江苏如皋市长江高级中学2025-2026学年高一下学期期中模拟考试数学试题

**基本信息** 本试卷聚焦高一下学期数学核心内容，以向量、解三角形、立体几何为主体，通过基础题巩固知识，综合题提升空间观念与推理能力，如正方体截面计算、阳马文化情境题，体现数学眼光与创新意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|向量坐标运算、复数虚部、余弦定理|基础概念辨析，如第3题余弦定理多解讨论| |多选题|3|线面关系、三角恒等变换|选项分层，如第11题扇形动态问题考查取值范围| |填空题|3|向量夹角、阳马异面直线角、锐角三角形边长范围|文化情境（第13题阳马）与动态问题结合| |解答题|5|三角恒等变换、四棱锥证明、正四棱锥存在性探究|多问递进，如第18题三问从证明到探究，培养逻辑推理|

高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度高一下学期期中模拟考试 1、 单选题 1.已知点，，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2.在复平面内，点对应的复数为，则复数的虚部为（   ） A．2 B． C． D． 3.设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．2或4 B．3 C．5 D． 4.已知锐角，满足，，则等于（   ） A． B．或 C． D． 5.若，则（    ） A． B． C． D． 6.如图，在三棱柱中，侧棱底面,是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（    ） A．与是异面直线 B．平面 C． D．平面 7.在中，且为的中点，，与交于点.若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 8.如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为（   ）．    A． B．6 C． D． 2、 多选题 9.设、为两条直线，、为两个平面，，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10.已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 11.已知扇形的半径为1，，点在弧上运动，，下列说法正确的有（   ） A．当位于点时，的值最小 B．当位于点时，的值最大 C．的取值范围为 D．的取值范围 3、 填空题 12.已知，，且，则向量，夹角为 ． 13.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥为阳马，侧棱底面ABCD，，E为棱PA的中点，则异面直线CE与PB所成角的大小为________． 14.已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，若，则的取值范围是______. 4、 5、 解答题 15.已知. (1)求的值； (2)求的值. 16.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，分别是棱的中点． (1)证明：； (2)证明：平面． 17.如图所示，矩形的对角线相交于点O，点E在线段上，且，若．    (1)求的值； (2)若，，求向量与向量夹角的余弦值． 18.如图所示，正四棱锥中，P为侧棱SD上的点，且，Q为侧棱SD的中点，平面平面． (1)证明：平面PAC； (2)证明：； (3)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC，若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 19.已知为锐角三角形，. (1)求； (2)求； (3)若外接圆的周长为，求的面积. 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度高一下学期期中模拟解析版 6、 单选题 1.已知点，，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，则，. 因为，所以，解得， 所以点的坐标为.故选：B. 2.在复平面内，点对应的复数为，则复数的虚部为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】复数在复平面内对应的点为，则复数， 复数，则复数的虚部为. 3.设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．2或4 B．3 C．5 D． 【详解】因为，，， 由余弦定理可得，即， 可得，解得或．故选：A. 4.已知锐角，满足，，则等于（   ） A． B．或 C． D． 【详解】由，且，为锐角，，， 故， ，为锐角，， ，，． 故选：C. 5.若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 6.如图，在三棱柱中，侧棱底面,是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（    ） A．与是异面直线 B．平面 C． D．平面 【详解】对于A：与都在平面内，不是异面关系，故A错误； 对于B：假设平面成立，则有, 而由题可知，即与不垂直， 因此假设不成立，故与平面不垂直，故B错误； 对于C：由题可知该三棱柱为直三棱柱，故平面,平面, .在正三角形中，是的中点，故. 又平面,平面又平面, 故C正确； 对于D：取的中点，连接，分别是的中点，故 又，.因此四点共面，平面, 因此与平面不平行. 故D错误.故选：C. 7.在中，且为的中点，，与交于点.若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【详解】由图象可得，，，三点共线，且为的中点， 故存在实数使， 有， 且， 因为，即， 因为与不共线，所以有，解得. 故选：C. 8.如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为（   ）．    A． B．6 C． D． 【详解】如图，取的中点，连接，则. 则在正方形中，，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又，所以， 则四边形即为过三点截面， 因为正方体的棱长为2， 所以，，, 则其周长为.    故选：A. 7、 多选题 9.设、为两条直线，、为两个平面，，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【详解】A选项：根据线面平行的判断定理，可知A正确； B选项：若，则直线只与平面的一条直线垂直，不满足线面垂直的判断定理， 所以直线不垂直于平面，故B错误； C选项：根据线面平行的性质定理，可知C正确； D选项：若，因为，所以，则，故D正确. 故选：ACD. 10.已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】①因为，所以， 又，故有，， 解出，故A错误； ②， 由①知：，所以， 所以，故B正确； ③由①知：，而，所以， 又，所以， 解得， 所以 又因为，， 所以，有，故C正确； ④由， 由③知，， 两式联立得：，故D错误． 故选：BC 11.已知扇形的半径为1，，点在弧上运动，，下列说法正确的有（   ） A．当位于点时，的值最小 B．当位于点时，的值最大 C．的取值范围为 D．的取值范围 【详解】以为原点，以为轴，建立如图所示的直角坐标系，设，则， 其中，，． 因为，所以，即， 所以． 所以当时，取得最大值2，此时点为的中点， 当或时，取得最小值1，此时点为或点，故A正确，B错误， ，， 所以， ． 因为，所以，故， 因此，所以的取值范围为，故C正确， 因为， 因为，所以，故， 所以，所以，所以D正确． 故选：ACD． 8、 填空题 12.已知，，且，则向量，夹角为 ． 【详解】因为，，所以， 解得，所以， 又，所以.故答案为： 13.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥为阳马，侧棱底面ABCD，，E为棱PA的中点，则异面直线CE与PB所成角的大小为________． 【详解】在四棱锥中，设F为的中点，连接， 由题意知四边形为正方形，设， 由于E为的中点，故，则即为异面直线CE与PB所成角或其补角， 底面ABCD，底面ABCD，则, 结合，则， 又， 则在中，， 结合，则，即异面直线CE与PB所成角的大小为， 故答案为： 14.已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，若，则的取值范围是______. 【详解】由正弦定理得： ， 又，即，可得，又是锐角三角形， 可得，即，解得， 令，则， 则，开口向上，对称轴， 即在上单调递增， 所以，即 即的取值范围是故答案为： 9、 解答题 15.已知. (1)求的值； (2)求的值. 【详解】（1）由有，又，所以， 所以； （2）由（1）有，，所以， 所以， 所以， 所以. 16.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，分别是棱的中点． (1)证明：； (2)证明：平面． 【详解】（1） 如图，连接交于点，由四边形是正方形，可得，   因平面，平面，则， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以． （2）如图，取的中点，连接， 由分别是棱的中点．可得， 又，则，即得，所以 因平面，平面， 所以平面． 17.如图所示，矩形的对角线相交于点O，点E在线段上，且，若．    (1)求的值； (2)若，，求向量与向量夹角的余弦值． 【详解】（1）已知为矩形，，所以， 所以， 即，，所以． （2）由（1）知：， 因为为矩形，则， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 即向量与向量夹角的余弦值为：． 18.如图所示，正四棱锥中，P为侧棱SD上的点，且，Q为侧棱SD的中点，平面平面． (1)证明：平面PAC； (2)证明：； (3)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC，若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【详解】（1）连接BD交AC于点O，连接OP， 因为四边形ABCD为正方形，所以点O为BD的中点，又P为QD的中点， 所以，因为平面PAC，平面PAC， 所以平面PAC. （2）因为CD，平面SCD，平面SCD，所以平面SDC， 又因为平面SAB，平面平面， 所以. （3）在侧棱上存在一点，使平面，满足. 理由如下：连接交于，连接，则为中点， 取中点，又，则， 过作的平行线交于，连接，在中，有， 由平面PAC，平面PAC，得平面PAC，而，则， 又，平面，平面，则平面， 又，平面，因此平面平面， 又，得平面，所以存在，且. 19.已知为锐角三角形，. (1)求； (2)求； (3)若外接圆的周长为，求的面积. 【详解】（1）因为， 所以， 又，所以， 联立得； （2）因为，且三角形为锐角三角形， 所以，， 由（1）可得，即， 所以， 所以， 解得或， 因为角为锐角，所以， （3）因为外接圆的周长为.即. 由，得， 因为，所以，解得， 由（2）可知，且角为锐角，所以，, 所以的面积为 2 学科网（北京）股份有限公司 $