一元函数的导数及其应用单元创新卷-《中学生数理化》高二数学2026年2月刊

清纸箱名故备西留暂整签繁室樱香中学生款理化 元函数的导数及其应用单元创新卷参考答案 一、单选题 1.B2.C3.D4.A5.D eo告e0,]→eas专∈0，]- 6.C提示：由题意得函数f(x)的定义 e[] 2 cos 2 域为(0，十∞)，求导得f'(x)=4x一 。令 1 所以fx)0s受一<0，即fx) f)=0解得x=日 在2π [3,x上单调递减。 当0<x<2时f'(x)<0,f(x)单调递 所以f63)>f(x)=0,即sin名-是> 减：当x>2时，f'(x)>0,f(x)单调递增。 0,他即sm是>是，故a>b, 因为函数在区间(k一1，k十1)内不单调， 又b= 3 9 所以太-1<号<k十1，解得-名<k<名 3≈30.955，c-7030.9 所以a>b>c。 又因为k一1≥0，所以k≥1。 二、多选题 综上k∈1，） 9.ABD 7.A提示：函数f(x)=e一et 10.CD提示：f(x)=一x21nx,该函数 2sinx的定义域为R,定义域关于原点对称。 的定义域为(0，+o∞)，f'(x)=-2xlnx-x f(-x)=e*-e*-2sin(-x)=e-*- =-x(2lnx+1)。 e十2sinx=一f(x),所以函数f(x)=e一 当0<x<e时，f'(x)>0,f(x)单调 er一2sinx为奇函数。 因为f'(x)=e十ex-2cosx≥ 递增；当x>e时，f'(x)<0,f(x)单调 递减。 2√e·e可-2cosx≥0，当且仅当e=e, 即x=0时，等号成立，所以函数f(x)=e一 所以fx)太信=f(e)=一elne er一2sinx在R上单调递增。 所以f(x2一2x)十f(x-2)<0可化为 2e,故选项B错误，选项C正确。 f(x2-2x)<-f(x-2),即f(x2-2x)< 当0<x<1时，lnx0,此时f(x)= f(2-x)。 -xlnx>0,选项A错误。 所以x2-2x<2一x,即x一x-2<0, 由f(x)=-xlnx=0,可得1nx=0, 解得一1<x<2。所以不等式f(x2-2x)+ 解得x=1,选项D正确。 f(x-2)<0的解集为(-1,2)。 1.AD提示：由f(x)-f0)· 8.B提示：令f(x)=sin之一元xx∈ x+f'(1)e-1,得f(0)=f'(1)e1。 f'(x)=x-f(0)+f'(1)e-1,所以 f'(1)=1-f(1)e1+f'(1),解得f'(1)=e。 因为x[,所以受∈[后]户 则f0)=ee=1,故fx)=2 39 中学生款理化离整薇学名极备狮朝爷案与提示 x十e,所以g(x)=f(x)- x+x=e。 1 又以会理得y十兴 方程g(x)一ax=0,即e=ax。当x= 设Q(x2,y2)是l与g(x)=e的切点。 0时，方程显然无解。当x<0时，对于任意 由g(x)=e,得g'(x)=e。 a<0,函数y=e与y=ax的图像有一个交 所以l的方程为y一y2=e?(x一x2)。 点，满足题意。 又y2=e2,整理得y=e2x十e2(1一x2)。 当x>0时，则a=.令h(x)=g ，则 由题意可知两条直线重合，所以 h'(x)-te'-e-c(z-1) k t? =e, 当x∈(0,1)时，h'(x)<0;当x∈(1， 2k=e(1-x。 十∞)时，h'(x)>0。所以h(x)在(0,1)上单 调递减，在(1，十∞)上单调递增。当x→0 消去x1得4k=一e2(x2一1)。 时，h(x)→十∞，当x>十∞ VA 由题意知此方程有三个不等实根，设 时，h(x)→十o∞，h(1)=e。 h(x)=一e(x一1)2，即直线y=4k与曲线y 所以h(x)在(0，十∞)上的 =h(x)有三个不同的交点。 图像如图1所示。由图可 易知h'(x)=e(1-x)。令h'(x)=0,则 01 知，当a=e时，方程a=e x=±1。当x<-1时，h'(x)<0,h(x)单调递 图1 减；当-1<x<1时，h'(x)>0,h(x)单调递增； 有一个实根。 当x>1时，h'(x)<0,h(x)单调递减。 综上，a的取值范围为（一∞，0）U{e}。 所以h(x)的极小值为h(一1)=一4e1, 三、填空题 h(x)的极大值为h(1)=0。 12.(1,4)U(6,+∞) 因为h(x)= 一e*(x一1)2，e>0, (x-1)2≥0，所以 13.(31 提示：由题意知，f(x)的定 h(x)≤0。当x→ 义域为(0，十∞)，f'(x)=x 子。所以 一∞时，h(x)→0；当 x→+∞时，h(x)→ f'(x)>0→x>1,f'(x)<0→0<x<1,即 一∞。故h(x)的大 f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单 致图像如图2所示。 图2 调递增。 由图可知，当-4e1<4k<0,即一 e 因为f(x)在区间(a,a+是)（其中a> k<0时，直线y=4k与曲线y=h(x)有三个 a1, 交点。 0)上存在最小值，所以 解得 a+2 >1, 2 四、解答题 15.(1)由f(x)= 2 a<1,故a的取值范围为 (2) -1nx-2,得 14.（-,o 提示：设公切线为， P(x1,y1)是l与f(x)=kx1的切点。由 因为x>0,所以f'(x)<0,f(x)=2 f(x)=kx1,得f'(x)=一 1nx一2在(0，十c∞)上单调递减。 又f(1)=2一0一2=0，所以函数f(x) 所以1的方程为y一y1= 一k （x一x1）。 -1nx一2只有一个零点，即方程f(x） x 40 高数竿花案年提中学生数理化 演练篇名校名师创新卷答案与提示 =0有唯一解，且解为1。 若a=0,则f(x)=2x,f(x)在（一∞， (2)g(x)=-1nx+a.x十1-3有两个 十∞)上单调递增。 In z+3-1 若a<0,则当x∈(-∞，g)U(0, 零点，等价于a= 有两个解，也 +∞)时，f'(x)>≥0：当x∈(，0）时，f(x) 等价于直线y=a与函数t(x)= In x+3-1 <0。故f(x)在(-0，号），(0，+∞)上分别 x 有两个交点。 单调递增，在（号，0）上单调递减。 2+2 -In x 综上所述，当a>0时，f(x)在（一∞， x 则t'(x)= 一，x>0。 0),(号，+∞)上分别单调递增，在(0，号)上 由(1)知函数f(x)=一2+ x -lnx在 单调递减，当a=0时，f(.x)在（一∞，十∞） (0,十∞)上单调递减，f(1)=0,所以当x>1 上单调递增；当a<0时，f(x)在(-∞，号)， 时，f(x)<0,t'(x)<0,则t(x)在(1，+o∞) 上单调递减；当0x<1时，f(x)>0,t'(x) (0,十∞)上分别单调递增，在（号0）上单调 >0,则t(x)在(0,1)上单调递增。 递减。 当x→0时，t(x)→-∞；当x→十∞ (2)当a=1时，f(x)=2x3-x2,则 时，t(x)→0；t(x)ms=t(1)=2。作出函数 f'(x)=6x2-2x。 In x+3-1 设切点P(x。,yo),则切线方程为y一y。 t(x)= 的图像，如图3所示。 =y-(2x8-x8)=(6x8-2xo)(x-xo)。 因为切线过原点，所以一2x8十x= 一6.x8十2x,即4x8=x,解得x。=0或x0 。1 图3 所以女=0或太=一日 由图可知，直线y=a与函数t(x)= 17.(1)函数f(x)的定义域是(0，十∞)， 1nx+3- f'(x)=1-a=1-ax 工有两个交点等价于0<a<2. 当a<0时，1一ax>0,f'(x)>0恒成 故实数a的取值范围为(0,2)。 立，故f(x)在(0，十∞)上单调递增。 16.(1)由题意知，f'(x)=6x2-2ax 2x(3x-a),x∈R。 当a≥0时，由了x)≥0得0<x<日 令f'(x)=0,得x=0或x-名 由fx)<0,得x>。故函数fx)在 若a>0,则当x∈（一∞，0）U (0,)上单调递增，在（日十）上单调递 (号，+∞)时，f(x)>0:当x∈(0，)时， 减。 f'(x)<0。故f(x)在(-∞，0).（号，+∞）上 综上所述，当a<0时，函数f(x)在(0， 十∞)上单调递增；当a>0时，函数f(x)在 分别单调递增，在(0，兮)上单调递减。 (o,)上单再递增，在（合，十一上单调递减。 41 中学生款理化离整贺学名敏名翻新在管来与示 (2)要使f(x)≤b+2a恒成立，只需 因为函数y=q(x)为偶函数，所以q(x) f(x)max≤b十2a。 =q(-x),则p(x)=q(-x)十c=p(-x), 由1)知，当a>0时.fx)=f(》 故p(x)为偶函数，即e十me=e十me。 所以(m一1)(e一e)=0恒成立，解得 1n上-1+a,则1n1-1十a≤b+2a,即 m=1。 a a 必要性：若m=1,则p(x)=e十er= -1-a≤，所以2≥21n2-1-1. In a a a aa 力（一x),所以函数p(x)为偶函数。 令g)=nt-1-1,其中t=二>0， 因为函数y=p(x)是函数y=q(x)的 a “1一控制函数”，所以对任意的x∈R,p'(x) 则g'(t)=lnt。由g'(t)>0,得t>1;由 ≥q'(x)。 g'(t)<0,得0<t<1。故g(t)在(0,1)上单 又q(一x)=q(x),p(-x)=p(x),所 调递减，在(1，十∞)上单调递增。 以q(x)=一q(-x),p'(x)=-p'(-x)。 故g(t)mn=g(1)=一2，则g(t)≥-2， 所以-p'(一x)≥-g'(一x),即 即b≥一2，得证。 p'(-x)≤q'(-x)。 a 用x代换一x可得p'(x)≤q'(x),故 18.(1)因为f(x)=3x+1,g(x)= p'(x)=q'(x)。 cosx,所以f'(x)=3,g'(x)=一sinx,则 记H(x)=p(x)一q(x),则H'(x)= g'(x)∈[-1,1]。 p'(x)一q'(x)=0,故存在常数c,使得p(x) 故f'(x)-3g'(x)=3+3sinx≥0，即 一q(x)=c恒成立。 f'(x)≥3g'(x)恒成立。 综上可得，“m=1”的充要条件是“存在 故函数f(x)=3x+1是函数g(x)= 常数c,使得p(x)一q(x)=c恒成立”。 cosx的“3一控制函数”。 19.(1)求导得g'(x)=-sinx+x,记 (2)因为f(x)=-x1-4x3-12x2- h(x)=一sinx十x,则h'(x)=1-cosx≥ 20x,g(x)=e,所以f'(x)=-4x3-12x 0,故g'(x)在R上单调递增。 -24x-20,g′(x)=e>0. 当x≥0时，g'(x)≥g'(0)=0,则g(x) 因为函数∫(x)是函数g(x)的“k一控制 在[0，十∞)上单调递增。 函数”，所以对任意的x∈R,存在常数k,使 所以g(x)≥g(0)=0 得f'()≥kg(x),则≤C (2)求导得∫'(x)=cosx一 2a g'() (x十2)2 令h(x)=fCx--4x2-12x2-24x-20 因为f(0)=0,且当0<x<1时，f(x) g'(x) 则Gx)=4x-D_4(x-1Dx2+x+1) >0,所以存在区间(0，x。),使得f(x)单调递 e 增，故必有f0)=1-受≥0，即a<2 又+x+1=(+》+>0故当 验证：当a≤2时，f'(x)≥cosx一 4 x∈(-o∞，1)时，h'(x)<0;当x∈(1，+o∞) (x十2)2 时，h'(x)>0。所以h(x)在（一∞，1）上单调 递减，在(1，十∞)上单调递增。 由10可知c0x≥1-号，则了(x)≥ 所以h(x)m=h(1)=- ,故k≤ 60 1-号- 4 8.x-2x2-4x3-x1 (x+2)2 2(x+2)2 ,即k的取值范围是（一，一9] e c(8=2x-4x-x）>x(8-2-4-1D 2(x+2)2 2(x+2) (3)充分性：若存在常数c,使得p(x) q(x)-c恒成立，则p(x)=q(x)十c。 2(x+2)>0,即f(x)在(0,1)上单调递增， x 42 清纸箱名故备西留暂整签繁室樱香中学生款理化 所以f(x)>(0)=0,满足题意。 1 1 1 综上，实数a的取值范围为（一∞，2]。 k2十k十2 (3)易知当x>0时，sinx<x。 1 1 所以之sin 、1 1 取x=k(k十D,则sin(k十D< k(k十1)」1+。 3 :1+2 1 11 k(k十1)友k十1 2 1 2+ 2+ 十…1 1 2 1 33 所以in[]<1-名+是-吉 「17 2 n+2n+2 2 ++1 分片1点<1 2n+3° 由(2)知，当a=2,且0<<1时，千2 1 <sin (责任编辑赵倩) 1 1 取x=(k十D,则sink十D (上接第28页) 设切点为(t,lnt一n十3)，则}=1>t 3),求导得f'(x)=3x2一a,所以切线方程为 y-x8十ax0-3=(3x8-a)(x-xo)。 =e,即切点坐标为(e,4一n)。由切点在切线 因为切线过点P(1,0),所以0一x8十 上得4一n=2十m,即m十n=2。 ax-3=(3x6-a)(1一x0),整理得2x8 1+9=(+9).m+=5+”+ m n m n 2 2m 3x6+a-3=0。 9m 」 9m 因为过点P(1,0)可作曲线f(x)=x2一 =8,当且仅当 2n ≥5+2√2m 2n ax+3的三条切线，所以方程2x8一3.x8十 9m 2n2m即m三n=号时等号成立。 a一3=0有三个不同的实数解。 令g(x)=2x8-3x2-3十a,则g'(x)= m十n=2, 6x2-6x。由g'(x)>0,得x<0或x>1;由 所以十9的最小值为8。 m g'(x)<0,得0<x<1。所以函数g（x)在 故选D。 (一∞，0)，(1，十∞)上分别单调递增，在(0， 评注：已知两个正数的和为定值，可以利 1)上单调递减。 用该定值构造等式，利用基本不等式求最值， 因为g(x。)=0有三个不同的实数解，所 需要注意等号成立的条件。 以g(0)=a-3>0,g(1)=a-4<0,解得 八、求参数的取值范围 3a4。 例8(2025年安微阜阳联考试卷)若 故实数a的取值范围为(3,4)。 故选A。 过点P(1,0)可作曲线f(x)=x3一ax十3的 评注：三次函数是一个特殊的函数，高考 三条切线，则实数a的取值范围为( ）。 中的三次函数屡见不鲜。三次函数的标准形 A.(3,4) 式为y=ax3十b.x2+cx十d(a≠0，a,b, B.(2,3) c,d∈R),其图像为回归式抛物线，具有中心 C.(-∞，3)U(4,+∞) 对称性。 D.(-∞，2)U(3,+∞) (责任编辑赵倩) 解析：设切点的坐标为(xo,x&一ax。十 43演练篇名校名师创新卷 高二数学2026年2月 中学生数理化 一元函数的导数及其应用单元创新卷 ■安徽省安庆市第一中学 洪汪宝 一、单选题（本题共8小题，每小题5分， 量。已知当t=24时，钍234含量的瞬时变 共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 化率为-81n2,则N(96)=()(贝克)。 一项是符合题目要求的) A.24 B.121n2 1.已知函数f(x)=2x一sinx,则f'(0) C.12 D.24In 2 =(）。 5.若函数f(x)=ax3十3x+b在x=2 A.0 B.1 处取得极值1，则a一b=()。 ( C.2 D.3 A.-4 B.-3 2.设函数f(x)的导函数 C.-2 D.2 为'(x),已知函数f'(x)的图 6.如果函数f(x)=2x2-lnx在定义域 像如图1所示，则f(x)的图像 图1 内的一个子区间(k一1，k十1)上不是单调函 不可能是()。 数，那么实数的取值范围是()。 B() c,) D.(1,) B 7.已知函数f(x)=e"一e一2sinx,则 关于x的不等式f(x2一2x)十f(x一2)<0 f(x) 的解集为( )。 A.(-1,2) -1O B.(-2,1) C D. 3.设P为曲线C:y=x2十2x十3上的 C.(2,十∞)U(-c∞，-1) 点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值 D.(1,+∞)U(-∞，-2) 3 范围是[，受)，则点P横坐标的取值范围 8已知a=sin名，6=是 为( ( )。 A.a<c<b B.c<b<a B.[-1,0] C.b<a<c D.c<a<b C.[0,1] n[+) 二、多选题（本题共3小题，每小题6分， 共18分。在每小题给出的四个选项中，有多 4.随着科学技术的发展，放射性同位素 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分 技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域， 选对的得部分分，有选错的得0分) 并取得了显著的经济效益。假设在放射性同 9.已知函数f(x)的导数为f'(x),若存 位素钍234的衰变过程中，其含量N(单位： 在xo,使得f(xo)=f'(x。),则称x。是 贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系N(t) (x)的一个“巧值点”，下列函数中有“巧值 =N。2,其中N。为当t=0时钍234的含 点”的是()。 15 中学生表理化离整氨学名热务师新拖 A.f(x)=a B.f(x)=1 x -1nx-2,g(x)=f(x)+ax- 1一1。 C.f(x)=e+ D.f(x)=In x (1)证明：方程f(x)=0有唯一解； 10.已知函数f(x)=一x1nx,则 (2)若函数g(x)有两个零点，求实数a ( )。 的取值范围。 A.f(x)0恒成立 16.(本小题15分)已知函数f(x)=2x3 B.f(x)是(0，十∞)上的减函数 ax2。 C1(x)在x=。处取到极大值云 (1)讨论f(x)的单调性： (2)当a=1时，直线l:y=kx为曲线 D.f(x)只有一个零点 f(x)=2x3一ax2的切线，求实数k的值。 11.已知'(x)为函数f(x)的导函数， 17.(本小题15分)已知函数f(x)= f)=号2-f0)x+10。,并且 lnx一ax十a(a≠0)。 (1)讨论函数f(x)的单调性； 1 gx)=f(x)-2x2+x。 若关于x的方程 (2)当a>0时，关于x的不等式f(x)≤ g(x)一ax=0有且只有一个实根，则a的取 b十2a恒成立，证明：≥一2。 值可能是( )。 18.(本小题17分)若定义在R上的函数 A.e B.1 y=f(x)和y=g(x)分别存在导函数f'(x) C.-1 n号 和g'(x),且对任意实数x,都存在常数k,使 三、填空题（本题共3小题，每小题5分， f'(x)≥kg'(x)成立，则称函数y=f(x)是 共15分) 函数y=g(x)的“k一控制函数”，称k为控 12.函数f(x)的图像如图2所示，设函 制系数。 数f)的导西数为了。，则不等式 (1)求证：函数f(x)=3x+1是函数 g(x)=cosx的“3一控制函数”： >0的解集为 (2)若函数f(x)=一x1一4x3一12x” 20x是函数g(x)=e的“k一控制函数”，求 控制系数k的取值范围； (3)若函数p(x)=e十me,函数y= q(x)为偶函数，函数y=p(x)是函数y= q(x)的“1一控制函数”，求证：“m=1”的充要 条件是“存在常数c,使得p(x)一q(x)=c 图2 恒成立”。 13.函数f(x)= 2x2-nx在区间 1 19.(本小题17分)已知函数f(x)= x干2(0<x<1),g(x)=cosx-1+ ax (a,a十号)其中a≥0)上存在最小值，则实数a sin x- 的取值范围为 2。 14.若曲线y= (k≠0)与曲线y=e (1)证明：当x≥0时，g(x)≥0； 有三条公切线，则实数k的取值范围是一。 (2)若f(x)>0,求实数a的取值范围； 四、解答题（本题共5小题，共77分。解 a证明号-异g热n[中]1. 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (责任编辑赵倩) 15.(本小题13分)已知函数f(x)= x 16