将代入， 得，即， 即先向左平移8个单位长度，再向上平移2个单位长度． 将代入， 得，即， 则． 24．（2026·河南商丘·一模）如图，中，，，将沿射线方向平移得对应，过点作，垂足为，交于点，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一，求出，；根据勾股定理求出，则，根据线段的和差求出，再根据等边三角形的判定和性质，可得，最后根据． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 设，则， 在直角三角形中，， ∴， 解得：， ∴； ∴，则， ∵且， ∴，， ∵沿射线方向平移得对应， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴． 故选：C． 25．（2026·山东青岛·一模）无人机编队表演，在空中先组成如图所示的菱形图案，然后整体向右平移5个单位长度，再绕点的对应点逆时针旋转得到菱形，此时点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的性质以及旋转的性质作出菱形，再结合图形写出坐标即可． 【详解】解：画出菱形如图所示： 由图形可得，点的对应点的坐标为． 26．（2026·河南周口·二模）如图，在边长为2的菱形中，，将沿着射线的方向平移，得到，连接，，，则周长的最小值为________． 【答案】/ 【分析】根据菱形的性质得到，根据平移的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值的最小值，根据平移的性质得到点在过点且平行于的定直线上，作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，通过证明得到，即可得出结论． 【详解】解：连接交于点， ∵在边长为 2 的菱形中，， ，， ∵将沿射线的方向平移得到， ∴，点在过点且平行于的定直线上， ∵四边形是菱形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 的最小值的最小值， ∵点在过点且平行于的定直线上， ∴作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，则的长度即为的最小值， 根据轴对称的性质可得：， ， ，， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 则周长的最小值为． 27．（2026·河北张家口·一模）平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为“整点”．整点每次平移的规则：横纵坐标之和除以5，若余数为0该点向下平移1个单位，若余数为1向右平移1个单位，若余数为2向上平移1个单位，若余数为3向左平移1个单位，若余数为4不动．已知整点满足，连续平移6次后恰好落在直线上，则点P平移前的横坐标为________． 【答案】8 【分析】根据平移规则依次推导次平移后点的坐标表达式，再结合平移后点在已知直线上，联立方程求解即可得到平移前的横坐标． 【详解】解：由题意得，记第次平移后点的坐标为，为横纵坐标之和， 则，， ∴余数为， ∴第次向右平移个单位， ∴； ∴，余数为， ∴第次向上平移个单位， ∴； ∴，余数为， ∴第次向左平移个单位， ∴； ∴，余数为， ∴第次向上平移个单位， ∴； ∴，余数为， ∴第次向左平移个单位， ∴； ∴，余数为， ∴第次向上平移个单位， ∴， ∵平移次后点落在直线上， ∴满足， ∴代入得： ， 联立得， ∴两式相加得 解得． 28．（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，，，C为x轴正半轴上一点，以为一边在第一象限内作等边．使得D点恰好落在线段上，D点坐标为________，将沿x轴的正半轴向右平移得到，当将的面积分为两部分时，的长为________． 【答案】 或 【分析】由题意作辅助线，作于点H，设等边边长为，得到，再利用待定系数法求出直线的解析式，把代入求解即可；分未过点和超过点两种情况求解． 【详解】解：过作于点，设等边边长为， ，， ， ，， ， 设直线的解析式为， ，解得， ，又D点在线段上， ，解得， ； 等边边长为，， ①当未过点时，如图，与相交于点， 此时，又， ， 设， 又，则， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ， ， 解得（负值已舍去）； ②当超过点时，如图，与相交于点， 由题可知， 设，则， 又，， ， ， ， 解得（负值已舍去）； 综上，的长为或． 29．（2026·安徽芜湖·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段和的端点均为格点（网格线的交点）． (1)将线段先向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到线段，画出线段； (2)将线段绕点顺时针旋转，得到线段，画出线段； (3)线段与交于点D，则的大小为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平移规则画出线段即可； （2）根据旋转的性质，画出线段即可； （3）连接，勾股定理结合勾股定理逆定理得到为等腰直角三角形，进而得到，根据平移的性质，得到，进而得到即可. 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：如图，线段即为所求； （3）解：连接，由勾股定理，得， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵平移， ∴， ∴. 30．（2026·山西大同·一模）综合与实践 数学课上，同学们以含角的平行四边形为载体，开展了平移、折叠、旋转的综合实践活动．如图1，在平行四边形中，． 【智慧小组——平移探究】 (1)如图2，将沿着射线方向平移，得到，点的对应点为．当四边形为矩形时，求平移的距离． 【善思小组——折叠探究】 (2)如图3，将沿着折叠得到，点的对应点为，连接．猜想四边形的形状，并证明你的猜想． 【探索小组——旋转探究】 (3)将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点．当为以为底的等腰三角形时，请你直接写出的值． 【答案】(1) (2)四边形是矩形，见解析 (3)或 【分析】（1）根据平行四边形的性质可求出，根据含的直角三角形的性质求出，根据平移的性质得出，根据矩形的性质并结合可求出，然后在中，根据正切的定义求出即可； （2）根据折叠的性质得出，，，则可证、D、B三点共线，则，然后根据矩形的判定即可得证； （3）分两种情况讨论：当点F在的上方时，过F作于M，交于N，过D作于H，在中，解直角三角形求出，，根据三线合一的性质求出，根据矩形的判定与性质求出，，根据旋转的性质得出，在中，根据勾股定理求出，最后在中，根据勾股定理求解即可；当点F在的上方时，类似求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵平移后四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 即平移距离为； （2）解：四边形是矩形 理由：∵折叠， ∴，，， ∴， ∴、D、B三点共线， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又 ∴平行四边形是矩形； （3）解：当点F在的上方时，如图，过F作于M，交于N，过D作于H， 在中，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵旋转 ∴， ∴在中，， ∴， ∴； 当点F在的下方时，如图，过F作于M，交于N，过D作于H， 在中，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵旋转 ∴， ∴在中，， ∴， ∴； 综上，的值为或． 31．（2026·天津和平·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，直角的顶点，，等边的顶点，，顶点D在第二象限． (1)填空：如图①，的度数为 °，点D的坐标为 ； (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点D，E，F的对应点分别为，，．设，等边与直角三角形的重叠部分的面积为S． ①如图②，若边与边相交于点G，当与重叠部分为四边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)； (2)①（​）； ② 【分析】（1）可先计算、长度，再利用直角三角形的边角关系求的度数；根据是等边三角形，结合的度数，所以可通过构造直角三角形，利用等边三角形性质和坐标平移的思路求D点坐标； （2）①将重叠部分的面积转化为等边的面积减去的面积；可先确定平移后各点的坐标，再结合的角度，利用三角函数求出的边长，进而得到其面积，同时根据重叠部分为四边形的条件确定t的取值范围； ②因为已知t的取值范围，所以需先分析在该范围内S的表达式的变化情况，再根据函数的性质求S的取值范围． 【详解】（1）解：∵，， 在中，，​，， ∴， ， 且是等边三角形，轴， ∴， 又∵D在第二象限， ∴D的横坐标为​，纵坐标与E相同为，即； （2）解：①等边的面积为​， 平移后，， 当重叠部分为四边形时，满足在y轴右侧、在y轴左侧， 即，解得​； ∵ 交y轴于，为直角三角形，，，， ∴​​， ∴重叠面积（​）； ②当时，重叠部分面积随的变化分为四个阶段： 当时，如图所示，重叠部分为， 面积，随的增大而增大。 ，， ∴； 当时，重叠部分为四边形， 面积，随的增大而增大。 ，， ∴； 当时，重叠部分为四边形， 面积，随的增大而减小。 ， ， ∴； 当时，重叠部分由腰线和斜边围成， 面积，随的增大而减小。 ，， ∴； ∴的取值范围为． 32．（2026·天津河东·一模）在平面直角坐标系中，为原点，等腰的顶点，．四边形是正方形，点是的中点，点在轴上． (1)填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)将四边形沿轴向右平移得到四边形，点，，，的对应点分别为，，，，设． （i）如图②，当四边形与重叠部分为五边形时，，，分别与，相交于点，，，，试用含有的式子表示线段，并直接写出的取值范围； （ii）设平移后四边形与重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)（i），；（ii） 【分析】（1）连接交于点，根据等腰三角形的性质得到，求出，进而得到，再根据正方形的性质的长，即可求出； （2）（i）根据平移的性质证明四边形是矩形，进而得到和是等腰直角三角形，则，；当四边形与重叠部分为五边形时，点在的右侧，点在点的左侧，列出关于的不等式组，即可得出的取值范围； （ii）分3种情况讨论：①当时；②当时；③当时，先确定四边形与重叠部分的图形，再利用图形的面积公式表示出与的关系式，结合，列出关于的不等式，即可求解． 【详解】（1）解：连接交于点，   ∵等腰的顶点，， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：（i）由平移的性质得，，四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵等腰，， ∴， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵点是的中点，， ∴， 由（1）得，， 由平移的性质得，，， ∵当四边形与重叠部分为五边形时，点在的右侧，点在点的左侧， ∴， 解得， 综上，，； （ii）①当时，四边形与重叠部分为四边形， 由（i）得，四边形是矩形，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 令，则， 解得， ∴； ②当时，四边形与重叠部分为五边形， ∵， ∴， 由平移的性质得，，四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形，， 由（i）得，是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 同理①的方法可得，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值5；当和时，取得最小值4， 此时，满足题意； ∴； ③当时，四边形与重叠部分为， ∵， ∴， 由平移的性质得，，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 令，则， 解得或， ∴； 综上，的取值范围为． 【题型04】三大变换综合应用（共6题） 33．（2024·河南周口·二模）如图，在矩形中，，点为上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上，再将沿射线平移得到，当在区域内的线段的长度为时，平移的距离为________．    【答案】或 【分析】根据矩形的性质及折叠的性质得到，，再根据相似三角形的判定与性质得到分两种情况即可解答． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴在中，， ∵， ∴， 由折叠得：，， ∴， 设，则，， ∴在中，, ∴， ∴解得：， ∴，， ①如图1，当在区域内的线段的交点在的下方时， 过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，，，， ∴， ∵由平移的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离；    ②如图2，当在区域内的线段的交点与点重合时，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，，， 由平移的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，平移的距离为或， 故答案为或.    【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，平移的性质，矩形的性质，一元一次方程与几何问题，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 34．（2024·贵州贵阳·一模）如图，是边长为2的等边三角形，将沿直线翻折，得到，再将在直线上平移，得到．连接，则的周长的最小值是___． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折，平移的性质，等边三角形的性质以及菱形的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．作关于点的对称点，交于点，连接，利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：作关于点的对称点，交于点，连接， 由题意可知，将沿直线翻折，得到，再将在直线上平移，得到， 的周长的最小值转化为周长的最小值， 当三点共线时，最小为的长， 均为等边三角形， ， 四边形是菱形， ， ， ， 在中，， 周长的最小值为， 故的周长的最小值为． 故答案为：． 35．（2024·河南周口·模拟预测）问题背景：如图1，在四边形中，，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上． (1)操作探究 连接，判断的形状，说明理由； (2)探究迁移 将沿射线平移得到（点的对应点分别为），当点的对应点与点重合时，求四边形的周长； (3)拓展创新 将继续沿射线平移得到（点的对应点分别为），与交于点，且，将绕点在平面内自由旋转，当时，直接写出的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见详解 (2)4 (3)3或 【分析】连接，由翻折得，，，结合题意得，则，即可得是等边三角形； 由平移得四边形为平行四边形，结合翻折，判定四边形为菱形，利用含30度角的直角三角形的性质得到，即可求得周长； 过点作交于点F，连接，可得四边形为平行四边形，有，和，即可判定点F为中点，则有D、F、和M在同一条直线上，结合（1）知，，分两种情况逆时针旋转和顺时针旋转求解即可． 【详解】（1）证明：是等边三角形， 连接，如图， ∵沿翻折，点的对应点， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， 则， 那么，是等边三角形； （2） ∵沿射线平移得到 ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵沿翻折，点的对应点， ∴， 则四边形为菱形， ∵ ∴ ∵， ∴，， 则； （3）过点作交于点F，连接，如图， ∵继续沿射线平移得到， ∴四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴点F为中点， ∴，得， 那么，D、F、和M在同一条直线上， 由（1）知，， 当逆时针旋转时得到，则位于直线上， ∵点F为中点，， ∴， ∵ ∴； 当顺时针旋转时得到，则位于直线上， 由旋转得，，， ∴， 综上所述，的长为3或． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、等边三角形的判定、平移的性质、菱形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质和旋转的性质，解题的关键是熟悉上述所涉及的性质，并熟练掌握各性质之间的关联． 36．（2025·安徽淮北·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网络线的交点）上． (1)先把水平向右平移5个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度，得到，请画出． (2)将以AC边所在的直线为轴进行翻折，请画出翻折后的图形． (3)点P为AB上一点，请用无刻度直尺在上求作一点Q，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了图形的平移、翻折变换的性质，熟练掌握平移和翻折的性质是解题的关键． （1）利用平移的性质，确定平移后各顶点的位置，进而画出平移后的三角形． （2）依据翻折的性质，找出各顶点关于翻折轴的对称点，从而画出翻折后的图形． （3）利用轴对称的性质，通过构造辅助线找到满足条件的点． 【详解】（1）解：根据平移要求，将的三个顶点、、分别水平向右平移个单位长度，再竖直向下平移个单位长度，得到、、，然后依次连接、、得到． 如图． （2）解：以边所在直线为轴进行翻折，分别找出点关于的对称点，然后连接、，得到翻折后的图形，如图． （3）解：连接与相交，作以为端点，过与的交点作射线，交于，则为所求． 37．（2024·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，已知点，A为坐标系中任意一点．现定义如下两种运动：P运动：将点A向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，再将点绕点O逆时针旋转，得到点； Q运动：将点A绕点O逆时针旋转，得到点，再将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点． (1)如图，已知点，，点A分别经过P运动与Q运动后，得到点，． ①若，请你在下图中画出点，的位置； ②若，求m的值． (2)已知，点A，B分别经过P运动与Q运动后，得到点，与点，，连接，．若线段与存在公共点，请直接写出此时线段长度的取值范围（用含有t的式子表示）． 【答案】(1)①见详解；② (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，平移的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①根据P运动和Q运动的运动方式求解即可; ②首先表示出点的坐标为，的坐标为，然后根据得到，进而求解即可； （2）由题意得：，设，经过P运动，则，则；Q运动后，，，则即可求解． 【详解】（1）①作图如图所示： 由P运动知，由旋转得，， 而， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 由Q运动同理可求，再向右平移1个单位，向上平移0个单位得到． ②∵， ∴点A经过P运动后得到的点的坐标为 点A经过Q运动后得到的点的坐标为 ∵ ∴， ∴． （2）由题意可得： 由旋转的不变性和平移的性质得：，， 设，经过P运动，则，则； Q运动后，，， 则， ∴当时，线段与存在公共点， ∴， ∴． 38．（2025·河北廊坊·一模）情境：正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，我们可以通过以下几种方式获得正方形．（说明：纸片折叠过程中无缝隙、无边沿重叠） 操作： （1）如图1，将纸片沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个四边形．当四边形为正方形时，直接写出与的数量关系． （2）如图2，将平行四边形沿，折叠后，点和点在点处重合，点落在点处．若四边形为正方形，，求平行四边形的面积． 探究： （3）如图分别为梯形四条边的中点，梯形上底与下底的和为高的2倍，请根据以上信息画出一种裁剪方式，使裁剪后的四块图形打散后能够拼成一个正方形．（裁剪线用虚线，并标注清楚相应的几何符号） 【答案】（1）；（2）；（3）作图见解析 【分析】本题考查四边形综合，涉及折叠性质、正方形性质，读懂题意，发挥空间想象能力构造图形是解决问题的关键． （1）由折叠性质、正方形性质，数形结合即可得到答案； （2）由折叠性质、正方形性质，数形结合即可得到答案； （3）如图所示，沿着虚线剪开，利用旋转和平移即可组合成一个正方形． 【详解】解：（1）由折叠性质可知，，， ，即， 当四边形为正方形时，， 与的数量关系是； （2）由折叠性质可知，， ， 若四边形为正方形，，则， ， 平行四边形的面积为； （3）沿着虚线剪开，如图所示： 将四边形绕着点顺时针旋转，使与重合；将四边形绕着点逆时针旋转，使与重合；如图所示： 沿着剪开，将与重合，如图所示： 即可构成一个正方形． 一、单选题 1．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的性质，平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，据此求解即可． 【详解】解：依题意，观察四个选项，能用其中一部分平移得到的是A选项． 2．（2026·山东青岛·一模）如图，放在边长为1个单位的小正方形网格中，点、、均在格点上，先将绕点逆时针旋转得到，再将向下平移3个单位得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，如图： 则点的坐标是． 3．（2026·安徽安庆·一模）如图，在中，，将沿方向平移至处，此时点恰好为边的中点，连接，若，，则长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由平移的性质求得，根据直角三角形的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵将沿方向平移至处， ∴， ∴， ∵，点为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）关于轴对称得到的新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为，再根据关于轴对称的特点可得新抛物线的顶点坐标为，然后利用新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12,列绝对值方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线（为常数）关于轴对称得到的新抛物线， ∴新抛物线的顶点坐标为， ∵新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12， ∴，解得：或，即选项D符合题意． 5．（25-26九年级下·上海·开学考试）如图，矩形中，，，以为圆心，半径分别为和画圆，分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为轴作点的对称点以及的对称圆，连接交、于点、，则就是最小值，再利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，以为轴作点的对称点以及的对称圆，连接交、于点、，则就是最小值， ∵矩形中，，的半径为， ∴，，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∴最小值为． 6．（2026·广东汕头·一模）在平面直角坐标系中，点坐标为，在轴上找点，使得的值最小，则此时的点的坐标及的最小值分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 【答案】B 【分析】作点关于轴的对称点，连接、，与轴于点，过点作交于点，交轴于点，过点作交于点，根据对称的性质得出，，，根据特殊角的三角函数值求出，得出，结合垂线段最短得出当点为与轴的交点时，的值最小，最小值为的长，求出，根据特殊角的三角函数值求出，求出，求出，求出点的坐标，即可求解． 【详解】作点关于轴的对称点，连接、，与轴于点，过点作交于点，交轴于点，过点作交于点，如图： 则坐标为， ∴，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 当点、、三点共线时，即，的值最小， 此时， ∴当点为与轴的交点时，的值最小，最小值为的长，即点与点重合， ∵，， ∴， 在中，， 即， ∴， 即的最小值为． ∵，， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴， ∴点的坐标为． ∴使得的值最小时，点的坐标为，的最小值为． 7．（2026·广东汕头·一模）如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点A在x轴上，，，．将绕点A顺时针旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于，则，根据旋转的性质得，，利用平角的定义求得，在中利用三角函数的知识求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作轴于， 则， ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴点的坐标为． 8．（2026·河南·一模）在平面直角坐标系中，正方形位置如图所示，边长为1，每一次将正方形绕点O逆时针旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到正方形，第二次旋转得到正方形，…，以此类推，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意，， 每点所在象限每4个点为一个循环，横纵坐标的绝对值为， 又， 点在第三象限，坐标为． 9．（2026·山东青岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，，然后利用解直角三角形求得点坐标，接着求出第1次旋转后，第2次旋转后，第3次旋转后，第4次旋转后，发现 4次为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵边长为2的正六边形的中心与原点重合， ，； ， 是等边三角形， ， ∵， ， ∵轴，， ∴， ，， ； ∵将绕点顺时针旋转，每次旋转， ∴第1次旋转，得，第2次旋转，得，第3次旋转，得，第4次旋转，得， 4次为一个循环， ， ∴第2026次旋转结束时，点的对应点的坐标与相同， 即为． 二、填空题 10．（2026·广东佛山·一模）如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_____； 【答案】12 【分析】由平移的性质得到，求出，再由求解即可． 【详解】解：∵将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，平移距离为3，且， ∴， ∴， ∴． 11．（2026·安徽·一模）如图，在中，，点A，B均落在坐标轴上且，点C的坐标为，将向上平移得到，若点、恰好都在反比例函数的图象上，则k的值是_________． 【答案】36 【分析】过点C作轴于点，过点B作，交直线于点，证明，求出的长度，进而求出点的坐标，设向上平移个单位，用表示出点和点的坐标，根据两点都在反比例函数图象上，即可求出的值． 【详解】解：过点C作轴于点，过点B作，交直线于点， ∴， ∵， ， ∵， ∴； ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ， ， 设向上平移个单位，则， 又∵点和在该反比例函数的图象上， ∴， 解得， ． 12．（2026·河南周口·一模）如图，在扇形中，已知，，正方形的顶点、、分别在、、上，把正方形的沿直线向右平移，得到正方形，其中点的对应点恰好与重合，如图所示，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】先求出正方形的边长，再结合扇形及三角形的面积公式求出正方形中空白部分的面积，据此可解决问题．熟知图形平移的性质及正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∴， 由平移可得：，， ∴，， ∴， ∴正方形的面积为：，， ∵， ∴阴影部分的面积为：． 13．（2026·福建泉州·一模）如图，将一块直角三角尺（，）沿射线方向平移到三角尺的位置，点A的对应点为点D．若，，则的长为________．    【答案】4.5 【分析】先根据图形平移性质求得，再求出的长度，最后根据“直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半”求得的长． 【详解】解：∵直角三角尺沿射线方向平移到三角尺的位置，点A的对应点为点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴． 14．（2026·山东青岛·一模）【构建新定义】 在平面中，如果将一个三角形先进行一次轴对称，再进行一次平移变换后，与另一个三角形能完全重合，那么我们称这两个三角形互为“镜移三角形”，并将轴对称变换中的对称轴称为“镜移轴”． 【理解新定义】 (1)如图1，在中，，点D是的中点，点E，F分别在，上，且，．请写出图中的一对以所在的直线为“镜移轴”的“镜移三角形”：____． 【应用新定义】 (2)如图2，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点A作的垂线，垂足为F，交于点M，过点E作的垂线，垂足为N，与互为“镜移三角形”，若的面积为2，则的面积为____． 【拓展新定义】 (3)如图3，在矩形中，，，E是的中点，F是的中点，那么与互为“镜移三角形”，则其“镜移轴”与直线所夹的锐角为____；若“镜移轴”过的中点，则平移的距离为____． 【答案】(1)与（答案不唯一） (2) (3)， 【分析】（1）根据“镜移三角形”的定义判断即可； （2）根据“镜移三角形”的定义和相似三角形的性质可得的面积； （3）两个三角形可以通过平移重合，首先两个三角形要是全等三角形，其次要两个三角形对应边平行且方向相同或者在一条直线上，或者是两个三角形对应点的连线平行且相等，据此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，作与关于成轴对称，连接，连接交于点， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ， ∵，， ，， ， ∴点为中点，点为中点， ∵，点D是的中点， ∴， ∵与关于对称， ∴，， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理可得：，， ∴，且对应点的连线互相平行且相等，即，， ∴将沿着方向平移的长度即可与重合， ∴与是一对以所在的直线为“镜移轴”的“镜移三角形”． （2）解：∵与互为“镜移三角形”， ∴， ∵， ∴， ∵点D，E分别是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：连接， ∵F是的中点，，， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴与关于对称， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵，、在同一条直线上， ∴与全等，且对应边平行且方向一致， ∴沿着方向平移4即可与重合， ∴与是以所在的直线为“镜移轴”的“镜移三角形”， ∵四边形是正方形， ∴， ∴与的其他“镜移轴”都与平行，即与的“镜移轴”与直线所夹的锐角为， 取的中点，作交于， ∴即为与过的中点的“镜移轴” 过作交于点，过作交延长线于， ∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴点为中点， ∵， ∴， ∴关于对称， 同理：关于对称， ∴作与关于对称，点、点在直线上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴与全等，且对应边平行方向相同或者在同一条直线上， ∴沿着方向平移的长度即可与重合， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴． 综上：与互为“镜移三角形”，则其“镜移轴”与直线所夹的锐角为，若“镜移轴”过的中点，则平移的距离为． 15．（2026·四川绵阳·二模）矩形中，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，若，则______． 【答案】 【分析】过点作，垂足为点，利用勾股定理求得，由旋转可得，，，得到，然后解，求出，再由求解即可． 【详解】解：过点作，垂足为点， ∵矩形中，， ∴，，， 由旋转可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质知，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．（2026·山东济宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为…按此规律，则的值为__________． 【答案】 【分析】找出规律，据此求解即可． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理，，， ∴， 同理，，， ， ∴， ∴． 17．（2026·安徽池州·一模）如图，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点D恰好落在延长线上，已知，，，则的长为________． 【答案】/ 【分析】在上截取，过点A作，根据，求出，由旋转的性质得到，易得，证明，推出，进而推出，结合，得到，利用勾股定理求出，推出是等腰直角三角形，求出，再利用三角形外角的性质求出，利用直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出，即可求出，即可得出结果． 【详解】解：如图，在上截取，过点A作， ∵， ∴， 由旋转的性质得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 18．（2026·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点）．已知点C的坐标为． (1)画出线段关于y轴对称的线段； (2)将先向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到，画出； (3)在线段上找一点P，使得点P在线段的垂直平分线上，写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析，点P的坐标为． 【分析】（1）利用轴对称的性质作出图形即可； （2）利用平移的性质作出图形即可； （3）利用等腰三角形的判定和性质作出图形即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，点P即为所求； 点P的坐标为． 19．（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)画出关于x轴的对称图形； (2)画出向左平移4个单位长度后得到的； (3)画出的中线，并写出点D的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析， 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可； （3）根据三角形中线的定义画出中线，结合图形写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，即为所求． （3）解：如图所示，即为所求，． 20．（2026·浙江湖州·一模）【问题背景】如图所示，某兴趣小组将矩形纸片沿对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，交于点，交于点． 【数学理解】 (1)在平移过程中，线段的长始终与相等，请说明理由； (2)已知，在平移过程中，当两个三角形的重叠部分为菱形时，求移动的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明四边形是平行四边形即可得的长始终与相等； （2）由勾股定理可求得，根据四边形为菱形，可得，，则，可得，可得，，再由，即可求解出． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴由平移可得，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）解：∵矩形中，， ∴，， ∴， 由平移可得，， 设，则， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，即， 解得， ∴移动的距离． 21．（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，，点E在边上，且，动点P从点E出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动，作，交边或边于点Q，连接，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒． (1)当点Q与点D重合时，求t的值； (2)作点E关于直线的对称点F，连接、． ①当点P与点A重合时，求四边形和矩形重叠部分的面积； ②当四边形和矩形重叠部分的图形为轴对称四边形时，求t的取值范围． 【答案】(1)8秒 (2)①；②或或 【分析】（1）当点和点重合时，点在边上，设，则，由勾股定理得，，，则，由此解出，进而可求出t的值； （2）①设交于H，根据矩形的性质得到，，，证明，得到，，进而证明，根据轴对称的性质得到，证明，求出，根据四边形和矩形重叠部分的面积计算即可； ②分三种情况讨论，①如图所示，当点在上时，②当点在上时，当重合时符合题意，此时如图，③当点在上，当重合时，此时与点重合，则是正方形，即可求解． 【详解】（1）解：当点和点重合时，点在边上，如图所示： ∵在矩形中，，， ∴，，． 设，则， 在中，由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ， ∴在中，由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ， 解得：， 秒； （2）解：①当点P与点A重合时，如图所示，设交于H， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点E关于直线的对称点F， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴四边形和矩形重叠部分的面积 ； ②如图所示，当点在上，且四边形和矩形重叠部分的图形为轴对称四边形时， ， 在中，， 则， ， ∴， 在中，， ， 解得， 当时，点在矩形内部， ∴符合题意． 当点在上时，当重合时符合题意，此时如图， 则， 在中，， ， 解得． 当点在上，当重合时，此时点与点重合， 则四边形是正方形，四边形是矩形， ∴， 此时． 综上所述，或或． 22．（2026·甘肃天水·二模）如图，在正方形中，，M为上的一动点，连接，将绕点A按顺时针方向旋转，与的延长线交于点N． (1)如图1，求证：． 【深入探究】 (2)如图2，将沿翻折得到，连接，试探究在点M移动的过程中，的面积是否发生变化．若发生变化，请求出的面积的最小值；若不发生变化，请求出的面积． 【拓展延伸】 (3)如图3，在（2）的条件下，点E在线段上，点F在线段上，连接，．当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积不变，其值为18 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质证明，即可解答； （2）过点N作，垂足为Q．由得出，进而得到，从而证明，得到，根据三角形的面积得到，即可解答； （3）由得到，根据翻折的性质得到，，，因此，根据得到．根据，得到，因此，再由求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， 由旋转可知，， ∴， ∴． （2）解：的面积不发生变化．理由如下： 过点N作，垂足为Q． 由（1）知， ∴． 由翻折可知， ∴， ∴， 即． ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 即的面积不变，其值为18． （3）解：∵， ∴． 由翻折可知，，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴ 由（2）知， ∴， ∴． 23．（2026·河南信阳·一模）综合与探究． 问题情境：如图1，在三角形纸片中，，点在边上，．沿过点的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点，得到，然后展平． (1)猜想证明：判断四边形的形状，并说明理由． (2)拓展延伸：如图2，继续沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在射线上，且折痕与边交于点，然后展平．连接交边于点，连接． ①若，判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)①，理由见解析，②5或． 【分析】（1）由折叠的性质可得，，再根据平行线的性质可得，进而得到，由等角对等边推出，从而证明，即可得四边形是菱形； （2）①由（1）推出，由折叠的性质得到，结合已知可得，进而推出，得到，再根据三角形内角和定理即可求出，即可得到与的位置关系；②分是以为腰为底的等腰三角形和是以为腰为底的等腰三角形两种情况讨论，如图，延长交于点H，设交点为，利用三角形相似的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）①证明：，理由如下： 由（1）知四边形是菱形， ∴， 由折叠的性质得到， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：∵，，， ∴， 当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，延长交于点H，设交点为，则， ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，则， 同理得，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵是以为腰为底的等腰三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 综上，的长为或． 24．（2026·湖北随州·一模）如图，M、N分别是菱形的、边上一点，将四边形沿折叠得四边形，经过点A（注：折叠后）． (1)若点F在菱形内部，延长交于点G，求证：； (2)若，，，求的长； (3)当且时． ①求证：； ②直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①见解析；② 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角函数的应用，折叠的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据平行的性质得到，由折叠性质知：，，证明，即可得到结论； （2）过A作，由折叠性质知：，，在中，，设，则，求出，再根据勾股定理求出，即可得到答案； （3）①延长，交于点H，在菱形中，，，由折叠性质知：，证明，即可得到结论； ②过C作于K，设，，则，，即菱形的边长为7x，由折叠性质知：，，证明，根据相似的性质得到，求出，，即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图1，在菱形中，，， ， 由折叠性质知：，， ，， ， ， （2）解：过A作， 由折叠性质知：，， ，， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ， ， ； （3）解：①延长，交于点H， 在菱形中，，， 由折叠性质知：， ， ， ， ， ， ， ； ②． 过C作于K， 由①可知，， ，， ， 故四边形是矩形， ， ， 设，，则，，即菱形的边长为， 由折叠性质知：，， ， ，， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ． 25．（2026·山东日照·一模）综合与探究：如图，在中，，，点在射线上，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接，． (1)当点落在线段上时， ①如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是 ； ②如图2，当时，请判断线段与的数量关系，并给出证明； (2)当时，过点作交于点，若，猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)①；②，证明见解析 (2)或 【分析】（1）①首先根据题意证明和是等边三角形，然后证明出，最后利用全等三角形的性质求解即可；②首先证明出和是等腰直角三角形，然后证明出，根据相似三角形的性质求解即可； （2）分两种情况：当点D在线段上时，设，则，然后根据勾股定理求出，然后利用等面积法求出，进而求解；同理可求当点D在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：①∵将绕点逆时针旋转，得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． ②，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ． （2）解：如图3，当点D在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴，可得， ∴，即； 当点D在线段的延长线上时， ∵ ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴，解得：， ∴，即． 综上所述，或． 26．（2026·内蒙古·模拟预测）【图形定义】我们给出如下定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 【性质探究】 (1)如图1，四边形是垂美四边形，试探究两组对边， 和， 之间的数量关系； 【理解运用】 (2)已知四边形是垂美四边形，，，，则 ． 【变式探究】 (3)如图2，矩形与矩形，，，，，当、、三点共线时，求的长． (4)将（3）中矩形绕点逆时针旋转，当 最大时，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据垂美四边形的定义，利用勾股定理即可得到结论； （2）利用垂美四边形对边平方和相等的性质计算的长度即可； （3）连接，，，，和相交于点，证明，推出四边形是垂美四边形，利用垂美四边形对边平方和相等的性质计算的长度即可； （4）利用圆的切线的性质和垂美四边形对边平方和相等的性质计算的长度即可． 【详解】（1）解：，理由如下: 由题得， ， ，， ； （2）解：由（1）得， ， （负值舍去）； （3）解：如图，连接，，，，和相交于点， 矩形与矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是垂美四边形， ， ，、、三点共线， ， ， ，， ， ； （4）解：将矩形绕点逆时针旋转， 点在以为圆心，为半径的圆上运动， 为圆外一个定点， 当与相切时最大， ， ， 由（3）得， ， ． 27．（2026·山西吕梁·一模）综合与探究 问题情境：图1是两个全等的等腰直角三角板和，将两者完全重合，且．以的中点O为中心，将顺时针旋转（如图2），设旋转角为(． (1)如图2，在绕点O顺时针旋转的过程中，连接，判断四边形的形状，并证明． 探索发现： (2)如图3，连接，判断线段与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)在绕点O顺时针旋转的过程中，当A，E，F三点共线时，若，请你直接写出的值． 【答案】(1)四边形是矩形，证明见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由全等得，由O是的中点，先证四边形是平行四边形，结合，可得四边形是矩形； （2）连接．由旋转的性质得，，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解； （3）分两种情况，当点F在点A，E之间时，作于点H，证明，根据对应边成比例列式求解；同理，当点F在点A，E之间时，作于的延长线于点H，证明，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形． 证明：由全等的性质得． O是的中点， ， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是矩形． （2）解：． 理由如下： 如图1，连接． 在中，，O是的中点， ． 在中，根据勾股定理可得， 由旋转的性质得，，， ， ， ∴， 即． （3）解：的值为或． 当点E在点A，F之间时，如图2所示，作于点H， 在中，，，O是的中点， ， 由旋转得， ． ， ， 又， ， ，即， 解得，， ， ； 当点F在点A，E之间时，如图3所示，作于的延长线于点H， 同理可得， 综上，的值为或． 28．（2026·河南安阳·一模）几何综合 【方法尝试】 (1)如图，矩形是矩形以点为旋转中心，按逆时针方向旋转所得的图形，，分别是它们的对角线．求证：； 【类比迁移】 (2)如图，在和中，，，，，．将绕点在平面内逆时针旋转，连接，． 请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 当点，，在同一直线上时，求线段的长； 【拓展延伸】 (3)如图，在中，，，过点作，在射线上取一点，连接，使得，请直接写出线段的最大值． 【答案】(1)见解析； (2) ，，见解析；线段的长为或； (3)． 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （）延长交于点，由四边形是矩形，则，通过旋转的性质可知，可得，从而求证； （）延长分别交于点，交于点，证明，所以 ，，从而求解； 分当点落在线段上时，当点在线段上时两种情况求解即可； （）过点作，使得 ，取的中点，连接，，，，证明，则，所以，由勾股定理得，又，从而可得最大值为，当，，三点共线时，取得最大值，此时线段取得最大值，再代入即可求解 【详解】（1）证明：如图，延长交于点， ∵四边形是矩形， ∴， 由旋转的性质可知，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，，理由： 如图，延长分别交于点，交于点， ∵， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，； 如图，当点落在线段上时，设， ∵，， ∴， ∵，， ∵， ∴， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴； 如图，当点在线段上时， 设，则，， ∵， ∴， 整理得，， ∴，（舍去）， ∴， ∴综上所述，线段的长为或； （3）解：如图，过点作，使得，取的中点，连接，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴，即最大值为， ∴当，，三点共线时，取得最大值，此时线段取得最大值， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02几何三大变换热点 (折叠、旋转、平移及综合应用)有关的4类核心题型 目录 第一部分命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向 第二部分方法敖建模构建方法体系，提供通用工具 【结论背记清单】 方法一折叠变换应用及技巧 方法二旋转变换应用及解题技巧 方法三平移变换应用及解题技巧 方法四三大变换综合应用及解题技巧 第三部分题型专攻实施靶向训练，提升应试效率。 【题型01】折叠变换应用 【题型02】旋转变换应用 【题型03】平移变换应用 【题型04】三大变换综合应用 第四部分答题实战检验学习成效，锤炼应用能力 1/40 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 命题解码 ◆ 1.考向聚焦（精炼概括本专题在中考中的核心考查方向与价值） 核心考向1：折叠（轴对称） 一一 高频基础+中档压轴，侧重考查折叠的轴对称性质（对应边、 对应角相等，对称轴垂直平分对应点连线)，常结合直角三角形、矩形、菱形，求解边长、角度、 面积，是中考必考点。 核心考向2：旋转一一压轴核心，聚焦旋转不变性（对应边、对应角相等，旋转角相等），常与 等腰三角形、全等/相似、坐标系结合，考查最值、存在性、图形构造，是区分度核心题型（如 半角模型、旋转构造全等)。 核心考向3：平移一一基础融合型，侧重平移的性质（对应边平行且相等、对应点连线平行且相 等)，多与函数、网格、多边形结合，考查坐标计算、图形面积，难度适中，常作为基础大题或 压轴题铺垫。 共性考向：三大变换均侧重“转化思想”，将分散的条件集中，实现“化繁为简”，贴合中考“几 何直观、逻辑推理”核心素养要求。 2.思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板） 瓶颈1：性质应用不灵活，无法快速关联三大变换的核心性质（如折叠忽略“对称轴垂直平分对 应点连线”，旋转遗漏“旋转角相等”)，导致无法找到解题突破口。 瓶颈2：图形构造能力薄弱，面对旋转、折叠的动态问题，不会通过“还原图形”“构造全等/ 相似”转化条件，难以将动态问题转化为静态问题求解。 瓶颈3：分类讨论不全面，针对折叠中的“落点位置”、旋转中的“旋转方向”（顺时针/逆时针）， 容易遗漏特殊情况，导致漏解；平移问题中忽略定义域（动点范围）。 瓶颈4：几何与代数衔接不畅，在坐标系中遇到变换问题时，不会将图形变换转化为坐标计算， 无法建立几何性质与代数表达式的关联。 02 方法建模 ◆ 回结论当记 一、三大变换核心基础公式（解题地基，必背必用) 核心原则：三大变换均为全等变换，变换前后图形的形状、大小不变，仅位置改变，对应边、对应角、对 应线段长度、对应角平分线/中线/高均相等。 (一)平移基础公式 2/40 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.坐标平移公式（中考高频，适配平面直角坐标系+动点平移） 点P(x,y)沿x轴方向平移：向右平移a个单位一P(x+a,y:向左平移a个单位一P(x-a,y) (a>0) 点P(x,y)沿y轴方向平移：向上平移b个单位一P1&y+b:向下平移b个单位一Pxy-b (b>0) 斜向平移（拓展）：沿与x轴成角方向平移k个单位一P(x+kcosa,y+ksin)(中考偶尔考， 多用于几何最值) 2.平移核心关联公式 平移距离：对应点连线长度（即平移的路程），公式：d=x2x+y2y (两点距离公式， 与二次函数专题衔接)》 平移后线段关系：对应线段平行（或共线)且相等，对应线段所在直线斜率相等(k1=k2) (二)折叠（轴对称）基础公式 1.轴对称核心性质公式 对应点连线：被对称轴垂直平分，即对称轴是对应点连线的垂直平分线 垂直平分线公式：若两点Axy、B(x2y,关于直线对称，则： 对称轴的斜率k与AB的斜率k4B满足：·kAB=-1（垂直) AB的中点（空，学）在对称轴止（平分) 2 2.折叠常用基础公式 折叠后对应边相等：AB=AB、对应角相等：∠A=∠A(核心，用于求边长、角度) 折叠中的勾股定理：折叠后形成直角三角形，可列方程：a2+b2=c2(中考折叠题必考，求边长/ 折叠高度)》 (三)旋转基础公式 1.旋转核心性质公式 旋转中心到对应点距离相等（旋转半径）：OA=OA、OB=0B(O为旋转中心) 旋转角相等：∠A0A=∠B0B=日(6为旋转角，中考常考30°、45°、60°、90°、180°) 2.特殊旋转角坐标公式（中考高频，平面直角坐标系+旋转动点） 3/40 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点P(x,y)绕原点0顺时针旋转90°→P1y,-X) 点P(xy)绕原点0逆时针旋转90°→P1(-y,x) 点P(x,y)绕原点0旋转180°一P（-X-y)(中心对称，中考常考) 点P(x,y)绕原点0旋转60°（拓展）：Pxcos60。-ysin60,sin60.+ycos60。 3.旋转关联公式 旋转弧长（拓展，部分地区中考考）：1=需（为旋转角，r为旋转半径） 二、三大变换万能建模公式&拓展公式（中考解题神器，全国通用） 核心：将三大变换转化为“坐标运算”或“几何等量关系”，适配中考高频题型（最值、存在性、计算）， 直接套用可快速破题。 (一)平移万能建模公式（适配：平移+动点+最值/计算） 2.平移最值万能公式 模型：动点P沿某条直线平移，求PA+PB的最小值(、A、B为定点) 公式：将点A(或B)沿平移方向平移k个单位(k为平移距离)得到A,则PA+PB的最小值=AB(两 点距离公式计算) 关键：平移后转化为“两点之间线段最短”，本质是将军饮马模型的平移变形 3.平移综合建模公式（平移+二次函数/四边形） 若图形ABCD平移后得到ABCD,设平移向量为(a,b),则任意对应点坐标满足：x=x十a, y=y+b(、a、b为平移量，可通过已知对应点求解) 适用场景：求平移后图形的顶点坐标、判断平移后图形与抛物线的交点个数 (二)折叠万能建模公式（中考To1热点，适配：折叠+最值/存在性/计算） 3.折叠求边长/角度万能公式 核心：设未知数→利用“折叠对应边相等”表示各边长度→在直角三角形中套用勾股定理 万能关系式：折叠前边长折叠后边长折叠前边长=折叠后边长，直角边直角边斜边 直角边+直角边=斜边 4/40 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 示例：矩形折叠后，顶点落在另一边，设折叠后重合的边长为x,用矩形边长表示出直角三角形的三 边，列勾股定理求解（中考必考题型） 4.折叠最值万能公式（将军饮马+折叠） 模型：点P是折叠后的动点，求PA+PB的最小值 公式：利用折叠的轴对称性，找到点A(或B)的对称点A(折叠后的对应点)，则PA十PB的最小 值=AB(两点距离公式计算) 拓展：折叠后求点到直线的最短距离，直接转化为“对称点到直线的距离”（垂线段最短） 4.折叠存在性万能公式 模型：判断平面内是否存在点P,使折叠后某两点重合/某图形为特殊图形（等腰三角形、矩形） 公式：①对称点连线的垂直平分线（对称轴）；②折叠后对应边相等、对应角相等；③特殊图形 的判定条件（如等腰三角形：两边相等），联立求解点P坐标 口技法归纳 方法一折叠变换应用及技巧 利用折叠前后图形全等、对应点连线被折痕垂直平分，找等边长、等角度，结合勾股定理、相似列方程求 解。 例题1(2026·内蒙古鄂尔多斯·一模)在平行四边形中，进行如下折叠： D 图1 图2 图3 (I)如图1，将口ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，折痕与BC、AD边分别交于点E、F,求证： CE=AF; (2)如图2，E、F分别是BC、AD边上的动点，连接EF,将口ABCD沿EF折叠，点D落在点D处，点C 落在点C处，EC'交AB于点G,CD分别交AB、AD于点H、K,如果FK=EG,请猜想BE和DF的数 量关系，并说明理由； (3)在图1的基础上，连接BF与AE交于点H,如图3所示，若AB=2,BC=4,∠BCD=60°，请直接写 出△BEH的面积. 5/40 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 例题2(2026·辽宁沈阳·一模)在ABC中，AB=AC=5,BC=8,D是BC边的中点，E是射线BA上 一点，将BDE沿DE翻折得到FDE,点F是点B的对应点. B (图1) (图2) (1)如图1，点E在线段BA上，EF∥BC,EF,DF分别交AC于点G,H. ①求证：四边形BEFD是菱形； ②连接DG,求△DGF的面积； (2)如图2，点E在BA延长线上，DE,EF分别交AC于点M,N.连接BF,CF,若LABF=90°-∠ABC, 求CF的长 例题3(2026·河北石家庄·一模)【主题研究】利用正方形或矩形纸片折叠出特殊度数的角， 【操作1】如图1，对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平.在BC上选一点 P,沿AP折叠AB,使点B恰好落在折痕EF上的点M处.结论是：∠BAP=30°，请你说明理由 【操作2】如图2，己知正方形ABCD的边长为4.按与【操作1】相同的步骤得到折痕EF,连接AF,将 AD沿AF折叠，使点D落在正方形ABCD内的点M处， A D B B 图1 图2 (I)尺规作图：在图2中画出点M的位置，连接FM并延长交BC于点P,连接AM,AP, (2)求∠PAF的度数与BP的长. 6/40 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 方法二旋转变换应用及解题技巧 抓住旋转前后图形全等、旋转角相等、对应点到旋转中心距离相等，构造等腰/直角三角形，转化线段与 角度关系解题。 例题1(2026·贵州遵义·一模)如图，在平面直角坐标系中，己知点P(-2,0),点M是直线 1By-2x+2上的-个动点，连接PM,将PM绕点P逆时针旋转90°到PN,连接ON,则线段ON的最 小值是· B M 力 N 例题2(2026·辽宁沈阳·一模)如图口ABCD中，过点B作BE⊥DC,垂足为点E,将BEC绕点B逆 时针旋转90°得到△BFG,点E落在AB上点F处，点C落在口ABCD内部点G处，延长BG交AD于点H, 连接CG、EF,且CG与EF交于点P,连接BP. D (I)求证：BH⊥AD; (2)求证：BP=PG; (3)在AB上取一点Q,连接DQ、HQ,LA0D=60°，AB=2√万，AD=√万，AH=1,求△ADQ的面积. 例题3(2026·辽宁沈阳·一模)在ABC中，AB=BC=V5,∠ABC=90°，点D在BC边上，BD=2, 以BD为一边做等腰Rt△BDE,其中∠BDE=9O°，BD=DE,点E在BC上方. 7/40 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)如图1，BE与AC交于点F,求EF的长： (2)将图1中的BDE绕点B逆时针旋转o(0°<a<90°)， ①如图2，当a=30°时，BE与AC交于点F,求EF的长； ②如图3，当点A在边DE上时，连接CE,求CE的长. 方法三平移变换应用及解题技巧 依据平移后图形全等、对应线段平行且相等，结合坐标平移规律，转化线段位置与长度关系。 例题1(2025·河南周口·一模)综合与实践 学完图形的平移后，小慧为了加深理解，对其进行了进一步探究. 【模型感知】 (1)她把边长为3的正方形纸片ABCD沿着对角线AC剪开，如图1.然后固定纸片ABC,把纸片 △ADC沿剪痕AC的方向平移得到△A'D'C',如图2.连接A'B,DB,D'C,在平移过程中： ①四边形A'BCD'的形状始终是 (点A与点C重合时除外)； ②求A'B+D'B的最小值， 【拓展探究】 (2)如图3，她把正方形改为边长为1的菱形ABCD,∠DAB=60°，将△4ADC沿射线AC的方向平移得 到△A'D'C',连接A'B,D'B,DC,请直接写出AB+D'B的最小值. D' D D D B B 图1 图2 图3 8/40 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 例题2(2025·山西长治·三模)综合与探究 问题情境： A D D M G B G D 图1 图2 图3 图4 如图1，在正方形ABCD中，E,F,G分别是AB,BC,AD边上的点，连接DE,GF.若DE⊥GF, 判断DE与GF之间的数量关系.老师在课堂上给出如下分析：将GF沿AD方向平移到DH,连接CH·根 据平移的性质，可判断四边形DGFH是平行四边形，再证明△ADE≌△CDH,得到DE=DH,继而得到 DE=GF. 尝试初探： (1)老师提出该问题的变式问题：将正方形ABCD改为菱形ABCD,∠A=60°，如图2，E,F,G分别 是AB,AD,BC边上的点，连接FG与DE交于点M,若∠EMG=60°，猜想DE与FG之间的数量关系， 并说明理由， 通过探究发现，可以利用平移这一手段，将有些条件集中在一起来解决问题， 迁移应用： (2)如图3，在ABC中，点D,E分别在BC,AB边上，且AD=CE,AD,CE交于点O, ∠A0E=60°，判断AE+CD与AD的大小关系，并说明理由. 拓展探究： (3)如图4，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,AB边上，过点F作FG⊥AE于点H,交CD边于 点G,连接EF,AG.若AB=6,CE=2BE,请直接写出AG+EF的最小值. 例题3(2026·山西晋中·一模)综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景探索几何元素之间的关系.己知在矩形ABCD中，AB≤BC,E,F 分别是B,BC的中点，点G在BC边的延长线上，且CG=,连接DE,DF,DG. AE BC 9/40 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B F 图1 图2 备用图 (1)特例分析：如图1，小睿同学画出了AB=BC时的图形，并提出如下问题，请你解答：猜想线段FG与 EF的数量关系，并证明你的结论： 拓展探究：小玫同学继续进行探究.如图2，已知在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,她提出如下问题，请 你解答： (2)①求此时 的值： EF ②将图2中的△DEF从当前位置开始，沿射线BC的方向平移得到△D'E'F'(其中点D',E',F'分别是点 D,E,F的对应点)，点P是平面内的一点，请直接写出以点D',E',G,P为顶点的四边形是菱形时，△DEF平 移的距离。 方法四三大变换综合应用及解题技巧 先识别折叠/旋转/平移类型，利用变换的全等性质，结合勾股、相似、坐标法，分类讨论求解综合问 题。 例题1(2026·陕西西安·三模)问题探究 D P B D B F 图1 图2 图3 (1)如图1，在Rt△ABC中，BC=8,AC=6,点D是AB的中点，点P是BC上一动点，则DP+AP的最小 值为一； (2)如图2，在等边ABC中，AB=6,点D,E分别在边BC,AC上，且BD=CE,连接AD,BE交于 点F,连接CF,CF的最小值是多少？ (3)问题解决：如图3，一家养老院的平面示意图可抽象为直角梯形ABCD,经测量可得∠ABC=90°， AD=100√5m,AB=430m,老年公寓位于点F处，且BF=60√5m,根据养老院规划，需要在边AB上建 立一个半径为20m的餐厅，即半圆00，并在半圆⊙0的三等分点M处设置餐厅入口，在半圆与AB交点 10/40 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 N处设置餐厅出口，同时以直角梯形ABCD的AD边建设以点P为入口的老年活动中心△ADP,因活动中心 场地规划需求，要使∠APD=90°.线段MF、PN是要修的两条道路，为节约成本，希望MF+PN最小， 试求MF+PN最小值及此时AN的长. 例题2(2025·天津河东·一模)在平面直角坐标系中，O为原点，点A6,0),点B在y轴的正半轴上， ∠AB0=30°，aBCO是等边三角形，点C在第二象限. y B B E H O A O 图① 图② (1)填空：如图①，点B的坐标为 ,点C的坐标为 (2)将△BC0沿x轴向右平移得到B'C0,点B,C,O的对应点分别为B,C,O', ①如图②，设O0'=t,△B'C'O'与△AB0重叠部分的面积为S.当B'C'O'与△ABO重叠部分为五边形时， B'O',B'C',CO'分别与AB,B0相交于点E,F,G,H,试用含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范 围； ②连接AB、OC',当AB'+OC'取得最小值时，求点C的坐标（直接写出结果即可）· 例题3(2026·辽宁营口·一模)己知ABC中，AB=AC,∠B=a,点D是边BC上任意一点（不与 点B,C重合)，将△ABD沿AD所在直线翻折，点B的对应点为点E. 11/40 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图1 图2 B 备用图1 备用图2 (1)如图1，过点A的直线I∥BC,当点E在直线1上时，请画出点E和折痕AD(尺规作图，保留作图痕 迹，不写作法)，判断此时四边形ABDE的形状，并说明理由； (2)连接EC并延长，与AD的延长线相交于点F, ①如图2，若AC=5,BC=8,当DE⊥AC时，求DF的长； ②当点D与BC中点不重合时，猜想AF,CF,CE的关系（用含有的式子表示），并说明理由 例题4(2026·河北石家庄·一模)如图1，将ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在 BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰aDHC的底边上的高线EF,HG折叠，折叠后的三个三角形拼 合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这 样的矩形称为叠合矩形， 图2 多 图4 备用图 (I)将▣ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG,则操作形成的折痕分别是线段 S矩形AEFG:S ARCD= (2)口ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH,若EF=5,EH=12,求AD的长 (3)如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC,AD<BC,AB⊥BC,AB=8,CD=I0小明把该纸片折叠， 得到叠合正方形.请你帮助画出两个不同叠合方式的叠合正方形的示意图，并直接写出AD,BC的长， 12/40 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 例题5 (2026·陕西·一模)【问题背景】在几何学习中，利用旋转的性质可以将一些零散、难以关联 的条件进行有效转化，从而使题目变得简单。 D 图1 图2 (1)【问题提出】如图1，在等边ABC中有一点P,AP=3,BP=5,CP=4,求∠APC的度数； (2)【问题解决】如图2，某地计划新建一个四边形的休闲场所（四边形ABCD),在点A,C处修建两个管 理室，且两个管理室A,C的距离为600m,根据设计要求，将休闲场所分为△ABD与△BCD两部分，其中 在△ABD中，∠A=90°，AB=AD,用来作为游乐场，由管理室A负责管理；在△BCD中，∠BCD=45°， 将它作为开心农场，由管理室C负责，为了容纳更多动物，要求开心农场的面积尽可能大，请你利用所学 知识求出开心农场（△BCD)的最大面积. 例题6(2026·河北沧州·一模)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,将边AB绕点B顺时针旋 转a(0°<a<I80)得到A'B,连接AA',过点B作BF⊥AA于点E,交矩形ABCD边于点F,连接AF, 备用图 (1)当点F在边AD上时，∠BA'F的度数为； (2)连接DA',在旋转过程中求出DA'的最小值，并求出此时DF的长； (3)若点A到直线BC的距离为3时，求边BA扫过区域的面积； (4)连接DE,直接写出DE的最小值 例题7(25-26九年级上·重庆·期末)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,点E在直线BC上， 点D是平面内一点，连接AD. 13/40 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B B E 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠B4C=60°，点E在线段BC上，BE=}4AC=2√5，连接4E,将AE绕点A逆时针旋转60° 至AF,连接FC,点D为AC中点，连接FD,求出此时△ADF的面积： (2)如图2，若LBAC=120°，点D在ABC外部，点E,点F分别是BC,AD的中点，连接EF,将EF绕 点F顺时针旋转120°至FH,连接BH,BD,HD,试猜想线段BH和BD的数量关系，并证明； (3)如图3，若LBAC=60°，若点D是平面内一动点，连接DC，,将△ADC沿AD翻折得△ADQ,当B,D, Q三点共线时，在线段0上取一点N,使BN-号0C,京E是直线BC上的对点，将柜绕点E顺时针旋 转120°至EK,连接KN,当KN取最小值时，直接写出 △ABD的值， SABCK 03 题型专攻 ◆ 【题型01】折叠变换应用（共10题） 1.(2026·湖北·模拟预测)如图折叠一张长方形纸片，已知∠1=70°，则∠2的度数是() A.55 B.70° C.20° D.110 2.(2026·河南周口·一模)如图，在ABCD中，将△ADC沿对角线AC折叠后，点D恰好落在DC的 延长线上的点E处.若AB=2,BC=4,则BE的长是() D A.22 B.3 C.23 D.25 14/40 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.(2026·江苏连云港·一模)如图，在平面直角坐标系中，菱形0ABC的边0C在x轴正半轴上，D为 OA边上一点，连接CD.将菱形OABC沿CD折叠，点O落在点E处，CE⊥AB于点F,若点F的坐标为 (5,4),则点D的坐标为() B.97】 2015 c(9别 D. 1525 7’7 4. (2026·江西南昌·一模)如图，在菱形ABCD中，AB=3,∠B=120°，点E是对角线AC上任意一点， 连接DE,将线段DE沿着直线AD翻折，得到线段DF，若△AED是等腰三角形，则E,F两点间的距离 不可能为() F B A.6 B.3√5 C.3 D.√5 5.(2022·江西赣州·模拟预测)如图，在aABC中，∠BAC=60°，∠C=80°，将aACD沿AD折叠，使 点C与AB上的点E重合，若CD=4,则BE的长为 6.(2026·江西吉安·模拟预测)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，D,P分别为AB,BC 上的动点，将△BDP沿直线DP翻折（点B的对应点为B),使射线PB恰好经过点A,若△PAB为等腰三 角形，则∠ADP的度数为 A D B 15/40 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.(2026·广东深圳·二模)如图，在ABC中，∠B=90°，∠C=30°，D,F分别是BC,AC边上一 点，将△ABD沿AD折叠得△AED,CDF沿DF折叠得△EDF,若AB=2,则EF=· E D 8.(2026·山东淄博·一模)【问题情境】 某数学兴趣小组在学习了图形旋转的相关知识之后，在等腰三角形纸片上进行了关于旋转的研究性学习. ABC中，AB=AC=2,同学们在边BC上取点D,连接AD,将△ACD以点A为中心旋转，由于同学们 所取点D的位置不同，∠BAC的角度大小不同，产生了以下两种方案， D B(C H D B(C H C 图1 图2 图3 【探究感悟】 小明方案：取∠BAC=90°，旋转△ACD使点D的对应点D落到线段BC上； (1)如图1，小明发现，此时点C的对应点C与点A的连线恰好平分∠BAC,则线段CD的长是； 【深入探究】 小刚方案：如图2，旋转△ACD使点C的对应点C落到点B上，折叠ABC使点B与点D重合，折痕为EH (2)在图2中找出与∠ADE相等的角，并证明； (3)如图3，F为线段AD上的点，EF∥BC,若EF=二BE,求CD的长. 9.(2026·辽宁铁岭·二模)在ABC中，点D在AB上，连接CD,将△BCD沿CD翻折得到△ECD, 点B与点E是对应点， 16/40 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 O D B B 图1 图2 图3 CE ED (1)如图1，若点E落在AC上，求证： AC AD ②)如图2，∠ABC=90°，点E落在ABC的内部，DE的延长线交AC于点F,若CF=44F时，求DF的 AD 值； (3)如图3，在(2)的条件下，若CE平分∠ACB,BD=5时，求AD的长 10.(2026·山东德州·一模)综合与实践 【问题情境】 数学兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究.将矩形纸片ABCD先沿EF折叠，折痕与边AD,BC分别 交于点E,F,点C的对应点记为C,点D的对应点记为D. D D H A -D C .D 图1 图2 图3 (1)【特例探究】 角的探究：如图1，连接BC',CD与AD交于点H,当点B,C,D三点共线时，与∠BFC'相等的角为 (写出一个即可)； (2)线段的探究：如图2，当F为BC的中点时，点C恰好落在AD边上. ①猜想AC',DE,FC'三条线段的数量关系，并说明理由； ②延长DC交AB于点G,连接GF,BC',判断GF与BC'的位置关系，并说明理由. (3)【深入探究】 如图3，将矩形纸片ABCD更换为平行四边形、∠ABC=60°，AB=2,AD=4,F为BC的中点，当CD所 在直线垂直于平行四边形ABCD的一边所在直线时，直接写出DE的值. 17/40 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型02】旋转变换应用（共11题） 11.(2026·辽宁营口·一模)如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=4,点E是CD边上任意一个点，连接 AE,将AE绕点E顺时针旋转90°得到EF,连接CF,则线段CF最小值为() F B A.62 B.45 C.4√2 D.8 12.（2026·广东佛山·一模)如图，在正方形ABCD中，将边AB绕点A逆时针旋转至AE,若 ∠BEC=90°，则coS∠BCE=() D A. C.② D. 3 5 13. (2026·黑龙江佳木斯·一模)如下图，在正方形ABDE中，连接AD,将含30°的三角板放在如 图△ABC的位置上，∠C=30°，AB=2,将三角板ABC绕点B顺时针旋转到△A'BC'的位置，旋转角是 一个锐角，并且使AC'I‖AD,A'C'交BC于点F,求BF的长是() C E D B A. 6 2 B.6 D.6 3 C.6 18/40 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 14.(2026·江苏扬州·一模)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=3V5.点D是AC上的一 点，且CD=√3，P为边AB上的一个动点，连接PD,将PD绕点D顺时针旋转60°得到线段DQ,连接 BQ,点P在从A向B运动的过程中，线段BQ的最小值为() D A.4 B.25 C.2 D.5 15.(2026·山东德州·一模)如图，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG,若AB=1, 则CF的长为， G D 16.(2026·安徽马鞍山·一模)如图，ABC中，∠BAC=90°，BC=10,D为AB边的中点，将线段 BD以B点为中心逆时针旋转90°得到线段BD',连接CD (1)若AC=6,则BD长为 (2)CD'长最大为 17.(2026·辽宁沈阳·一模)如图，在平行四边形ABCD中，AB=6,BC=5,∠A=60°，点E在边AB 上，AE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转60°得到线段DF,连接EF交对角线BD于点G,作 GM⊥DE于点M,GN⊥DF于点N,则GM+GN= 19/40 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 18. (2022·江西赣州·模拟预测)如图，在正方形ABCD中，AB=√2，点E是BC上一点，连接AE, 将AE绕点E顺时针旋转90°得到EF,连接DF、CF,若DC=CF,则△EFC的面积为 D E C 19.(2022·湖北十堰·模拟预测)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°.点E,F分别为 AB,AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E,F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到 AG,连接GC,BH. E E B 图1 图2 (1)证明：△AHB≌△AGC; (2)如图2，连接GF,GH,GH交AF于点Q. ①证明：在点H的运动过程中，总有LHFG=90°； ②若AB=AC=2,当EH的长度为多少时，△AQG为等腰三角形？ 20.(2026·江苏扬州·一模)综合与探究 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加 辅助线，所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角 形的有关知识来解决问题的方法。 如图1，在Rt△ABC中，取BC的中点O,连接A0并延长，使得AO=OD,连接BD、CD,四边形 ABDC为平行四边形. 20/40 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 】 图1 图2 图3 备用图 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将Rt△ABC保持固 定，RtAADE绕点A按逆时针方向旋转，其中∠ACB=∠AED=90°，若∠ABC=30°，当点E落在AB边上 时，连接AE并延长，使得CE=EF,连接AF、BF,判断四边形ACBF的形状，并说明理由. 深入探究： (2)如图3，当RtAADE绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接CD、BE,取BE的中点P,连接AP交CD 于点Q,试判断AP和CD的数量关系和位置关系，并说明理由. 拓展延伸： (3)当RtAADE绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接BE,M是射线AC上的一点，连接DM,过点A作 DM的垂线交BE于点G,若G是BE的等分点，请直接写出C的值， 21.(2026·广东深圳·一模)综合与探究：菱形ABCD中，AB=2,∠A=120°，连接BD,P是BD上 的动点，将CP绕点C顺时针旋转120°得到CQ 图1 图2 图3 (1)如图1，连接DQ,求证：AD⊥DQ: (2)如图2，连接PO交CD于E,当△CEP是等腰三角形时，求BP的长度； (3)如图3，连接P2交CD于E,连接AP,记△CEP的面积为S,△APD的面积为S2,求 的取值范围. 【题型03】平移变换应用（共11题） 21/40 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 22.(2026·河北廊坊·一模)如图，美工组用机械臂绘图时，对平面直角坐标系中的菱形 ABCD执行了两步操作：先以0为位似中心将菱形放大为原来的2倍，然后拖动菱形平移，得 到菱形A'B'CD'.已知A-5,0),D(0,6),C'8,-2,若菱形ABCD内部一点F经过上述操作后得 到的对应点F与它本身重合，则点F的坐标是() A.（2,2 B.(1, C.（-1,2) D.(2,I 23.(②026·陕西西安·模拟预测）如图，已知直线y-1经过点1和点，其中点4在轴 上，点B的横坐标为10，若将线段AB平移至CD,点A的对应点C的坐标为(6,2)，则点D的 纵坐标是() B 衣 A.3 B.4 C.5 D.6 24.(2026·河南商丘·一模)如图，ABC中，∠ABC=120°，AB=BC,将ABC沿射线BC方 向平移得对应△DEF,过点B作B01AC,垂足为O,BO交DE于点P,若AC=43,CE=3BE, 则PD的长是() D A.4 B.4V5 C.3 D.25 22/40 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 25.（2026·山东青岛·一模)无人机编队表演，在空中先组成如图所示的菱形图案ABCD, 然后整体向右平移5个单位长度，再绕点A的对应点A逆时针旋转90°得到菱形A'B'C'D',此时 点B的对应点B的坐标为() 6 2 -6-5-43-2-10 123456 6 A.(4,1 B.（2,3 C.（-1,5) D.(0,-1 26.(2026·河南周口·二模)如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将△ABD沿 着射线BD的方向平移，得到aEFG,连接CE,ED,FC,则△CEF周长的最小值为 27.(2026·河北张家口·一模)平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为“整点”. 整点每次平移的规则：横纵坐标之和除以5，若余数为0该点向下平移1个单位，若余数为1 向右平移1个单位，若余数为2向上平移1个单位，若余数为3向左平移1个单位，若余数为 4不动.已知整点P(x,)满足x+y=6,连续平移6次后恰好落在直线y=x-6上，则点P平移 前的横坐标为 28.(2026·江苏无锡·一模)如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上， 01=4,OB号5，C为x轴正半轴上一点，以0C为一边在第一象限内作等边：0cD,使得D 点恰好落在线段AB上，D点坐标为 ,将aOCD沿x轴的正半轴向右平移得到aOCD', 当AB将aOCD的面积分为1：2两部分时，O0'的长为 23/40 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 29.(2026·安微芜湖·二模)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线 段AB和BC的端点均为格点（网格线的交点）， B (1)将线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到线段AB,画出线段 AB.; (②)将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段A,B2,画出线段A,B2; (3)线段AB,与BC交于点D,则∠A,DC的大小为 30.(2026·山西大同·一模)综合与实践 数学课上，同学们以含60°角的平行四边形为载体，开展了平移、折叠、旋转的综合实践活动.如 图1，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，∠BDC=90°，BC=4. 图1 图2 图3 各用图 【智慧小组一一平移探究】 (1)如图2，将△ABD沿着射线BD方向平移，得到△A'B'D',点A,B,D的对应点为A,B',D'.当 四边形A'BCD'为矩形时，求平移的距离. 【善思小组一一折叠探究】 24/40 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图3，将△BCD沿着BD折叠得到△BCD,点C的对应点为C,连接BC,C'D,AC'.猜想 四边形ABDC'的形状，并证明你的猜想。 【探索小组一一旋转探究】 (3)将△BCD绕点D顺时针旋转得到△FED,点B,C的对应点分别为点F,E,当△FBC为以BC 为底的等腰三角形时，请你直接写出C℉的值 31.(2026·天津和平·一模)在平面直角坐标系中，0为原点，直角A0B的顶点A(0,5), B(5V5,0),等边aDEF的顶点E(0,3),F-V5,0),顶点D在第二象限. D E G FO B B 图① 图② (1)填空：如图①，∠EF0的度数为_°，点D的坐标为_； (2)将等边aDEF沿水平方向向右平移，得到等边△D'E'F',点D,E,F的对应点分别为D,E ,F,设EE'=t,等边△D'E'F'与直角三角形AOB的重叠部分的面积为S. ①如图②，若边D'F'与边OA相交于点G,当△D'E'F'与AOB重叠部分为四边形EEF'G时，试用 含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范围； ②当9：小，求8的取值范阳直接号出结失即可) 2 32.(2026·天津河东·一模)在平面直角坐标系中，0为原点，等腰A0B的顶点A4,0), LBAO=90°.四边形0CDE是正方形，点C是OB的中点，点D在y轴上 D' B B M H C G A x 图① 图② (1)填空：如图①，点B的坐标为 ,点E的坐标为 (2)将四边形0CDE沿x轴向右平移得到四边形0'CD'E',点O,C,D,E的对应点分别为O, C,D,E,设00'=t. 25/40 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (i)如图②，当四边形0'CD'E'与A0B重叠部分为五边形时，O'C',CD,E'O'分别与AB, BO相交于点G,H,M,N,试用含有t的式子表示线段MH,并直接写出t的取值范围； (ii)设平移后四边形0'CD'E'与AOB重叠部分的面积为S,当3≤S≤5时，求t的取值范围（直 接写出结果即可). 【题型04】三大变换综合应用（共6题） 33.(2024·河南周口·二模)如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,点E为AB上一点，将 △BCE沿CE折叠，点B的对应点F恰好落在对角线AC上，再将△CEF沿射线CA平移得到 △C'E'F',当AB在△CE'F'区域内的线段GH的长度为1时，△CEF平移的距离为 F G H 34.(2024·贵州贵阳·一模)如图，ABC是边长为2的等边三角形，将ABC沿直线AC翻 折，得到△ACD,再将△ACD在直线AC上平移，得到△A'C'D'.连接A'B,D'B,则△A'DB的周长 的最小值是· D 35.(2024·河南周口·模拟预测)问题背景：如图1，在四边形ABCD中， BC=25,CD⊥AD,∠ABC=30°，∠ACB=90°，将△ACD沿AC翻折，点D的对应点E恰好落在AB边 上 D D H A E(A) B E 图1 图2 备用图 26/40 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)操作探究 连接DE,判断aCDE的形状，说明理由； (2)探究迁移 将△ACD沿射线AB平移得到△A'C'D'(点A、C、D的对应点分别为A、C'、D'),当点A的对应 点A与点E重合时，求四边形AED'D的周长； (3)拓展创新 将△ACD继续沿射线AB平移得到△A'C'D'(点A、C、D的对应点分别为A、C'、D'),A'C'与BC 交于点M,且BM=CM,将△A'C'D'绕点M在平面内自由旋转，当C'D'∥CE时，直接写出AA'的 长 36.(2025·安徽准北·三模)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， ABC的顶点均在格点（网络线的交点）上 (1)先把ABC水平向右平移5个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度，得到△A,B,C,请 画出△AB,C. (2)将ABC以AC边所在的直线为轴进行翻折，请画出翻折后的图形△AB,C. (3)点P为AB上一点，请用无刻度直尺在AB2上求作一点Q,使AP=AQ. 37.(2024·北京通州·一模)在平面直角坐标系x0y中，已知点M(m,n),A为坐标系中任意 一点.现定义如下两种运动：P运动：将点A向右平移m个单位长度，再向上平移个单位长 度，得到点4，再将点绕点0逆时针旋转90°，得到点A; 27/40 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 Q运动：将点A绕点0逆时针旋转90°，得到点A,再将点向右平移m个单位长度，再向上 平移n个单位长度，得到点A. (1)如图，己知点A(1,1),M(m,0),点A分别经过P运动与Q运动后，得到点A,4. ①若m=1,请你在下图中画出点A,A的位置； ②若A42=2,求m的值， (2)已知AB=t,点A,B分别经过P运动与Q运动后，得到点A,A与点B,B,连接AB, A,B,.若线段AB,与AB,存在公共点，请直接写出此时线段MO长度的取值范围（用含有t的 式子表示). 38.(2025·河北廊坊·一模)情境：正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，我们可以通 过以下几种方式获得正方形.（说明：纸片折叠过程中无缝隙、无边沿重叠） FD G H 图1 图2 图3 操作： (1)如图1，将ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在边BC上，再将纸片分别 沿等腰aBED和等腰△DHC的底边上的高线EF,HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个四 边形EFGH.当四边形EFGH为正方形时，直接写出AD与BC的数量关系. (2)如图2，将平行四边形ABCD沿AE,GF折叠后，点B和点C在点H处重合，点D落在点 A处.若四边形AEFG为正方形，BE=3,FC=2,求平行四边形ABCD的面积. 探究： 28/40 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图3，E,F,G,H分别为梯形ABCD四条边的中点，梯形ABCD上底与下底的和为高的2 倍，请根据以上信息画出一种裁剪方式，使裁剪后的四块图形打散后能够拼成一个正方形.（裁 剪线用虚线，并标注清楚相应的几何符号) 04 答题实战◆ 一、单选题 1.(2026·内蒙古呼和浩特·一模)甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，能用其 中一部分平移得到的是( 州非·四 2. (2026·山东青岛·一模)如图， ABC放在边长为1个单位的小正方形网格中，点A、B 、C均在格点上，先将ABC绕点O逆时针旋转90°得到△AB,C,再将△A,B,C,向下平移3个单 位得到△A,B,C2,则点C,的坐标是() 5-4-3-2-1012345 A.（-3,-2 B.（-1,0) C.-4,0 D.（-4,-1 3.(2026·安徽安庆·一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将ABC沿BA方向平移至 FDE处，此时点D恰好为边B的中点，连接CD,若CD-多，C=1,则EF长为() 29/40 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.√o B.3 C.22 D.√2 4.(2026·陕西西安·三模)在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-2mx+m2-6m+3(m为常 数)关于x轴对称得到的新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12，则m的值为() A R含 c.或习 n.或 5.(25-26九年级下·上海·开学考试)如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=3,以A、D为圆 心，半径分别为1和)画圆，E、F分别是0A、⊙D上的一动点，P是BC上的一动点，则 PE+PF的最小值是() B 5-2 A. B.3 c D.4 6.(2026·广东汕头·一模)在平面直角坐标系中，点A坐标为3，V3),在x轴上找点P,使 得PA+号PO的值最小，则此时的点P的坐标及PA+PO的最小值分别为(） A.（5,0);3B.(2,0);3C.（5,0;2D.(2,0;2 7.(2026·广东汕头·一模)如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上， ∠0AB=90°，OA=6,AB=8.将△0AB绕点A顺时针旋转30°得到△0'AB',则点B的坐标为() 30/40 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 6 5 4 3 912345678910 A.(45,10)B.(4,45 C.(10,45) D.(45,4 8.(2026·河南·一模)在平面直角坐标系中，正方形0ABC位置如图所示，边长为1，每一 次将正方形OABC绕点O逆时针旋转90°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到正方形 OA,B,C,第二次旋转得到正方形OA,B,C2,…,以此类推，则点B26的坐标是() 珠 BA1 B CC C OA C2 B2 A3 B3 A.（-22026,22026） B.(2026,2026)】 C.(2026,-206） D.（-22026,-22026 9.(2026·山东青岛·一模)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的 中心与原点0重合，AB∥x轴，交y轴于点P.将a0AP绕点0顺时针旋转，每次旋转90°，则第 2026次旋转结束时，点A的对应点的坐标为() D A.（5,-B.（-1,-5 C.(-5,- D.（-l,5） 31/40 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 10.(2026·广东佛山·一模)如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古 代象征同心吉祥的一种装饰图案.如图2，将正方形ABCD沿对角线AC方向平移得到正方形 EFGH,形成“方胜”图案，如果平移E离为3，且AE=写4C,那么点A到点G的距离是 金累丝方胜簪 图1 图2 11.（2026·安徽·一模)如图，在Rt△ABC中，AC=BC,点A,B均落在坐标轴上且0A=2, 点C的坐标为(3,3)，将ABC向上平移得到△A'B'C',若点B、C恰好都在反比例函数 y=《(>0)的图象上，则k的值是 VA B 12.(2026·河南周口·一模)如图，在扇形A0B中，己知LA0B=90°，0A=0B=2,正方形 OECD的顶点D、C、E分别在OA、AB、OB上，把正方形OECD的沿直线OB向右平移，得到 正方形GNMF,其中点D的对应点F恰好与C重合，如图所示，则图中阴影部分的面积为 32/40 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C(F) M D E B GB 13.(2026·福建泉州·一模)如图，将一块直角三角尺ABC(1B=90°，LA=60°)沿射线 AC方向平移到三角尺DEF的位置，点A的对应点为点D.若AF=I3,DC=5,则AB的长为 D 14.(2026·山东青岛·一模)【构建新定义】 在平面中，如果将一个三角形先进行一次轴对称，再进行一次平移变换后，与另一个三角形能 完全重合，那么我们称这两个三角形互为“镜移三角形”，并将轴对称变换中的对称轴称为 “镜移轴” D D D F 图1 图2 图3 【理解新定义】 (I)如图1，在ABC中，AB=AC,点D是BC的中点，点E,F分别在AB,AC上，且 DE∥AC,DF∥AB.请写出图中的一对以BC所在的直线为“镜移轴”的“镜移三角形”：· 【应用新定义】 (2)如图2，在ABC中，点D,E分别是AB,AC的中点，连接DE,过点A作BC的垂线，垂足 为F,交DE于点M,过点E作BC的垂线，垂足为N,△ADM与△NPE互为“镜移三角形”， 若△PEN的面积为2，则△ABF的面积为 【拓展新定义】 33/40 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图3，在矩形ABCD中，AB=8,AD=4,E是CD的中点，F是AB的中点，那么ADE与 CBF互为“镜移三角形”，则其“镜移轴”与直线AB所夹的锐角为°；若“镜移轴”过 EC的中点，则平移的距离为· 15.(2026·四川绵阳·二模)矩形ABCD中，BC=2AB=4,连接BD,将△BCD绕点D逆时针 旋转得到EFD,连接E,CF,若m∠CFE=高，则BE= 16.（2026·山东济宁·一模)如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，0A=1 ,将0A绕点0顺时针旋转45°到0A,扫过的面积记为s,A4,⊥0A,交x轴于点4；将0A,绕点 0顺时针旋转45°到OA,,扫过的面积记为s2,AA,⊥0A交y轴于点A;将OA,绕点0顺时针旋 转45°到04，扫过的面积记为s…按此规律，则s,的值为 17.(2026·安徽池州·一模)如图，将ABC绕点A逆时针旋转得到ADE,点C的对应点D 恰好落在CB延长线上，己知AE=√2，LC=2LBAD,BC=BD+2,则BD的长为 B 三、解答题 18.(2026·安徽·模拟预测)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立 平面直角坐标系x0y,ABC的顶点均为格点（网格线的交点），已知点C的坐标为(0，-3). 34/40 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)画出线段AB关于y轴对称的线段AB; (2)将ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到△4，B,C,画出△A4,B,C; (3)在线段AB,上找一点P,使得点P在线段AC的垂直平分线上，写出点P的坐标. 19.(2026·安徽阜阳·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，A(3,4),B4,2),C1,1. 5 4 2 -5-4-3-2-112345x -2 -3 5引 (1)画出ABC关于x轴的对称图形△A,B,C: (2)画出△A,B,C,向左平移4个单位长度后得到的△4，B,C2; (3)画出△A,B,C的中线CD,并写出点D的坐标. 20.(2026·浙江湖州·一模)【问题背景】如图所示，某兴趣小组将矩形ABCD纸片沿对角 线AC剪开，再把ABC沿着AD方向平移，得到。A'B'C',A'B交AC于点E,A'C'交CD于点F. 4 35/40 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【数学理解】 (1)在平移过程中，线段A'E的长始终与CF相等，请说明理由； (2)已知AD=3,AB=4,在平移过程中，当两个三角形的重叠部分A'ECF为菱形时，求移动的距 离AA' 21.(2026·江苏无锡·一模)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=10,点E在边BC上，且 BE=4,动点P从点E出发，沿折线EB-BA-AD以每秒1个单位长度的速度运动，作 ∠PEQ=90°，EQ交边AD或边DC于点Q,连接P?,当点Q与点C重合时，点P停止运动.设 点P的运动时间为t秒(t>0). D D B P B (备用) (1)当点Q与点D重合时，求t的值； (2)作点E关于直线PQ的对称点F,连接PF、OF. ①当点P与点A重合时，求四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分的面积； ②当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分的图形为轴对称四边形时，求t的取值范围 22.(2026·甘肃天水·二模)如图，在正方形ABCD中，AB=6,M为CD上的一动点，连接 AM,将AM绕点A按顺时针方向旋转，与CB的延长线交于点N. D M D M B 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：DM=BN. 【深入探究】 (2)如图2，将△ADM沿AM翻折得到△APM,连接PN，试探究在点M移动的过程中，aAP的 面积是否发生变化.若发生变化，请求出△ANP的面积的最小值；若不发生变化，请求出△ANP 的面积. 【拓展延伸】 36/40 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图3，在(2)的条件下，点E在线段AP上，点F在线段PN上，连接ME,EF.当 兴华祭-，求四边形wE?前积 23.(2026·河南信阳·一模)综合与探究， 问题情境：如图1，在三角形纸片ABC中，AB>BC,点D在边AB上，AD>BD.沿过点D的 直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB'与BC平行，且折痕与边BC交于点E,得到△DB'E,然 后展平. A B D >B, B E E 图1 图2 (1)猜想证明：判断四边形BDB'E的形状，并说明理由 (2)拓展延伸：如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线DB上， 且折痕与边AC交于点F,然后展平.连接A'E交边AC于点G,连接AF. ①若AD=2BD,判断DE与A'E的位置关系，并说明理由； ②若∠C=90°，AB=15,BC=9,当△A'FG是以A'F为腰的等腰三角形时，请直接写出AF的长. 24.(2026·湖北随州·一模)如图，M、N分别是菱形ABCD的AB、CD边上一点，将四边形 BCNM沿MN折叠得四边形MNFE,EF经过点A(注：折叠后EM∥NF). 图1 图2 图3 (1)若点F在菱形ABCD内部，延长NF交AD于点G,求证：△AEM∽△GDN; (2)若48=5，m8=专，AE=4M,求8M的长 (3)当2∠E+∠EAD=270°且amB=4时. ①求证：FN⊥CD; ②直接写出 DN的值. 37/40 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 25.(2026·山东日照·一模)综合与探究：如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=a,点D在 射线AC上，连接BD,将DB绕点D逆时针旋转a得到线段DE,连接BE,CE, 图1 图2 备用图 (1)当点D落在线段AC上时， ①如图1，当u=60°时，请直接写出线段CE与线段AD的数量关系是_； ②如图2，当a=90°时，请判断线段CE与AD的数量关系，并给出证明； (2)当a=90°时，过点A作AN∥DE交BD于点N,若AD=2CD,猜想CE与AN的数量关系并说 明理由. 26.(2026·内蒙古·模拟预测)【图形定义】我们给出如下定义：对角线互相垂直的四边形 叫做垂美四边形 D B 图1 图2 【性质探究】 (1)如图1，四边形ABCD是垂美四边形，试探究两组对边AB,CD和AD,BC之间的数量关 系 【理解运用】 (2)已知四边形ABCD是垂美四边形，AB=4,BC=6,CD=8,则AD=_, 【变式探究】 (3)如图2，矩形ABCD与矩形CEFG,BC=8,CD=6,CG=4,CE=3,当B、E、F三点共线 时，求DG的长 (4)将(3)中矩形CEFG绕点C逆时针旋转，当∠CDG最大时，求BE的长. 27.(2026·山西吕梁·一模)综合与探究 38/40 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 问题情境：图1是两个全等的等腰直角三角板ABC和DEF,将两者完全重合，且 LABC=∠DEF=90°，以BC的中点0为中心，将△DEF顺时针旋转（如图2），设旋转角为 (a(0°<a<360). A(D》 B B(E) C(F 图1 图2 图3 (1)如图2，在△DEF绕点O顺时针旋转的过程中，连接BE,BF,CE,CF,判断四边形BECF的 形状，并证明. 探索发现： (2)如图3，连接AD,BE，判断线段AD与BE的数量关系，并说明理由. 拓展延伸： (3)在DEF绕点O顺时针旋转的过程中，当A,E,F三点共线时，若AB=2,请你直接写出 BE2的值 28.(2026·河南安阳·一模)几何综合 图① 图② 图③ 备用图 【方法尝试】 (1)如图①，矩形ABFC是矩形ADGE以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转90°所得的图形， CB,ED分别是它们的对角线.求证：CB⊥ED; 【类比迁移】 (2)如图②，在Rt△ABC和RtAADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AC=√2I,AB=V7,AE=V3, AD=I.将aDAE绕点A在平面内逆时针旋转，连接CE,BD. ①请判断线段CE和BD的数量关系和位置关系，并说明理由； ②当点B,D,E在同一直线上时，求线段CE的长； 39/40 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【拓展延伸】 (3)如图③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6,过点A作AP∥BC,在射线AP上取一点D, 连接CD,使得am∠ACD},请直接写出线段BD的最大值. 40/40