边角互化与转化归一：解三角形问题的通法研究-《中学生数理化》高考数学2026年2月刊

中学生表理化学聚整方法 边角互化与转化归一： 解三角形问题的通法研究 ■江苏省南京市第十二中学 金本平 三角形是连接几何直观与代数运算的枢 例1在△ABC中，角A,B,C的对 纽，更是高考屡考屡新的“分水岭”。命题愈 边分别是a,b,c,且bcos C=(2a一c)· 发灵活，常与函数、不等式等模块交织，综合 cosB。 度陡升，对同学们的能力提出更高要求。本 (1)求角B的大小： 文以典型例题为切入点，分类解析基本量求 (2)若b=3,sinC=2sinA,求△ABC 解、范围最值、三线性质等核心题型，系统梳 的面积。 理通性通法，并穿插“破题妙招”，帮助同学们 解析：(1)方法一：（正弦定理）由正弦定 高效突围，实现复习与解题能力的双向跃迁。 理得sin Bcos C=(2sinA-sinC)cosB= 一、边角互化：基本量求解的通法 2 sin Acos B-sin Ccos B。在△ABC中， 三角形的边、角、周长和面积等基本量， sin A=sin(B+C)=sin Bcos C++sin Ccos B, 构成了解决一切三角形问题的基础。高考据 所以sinA=2 sin Acos B。又因为sinA≠0 此设题，常以“给一半、求一半”的形式，检验 所以c0sB=合.又B∈0，)：放B=答· 同学们的运算与推理能力。在求解过程中， 方法二：（余弦定理）由余弦定理得b· 若条件含角的正弦或边的一次式，优先选用 a+b二c=(2a-c).a+c-b,化简得 正弦定理—边化角，简化运算；若条件给出 2ab 2ac 角的余弦或边的二次式，则宜先采用余弦定 a”十c2-b2=ac。又因为B∈(0，π)，所以 理一角化边，建立边的代数关系。两法互 0月-dB-数-合则B-青 2ac 通，本质是边角“翻译”成统一语言，审题瞬间 (2)方法一：（正弦定理）在△ABC中， 抓住关键字眼，择优而用，即可快、准、稳地补 齐所有基本量。 sinC=sim(B+A)=2simA,整理得多sinA (cos2x十sin2元-4π-2)=- 1 数、一次函数与指数函数的综合应用，问题为 含参函数存在两个零点，需先利用二阶求导 g(一2π)>g(2π)，所以要使函数y=g(x) 判断函数的单调性，确定最值后，再据此求解 a在区间（一2π，2π）上有2个零点，则一1< 参数的取值范围。这类题型既考查同学们对 a 4π十1 复合函数求导的掌握程度，又检验其对三角 e2m 函，数性质及其应用的熟练程度，同时凸显了 所以满足题意的实数a的取值范围为 导数工具在函数分析中的核心作用。 (1. 最后，本文针对复合型三角函数最值及 点评：本题作为新高考热，点题型，由两个 其应用问题展开系统性研究，从函数组合形 小问构成：第(1)问聚焦余弦函数与指数函数 式的角度切人，将相关题型划分为三种典型 的乘积形式，解题时需先求导，通过分析导函 结构。通过深入分析各类题型的内在规律与 解题要点，系统提炼出相应的解题策略与实 数符号以判断原函数的单调性，进而确定函 用技巧，旨在为高考备考提供具有针对性的 数的最大值；第(2)问涉及正弦函数、余孩函 解题思路和方法指导。（责任编辑王福华） 38 解数学典题资壁方清中学生表理化 2coA,所以nA-号。因为A∈(0， 方法二：（正弦定理结合三角函数）由正 弦定理得sinA =2R=2,所以b十c= x),所以A=吾，C=2,放△ABC为直角三 角形。又b=3,所以a=b·tanA=5,则 2(sin B+sin C)=2sin B-+sin (B+) SAABC=- 之a633 1 =2sim(B+)。因为B∈(，），所以 2 方法二：（余弦定理）因为sinC= B+若∈(，)，故b+c∈(3,2]。 2sinA,所以c=2a,由余弦定理得b2=a2+ 评注：破解三角形中的最值与取值范围 c2-ac=3a2,解得a=√5，则c=2√5，所以 问题，通常遵循两条经典路径：一是依赖基本 Soueocsin 不等式实现等式对不等式的过渡，从而锁定 2 最值，并紧扣其几何约束（如两边之和大于第 评注：求解三角形基本量的精髓，在于借 三边)来界定范围；二是通过正弦定理实现边 助正、余弦定理实现“边角互译”，形成变量统 化角，将关系式转化为函数关系，转而求解函 一。具体选择“边化角”还是“角化边”，需结 数的值域问题。两条路径的本质都是通过统 合题目给出的边、角关系特征灵活判断，以简 一变量，将几何问题化归为可分析的代数或 化运算、顺利求解为根本原则。 函数模型。 二、范围最值：多路径转化的利器 三、三线定位：角平分线、中线、高线的互推 求解三角形的周长、面积等量的最值或 关于三角形的角平分线、中线、高线的题 取值范围问题，是高考中的能力型考点。此 型各异，解法亦分泾渭：角平分线注重张角定 类问题的通用解题思路是“化归”，即利用正、 理、角平分线定理与等面积法；中线借助中线 余弦定理实现边角互化，将问题转化为单变 量的函数模型，再借助函数的有界性、单调 长定理、双余弦、向量法三路并进；高线则统 性，以及基本不等式等确定最值或取值范围。 摄于等面积、正弦定理或射影定理，一题一 策，可速得其长。 例2在△ABC中，角A,B,C的对 边分别是a,b,c,已知sinB十sinC=sinA 例3在△ABC中，角A,B,C的对 B+C +sin bsin c,且a=√3。 边分别是a,b,c。已知sinA=sin2 2,c (1)求角A的大小： =5,△ABC的面积为10W3。 (2)求b十c的取值范围。 1)求a,b: 解析：(1)已知sinB十sinC=sinA+ (2)D为BC边上一点，若AD是∠BAC sin bsin c,由正弦定理得b2十c2=a+bc,所 的平分线，求线段AD的长； 以0sA-6+4-%=立又因为 2bc (3)若D为BC的中点，求线段AD的长； (4)过A点作AD⊥BC,求线段AD的长。 A∈(0，x),所以A=5。 (2)方法一：（余弦定理结合基本不等式） 解析：)因为snA=sinB士S,在 由余弦定理得a2=b2十c2一bc=(b十c)2 △ABC中，B+C=π-A,所以sinA= 3bc,由基本不等式得a2=(b+c)2-3bc≥ 2 2cos2。因为 (6+e)2-子6+e),所以6+6≤25，当且 a会≠0，所以sin会-日：又A∈(0，. 仅当b=c=√5时取等号。在△ABC中，因 为b+c>a,所以b+c∈(3,23]。 所以A=君。由SAg=SAAm十Sam 39 中学生表理化学聚整方法 2 bcsin A=103,解得b=8。由余弦定理 1 中，cos∠CDA=CD+AD'-AC 2CD·AD 。又因为 得a2=b2+c2-2bcc0sA=49,所以a=7。 ∠BDA与∠CDA互补，所以cos∠CDA十 (2)方法一：（等面积法）由SAAc=S△ABD cos∠BDA=0,即 BD'+AD:-AB 2BD·AD 十S△Am= (AB·ADsin∠BAD+AC· 1 CD2+AD-AC2 2CD·AD =0,化简得AD= 1 ADsin∠CAD)= 乞AC·AB sin∠BAC,得 AC2+AB2BC212 ADsin 元+4 ADsin交=10√3，解得AD 2 4 4,所以AD=29 2 6 6 方法三：（中线长定理）由中线长定理得 40w3 139 AD'=- AB+安AC-是C-1婴，所以 1 1 方法二：（张角定理）在△ABC中，AD 平分∠BAC,则sin∠BAD=sin∠CAD。 4D=12g 29 又因为Sac=Sam十SAam,所以2AB· (4)方法一：（等面积法）由SA= 2AB. ADm∠BAD+3AC·AD sin∠CAD BC·AD,解得AD= 1 ACsin∠BAC= 号AB·Ac sin∠BAC,即AD(AB中 20√3 79 AC)sin∠BAD=AB·AC sin∠BAC= 方法二：（正弦定理）在△ABD中，有 2AB·ACsin∠BADcos∠BAD,所以AD AD=ABsin B。在△ABC中，由正弦定理 =2AB·AC AB十AC ·Cos BAC。因为AB=5, 得AC=BC=145 sin B sin A 1,则snB=5。所 AC=8,A-5,所以AD=403 131 20√3 以AD=ABsin B= 7。 方法三：（正余弦定理结合角平分线定 评注：求解三角形“三线”长是高频考，点， 理)由正弦定理得。 AB BD sin∠ADB=sin∠BAD' 除熟练运用正、余孩定理外，还需储备更多工 AC CD 具。求角平分线时，各类公式虽殊途同归，但 sin ADC=sin CAD,所以AC=CD= 一遇“角条件十线段最值”，张角定理最能直 5 只。之3+○=7·斤以BD三·○ 击要害。求中线时，可先由余弦定理推出中 56 线长公式(AD-名V2(AC+AB)-BC) 13。 由余弦定理BD=AB2十AD-2AB· 直得结果。向量法不仅是解决中线问题的好 ADcos∠BAD,解得AD=40E 帮手，也是解决“定比分，点”问题的抓手，凭共 139 线定理可瞬间读出比例，后续计算立省半数 (3)方法一：（向量法）在△ABC中，因为 篇幅。求解三角形高线时，等面积法与正弦 D为BC的中点，所以A=之(A店+AC), 定理是两类实用且高效的常规方法。此外， 即Aò-子迹御++2·A心· 作图表示也可尝试！ 总之，解三角形问题的方法因题而异，但 os∠BAC)=2,所以AD-② 万变不离其宗，其核心在于把握“边与角”的 2 内在联系，通过“形之可视、数之可算、形数 方法二：（余弦定理）在△ABD中， 互证”的三重路径，破题瞬息可期。 BD'+AD'-AB' cOS∠BDA= 在△ACD (责任编辑王福华) 2BD·AD 40