专题26.1 反比例函数的概念（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制八年级下册

本讲义聚焦反比例函数的概念这一核心知识点，先通过实际问题引出反比例关系（xy=k,k≠0），再抽象出反比例函数定义（y=k/x,k≠0），对比正反比例函数，形成从概念辨析、例题解析到题型分类练习的学习支架。 资料以“即学即练”例题（如矩形面积、路程问题）引导学生用数学眼光观察现实世界，通过正反比例对比培养推理意识，借助待定系数法和实际问题建模发展模型意识。课中助力教师高效授课，课后帮助学生强化练习、弥补知识盲点。

专题26.1反比例函数的概念 教学目标 1.  理解反比例函数的概念，能判断给定的函数是否为反比例函数； 2.能根据实际问题中的数量关系，写出反比例函数表达式； 3.比较正反比例函数，培养类比、归纳的思维能力. 教学重难点 1.重点 理解反比例函数的概念； 2.难点 理解 x 与 y 成反比例等价于 xy=k（定值） 知识点01 反比例函数的概念 1.反比例关系 如果变量y与变量x的乘积是一个不等于0的常数，那么就说变量y与变量x成反比，用数学式子表示为=k或y=,其中k是一个不等于0的常数. 【即学即练】 例1 下列表述中的变量y与变量x是否成反比例? (1)在一块平地上，划出一个占地面积为 100 m² 的矩形区域，这个矩形区域相邻两边的长分别为 x m、y m. ; (2)圆的面积随着半径的变化而变化，圆的面积y(单位：m²)与该圆的半径x(单位：m); (3)在路程一定的情况下，汽车行驶的时间随着速度的变化而变化，汽车的用时y（h）与汽车的速度x(km/h)； (4)圆锥的体积 V 一定，它的底面积 y 和高 x . 解：（1）因为xy=，所以这个矩形区域相邻两边的长成反比例； （2） 因为y=,所以xy不是个常数，所以圆的面积y与半径不成反比例; （3） 设路程为s，则s=xy，这里y与x的乘积是个常数，所以在路程一定的情况下，汽车的用时y（h）与汽车的速度x(km/h)成反比例;y= （4）因为 V=x∙y，所以 y和 x成反比例. 2.反比例函数的概念 形如y= (k是常数，k≠0)的函数叫作反比例函数，其中非零常数k称为比例系数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 反比例函数的本质是指y与x的乘积是个不为0的常数. 【即学即练】 例2 下列函数中，哪些是反比例函数？ (1) y=-x ; (2) y=- ; (3) y= (a为常数，a≠0); 解析：要判定一个函数是不是反比例函数，关键是看它的表达式是否符合xy=k(k是常数，k≠0)的形式. 解：(1)y=- 不是反比例函数，不符合xy=k(k是常数，k≠0)的形式. (2)y=- 是反比例函数.因为它符合符合xy=k(k是常数，k≠0)的形式，其中k=-. (3)y= 是反比例函数.因为它符合符合xy=k(k是常数，k≠0)的形式，其中k=2a. 知识点02 待定系数法 1.反比例函数表达式的确定——待定系数法 确定了比例系数k,就可以给出反比例函数的表达式：y= (k≠0). 求正比例函数表达式的方法是待定系数法.表达式中k是待定系数，利用已知条件列出关于k的方程再求解，可确定k的值. 说明： ①正比例函数的表达式是由比例系数“k”决定的，意思是“k”相同表达式就相同，反之“k”不同表达式就不同。 ②反比例函数的表达式与自变量与函数选用什么字母没有关系. 譬如“y=”与“m=”是体现同一种函数关系的表达式；“y=”与“y=”虽然变量字母相同，但比例系数不同，它们就是表达不同的函数关系. 【即学即练】 例3 已知y是x的反比例函数，且当x=4时，y=7. (1)写出y关于x的函数表达式； (2)当x=5时，求y的值. 解：（1）因为y是x的反比例函数，可设其表达式为y= (k≠0). 把x=4，y=7代入， 得：7=,解得k=28. 所以该函数的表达式为y=. （2）当x=5时，y=. 2.复合函数表达式的确定 例4. 已 知y=y₁-y₂, 且 y₁与 x 成正比例，y₂与 x 成反比例，当x=1 时，y=-2; 当 x=4 时，y=7, 求 y 与 x 的函数表达式. 解：设 y₁=k₁x(k₁≠0)，=(k_2≠0) 则 y=k₁x− 把 x=1,y=-2;x=4,y=7   分别代入，得 解之得k1=2，k2=4 所以，y 与 x 的函数表达式为 y=2x− 题型01 反比例关系的辨析 【典例1】下列问题中，两个变量成反比例的是（    ） A．商一定时（不为零），被除数与除数 B．等边三角形的面积与它的边长 C．货物的总价A不变，货物的单价a与货物的数量x D．长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b 【答案】C 【分析】本题考查了反比例．两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系． 【详解】解：A、商一定时（不为零），被除数和除数成正比例关系,故A错误； B、等边三角形的面积与它的边长不成反比例关系；故B错误； C、货物的总价A一定时，货物的单价a与货物的数量x成反比例关系；故C正确； D、长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b不成反比例关系；故D错误. 故选：C 【变式1】下列各选项中的两个量成反比例关系的是（   ） A．速度一定，路程与时间 B．圆柱的体积一定，底面积与高 C．小明的体重与他的年龄 D．圆的周长与半径 【答案】B 【分析】本题考查了反比例关系； 判断两个量是否成反比例关系，需满足它们的乘积为常数． 【详解】解：A．速度一定时，路程与时间成正比，不符合题意； B．V=底面积S×高h，圆柱的体积V一定，底面积与高成反比例关系，符合题意； C．体重与年龄无确定比例关系，不符合题意； D．圆的周长与半径成正比，不符合题意； 故选：B． 【变式2】18．分别写出下列函数的表达式，并判断它们是不是反比例函数（不用写出自变量的取值范围）． (1)当圆柱的体积是时，它的高（单位：）关于底面圆的面积（单位：）的函数． (2)玲玲用200元购买营养品送给妈妈，她所能购买的营养品的质量（单位：kg）关于营养品的售价（单位：元）的函数． 【答案】(1)，是反比例函数 (2)，是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的定义； （1）根据圆柱体的体积底面积高列函数关系式，再结合反比例函数的定义进行判断，即可得到结论； （2）根据单价数量，可得和的关系式，接下来根据反比例函数的定义判断. 【详解】（1）解：由题意，得，是反比例函数． （2）解：由题意，得，是反比例函数． 【变式3】用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并指出其中哪些是反比例函数． (1)某中学八年级（2）班学生为校运动会制作彩旗80面，完成天数（天）随该班学生平均每天制作的数量（面）的变化而变化； (2)已知菱形的面积为，一条对角线长随另一条对角线长的变化而变化； (3)小明家距学校4000m，若他骑车上学的平均速度是，则上学途中他与学校的距离随他骑车的时间的变化而变化． 【答案】(1)，是反比例函数 (2)，是反比例函数 (3) 【分析】本题考查列函数关系式，判断是否是反比例函数，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据每天的数量乘以天数等于总量，列出函数关系式，进行判断即可； （2）根据菱形的面积公式，列出函数关系式，进行判断即可； （3）根据路程等于速度乘以时间，列出函数关系式，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴，是反比例函数； （2）由题意，得：； ∴，是反比例函数； （3）由题意，得：；不是反比例函数． 【变式4】．在面积为定值的一组矩形中，当矩形的一边长为时，它的另一边长为． (1)设矩形相邻的两边长分别为，求y关于x的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数． (2)若其中一个矩形的一条边长为，求这个矩形与之相邻的另一边长． 【答案】(1)，是反比例函数，比例系数为60 (2)这个矩形与之相邻的另一边长为12cm 【分析】（1）根据矩形的面积及反比例函数的定义即可求解； （2）把代入（1）中函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：设矩形的面积为，则， 即，， 即关于的函数解析式是，这个函数是反比例函数，系数为60； （2）解：当时，， 故这个矩形与之相邻的另一边长为12cm． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 题型02 反比例函数的辨析 【典例1】下列函数表达式中，y是x的反比例函数吗？如果是，把它写成的形式，并指出k的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)是， (2)是， (3)是，， 【分析】本题考查反比例函数的判断，熟练掌握反比例函数的定义，是解题的关键： （1）根据反比例函数的定义，进行判断，用含的代数式表示出即可； （2）根据反比例函数的定义，进行判断，用含的代数式表示出即可； （3）根据反比例函数的定义，进行判断，用含的代数式表示出即可． 【详解】（1）解：是反比例函数； ∵， ∴， ∴，； （2）是反比例函数； ∵， ∴， ∴； （3）是反比例函数； ∵， ∴，． 【变式1】下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的意义分别进行分析即可，形如：或或的函数是反比例函数． 【详解】解：A．，y是的反比例函数，故此选项不合题意； B．，得，y是x的反比例函数，故此选项符合题意． C．，不是的反比例函数，故此选项不合题意； D．，则，y不是x的反比例函数，故此选项不合题意； 故选：B． 【变式2】若是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的标准形式是解题关键． 反比例函数的标准形式为或，其中为常数且，据此对选项进行判断． 【详解】解：反比例函数的标准形式为或，其中为常数且， ∵是反比例函数，， ∴． 故选：． 【变式3】若函数是反比例函数，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的形式为，其中是解题的关键． 根据反比例函数的定义列式方程计算即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， 解得：． 故选B． 【变式4】下列关于的函数中，哪些一定是反比例函数？把一定是反比例函数的关系式改写成的形式，并指出的值． ①；②；③；④． 【答案】见解析 【详解】解：②一定是反比例函数，，的值是； ③一定是反比例函数，，的值是． 题型03 待定系数法求反比例函数的表达式 【典例1】已知函数，其中与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求关于的函数解析式． 【答案】 【分析】根据与成正比例，与成反比例，不妨设，，结合 得，根据题意，构造方程组解答即可． 本题考查了成正比，成反比的意义，解方程组，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：∵与成正比例，与成反比例， 不妨设，， ∵， ∴， ∵当时，；当时，． ∴， 解得， 故关于的函数解析式． 【变式1】已知y是x的反比例函数，当时，，则y与x的函数表达式为______． 【答案】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：设函数解析式为， ∵当时，， ∴； ∴； 故答案为：． 【变式2】某小型开关厂准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益．通过测算，开关的年产量y万只与投入改造经费x万元之间满足：与成反比例，且当投入改造经费1万元时，年产量是2万只．求年产量y与投入改造经费x之间的函数表达式． 【答案】 【分析】设，求出的值，化简即可． 【详解】解：由题意得：设 ∵当投入改造经费1万元时，年产量是2万只 ∴ 解得： ∴ 即： 【点睛】本题考查反比例关系．根据题意正确设出关系式即可． 【变式3】已知，与成正比例，与成反比例，当、时，的值都为1，求和之间的函数解析式以及当时的值． 【答案】，当时，． 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，解方程组，算术平方根，反比例与正比例等知识点，根据题意设,然后把、时，的值都为1，分别代入得到关于、的方程组，解方程组求出、的值，然后代入即可得解，能正确设出函数表达式是解决此题的关键． 【详解】解：设， ， 把，分别代入上式得， ， 解之得， ， 当时，． 【变式4】已知，并且与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求关于的函数解析式： (2)求时的函数值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查正比例函数，反比例函数，函数值的计算，掌握正比例、反比例函数的计算是解题的关键． （1）设，则，把时，；当时，，代入计算即可求解； （2）把代入（1）中函数解析式计算即可． 【详解】（1）解：∵与成正比例，与成反比例， ∴设， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， 解得，， ∴； （2）解：当时，． 题型04 求实际问题中的函数表达式 【典例1】我市到杭州的高速公路大约长，一辆轿车从我市出发开往杭州，轿车到达杭州的时间和行驶的平均速度之间有怎样的关系？v是t的反比例函数吗？ 【答案】，v是t的反比例函数 【分析】根据速度、路程、时间之间的关系列出函数关系式，进行判断即可． 【详解】解：根据题意得，这辆汽车行完全程所需时间与行驶的平均速度之间的函数关系式为，v是t的反比例函数． 故答案为：；v是t的反比例函数． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的定义，解题的关键是求出函数关系式，熟练掌握反比例函数的定义． 【变式1】某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输天数之间的关系如下表： 每天运输的吨数 500 250 100 50 …… 运输的天数 1 2 5 …… (1)这批货物共有多少吨？ (2)用表示运输天数，用表示每天运输的吨数，用式子表示它们的关系． (3)与成反比例关系吗？如果成，请求出表格中的值． 【答案】(1) 500吨 (2) (3) 成反比例关系， 【分析】本题考查了反比例关系的实际应用，解题的关键是根据“货物总量每天运输吨数运输天数”确定总量，并分析变量间的关系． （1）用每天运输吨数乘对应天数计算货物总量； （2）根据总量公式变形得到与的关系式； （3）依据反比例关系的定义判断，再代入总量求的值． 【详解】（1）解：（吨）． 答：这批货物共有500吨． （2）解：由，得. （3）解：∵（定值）， ∴与成反比例关系． 当时，． 【变式2】设面积为的三角形的一条边长为，这条边上的高线长为． (1)求h关于a的函数表达式和自变量a的取值范围． (2)h关于a的函数是不是反化例函数？如果是，说出它的比例系数． (3)求当边长时，这条边上的高线长． 【答案】(1)，自变量a的取值范围为 (2)是反比例函数，比例系数为20 (3)这条边上的高线长为8cm 【分析】（1）根据平行四边形的面积公式可得，进而得出与的函数关系式，结合的意义确定其取值范围； （2）根据反比例函数的定义和一般形式解答即可； （3）将代入（1）中的函数表达式求解的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得， ， ∵为三角形的边长， ∴． （2）答：关于的函数是反比例函数，它的比例系数是20． （3）解：当时，这条边上的高． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【变式3】如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 【答案】， 【分析】此题考查根据实际问题列函数关系式，理解题意掌握长方形的面积公式是解题的关键．根据长方形的面积长宽，可得，进而得出y关于x的函数表达式，再根据围墙可利用的最大长度为求得x的取值范围． 【详解】解：解：由题意得，即． ∵围墙可利用的最大长度为， ∴， 故答案为：，． 【变式4】一辆汽车前灯电路上的电压保持不变，通过灯泡的电流越大，灯就越亮．设选用灯泡的电阻为，通过的电流强度为． (1)若电阻为，通过的电流强度为，求I关于R的函数表达式，并说明比例系数的实际意义． (2)如果电阻大于，那么与原来的相比，汽车前灯的亮度将发生什么变化？ 【答案】(1)所求的函数表达式为．比例系数是12，在本题中的实际意义是指汽车前灯的电压为 (2)当电阻大于时，电流强度I变小，汽车前灯将变暗 【分析】（1）根据欧姆定律知，I与R成反比例，设，然后待定系数法进行求解函数解析式即可； （2）设电阻，此时通过灯泡的电流强度，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：在题设条件下，电压U是不为零的常数．由欧姆定律知，I与R成反比例，设． 由题意知，当时，， ∴， ∴． 所以所求的函数表达式为．比例系数是12，在本题中的实际意义是指汽车前灯的电压为． （2）解：设电阻，此时通过灯泡的电流强度． ∵， ∴，即． 也就是说，当电阻大于时，电流强度I变小，汽车前灯将变暗． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义及欧姆定律是解题的关键． 1．下面说法中错误的是（   ） A．平行四边形的面积一定，底和高成反比例 B．铺地面积一定，方砖的边长与所需的块数成反比例 C．一个圆的面积和它的半径不成比例 D．正方形的周长和它的边长成正比例 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，能熟记反比例函数的定义是解此题的关键． 根据反比例函数与正比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．当平行四边形的面积一定时，底与高成反比例，故原说法正确，不符合题意； B．当总面积一定时，方砖的边长的平方与所需的块数成反比例，故原说法错误，符合题意； C．圆的面积，可知圆的面积与半径的平方成正比，故原说法正确，不符合题意； D．正方形的周长边长（一定），所以正方形的周长与边长成正比例，故原说法正确，不符合题意． 故选：B． 2．下列函数中，是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数的定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为（k为常数，）或（k为常数，）． 【详解】解：∵反比例函数的定义为：形如（为常数，，）的函数， ∴A选项是正比例函数，不符合反比例函数定义， B选项符合反比例函数的形式，是反比例函数， C选项是二次函数，不符合反比例函数定义， D选项是一次函数与反比例函数的和，不是反比例函数． 综上，故答案选B． 3．为了给学生们创建更好的学习和生活环境，某学校利用假期时间进行了装修改造，以下相关情境中，y是x的反比例函数的是（   ） A．在校园的绿化带内重新栽种绿植，一个工人每小时栽种6平方米，栽种时间为x小时，栽种的总面积为y平方米 B．用长为80米的栅栏围一个矩形劳动实践基地，矩形长x米，宽y米 C．修建一个圆形花坛，花坛半径为x米，面积为y平方米 D．对教学楼2000平方米的外墙重新粉刷，每天粉刷x平方米，需要粉刷y天 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数定义（k 为常数，），逐一分析各选项中的函数关系． 【详解】解：A．栽种总面积，为正比例函数，故A不符合题意； B．栅栏周长，得，为一次函数，故B不符合题意； C．圆面积，为二次函数，故C不符合题意； D．总工作量，得，符合反比例函数，故D符合题意． 故选：D． 4．下列各式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如或（其中k为常数，且）的函数叫做反比例函数，据此可得答案． 【详解】解：由反比例函数的定义可知，四个选项中，只有B选项中的式子中是的反比例函数， 故选：B． 5．反比例函数中的常数k为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握“形如的函数是反比例函数”是解题的关键． 根据定义直接求解即可． 【详解】解：， ， 故选：D． 6．已知反比例函数的解析式为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．a为任意实数 【答案】C 【分析】本题考核知识点：反比例函数定义，解题关键点：理解反比例函数定义，根据反比例函数的定义可得，可解得． 【详解】解：根据反比例函数的定义可得， 解得． 故选C． 7．已知与成反比例，与成正比，如果当时，，那么当时，______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，正比例函数的定义，反比例函数，正比例函数，将所给数据代入求出系数再代入x的值即可，用待定系数法求函数表达式求出z与x的函数关系是解题关键． 【详解】解：∵与成反比例，即设，与成正比例，即设， ∴，即与成反比例关系， ∴把代入得， ∴与成反比例关系式为， ∴当时，， 故答案为：． 8．当三角形的面积为时，它的底边长与底边上的高之间的函数表达式为_____． 【答案】 【分析】根据等量关系“三角形的面积底边底边上的高”即可列出与的关系式． 【详解】解：∵三角形的面积底边底边上的高 ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，找出等量关系是解决此题的关键． 9．已知y与2x﹣3成反比例，且当x＝2时，y＝4，求y关于x的函数解析式． 【答案】y＝ 【分析】根据题意可以设出y＝（k≠0），把“x＝2，y＝4”代入，进行求解即可得出函数解析式． 【详解】解：依题意可设y＝（k≠0）， ∵当x＝2时，y＝4， ∴4＝， ∴k＝4， ∴函数解析式为y＝． 答：y关于x的函数解析式是y＝． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，注意设函数解析式时，系数k不为零． 10．已知，其中与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，，求关于的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，掌握反比例数函数与正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数和反比例函数的定义，设函数关系式，再把当时；当时，，代入，即可求解． 【详解】解：∵与成反比例，与成正比列， ∴设，， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴， 即． 11.15．用解析式表示下列函数． （1）三角形的面积是，它的一边a（单位：）是这边上的高h（单位：）的函数； （2）圆锥的体积是，它的高h（单位：）是底面面积S（单位：）的函数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据三角形的面积公式写出解析式即可； （2）根据圆锥的体积公式写出解析式即可． 【详解】（1） （2） 【点睛】本题考查了反比例函数表达式，掌握相关公式以及函数知识是解题的关键． 12．用一批纸装订同样大小的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 60 (1)将表格补充完整． (2)判断每本的页数和可以装订的本数是否成反比例，并说明理由． (3)如果现在需要用这批纸装订本同样大小的练习本，那么每本练习本有多少页？ 【答案】(1)见解析 (2)成反比例，理由见解析 (3) 页 【分析】本题考查了反比例函数，（1）先根据已知的每本页数和装订本数算出总页数，再用总页数除以对应页数得到装订本数；（2）根据反比例函数的定义判断即可；（3）用（1）中得到的总页数除以本，即可得到每本的页数. 【详解】（1）解：总页数为：（页）； 当页数为页时，本数为：（本）； 当页数为页时，本数为：（本）； 故表格如下： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 144 120 60 （2）解：每本的页数和可以装订的本数成反比例；理由如下： 根据表中的数据可知，每本的页数随装订本数的变化而变化，总页数一定，即每本的页数和装订的本数的积一定，所以成反比例. （3）解：（页）． 故每本练习本有页． 13．（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ （2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ 【答案】（1），y是x的反比例函数；（2），y是x的反比例函数 【分析】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的定义，一般地，形如，其中k是常数的函数叫做反比例函数： （1）根据题意结合“质量单价总价”列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可； （2）根据“放水时间放水速度蓄水量” 列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ∴， ∴y是x的反比例函数； （2）由题意，得， ∴y是x的反比例函数． 14．水池内有污水，设放净全池污水所需时间为，每小时放水量为． (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)求当时，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据所需时间＝池内污水量÷每小时放水量可得y与x之间的函数关系式； （2）把代入（1）中函数关系式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）当时，． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出反比例函数关系以及求反比例函数值，正确列出函数关系式是解题的关键． 15．如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为，设与墙垂直的边长为xm，与墙平行的边长为ym． (1)直接写出y与x的函数关系式为______； (2)现有两种方案或，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长． 【答案】(1) (2)22m 【分析】（1）)利用矩形的面积计算公式可得出xy= 60，变形后即可得出结论； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出当x = 5和x = 6时的y值，结合墙长11m即可得出应选x = 6的设计方案，再将其代入2x + y中即可求出此栅栏的总长． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴y与x的函数关系式为：， 故答案为：； （2）解：当x= 5时，， ∵， ∴不符合题意，舍去； 当x=6时，， ∵， ∴符合题意，此栅栏总长为： ； 答：应选择x = 6的设计方案，此栅栏总长为22m． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y与x的函数关系式；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出x=5和x=6时的y值． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.1反比例函数的概念 教学目标 1.  理解反比例函数的概念，能判断给定的函数是否为反比例函数； 2.能根据实际问题中的数量关系，写出反比例函数表达式； 3.比较正反比例函数，培养类比、归纳的思维能力. 教学重难点 1.重点 理解反比例函数的概念； 2.难点 理解 x 与 y 成反比例等价于 xy=k（定值） 知识点01 反比例函数的概念 1.反比例关系 如果变量y与变量x的乘积是一个不等于0的常数，那么就说变量y与变量x成反比，用数学式子表示为=k或y=,其中k是一个不等于0的常数. 【即学即练】 例1 下列表述中的变量y与变量x是否成反比例? (1)在一块平地上，划出一个占地面积为 100 m² 的矩形区域，这个矩形区域相邻两边的长分别为 x m、y m. ; (2)圆的面积随着半径的变化而变化，圆的面积y(单位：m²)与该圆的半径x(单位：m); (3)在路程一定的情况下，汽车行驶的时间随着速度的变化而变化，汽车的用时y（h）与汽车的速度x(km/h)； (4)圆锥的体积 V 一定，它的底面积 y 和高 x . 解：（1）因为xy=，所以这个矩形区域相邻两边的长成反比例； （2） 因为y=,所以xy不是个常数，所以圆的面积y与半径不成反比例; （3） 设路程为s，则s=xy，这里y与x的乘积是个常数，所以在路程一定的情况下，汽车的用时y（h）与汽车的速度x(km/h)成反比例;y= （4）因为 V=x∙y，所以 y和 x成反比例. 2.反比例函数的概念 形如y= (k是常数，k≠0)的函数叫作反比例函数，其中非零常数k称为比例系数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 反比例函数的本质是指y与x的乘积是个不为0的常数. 【即学即练】 例2 下列函数中，哪些是反比例函数？ (1) y=-x ; (2) y=- ; (3) y= (a为常数，a≠0); 解析：要判定一个函数是不是反比例函数，关键是看它的表达式是否符合xy=k(k是常数，k≠0)的形式. 解：(1)y=- 不是反比例函数，不符合xy=k(k是常数，k≠0)的形式. (2)y=- 是反比例函数.因为它符合符合xy=k(k是常数，k≠0)的形式，其中k=-. (3)y= 是反比例函数.因为它符合符合xy=k(k是常数，k≠0)的形式，其中k=2a. 知识点02 待定系数法 1.反比例函数表达式的确定——待定系数法 确定了比例系数k,就可以给出反比例函数的表达式：y= (k≠0). 求正比例函数表达式的方法是待定系数法.表达式中k是待定系数，利用已知条件列出关于k的方程再求解，可确定k的值. 说明： ①正比例函数的表达式是由比例系数“k”决定的，意思是“k”相同表达式就相同，反之“k”不同表达式就不同。 ②反比例函数的表达式与自变量与函数选用什么字母没有关系. 譬如“y=”与“m=”是体现同一种函数关系的表达式；“y=”与“y=”虽然变量字母相同，但比例系数不同，它们就是表达不同的函数关系. 【即学即练】 例3 已知y是x的反比例函数，且当x=4时，y=7. (1)写出y关于x的函数表达式； (2)当x=5时，求y的值. 解：（1）因为y是x的反比例函数，可设其表达式为y= (k≠0). 把x=4，y=7代入， 得：7=,解得k=28. 所以该函数的表达式为y=. （2）当x=5时，y=. 2.复合函数表达式的确定 例4. 已 知y=y₁-y₂, 且 y₁与 x 成正比例，y₂与 x 成反比例，当x=1 时，y=-2; 当 x=4 时，y=7, 求 y 与 x 的函数表达式. 解：设 y₁=k₁x(k₁≠0)，=(k_2≠0) 则 y=k₁x− 把 x=1,y=-2;x=4,y=7   分别代入，得 解之得k1=2，k2=4 所以，y 与 x 的函数表达式为 y=2x− 题型01 反比例关系的辨析 【典例1】下列问题中，两个变量成反比例的是（    ） A．商一定时（不为零），被除数与除数 B．等边三角形的面积与它的边长 C．货物的总价A不变，货物的单价a与货物的数量x D．长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b 【变式1】下列各选项中的两个量成反比例关系的是（   ） A．速度一定，路程与时间 B．圆柱的体积一定，底面积与高 C．小明的体重与他的年龄 D．圆的周长与半径 【变式2】分别写出下列函数的表达式，并判断它们是不是反比例函数（不用写出自变量的取值范围）． (1)当圆柱的体积是时，它的高（单位：）关于底面圆的面积（单位：）的函数． (2)玲玲用200元购买营养品送给妈妈，她所能购买的营养品的质量（单位：kg）关于营养品的售价（单位：元）的函数． 【变式3】用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并指出其中哪些是反比例函数． (1)某中学八年级（2）班学生为校运动会制作彩旗80面，完成天数（天）随该班学生平均每天制作的数量（面）的变化而变化； (2)已知菱形的面积为，一条对角线长随另一条对角线长的变化而变化； (3)小明家距学校4000m，若他骑车上学的平均速度是，则上学途中他与学校的距离随他骑车的时间的变化而变化． 【变式4】．在面积为定值的一组矩形中，当矩形的一边长为时，它的另一边长为． (1)设矩形相邻的两边长分别为，求y关于x的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数． (2)若其中一个矩形的一条边长为，求这个矩形与之相邻的另一边长． 题型02 反比例函数的辨析 【典例1】下列函数表达式中，y是x的反比例函数吗？如果是，把它写成的形式，并指出k的值． (1)； (2)； (3)． 【变式1】下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】若是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】若函数是反比例函数，则的值为（） A． B． C． D． 【变式4】下列关于的函数中，哪些一定是反比例函数？把一定是反比例函数的关系式改写成的形式，并指出的值． ①；②；③；④． 题型03 待定系数法求反比例函数的表达式 【典例1】已知函数，其中与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求关于的函数解析式． 【变式1】已知y是x的反比例函数，当时，，则y与x的函数表达式为______． 【变式2】某小型开关厂准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益．通过测算，开关的年产量y万只与投入改造经费x万元之间满足：与成反比例，且当投入改造经费1万元时，年产量是2万只．求年产量y与投入改造经费x之间的函数表达式． 【变式3】已知，与成正比例，与成反比例，当、时，的值都为1，求和之间的函数解析式以及当时的值． 【变式4】已知，并且与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求关于的函数解析式： (2)求时的函数值． 题型04 求实际问题中的函数表达式 【典例1】我市到杭州的高速公路大约长，一辆轿车从我市出发开往杭州，轿车到达杭州的时间和行驶的平均速度之间有怎样的关系？v是t的反比例函数吗？ 【变式1】某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输天数之间的关系如下表： 每天运输的吨数 500 250 100 50 …… 运输的天数 1 2 5 …… (1)这批货物共有多少吨？ (2)用表示运输天数，用表示每天运输的吨数，用式子表示它们的关系． (3)与成反比例关系吗？如果成，请求出表格中的值． 【变式2】设面积为的三角形的一条边长为，这条边上的高线长为． (1)求h关于a的函数表达式和自变量a的取值范围． (2)h关于a的函数是不是反化例函数？如果是，说出它的比例系数． (3)求当边长时，这条边上的高线长． 【变式3】如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 【变式4】一辆汽车前灯电路上的电压保持不变，通过灯泡的电流越大，灯就越亮．设选用灯泡的电阻为，通过的电流强度为． (1)若电阻为，通过的电流强度为，求I关于R的函数表达式，并说明比例系数的实际意义． (2)如果电阻大于，那么与原来的相比，汽车前灯的亮度将发生什么变化？ 1．下面说法中错误的是（   ） A．平行四边形的面积一定，底和高成反比例 B．铺地面积一定，方砖的边长与所需的块数成反比例 C．一个圆的面积和它的半径不成比例 D．正方形的周长和它的边长成正比例 2．下列函数中，是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 3．为了给学生们创建更好的学习和生活环境，某学校利用假期时间进行了装修改造，以下相关情境中，y是x的反比例函数的是（   ） A．在校园的绿化带内重新栽种绿植，一个工人每小时栽种6平方米，栽种时间为x小时，栽种的总面积为y平方米 B．用长为80米的栅栏围一个矩形劳动实践基地，矩形长x米，宽y米 C．修建一个圆形花坛，花坛半径为x米，面积为y平方米 D．对教学楼2000平方米的外墙重新粉刷，每天粉刷x平方米，需要粉刷y天 4．下列各式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 5．反比例函数中的常数k为（    ） A． B．2 C． D． 6．已知反比例函数的解析式为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．a为任意实数 7．已知与成反比例，与成正比，如果当时，，那么当时，______． 8．当三角形的面积为时，它的底边长与底边上的高之间的函数表达式为_____． 9．已知y与2x﹣3成反比例，且当x＝2时，y＝4，求y关于x的函数解析式． 10．已知，其中与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，，求关于的函数解析式． 11. 用解析式表示下列函数． （1）三角形的面积是，它的一边a（单位：）是这边上的高h（单位：）的函数； （2）圆锥的体积是，它的高h（单位：）是底面面积S（单位：）的函数． 12．用一批纸装订同样大小的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 60 (1)将表格补充完整． (2)判断每本的页数和可以装订的本数是否成反比例，并说明理由． (3)如果现在需要用这批纸装订本同样大小的练习本，那么每本练习本有多少页？ 13．（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ （2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ 14．水池内有污水，设放净全池污水所需时间为，每小时放水量为． (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)求当时，y的值． 15．如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为，设与墙垂直的边长为xm，与墙平行的边长为ym． (1)直接写出y与x的函数关系式为______； (2)现有两种方案或，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $