数学终极押题猜想（江苏徐州专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 二次函数与动点问题综合 1 押题猜想二 三角形与图形变换综合 6 押题猜想三 四边形的性质与综合探究 12 押题猜想四 尺规作图与几何计算证明综合 17 押题猜想五 锐角三角函数的应用与综合 23 押题猜想六 折叠问题 28 押题猜想一 二次函数与图形变换综合 试题前瞻·能力先查 限时：20min 【改编题】（2026·江苏盐城·一模改编）如图1，平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点．此抛物线与y轴交于点C，其对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，与x轴交于点D,连接、PC、CD. (1)求该抛物线的解析式； (2)求证:． (3)如图，点N是x轴上抛物线对称轴右侧的一动点，将点P绕点N旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．． 分析有理·押题有据 从近五年的徐州市中考试题情况来看，对二次函数的考查多以压轴解答形式出现在整份试卷的后2-3题，难度偏大，近5年有4年考查在最后三题中综合考查了二次函数，其中有3次考查了二次函数与动点问题综合，甚至融入几何图形变换，这种问题是不仅可以考查学生对二次函数的图象与性质、常见几何图形的性质，例如三角形，特殊四边形的性质的掌握情况，同时还考查了学生对图形变换（主要是图形的旋转）的理解与掌握情况，更重要的是可以很好地考查学生的综合分析问题、运用各种数学思想方法解决问题的能力，所以才多次采用二次函数作为压轴。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接． (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标． (2)若点E是直线上方的抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． (3)点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标． 2．（2026·江苏宿迁·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)填空：__________，__________； (2)设为此抛物线的对称轴上一点，当的面积等于的面积时，求点坐标； (3)直线．经过点，点为该直线上一动点，当有且只有一点满足时，求直线的函数表达式． 3．（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)则抛物线解析式中________，________； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 4．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标为，点为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点的坐标为，连接． (1)求该二次函数的表达式及点的坐标； (2)连接，过点作轴于点，当以、、为顶点的三角形与相似时，求的值： (3)连接，以、为邻边作平行四边形，直线交轴于点． ①当点落在该二次函数图象上时，求点的坐标； ②在点从点到点运动过程中，直接写出点运动的路径长． 押题猜想二 三角形与图形变换综合 试题前瞻·能力先查 限时：20min 【改编题】（2026·河南周口·模拟预测—改编） 【问题情境】： 旋转是基本的图形变换方式之一，我们已经学习了有关旋转的概念和基本性质，但是不同的旋转主体在旋转时，往往还会表现出不同的性质，今天数学课上，老师将带领同学们开展有关“直角三角形旋转”为主题的数学实验探究活动。如图1，与全等，且，，，点为的中点，开始时，与所在直线重合，将绕点顺时针旋转一定角度得到，旋转到再次与所在直线重合停止． 【操作发现】： 如图①，顺时针旋转一定角度，记和分别与交于点，，当时，猜想和的数量关系为______，并证明你的猜想； 【实践探究】： 如图②，在整个转动过程中，当成为等腰三角形时，求线段的长。 分析有理·押题有据 三角形是所有图形的基础，也是解决绝大多数平面几何问题的起点和工具，而图形的三种基本运动方式：平移，轴对称，旋转，平移的性质相对来说比较简单，一般考查都会放在选择或填空中，而轴对称的考查通常以图形的折叠为背景放在填空里考查，这三种图形运动方式中旋转的难度最大，性质也比平移和轴对称复杂，所以用三角形与旋转综合设计中考压轴题是非常常见的，从近五年的徐州市中考试题情况来看，近5年有4年第28题（最后一题）都与三角形和图形的旋转有关。而图形的运动往往都会产生线段长度、三角形或其他图形的周长或面积的最值问题，这也是徐州市中考常考的一种题型，例如2025年徐州中考数学最后一题第28题，利用两个共顶点的直角三角形旋转设计产生一个新的四边形的面积最值问题等等。 熟练掌握好图形的旋转的基本性质，结合图形本身的性质与判定方法，常见的数学模型的灵活运用是解决好有关此类问题的关键。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏扬州·一模）已知中，，，，中，，． (1)如图1，，连接交于点F． ①求线段的长； ②求证：平分； (2)如图2，，连接交于点F，点P在线段上（不与A、C重合），连接并延长交于点Q，在上取一点G，连接，且． ①若，求线段的长； ②当点P在上运动时，线段的最大值为______． 2．（2026·江苏连云港·一模）解答下列问题： (1)【教材再现】八年级上册《伴你学》第139页第26题有这样一个小问：如图1，在和中，，，将绕着点旋转，使得点落在边上，试探究线段，，之间的数量关系，并证明结论； (2)【纵向探变】在（1）基础上若已知，，求的长； (3)【理解内化】如图2，点在线段上，，，以点为直角顶点，作等腰，连接，，求当最小时，的最小值； (4)【实际应用】如图3，水晶公园有一块四边形空地．在，，上分别取点，，，使得，计划在四边形区域内种植观赏花卉．若已知，，，，，请直接写出种植这种花卉的最大面积． 3．（2026·江苏宿迁·一模）如图1，已知，，，可绕点旋转，连接、． (1)求证：； (2)如图2，若，，，当点在直线下方且、、三点在一条直线上时，求线段的长； (3)如图3，若，延长交于点，，求的度数． 4．（2026·江苏宿迁·一模）按要求解答问题： (1)【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着点A逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________；并加以证明． (2)【迁移应用】如图，在中，，，，D、E、M分别是、、中点，连接． ①如图，把绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段和始终存在的位置关系和数量关系：__________、__________； ②把绕着点A逆时针方向旋转到如图所在的位置，连接和，取中点N，连接，若，求的长． (3)【创新应用】如图：，，是直角三角形，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，，连接，请直接写出的取值范围． 押题猜想三 四边形的性质与综合探究 试题前瞻·能力先查 限时：20min 【例题】（2026·江苏扬州·一模）如图，在矩形中，，，点是对角线上一点，交于点． (1)若，求的长； (2)若点在上运动，试探究的比值是否变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请说明理由； (3)线段的最小值是___________． 分析有理·押题有据 特殊四边形（平行四边形、矩形、正方形、菱形）是中考数学中的重点考查对象，也是考查学生逻辑推理能力和分析解决能力的最好素材，再结合图形的运动，设计一些压轴题，既能考查出学生对基础几何知识的掌握情况，也能考查出学生的逻辑推理能力和分析问题的能力，同时也能教会学生用运动的观点看问题，处理问题。从近五年的徐州市中考试题情况来看，近5年有3年，在后两题中考查了特殊四边形和图形的运动综合问题。图形运动方式有点在线段上的运动，也有图形或线段的旋转。借助基本图形的性质和判定方法去探究原图形或其他图形的新的性质是中考数学中重点考查的对象，所以熟练掌握好基本图形的性质、图形变换的性质很重要，更重要的是通过这些图形性质的学习要重点培养自己的分析问题和添加辅助弦线、运用各种数学思想方法解决问题的能力和意识。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏盐城·一模）主题式学习：实验初中九年级某学习小组围绕“半角”问题开展主题学习活动． 如图1，E、F分别为正方形的边上的动点，连接，且满足． (1)【常规探究】在图1中，线段之间的数量关系为____． (2)【变式思考】如图（2），正方形的边长为6，点E为边上的点，连接，取的中点G，F为边上的点，且，若，求的长． (3)【拓展应用】如图（3），点E，F为正方形的边所在直线上的动点，点E在点F的左侧，且满足，求的最大值，请直接写出结果． 2．（2026·江苏宿迁·三模）【综合与实践】从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 【特例研究】在正方形中，相交于点O． (1)如图，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为 ，k的值为 ； (2)如图，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值； 【延伸拓展】 (3)如图，在菱形中，，对角线相交于点O，M是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转并放缩得到（点M，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在线段的中点E处，点F落在射线上．若，求的长． (4)在菱形中，，对角线相交于点O，M是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转并放缩得到（点M，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在线段上，点F落在线段上，直接写出之间的数量关系 （用含的式子表示）． 3．（2026·江苏南通·一模）如图所示，边长为的正方形两对角线相交于点O，，绕着点自逆时针方向旋转，交直线于点、． (1)如图1所示，当绕着点旋转到恰好平分时，试证明； (2)如图2所示，当绕着点旋转，边、恰好位于两侧，且，计算三角形的面积； (3)如图3所示，射线旋转到正方形外侧，与直线相交于点F，令，令，请写出与的关系． 4．（2026·江苏连云港·模拟预测）探究式学习是重要的学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【问题提出】 （1）如图1，在中，，，点，在线段上，，求证：． 【问题探究】 （2）如图2，在矩形中，，点在边上，点在边上，且．若，求的值． 【问题应用】 （3）如图3，在菱形中，，点在边延长线上，点在边延长线上，且． ①求证：． ②在①的条件下，若，，请直接写出菱形的面积． 押题猜想四 尺规作图与几何计算证明综合 试题前瞻·能力先查 限时：15min （2026·广东珠海·一模）定义：如题图1，点M，N把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． (1)已知点M，N是线段的勾股分割点，若，，求的长； (2)如图2，在菱形中，点、分别在、上，，，分别交于点．求证：是线段的勾股分割点； (3)如图3，点是线段上的一定点，．请在上画一点，使得C，D是线段的勾股分割点（请用尺规进行作图） 分析有理·押题有据 尺规作图问题是徐州市中考数学近几年开始流行的一种题型，近三年2023-2025全考，因为这种题型的考查就始于2023年，在此之前尺规作图问题一般都是放在小题中给出作图痕迹让学生自己通过痕迹判断作图的内容，但自从2023年开始至今，每年都会设计一道难度较大的尺规作图问题，该问题出现的位置一般在试卷的最后2-3题中，也就是26或27题，难度甚至超过28题，这种作图问题不仅仅考查学生的作图能力，以及对基本图形的性质的掌握情况，更能考查出学生的分析解决问题的能力，所以大概率2026还会以这种形式考查尺规作图问题，这种题型一般2-3小问，例如2024年徐州中考数学第27题一共三个小问，作图+证明与计算，以尺规作图的方式结合三角形的相似、圆的性质等知识综合，难度较大，得分率比较低，所以在复习中一定要重视有关尺规作图+证明计算的综合问题。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏南京·模拟预测）由图形的旋转想到的 【模型提炼】 (1)将线段绕点O旋转一定角度得到线段，分别是A、B的对应点．如图①，求作旋转中心O．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） 【提出问题】 若过平面内一点P存在直线l，分别交的两边于点C、D，使．试用尺规作图确定直线l的位置． 【分析问题】 根据点P与的位置不同，可以分成点P在边上、在内部、在外部三种情况． (2)当点P在的边上，如图②，点P在的边上，作出直线l． 【模型应用】 (3)当点P在的内部，如图③，如何作出直线l呢？小红观察图①，结合旋转的性质，想到如下作法： 第一步：在上取； 第二步：作的垂直平分线交的平分线于E； 第三步：连接，以为底边作等腰，且； 第四步：以F为圆心，以为半径作，交于点C； 第五步：过点P作直线，交于点D． 则直线就是所求的直线l． 请说明小红作图的正确性（写出主要思路即可）． (4)当点P在的外部如图④，作出直线l．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 2．（2026·上海虹口·一模）【模型探究】 如图，已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，满足．求证：． 【模型应用】 （1）已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，如果，，那么的度数为_____________； （2）如图，已知，是边上一点，请在边上选择一个合适的点，并在内部求作一个点，满足且． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 3．（2026·福建泉州）阅读思考，解决问题． 把一个平面图形的周长分成相等两部分的直线称为该图形的周长等分线．某次数学课上，老师设计了利用无刻度的直尺（以下简称直尺）或圆规作出已知图形的周长等分线探究活动．请根据要求，完成下面三个数学探究． (1)探究：仅用直尺，分别作出圆、平行四边形过定点的周长等分线，点为周长等分线与该图形的交点． (2)探究2：利用直尺和圆规，作出任意过顶点的周长等分线（在上）． 如图，老师利用化折为直的几何思想，分享了一种尺规作法： ①以为圆心，为半径作弧交直线于点； ②以为圆心，为半径作弧交直线于点； ③作的中垂线交直线于点，作直线． 则直线就是的周长等分线． 如图，在老师的启发下，小明探究另一种尺规作法，已做了第一步作图，即以为圆心，为半径作弧交于点，请你利用尺规作图，在图中完成剩余的作图，保留作图痕迹，不写作法． (3)探究：如图，中，为中点，在边上（不与、重合），设直线是的周长等分线，若，求线段．（用含，的式子表示） 4．（2025·江苏镇江·一模）在尺规作图中，通过引入平行线，求作符合某个条件的线段或点，这样的方法我们称之为“平行线定位法”．（说明：以下作图均为尺规作图，请保留作图痕迹，并用铅笔或黑色水笔加黑加粗，必要时可以写出文字说明） 【初步尝试】 （1）如图1，在中，点在边上，，在边上求作点，使． 【自主研究】 （2）点在内，在图2和图3中分别求作过点截成等腰三角形的一条直线； （3）点在内，若过点截成等腰三角形的直线只有一条，则满足的条件是______． 【深度拓展】 （4）如图4，已知以及长为的线段，点在上，点到的垂线段分别为、，若，请在上作出满足条件的一个点． 押题猜想五 锐角三角函数的应用与综合 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【例题】（2026·江苏宿迁·一模）中国自行研制的北斗卫星导航系统可在全球范围内为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小明一家自驾去风景区C游玩．到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶8千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区C，小明发现风景区C在A地的北偏东方向． (1)的度数为_____； (2)求B，C两地的直线距离．（结果精确到0.1千米；参考数据：，，） 分析有理·押题有据 锐角三角函数实际应用问题属于必考题型，不仅在徐州中考数学中每年都考，在全国几乎所有城市都会考。徐州市中考数学近5年每年必考的一道解答题，位置分布在25-27题，难度偏大，题目比较灵活，通常会以当地的实际生活中的物品或建筑等素材为背景，重点考查利用锐角三角函数解直角三角形和斜三角形，从而解决实际生活问题，这种问题之所以难度偏大的原因是因为题目所给的条件或图形都不能直接使用，需要借助添加辅助线，将非直角三角形问题转化为直角三角形，再利用锐角三角函数的相关知识，结合全等、相似、等腰三角形的性质和判定、勾股定理等知识解决，所以这种必考题型首先要重视，其次还要熟练掌握这种题型的解题办法和常见模型，提高自己的解题能力。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏连云港·一模）水晶公园是市民休闲时的一个好去处．如图，小明和他的综合实践活动小组利用课余时间，想测量水晶公园的东西最大宽度，他们选定了两个观测点，，观测点在点的北偏东方向上，观测点在点的北偏西方向上，点在点的正东方，又测量得，，．求水晶公园的东西最大宽度．（结果精确到．参考数据：，，，） 2．（2026·江苏无锡·一模）在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物的高度．如图，在建筑物旁有一小山坡，测得山坡的坡度i（即）为，，在D处测得A处的仰角为，在C处测得A处的仰角为． (1)求的度数； (2)求建筑物的高度．（计算过程和结果中的数据不取近似数） 3．（2026·江苏无锡·一模）图1是江阴市兴国寺塔，它始建于北宋太平兴国年间．塔底外形是一个如图2所示的正八边形．某数学兴趣小组对兴国寺塔进行了一定的实地测量活动，具体过程如下： 【数据收集】通过实地测量，正八边形的边长． 【问题解决】 (1)求图2中塔底半径． (2)如图3，在延长线上确定一点B，使A、B两点的距离为，在B处竖一根的竹竿，从杆顶P测得塔顶E的仰角为，求出兴国寺塔的高度． （结果取整数．参考数据：，，） 4．（2026·重庆·模拟预测）端午安康，某古城文旅局举办“端午探宝”定向寻宝赛，以古城街巷为场地还原古驿道寻宝路线：打卡点在打卡点的正南方向米处：打卡点在打卡点的北偏西方向：打卡点在打卡点的正东方，同时在的东南方向：打卡点在的正北方米处，且恰好位于的北偏东方向．（参考数据：，，） (1)求打卡点、之间的距离；（结果保留整数） (2)比赛中，小育从打卡点出发，沿线段向匀速奔跑；小陶从打卡点出发，沿某方向匀速直线奔跑．两人同时出发，小育与小陶的速度之比为，并在线段上某处相遇．当两人相遇时，小育跑了多少米？（结果保留整数） 押题猜想六 折叠问题 试题前瞻·能力先查 限时：20min 【例题】（2026·江苏南京·模拟预测）折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 分析有理·押题有据 折叠问题一直是各大城市中考数学的热点问题，徐州市也不例外。折叠问题一个综合性的问题，涉及到的考点多，可以说几乎可以覆盖中考数学的绝大多数考点，从平面几何中的勾股定理，到三角形的全等，相似，再到锐角三角函数，函数，二次函数，反比例函数，以及图形运动中的动点问题，其核心是轴对称的性质。这种问题之所以难度较大，不仅仅是因为融入的考点多，题型多变，其主要的原因是这种问题往往都涉及到图形运动或动点问题，情况复杂，通常还需要分类讨论。所以，在中考复习过程中要非常重视这种题型的训练和和解题方法的总结。 终极猜想·精练通关 1．（2026·山东德州·一模）综合与实践 【问题情境】 数学兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠，折痕与边，分别交于点，，点的对应点记为，点的对应点记为． (1)【特例探究】 角的探究：如图1，连接，与交于点，当点，，三点共线时，与相等的角为______（写出一个即可）； (2)线段的探究：如图2，当为的中点时，点恰好落在边上． ①猜想，，三条线段的数量关系，并说明理由； ②延长交于点，连接，，判断与的位置关系，并说明理由． (3)【深入探究】 如图3，将矩形纸片更换为平行四边形、，，，为的中点，当所在直线垂直于平行四边形的一边所在直线时，直接写出的值． 2．（2026·广东佛山·一模）【问题情境】 折纸是一种许多人熟悉的活动，在数学活动课上，老师让同学们以“图形的翻折”为主题开展数学活动． 活动一：矩形可折叠 矩形纸片中，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处；再次翻折矩形，使与所在直线重合，点落在直线上的点处，折痕为．翻折后的纸片如图1所示． 活动二：折叠可得矩形 如图2，将 纸片沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰 的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为“叠合矩形”，如图3和图4．【提出问题】 （1）如图1，的度数为 　　； （2）如图1，若，，求的最大值； （3）纸片还可以按图4的方式折叠成一个叠合矩形，若，，直接写出的长　　； 【解决问题】 （4）如图5，一张矩形纸片通过活动一中的翻折方式得到四边形，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，，，求该矩形纸片较长边的长度． 3．（2026·江苏无锡·一模）数学活动课上，老师为同学们提供了若干大小不同的矩形纸片、其中边长均为．同学们以折叠矩形纸片展开数学探究活动． 【动手操作】 步骤如下： 第一步：如图①，将矩形纸片对折、使边重合，展开后折痕与交于点F． 第二步：如图②，在上取一点E，沿折叠矩形，点A的对应点为G．延长交于点H，将纸片沿过点H的直线折叠．使点C的对应点落在所在直线上，折痕与交于点M． (1)求证：． 【初步感知】 A小组的同学们选用了如图③所示的矩形纸片．在按上述步骤折叠的过程中发现，当点E与点D重合时，此时点F、G、M三点在一条直线上． (2)求的长． 【应用创新】 (3)如图④，B小组的同学们选用了的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，过点H的折痕与交于点M，把纸片展开后，连接．当为直角三角形时，则的长为________． 4．（2026·江苏南通·一模）综合与实践 【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程． 【操作实践】如图1，将矩形纸片沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点处，折痕交于点E，再沿着过点的直线折叠，使点D落在边上的点处，折痕交于点F．将纸片展平，画出对应点、及折痕、，连接、、． 【初步猜想】（1）确定和的位置关系及线段和的数量关系． 创新小组经过探究，发现，证明过程如下： 由折叠可知，． 由矩形的性质，可知，∴， ∴① ， ∴． 智慧小组先测量和的长度，猜想其关系为② ． 经过探究，发现验证和数量关系的方法不唯一： 方法一：证明，得到，再由可得结论． 方法二：过点作的平行线交于点G，构造平行四边形，然后证可得结论． 请补充上述过程中横线上的内容． 【推理证明】（2）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证和的数量关系，写出证明过程． 【尝试运用】（3）如图2，在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交于点G，连接，当为直角三角形时，求出的长． 28 / 87 5 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 二次函数与动点问题综合 1 押题猜想二 三角形与图形变换综合 15 押题猜想三 四边形的性质与综合探究 31 押题猜想四 尺规作图与几何计算证明综合 47 押题猜想五 锐角三角函数的应用与综合 59 押题猜想六 折叠问题 67 押题猜想一 二次函数与图形变换综合 试题前瞻·能力先查 限时：20min 【改编题】（2026·江苏盐城·一模改编）如图1，平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点．此抛物线与y轴交于点C，其对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，与x轴交于点D,连接、PC、CD. (1)求该抛物线的解析式； (2)求证:． (3)如图，点N是x轴上抛物线对称轴右侧的一动点，将点P绕点N旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．． 【答案】(1)；（2）见详解；（3）或 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 所以该抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴与抛物线交于点， ∴，轴于点， 是以为直角顶点的直角三角形。 又 在以AP为直径的圆上， 又 CO垂直平分线段BD CD=CB 由①②得。 （3）解：由题意，设点的坐标为， ①如图，当点绕点逆时针旋转得到点时， 设直线与轴交于点，过点作轴于点， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 将点代入得：， 解得或， ∴此时点的坐标为或； ②如图，当点绕点顺时针旋转得到点时， 同理可得：， 将点代入得：， 解得或（均不符合题意，舍去）； 综上，点的坐标为或． 分析有理·押题有据 从近五年的徐州市中考试题情况来看，对二次函数的考查多以压轴解答形式出现在整份试卷的后2-3题，难度偏大，近5年有4年考查在最后三题中综合考查了二次函数，其中有3次考查了二次函数与动点问题综合，甚至融入几何图形变换，这种问题是不仅可以考查学生对二次函数的图象与性质、常见几何图形的性质，例如三角形，特殊四边形的性质的掌握情况，同时还考查了学生对图形变换（主要是图形的旋转）的理解与掌握情况，更重要的是可以很好地考查学生的综合分析问题、运用各种数学思想方法解决问题的能力，所以才多次采用二次函数作为压轴。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接． (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标． (2)若点E是直线上方的抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． (3)点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点P的坐标为或 【详解】（1） 解：二次函数的图像经过点，点， ， 解得：， 该二次函数的解析式为， ， 顶点； （2）解：对称轴为直线，点，轴， ， ，， ， 设直线解析式为， 则， 解得， 直线解析式为， 过作轴交于点， 设，则， ， ， ， 当时 ，为最大值， 四边形面积的最大值为； （3）解：当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或， 理由：①当四边形为平行四边形时，． 连接，过点作轴于点，设与交于点，如图， ∵，， ∴，， ， ， ∵，， ∴， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ． 过点作轴于点， 设，则， ∵， ， ． ， ∴． ∴； ②当四边形为平行四边形时，．连接， 过点作轴于点，设与交于点，如图， ∵，， ∴， ， ， ∵， ∴， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ， 过点作轴于点， 设，则， ∵， ∴， ， ． ∴，． 综上，当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或． 2．（2026·江苏宿迁·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)填空：__________，__________； (2)设为此抛物线的对称轴上一点，当的面积等于的面积时，求点坐标； (3)直线．经过点，点为该直线上一动点，当有且只有一点满足时，求直线的函数表达式． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【详解】（1）解：把，代入，得： ， 解得； （2）解：， ∴此抛物线的对称轴是直线， 当时，， ， 设直线的表达式为，直线交直线于点M， 把，代入，得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， 当时，， ， ，，， ， ， ∵的面积等于的面积， ， ， ， 或； （3）解：， ∴点P在以为直径的圆上，设其圆心为N， ，，， ，的半径为3， ∵直线经过点，有且只有一点满足， ∴直线与相切于点， ∴分两种情况： 当点P在x轴上方，且直线与相切于点P时，连接，作于点H， ， ，， ， 在和中，， ， ， ， ， ， 把，代入直线，得： ， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 当点在x轴下方，且直线与相切于点时， 同理，， 同理，得出直线的函数表达式为； 综上，直线的函数表达式为或． 3．（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)则抛物线解析式中________，________； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴， 解得； （2）解：由（1）知该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为， 令， 解得或， ∴抛物线图象与轴的另一个交点的坐标为， 当时，即，此时，随的增大先增大到最大值再减小， 此时，，解得（舍去）； 当时，即，此时，随的增大而减小， 此时，，即， 解得或（舍去）； 综上，当时，y的取值范围是，t的值为； （3）解：存在； 将代入，则， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， 解得 ∴， 设，则， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则，即， 解得（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则，即， 解得或（舍去）， 此时菱形的边长为； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或． 4．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标为，点为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点的坐标为，连接． (1)求该二次函数的表达式及点的坐标； (2)连接，过点作轴于点，当以、、为顶点的三角形与相似时，求的值： (3)连接，以、为邻边作平行四边形，直线交轴于点． ①当点落在该二次函数图象上时，求点的坐标； ②在点从点到点运动过程中，直接写出点运动的路径长． 【答案】(1)， (2)或 (3)①；② 【详解】（1）解：将点，代入，得， ， 解得， ∴该二次函数的表达式为， 将代入，得， ， 解得或， ∴点的坐标为； （2）解：∵点在二次函数的图象上， ∴， 又∵点在第二象限，且轴， ∴，， ∵，， ∴，， ①当时， ∴，即， 化简，得， 解得或（正值，舍去）； ②当时， ∴，即， 化简，得， 解得或（正值，舍去）； 综上所述，的值为或； （3）解：①∵，， ∴点向右平移8个单位，再向上平移4个单位得到点， ∵四边形是平行四边形， ∴点向右平移8个单位，再向上平移4个单位得到点， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵点落在该二次函数图象上， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ②设点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴， 该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵点从点移动到点， ∴， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴点先向上平移，再向下平移，即点运动的路径是两条线段， 当时，；当时，为最大值；当时，， ∴点运动的路径长为． 押题猜想二 三角形与图形变换综合 试题前瞻·能力先查 限时：20min 【改编题】（2026·河南周口·模拟预测—改编） 【问题情境】： 旋转是基本的图形变换方式之一，我们已经学习了有关旋转的概念和基本性质，但是不同的旋转主体在旋转时，往往还会表现出不同的性质，今天数学课上，老师将带领同学们开展有关“直角三角形旋转”为主题的数学实验探究活动。如图1，与全等，且，，，点为的中点，开始时，与所在直线重合，将绕点顺时针旋转一定角度得到，旋转到再次与所在直线重合停止． 【操作发现】： 如图①，顺时针旋转一定角度，记和分别与交于点，，当时，猜想和的数量关系为______，并证明你的猜想； 【实践探究】： 如图②，在整个转动过程中，当成为等腰三角形时，求线段的长。 【答案】（1）相等；（2） 【详解】（1）解：当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴； （2）解：①第1种情况，当AE=FE时， 为斜边中点， , 由旋转知 延长 又 又 在中，； ②第2种情况，当时， 如右图，延长交于点G,延长交于点H 又(证明方法同第1种情况) ③第3种情况，当时，如右图 又,而 同理可证, 有面积关系得， 解得 。 综上可知， 分析有理·押题有据 三角形是所有图形的基础，也是解决绝大多数平面几何问题的起点和工具，而图形的三种基本运动方式：平移，轴对称，旋转，平移的性质相对来说比较简单，一般考查都会放在选择或填空中，而轴对称的考查通常以图形的折叠为背景放在填空里考查，这三种图形运动方式中旋转的难度最大，性质也比平移和轴对称复杂，所以用三角形与旋转综合设计中考压轴题是非常常见的，从近五年的徐州市中考试题情况来看，近5年有4年第28题（最后一题）都与三角形和图形的旋转有关。而图形的运动往往都会产生线段长度、三角形或其他图形的周长或面积的最值问题，这也是徐州市中考常考的一种题型，例如2025年徐州中考数学最后一题第28题，利用两个共顶点的直角三角形旋转设计产生一个新的四边形的面积最值问题等等。 熟练掌握好图形的旋转的基本性质，结合图形本身的性质与判定方法，常见的数学模型的灵活运用是解决好有关此类问题的关键。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏扬州·一模）已知中，，，，中，，． (1)如图1，，连接交于点F． ①求线段的长； ②求证：平分； (2)如图2，，连接交于点F，点P在线段上（不与A、C重合），连接并延长交于点Q，在上取一点G，连接，且． ①若，求线段的长； ②当点P在上运动时，线段的最大值为______． 【答案】(1)①4；②证明见详解 (2)①，② 【详解】（1）解：①∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ②证明：如图，过点E作交延长线于点H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即平分． （2）解：①∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 如图，过点P作交于点M， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， 设， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 如图，延长至点N，作， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，， ∵点P在上运动， ∴设，，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，． 2．（2026·江苏连云港·一模）解答下列问题： (1)【教材再现】八年级上册《伴你学》第139页第26题有这样一个小问：如图1，在和中，，，将绕着点旋转，使得点落在边上，试探究线段，，之间的数量关系，并证明结论； (2)【纵向探变】在（1）基础上若已知，，求的长； (3)【理解内化】如图2，点在线段上，，，以点为直角顶点，作等腰，连接，，求当最小时，的最小值； (4)【实际应用】如图3，水晶公园有一块四边形空地．在，，上分别取点，，，使得，计划在四边形区域内种植观赏花卉．若已知，，，，，请直接写出种植这种花卉的最大面积． 【答案】(1)，证明见解析 (2)的长度为或 (3)的最小值为 (4) 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得或，均满足题意， 即的长度为或． （3）解：过点作，且，连接，，如下图所示： 由（1）中证明方法，同理可得， ∴，， ∴， ∴当点、、三点共线时，取得最小值，即的长度 ∴， ∵， ∴， ∴时，最小， 如图，延长，，交于点，如下图所示： ∵， ∴当时，最小，此时最小， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为． （4）解：如图，连接，，过点A作于点F ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 如图，延长到点，使，连接， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积 ， ∴当取得最小值时，四边形的面积取得最大值， ∵， ∴当时，最小，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积最大值． 3．（2026·江苏宿迁·一模）如图1，已知，，，可绕点旋转，连接、． (1)求证：； (2)如图2，若，，，当点在直线下方且、、三点在一条直线上时，求线段的长； (3)如图3，若，延长交于点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：， ，， ，，即， ，， ； （2）解：，，，即， ， 在中，，， ， ，， ， ， 在中，，， 、、三点在一条直线上时，， ， 在中，， 由（1）可知，， ，即， 解得； （3）解：如图3，连接， ∵， ． ，即， ，， ∴，． ∵， ∴，， ∴， ∴点A，C，B，F共圆， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·江苏宿迁·一模）按要求解答问题： (1)【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着点A逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________；并加以证明． (2)【迁移应用】如图，在中，，，，D、E、M分别是、、中点，连接． ①如图，把绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段和始终存在的位置关系和数量关系：__________、__________； ②把绕着点A逆时针方向旋转到如图所在的位置，连接和，取中点N，连接，若，求的长． (3)【创新应用】如图：，，是直角三角形，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，，连接，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；；② (3) 【详解】（1）解：如图，， ， ， ， 又， ， ； （2）解：①如图，在中， ， ， ， 又， ． 如图，延长与相交于点，与相交于点， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ， 即，． 故答案为：；； ②如图，连接， ， ， 又， ， ， 又∵M是的中点，N是的中点， ； ； （3）解：如图，过点作，过点作，连接， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ， 即． 押题猜想三 四边形的性质与综合探究 试题前瞻·能力先查 限时：20min 【例题】（2026·江苏扬州·一模）如图，在矩形中，，，点是对角线上一点，交于点． (1)若，求的长； (2)若点在上运动，试探究的比值是否变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请说明理由； (3)线段的最小值是___________． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【详解】（1）解：如图，连接， 四边形是矩形，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， （2）解：如图，过点作，交于，交于，则四边形是矩形， ，即， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 设，则，，， ， 即的比值不变，为； （3）解：由（2）可知，，即， 当线段取最小值时，线段取最小值， 根据垂线段最短可得，当时，取最小值，此时点与点重合，如图所示， 在中，， ， ， 即线段的最小值是． 分析有理·押题有据 特殊四边形（平行四边形、矩形、正方形、菱形）是中考数学中的重点考查对象，也是考查学生逻辑推理能力和分析解决能力的最好素材，再结合图形的运动，设计一些压轴题，既能考查出学生对基础几何知识的掌握情况，也能考查出学生的逻辑推理能力和分析问题的能力，同时也能教会学生用运动的观点看问题，处理问题。从近五年的徐州市中考试题情况来看，近5年有3年，在后两题中考查了特殊四边形和图形的运动综合问题。图形运动方式有点在线段上的运动，也有图形或线段的旋转。借助基本图形的性质和判定方法去探究原图形或其他图形的新的性质是中考数学中重点考查的对象，所以熟练掌握好基本图形的性质、图形变换的性质很重要，更重要的是通过这些图形性质的学习要重点培养自己的分析问题和添加辅助弦线、运用各种数学思想方法解决问题的能力和意识。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏盐城·一模）主题式学习：实验初中九年级某学习小组围绕“半角”问题开展主题学习活动． 如图1，E、F分别为正方形的边上的动点，连接，且满足． (1)【常规探究】在图1中，线段之间的数量关系为____． (2)【变式思考】如图（2），正方形的边长为6，点E为边上的点，连接，取的中点G，F为边上的点，且，若，求的长． (3)【拓展应用】如图（3），点E，F为正方形的边所在直线上的动点，点E在点F的左侧，且满足，求的最大值，请直接写出结果． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：【常规探究】如图1，，理由如下： 延长至G，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：【变式思考】如图2， 延长，交的延长线于W，作于V， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，G是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：【拓展应用】如图3， 当点E在的延长线上，点F在上时，存在最大值， ， 作，交于G，作于W，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆O，作于，交于， 当点在处时，最大， 由得， ∴，，， ∴， ∴， ∴最大值． 2．（2026·江苏宿迁·三模）【综合与实践】从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 【特例研究】在正方形中，相交于点O． (1)如图，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为 ，k的值为 ； (2)如图，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值； 【延伸拓展】 (3)如图，在菱形中，，对角线相交于点O，M是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转并放缩得到（点M，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在线段的中点E处，点F落在射线上．若，求的长． (4)在菱形中，，对角线相交于点O，M是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转并放缩得到（点M，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在线段上，点F落在线段上，直接写出之间的数量关系 （用含的式子表示）． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ， ， ∴旋转角为，； （2）解：如图， 由题意得：， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：作交于点H， 四边形为菱形， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ∴ 为的中点， ， ∴在中，， 垂直平分， ， ， ∴在中，，， ， ， ， 由题意得，， ∴ ， ， 在中，， ； （4）解：过点作于点， 由题意得， 同理可证， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∵M是的垂直平分线与的交点， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ， 即． 3．（2026·江苏南通·一模）如图所示，边长为的正方形两对角线相交于点O，，绕着点自逆时针方向旋转，交直线于点、． (1)如图1所示，当绕着点旋转到恰好平分时，试证明； (2)如图2所示，当绕着点旋转，边、恰好位于两侧，且，计算三角形的面积； (3)如图3所示，射线旋转到正方形外侧，与直线相交于点F，令，令，请写出与的关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：如图1，过点作交于点， 正方形， ，， ，即是等腰直角三角形， ， 恰好平分，， ，则， 又， （）， ， ， ； （2）解：如图2，过点作交于点，过点作交于点，和相交于点K， 设，则，， 正方形的边长为， ，，，， ，， ，，即和是等腰直角三角形， ，， ， 四边形是矩形， ，， ，即是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ，即， 则，解得，（舍去）， ， ， 则三角形的面积为； （3）如图3，过点作交于点， 正方形的边长为， ，，，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，即是等腰直角三角形， ， ，则， ． 4．（2026·江苏连云港·模拟预测）探究式学习是重要的学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【问题提出】 （1）如图1，在中，，，点，在线段上，，求证：． 【问题探究】 （2）如图2，在矩形中，，点在边上，点在边上，且．若，求的值． 【问题应用】 （3）如图3，在菱形中，，点在边延长线上，点在边延长线上，且． ①求证：． ②在①的条件下，若，，请直接写出菱形的面积． 【答案】（1）见解析（2）（3）①证明见解析② 【详解】证明：， ， ， ，且， ， ； （2）如图，连接， 在矩形中，，， ， ，， ，， ， ， ， 作于点， ， ， ， ， ， 设，，则，，，，， ， ， ， ， ，， ； （3）①证明：如图，连接，过点作交的延长线于点， 在菱形中，,， ，， ， ， ，，， ，， ， ， ， 在上取一点，使得， 在菱形中，， ， ， ， ， ， ， ， ． 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②，， ， 四边形为菱形， 设， ，即， 解得， 即， 如图，过点作交于点， ， ，， ． 押题猜想四 尺规作图与几何计算证明综合 试题前瞻·能力先查 限时：15min （2026·广东珠海·一模）定义：如题图1，点M，N把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． (1)已知点M，N是线段的勾股分割点，若，，求的长； (2)如图2，在菱形中，点、分别在、上，，，分别交于点．求证：是线段的勾股分割点； (3)如图3，点是线段上的一定点，．请在上画一点，使得C，D是线段的勾股分割点（请用尺规进行作图） 【答案】(1)的长为或 (2)证明过程见详解 (3)作图见详解 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则， 当是斜边时，， ∴，整理得， ∵， ∴原方程无解，即不是斜边； 当是斜边时，， ∴， 解得，， ∴； 当是斜边时，， ∴， 解得，， ∴； ∴的长为或； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴，即， ∴，则， ∵， ∴，即， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴是线段的勾股分割点； （3）解：如图所示， 以点为圆心，以为半径画弧交于点， 分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，则为线段的垂直平分线，垂足为点，则， 在上取， 连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，交于点，则， 在中，，即， ∴点即为所求点的位置． 分析有理·押题有据 尺规作图问题是徐州市中考数学近几年开始流行的一种题型，近三年2023-2025全考，因为这种题型的考查就始于2023年，在此之前尺规作图问题一般都是放在小题中给出作图痕迹让学生自己通过痕迹判断作图的内容，但自从2023年开始至今，每年都会设计一道难度较大的尺规作图问题，该问题出现的位置一般在试卷的最后2-3题中，也就是26或27题，难度甚至超过28题，这种作图问题不仅仅考查学生的作图能力，以及对基本图形的性质的掌握情况，更能考查出学生的分析解决问题的能力，所以大概率2026还会以这种形式考查尺规作图问题，这种题型一般2-3小问，例如2024年徐州中考数学第27题一共三个小问，作图+证明与计算，以尺规作图的方式结合三角形的相似、圆的性质等知识综合，难度较大，得分率比较低，所以在复习中一定要重视有关尺规作图+证明计算的综合问题。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏南京·模拟预测）由图形的旋转想到的 【模型提炼】 (1)将线段绕点O旋转一定角度得到线段，分别是A、B的对应点．如图①，求作旋转中心O．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） 【提出问题】 若过平面内一点P存在直线l，分别交的两边于点C、D，使．试用尺规作图确定直线l的位置． 【分析问题】 根据点P与的位置不同，可以分成点P在边上、在内部、在外部三种情况． (2)当点P在的边上，如图②，点P在的边上，作出直线l． 【模型应用】 (3)当点P在的内部，如图③，如何作出直线l呢？小红观察图①，结合旋转的性质，想到如下作法： 第一步：在上取； 第二步：作的垂直平分线交的平分线于E； 第三步：连接，以为底边作等腰，且； 第四步：以F为圆心，以为半径作，交于点C； 第五步：过点P作直线，交于点D． 则直线就是所求的直线l． 请说明小红作图的正确性（写出主要思路即可）． (4)当点P在的外部如图④，作出直线l．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【详解】（1）解：如图①，连接，，作和的垂直平分线，交于点O，则点O即是所求作的旋转中心； （2）解：如图，直线l即为所求； （3）解：如图③， 理由：∵的垂直平分线交的平分线于E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴点O，C，E，D共圆， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）解：第一步：在上取； 第二步：作的垂直平分线交的平分线于E； 第三步：连接，以为底边作等腰，且； 第四步：以F为圆心，以为半径作，交于点C； 第五步：过点P作直线，交于点D． 则直线就是所求的直线l． 理由：连接， ∵的垂直平分线交的平分线于E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴点O，C，E，D共圆， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·上海虹口·一模）【模型探究】 如图，已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，满足．求证：． 【模型应用】 （1）已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，如果，，那么的度数为_____________； （2）如图，已知，是边上一点，请在边上选择一个合适的点，并在内部求作一个点，满足且． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】证明见解析；（1）；（2）见解析 【详解】【模型探究】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴故答案为：． （2）如图，点、即为所求． 3．（2026·福建泉州）阅读思考，解决问题． 把一个平面图形的周长分成相等两部分的直线称为该图形的周长等分线．某次数学课上，老师设计了利用无刻度的直尺（以下简称直尺）或圆规作出已知图形的周长等分线探究活动．请根据要求，完成下面三个数学探究． (1)探究：仅用直尺，分别作出圆、平行四边形过定点的周长等分线，点为周长等分线与该图形的交点． (2)探究2：利用直尺和圆规，作出任意过顶点的周长等分线（在上）． 如图，老师利用化折为直的几何思想，分享了一种尺规作法： ①以为圆心，为半径作弧交直线于点； ②以为圆心，为半径作弧交直线于点； ③作的中垂线交直线于点，作直线． 则直线就是的周长等分线． 如图，在老师的启发下，小明探究另一种尺规作法，已做了第一步作图，即以为圆心，为半径作弧交于点，请你利用尺规作图，在图中完成剩余的作图，保留作图痕迹，不写作法． (3)探究：如图，中，为中点，在边上（不与、重合），设直线是的周长等分线，若，求线段．（用含，的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：如图，直线是的周长等分线； 由作图可知线段是的直径，故直线把的周长分成相等的两部分，故直线是的周长等分线； 如图，直线是平行四边形的周长等分线， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，，， ∴，， ∴（）， ∴， 同理可证：， ∴，即直线把平行四边形的周长分成相等的两部分，故直线是平行四边形的周长等分线； （2）解：如图，直线是的周长等分线； 由作图可得，，， ∴， ∴直线是的周长等分线； （3）解：延长到，使，连接，过作于． 是的周长等分线，为中点， ，， ， ， 为中点， 是的中位线， ． ， 为等腰三角形，， ， ． ， ， 在中， ， ， ， ． 4．（2025·江苏镇江·一模）在尺规作图中，通过引入平行线，求作符合某个条件的线段或点，这样的方法我们称之为“平行线定位法”．（说明：以下作图均为尺规作图，请保留作图痕迹，并用铅笔或黑色水笔加黑加粗，必要时可以写出文字说明） 【初步尝试】 （1）如图1，在中，点在边上，，在边上求作点，使． 【自主研究】 （2）点在内，在图2和图3中分别求作过点截成等腰三角形的一条直线； （3）点在内，若过点截成等腰三角形的直线只有一条，则满足的条件是______． 【深度拓展】 （4）如图4，已知以及长为的线段，点在上，点到的垂线段分别为、，若，请在上作出满足条件的一个点． 【答案】（1）见解析（2）见解析；（3）钝角或直角或．（4）见解析 【详解】解：（1）作，交于点E，以点D为圆心，为半径画弧交于点，连接，故点E和点即为所求． 由作图可知， ， ， ， ， 又， 则， ． （2）当为钝角时，如图，作得平分线，再过点P作平分线的垂线，根据三角形全等的判定和性质，可知直线即为所求； 当为锐角时，如图，作的平分线，再过点P作平分线的垂线，根据三角形全等的判定和性质，可知直线即为所求． （3）当为钝角或直角或时，符合题意； 过点截成等腰三角形， 当为钝角或直角时， 根据等腰三角形的两个底角相等，若三角形中有两个钝角或两个直角，三角形是不存在的，则只能是等腰三角形的顶角，故点截成等腰三角形的直线只有一条； 当时，此时的等腰三角形是等边三角形，故也只有一条； 故答案为：钝角或直角或． （4）过点C作于点C，且截取； 过点M作于点M，交所在直线与点N； 作的平分线，交于点P； 过点P作于点E，作于点G， 根据角的平分线性质，得， 延长交于点F， 根据作图，得 四边形是矩形； 则， 则点P即为所求． 押题猜想五 锐角三角函数的应用与综合 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【例题】（2026·江苏宿迁·一模）中国自行研制的北斗卫星导航系统可在全球范围内为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小明一家自驾去风景区C游玩．到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶8千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区C，小明发现风景区C在A地的北偏东方向． (1)的度数为_____； (2)求B，C两地的直线距离．（结果精确到0.1千米；参考数据：，，） 【答案】(1) (2)B，C两地的直线距离约为千米 【详解】（1）解：如图： 由题意得：，，，， ， ， ， ， 的度数为； （2）解：如图，过点B作，垂足为G． 在中，千米，， ∴（千米）． 在中，， ∴（千米）， ∴B，C两地的直线距离约为千米． 分析有理·押题有据 锐角三角函数实际应用问题属于必考题型，不仅在徐州中考数学中每年都考，在全国几乎所有城市都会考。徐州市中考数学近5年每年必考的一道解答题，位置分布在25-27题，难度偏大，题目比较灵活，通常会以当地的实际生活中的物品或建筑等素材为背景，重点考查利用锐角三角函数解直角三角形和斜三角形，从而解决实际生活问题，这种问题之所以难度偏大的原因是因为题目所给的条件或图形都不能直接使用，需要借助添加辅助线，将非直角三角形问题转化为直角三角形，再利用锐角三角函数的相关知识，结合全等、相似、等腰三角形的性质和判定、勾股定理等知识解决，所以这种必考题型首先要重视，其次还要熟练掌握这种题型的解题办法和常见模型，提高自己的解题能力。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏连云港·一模）水晶公园是市民休闲时的一个好去处．如图，小明和他的综合实践活动小组利用课余时间，想测量水晶公园的东西最大宽度，他们选定了两个观测点，，观测点在点的北偏东方向上，观测点在点的北偏西方向上，点在点的正东方，又测量得，，．求水晶公园的东西最大宽度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】最大宽度 【详解】解：过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，如下图所示： 根据题意，可知，四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴． 2．（2026·江苏无锡·一模）在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物的高度．如图，在建筑物旁有一小山坡，测得山坡的坡度i（即）为，，在D处测得A处的仰角为，在C处测得A处的仰角为． (1)求的度数； (2)求建筑物的高度．（计算过程和结果中的数据不取近似数） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：过点作于点，如图， 则， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴； （2）解：过点作于点，过点作于点，如图， ∵， ∴ ∴， 设，则， 在中，，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴； 又， ∴， ∵，即，且， ∴， ∴； 在中，，， ∴， ∴， 又， ， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·江苏无锡·一模）图1是江阴市兴国寺塔，它始建于北宋太平兴国年间．塔底外形是一个如图2所示的正八边形．某数学兴趣小组对兴国寺塔进行了一定的实地测量活动，具体过程如下： 【数据收集】通过实地测量，正八边形的边长． 【问题解决】 (1)求图2中塔底半径． (2)如图3，在延长线上确定一点B，使A、B两点的距离为，在B处竖一根的竹竿，从杆顶P测得塔顶E的仰角为，求出兴国寺塔的高度． （结果取整数．参考数据：，，） 【答案】(1)图2中塔底半径的长约为； (2)兴国寺塔的高度约为． 【详解】（1）解：过点作于点， 由题意得， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 答：图2中塔底半径的长约为； （2）解：过点作于点， 由题意得， 由（1）知， 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴ 答：兴国寺塔的高度约为． 4．（2026·重庆·模拟预测）端午安康，某古城文旅局举办“端午探宝”定向寻宝赛，以古城街巷为场地还原古驿道寻宝路线：打卡点在打卡点的正南方向米处：打卡点在打卡点的北偏西方向：打卡点在打卡点的正东方，同时在的东南方向：打卡点在的正北方米处，且恰好位于的北偏东方向．（参考数据：，，） (1)求打卡点、之间的距离；（结果保留整数） (2)比赛中，小育从打卡点出发，沿线段向匀速奔跑；小陶从打卡点出发，沿某方向匀速直线奔跑．两人同时出发，小育与小陶的速度之比为，并在线段上某处相遇．当两人相遇时，小育跑了多少米？（结果保留整数） 【答案】(1)、之间的距离为 (2)小育跑了 【详解】（1）解：过点作于点，延长、交于点，如下图所示： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴， 根据题意，小育比小陶的速度要快， 可判断出小陶的路线为， ∵小育与小陶的速度之比为， ∴小育与小陶的路程之比为， ∵， ∴小育的路程为． 押题猜想六 折叠问题 试题前瞻·能力先查 限时：20min 【例题】（2026·江苏南京·模拟预测）折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析；点G在边、的垂直平分线上；理由见解析； (3)改变；的周长的最小值为； 【详解】（1）解：如图，作，的角平分线即可， ∵，， ∴， ∵，分别是，的角平分线， ∴， ∴； （2）解：如图，延长，交于T，作的角平分线即可． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ∴点G是的中点， ∴点G在边、的垂直平分线上； （3）解：如图，作的角平分线交于E，连接， ∵是折痕， ∴且垂直平分， ∴， ∵为定值即， ∴当A、M、E三点共线时，最小，最小值即为的长， 故的最小值为， 此时E和B重合，将向上平移使得M与A重合，如下图： ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 分析有理·押题有据 折叠问题一直是各大城市中考数学的热点问题，徐州市也不例外。折叠问题一个综合性的问题，涉及到的考点多，可以说几乎可以覆盖中考数学的绝大多数考点，从平面几何中的勾股定理，到三角形的全等，相似，再到锐角三角函数，函数，二次函数，反比例函数，以及图形运动中的动点问题，其核心是轴对称的性质。这种问题之所以难度较大，不仅仅是因为融入的考点多，题型多变，其主要的原因是这种问题往往都涉及到图形运动或动点问题，情况复杂，通常还需要分类讨论。所以，在中考复习过程中要非常重视这种题型的训练和和解题方法的总结。 终极猜想·精练通关 1．（2026·山东德州·一模）综合与实践 【问题情境】 数学兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠，折痕与边，分别交于点，，点的对应点记为，点的对应点记为． (1)【特例探究】 角的探究：如图1，连接，与交于点，当点，，三点共线时，与相等的角为______（写出一个即可）； (2)线段的探究：如图2，当为的中点时，点恰好落在边上． ①猜想，，三条线段的数量关系，并说明理由； ②延长交于点，连接，，判断与的位置关系，并说明理由． (3)【深入探究】 如图3，将矩形纸片更换为平行四边形、，，，为的中点，当所在直线垂直于平行四边形的一边所在直线时，直接写出的值． 【答案】(1)或； (2)，理由见解析； ，理由见解析； (3)的值为或． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， 由折叠可得，，， ∴， 又∵， ∴， 又∵点、、三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相等的角为或． （2）解：，理由： 由折叠可得，，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴． ，理由： ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点、在线段的垂直平分线上， ∴． （3）解：当时，如图，垂足为点，过点作于，连接交于， ∵，四边形是平行四边形， ∴，，，， 由折叠可得，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 当时，如图，垂足为点，延长交于点， 由折叠可得，，，，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的值为或． 2．（2026·广东佛山·一模）【问题情境】 折纸是一种许多人熟悉的活动，在数学活动课上，老师让同学们以“图形的翻折”为主题开展数学活动． 活动一：矩形可折叠 矩形纸片中，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处；再次翻折矩形，使与所在直线重合，点落在直线上的点处，折痕为．翻折后的纸片如图1所示． 活动二：折叠可得矩形 如图2，将 纸片沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰 的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为“叠合矩形”，如图3和图4．【提出问题】 （1）如图1，的度数为 　　； （2）如图1，若，，求的最大值； （3）纸片还可以按图4的方式折叠成一个叠合矩形，若，，直接写出的长　　； 【解决问题】 （4）如图5，一张矩形纸片通过活动一中的翻折方式得到四边形，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，，，求该矩形纸片较长边的长度． 【答案】（1）；（2）的最大值为；（3）15；（4）矩形纸片较长边的长度为或 【详解】解：（1）如图1， 由题意得：，， ， ， ， ； （2）如图1， 设，，则， 由（1）知， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，有最大值为， 的最大值为； （3）解：设点B的对应点为M，点D的对应点为N，如图4， ∵矩形中，， ∴, ∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∵中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （4）作出原矩形，连接，如图5①， ，，， ， ， 四边形为矩形， ，． 设，则，设，则． ， ． ， ． ， ， ． ， ， ， ， ， 矩形纸片较长边的长度为； 当为矩形的一边时，作出原矩形，如图5②， 设，则，设， 四边形为矩形， ，，， ， ． ， ． ， ， ． ， ， ， ． ， 矩形纸片较长边的长度为； 综上所述，矩形纸片较长边的长度为或． 3．（2026·江苏无锡·一模）数学活动课上，老师为同学们提供了若干大小不同的矩形纸片、其中边长均为．同学们以折叠矩形纸片展开数学探究活动． 【动手操作】 步骤如下： 第一步：如图①，将矩形纸片对折、使边重合，展开后折痕与交于点F． 第二步：如图②，在上取一点E，沿折叠矩形，点A的对应点为G．延长交于点H，将纸片沿过点H的直线折叠．使点C的对应点落在所在直线上，折痕与交于点M． (1)求证：． 【初步感知】 A小组的同学们选用了如图③所示的矩形纸片．在按上述步骤折叠的过程中发现，当点E与点D重合时，此时点F、G、M三点在一条直线上． (2)求的长． 【应用创新】 (3)如图④，B小组的同学们选用了的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，过点H的折痕与交于点M，把纸片展开后，连接．当为直角三角形时，则的长为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【详解】（1）证明：连接，如图②： 由第一次折叠可得，， ∵四边形是矩形， ∴ 由第二次折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，如图③： 由②得，， ∴ ∵矩形， ∴，， ∴ 由折叠可得， ∵ ∴ ∴， 由（1）得， ∴ ∴ ∴， 由折叠可得， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时， ∴ ∵矩形， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠可得，平分 ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 当时，连接，过点作于点， 则， ∵折叠， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， 同上可证明四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠可得，， 由（1）得， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴， ∵， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， 设，则 ∴， 解得 ∴， 综上：当为直角三角形时，则的长为或． 4．（2026·江苏南通·一模）综合与实践 【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程． 【操作实践】如图1，将矩形纸片沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点处，折痕交于点E，再沿着过点的直线折叠，使点D落在边上的点处，折痕交于点F．将纸片展平，画出对应点、及折痕、，连接、、． 【初步猜想】（1）确定和的位置关系及线段和的数量关系． 创新小组经过探究，发现，证明过程如下： 由折叠可知，． 由矩形的性质，可知，∴， ∴① ， ∴． 智慧小组先测量和的长度，猜想其关系为② ． 经过探究，发现验证和数量关系的方法不唯一： 方法一：证明，得到，再由可得结论． 方法二：过点作的平行线交于点G，构造平行四边形，然后证可得结论． 请补充上述过程中横线上的内容． 【推理证明】（2）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证和的数量关系，写出证明过程． 【尝试运用】（3）如图2，在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交于点G，连接，当为直角三角形时，求出的长． 【答案】（1）①，②；（2）证明见详解；（3）的长为或4 【详解】解：（1）由折叠可知，． 由矩形的性质，可知，∴， ∴①， ∴． 智慧小组先测量和的长度，猜想其关系为②． 故答案为：①，②； （2）证明：方法一：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质，得，，，，， ∴，， ∴， 由（1）知，， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 方法二：如图，过点作交于点G， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质，得，， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 由（2）可知：，，， ∴， 设，则，， ∴， 当为直角三角形时，分以下两种情况讨论： ①如图，若， 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 解得，， 经检验，满足题意； ∴； ②如图，若， ∵， ∴， ∴G，，F三点共线， ∴， 又∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形， ∴， 由折叠的性质，得， ∴， 在中，，， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴， 综上所述，的长为或4． 28 / 87 2 / 85 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $