第8章 三角形单元复习（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

第8章 三角形 教学目标 1.掌握三角形三边、内角、外角的核心性质与计算。 2.熟练运用多边形内角和、外角和公式解题。 3.会判断正多边形能否密铺，理解密铺条件。 4.能解决三角形与多边形的综合题型。 教学重难点 重点 （1）三角形三边关系、内角和与外角性质 （2）多边形内角和、外角和公式应用 （3）正多边形密铺的判断方法 难点 （1）三角形外角性质的综合运用 （2）多边形截角、少算内角的分类讨论 （3）复杂图形角度和的转化计算 知识点01：三角形的相关概念 1.定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形。 2.分类： 按边：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形） 按角：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 3.重要线段：高、中线、角平分线，均各有3条，交于一点。 4.性质：三角形具有稳定性。 【即学即练】 1．下列关于三角形的描述，正确的是（    ） A．由三条线段组成的图形叫做三角形 B．三角形的内角和为，外角和为 C．锐角三角形的三个外角都是钝角 D．直角三角形只有一条高 知识点02：三角形的三边关系 1.定理：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 2.判定：较短两边之和>最长边，即可构成三角形。 3.取值范围：已知两边、，则第三边满足。 【即学即练】 1．下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 知识点03：三角形的内角和与外角 1.内角和定理：三角形内角和为。 2.外角性质： 一个外角=与它不相邻的两个内角和 一个外角>任意一个不相邻内角 3.外角和：三角形外角和为。 4.推论：直角三角形两锐角互余。 【即学即练】 1．如图，在中，，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 知识点04：多边形的相关概念 1.定义：平面内由条线段首尾顺次相接组成的封闭图形。 2.正多边形：各边相等、各内角相等。 3.对角线：边形总条数；一个顶点引条。 【即学即练】 1．下列图形不是凸多边形的是（　　） A． B． C． D． 知识点05：多边形的内角和与外角和 1.内角和：（）。 2.外角和：任意多边形外角和均为。 3.正边形内角：；外角：。 【即学即练】 1．已知一个正多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个正多边形内角的度数为______． 知识点06：用正多边形铺设地面 1.单一密铺：内角能整除，仅限正三角形、正方形、正六边形。 2.多种密铺：同一顶点处内角和为。 3.任意三角形、四边形均可密铺。 【即学即练】 1．在①用正五边形可以进行平面镶嵌；②用正三角形和正六边形可以进行平面镶嵌；③用正四边形和正八边形可以进行平面镶嵌．这三个命题中正确命题的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型01三角形三边关系判断与取值 方法技巧：用“较短两边之和>最长边”快速判断。 【典例1】. （25-26八年级上·广东湛江·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1】. （21-22七年级下·吉林长春·期中）已知三条线段的长分别为、、，若这三条线段首尾顺次连结能围成一个三角形，那么的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2】. （2026·河北廊坊·一模）将一个无上下底的三棱柱展开，得到一个矩形纸片，尺寸如图所示，则m的值不可能是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式3】. （2026·甘肃兰州·一模）如图，在四边形草坪内选取一点修建凉亭，并用小路将其与，，，四个顶点相连接，要使它到四边形四个顶点的距离之和最小，则凉亭修建地点一定在（    ） A．线段与的交点 B．线段的中点 C．线段的中点 D．四边形草坪内任意一点 题型02三角形三线（高、中线、角平分线）识别 方法技巧：高垂直、中线平分边、平分线平分角。 【典例2】. （25-26八年级下·四川自贡·月考）如图，在中，利用三角板（图中阴影所示）能直接画出边上的高的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】. （23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．中线，角平分线，高线 B．角平分线，高线，中线 C．角平分线，中线，高线 D．高线，中线，角平分线 【变式3】. （25-26八年级上·江西南昌·月考）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 题型03三角形内角和求角度 方法技巧：直接用减去已知两角。 【典例3】. （2026·江苏扬州·一模）如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（   ） A． B． C． D． ∴， ∵， ∴． 【变式1】. （2026·福建泉州·一模）如图，为的三等分线，交于点E，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26七年级下·四川达州·月考）如图，已知，，，则等于_____． 【变式3】. （24-25八年级上·新疆阿克苏·月考）如图，在中，是的角平分线，，，求和的度数． 题型04三角形外角性质求角度 方法技巧：外角=不相邻两内角和。 【典例4】. （2026·江西吉安·一模）图1为我国高铁座位的实物图，图2是它的示意图，座椅靠背与地面垂直，小桌板与地面平行，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （2026·四川绵阳·二模）如图，直线，；，则_____． 【变式2】. （2026九年级下·广东清远·学业考试）如图，已知，点在线段上，连接，则_______． 【变式3】. （25-26七年级下·福建厦门·月考）如图，是的平分线，直线与分别交于点．若，．求的度数． 题型05直角三角形锐角互余应用 方法技巧：两锐角相加等于。 【典例5】. （2026·山西长治·一模）将一副三角板和按照如图所示的方式放置，与交于点G．已知，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级上·湖南常德·期末）下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【变式3】. （25-26九年级下·山东淄博·月考）如图，在中，是边上的高，，． (1)求的度数； (2)若是的角平分线，交于点，求的度数． 题型06多边形对角线条数计算 方法技巧：总条数套用公式。 【典例6】. （25-26八年级下·上海浦东新·月考）若边形共有54条对角线，则该多边形内角和为___________． 【变式1】. （25-26八年级下·上海·月考）一个多边形从一个顶点出发共有8条对角线，那么这个多边形是__________边形． 【变式2】. （25-26八年级下·河南信阳·月考）如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是________． 【变式3】. （25-26九年级上·广东东莞·期中）探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，过点可以作1条对角线；同样，经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有________条对角线，共有________条对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于边形，共有________条对角线（用含的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 题型07已知内角和求多边形边数 方法技巧：代入解方程求。 【典例7】. （25-26八年级上·湖南湘潭·期末）如果一个多边形的边数为n，就说这个多边形为n边形．多边形所有内角的度数和就是多边形的内角和． (1)求四边形和五边形的内角和； (2)如果一个n边形的内角和为，求n的值． 【变式1】. （25-26六年级下·全国·单元测试）已知正x边形的内角和为，边长为2． (1)求正x边形的周长； (2)若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小，求n的值． 【变式2】. （24-25七年级下·四川乐山·期末）阅读下列两位同学的对话，请问你支持谁的说法？并说明理由． 【变式3】. （24-25八年级上·四川广元·期末）已知一个多边形的边数为n． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的内角和是外角和的2倍，求n的值． 题型08正多边形内、外角计算 方法技巧：内角用，外角用。 【典例8】. （25-26八年级上·上海·寒假作业）如果一个多边形的每个外角都是，那么这个多边形是几边形？ 【变式1】. （25-26八年级下·全国·课后作业）在各个内角都相等的多边形中，一个内角是一个外角的4倍，则这个多边形是几边形？ 【变式2】. （24-25八年级上·河南信阳·月考）现有一个正n边形． (1)若，求其内角和； (2)若这个正n边形的每个内角都比与它相邻外角的3倍还多，求n的值． 【变式3】. （25-26八年级上·甘肃武威·月考）已知某正多边形的一个内角比与它相邻外角的4倍还多． (1)求这个正多边形一个内角的度数； (2)求这个正多边形的内角和． 题型09多边形截角后边数与内角和 方法技巧：分边数、不变、三类讨论。 【典例9】. （2024·湖北·模拟预测）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为__________． 【变式1】. （25-26七年级上·河南信阳·开学考试）如图，一个方桌截掉一个角后，得到一个五边形，__． 【变式2】. （2025·山东济南·二模）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则内角和增加___________度． 【变式3】. （23-24七年级下·江苏扬州·月考）（1）一个多边形的纸片，小明将这个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为2160°，求原多边形的边数． （2）小明在算另一个多边形纸片的内角和时不小心少算了一个内角，得到的结果为2024°，求它的边数及少算的内角的度数． 题型10少算/多算一个内角求边数 方法技巧：利用内角在之间列不等式。 【典例10】. （24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一个多边形内角和时，少加了一个内角，求得其余内角的度数之和是，求少加的内角度数和这个多边形的边数． 【变式1】. （23-24七年级下·全国·单元测试）粗心的小华在计算一个多边形的内角和时少算了一个内角，得出其余个内角的和为1900°．则这个多边形是_____边形． 【变式2】. （23-24八年级上·甘肃武威·期中）在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为，则边数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3】. （23-24七年级下·河南南阳·月考）阅读明明和芳芳的对话，解答下列问题． (1)明明通过计算，发现少加了一个锐角，则这个“少加的锐角”的度数是_________°． (2)在（1）的条件下，明明求的是几边形的内角和？ (3)在（1）的条件下，若这是一个正多边形，则这个正多边形的每一个外角的度数是多少？ 题型11多种正多边形密铺判断 方法技巧：列方程，找正整数解。 【典例11】. （2026九年级下·吉林长春·专题练习）公园的一段甬路是用型号相同的五边形地砖拼铺而成的，如图是拼铺图案的一部分，如果每个五边形有3个内角相等，那么这3个内角都等于______． 【变式1】. （20-21八年级下·贵州六盘水·期末）如图是用正方形和六边形两种材料铺成的地面的一部分，那么这种六边形材料最大的内角度数是（   ） A．90° B．120° C．135° D．150° 【变式2】. （2023·陕西·中考真题）如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是______． 【变式3】. （24-25七年级下·河南驻马店·月考）某生态城市计划在公园步道铺设环保地砖，这些地砖由可回收材料制成，且必须制作成正多边形形状以方便批量生产．设计师需根据数学规律设计密铺方案，同时兼顾美观与环保性． 探究：正多边形的平面图形密铺 正多边形的内角性质是密铺的关键．若在公共顶点处，多个正多边形的内角和为360°，即可实现无空隙、不重叠的共顶点密铺． 共顶点单一密铺：仅使用一种正多边形地砖． 例如，设计师尝试用正十边形地砖，但发现无法密铺． 设有个正十边形，正十边形每个内角为，， 解得（不是整数，故不符合题意）， ∴正十边形不可以共顶点单一密铺． 根据以上材料，解答下列问题： (1)正三角形地砖易用边角料制作，能否用于单一密铺？请判断并说明理由． (2)请再找一种能单一密铺的正多边形． (3)现有正三角形地砖，需搭配另一种边长相等的正多边形密铺，请写出一种搭配方案． 题型12三角形与多边形角度综合计算 方法技巧：串联内角和、外角、平行线性质解题。 【典例12】. （25-26八年级下·全国·课后作业）【问题情景】我们知道，多边形内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫作多边形的外角． 如图1所示，、、是的三个外角，下面我们来探究、、和三内角之间的数量关系． 【方法感悟】解：因为在中，，所以．因为，所以．所以．同理可得：，． 因此，我们得到一个重要的结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【解决问题】 (1)已知：如图2，与分别为的两个外角，请直接利用上述结论，试探究与的数量关系． (2)已知：如图3，在中，，分别平分和，试探究与的数量关系． 【变式1】. （25-26八年级下·山东德州·月考）如图，四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点． (1)若，，求的度数； (2)已知四边形中，，，求的度数． 【变式2】. （25-26七年级上·陕西汉中·期末）【问题提出】 （1）如图1，从五边形的顶点出发，一共可以画______条对角线，将五边形分成______个三角形； 【问题探究】 （2）如图2，点在直线上，、是直线上方的两条射线，在的左侧，平分，，若，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，六边形是某公园的一块空地，，公园规划人员为美化公园环境，沿、、铺设了三条小路，将这块空地分割成四部分来种植不同的植物，若，平分，且．求小路与小路的夹角（即）的度数． 【变式3】. （24-25七年级下·海南儋州·期末）如图①，在中，平分且与的外角的平分线交于点． (1)若，，求的度数； (2)当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？由此你能得出什么结论？（用含有的式子表示） (3)若把截去，得到四边形，如图②，猜想、、的数量关系，并说明理由． 一、单选题 1．下面四个图中，线段是的高线的是（   ） A． B． C． D． 2．一个六边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线，，交直线于点，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 4．小温将含角的直角三角板与一直尺按如图所示放置，若测得，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，其理论依据是______． 6．如图，直线，直线分别与直线，相交于，两点，，交直线于点．若，则的度数是________． 7．一个多边形的内角和与外角和的度数总和为，多边形的边数是________． 8．如图，正五边形与正方形的两邻边相交，如果，那么_______． 三、解答题 9．如果一个多边形每个内角都是，求这个多边形的边数和内角和，并直接写出该多边形对角线的条数． 10．按下列要求画图并填空： (1)作的平分线，交于点D；作边上的高． (2)如果，在（1）的操作条件下，_________． 11．解答下列问题． (1)一个正n边形的每个内角都为，求这个正n边形的边数． (2)已知一个多边形的内角和的一半比外角和多，求这个多边形边数及对角线的条数． 12．如图，是的三等分点，，如果三角形的面积等于6，那么三角形的面积是多少？ 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 三角形 教学目标 1.掌握三角形三边、内角、外角的核心性质与计算。 2.熟练运用多边形内角和、外角和公式解题。 3.会判断正多边形能否密铺，理解密铺条件。 4.能解决三角形与多边形的综合题型。 教学重难点 重点 （1）三角形三边关系、内角和与外角性质 （2）多边形内角和、外角和公式应用 （3）正多边形密铺的判断方法 难点 （1）三角形外角性质的综合运用 （2）多边形截角、少算内角的分类讨论 （3）复杂图形角度和的转化计算 知识点01：三角形的相关概念 1.定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形。 2.分类： 按边：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形） 按角：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 3.重要线段：高、中线、角平分线，均各有3条，交于一点。 4.性质：三角形具有稳定性。 【即学即练】 1．下列关于三角形的描述，正确的是（    ） A．由三条线段组成的图形叫做三角形 B．三角形的内角和为，外角和为 C．锐角三角形的三个外角都是钝角 D．直角三角形只有一条高 【答案】C 【分析】本题考查三角形的性质，熟练掌握三角形的性质是解题的关键． 根据三角形的定义、三角形内角和定理、直角三角形的性质进行逐项判断即可． 【详解】解：选项A、三角形是由三条不在同一直线的线段首尾顺次连接组成的图形，则 A错误； 选项B、根据三角形内角和定理得，三角形的内角和为，外角和为，则 B错误； 选项C、锐角三角形的每个内角小于，每个外角内角，则三个外角都是钝角，C正确； 选项D、直角三角形有两条直角边作为高，还有从直角顶点向斜边所作的高，有三条高，则D错误； 故选：C． 知识点02：三角形的三边关系 1.定理：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 2.判定：较短两边之和>最长边，即可构成三角形。 3.取值范围：已知两边、，则第三边满足。 【即学即练】 1．下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系，逐一判断即可． 【详解】解：、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能构成三角形，不符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，且， ∴能构成三角形，符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能构成三角形，不符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，，不满足两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形，不符合题意． 知识点03：三角形的内角和与外角 1.内角和定理：三角形内角和为。 2.外角性质： 一个外角=与它不相邻的两个内角和 一个外角>任意一个不相邻内角 3.外角和：三角形外角和为。 4.推论：直角三角形两锐角互余。 【即学即练】 1．如图，在中，，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，平分，得出 ，根据，得出，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 知识点04：多边形的相关概念 1.定义：平面内由条线段首尾顺次相接组成的封闭图形。 2.正多边形：各边相等、各内角相等。 3.对角线：边形总条数；一个顶点引条。 【即学即练】 1．下列图形不是凸多边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了凸多边形的概念，根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任何一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形．否则即是凹多边形． 【详解】 解：根据凸多边形的概念，可知图形不是凸多边形的是． 故选：D． 知识点05：多边形的内角和与外角和 1.内角和：（）。 2.外角和：任意多边形外角和均为。 3.正边形内角：；外角：。 【即学即练】 1．已知一个正多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个正多边形内角的度数为______． 【答案】/144度 【分析】先根据题意列方程求出正多边形的边数，再计算正多边形一个内角的度数． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， ∴该正多边形的内角和为， 由题意得， 解得， 该正多边形的内角和为， 则这个正多边形一个内角的度数为． 知识点06：用正多边形铺设地面 1.单一密铺：内角能整除，仅限正三角形、正方形、正六边形。 2.多种密铺：同一顶点处内角和为。 3.任意三角形、四边形均可密铺。 【即学即练】 1．在①用正五边形可以进行平面镶嵌；②用正三角形和正六边形可以进行平面镶嵌；③用正四边形和正八边形可以进行平面镶嵌．这三个命题中正确命题的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺），熟练掌握正多边形的内角和及每个内角的求法是解题的关键； 分别求出各正多边形的每个内角，再结合镶嵌的条件逐项求解即可． 【详解】解：①正五边形每个内角是，不能整除，不能够进行平面镶嵌，故①不符合题意； ②正三角形的每个内角是，正六边形每个内角是，因为，所以用2个正三角形和2个正六边形可以进行平面镶嵌，故②符合题意； ③正四边形每个内角都是，正八边形每个内角都是，因为，所以用1个正四边形和2个正八边形可以进行平面镶嵌，故③符合题意； 所以正确命题的个数是2个， 故选：． 题型01三角形三边关系判断与取值 方法技巧：用“较短两边之和>最长边”快速判断。 【典例1】. （25-26八年级上·广东湛江·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：∵判断能否组成三角形，只需验证较短两边之和是否大于最长边即可， 选项A：，∴不能组成三角形，不符合要求； 选项B：，∴能组成三角形，符合要求； 选项C：，∴不能组成三角形，不符合要求； 选项D：，∴不能组成三角形，不符合要求． 【变式1】. （21-22七年级下·吉林长春·期中）已知三条线段的长分别为、、，若这三条线段首尾顺次连结能围成一个三角形，那么的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据构成三角形的三边关系求出的取值范围，判断选项中的数据是否满足范围即可得出答案． 【详解】解：∵ 三条线段能围成三角形， ∴ ， ∴ ， 则四个选项中，只有符合取值范围． 【变式2】. （2026·河北廊坊·一模）将一个无上下底的三棱柱展开，得到一个矩形纸片，尺寸如图所示，则m的值不可能是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．折叠后形成的三角形的三边分别为3，m，3，利用三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：由题意，得折叠后形成的三角形的三边分别为3，m，3， 由三角形的三边关系，得，解得， 观察四个选项可知，m的值不可能为6． 【变式3】. （2026·甘肃兰州·一模）如图，在四边形草坪内选取一点修建凉亭，并用小路将其与，，，四个顶点相连接，要使它到四边形四个顶点的距离之和最小，则凉亭修建地点一定在（    ） A．线段与的交点 B．线段的中点 C．线段的中点 D．四边形草坪内任意一点 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间线段最短和三角形三边关系，解题的关键是将四条线段分成两组，分别利用共线取等号求最小值．先分析最小时的位置，再分析最小时的位置，取两者公共点． 【详解】解：(当在线段上时取等号)， 当在线段上时，取最小值， 同理(当在线段上时取等号)， 当在线段上时，取最小值， 要使取最小值，需同时满足上述两个条件， 必须在线段上，且同时在线段上， 是线段与的交点， 故选：A． 题型02三角形三线（高、中线、角平分线）识别 方法技巧：高垂直、中线平分边、平分线平分角。 【典例2】. （25-26八年级下·四川自贡·月考）如图，在中，利用三角板（图中阴影所示）能直接画出边上的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高，根据此定义逐项判断即可． 【详解】解：A、三角板的直角边没有一条在直线上，不能直接画出边上的高，故此选项不符合题意； B、三角板的直角边有一条在直线上，且另一直角边经过点，能直接画出边上的高，故此选项符合题意； C、三角板的直角边没有一条在直线上，不能直接画出边上的高，故此选项不符合题意； D、三角板的直角边没有一条在直线上，不能直接画出边上的高，故此选项不符合题意； 【变式1】. （24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的高、角平分线、中线的定义，关键是明确三种线段的性质：三角形的高与对边垂直，角平分线平分对应内角，中线将对边分成相等的两段． 【详解】解：对于选项A，∵是的角平分线，并非中线， ∴不能推出，该选项错误； 对于选项B，是的角平分线，根据角平分线的定义，，该选项正确； 对于选项C，∵是的中线， ∴为的中点，即，该选项正确； 对于选项D，∵是的高， ∴，即，该选项正确． 故选：A． 【变式2】. （23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．中线，角平分线，高线 B．角平分线，高线，中线 C．角平分线，中线，高线 D．高线，中线，角平分线 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解即可，解题的关键是熟知三角形角平分线、中线和高线的定义． 【详解】解：由图的折叠方式可知，， 所以是的角平分线； 由图的折叠方式可知，， 因为， 所以， 所以， 所以是的高线； 由图的折叠方式可知，， 所以是的中线， 故选：． 【变式3】. （25-26八年级上·江西南昌·月考）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，是的角平分线，正确； B．∵，为边上的高，正确； C．∵G为的中点，是边上的中线，故原说法不正确； D．∵，为的高线，正确； 故选C． 题型03三角形内角和求角度 方法技巧：直接用减去已知两角。 【典例3】. （2026·江苏扬州·一模）如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得：，则，然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：如图，过点D作， ∴， ∵， ∴． 【变式1】. （2026·福建泉州·一模）如图，为的三等分线，交于点E，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三等分线定义可设，得到，，，根据周角的定义列方程并解方程，进一步即可得到答案． 【详解】解：∵为的三等分线， ∴可设， 则， ∵交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【变式2】. （25-26七年级下·四川达州·月考）如图，已知，，，则等于_____． 【答案】/40度 【分析】本题考查了垂线的定义、三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 先根据垂线的定义得出，然后在三角形中利用内角和定理求出的度数，最后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 【变式3】. （24-25八年级上·新疆阿克苏·月考）如图，在中，是的角平分线，，，求和的度数． 【答案】， 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质即可得出，再根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：在中，，， ， 是的角平分线， ， ． 题型04三角形外角性质求角度 方法技巧：外角=不相邻两内角和。 【典例4】. （2026·江西吉安·一模）图1为我国高铁座位的实物图，图2是它的示意图，座椅靠背与地面垂直，小桌板与地面平行，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，先由平行线的性质求解，再由三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点，由题意得 ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式1】. （2026·四川绵阳·二模）如图，直线，；，则_____． 【答案】 【分析】先由平行线的性质求解，再由三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵ ∴ ∵， ∴． 【变式2】. （2026九年级下·广东清远·学业考试）如图，已知，点在线段上，连接，则_______． 【答案】72 【分析】首先根据两直线平行，同旁内角互补求出 的度数，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求出 的度数． 【详解】解：， ， ， ， 是 的外角， ， ， ． 【变式3】. （25-26七年级下·福建厦门·月考）如图，是的平分线，直线与分别交于点．若，．求的度数． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义求出，再根据三角形外角的性质列式计算即可得解． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴ 题型05直角三角形锐角互余应用 方法技巧：两锐角相加等于。 【典例5】. （2026·山西长治·一模）将一副三角板和按照如图所示的方式放置，与交于点G．已知，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点，由得，在中求出，再在中利用内角和求出，最后由对顶角相等得． 【详解】解：如图，延长交于点，设与交于点， ， ， 在中，， ， 在中，， ， 在中，， ， 与是对顶角， ． 【变式1】. （25-26八年级上·湖南常德·期末）下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据三角形内角和定理，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，对四个选项逐一分析，再判断是否存在的角． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故C不符合题意； ，仅知道一个角为，无法确定是否存在的角（如等边三角形三个角均为）， 不能判定△ABC为直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 【变式2】. （25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 【详解】证明：， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 【变式3】. （25-26九年级下·山东淄博·月考）如图，在中，是边上的高，，． (1)求的度数； (2)若是的角平分线，交于点，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由三角形内角和定理可求得的度数，再由直角三角形的两锐角互余可求得的度数； （2）先由角平分线的性质可求得的度数，再由外角的性质可求得的度数． 【详解】（1）解：，，， ， 是边上的高， ， ； （2）解：是的角平分线， ， 是的一个外角， ． 题型06多边形对角线条数计算 方法技巧：总条数套用公式。 【典例6】. （25-26八年级下·上海浦东新·月考）若边形共有54条对角线，则该多边形内角和为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，求出的值，最后根据多边形内角和公式可得结论． 【详解】解：由题意得，解得或（舍去）， 则该边形的内角和是：． 【变式1】. （25-26八年级下·上海·月考）一个多边形从一个顶点出发共有8条对角线，那么这个多边形是__________边形． 【答案】十一 【分析】从n边形的一个顶点出发有条对角线，根据题意列方程即可求解多边形的边数． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， ∴， ∴这个多边形是十一边形． 【变式2】. （25-26八年级下·河南信阳·月考）如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是________． 【答案】6 【详解】解：从一个多边形的一个顶点引对角线，可以作条对角线， ∴从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数为． 【变式3】. （25-26九年级上·广东东莞·期中）探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，过点可以作1条对角线；同样，经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有________条对角线，共有________条对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于边形，共有________条对角线（用含的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 【答案】（1）2；（2）2，5，9；（3）；（4）35． 【分析】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． （1）根据对角线的定义，可得答案； （2）根据对角线的定义，可得答案； （3）根据探索，可发现规律； （4）根据对角线的公式，可得答案． 【详解】解：（1）四边形有4个顶点，每个顶点可作1条对角线（不能与自身、相邻两个顶点连线）； 由于每条对角线被两个顶点各计算一次，因此总对角线数为条； （2）过五边形每个顶点可作条对角线，共有5个顶点，总对角线数为条； 过六边形每个顶点可作条对角线，共有6个顶点，总对角线数为条； （3）对于边形，每个顶点可作条对角线（不能与自身、相邻两个顶点连线），总顶点数为； 由于每条对角线被两个顶点重复计算，因此总对角线数为：； （4）将代入计算，得， 故十边形共有35条对角线． 题型07已知内角和求多边形边数 方法技巧：代入解方程求。 【典例7】. （25-26八年级上·湖南湘潭·期末）如果一个多边形的边数为n，就说这个多边形为n边形．多边形所有内角的度数和就是多边形的内角和． (1)求四边形和五边形的内角和； (2)如果一个n边形的内角和为，求n的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多边形内角和公式，解题的关键是熟练掌握边形内角和公式为． （1）直接根据多边形内角和公式求解即可； （2）由多边形内角和公式得到方程，即可求解． 【详解】（1）解：四边形的内角和为；五边形的内角和为； （2）解：由题意得，， 解得． 【变式1】. （25-26六年级下·全国·单元测试）已知正x边形的内角和为，边长为2． (1)求正x边形的周长； (2)若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小，求n的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查多边形内角和外角和，掌握多边形的内角和的计算方法以及外角和是360°是正确解答的关键． （1）根据多边形的内角和公式列式进行计算求得边数． （2）根据（1）求出正x边形每个内角的度数，正n边形的每个外角的度数，根据多边形的外角和为解题即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得． 正x边形的周长为； 故答案为：． （2）解：正x边形每个内角的度数为， 正n边形的每个外角的度数为， ， ∴n的值为5． 故答案为：5． 【变式2】. （24-25七年级下·四川乐山·期末）阅读下列两位同学的对话，请问你支持谁的说法？并说明理由． 【答案】乐乐，理由见解析 【分析】本题主要考查多边形内角和公式的应用．多边形内角和公式为（，且为整数），解题时需要反过来利用“多边形内角和一定是的整数倍”． 【详解】解：乐乐．理由如下： 设该多边形为边形， 由题可知：， 解得：， 为整数， 多边形的内角和不可能是． 【变式3】. （24-25八年级上·四川广元·期末）已知一个多边形的边数为n． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的内角和是外角和的2倍，求n的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，多边形的外角和，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用多边形的内角和公式，列式，即可作答． （2）因为这个多边形的内角和是外角和的2倍，得这个多边形的内角和是，再结合多边形的内角和公式，列式，解出，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则这个多边形的内角和为； （2）解：∵这个多边形的内角和是外角和的2倍， ∴这个多边形的内角和是， 故， 解得． 题型08正多边形内、外角计算 方法技巧：内角用，外角用。 【典例8】. （25-26八年级上·上海·寒假作业）如果一个多边形的每个外角都是，那么这个多边形是几边形？ 【答案】五边形 【分析】本题考查了根据多边形外角和求多边形边数，设这个多边形是边形，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求出正多边形的边数，即可解题． 【详解】解：设这个多边形是边形． 根据题意，得 解得． 所以，这个多边形是五边形． 【变式1】. （25-26八年级下·全国·课后作业）在各个内角都相等的多边形中，一个内角是一个外角的4倍，则这个多边形是几边形？ 【答案】十边形 【分析】此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是掌握多边形内角和公式，多边形外角和为． 在各个内角都相等的多边形中，各外角也相等．首先设多边形的边数为，根据多边形内角和公式和多边形外角和为，分别求出一个内角和一个外角，根据“一个内角是一个外角的倍”，列方程解方程即可得边数． 【详解】解：由题意可知，这个多边形各内角都相等，各外角也相等． 设这个多边形的边数为n，则， 解得． 经检验，是原分式方程的解． 故这个多边形是十边形． 【变式2】. （24-25八年级上·河南信阳·月考）现有一个正n边形． (1)若，求其内角和； (2)若这个正n边形的每个内角都比与它相邻外角的3倍还多，求n的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了求多边形内角与外角，掌握多边形外角和的公式是解题的关键． （1）直接根据内角和公式进行计算即可； （2）设每个外角的度数为，则每个内角的度数为，列出方程并求出每个外角的度数，再用外角和除以外角的度数得到边数即可． 【详解】（1）解：； （2）解：设每个外角的度数为，则每个内角的度数为， ， ， ． 【变式3】. （25-26八年级上·甘肃武威·月考）已知某正多边形的一个内角比与它相邻外角的4倍还多． (1)求这个正多边形一个内角的度数； (2)求这个正多边形的内角和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形的内角问题． （1）设内角度数为，根据题意列出方程求解即可； （2）先求外角，再求边数，最后利用内角和公式计算． 【详解】（1）解：设这个正多边形的一个内角的度数为， ∵内角与相邻外角之和为， ∴相邻外角为， 根据题意，， 解得：， ∴这个正多边形一个内角的度数为； （2）解：每个外角为， ∵正多边形的外角和为， ∴边数， 内角和为， ∴这个正多边形的内角和为． 题型09多边形截角后边数与内角和 方法技巧：分边数、不变、三类讨论。 【典例9】. （2024·湖北·模拟预测）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式（为边数且且为整数）是解题的关键．先根据新多边形内角和求出新多边形边数，再结合剪角后多边形边数的变化规律，得出原多边形边数． 【详解】解：设新多边形的边数为，根据多边形内角和公式， 解得． 因为按图示剪法剪去一个内角后，多边形边数增加了， 所以原多边形边数为． 故答案为：． 【变式1】. （25-26七年级上·河南信阳·开学考试）如图，一个方桌截掉一个角后，得到一个五边形，__． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．如图所示，根据正方形的性质可得，再根据多边形的内角和公式可得：，即，进而得出答案． 【详解】解：如图所示， 根据正方形的性质，可得， 根据题意，可得五边形的内角和为：，即， ． 故答案为：． 【变式2】. （2025·山东济南·二模）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则内角和增加___________度． 【答案】180 【分析】本题考查了多边形内角和．此题比较简单，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 根据n边形的内角和公式求解作差即可． 【详解】解：五边形的内角和为 将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是6， 则， ∴内角和增加 故答案为：180． 【变式3】. （23-24七年级下·江苏扬州·月考）（1）一个多边形的纸片，小明将这个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为2160°，求原多边形的边数． （2）小明在算另一个多边形纸片的内角和时不小心少算了一个内角，得到的结果为2024°，求它的边数及少算的内角的度数． 【答案】（1）13或14或15；（2）边数为14，内角为 【分析】本题考查多边形的内角和与切割问题： （1）先根据多边形的内角和公式，求出现在多边形的边数，再分三种情况讨论即可； （2）根据多边形的内角和为的整数倍，用2024°除以的结果中的整数加1再加2即为边数，再求出多边形的内角和减去2024°，即可． 【详解】解：（1）设新的多边形的边数为，由题意，得：， ∴， ∵切去一角有如图所示的三种切法，切完后新多边形的边数可以比原多边形多一条边，相等，少一条边，三种情况，      故：原多边形的边数为13或14或15； （2）设多边形的边数为， ∵， ∴， ∴， ∴少算的内角的度数为， 故多边形的边数为14，少算的内角度数为． 题型10少算/多算一个内角求边数 方法技巧：利用内角在之间列不等式。 【典例10】. （24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一个多边形内角和时，少加了一个内角，求得其余内角的度数之和是，求少加的内角度数和这个多边形的边数． 【答案】， 【分析】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．根据多边形内角和定理：（且为整数），可得：多边形的内角和一定是的倍数，而多边形的内角一定大于，并且小于，用除以，根据商和余数的情况，求出加的这个内角的度数，进而可求出这个多边形的边数． 【详解】解：， 少加的这个内角的度数是：． ∴这个多边形的边数是：． 答：这个内角的度数为，多边形的边数为14． 【变式1】. （23-24七年级下·全国·单元测试）粗心的小华在计算一个多边形的内角和时少算了一个内角，得出其余个内角的和为1900°．则这个多边形是_____边形． 【答案】十三 【分析】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于，并且小于 设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数和未知的那个内角的范围求解即可． 【详解】解：设这个内角度数为，边数为，则， ∴， 解得， 又∵， ， ，即 又∵为正整数， ， 故答案为：十三． 【变式2】. （23-24八年级上·甘肃武威·期中）在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为，则边数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，即，根据题意先得出这个多加的内角为，然后再根据多边形内角和定理可得出：，求出n即可得出答案． 【详解】解：， ∴这个多加的内角为， 设这个多边形的边数为n， 根据多边形内角和定理可得出：， 解得：， 故选∶D 【变式3】. （23-24七年级下·河南南阳·月考）阅读明明和芳芳的对话，解答下列问题． (1)明明通过计算，发现少加了一个锐角，则这个“少加的锐角”的度数是_________°． (2)在（1）的条件下，明明求的是几边形的内角和？ (3)在（1）的条件下，若这是一个正多边形，则这个正多边形的每一个外角的度数是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查多边形的内角和和外角和，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的性质是解答本题的关键． （1）根据多边形的内角和的公式进行估算即可； （2）根据多边形的内角和公式列方程求解即可； （3）根据正多边形外角和为360°，而每一个外角都相等进行计算即可． 【详解】（1）解：∵多边形内角和公式为， ∴当时，多边形内角和为， 当时，多边形内角和为， 当时，多边形内角和为， ∵发现少加了一个锐角， ∴这个“少加的锐角”是， 故答案为：； （2）设多边形边数为， 则， 解得：， 即明明求的是边形的内角和； （3）∵正边形的外角都相等，而多边形的外角和始终为， ∴这个正多边形的每个外角为， ∴这个正多边形的每一个外角的度数是． 题型11多种正多边形密铺判断 方法技巧：列方程，找正整数解。 【典例11】. （2026九年级下·吉林长春·专题练习）公园的一段甬路是用型号相同的五边形地砖拼铺而成的，如图是拼铺图案的一部分，如果每个五边形有3个内角相等，那么这3个内角都等于______． 【答案】/120度 【分析】由图中可以看出，这3个内角放在同一顶点处，可组成一个周角，由此即可求出答案． 【详解】解：因为3个内角放在同一顶点处，组成一个周角， 所以每个内角为：． 【变式1】. （20-21八年级下·贵州六盘水·期末）如图是用正方形和六边形两种材料铺成的地面的一部分，那么这种六边形材料最大的内角度数是（   ） A．90° B．120° C．135° D．150° 【答案】C 【分析】本题考查了密铺，周角，正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键，根据题意，六边形最大的角为，其中，利用，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，六边形最大的角为，其中，，，如图所示： 那么． 故选：C． 【变式2】. （2023·陕西·中考真题）如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是______． 【答案】 【分析】本题考查了平面密铺的问题．正多边形的组合进行平面镶嵌，位于同一顶点处的几个角之和为，从而可得的度数，计算正多边形的外角，由此可得边数． 【详解】解：正三角形和正方形的内角分别为与， ， 这块正多边形地砖的边数为， 故答案为：． 【变式3】. （24-25七年级下·河南驻马店·月考）某生态城市计划在公园步道铺设环保地砖，这些地砖由可回收材料制成，且必须制作成正多边形形状以方便批量生产．设计师需根据数学规律设计密铺方案，同时兼顾美观与环保性． 探究：正多边形的平面图形密铺 正多边形的内角性质是密铺的关键．若在公共顶点处，多个正多边形的内角和为360°，即可实现无空隙、不重叠的共顶点密铺． 共顶点单一密铺：仅使用一种正多边形地砖． 例如，设计师尝试用正十边形地砖，但发现无法密铺． 设有个正十边形，正十边形每个内角为，， 解得（不是整数，故不符合题意）， ∴正十边形不可以共顶点单一密铺． 根据以上材料，解答下列问题： (1)正三角形地砖易用边角料制作，能否用于单一密铺？请判断并说明理由． (2)请再找一种能单一密铺的正多边形． (3)现有正三角形地砖，需搭配另一种边长相等的正多边形密铺，请写出一种搭配方案． 【答案】(1)能．理由见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题围绕正多边形密铺问题，核心考查正多边形内角和公式（，n为边数 ） 及密铺条件（公共顶点处多个正多边形内角和为）．解题关键是利用内角和公式算出内角，再结合密铺条件判断能否密铺，或设计密铺方案． （1）正三角形可以单一密铺．正三角形内角为，6个正三角形内角和为，满足密铺条件． （2）（答案不唯一）正方形或正六边形可以单一密铺．正方形内角为，4个正方形内角和为，正六边形的内角为，3个正六边形内角和为，满足密铺条件． （3）（答案不唯一）一种方案是：使用1个正三角形和2个正十二边形组合密铺．正三角形内角，正十二边形内角，内角和为：；3个正三角形和2个正方形的内角和为：，满足密铺条件． 【详解】（1）能． 理由：正三角形的一个内角为，， 块正三角形即可单一密铺． （2）（答案不唯一）选择正方形：因为正方形的一个内角为90°，，4块正方形地砖即可密铺． 或选择正六边形：因为正六边形的一个内角为120°，，3块正六边形地砖即可密铺． （3）（答案不唯一）方案1：正三角形十正十二边形， 1个正三角形（60°）+2个正十二边形（）， 总角度． 或方案2；正三角形+正方形， 3个正三角形（）+2个正方形（） 总角度． 题型12三角形与多边形角度综合计算 方法技巧：串联内角和、外角、平行线性质解题。 【典例12】. （25-26八年级下·全国·课后作业）【问题情景】我们知道，多边形内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫作多边形的外角． 如图1所示，、、是的三个外角，下面我们来探究、、和三内角之间的数量关系． 【方法感悟】解：因为在中，，所以．因为，所以．所以．同理可得：，． 因此，我们得到一个重要的结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【解决问题】 (1)已知：如图2，与分别为的两个外角，请直接利用上述结论，试探究与的数量关系． (2)已知：如图3，在中，，分别平分和，试探究与的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由外角的性质可得，，相加并结合三角形的内角和定理即可得到结论； （2）由角平分线的性质可得，，，则，结合三角形的内角和定理可得． 【详解】（1）解：根据题意可得，，， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【变式1】. （25-26八年级下·山东德州·月考）如图，四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点． (1)若，，求的度数； (2)已知四边形中，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平角的定义和角平分线的定义求出的度数，再由平行线的性质可得答案； （2）根据四边形内角和为360度推出，由平角的定义和角平分线的性质得到，再根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形中，，， ∴， ∴， ∴； ∵四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点， ∴， ∵， ∴． 【变式2】. （25-26七年级上·陕西汉中·期末）【问题提出】 （1）如图1，从五边形的顶点出发，一共可以画______条对角线，将五边形分成______个三角形； 【问题探究】 （2）如图2，点在直线上，、是直线上方的两条射线，在的左侧，平分，，若，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，六边形是某公园的一块空地，，公园规划人员为美化公园环境，沿、、铺设了三条小路，将这块空地分割成四部分来种植不同的植物，若，平分，且．求小路与小路的夹角（即）的度数． 【答案】（1）2，3；（2）；（3） 【分析】本题考查多边形对角线与三角形分割规律、角平分线性质、角度和差运算及方程思想在几何角度问题中的应用，利用角的倍数关系、平分线性质建立方程或利用多边形规律是解题的关键。 （1）通过多边形从一个顶点出发的对角线数量规律和三角形分割规律，代入五边形边数即可得出结果； （2）通过角度的和差计算即可得出的度数； （3）通过设未知数表示角的倍数与平分关系，结合已知角建立方程，再利用角度和差运算整体代换，最终求出的度数； 【详解】解：（1）时， 从一个顶点出发的对角线数量为， 三角形分割数量为． （2）∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴． 设，则，． ∵， ∴，解得， ∴， 故小路与小路的夹角（即）的度数为． 【变式3】. （24-25七年级下·海南儋州·期末）如图①，在中，平分且与的外角的平分线交于点． (1)若，，求的度数； (2)当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？由此你能得出什么结论？（用含有的式子表示） (3)若把截去，得到四边形，如图②，猜想、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)不变， (3)，理由见解析 【分析】本题考查多边形的内角与外角，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，掌握三角形内角和定理以及三角形外角的性质是正确解答的关键． （1）根据三角形内角和定理以及外角的性质进行计算即可； （2）由三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可； （3）延长交于点A，将问题转化为（2）即可． 【详解】（1）解：，平分， ， 又， ， 平分， ， ， （2）解：不变化，理由如下： 平分， ， 平分， ， ， 即； （3）解：，理由如下： 如图，延长、交于点， ∴ ， 由（2）可得， ． 一、单选题 1．下面四个图中，线段是的高线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】三角形高的定义：过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 【详解】解：根据三角形高的定义可知，选项A中线段是的高线． 2．一个六边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】多边形内角和公式（为多边形的边数），代入六边形的边数计算即可得到结果． 【详解】解：， 因此六边形的内角和是． 3．如图，直线，，交直线于点，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由垂线的性质可得，利用三角形的内角和定理求出，最后根据平行线的性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．小温将含角的直角三角板与一直尺按如图所示放置，若测得，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得，根据三角形外角性质可得的度数． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 又，， ∴． 二、填空题 5．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，其理论依据是______． 【答案】 三角形具有稳定性 【分析】观察图形可知，窗钩与窗框、窗扇的边缘构成了一个三角形结构，利用三角形的性质即可解答． 【详解】解：窗钩与窗框、窗扇的边缘构成了一个三角形. 因为三角形具有稳定性， 所以用窗钩可将窗户固定． 故答案为：三角形具有稳定性． 6．如图，直线，直线分别与直线，相交于，两点，，交直线于点．若，则的度数是________． 【答案】/度 【分析】根据垂线的定义得到，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据平行线的性质即可求解. 【详解】解：， ， 在中，， ， ． 7．一个多边形的内角和与外角和的度数总和为，多边形的边数是________． 【答案】7 【分析】设这个多边形的边数为，任意多边形的外角和为，结合多边形内角和公式，根据内角和与外角和的总和为列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得： 解得：， ∴多边形的边数是． 8．如图，正五边形与正方形的两邻边相交，如果，那么_______． 【答案】52 【分析】先根据正多边形每个内角为得到正五边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， 根据题意得，，， ∵，， ∴． ∴． 三、解答题 9．如果一个多边形每个内角都是，求这个多边形的边数和内角和，并直接写出该多边形对角线的条数． 【答案】边数为18，内角和为，对角线条数为135 【分析】先根据已知内角度数求出每个外角度数，利用任意多边形外角和为求出边数，再根据多边形内角和公式计算内角和，最后根据n边形对角线条数公式计算对角线的条数． 【详解】解：多边形每个内角为， 每个外角为 任意多边形的外角和为， 多边形的边数为， 根据多边形内角和公式，可得内角和为， 十八边形对角线条数为， 答：这个多边形的边数为18，内角和为，对角线共135条． 10．按下列要求画图并填空： (1)作的平分线，交于点D；作边上的高． (2)如果，在（1）的操作条件下，_________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用量角器和直尺画三角形的高和角平分线即可； （2）先求出，再根据角平分线得到，根据高得到，接着利用三角形内角和求出，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：的平分线，边上的高，如图所示： （2）解：∵， ∴， ∵的平分线， ∴， ∵边上的高， ∴， ∴， ∴． 11．解答下列问题． (1)一个正n边形的每个内角都为，求这个正n边形的边数． (2)已知一个多边形的内角和的一半比外角和多，求这个多边形边数及对角线的条数． 【答案】(1)6 (2)边数为，对角线条数为 【分析】（1）根据题意先确定多边形每个外角的度数，然后求解即可； （2）设这个多边形的边数为，多边形内角和为，任意多边形外角和为，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵正边形每个内角为， ∴每个外角的度数为 ， ∵任意多边形的外角和为， ∴边数 ； （2）设这个多边形的边数为，多边形内角和为，任意多边形外角和为， 根据题意列方程得 ， 解得 ， ∴边形对角线条数公式为，将代入得 ， ∴因此这个多边形边数为，对角线条数为． 12．如图，是的三等分点，，如果三角形的面积等于6，那么三角形的面积是多少？ 【答案】18 【分析】连接，得，结合是的三等分点，即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 又∵是的三等分点， ∴． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $