第25章 一次函数（复习讲义，5知识&8题型+分层训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

第25章 一次函数（复习讲义） 1.理解函数、自变量、函数值概念，会判断两个变量是否为函数关系。 2.掌握一次函数、正比例函数的定义与解析式；会画一次函数图象（直线），理解k、b的几何意义。 3.熟练用待定系数法求一次函数解析式（两点、一点+平行/垂直等）。 4.掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系，会用图象解方程/不等式。 5.会解决一次函数实际应用：行程、费用、方案选择、最值问题。 知识点01函数的概念 1.函数定义：在变化过程中，对x的每一个确定值，y都有唯一确定值对应，则y是x的函数，x自变量，y因变量。 2.函数表示法：解析法、列表法、图象法。 3.自变量取值范围： 整式：全体实数 分式：分母≠0 二次根式：被开方数≥0 实际问题：符合实际意义 知识点02正比例函数与一次函数的概念 1.正比例函数：（），过原点的一次函数。 2.一次函数：（常数，）。 3.判定：化简后为且；正比例函数需且。 知识点03一次函数的图象与性质 1.图象形状：直线；正比例函数过。 2.k的符号（增减性） ：直线上升，随增大而增大 ：直线下降，随增大而减小 3.b的符号（与y轴交点） ：交y轴正半轴 ：过原点 ：交y轴负半轴 4.与坐标轴交点 与y轴： → 与x轴： → 5.图象平移（k不变） 向上平移： 向下平移： 向左平移： 向右平移： 6.平行与垂直 平行：且 垂直：（拓展） 知识点04一次函数与方程、不等式 1.与一元一次方程：的解 → 直线与x轴交点横坐标。 2.与一元一次不等式 → 直线在x轴上方部分对应的x范围 → 直线在x轴下方部分对应的x范围 3.与二元一次方程组：两直线交点坐标 → 对应方程组的解。 知识点05一次函数的应用 1.建模步骤：实际问题→设变量→列解析式→确定定义域→求解→检验。 2.常见类型 行程问题：距离=速度×时间， 费用问题：总费用=基础费+单价×数量 方案选择：比较不同方案的函数值，找最优 最值问题：利用增减性求最大/最小值 题型一 正比例函数、一次函数的识别与判定 【例1】（24-25八年级下·上海·期末）下列四个函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，自变量x的最高次数为2，不是一次函数，故该选项不符合题意； B、，是一次函数，故该选项符合题意； C、，不是一次函数，故该选项不符合题意； D、，不是一次函数，故该选项不符合题意． 【变式1-1】（24-25八年级下·上海·月考）下列问题中，两个变量成正比例的是（　　） A．等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高 B．等边三角形的面积和它的边长 C．长方形的一边长确定，它的周长与另一边长 D．扇形的半径固定，它的面积和圆心角的大小 【答案】D 【详解】解：A、等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高成反比例，故本选项错误； B、等边三角形的面积是它的边长的二次函数，故本选项错误； C、长方形的一边长确定，它的周长与另一边长成一次函数，故本选项错误； D、扇形的半径固定，它的面积和圆心角的大小成正比例，故本选项正确； 故选：D； 【变式1-2】（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）当________时，函数是正比例函数． 【答案】2 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴且， ∴． 【变式1-3】（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）已知函数是一次函数，则a的值是________． 【答案】 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 解得：． 题型二 求一次函数解析式（待定系数法） 【例2】（25-26八年级下·上海·月考）已知直线过点和． (1)求此直线的表达式； (2)如果点在该直线上，且点的横坐标为，求该直线上所有位于点上方的点的纵坐标的取值范围． 【详解】（1）解：∵直线过点和， ∴， 解得， ∴一次函数关系式为； （2）解：∵点P在直线上，且横坐标为， ∴． ∵直线中，， ∴一次函数值y随着x的增大而增大， 设直线上位于点P上方点的纵坐标为y， ∴． 【变式2-1】（25-26八年级下·上海徐汇·月考）如图，已知正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，且一次函数的图象经过点，分别交x轴，y轴于点A，B． (1)求正比例函数、一次函数的解析式； (2)求的面积． 【详解】（1）解：将代入得， ∴， ∴正比例函数； 将，代入得， 解得 ∴一次函数； （2）解：∵一次函数 ∴当时， ∴，即 ∵， ∴的面积． 【变式2-2】（25-26八年级下·上海·月考）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，与一次函数的图象交于点，点的横坐标为3，轴，为垂足，． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点P，且点P的横坐标为3， ∴， ∴点； （2）解：∵点轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点． ∵一次函数经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为． 题型三 已知一点+平行/垂直 【例3】（24-25八年级下·上海宝山·月考）已知直线平行于直线，且在y轴上的截距为，那么该直线的解析式是_______． 【答案】 【详解】解：∵直线平行于直线， ∴． 又∵直线在y轴上的截距为， ∴， ∴这条直线的解析式是． 故答案为：． 【变式3-1】（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）一次函数与没有交点，且过点，则此函数解析式为________． 【答案】 【详解】解：∵一次函数与没有交点， ∴两条直线平行，即， 又∵一次函数经过点， ∴， 解得：， ∴此一次函数的解析式为． 【变式3-2】（25-26八年级下·上海浦东新·月考）已知：在平面直角坐标系中，直线，直线解析式，直线解析式，两条直线均不与坐标轴平行．求证： 【详解】证明：设直线与的交点为， 则，， 在直线上取点， 代入解析式得， 即， ∴， 同理在直线上取点，可得， 即， ∴，， ∵， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 整理得：． 【变式3-3】（24-25八年级下·上海长宁·月考）一次函数的图象过点且与直线平行． (1)求这个一次函数的解析式； (2)画出这个一次函数的图象． 【详解】（1）解：由一次函数的图象与直线平行，设一次函数解析式为， 一次函数的图象过点， ， 解得， 这个一次函数的解析式为； （2）解：在中，令得， 令得 解得， 一次函数图象经过和， 描点画出图象如下： 【变式3-4】（25-26八年级下·上海·月考）已知直线与直线平行，且过点． (1)求这条直线的表达式； (2)设这条直线与、轴分别交于点、，如果点在这条直线上（与点、不重合），且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵一次函数与直线平行，且过点， ∴， ∴， ∴； （2）解：当，；，， 解得， ∴点， ∴， ∴． 设点， ∵， ∴， 即， 解得或， ∴点P的坐标为或． 题型四 一次函数的图象与性质（象限、增减性） 【例4】（24-25八年级下·上海·期末）已知一次函数，如果函数值y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】首先整理一次函数得 一次函数随的增大而减小， 一次项系数， 解不等式得． 故选C． 【变式4-1】（25-26八年级下·上海·月考）在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】解：当时，直线经过第一，三象限，且经过原点，直线经过第一，三，四象限，无符合题意的选项； 当时，直线经过第二，四象限，且经过原点，直线经过第一，二，三象限，B符合题意． 【变式4-2】（24-25八年级下·上海青浦·期末）已知函数，如果函数值，那么的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：当时， 解得： ∵函数， ∴随的增大而减小， ∴当时，， 故答案为：． 【变式4-3】（25-26八年级下·上海·月考）已知一次函数，且y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围为_________． 【答案】 【详解】解：∵一次函数，且y的值随x值的增大而减小， ∴， 解得：． 【变式4-4】（24-25八年级下·上海宝山·月考）如图，如果点和点在直线l的图象上，那么m、n的大小关系是：m_______n．（用“”、“”或“”表示） 【答案】 【详解】解：从图象看，函数的值随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 【变式4-5】（25-26八年级下·上海徐汇·月考）已知关于的正比例函数． (1)若函数图象经过第一、三象限，求的取值范围； (2)若随的增大而减小，求的取值范围； (3)若点在该函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：函数图象经过第一、三象限， ， 解得：； （2）解：正比例函数中随的增大而减小， ， 解得：； （3）解：点在该函数的图象上， ， 解得：． 题型五 一次函数图象的平移 【例5】（24-25八年级下·上海宝山·月考）如果将一次函数的图像沿y轴向上平移7个单位，那么平移后所得图像的函数解析式为_______． 【答案】 【详解】解：由题知，将一次函数的图像沿y轴向上平移7个单位后，所得图像的函数解析式为． 故答案为：． 【变式5-1】将正比例函数的图像沿y轴向下平移3个单位后，得到的函数图像所对应的函数解析式为______． 【答案】 【详解】解：将函数的图像沿y轴向下平移3个单位后， 得到的函数图像所对应的函数解析式为． 故答案为：． 【变式5-2】（25-26八年级下·上海·月考）已知一次函数的图象由直线平移得到且过点．则______ 【答案】 【详解】解：∵一次函数的图象由直线平移得到， ∴， ∴， 代入点，得， 解得． 题型六 一次函数与方程、不等式 【例6-1】（25-26八年级下·上海·月考）已知一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为_________． 【答案】 【详解】解：由图象可知，直线与y轴的交点的纵坐标为1， 当时，函数值， ∴不等式的解集为． 【例6-2】（25-26八年级下·上海·月考）如图所示，直线与直线交点的横坐标是4，那么不等式的解集是_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 观察图像可知当时，， ∴当时， ， 所以不等式的解集是， 即不等式的解集是． 【例6-3】（25-26八年级下·上海·月考）已知方程组无解，那么直线不经过第______象限． 【答案】一 【详解】解：方程组无解， 直线与平行且不重合， ， 解得， 将代入，得， 直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故答案为：一． 【变式6-1】（24-25八年级下·上海·期中）一次函数的图象如图所示，那么不等式的解集为________． 【答案】 【详解】解：不等式表示的是一次函数的图象位于轴的下方， 结合函数图象可知，不等式的解集为， 故答案为：． 【变式6-2】（25-26八年级下·上海·月考）一次函数与的图象相交于点．    (1)求点的坐标 (2)结合图象，当时．直接写出的取值范围______ (3)若一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，连接轴上有一点，求当是等腰三角形时，点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或． 【详解】（1）解：联立函数解析式，得， 解得， 点A的坐标为； （2）解：根据函数图象，可知当时，x的取值范围是； （3）解：对于，当时，， ∴， ∴． 对于，当时，， ∴， ∴， ∴． 当时，如图，    ∴， ∴． 当时，如图，    ∵， ∴， ∴． 当时，如图，    设， 则 解得 ∴． 综上可知，当是等腰三角形时，点的坐标为或或或 题型七 一次函数与几何（面积、交点） 【例7-1】（25-26八年级下·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，直线与轴、轴分别交于点，且．点是的中点，为直线上的一个动点，连接．若，则点的坐标是__________． 【答案】或 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴，， ， ， ． ∵点A在x轴的负半轴上， ． 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为； 如图，当点N在点B的下方时，过点M作交直线于点H，过点M作于点D，过点N作于点F，过点H作交直线于点E， 则， ， ． ， 是等腰直角三角形， ， ， ． ∵点M是的中点，，， ． 设，则， ， ， 解得， ∴点N的坐标为； 当点N在点B的上方时，过点M作交直线于点H，过点M作于点D，过点N作交直线于点F，过点H作于点E， 同理可证明， ， ∵点M是的中点，，， ． 设． ， ， ， ， ∴点坐标为； 综上所述，点N的坐标为或． 【例7-2】（25-26八年级下·上海·月考）数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“平面直角坐标系”为背景开展探究活动．如图，已知四边形是平行四边形，点、点，连接，并延长交轴于点． (1)观察发现：直线的函数表达式为________． (2)探究迁移：若点P从点C出发，以2个单位/秒的速度沿x轴向左运动，同时点Q从点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴向右运动，P、Q均在线段上，过点作轴垂线交直线于点，过点作轴垂线交直线于点，连接，猜想四边形的形状（点P，Q重合除外），并证明你的结论； (3)拓展应用：在（2）的条件下，当点P运动多少秒时，四边形是正方形？不需说明理由，请直接写出你的结果． 【答案】(1) (2)四边形是矩形，证明见解析 (3)秒或3秒 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 将点、点，代入得， ， 解得， 直线的函数表达式为． （2）解：四边形是矩形，理由如下： 当点在右侧时，如图所示， 点，， 直线的解析式为， 点从点出发，以2个单位/秒的速度沿轴向左运动，同时点从点出发，以1个单位/秒的速度沿轴向右运动，设运动时间为， ，，， ，， 点在直线上，点在直线上，且轴，轴， ，， ， 又轴，轴， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 当点在左侧时，如图所示， 设经过时间，则，，， ，， 同理可证四边形是矩形． （3）解：当点在右侧时，四边形是正方形，如图所示， 第（2）问已证四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 经过时间，，，， ， 解得， 经过，四边形是正方形． 当点在左侧时且在原点右侧时，四边形是正方形，如图所示， 经过时间，则，，，， 第（2）问已证四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 解得， 此时，即，此时与原点重合，如图所示， 当经过时间时，四边形是正方形． 综上所述，当点运动或时，四边形是正方形． 【变式7-1】（25-26八年级下·上海徐汇·月考）如图，直线：与x轴交于点A，与经过点的直线m交于第一象限内点C，点E为直线上一点，点D为点B关于y轴的对称点，连接、、，若，，则的值为_____． 【答案】或 【详解】解：过点D作于点F，延长交y轴于点G， ∵点，且点D为点B关于y轴的对称点， ∴， ∴； 又， ∴， 设直线l：交轴于点， 当时，；当时，， ∴，， ∴， 取的中点，连接，则， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， 又 ， ∴， ∴， ∴； 设直线所在直线解析式为 ， 把，代入得 解得； ∴直线所在直线解析式为； 联立， 解得， ， ∴， ∴， 在中，， ∴； ①当E在F下方时，如图1，在E点下方直线l上取一点M，使，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； ∴， 在中，， ∴； ②当点E在F的上方时，如图2，在E点下方直线l上取一点M，使，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； 综上所述，或． 【变式7-2】（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）已知：在直角坐标系中，直线l经过点，，且与y轴交于点D，点B与点D关于原点对称，将线段沿射线的方向平移，当点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处． (1)求直线l的解析式； (2)求平移过程中线段所扫过的面积； (3)已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标． 【答案】(1)； (2)平移过程中线段所扫过的面积为； (3)，，，； 【详解】（1）解：设直线l的解析式为，将点，代入得， ， 解得：， ∴直线l的解析式为：； （2）解：当时， ， ∴， ∵点B与点D关于原点对称， ∴， ∵线段沿射线的方向平移，点C恰好落在y轴上的点D处，点B落在点E处， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， 设， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴平移过程中线段所扫过的面积为； （3）解：设点F的坐标为，， ∵，，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形， ∴对角线互相平分且相等， ①当为对角线时， ， 解得： ，， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ②当为对角线时， ， 解得： ，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ③当为对角线时， ， 解得： ，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述点F可能为：，，，． 【变式7-3】（25-26八年级下·上海·月考）如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于点、，若，点的坐标为 (1)求直线的表达式 (2)若点在直线上，使得，求点的坐标 (3)点是直线上一个动点，点是坐标平面内一个动点，如果以点、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【详解】（1）解：， ， ， ， 设直线的解析式为， 将、点代入， ， 解得， 直线的表达式为； （2）解：，，， ， ∵， ， ∵，即， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 设， 当点在延长线上时，如图， 则， ∴，即，解得， 此时，，即； 当点在线段上时，如图， 则， ∴，即，解得， 此时，，即； 当点在延长线上时，如图， 则，即， 故，不存在此种情况； 综上，点的坐标为或； （3）解：由（1）知直线的表达式为， 设，， 当以为对角线的四边形是菱形时，如图， 则且， ∴且，即， ∴且或， 当时，则，即； 当时，则，即； 当以为对角线的四边形是菱形时，如图， 则且， ∴且，即， ∴且， 则，即； 当以为对角线的四边形是菱形时，如图， 则且， ∴且，即， ∴且或（与点A重合，舍去）， 则，即； 综上，点的坐标为或或或． 题型八 实际应用（行程、费用、方案） 【例8-1】（24-25八年级下·上海松江·月考）某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式并写出x的取值范围． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是224000元． 【详解】（1）由题意，设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双， ∴， 又∵， ∴， ∴y与x之间的函数解析式为； （2）解：∵中，， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，获得利润最大，且最大值为：（元），此时B型皮鞋为：（双）， 答：生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是224000元． 【例8-2】（24-25八年级下·上海·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线所示． (1)求线段的表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求乙比甲早几分钟到达终点？ 【答案】(1) (2)6分钟 【详解】（1）解：根据题意得： 设线段的表达式为：， 把，代入得： ， 解得：， 即线段的表达式为：， （2）解：线段可知：甲的速度为：（米/分）， 乙的步行速度为：（米/分）， 在B处甲乙相遇时，与出发点的距离为：（米）， 与终点的距离为：（米）， 相遇后，到达终点甲所用的时间为：（分）， 相遇后，到达终点乙所用的时间为：（分），（分）， 答：乙比甲早6分钟到达终点． 【例8-3】（25-26八年级下·上海·月考）如图，轴表示一条东西方向的道路，轴表示一条南北方向的道路．小丽和小明分别从十字路口O点处同时出发，小丽沿着轴以3千米/时的速度由西向东前进，小明沿着轴以6千米/时的速度由南向北前进．有一家超市位于图中的点处，超市与轴、轴的距离分别是4千米和3千米．问： (1)离开路口后经过多少时间，两人与这家超市的距离恰好相等？ (2)离开路口后经过多少时间，两人与这家超市所处的位置恰好在一条直线上？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设运动时间为，则小明运动的距离为，小丽运动的路程为， ∴小明所在位置的坐标为，小丽所在位置的坐标为； ∵超市与轴、轴的距离分别是4千米和3千米， ∴， ∵两人与这家超市的距离恰好相等， ∴点P到点的距离等于点P到点的距离， ∴， 解得或（舍去）， 答：离开路口后经过，两人与这家超市的距离恰好相等； （2）解：设运动时间为，则小明运动的距离为，小丽运动的路程为， ∴小明所在位置的坐标为，小丽所在位置的坐标为； 设经过点和点的直线解析式为， ∴， ∴， ∴经过点和点的直线解析式为， ∵两人与这家超市所处的位置恰好在一条直线上， ∴点在直线上， ∴， 解得， 答：离开路口后经过，两人与这家超市所处的位置恰好在一条直线上． 【变式8-1】（25-26八年级下·上海浦东新·月考）【问题背景】垃圾分类，人人有责，为响应国家号召推进垃圾分类工作，某小区物业在小区内引入了智能回收机供居民使用，为实现小区垃圾分类收益最优化，物业积极筹划． 背景 小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15吨，收益如下： ①处理可回收垃圾：每吨收益50元（如废纸、塑料瓶）； ②处理厨余垃圾：每吨收益30元（如剩饭剩菜）； 环保约束 ①可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍（避免积压）． ②厨余垃圾每天至少处理4吨（防止腐败，保障社区卫生）． 【问题建构】设每日处理可回收垃圾x吨，厨余垃圾y吨，此时总收益为W元． (1)用含x的代数式表示y，则___________；写出总收益W（元）关于x的函数关系式，___________； 【优化决策】 (2)为使每日净收益W最大，物业应如何分配两类垃圾的处理量？ 【答案】(1)； (2)为使每日净收益W最大，处理可回收垃圾10吨，厨余垃圾5吨 【详解】（1）解∵每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15 吨， ∴； ∵处理可回收垃圾每吨收益50元，处理厨余垃圾每吨收益30元 ∴； （2）解：根据题意，x应满足， 解得． ∵，， ∴W随x的增大而增大， ∴当时，W有最大值，最大值为， 此时， ∴为使每日净收益W最大，应处理可回收垃圾10吨，厨余垃圾5吨，最大收益650元． 【变式8-2】（24-25八年级下·上海松江·期末）小明家附近有、两种品牌的共享电动车，其收费方式分别满足函数和，收费（元）与骑行时间（分钟）的关系如图所示．已知小明家到工厂的距离为，两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为． (1)当时，求品牌收费方式与骑行时间的函数解析式． (2)小明从家骑行去工厂，选择哪种品牌的共享电动车更省钱？ (3)当骑行时间为多少时，两种品牌的收费相差2元？ 【答案】(1) (2)B品牌 (3)10或30 【详解】（1）解：设解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴， （2）解：设， 把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得，， ∵， ∴小明选择B品牌的共享单车更省钱； （3）解：当时， 根据题意，得， 解得， 当时， 根据题意，得， 解得（舍去）， 当时， 根据题意，得， 解得， 综上，当骑行时间为10或30时，两种品牌的收费相差2元 【变式8-3】（24-25八年级下·上海长宁·月考）某工厂生产某种产品，每件产品成本价25元，出厂价为50元．在生产过程中，每件产品产生立方米污水，工厂有两种方案对污水进行处理． 方案1：自行处理，达标排放．每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元． 方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费． 问： (1)设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，分别求出依方案1和方案2处理污水时，y与x的函数关系式． (2)设工厂每月生产量为6000件产品时，你采用何种方案才能使企业利润最大，请通过计算加以说明． (3)随着工厂生产量的不同，启用何种方案才能使企业的利润最大． 【详解】（1）按方案1处理污水时，． 按方案2处理污水时，； （2）当时，； ． 因为， 所以工厂采用方案1时所获利润更大． （3）当时，解得，即当每月生产量超过5000件时，工厂采用方案1时利润更多； 当时，解得，即当每月生产量等于5000件时，工厂采用任意一种方案的利润相同； 当时，解得，即当每月生产量小于5000件时，工厂采用方案2时利润更多． 【变式8-4】（25-26八年级下·上海徐汇·月考）如图，表示某电动车厂一天的销售收入与销售量x之间的关系；表示该电动车厂一天的销售成本与销售量x之间的关系． (1)求出销售收入与销售量之间的函数关系式； (2)求出销售成本与销售量之间的函数关系式； (3)当一天的销售量超过多少辆时，工厂才能获利（利润收入成本）？ 【答案】(1) (2) (3)4 【详解】（1）解：设， ∵过点， ∴， 解得， ∴． ∴销售收入与销售量之间的函数关系式为． （2）解：设， ∵过点和 ∴， 解得， ∴销售成本与销售量之间的函数关系式． （3）解：由题意可知，当时工厂获利， 即， 解得， ∴当一天的销售量超过4辆时，工厂才能获利． 【变式8-5】（25-26八年级下·上海·月考）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． (1)请用一次函数分别表示与与之间的函数关系．（不写定义域） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆/分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆/分钟） 25 22 19 16 13 【答案】(1)； (2)8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东，理由见解析 【详解】（1）解：设， 将，和，代入，得， 解得， ． 设， 将，和，代入，得， 解得， ． （2）解：8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东，理由如下： 由题意得，． 当时，则，解得， 当时，则，解得， 当时，即，解得； 当时，即，解得． ∴8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26八年级下·上海·期中）下列四个图象中，能表示y是x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A，C，D中的图象，对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，那么不是的函数，不符合题意， B中的图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，符合题意． 2．（25-26八年级下·上海·月考）已知一次函数的图像如图所示，那么下列说法错误的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】C 【详解】解：由图象可知，直线经过点和，且随的增大而减小， ，故A选项说法正确； 图象与轴交于点， ，故B选项说法正确； 观察图象可知，当时，图象位于轴下方，即，故C选项说法错误； 当时，图象位于轴左侧，即，故D选项说法正确． 二、填空题 3．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）直线在y轴上的截距是________． 【答案】 【详解】解：当时，， 直线在轴上的截距为 4．（24-25八年级下·上海长宁·期中）已知一次函数，则_____ ． 【答案】1 【详解】解：． 故答案为：1． 5．（25-26八年级下·上海徐汇·月考）在一次函数中，当时，，则_______． 【答案】 【详解】解：∵当时，， ∴， ∴. 6．（24-25八年级下·上海·期末）如果一次函数的图像经过点，那么m的值是_________． 【答案】2 【详解】解：将代入得：， 解得：． 7．（24-25八年级下·上海·期末）如果一次函数的图像与x轴的交点在轴的正半轴上，那么m的取值范围是_________． 【答案】 【详解】解：x轴上点的纵坐标为0，令，得， 解得， 因为一次函数的图象与x轴的交点在正半轴上， 所以， 根据不等式的基本性质，不等式两边同乘正数2，不等号方向不变，得， 解得：． 三、解答题 8．（25-26八年级下·上海·月考）已知点，且直线与坐标轴围成的图形的面积等于15，求a的值． 【答案】 【详解】解：由题意，直线与坐标轴围成的图形的面积为， ∴. 9．（24-25八年级下·上海松江·月考）已知一次函数的图象过点和，求函数解析式；并求图象与坐标轴的交点坐标． 【答案】；一次函数图象与轴的交点坐标为；一次函数图象与轴的交点坐标为 【详解】解：设一次函数解析式为， 将点和代入得：， 解得， 所以一次函数的解析式为． 将代入得：，解得， 所以一次函数图象与轴的交点坐标为， 将代入得：， 所以一次函数图象与轴的交点坐标为． 10．（24-25八年级下·上海·月考）年前月，陕西省新能源汽车产量已达万辆，同比增长，并且全省新能源汽车的“版图”仍在加速扩张中，如图是小明在观察自家购买的某型号新能源纯电动汽车充满电后行驶里程，绘制的蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象，根据图象回答下列问题： (1)当时，求汽车每消耗1千瓦时用电量能行驶的路程； (2)求当汽车已行驶千米时，蓄电池的剩余电量． 【答案】(1)5千米 (2)千瓦时 【详解】（1）解：由图象可知，蓄电池剩余电量为千瓦时，汽车已行驶了千米， 1千瓦时用电量能行驶的路程为（千米）． 答：汽车每消耗1千瓦时用电量能行驶的路程为5千米． （2）解：当时，设，把点，代入得： ， 解得， ∴， 当时，． 答：当汽车已行驶千米时，蓄电池的剩余电量为千瓦时． 11．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，已知直线与轴、轴分别相交于点、，且点的坐标为． (1)求值； (2)若点是线段上的一点，的面积为2，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意，将点代入到中， ∴， ； （2）解：， ∴直线的解析式为：， ∵点E的坐标为， ∴， ， ， 当时，， ， ∴当的面积为2时，点P的坐标为． 12．（23-24八年级下·上海黄浦·期中）“龟兔赛跑”是一则著名的寓言故事，请完成下列问题： (1)图①描绘的场景对应图③中的点______，图②描绘的场景对应图③中的点______； (2)你认为图③中的线段与线段是否平行？请说明你的理由； (3)如果龟兔约定按照相同的规则再比赛一次，且兔龟都没睡觉兔子先到达终点，请在图④画出比赛的大致函数图像． 【答案】(1)B，D (2)不平行，理由见详解 (3)图见详解 【详解】（1）解：图①描绘的场景对应图③中的点B，图②描绘的场景对应图③中的点D； 故答案为B，D； （2）解：线段与线段不平行；理由是因为兔子在发现自己被乌龟赶超了，速度肯定会有所提升，这样就比刚开始比赛时的速度更快，结合速度、时间和路程是成正比例关系的，速度越快，代表着直线的倾斜度也越陡，所以这两条直线是不会平行的； （3）解：由题意可得如下图像：    13．（24-25八年级下·上海·期中）“双十一”甲、乙两家商店为招揽顾客推出优惠活动；甲商店所购商品全按原价打八折；乙商店所购商品接原价每满200元减50元．设顾客在甲、乙两家商店购买商品原价都为元， (1)请直接写出当时，顾客在乙商店实际付款金额元与原价元之间函数关系式为_____． (2)若顾客购买原价在350元以下的商品时，如果分别选择甲、乙两家商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求的值． (3)若顾客购买原价在600元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)当时，或当时，选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算 【详解】（1）解：乙商店所购商品接原价每满200元减50元，购买商品原价为元，， ∴； （2）解：顾客购买原价在350元以下的商品， ∴在甲家付款金额为元，在乙家付款金额为元， ∴， 解得，， ∴顾客购买原价为元； （3）解：顾客购买原价在600元以下的商品， ∴在甲家付款金额为元， 当时，在乙家付款金额为元， 当时，在乙家付款金额为元， 当时，在乙家付款金额为元， ①∵，即在乙家付款大于甲家付款， ∴，不符合题意； ②当时，， 解得，， ∴； ③当时，， 解得，， ∴； 综上所述，当时，或当时，选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25八年级下·上海·期中）一次函数的图像经过点和点，其中，则应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：一次函数的图像经过点和点， ∴ 将代入方程得：， ∴ 又∵，故，即． 综上，且， 故选B． 2．（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）下列命题中，正确的是（   ） A．一次函数在轴上的截距是 B．一次函数的图像与轴交于点 C．一次函数的图像一定经过第二、四象限 D．一次函数的图像是一条线段 【答案】D 【详解】解：对选项A：∵ ， 令，得， ∴ 该函数在轴上的截距为，A错误，该选项不符合题意； 对选项B：∵ 一次函数与轴相交时，令得， ∴ 交点坐标为，B错误，该选项不符合题意； 对选项C：∵ ，当时，，此时函数图象经过第一、三象限， ∴ 该函数图象不一定经过第二、四象限，C错误，该选项不符合题意； 对选项D：∵ 一次函数的图象是直线， 又∵ 自变量的取值范围是， ∴ 图象是一条线段，D正确，该选项符合题意． 3．（25-26八年级上·上海·期中）一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为（小时），航行过的路程为（千米），则关于的函数图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：第一段，轮船先从甲地顺水航行到乙地， 是顺水航行， 速度大于静水速度，图象陡一些， 到达乙地后停留一段时间，路程没有变化，图象平行于横轴， 又从乙地逆水航行返回到甲地，路程逐步增加， 是逆水航行， 速度小于静水速度，图象平缓一些， 关于的函数图像大致是D． 故选：D． 4．（24-25八年级上·上海·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数和一次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】解：A、由图可知，正比例函数经过第一、三象限，说明． 一次函数中，，因此其与轴交点应在 y 轴负半轴；但图中显示该交点在轴正半轴，两者矛盾． 不符合题意； B、由图可知，正比例函数经过第二、四象限，说明． 此时，一次函数中，，因此其与轴交点应在轴正半轴；且一次函数斜率为，图象从左下到右上倾斜，与图示完全一致．符合题意； C、由图可知，正比例函数经过第二、四象限，说明． 此时，一次函数中，，因此其与轴交点应在轴正半轴；但图中显示该交点在轴负半轴，两者矛盾．不符合题意； D、由图可知，正比例函数经过第一、三象限，说明． 一次函数中，，因此其与轴交点应在 y 轴负半轴；且一次函数斜率为，图象从左下到右上倾斜，与图示不一致．不符合题意； 故选：B 二、填空题 5．（24-25八年级下·上海·期中）已知点在直线上，到的距离和到直线的距离相等，则点的坐标为_____． 【答案】或 【详解】解：∵点在直线上， ∴设， ∴到的距离为，到直线的距离为， ∵到的距离和到直线的距离相等， ∴， 整理得， 解得或， ∴或， 故答案为：或． 6．（24-25八年级下·上海长宁·期末）已知a、b、c分别为的三条边长，c为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，如点在“勾股一次函数”的图像上，且的面积为4，则c的值为_______． 【答案】4 【详解】解：∵点在“勾股一次函数”的图象上， ∴， ∴， 又∵a、b、c分别为的三条边长，c为斜边长，，的面积是4， ∴，， ∴， ∴， 解得或（负值舍去）， 故答案为：4． 7．（24-25八年级下·上海·月考）已知，直线与轴、轴分别相交于、，以线段为直角边在第一象限内作等腰，且点为坐标系中的一个动点，现要使得和的面积相等，则实数的值为______． 【答案】或 【详解】解：当时，则， 点的坐标为， 当时，则， 解得：， 点的坐标为， ，， ， 又为等腰直角三角形， ， 当点在第四象限时，， ，，， ， 即， 解得：； 当点在第一象限时，， ，，， ， 即， 解得：； 综上所述，实数的值为或． 三、解答题 8．（25-26八年级下·上海·月考）测得某摩托车在行驶过程中油箱中的剩余油量（升）和它行驶的时间（小时）的对应值如下表所示： 剩余油量（升） 行驶的时间（小时） 已知油箱中的剩余油量（升）是它行驶的时间（小时）的一次函数． (1)求与的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)在给定的直角坐标系中画出此函数的图像． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 把，代入解析式，得 ， 解得， ∴与的函数关系式为； 时间不能为负，剩余油量也不能为负，因此 ， 解得 ， 即自变量的取值范围为； （2）解：当时，，对应点为； 当时，，对应点为； 如图，在直角坐标系中描出上述两个端点，用直线连接两点，所得的线段即为该函数的图像． 9．（25-26八年级下·上海·月考）一次函数和的图象如图所示，且，． (1)由图可知，不等式的解集是_____； (2)若不等式的解集是． 求点的坐标； 求的值． 【答案】(1)； (2)点的坐标是；的值是． 【详解】（1）解：由图象可知不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：∵，在一次函数上， ∴， 解得：， ∴一次函数， ∵不等式的解集是， ∴点的横坐标是， 当时，， ∴点的坐标是； ∵， ∴，解得， 即的值是． 10．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）已知：如图，直线上有一点，直线上有一点． (1)请直接写出点和点的坐标（其中点的坐标用含的代数式表示）： (2)过点分别作轴，轴，过点分别作轴，如果的面积等于面积的两倍，请求出的值 (3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【详解】（1）解：对于直线，当时，可有， 解得：， 对于直线，当时，可有， 解得：； ，； （2）解：设与交点，如下图， 对于直线，当时，可有， ， ∵，， ， ∴，， ，， ， ， ， 整理得：， 经检验是此方程的根，故的值为； （3）存在； ①当在第一象限时， 由（2）得，， ∴直线的解析式为， ， 在的右侧， 如图，过作轴交于，交于， 设， ， ， ， ，解得：， ； ②当在第二象限时， 如图，连接交轴于， 由①得，，， ∴， 设直线的解析式为，则有 ，解得， 直线的解析式为， 当时，可有，解得， ， ， ， ，解得 ， ∴， ； 综上所述：的坐标为或． 11．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，在直线上有一点P（点P在第一象限内），的面积与的面积相等． (1)求点A和B的坐标； (2)求点P的坐标； (3)直线与轴交于点，点在线段上，且，求Q点坐标． 【答案】(1)点A、B的坐标分别为： (2)点 (3) 【详解】（1）解：令，则， 解得：， ∴， 令，则， ∴． （2）解：如图，过点P作于C， ∵点P在直线上， ∴设， ∵，， ∴， ， ， ， ∵， ∴， 解得：， ∴． （3）解：如图，设直线与相交于D，过点C作于E，过点Q作轴于F， 把代入，得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由题意可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点Q在第四象限， ∴． 12．（24-25八年级下·上海嘉定·期末） 在直角坐标平面系中（如图），点在轴上，一次函数的图象经过点，与轴和轴分别相交于点． (1)求线段的长； (2)求点到直线的距离： (3)如果点在轴上，且使得是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，与轴和轴分别相交于点． ∴， 解得， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设点C到的距离为h， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）理由如下： ∵，，， ∴， 以C为圆心，以为半径画弧，交x轴于点， 则； 作点C关于y轴的对称点，也是符合题意的，此时； 作垂直平分线，交x轴于点，也是符合题意的， 设， 则， 解得， 此时； 综上所述，存在点Q，且分别为或或或． 13．（25-26八年级上·上海·期中）如图，在中， ，D是射线上一点(不与点A、C重合)，过点D作直线的垂线，垂足为点E，M是的中点 (1)求证：； (2)当点D在边上时，如果设，，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)当时， 求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当在上时，；当在延长线上时， 【详解】（1）证明：在中，，是的中点， ． 在中，，是的中点， ， ． （2）解：在中，，，， ． 由勾股定理得， ， ， 在中，， ， ， ，， ， ∵， ∴， ； （3）解：∵， ∴， ①当在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②当在延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴， 由（1）可知， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章 一次函数（复习讲义） 1.理解函数、自变量、函数值概念，会判断两个变量是否为函数关系。 2.掌握一次函数、正比例函数的定义与解析式；会画一次函数图象（直线），理解k、b的几何意义。 3.熟练用待定系数法求一次函数解析式（两点、一点+平行/垂直等）。 4.掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系，会用图象解方程/不等式。 5.会解决一次函数实际应用：行程、费用、方案选择、最值问题。 知识点01函数的概念 1.函数定义：在变化过程中，对x的每一个确定值，y都有唯一确定值对应，则y是x的函数，x自变量，y因变量。 2.函数表示法：解析法、列表法、图象法。 3.自变量取值范围： 整式：全体实数 分式：分母≠0 二次根式：被开方数≥0 实际问题：符合实际意义 知识点02正比例函数与一次函数的概念 1.正比例函数：（），过原点的一次函数。 2.一次函数：（常数，）。 3.判定：化简后为且；正比例函数需且。 知识点03一次函数的图象与性质 1.图象形状：直线；正比例函数过。 2.k的符号（增减性） ：直线上升，随增大而增大 ：直线下降，随增大而减小 3.b的符号（与y轴交点） ：交y轴正半轴 ：过原点 ：交y轴负半轴 4.与坐标轴交点 与y轴： → 与x轴： → 5.图象平移（k不变） 向上平移： 向下平移： 向左平移： 向右平移： 6.平行与垂直 平行：且 垂直：（拓展） 知识点04一次函数与方程、不等式 1.与一元一次方程：的解 → 直线与x轴交点横坐标。 2.与一元一次不等式 → 直线在x轴上方部分对应的x范围 → 直线在x轴下方部分对应的x范围 3.与二元一次方程组：两直线交点坐标 → 对应方程组的解。 知识点05一次函数的应用 1.建模步骤：实际问题→设变量→列解析式→确定定义域→求解→检验。 2.常见类型 行程问题：距离=速度×时间， 费用问题：总费用=基础费+单价×数量 方案选择：比较不同方案的函数值，找最优 最值问题：利用增减性求最大/最小值 题型一 正比例函数、一次函数的识别与判定 【例1】（24-25八年级下·上海·期末）下列四个函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·上海·月考）下列问题中，两个变量成正比例的是（　　） A．等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高 B．等边三角形的面积和它的边长 C．长方形的一边长确定，它的周长与另一边长 D．扇形的半径固定，它的面积和圆心角的大小 【变式1-2】（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）当________时，函数是正比例函数． 【变式1-3】（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）已知函数是一次函数，则a的值是________． 题型二 求一次函数解析式（待定系数法） 【例2】（25-26八年级下·上海·月考）已知直线过点和． (1)求此直线的表达式； (2)如果点在该直线上，且点的横坐标为，求该直线上所有位于点上方的点的纵坐标的取值范围． 【变式2-1】（25-26八年级下·上海徐汇·月考）如图，已知正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，且一次函数的图象经过点，分别交x轴，y轴于点A，B． (1)求正比例函数、一次函数的解析式； (2)求的面积． 【变式2-2】（25-26八年级下·上海·月考）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，与一次函数的图象交于点，点的横坐标为3，轴，为垂足，． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 题型三 已知一点+平行/垂直 【例3】（24-25八年级下·上海宝山·月考）已知直线平行于直线，且在y轴上的截距为，那么该直线的解析式是_______． 【变式3-1】（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）一次函数与没有交点，且过点，则此函数解析式为________． 【变式3-2】（25-26八年级下·上海浦东新·月考）已知：在平面直角坐标系中，直线，直线解析式，直线解析式，两条直线均不与坐标轴平行．求证： 【变式3-3】（24-25八年级下·上海长宁·月考）一次函数的图象过点且与直线平行． (1)求这个一次函数的解析式； (2)画出这个一次函数的图象． 【变式3-4】（25-26八年级下·上海·月考）已知直线与直线平行，且过点． (1)求这条直线的表达式； (2)设这条直线与、轴分别交于点、，如果点在这条直线上（与点、不重合），且，求点的坐标． 题型四 一次函数的图象与性质（象限、增减性） 【例4】（24-25八年级下·上海·期末）已知一次函数，如果函数值y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26八年级下·上海·月考）在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【变式4-2】（24-25八年级下·上海青浦·期末）已知函数，如果函数值，那么的取值范围是________． 【变式4-3】（25-26八年级下·上海·月考）已知一次函数，且y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围为_________． 【变式4-4】（24-25八年级下·上海宝山·月考）如图，如果点和点在直线l的图象上，那么m、n的大小关系是：m_______n．（用“”、“”或“”表示） 【变式4-5】（25-26八年级下·上海徐汇·月考）已知关于的正比例函数． (1)若函数图象经过第一、三象限，求的取值范围； (2)若随的增大而减小，求的取值范围； (3)若点在该函数的图象上，求的值． 题型五 一次函数图象的平移 【例5】（24-25八年级下·上海宝山·月考）如果将一次函数的图像沿y轴向上平移7个单位，那么平移后所得图像的函数解析式为_______． 【变式5-1】将正比例函数的图像沿y轴向下平移3个单位后，得到的函数图像所对应的函数解析式为______． 【变式5-2】（25-26八年级下·上海·月考）已知一次函数的图象由直线平移得到且过点．则______ 题型六 一次函数与方程、不等式 【例6-1】（25-26八年级下·上海·月考）已知一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为_________． 【例6-2】（25-26八年级下·上海·月考）如图所示，直线与直线交点的横坐标是4，那么不等式的解集是_____． 【例6-3】（25-26八年级下·上海·月考）已知方程组无解，那么直线不经过第______象限． 【变式6-1】（24-25八年级下·上海·期中）一次函数的图象如图所示，那么不等式的解集为________． 【变式6-2】（25-26八年级下·上海·月考）一次函数与的图象相交于点．    (1)求点的坐标 (2)结合图象，当时．直接写出的取值范围______ (3)若一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，连接轴上有一点，求当是等腰三角形时，点的坐标． 题型七 一次函数与几何（面积、交点） 【例7-1】（25-26八年级下·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，直线与轴、轴分别交于点，且．点是的中点，为直线上的一个动点，连接．若，则点的坐标是__________． 【例7-2】（25-26八年级下·上海·月考）数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“平面直角坐标系”为背景开展探究活动．如图，已知四边形是平行四边形，点、点，连接，并延长交轴于点． (1)观察发现：直线的函数表达式为________． (2)探究迁移：若点P从点C出发，以2个单位/秒的速度沿x轴向左运动，同时点Q从点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴向右运动，P、Q均在线段上，过点作轴垂线交直线于点，过点作轴垂线交直线于点，连接，猜想四边形的形状（点P，Q重合除外），并证明你的结论； (3)拓展应用：在（2）的条件下，当点P运动多少秒时，四边形是正方形？不需说明理由，请直接写出你的结果． 【变式7-1】（25-26八年级下·上海徐汇·月考）如图，直线：与x轴交于点A，与经过点的直线m交于第一象限内点C，点E为直线上一点，点D为点B关于y轴的对称点，连接、、，若，，则的值为_____． 【变式7-2】（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）已知：在直角坐标系中，直线l经过点，，且与y轴交于点D，点B与点D关于原点对称，将线段沿射线的方向平移，当点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处． (1)求直线l的解析式； (2)求平移过程中线段所扫过的面积； (3)已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标． 【变式7-3】（25-26八年级下·上海·月考）如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于点、，若，点的坐标为 (1)求直线的表达式 (2)若点在直线上，使得，求点的坐标 (3)点是直线上一个动点，点是坐标平面内一个动点，如果以点、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标 题型八 实际应用（行程、费用、方案） 【例8-1】（24-25八年级下·上海松江·月考）某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式并写出x的取值范围． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 【例8-2】（24-25八年级下·上海·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线所示． (1)求线段的表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求乙比甲早几分钟到达终点？ 【例8-3】（25-26八年级下·上海·月考）如图，轴表示一条东西方向的道路，轴表示一条南北方向的道路．小丽和小明分别从十字路口O点处同时出发，小丽沿着轴以3千米/时的速度由西向东前进，小明沿着轴以6千米/时的速度由南向北前进．有一家超市位于图中的点处，超市与轴、轴的距离分别是4千米和3千米．问： (1)离开路口后经过多少时间，两人与这家超市的距离恰好相等？ (2)离开路口后经过多少时间，两人与这家超市所处的位置恰好在一条直线上？ 【变式8-1】（25-26八年级下·上海浦东新·月考）【问题背景】垃圾分类，人人有责，为响应国家号召推进垃圾分类工作，某小区物业在小区内引入了智能回收机供居民使用，为实现小区垃圾分类收益最优化，物业积极筹划． 背景 小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15吨，收益如下： ①处理可回收垃圾：每吨收益50元（如废纸、塑料瓶）； ②处理厨余垃圾：每吨收益30元（如剩饭剩菜）； 环保约束 ①可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍（避免积压）． ②厨余垃圾每天至少处理4吨（防止腐败，保障社区卫生）． 【问题建构】设每日处理可回收垃圾x吨，厨余垃圾y吨，此时总收益为W元． (1)用含x的代数式表示y，则___________；写出总收益W（元）关于x的函数关系式，___________； 【优化决策】 (2)为使每日净收益W最大，物业应如何分配两类垃圾的处理量？ 【变式8-2】（24-25八年级下·上海松江·期末）小明家附近有、两种品牌的共享电动车，其收费方式分别满足函数和，收费（元）与骑行时间（分钟）的关系如图所示．已知小明家到工厂的距离为，两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为． (1)当时，求品牌收费方式与骑行时间的函数解析式． (2)小明从家骑行去工厂，选择哪种品牌的共享电动车更省钱？ (3)当骑行时间为多少时，两种品牌的收费相差2元？ 【变式8-3】（24-25八年级下·上海长宁·月考）某工厂生产某种产品，每件产品成本价25元，出厂价为50元．在生产过程中，每件产品产生立方米污水，工厂有两种方案对污水进行处理． 方案1：自行处理，达标排放．每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元． 方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费． 问： (1)设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，分别求出依方案1和方案2处理污水时，y与x的函数关系式． (2)设工厂每月生产量为6000件产品时，你采用何种方案才能使企业利润最大，请通过计算加以说明． (3)随着工厂生产量的不同，启用何种方案才能使企业的利润最大． 【变式8-4】（25-26八年级下·上海徐汇·月考）如图，表示某电动车厂一天的销售收入与销售量x之间的关系；表示该电动车厂一天的销售成本与销售量x之间的关系． (1)求出销售收入与销售量之间的函数关系式； (2)求出销售成本与销售量之间的函数关系式； (3)当一天的销售量超过多少辆时，工厂才能获利（利润收入成本）？ 【变式8-5】（25-26八年级下·上海·月考）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． (1)请用一次函数分别表示与与之间的函数关系．（不写定义域） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆/分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆/分钟） 25 22 19 16 13 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26八年级下·上海·期中）下列四个图象中，能表示y是x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·上海·月考）已知一次函数的图像如图所示，那么下列说法错误的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 二、填空题 3．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）直线在y轴上的截距是________． 4．（24-25八年级下·上海长宁·期中）已知一次函数，则_____ ． 5．（25-26八年级下·上海徐汇·月考）在一次函数中，当时，，则_______． 6．（24-25八年级下·上海·期末）如果一次函数的图像经过点，那么m的值是_________． 7．（24-25八年级下·上海·期末）如果一次函数的图像与x轴的交点在轴的正半轴上，那么m的取值范围是_________． 三、解答题 8．（25-26八年级下·上海·月考）已知点，且直线与坐标轴围成的图形的面积等于15，求a的值． 9．（24-25八年级下·上海松江·月考）已知一次函数的图象过点和，求函数解析式；并求图象与坐标轴的交点坐标． 1 0．（24-25八年级下·上海·月考）年前月，陕西省新能源汽车产量已达万辆，同比增长，并且全省新能源汽车的“版图”仍在加速扩张中，如图是小明在观察自家购买的某型号新能源纯电动汽车充满电后行驶里程，绘制的蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象，根据图象回答下列问题： (1)当时，求汽车每消耗1千瓦时用电量能行驶的路程； (2)求当汽车已行驶千米时，蓄电池的剩余电量． 11．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，已知直线与轴、轴分别相交于点、，且点的坐标为． (1)求值； (2)若点是线段上的一点，的面积为2，求点的坐标． 12．（23-24八年级下·上海黄浦·期中）“龟兔赛跑”是一则著名的寓言故事，请完成下列问题： (1)图①描绘的场景对应图③中的点______，图②描绘的场景对应图③中的点______； (2)你认为图③中的线段与线段是否平行？请说明你的理由； (3)如果龟兔约定按照相同的规则再比赛一次，且兔龟都没睡觉兔子先到达终点，请在图④画出比赛的大致函数图像． 13．（24-25八年级下·上海·期中）“双十一”甲、乙两家商店为招揽顾客推出优惠活动；甲商店所购商品全按原价打八折；乙商店所购商品接原价每满200元减50元．设顾客在甲、乙两家商店购买商品原价都为元， (1)请直接写出当时，顾客在乙商店实际付款金额元与原价元之间函数关系式为_____． (2)若顾客购买原价在350元以下的商品时，如果分别选择甲、乙两家商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求的值． (3)若顾客购买原价在600元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求的取值范围． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25八年级下·上海·期中）一次函数的图像经过点和点，其中，则应满足（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）下列命题中，正确的是（   ） A．一次函数在轴上的截距是 B．一次函数的图像与轴交于点 C．一次函数的图像一定经过第二、四象限 D．一次函数的图像是一条线段 3．（25-26八年级上·上海·期中）一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为（小时），航行过的路程为（千米），则关于的函数图像大致是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·上海·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数和一次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级下·上海·期中）已知点在直线上，到的距离和到直线的距离相等，则点的坐标为_____． 6．（24-25八年级下·上海长宁·期末）已知a、b、c分别为的三条边长，c为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，如点在“勾股一次函数”的图像上，且的面积为4，则c的值为_______． 7．（24-25八年级下·上海·月考）已知，直线与轴、轴分别相交于、，以线段为直角边在第一象限内作等腰，且点为坐标系中的一个动点，现要使得和的面积相等，则实数的值为______． 三、解答题 8．（25-26八年级下·上海·月考）测得某摩托车在行驶过程中油箱中的剩余油量（升）和它行驶的时间（小时）的对应值如下表所示： 剩余油量（升） 行驶的时间（小时） 已知油箱中的剩余油量（升）是它行驶的时间（小时）的一次函数． (1)求与的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)在给定的直角坐标系中画出此函数的图像． 9．（25-26八年级下·上海·月考）一次函数和的图象如图所示，且，． (1)由图可知，不等式的解集是_____； (2)若不等式的解集是． 求点的坐标； 求的值． 10．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）已知：如图，直线上有一点，直线上有一点． (1)请直接写出点和点的坐标（其中点的坐标用含的代数式表示）： (2)过点分别作轴，轴，过点分别作轴，如果的面积等于面积的两倍，请求出的值 (3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 11．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，在直线上有一点P（点P在第一象限内），的面积与的面积相等． (1)求点A和B的坐标； (2)求点P的坐标； (3)直线与轴交于点，点在线段上，且，求Q点坐标． 12．（24-25八年级下·上海嘉定·期末） 在直角坐标平面系中（如图），点在轴上，一次函数的图象经过点，与轴和轴分别相交于点． (1)求线段的长； (2)求点到直线的距离： (3)如果点在轴上，且使得是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 13．（25-26八年级上·上海·期中）如图，在中， ，D是射线上一点(不与点A、C重合)，过点D作直线的垂线，垂足为点E，M是的中点 (1)求证：； (2)当点D在边上时，如果设，，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)当时， 求的面积． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $