12.2 图形的旋转（教学课件）数学新教材青岛版八年级下册

12.2 图形的旋转 第十二章 图形的平移与旋转 学 习 目 标 1 2 3 了解旋转的相关概念，能准确识别旋转中心、旋转方向和旋转角。 理解并掌握旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前后的图形全等。 能运用旋转的性质解决简单的几何问题，会进行简单的旋转作图。 知识回顾 问题1：我们之前学过哪些图形的变换？它们有什么性质？ 平移：平移前后图形的形状、大小不变，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连线段平行且相等。 今天我们来学习另一种常见的图形变换 ——旋转，它和轴对称、平移有哪些相同点和不同点呢？ 轴对称：轴对称前后图形全等，对应点所连线段被对称轴垂直平分。 知识导入 这些运动有什么共同特点？ 都绕着一个固定的点转动，转动了一定的角度。 像这样，把一个图形绕着某一个定点转动一定角度的变换，就是我们今天要学习的图形的旋转。 知识探究 探究 1：旋转的概念 操作演示 将三角板绕点 A 按逆时针方向转动 70°至△ADE 位置。 A B C D E 问题 1：在转动过程中，三角板的形状、大小和位置是否发生变化？ 形状、大小不变，位置改变。 问题 2：这个转动是绕着哪个点进行的？转动的方向和角度分别是什么？ 绕点 A 转动，方向是逆时针，角度是 70°。 知识探究 探究 1：旋转的概念 结合上述探究，归纳二次根式的乘法法则： 二次根式的乘法法则： 概括与表达 在平面内，将一个图形绕某一个定点按顺时针方向或逆时针方向转动一定的角度，图形的这种变化叫作旋转。 这个定点叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角。 旋转前图形上的点与旋转后它所到达的点叫作对应点。 经过旋转得到的图形的位置由旋转中心、旋转方向和旋转角确定。 知识探究 探究 1：旋转的概念 观察与发现 如图,以点A为旋转中心,将三角板ABC 按逆时针方向旋转70° 旋转中心：点A 旋转角：∠BAD=∠CAE=70° 对应点：点C对应点E，点B对应点D 点B对应点D 旋转只改变图形的位置,而不改变图形的形状和大小。旋转前后图形全等。 知识探究 探究 1：旋转的性质 思考与交流 如图12.2-3,将挖去一个三角形的长方形硬纸板放在一张白纸上,在硬纸板的点O 处按上一个图钉,描出△ABC。将硬纸板绕点O 顺时针转动角α,再描出△A'B'C'。移开硬纸板,在白纸上的图钉钉痕处标上点O。 知识探究 探究 1：旋转的概念 思考：(1)连接OA,OA',它们的长有什么关系? 连接OB,OB',OC,OC', 能得到类似的结论吗? 为什么? 点A 与它的对应点A'都在以点O 为 圆心,OA 为半径的圆上,所以OA=OA'。 同理,OB=OB',OC=OC'。 知识探究 探究 1：旋转的概念 思考：(2)图中有哪些角等于旋转角α? △ABC上每个点都绕点O 顺时针转动了角α,所以∠AOA',∠BOB',∠COC' 都等于α。 知识探究 探究 1：旋转的概念 结合上述探究，归纳二次根式的乘法法则： 二次根式的乘法法则： 概括与表达 性质归纳： 性质 1：对应点到旋转中心的距离相等。 性质 2：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 性质 3：旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即旋转前后的图形全等。 典例解析 例1 如图12.2-4①,在等腰直角三角形ABC 中,∠BAC=90°,点O是BC的中点。将一个三角板的直角顶点放在点O 处,并使三角板的两条直角边分别经过点A 和点B。将三角板绕点O 按顺时针方向旋转,三角板的两腰与Rt△ABC 的两腰AB,AC 的交点分别记为E,F,如图12.2-4②所示。 在旋转过程中,线段OE 与OF 有什么数量关系? 为什么? 典例解析 解:OE=OF。理由如下: 连接AO。 因为三角板绕点O 按顺时针方向旋转, 所以∠BOE=∠AOF(旋转的基本性质)。 因为在等腰直角三角形ABC 中, ∠BAC=90°,O 为BC 的中点, 所以∠B=45°,∠OAF=∠BAC=45°, 所以∠B=∠OAF,BO=AO。 BO=BC,AO=BC。 在△BOE 与△AOF 中, ∠B=∠OAF,BO=AO,∠BOE=∠AOF, 所以△BOE≌△AOF(ASA)。 所以OE=OF。 典例解析 例2 如图12.2-5,在正方形ABCD 中,E,F 分别为边BC,DC 上的点,∠EAF=45°。△ABE 绕某点顺时针旋转后到达△ADG 的位置。 (1)指出旋转中心和旋转角度; (2)若BE=2,DF=3,求EF 的长。 解:(1)旋转中心为点A,旋转角为90°。 (2)因为△ADG 是由△ABE 旋转得到的, 所以AE=AG,∠GAE=90°, DG=BE=2,∠ADG=∠B。 因为四边形ABCD 是正方形, 所以∠B=∠ADC=90°。 所以∠ADG+∠ADC=180°。 所以点G,D,F 共线。 所以GF=GD+DF=2+3=5。 因为∠EAF=45°, 所以∠GAF=∠EAF=45° 在△AEF 和△AGF 中, AE=AG,∠EAF=∠GAF, AF=AF, 所以△AEF≌△AGF(SAS)。 所以EF=GF=5。 知识探究 探究与挑战 如图12.2-6,已知△ABC 绕某点旋转一定角度得到△A'B'C', 请用尺规作图法确定旋转中心。 作图步骤： 1.连接对应点 AA'，BB'（或 CC'）。 2.分别作线段 AA'，BB' 的垂直平 分线。 3.两条垂直平分线的交点即为旋转中心。 原理：旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上。 旋转中心 课堂练习 1.如图,△ABC 按逆时针方向旋转角α得到△ADE。 (1)指出图中的旋转中心; (2)说出图中哪些角等于旋转角; (3)写出图中相等的线段和相等的角。 解：（1）旋转中心是点 A。 （2）旋转角：∠BAD，∠CAE。 （3）相等的线段：AB=AD，AC=AE，BC=DE； 相等的角：∠B=∠D，∠C=∠E，∠BAC=∠DAE，∠BAD=∠CAE。 课堂练习 2.如图,点O 为线段AB 外的一点,画出线段AB绕点O按顺时针方向旋转90°所得的线段。 课堂练习 3. 如图,D 是等腰直角三角形ABC 内一点,BC 是斜边。将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转到△ACD'的位置,连接DD'。求∠ADD'的度数。 解：由旋转性质得：AD=AD'，∠DAD'=∠BAC=90°（等腰直角三角形顶角为 90°）。 所以△ADD' 是等腰直角三角形。 所以∠ADD'=45°。 课堂练习 4.如图,把正方形ABCD 绕点A 按顺时针方向旋转,得到正方形AEFG,边FG 与BC 交于点H。线段HG 与HB 相等吗? 请说明理由。 解：猜想：HG=HB。 连接 AH。 由正方形性质和旋转性质得：AG=AB，∠AGH=∠ABH=90°，AH=AH。 所以 Rt△AGH≌Rt△ABH（HL）。 所以 HG=HB。 课堂总结 课堂总结 旋转的概念：旋转中心、旋转角、对应点。 旋转的性质： ① 对应点到旋转中心的距离相等； ② 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； ③ 旋转前后图形全等。 课堂总结 课堂总结 旋转与轴对称、平移的相同点和不同点： 相同点：都是图形的全等变换，不改变图形的形状和大小。 不同点：平移是沿直线移动，轴对称是沿直线翻折，旋转是绕定点转动。 感谢聆听! $