熟知数列的模型结构，突破数列在实际问题中的应用-《中学生数理化》高考数学2026年2月刊

解营数拿新题追耀湖酒中学生数理化 高三数学2026年2月 熟知数列的模型结构， 突破数列在实际问题中的应用 ■湖南省长沙市第一中学 徐金波 数列作为高中数学的核心知识模块，不 例1角谷猜想（也称冰雹猜想）是数 仅是高考命题的重点考查内容，更是培养数 学史上最著名的数学猜想之一。其基本原理 学建模能力的关键载体。在新高考改革背景 是：任取一个正整数a,若是奇数，则进行 下，随着数学试题情境化、应用化趋势的加 am+1=3am十1的运算；若为偶数，则进行am+i 强，数列实际应用问题已成为检验同学们综 合能力的重要题型。本文基于数列问题的本 一2的运算。反复进行这种规律的运算，经 质特征，通过系统分析其模型结构，从题型特 过有限步骤后，必然进入循环圈1·42 征识别与解题策略构建两个维度展开深入研 1。根据以上运算，若a1=1,求a2s的值。 究。文章采用理论分析与案例实证相结合的 解析：由题意知，若a1=1,则a2=4,a 方法，重点揭示数列在实际问题中的建模规 =2,a,=1,a=4,…,由此可知，数列{a。}是 律，创新性地提出“分类一转化一验证”的三 以3为周期的周期数列。又因为2025=3× 步解题法，为破解数列应用难题提供了兼具 675,所以a202s=a3=2。 理论深度和实用价值的解题框架。 点评：本题以角谷猜想的数学文化为背 一、数列定义模型 景，重，点考查数列周期性的分析能力。与函 该类问题主要聚焦于实际生活中的数列 数周期性不同，数列周期性的判定缺乏普适 应用场景，尤其在数学文化领域，其核心在于 性结论，通常需要采用观察法、归纳法等手段 考查数列的变化规律及其特有的数学性质。 探寻规律。解题时，需从数学文化情境中提 6666660个066606606个个0666个66666个0666个6006666 cos2A=V2sin(2A-T)∈(0,1)。所以 次，通过正弦定理将边长转化为角的正弦函 数表达式；再次，利用内角关系建立单一变量 (sin 2A+cos 2A)2 2-m2 a2+sin 2A-cos 2A-2+m .=2 的三角函数模型；最后，根据函数特征选择求 导法确定最值。这种方法既体现了三角函数 m-2+m,m∈(0,1)。令f(m)=2-m 的转化思想，又展示了极限思维在几何问题 中的应用。 2 2+m,则'(m)=-1+2+m。因为 本文系统探讨了解三角形中特定几何量 m∈(0,1)，所以f'(m)<0,则函数f(m)在 的最值问题。根据题型特征，将这类问题科 区间(0,1)上单调递减，所以f(1)<f(m) 学划分为四大类型：三角形面积的最值问题、 c2 边长或边长和差形式的最值问题、角或角的 0),即号<f(m)<1。所以。十6的取值 三角函数值的最值问题，以及边长的积或商 范周为（仔）。 形式的最值问题。通过对每类题型的深入分 析，从题目结构特征、已知条件类型和问题表 点评：本题是在已知三角形三个内角等 现形式三个维度，提炼出具有普适性的解题 c 式关系的条件下，求。十的取值范国。共 策略和思路框架，为破解此类难题提供了清 晰的解题路径和方法指导。 解题路径可总结为四个关键步骤：首先，根据 (责任编辑王福华) 已知条件，将两个内角用第三个内角表示；其 17 中学生数理化 解题篇创新题追根溯源 高三数学2026年2月 炼出数列的动态变化规律，再通过规律分析 建模过程。 揭示数列的固有性质，最终利用这些性质构 三、等比数列模型 建解题路径。 通过对等比数列实际应用的深入分析， 二、等差数列模型 我们发现分期付款问题作为该模型最具代表 等差数列作为数列研究的基础模型，其 性的应用情境之一，其研究价值不仅体现在 通项公式与求和公式在工程测量、金融计算 数学建模层面，更因其与日常经济活动的高 等领域具有广泛应用，集中考查等差数列的 度相关性而具有重要的实践意义。该类问题 定义、通项公式、前n项和公式等相关性质。 主要考查等比数列的通项公式、前项和公 该模型的核心价值在于解决变量呈现等量变 式等相关性质。 化的实际问题，如固定周期存款、阶梯式资源 例3为了适应消费者的需求，某手机 消耗等场景。其标准化解题思路流程包含三 店推出“0元购机，分期付款”活动。现一顾 个关键步骤：首先，通过数据分析识别公差与 客选中价值5000元的手机，按照“0元购机， 首项：其次，建立通项或求和公式：最后，通过 分期付款”的付款方式，顾客购买手机后第 代数运算求解具体问题。这种“规律识别→ 个月开始第一次付款，每月按照月利率 模型构建→问题求解”的递进式方法，既展现 0.5%等额付款一次，在购买手机后第12个 了数学建模的普适性，也凸显了等差数列作 月将所有款项付清。按复利进行计算，则该 为初等数学工具的实际应用价值。 顾客每月应付。（精确到1元，1.0052≈ 例2甲购买了一辆价格为25万元的 1.0617) 轿车，首付选择付11万元，剩余的款项采用 解析：设每月应付x元，由题意知，第一 分期付款的方式还款，方式为：每年年底还固 次付款x元，第二次付款1.005x,依次进行， 定款额2万元及余款的当年利息，已知年利 则金额是以x为首项，1.005为公比的等比 率为10%，直到全部还完为止。求购买这辆 数列，所以最后一次付款时，本金加利息总和 车的实际付款额。 为x+1.005.x+1.005x+·+1.0051"x= 解析：已知首付11万元，余款还有14万 (1-1.00512)x=(1-1.0052)x 元，由题意知需要7年还清。设每年还款数 1-1.005 -0.005 。又因为 组成的数列为{an},则a1=2+14×10%= 5000元的手机在购买后的12个月后本利和 3.4,a2=2+(14-2)×10%=3.2,a8=2+ 为5000×1.00512，所以5000×1.00512= (14-2×2)×10%=3,…,am=2+[14-2(n 1-1.005)工，解得x= 25×1.0052 一1)]×10%=3.4一0.2(n一1)，因此数列 0.005 1.0052-1 {a.}是首项为3.4，公差为一0.2的等差数 25×1.0617 1.0617-1 ≈430。所以按复利进行计算， 列，则S,=7×3.4+7X6× 2 ×(-0.2)=19.6。 该顾客每月应付430元。 所以购买这辆车的实际付款额为30.6万元。 ,点评：本题以“0元购手机”这一现代消 点评：本题以分期付款为背景，其还款计 费金融场景为背景，探讨分期付款的财务计 划呈现等差数列的变化规律，属于等差数列 算逻辑。这类问题的解题思路可系统归纳为 模型的典型应用问题，具体考查了等差数列 “四步建模法”：首先，通过问题情境分析确认 的通项公式和前项和公式及其应用。解题 等比数列模型的适用性；其次，建立精确的数 步骤：首先，通过分析每次还款额的变化特 学模型，完成实际问题向数学问题的转化：再 征，抽象出数据间的等差关系；其次，根据这 次，运用等比数列的求解方法进行定量计算； 一规律构建相应的数学模型：再次，运用数列 最后，将数学结论重新映射回实际情境进行 求解方法进行定量计算；最后，将数学结论回 验证和应用。这一方法不仅体现了数学建模 归实际情境，完成从问题提出到解决的完整 的完整思维过程，还为解决其他类似的实际 18 解题篇创新题追根溯源 高三数学2026年2月 中学生数理化 问题提供了可复制的分析框架。 为首项，专为公比的等比数列。 1 四、递推公式模型 递推公式作为数列的核心表示方法，通 (2)由(1)知，am=- ×()+ 过明确项与项之间的数学关系，不仅揭示了 1 序列的内在规律性，更成为近几年数学建模 则1一an= ×() 、1 ,所以该地区把 与应用题的考查重点，常见的递推公式有 am=qa41十p(p,q为常数)、a,一aw+1= 沙漠改造成绿洲的面积为是立（幻 25- paa+1(p为常数)等。该类问题的解题思 路一般为：首先，从实际问题（如人口增长、贷 号+（信）++()门+号 }= 26十 款利息计算等)中抽象出递推关系；其次，通 1-() 过代数方法（如特征方程法、矩阵表示法等） 36 [-()门]+ 36 1259 求解通项或数值解；最后，将数学结论反哺实 1 5 际问题。题型的主要特征是在实际情境中， 所以该地区完成沙漠治理计划需要的费 反映出一个数列的递推关系，需要通过问题 情境建立这一递推关系，然后利用这个关系 用为2层[-()门+} ≈1.27（千万 解决问题，体现了数学工具在解决动态系统 元)。 问题中的方法价值。 ,点评：本题以中国塔克拉玛干沙漠治理 例4最近，我国沙漠治沙成效海内外 这一世界瞩目成就为现实背景，通过分析逐 皆知，特别是对塔克拉玛干沙漠实现合围。 年固沙面积等治理数据，构建数列递推模型 某地区吸取塔克拉玛干沙漠的治沙经验，计 来量化治理效果。解题过程遵循“现象→模 划十年内治理本地区沙漠，已知第1年时，该 型→验证”的三阶路径：首先，从治理数据中 地区的1万平方千米地区，有70%是沙漠， 识别出线性或非线性递推关系，如本题中的 30%是绿洲，从第2年开始计划进行沙漠绿 4 4 化改造，每年拟把16%改造成绿洲，而原有 a.=后am十25其次，建立数学模型，通过 的绿洲有4%又会被沙漠侵蚀变成沙漠。设 递推公式求解数列通项公式；最后，对模型进 第n年的绿洲面积为am万平方千米，其中 行验证，既为治沙工程提供决策支持，又体现 1≤n10,n∈N。 了数学建模的实际应用价值。 1)求证：a,一}为等比数列： 数列作为高中数学的核心知识模块，始 终是高考命题的重点内容。随着新高考改革 (2)假设把沙漠改造成绿洲的改造费为 深入推进，命题趋势更注重将数学知识与实 每万平方千米2千万元，求该地区完成沙漠 际生活场景相结合，使得数列模型的应用类 治理计划需要的费用。 题目考查热度持续攀升。本文聚焦数列中 解析：(1)当a≥2时，am=(1-4%)am- 的实际应用问题，系统梳理了现行考试中 +1-16%=号+。因为a,=1 的典型题型，归纳出数列定义及其性质、等 差数列、等比数列和递椎公式四大核心考 10=10,所以a1一4=34 -70%=1-7-3 5105 查模型。通过深人剖析各类问题的结构特 4 4 44 征，明确题型识别，并针对性提出了解题策 2。又 1 5a-1+25-5 略，构建了“分析数据一建立模型一解决数 4 4 m-1一5 a-1-5 学问题一回归实际问题”的标准化解题路 径，为数列应用题的解答提供了系统化的 4 16 54-1-5 4 4 方法指导。 4 5,所以数列{a,一5}是以 (责任编辑王福华) a-1一5 19