专题11.3 一元一次不等式的应用（举一反三讲义）数学新教材人教版七年级下册

专题11.3 一元一次不等式的应用（举一反三讲义） 【新教材人教版】 【题型1 工程问题】 1 【题型2 销售问题】 4 【题型3 行程问题】 9 【题型4 运输问题】 11 【题型5 比赛问题】 16 【题型6 数字问题】 21 【题型7 古文问题】 23 【题型8 方案问题】 27 【题型9 分段收费问题】 31 【题型10 几何图形问题】 36 【题型1 工程问题】 【例1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）“农村道路改造”是某市市政府实施的一项重要的惠民工程，一条需要改造的农村道路共54千米，需要甲、乙两工程队合作施工完成，他们从道路两端同时开始施工，已知乙队每天比甲队多修0.4千米． (1)现市政府要求甲、乙两队共同施工20天后，剩余的工程总量不得超过14千米，求甲队每天至少修路多少千米？ (2)如果甲、乙两队按照（1）中所求施工速度进行施工，那么几天能够修完这条道路？ 【答案】(1)甲队每天至少修路千米； (2)7天能够修完这条道路． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用． （1）设甲队每天修路x千米，则乙队每天修路千米，根据得出关于x的一元一次不等式， 解之取其中的最小值即可得出结论； （2）先求得两队每天共修2千米，据此计算即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲队每天修路x千米，则乙队每天修路千米， 依题意，得：， 解得：． 答：甲队每天至少修路千米； （2）解：两队每天共修（千米）， 总天数为， 答：7天能够修完这条道路． 【变式1-1】随着“美丽乡村”建设目标的推进，农村的道路、供水、供热、电力等基础设施将得到全面改善．某工程队承包了农村集中供热管道改造项目，此项目工程需要铺设10000米的管道任务，该工程队平均每天铺设管道125米，在管道铺设了20天后，为了缩短工期，经研究决定，余下的管道铺设任务要在50天内（含50天）完成，求该工程队平均每天至少再多铺设多长管道？ 【答案】该工程队平均每天至少再多铺设管道25米 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．设该工程队平均每天再多铺设管道x米，利用工作总量工作效率工作时间，结合余下的管道铺设任务要在50天内（含50天）完成，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可求解． 【详解】解：设该工程队平均每天再多铺设管道x米，根据题意可 得：， 解得：， 答：该工程队平均每天至少再多铺设管道25米． 【变式1-2】习总书记说：“绿水青山就是金山银山”．为响应习总书记号召，重庆市政府启动了长江流域综合治理工程，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队速度是乙队速度的．已知甲队每月施工费用为万元，比乙队多万元，按要求该工程总费用不超过万元，工程必须在一年内竣工包括个月为了确保经费和工期，采取甲队做个月，乙队做个月、均为整数分工合作的方式施工，则的值为 ． 【答案】2或4 【分析】根据甲乙完成该项工程，列出二元一次方程，找到a、b之间的关系，根据费用不超过141万元列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵由甲、乙两建筑队合做，个月可以完成， ∴甲乙合作的工作速度为， ∵由甲、乙两队独做，甲队速度是乙队速度的， ∴甲的速度：，乙的速度为：， ∴，解得， ∴ 解得， ∵，、均为整数，且，， ∴a=2，或a=4， 故答案为：2或4 【点睛】本题考查了二元一次方程及一元一次不等式的应用，解题时，可把总工程量看作“1”，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 【变式1-3】（24-25六年级上·上海·阶段练习）某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？ (2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数． 【答案】(1)天 (2)天 【分析】（）由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需天，设甲乙两队合作完成这项工程需要天，由题意列出一元一次不等式解答即可求解； （）设乙工程队工作的总天数为天，由题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需天， 设甲乙两队合作完成这项工程需要天， 由题意得，， 解得， 答：甲乙两队合作完成这项工程最少需要天； （2）解：设乙工程队工作的总天数为天， 由题意得，， 解得， 答：乙工程队工作的总天数为天． 【题型2 销售问题】 【例2】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月在哈尔滨举行，如图是本次亚冬会吉祥物“妮妮”和“滨滨”，某纪念品商店计划采购x个吉祥物，两个工厂收费方式如下： 甲厂收费方式：收模具费1000元，另外每个收制造费5元． 乙厂收费方式：不超过2000个时，每个吉祥物收制造费10元；超过2000个时，超过部分每个吉祥物收费2元． (1)①当x不超过2000时，甲厂的收费为______元，乙厂的收费为______元． ②当x超过2000时，甲厂的收费为______元，乙厂的收费为______元． (2)采购多少个吉祥物时，甲、乙两厂收费相同？ (3)选择哪个厂更节省费用？ 【答案】(1)①，；②， (2)200个或5000个 (3)当或时，选择乙厂更节省费用；当和时，两厂费用一样；当时，选择甲厂更节省费用． 【分析】本题考查列代数式、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用． (1)①根据题意和题目中的数据，可以用x的代数式表示出在甲、乙两厂的费用； ②根据题意和题目中的数据，可以用x的代数式表示出在甲、乙两厂的费用； (2)根据(1)中的结果和分类讨论的方法可以计算出采购多少个吉祥物时，甲、乙两厂收费相同； (3)根据题意和(1)中的结果，可以列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：①由题意可得， 当x不超过2000时，甲厂的收费为元，乙厂的收费为元， 故答案为：，； ②由题意可得， 当x超过2000时，甲厂的收费为元，乙厂的收费为元， 故答案为：，； （2）解：当x不超过2000时，， 解得； 当x超过2000时，， 解得； 答：采购200个或5000个吉祥物时，甲、乙两厂收费相同； （3）解：当x不超过2000时， ，解得， ，解得， ，解得； 当x超过2000时，，得， ，得， ，得； 由上可得，当或时，选择乙厂更节省费用；当和时，两厂费用一样；当时，选择甲厂更节省费用． 【变式2-1】中亚手机专卖店对营业员的工资标准规定如下： (1)写出每月工资总额y（元）与销售手机部数x（部）之间的关系式___________． (2)营业员小芳本月销售手机30部，她本月的工资总额是___________元． (3)若小芳的月工资总额要达到1200元以上，问她至少要销售手机___________部． 【答案】(1)（x为自然数） (2)850 (3)54 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出函数解析式，是解题的关键． （1）根据图表中信息得出关系式即可； （2）把代入关系式，求出y的值即可； （3）根据月工资总额要达到1200元，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：每月工资总额y（元）与销售手机部数x（部）之间的关系式为：（x为自然数）． （2）解：当时，（元）． （3）解：根据题意得：， 解得：． ∴她至少要销售54部手机． 【变式2-2】学科实践 驱动任务：探索购买笔记本的最佳方案 调查发现：某小组的同学计划在某一文具店购买甲、乙两种笔记本，细心的组长对在这一文具店按同一销售价购买了笔记本的两位同学进行了调查，获取了以下信息： （1）小文购买3个甲种笔记本和5个乙种笔记本，共花费85元； （2）小宇购买4个甲种笔记本和6个乙种笔记本，共花费108元； （3）购买这两种笔记本满200元就可享受打折优惠． 问题解决： (1)求甲、乙两种笔记本的售价每本各是多少元？ (2)班长和另一位同学计划购买6个甲种笔记本和若干乙种笔记本，那么他们至少买多少个乙种笔记本才能享受打折优惠？ 【答案】(1)甲种15元/本，乙种8元/本 (2)14个 【分析】本题涉及到二元一次方程组的应用以及不等式的应用． （1）通过设未知数，根据两位同学的购买信息列出方程组求解甲、乙笔记本的单价； （2）根据第一问求出的单价，设购买乙种笔记本的数量，根据满 200 元享受优惠列出不等式求解． 【详解】解：（1）设甲种笔记本的售价为元/本，乙种笔记本的售价为元/本． 根据题意，得 解得 甲种笔记本的售价为15元/本，乙种笔记本的售价为8元/本． 解：（2）班长和另一位同学购买个乙种笔记本才能享受打折优惠． 根据题意，得． 解，得． 为整数， 的最小值为14． 班长和另一位同学至少购买14个乙种笔记本才能享受打折优惠． 【变式2-3】（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受消费者的喜爱，在新品上市促销活动中，已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元． (1)每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元？ (2)某商家欲购进A，B两种型号早餐机至少20台，且A型早餐机比B型早餐机多4台，但总费用不超过2200元，请你通过计算求出该商家有哪几种购置方案？ (3)在（2）的方案中，哪种购置才能使所需总费用最低，最低费用是多少？ 【答案】(1)每台A型早餐机的价格是80元，每台B型早餐机的价格是120元 (2)该商家有两种购置方案，方案1：购进12台A型早餐机，8台B型早餐机；方案2：购进13台A型早餐机，9台B型早餐机 (3)购进12台A型早餐机，8台B型早餐机时所需总费用最低，最低费用是1920元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需总费用； （1）设每台型早餐机的价格是元，每台型早餐机的价格是元，根据“8台型早餐机和3台型早餐机需要1000元，6台型早餐机和1台型早餐机需要600元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进台型早餐机，则购进台型早餐机，根据“商家欲购进，两种型号早餐机至少20台，且总费用不超过2200元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购置方案； （3）利用总价单价数量，可求出选择各方案所需总费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每台型早餐机的价格是元，每台型早餐机的价格是元， 根据题意得：， 解得：． 答：每台型早餐机的价格是80元，每台型早餐机的价格是120元； （2）解：设购进台型早餐机，则购进台型早餐机， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的值可以是8，9， 该商场有两种购置方案， 方案1：购进12台型早餐机，8台型早餐机； 方案2：购进13台型早餐机，9台型早餐机； （3）解：选择方案1的总费用为（元） 选择方案2的总费用为（元） ， 在（2）的方案中，购进12台型早餐机，8台型早餐机时所需总费用最低，最低费用是1920元． 【题型3 行程问题】 【例3】如图所示，一条公路上有A，B，C三座城市，A，B两城间的路程是．一天早上，嘉淇乘坐客运班车从城出发，前往城参赛，同时，嘉淇的舅舅驾驶轿车从城前往A城送一个急件．已知客运班车每发一班车，并以的速度匀速行驶． (1)若轿车的速度为，求几点几分时，轿车和嘉淇乘坐的客运班车在途中相遇？ (2)嘉淇乘坐的客运班车从A城出发行驶后突发故障，嘉淇有下列两种方案前往城： 方案①：原地等候下一班客运班车，再乘坐客运班车前往城； 方案②：立即电话联系舅舅，并让舅舅把车速由原来的提至，接上自己后，先陪舅舅一块去A城送急件，之后立即返程，保持的车速前往城． 事后嘉淇发现，选择方案②比选择方案①到达城更早，则B，C两城之间的路程至少是多少km（结果取整数，换乘车、电话通话和交接急件过程所用的时间忽略不计）？ 【答案】(1)7点50分 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程与一元一次不等式的应用行程问题．解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）设早上出发后，经x小时轿车和客运班车相遇，列出一元一次方程，求解即可； （2）设B，C两城之间的路程是，先确定客运班车突发故障时，嘉淇和舅舅尚未相遇；此时，轿车距离A城还有，再根据选择方案②比选择方案①到达城更早，列出一元一次不等式，求出最小整数值即可． 【详解】（1）解∶设早上出发后，经x小时轿车和客运班车相遇， 依据题意，得 解得　， 而， 答：7点50分时，轿车和嘉淇乘坐的客运班车在途中相遇． （2）因为，所以客运班车突发故障时，嘉淇和舅舅尚未相遇； 此时，轿车距离A城还有． 设B，C两城之间的路程是， 依据题意，得 整理，得． 所以，的最小整数值为44． 答：B，C两城之间的路程至少是． 【变式3-1】（24-25七年级下·湖南常德·期中）爆破员要爆破一座旧桥，根据爆破情况，安全距离是70米（人员要撤到70米以外），下面是已知的一些数据，人员速度是7米/秒，导火索的燃烧速度是10.3厘米/秒，为确保安全，这次爆破的导火索至少为 米． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，关键是理解导火索燃尽时人撤离的距离要大于等于70米．设这次爆破的导火索需要x米才能确保安全，安全距离是70米（人员要撤到70米以外），根据人员速度是7米/秒，导火索的燃烧速度是10.3厘米/秒，列不等式求解即可． 【详解】设这次爆破的导火索为x米才能确保安全．根据安全距离是70米（人员要撤到70米及以外的地方），可列不等式： 解得： 故答案为： 【变式3-2】甲、乙两地相距44千米，小王原打算上午6点从甲地出发，参加上午10点在乙地召开的会议．由于有事，出发推迟了20分钟，小王每小时至少行驶 千米才不会迟到． 【答案】12 【分析】设小王每小时行驶x千米，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】设小王每小时行驶x千米， 由题意可得， 解得 ∴小王每小时至少行驶12千米才不会迟到． 故答案为：12． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是正确分析题目中的不等关系． 【变式3-3】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）学校组织学生进行一次徒步旅行．校门口到A，B，C三个景点的距离分别为，，，学生从校门口出发，以平均每小时的速度前往景点，在景点游玩时间为t小时，再以平均每小时的速度返回． (1)若学校组织学生前往景点C游玩，且恰好在返回校门口，求t的最大值； (2)若，学生在前返回校门口，则学校可能组织学生去A，B，C中的哪几个景点？ 【答案】(1)2 (2)学校可能组织学生去景点A或景点B 【分析】本题考查了不等式的应用，解决本题的关键是熟练掌握通过题目条件找出不等关系并能正确列出不等式， （1）根据题意先计算出时间，再列出不等式求解即可； （2）设景点与校门口的距离为．根据题意得，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ∴， ∴t的最大值为2； （2）解：设景点与校门口的距离为． 根据题意得， 解得． ∴学校可能组织学生去景点A或景点B． 【题型4 运输问题】 【例4】（24-25八年级下·山东潍坊·期末）某超市购进一批水果，运输过程中质量损耗，只计购进水果的费用，其它费用忽略不计． (1)若该超市在进价的基础上提高作为售价，请通过计算说明超市是否亏本； (2)若该超市至少获得的利润，请通过计算说明这种水果的售价最低应提高百分之几？ 【答案】(1)超市亏本 (2)这种水果的售价最低应提高 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式． （1）设超市购进这批水果的总质量为m千克，每千克的进价为n元，由，知这一次销售中超市亏本； （2）设超市购进这批水果的总质量为m千克，每千克的进价为n元，这种水果的售价应提高，根据超市至少获得的利润得，解出x范围可得答案． 【详解】（1）解：设超市购进这批水果的总质量为m千克，每千克的进价为n元， 超市最终的销售额为元， 因为， 所以这一次销售中，超市亏本． （2）设超市购进这批水果的总质量为m千克，每千克的进价为n元，设这种水果的售价最低应提高， 依题意得：， 解得： 所以这种水果的售价最低应提高． 【变式4-1】（24-25七年级下·山西大同·期末）交通便利是发展的重要条件．风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重16吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由2个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2吨，2个A部件和1个B部件的质量相等． (1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少； (2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？ 【答案】(1)1个A部件的质量为吨，一个B部件的质量为吨 (2)卡车一次最多可运输4套这种设备通过此大桥． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设1个A部件的质量为x吨，一个B部件的质量为y吨，根据1个A部件和2个B部件的总质量为2吨，2个A部件和1个B部件的质量相等建立方程组求解即可； （2）设卡车一次可运输m套这种设备通过此大桥，根据车的自身重量加上设备的重量不超过30吨建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设1个A部件的质量为x吨，一个B部件的质量为y吨， 由题意得，， 解得， 答：1个A部件的质量为吨，一个B部件的质量为吨； （2）解：设卡车一次可运输m套这种设备通过此大桥， 由题意得，， 解得， ∵m为正整数， ∴m的最大值为4， 答：卡车一次最多可运输4套这种设备通过此大桥． 【变式4-2】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）苹果是一种营养丰富、功效多样的水果，不仅可以美容养颜，而且可以增强身体免疫力．某苹果收购商计划收购两种苹果到外地销售，现计划组织辆汽车进行装运．按规定每辆汽车只装一种苹果且必须装满．已知每辆汽车运载量及每吨苹果获利如下表： 苹果品种 每辆汽车运载量/吨 3 2 每吨苹果获利/元 (1)若要求一次性运输的苹果超过吨，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的不等式； (2)若要求销售完这两种苹果共获利不低于元，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的另一个不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根据实际问题列不等式，解题关键是找准不等关系． （1）设装A种苹果的车x辆，装B苹果的车（）辆，根据一次性运输的苹果超过吨即可列出不等式； （2）设装A种苹果的车x辆，装B苹果的车（）辆，根据销售完这两种苹果共获利不低于元即可列出不等式． 【详解】（1）解：设装A种苹果的车x辆，装B种苹果的车（）辆， 可列出不等式； （2）设装A种苹果的车x辆，装B种苹果的车（）辆， 可列出不等式． 【变式4-3】（24-25九年级下·海南·阶段练习）综合与实践 背景 【缤纷11．11，优惠送大家】去年双11各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年末大促进入“白热化”．海口各大购物中心早在10月就开始推出11．11活动，进入11月更是持续加码，如图，某商场为迎接11．11优惠节，采购了若干辆购物车． 素材 如图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身总长增加． 问题解决 任务1 3辆购物车车身总长是_____； 任务2 若某商场采购了辆购物车，车身总长_____； 任务3 任务4 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？ 若该商场扶手电梯一次性最多可以运输25辆购物车，若要运输110辆购物车，且最多只能使用扶手电梯和直立电梯共5次，求：共有多少种运输方案？（使用扶手电梯和直立电梯次数相同时为同一运输方案） 【答案】任务1：；任务2：；任务3：20辆；任务4：有四种方案：方案一：直梯3次，扶梯2次；方案二：直梯2次，扶梯3次：方案三：直梯1次，扶梯4次；方案四：直梯0次，扶梯5次； 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 任务1：直接根据题意列式求解即可； 任务2：根据一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加，且采购了n辆购物车，L是车身总长，即可作答． 任务3：结合“已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车”，得出，再解不等式，即可作答． 任务4：根据“该商场扶手电梯一次性可以运输25辆购物车，若要运输110辆购物车，且最多只能使用电梯5次”，列式，再解不等式，即可作答． 【详解】解：任务1：由题意得，3辆购物车车身总长是； 任务2：∵一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加 ∴辆购物车，车身总长； 任务3：由题意得，， 解得， ∵一次可以运输两列购物车， ∴一次性最多可以运输辆购物车； 任务4：设使用x次扶手电梯，则次直梯， ∵该商场扶手电梯一次性可以运输25辆购物车，若要运输110辆购物车，且最多只能使用电梯5次， ∴， 解得：， ∵x为整数， ∴的值为2或3或4或5， 当使用直梯2次时，直梯最多可运输50辆购物车，则最少需要扶梯次， 当使用直梯3次时，直梯最多可运输75辆购物车，则最少需要扶梯次，即为2次； 当使用直梯4次时，直梯最多可运输100辆购物车，则最少需要扶梯次，即为1次； 当使用直梯5次时，直梯最多可运输125辆购物车，则最少需要扶梯0次； 综上所述，有四种方案：方案一：直梯3次，扶梯2次； 方案二：直梯2次，扶梯3次： 方案三：直梯1次，扶梯4次； 方案四：直梯0次，扶梯5次； 【题型5 比赛问题】 【例5】（24-25七年级下·北京丰台·期末）3月14日被命名为“国际数学日”，某校在当日举办了数学节活动，分为“数独”和“24点速算”两项比赛．为鼓励学生积极参加，设置了班级参与奖，要求每名学生至少参加一项比赛，获得个人参与积分后再进行累加，记作班级参与积分，个人积分规则如下表： 参加比赛的数量 每人获得的积分 参加两项 10分 只参加一项 4分 （1）七年级1班共32人，有8人参与了两项活动，则此班级获得的参与积分为 ； （2）在（1）的条件下，七年级2班学生经过测算，若报名22人参加“数独”，14人参加“24点速算”，可得积分156分．若仍是22人报名参加“数独”，2班积分想要超过1班积分，则至少需要 人报名参加“24点速算”． 【答案】 176分 15 【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意是解答本题的关键． （1）求出只参加一项的人数再进行计算即可； （2）设七年级2班报名参加“24点速算”有人，且同时参加两项的有人，根据题意列不等式讨论求解即可． 【详解】解：（1）七年级1班参加一项的人数为：人， 积分为：（分）， 故答案为：176分； （2）设七年级2班报名参加“24点速算”有人，且同时参加两项的有人（且）， 总积分为：， ∴， ∴， 当时，的最大值为22， ∴，即， 所以，的最小值为15.， 即至少需要15人报名参加“24点速算”， 故答案为：15． 【变式5-1】（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）2024年4月22日是第55个世界地球日，为提倡节能减排、保护环境，光明中学举办了环保知识竞赛．竞赛中共有25道试题，答对1题得4分，不答或答错1题扣2分．若皓皓本次竞赛的得分不低于80分，则他至少答对（    ）题． A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意得到不等式关系． 设皓皓至少答对了题，根据＂皓皓本次竞赛的得分不低于80分＂列出不等式，即可求解． 【详解】解：设皓皓至少答对了题， 根据题意得：，解得：， ∴皓皓至少答对22答题． 故答案为：B． 【变式5-2】（24-25七年级下·河南南阳·期中）项目学习：体育比赛计分 某校积极推进“阳光体育”工程，在七、八年级共11个班中开展篮球友谊赛，采取单循环赛（每个班与其他班分别进行一场比赛，每班需进行10场比赛），平局进行加时比赛分出胜负． 下表是两个球队的积分： 队名 胜场 负场 积分 蓝天队 6 4 16 雄鹰队 4 6 14 用方程（组）或不等式完成下列三个任务： 任务一： 根据上表你能知道比赛的计分规则吗？（即胜一场积几分？负一场积几分？） 任务二： 梦想队想让胜场积分与负场积分相同，他们能实现吗？请说明理由． 任务三： 据了解该校上届获得冠军的积分是17分，请你帮雄狮队算一算，在本届比赛中想要超越上届冠军，他们至少要胜多少场？ 【答案】任务一：胜一场积2分，负一场积1分；任务二：不能，见解析；任务三：至少胜8场 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，读懂题意找到关系式是解题的关键． 任务一：设胜一场积x分，负一场积y分，根据表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可； 任务二：设梦想队胜了m场，则负了场，根据梦想队想让胜场积分与负场积分相同，列出一元一次方程，解方程，即可得出结论； 任务三：设他们要胜n场，则负场，根据该校上届获得冠军的积分是17分，雄狮队在本届比赛中想要超越上届冠军，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：任务一：设胜一场积分，负一场积分， 依题意，得：， 解得： 答：胜一场积2分，负一场积1分 任务二：不能 理由如下：设胜场，则负场， 依题意，得：， 解得：不是整数，不符合题意． 任务三：设胜场，则负场， 依题意，得． 解得： 因为是整数， 取8， 答：至少胜8场． 【变式5-3】（24-25七年级下·吉林长春·期末） 问题背景 体育比赛中蕴含着丰富的数学知识，数学老师带领学生开展项目学习“体育比赛计分”，结合相关调研数据完成任务． 调研 调研：某次篮球联赛积分 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 东方 光明 雄鹰 卫星 钢铁 调研：球赛出线是我们经常谈及的话题，它是指比赛中参赛队伍通过比赛成绩达到规定条件获得晋级下一轮比赛的资格．篮球赛单循环赛一般按积分确定名次，经调研，某次篮球赛赛制积分规则与调研相同． 问题解决 任务 根据调研中的数据回答问题： （1）某次篮球联赛积分中，胜一场积______分，负一场积______分，卫星队的积分为______分； （2）求雄鹰队的胜场数和负场数． 任务 根据调研中的数据回答问题：某次篮球赛中，火炬队与月亮队要争夺出线权．火炬队当时的战绩是胜负，后面还要比赛场；月亮队当时的战绩是胜负，后面还要比赛场． （3）火炬队已经获得积分为______分； （4）火炬队为确保出线，在后面的比赛中至少要胜多少场？ 【答案】（1），，；（2）雄鹰队胜了场，负了场；（3）；（4）火炬队为确保出线，在后面的比赛中至少要胜场． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程或不等式是关键． 依据题意，由钢铁队比赛场，负场，积分为分，则可得负一场积分，又前进队比赛场，胜场，负场，积分为分，则胜一场积分，从而可得卫星队胜了场，负了场的积分，即可得解； 依据题意，设雄鹰队胜了场，则负了场，则，进而计算可以得解； 依据题意，火炬队的积分为：分，即可得解； 依据题意，设火炬队在后面的比赛中要胜场，则，则，结合为正整数，即可判断得解． 【详解】解：由题意，钢铁队比赛场，负场，积分为分， 负一场积分， 前进队比赛场，胜场，负场，积分为分， 胜一场积分， 卫星队胜了场，负了场，积分分， 故答案为：，，； 由题意，设雄鹰队胜了场，则负了场， ． 解得：， ， ∴雄鹰队胜了场，负了场； 由题意，火炬队的积分为：分， 故答案为：； 由题意，设火炬队在后面的比赛中要胜场， ， 解得：， 又为正整数， 可取的最小值为， 火炬队为确保出线，在后面的比赛中至少要胜场． 【题型6 数字问题】 【例6】一个两位数，其十位上数字与个位上数字之和等于9，且十位上数字与个位上数字都不为0． 若将其十位上数字与个位上数字调换，所得新数小于原来数的． 求这个两位数． 【答案】72或81 【分析】设这个数十位上数字是，则其个位上数字是，这个数可表示为：；将十位上数字与个位上数字对调后所得新数可表示为：．依题意，得 []解不等式即可． 【详解】解：设这个数十位上数字是，则其个位上数字是，这个数可表示为：；将十位上数字与个位上数字对调后所得新数可表示为：．依题意，得 [] 解这个不等式，得 ， ∵十位上数字与个位上数字都不为0， ∴ ∴整的整数值为5、6、7、8 当时，，这个数为54，对调后所得数为45，，不符合题意； 当时，，这个数是63，对调后所得数字为36，，不符合题意； 当时，9-，这个数为72，十位上数字与个位上数字对调后所得数为27，27＜，符合题意； 当时，，这个数为81，十位上数字与个位上数字对调后所得数为18，18＜，符合题意． ∴这个两位数是72或81． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 【变式6-1】一个两位数，十位上的数字为m，个位上的数字为n，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的新两位数大于原来的两位数，请比较m、n的大小． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，用含m，n的式子表示出原两位数、新两位数，列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：由题意知， 移项，得， 合并同类项，得， 解得． 【变式6-2】有一个不小于的两位数，个位上的数比十位上的数字小，则这个两位数是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】设十位上的数字为，个位上的数字为，根据题意列不等式解答即可． 【详解】解：设十位上的数字为，个位上的数字为，根据题意， ， 解得：， ∵为整数且， ∴，， ∴当时，个位上的数字为， 当时，个位上的是数字为， ∴这个两位数为或， 故选． 【点睛】本题考查了一元一次不等式与实际问题，明确题目中的数量关系是解题的关键． 【变式6-3】一个两位数，它的十位数上的数字比个位上的数字大2.且这个两位数小于40，则这个两位数是 . 【答案】31或20 【分析】首先设个位数字为x，则十位数字为x+2，即可以列出不等式求解. 【详解】解：设个位数字为x，则十位数字为x+2，由题意得 10（x+2）+x＜40 解得： 因为x是非负整数， 所以x=1或0，该数的个位数字为1或0，则十位数字是3或2，故这个两位数为31或20． 故答案为31或20． 【点睛】此题考查一元一次不等式的应用，理解题意，找出不等关系列出不等式即可求解． 【题型7 古文问题】 【例7】《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在它的“方程”一章里记载着这样一个问题：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何?”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两?”根据以上译文，请解决以下问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子? (2)若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请直接写出所有可能的购买方法； (3)若某商人准备购买牛和羊共24头（只），且总银两不能超过60两，那么最多可以购买___________头牛． 【答案】(1)每头牛值3两银子、每只羊值2两银子； (2)①购买1头牛，8只羊；②购买3头牛，5只羊；③购买3头牛，2只羊； (3)12 【分析】（1）设每头牛值两银子、每只羊值两银子，根据题意列二元一次方程组并求解，即可得到答案； （2）设购买头牛，只羊，根据题意列方程，得到，再根据、都是正整数，逐一计算验证，即可得到答案； （3）设商人购买头牛，则购买头羊，根据题意列不等式并求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：设每头牛值两银子、每只羊值两银子， 由题意得：， 解得：， 答：每头牛值3两银子、每只羊值2两银子； （2）解：设购买头牛，只羊， 由题意得：， ， 、都是正整数， 满足条件的解有，，， 商人可能的购买方法有3种：①购买1头牛，8只羊；②购买3头牛，5只羊；③购买3头牛，2只羊； （3）解：设商人购买头牛，则购买头羊， 由题意得：， 解得：， 最多可以购买12头牛， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程并求解是解题关键． 【变式7-1】我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到野果的个数．若她采集到的一筐野果不少于46个则在第2根绳子上的打结数至少是 ． 【答案】4 【分析】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满五进一计数，运用了类比的方法，根据图示列式求解．解题的关键是运用“满五进一”的进制思想． 设在第2根绳子上的打结数是x，根据满五进一列出不等式，然后求解即可得出答案． 【详解】解：设在第2根绳子上的打结数是x（x为正整数），根据题意得： 解得： 因x为正整数，故x取最小值4． 即在第2根绳子上的打结数至少是4． 故答案为：4． 【变式7-2】我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题： (1)笼中鸡、兔各有多少只？ (2)若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过40只．问这笼鸡兔最多有多少只鸡？ 【答案】(1)鸡有23只，兔有12只 (2)这笼鸡兔最多有33只鸡 【分析】（1）设鸡有x只，则兔有只，根据鸡有2只脚，兔有4只脚，笼子里面总共94只脚，可得出方程，解出即可； （2）设鸡有x只，兔y只，列出二元一次方程写出整数解即可． 【详解】（1）设鸡有x只，则兔有只， 由题意得：， 解得：， 则． 答：鸡有23只，兔有12只． （2）设鸡有x只，兔y只， 根据题意得： ∴ ∵笼中鸡兔至少30只且不超过40只 ∴ ∴ 所以笼中有兔7只时，鸡最多有33只； 答：这笼鸡兔最多有33只鸡 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题需要明确鸡和兔子都只有一个头，得出两种动物的数量． 【变式7-3】程大位是明代商人、珠算发明家．在其杰作《算法统宗》（如图）中记载有如下问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？” (1)请你求出上述问题的解； (2)若在（1）中的井底有一只青蛙，青蛙在井底想要爬出井外．第一天向上爬尺；第二天休息，下滑2尺；第三天向上再爬尺；第四天休息，下滑2尺…这只青蛙按照这样的规律向上爬与休息，若它想要在9天内（包括第9天）爬出井外，求至少要为多少尺？ 【答案】(1)绳长48尺，井深11尺 (2) 【分析】（1）设绳长尺，井深尺，根据“以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺”，列出方程组，求解即可； （2）根据题意可假设青蛙在第8天结束时，还没有爬出井口，把每两天分为一组，第8天结束时，青蛙离井底的距离为尺，因而离井口的距离为尺，然后列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设绳长尺，井深尺， 根据题意，得： 解得：， 答：绳长48尺，井深11尺； （2）解：因为要求的是的最小值， 所以可假设青蛙在第8天结束时，还没有爬出井口（若已爬出井口，则的值会更大）． 把每两天分为一组，第8天结束时，青蛙离井底的距离为尺，因而，离井口的距离为尺， 根据题意，得： ， 解得：≥． 答：的最小值为尺． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程组和不等式是解题的关键． 【题型8 方案问题】 【例8】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）某污水处理企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行污水处理（两种型号机器人都买）．相关信息如下： 信息一： A型机器人（台） B型机器人（台） 总费用／万元 1 2 20 1 4 32 信息二： 每台每天处理污水质量（吨） A型机器人 36 B型机器人 30 (1)求A，B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过68万元购买A，B两种型号智能机器人共10台．问该企业有几种购买方案？怎样选择才能每天能处理的污水最多？ 【答案】(1)A型机器人的单价为万元，B型机器人的单价为万元； (2)共有四种方案，其中，方案一：A型机器人有台，则B型机器人有台，处理污水为（吨），每天处理污水最多． 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的运用，理解数量关系，正确列式是关键． （1）设A型机器人的单价为万元，B型机器人的单价为万元，由此列二元一次方程组即可求解； （2）设A型机器人有台，则B型机器人有台，由此列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A型机器人的单价为万元，B型机器人的单价为万元， ∴， 解得，， ∴A型机器人的单价为万元，B型机器人的单价为万元； （2）解：设A型机器人有台，则B型机器人有台， ∴， 解得，， 方案一：A型机器人有台，则B型机器人有台，处理污水为（吨）， 方案二：A型机器人有台，则B型机器人有台，处理污水为（吨）， 方案三：A型机器人有台，则B型机器人有台，处理污水为（吨）， 方案四：A型机器人有台，则B型机器人有台，处理污水为（吨）， ∴共有四种方案，其中，方案一：A型机器人有台，则B型机器人有台，处理污水为（吨），每天处理污水最多． 【变式8-1】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）某农场实行机械化种植，为了更好更快地收割庄稼，农场主张致富决定购买8台收割机．现有久保田和春雨两种品牌的收割机，其中久保田牌收割机每天收割24亩，春雨牌收割机每天收割18亩．销售商又宣传说，购买一台久保田收割机比购买一台春雨收割机多8万元，购买2台久保田收割机比购买3台春雨收割机多4万元． (1)求两种收割机的价格； (2)如果张致富购买收割机的资金不超过125万元，那么有哪几种购买方案？ 【答案】(1)久保田收割机的价格为每台20万元，春雨收割机的价格为每台12万元 (2)有4种购买方案：①购买久保田收割机0台，春雨收割机8台；②购买久保田收割机1台，春雨收割机7台；③购买久保田收割机2台，春雨收割机6台；④购买久保田收割机3台，春雨收割机5台 【分析】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，解题关键是弄清题意，找到合适的数量关系． （1）此题可设两种收割机的价格分别为x万元，y万元，根据题中的等量关系列出二元一次方程组解答即可； （2）设购买久保田收割机m台，由“购买收割机的资金不超过125万元”列出关于m的不等式，通过解不等式求得整数m的值． 【详解】（1）解：设购买久保田收割机的价格为万元/台，购买春雨收割机的价格为万元/台， 依题意得 ， 解得， 答：久保田收割机的价格为每台20万元，春雨收割机的价格为每台12万元． （2）设购买久保田收割机台， 依题意得， 解得．     又且为整数， 故有以下4种购买方案：①购买久保田收割机0台，春雨收割机8台； ②购买久保田收割机1台，春雨收割机7台； ③购买久保田收割机2台，春雨收割机6台； ④购买久保田收割机3台，春雨收割机5台． 【变式8-2】（24-25七年级下·广东广州·期末）某校七年级名学生和位老师准备乘坐客车去参观历史博物馆，客运公司有、两种型号的客车可供租用已知满员时，辆型客车和辆型客车每次可运送人；辆型客车和辆型客车每次可运送人． (1)求型客车和型客车的载客量分别是多少人？ (2)学校计划租用辆客车，一次运送全部师生到历史博物馆． 最多可以租用多少辆型客车？ 若，两种型号客车的租金分别是元和元，则共有几种租车方案？哪种方案的租金最低？ 【答案】(1)型客车的载客量为人，型客车的载客量为人； (2)最多可以租用辆型客车；共有种租车方案，租用辆型客车，辆型客车的租金最低 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用； （1）设型客车的载客量为人，型客车的载客量为人，根据辆型客车和辆型客车每次可运送人；辆型客车和辆型客车每次可运送人；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设可以租用辆型客车，则可以租用辆型客车，根据一次运送全部师生到历史博物馆，列出一元一次不等式，解不等式即可； 由可知，，，，共有种租车方案，再分别求出种方案的租金，然后比较即可． 【详解】（1）解：设型客车的载客量为人，型客车的载客量为人， 根据题意得：， 解得：， 答：型客车的载客量为人，型客车的载客量为人； （2）解：设可以租用辆型客车，则可以租用辆型客车， 由题意得：， 解得：， 为非负整数， 的最大值为， 答：最多可以租用辆型客车； 由可知，，，， 共有种租车方案： 方案：租用辆型客车，租金为元； 方案：租用辆型客车，辆型客车，租金为元； 方案：租用辆型客车，辆型客车，租金为元； ， 租用辆型客车，辆型客车的租金最低， 答：共有种租车方案，租用辆型客车，辆型客车的租金最低． 【变式8-3】（24-25七年级下·吉林长春·期中）某农场计划种植一块面积达120公顷的农田，现雇佣A、B两村居民参与劳作．经实践发现，若A、B两村同时开展播种工作，仅需6天就能完成全部种植任务；而若安排村单独播种8天，随后由村单独播种3天，同样可以完成整块农田的种植．此外，村每日的雇佣费用为1500元，村每日的雇佣费用是800元．基于以上信息，请解答以下问题（播种天数取整数）： (1)两村每天各自能够完成多少公顷的农田种植？ (2)若要求该农田的种植工作不超过13天，现计划让村先工作天，剩余部分交由村完成．那么，为确保满足工期要求，A村至少需要工作多少天？ (3)在满足（2）中工期要求的前提下，若农场的种植总预算不能超过13800元，请问该农田有哪些可行的播种方案？ 【答案】(1)村每天能够完成公顷的农田种植，村每天能够完成公顷的农田种植 (2)村至少需要工作4天 (3)见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和不等式的应用，理解题意，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键． （1）设村每天完成公顷、村每天完成公顷，根据A、B两村同时开展播种工作，仅需6天就能完成全部种植任务；安排村单独播种8天，随后由村单独播种3天，同样可以完成整块农田的种植，建立二元一次方程组，求解即可； （2）设村至少需要工作天，根据该农田的种植工作不超过13天，建立一元一次不等式求解即可； （3）根据题意列出一元一次不等式，得到，再播种天数取整数即可解答． 【详解】（1）解：设村每天完成公顷、村每天完成公顷 由题意得：， 解得， 答：村每天能够完成公顷的农田种植，村每天能够完成公顷的农田种植； （2）解：设村至少需要工作天，则村需要工作天， 根据题意：， 解得， 答：村至少需要工作4天； （3）解：由（2）得， 解得：， 由（2）可知，， ， 播种天数取整数， 或5或6， 当村先播种4天，剩余部分村播种天， 当村先播种5天，剩余部分村播种天（舍去）， 当村先播种6天，剩余部分村播种天， 答：有两种方案可供选择，村先播种4天，剩余部分村播种9天；村先播种6天，剩余部分村播种6天． 【题型9 分段收费问题】 【例9】依法纳税是每个公民应尽的义务，新的《中华人民共和国个人所得税法》规定从2011年9月1日起，公民全月工薪不超过3500部分不必纳税，超过3500元部分为全月应纳税所得税额，此项税额按下表分段累进计算。 全月应纳税所得税额 税率 不超过1500元的 3% 超过1500元至4500元的部分 10% 超出4500元以上 15% （1）若李先生今年10月工薪是4900元，则他应缴纳个人所得税税金是________元。 （2）若陈女士今年10月工薪是9000元则她应缴纳个人所得税金多少元？ （3）若某纳税人的10月月工薪不超过15000元他每月的纳税金额能超过月工薪的8％吗？若能，请给出该纳税人的月工薪。 【答案】（1）42元；（2）陈女士应缴纳个人所得税金495元；（3）能，12214元＜月工薪≤15000元 【分析】（1）按照图表计算即可得应纳多少税． （2）首先得出x的取值范围，进而根据纳税方案得出方程求出即可； （3）设该纳税人的月工薪为y元，利用345+（y-8000）×20%＞8％y，进而得出该纳税人的月工薪范围． 【详解】解：（1）全月应纳税所得额为：4900-3500=1400（元）， 1400×3%=42（元）． 故他应缴纳个人所得税税金是42元； 故答案为：42元； （2）∵9000-3500=5500（元） ∴1500×3%+(4500-1500)×10%+(5500-4500) ×15%=495， ∴她应缴纳个人所得税金495元 （3）能， 当月工薪为8000时全月应纳税所得额为：1500×3%+3000×10%=345（元） 设月工薪为y元，0＜y≤8000范围内不可能， 则8000＜y≤15000，由题意可得出：345+（y-8000）×15%＞8％y 解得：y＞12214， 故该纳税人的月工薪范围为：12214元＜月工薪≤15000元． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，利用图表得出正确信息是解题关键． 【变式9-1】（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 0.50 超过17吨但不超过30吨的部分 0.50 超过30吨的部分 3.00 0.50 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求，的值． (2)如果今年8月份小王家计划水费不超过80元，则小王家这个月用水最多为多少吨？ 【答案】(1) (2)小王家这个月用水最多为吨 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，理解题意正确列出方程和不等式是关键． （1）当用水15吨时，水费为元，根据水费为，则列式可求得a的值；当用水26吨时，由所求a的值，可计算出基本水费与超过部分水费，等于元减去污水处理费，由此列式计算求得b的值； （2）设小王家这个月用水为吨，根据（1）所求a与b的值，列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：当用水15吨时，水费为元，则， 则（元）； 当用水26吨时，17吨水的费用为（元），（元）， 所以， 得：； （2）解：设小王家这个月用水为吨， ，则， 根据题意： ， 答：小王家这个月用水最多为吨． 【变式9-2】（24-25八年级下·福建厦门·期末）随着电子商务的蓬勃发展，物流行业竞争日益激烈．某市有两家物流公司A和B，为了吸引客户，各自推出了不同的运费方案．物流A公司采用“基础运费超程单价”的收费模式，而物流B公司则推出“分段优惠”政策．以下是两家公司的具体收费标准和两次运输记录： 物流A公司的收费标准：基础运费覆盖公里，超出300公里的部分按每公里单价收费． 运输记录如下：运输货物甲：货物从厦门运往宁德，距离340公里，总运费900元 运输货物乙：货物从厦门运往汕尾，距离420公里，总运费1140元 物流B公司的收费标准：公里，统一价1200元；超500公里后，每公里加收元． 问题： (1)根据物流A公司的两次运输记录，求该物流A公司的基础运费和超程单价（超过300公里后每公里运费），请列方程（组）解答． (2)某客户需要运送一批货物，运输距离为公里．请根据两家公司的收费标准，分析该客户选择哪家物流公司更合算，并给出具体的决策依据． 【答案】(1)该物流A公司的基础运费为780元，超程单价为1140元 (2)当或时，该客户选择物流A公司更合算；当或时，该客户选择两个物流公司一样合算；当或时，该客户选择物流B公司更合算． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程组，方程和不等式是解题的关键． （1）设该物流A公司的基础运费为x元，超程单价为y元，根据货物从厦门运往宁德，距离340公里，总运费900元；运输货物乙：货物从厦门运往汕尾，距离420公里，总运费1140元建立方程组求解即可； （2）分，，三种情况，分别表示对应情形下两个物流公司的费用，然后建立不等式和方程求解即可． 【详解】（1）解：设该物流A公司的基础运费为x元，超程单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：该物流A公司的基础运费为780元，超程单价为3元； （2）解：当时，物流A公司的费用为780元，物流B公司的费用为1200元， ∵， ∴该客户选择物流A公司更合算； 当时，物流A公司的费用为元，物流B公司的费用为1200元， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴当时，该客户选择物流A公司更合算；当时，该客户选择两个物流公司一样合算；当时，该客户选择物流B公司更合算； 当时，物流A公司的费用为元，物流B公司的费用为元， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴当时，该客户选择物流A公司更合算；当时；该客户选择两个物流公司一样合算；当时，该客户选择物流B公司更合算； 综上所述，当或时，该客户选择物流A公司更合算；当或时，该客户选择两个物流公司一样合算；当或时，该客户选择物流B公司更合算． 【变式9-3】（24-25七年级下·广西北海·期中）小刚为书房买灯，现有两种灯可供选购，其中一种是9瓦（即千瓦）的节能灯，售价49元/盏；另一种是40瓦（即千瓦）的白炽灯，售价为18元/盏．假设两种灯的照明亮度一样，使用寿命都可以达到2800小时，已知小刚家所在地的电价是每千瓦时元． (1)设照明时间是小时，请用含的代数式分别表示用一盏节能灯的费用和用一盏白炽灯的费用；（注：费用灯的售价电费） (2)小刚想在这两种灯中选购一盏，试推断： 照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低； 照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低； (3)小刚想在这两种灯中选购两盏，假定照明时间是3000小时，使用寿命都是2800小时，请你帮他设计费用最低的选灯方案，并说明理由． 【答案】(1)用一盏节能灯费用是元，用一盏白炽灯费用是元； (2)当照明时间小时时，选用白炽灯费用低；当照明时间超过2000小时时，选用节能灯费用低； (3)各购一盏灯，节能灯使用2800小时，白炽灯使用200小时时，费用最低，见解析． 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次不等式的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据费用计算公式计算求解即可； （2）根据（1）所求根据选用白炽灯费用低和选用节能灯费用低，分别建立不等式求解即可； （3）由于单个灯的使用寿命低于照明时间，则一定要购买两种灯，则有三种方案：①购买两盏白炽灯，②购买两盏节能灯，③各购买一盏，分别计算出三种方案的费用即可得到结论． 【详解】（1）解：千瓦元千瓦元，千瓦元千瓦元， 用一盏节能灯费用是元，用一盏白炽灯费用是元 （2）解：设照明时间是小时， 由题意，当节能灯费用白炽灯费用时，， 即． 所以当照明时间小时时，选用白炽灯费用低． 当节能灯费用白炽灯费用时，， 即． 所以当照明时间超过2000小时时，选用节能灯费用低； （3）解：各购一盏灯，节能灯使用2800小时，白炽灯使用200小时时，费用最低，理由如下： 分下列三种情况讨论： ①如果选用两盏节能灯，则费用是元； ②如果选用两盏白炽灯，则费用是元； ③如果选用一盏节能灯和一盏白炽灯，由（2）可知，当照明时间小时时，用节能灯比白炽灯费用低，所以节能灯用足2800小时时，费用最低，费用是元． 所以各购一盏灯，节能灯使用2800小时，白炽灯使用200小时时，费用最低； 【题型10 几何图形问题】 【例10】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）某展览馆为适应更多会展需求，对部分展馆地面进行了升级改造，已知该展馆地面为长米，宽米的长方形，现计划将其分成两个同样大的长方形展览区，其余部分为等宽的通道，设通道的宽度为x米． (1)若一个长方形展览区的宽度至少是通道宽度的倍，求通道的最大宽度； (2)已知通道宽度最终确定为米，工程负责人准备用，两种彩砖铺设展览区的地面，用防滑材料铺设通道，经市场调查发现，用种彩砖铺设展览区每平方米需要元，用B种彩砖铺设展览区每平方米需要元，若铺设展览区的总费用不超过元，求最多购买多少平方米种彩砖？ 【答案】(1)通道的最大宽度为米 (2)最多购买平方米种彩砖 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，列不等式． （1）根据题意列不等式，解不等式即可； （2）根据题意列不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，， 答：通道的最大宽度为4米． （2）解：当通道宽度为4米时， 展览区的长为（米）， 展览区的宽为（米）， 展览区的总面积为（平方米）， 设购买平方米种彩砖，则购买平方米种彩砖， 由题意得，， 解得，， 答：最多购买平方米种彩砖． 【变式10-1】（24-25八年级下·广东梅州·期中）某茶园准备用篱笆围成一片长方形土地用来培育新品种茶叶，已知该长方形土地的长比宽多40米，若要求围成该长方形土地的篱笆长度不超过200米，则该长方形土地的宽至多为（    ） A．50米 B．45米 C．40米 D．30米 【答案】D 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式解决实际最值问题，解题的关键是准确找出不等关系． 设宽为米，则长为米，根据周长公式和篱笆长度不超过200米的条件，建立不等式并求解． 【详解】解：设宽为米，则长为米，根据题意得， ， 解得， 因此，宽的最大值为30米， 故选：D． 【变式10-2】（24-25七年级下·福建泉州·期中）用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的A型长方形纸板和B型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成8张A型长方形纸板或者恰好裁成12张B型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要A型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要A型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成A型长方形纸板，用3张大纸板剪裁B型正方形纸板，且裁成的A、B两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为m个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求m的最大值． 【答案】(1)3，4 (2)可制作横式纸盒16个，竖式纸盒4个 (3)16 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键． （1）根据图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒即可得出答案； （2）设可制作横式纸盒x个，竖式纸盒y个，根据用8张大纸板裁成A型长方形纸板，用3张大纸板剪裁B型正方形纸板，且裁成的A、B两种型号纸板恰好都用完，列出二元一次方程组，解方程组即可； （3）根据制作横式纸盒和竖式纸盒均为m个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意可知：1个横式无盖长方体纸盒需要3张A型和2张B型，1个竖式无盖长方体纸盒需要4张A型和1张B型； （2）解：设可制作横式纸盒x个，竖式纸盒y个， 由题意得： 解得， 答：可制作横式纸盒16个，竖式纸盒4个； （3）解：由题意得， 解得：， ∴m的最大值为16． 【变式10-3】长为5，宽为的长方形纸片（），如图那样翻折，剪下一个边长等于长方形宽度的正方形（成为第一次操作）；再把剩下的长方形如图那样翻折，剪下一个边长等于此时长方形宽度的正方形（称为第二次操作）；若在第3次操作后，剩下的图形为正方形，则的值为 ． 【答案】3或 【分析】先根据题意可知：当＜a＜20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a、宽为5-a，第二次操作时正方形的边长为5-a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为5-a、2a-5，然后分别从5-a＞2a-5与5-a＜2a-5去分析且列出一元一次方程求解即可得出正确答案． 【详解】解：由题意可知： 当＜a＜5时， 第一次操作后剩下的矩形的长为a、宽为5-a， ∴第二次操作时剪下正方形的边长为5-a， 第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为5-a、2a-5． 此时，分两种情况： ①如果5-a＞2a-5，则a＜， 即＜a＜， 那么第三次操作时正方形的边长为2a-5． 则2a-5=(5-a)-(2a-5)， 解得a=3； ②如果5-a＜2a-5，则a＞， 即＜a＜20， 那么第三次操作时正方形的边长为5-a． 则5-a=(2a-5)-(5-a)， 解得a=． ∴当n=3时，a的值为3或． 故答案为:3或． 【点睛】本题考查的知识点有折叠的性质、矩形的性质、分类讨论思想、数形结合思想、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用．解题关键是 掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用以及注意折叠中的对应关系． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.3 一元一次不等式的应用（举一反三讲义） 【新教材人教版】 【题型1 工程问题】 1 【题型2 销售问题】 2 【题型3 行程问题】 4 【题型4 运输问题】 4 【题型5 比赛问题】 6 【题型6 数字问题】 9 【题型7 古文问题】 9 【题型8 方案问题】 10 【题型9 分段收费问题】 11 【题型10 几何图形问题】 13 【题型1 工程问题】 【例1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）“农村道路改造”是某市市政府实施的一项重要的惠民工程，一条需要改造的农村道路共54千米，需要甲、乙两工程队合作施工完成，他们从道路两端同时开始施工，已知乙队每天比甲队多修0.4千米． (1)现市政府要求甲、乙两队共同施工20天后，剩余的工程总量不得超过14千米，求甲队每天至少修路多少千米？ (2)如果甲、乙两队按照（1）中所求施工速度进行施工，那么几天能够修完这条道路？ 【变式1-1】随着“美丽乡村”建设目标的推进，农村的道路、供水、供热、电力等基础设施将得到全面改善．某工程队承包了农村集中供热管道改造项目，此项目工程需要铺设10000米的管道任务，该工程队平均每天铺设管道125米，在管道铺设了20天后，为了缩短工期，经研究决定，余下的管道铺设任务要在50天内（含50天）完成，求该工程队平均每天至少再多铺设多长管道？ 【变式1-2】习总书记说：“绿水青山就是金山银山”．为响应习总书记号召，重庆市政府启动了长江流域综合治理工程，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队速度是乙队速度的．已知甲队每月施工费用为万元，比乙队多万元，按要求该工程总费用不超过万元，工程必须在一年内竣工包括个月为了确保经费和工期，采取甲队做个月，乙队做个月、均为整数分工合作的方式施工，则的值为 ． 【变式1-3】（24-25六年级上·上海·阶段练习）某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？ (2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数． 【题型2 销售问题】 【例2】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月在哈尔滨举行，如图是本次亚冬会吉祥物“妮妮”和“滨滨”，某纪念品商店计划采购x个吉祥物，两个工厂收费方式如下： 甲厂收费方式：收模具费1000元，另外每个收制造费5元． 乙厂收费方式：不超过2000个时，每个吉祥物收制造费10元；超过2000个时，超过部分每个吉祥物收费2元． (1)①当x不超过2000时，甲厂的收费为______元，乙厂的收费为______元． ②当x超过2000时，甲厂的收费为______元，乙厂的收费为______元． (2)采购多少个吉祥物时，甲、乙两厂收费相同？ (3)选择哪个厂更节省费用？ 【变式2-1】中亚手机专卖店对营业员的工资标准规定如下： (1)写出每月工资总额y（元）与销售手机部数x（部）之间的关系式___________． (2)营业员小芳本月销售手机30部，她本月的工资总额是___________元． (3)若小芳的月工资总额要达到1200元以上，问她至少要销售手机___________部． 【变式2-2】学科实践 驱动任务：探索购买笔记本的最佳方案 调查发现：某小组的同学计划在某一文具店购买甲、乙两种笔记本，细心的组长对在这一文具店按同一销售价购买了笔记本的两位同学进行了调查，获取了以下信息： （1）小文购买3个甲种笔记本和5个乙种笔记本，共花费85元； （2）小宇购买4个甲种笔记本和6个乙种笔记本，共花费108元； （3）购买这两种笔记本满200元就可享受打折优惠． 问题解决： (1)求甲、乙两种笔记本的售价每本各是多少元？ (2)班长和另一位同学计划购买6个甲种笔记本和若干乙种笔记本，那么他们至少买多少个乙种笔记本才能享受打折优惠？ 【变式2-3】（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受消费者的喜爱，在新品上市促销活动中，已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元． (1)每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元？ (2)某商家欲购进A，B两种型号早餐机至少20台，且A型早餐机比B型早餐机多4台，但总费用不超过2200元，请你通过计算求出该商家有哪几种购置方案？ (3)在（2）的方案中，哪种购置才能使所需总费用最低，最低费用是多少？ 【题型3 行程问题】 【例3】如图所示，一条公路上有A，B，C三座城市，A，B两城间的路程是．一天早上，嘉淇乘坐客运班车从城出发，前往城参赛，同时，嘉淇的舅舅驾驶轿车从城前往A城送一个急件．已知客运班车每发一班车，并以的速度匀速行驶． (1)若轿车的速度为，求几点几分时，轿车和嘉淇乘坐的客运班车在途中相遇？ (2)嘉淇乘坐的客运班车从A城出发行驶后突发故障，嘉淇有下列两种方案前往城： 方案①：原地等候下一班客运班车，再乘坐客运班车前往城； 方案②：立即电话联系舅舅，并让舅舅把车速由原来的提至，接上自己后，先陪舅舅一块去A城送急件，之后立即返程，保持的车速前往城． 事后嘉淇发现，选择方案②比选择方案①到达城更早，则B，C两城之间的路程至少是多少km（结果取整数，换乘车、电话通话和交接急件过程所用的时间忽略不计）？ 【变式3-1】（24-25七年级下·湖南常德·期中）爆破员要爆破一座旧桥，根据爆破情况，安全距离是70米（人员要撤到70米以外），下面是已知的一些数据，人员速度是7米/秒，导火索的燃烧速度是10.3厘米/秒，为确保安全，这次爆破的导火索至少为 米． 【变式3-2】甲、乙两地相距44千米，小王原打算上午6点从甲地出发，参加上午10点在乙地召开的会议．由于有事，出发推迟了20分钟，小王每小时至少行驶 千米才不会迟到． 【变式3-3】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）学校组织学生进行一次徒步旅行．校门口到A，B，C三个景点的距离分别为，，，学生从校门口出发，以平均每小时的速度前往景点，在景点游玩时间为t小时，再以平均每小时的速度返回． (1)若学校组织学生前往景点C游玩，且恰好在返回校门口，求t的最大值； (2)若，学生在前返回校门口，则学校可能组织学生去A，B，C中的哪几个景点？ 【题型4 运输问题】 【例4】（24-25八年级下·山东潍坊·期末）某超市购进一批水果，运输过程中质量损耗，只计购进水果的费用，其它费用忽略不计． (1)若该超市在进价的基础上提高作为售价，请通过计算说明超市是否亏本； (2)若该超市至少获得的利润，请通过计算说明这种水果的售价最低应提高百分之几？ 【变式4-1】（24-25七年级下·山西大同·期末）交通便利是发展的重要条件．风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重16吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由2个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2吨，2个A部件和1个B部件的质量相等． (1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少； (2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？ 【变式4-2】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）苹果是一种营养丰富、功效多样的水果，不仅可以美容养颜，而且可以增强身体免疫力．某苹果收购商计划收购两种苹果到外地销售，现计划组织辆汽车进行装运．按规定每辆汽车只装一种苹果且必须装满．已知每辆汽车运载量及每吨苹果获利如下表： 苹果品种 每辆汽车运载量/吨 3 2 每吨苹果获利/元 (1)若要求一次性运输的苹果超过吨，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的不等式； (2)若要求销售完这两种苹果共获利不低于元，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的另一个不等式． 【变式4-3】（24-25九年级下·海南·阶段练习）综合与实践 背景 【缤纷11．11，优惠送大家】去年双11各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年末大促进入“白热化”．海口各大购物中心早在10月就开始推出11．11活动，进入11月更是持续加码，如图，某商场为迎接11．11优惠节，采购了若干辆购物车． 素材 如图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身总长增加． 问题解决 任务1 3辆购物车车身总长是_____； 任务2 若某商场采购了辆购物车，车身总长_____； 任务3 任务4 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？ 若该商场扶手电梯一次性最多可以运输25辆购物车，若要运输110辆购物车，且最多只能使用扶手电梯和直立电梯共5次，求：共有多少种运输方案？（使用扶手电梯和直立电梯次数相同时为同一运输方案） 【题型5 比赛问题】 【例5】（24-25七年级下·北京丰台·期末）3月14日被命名为“国际数学日”，某校在当日举办了数学节活动，分为“数独”和“24点速算”两项比赛．为鼓励学生积极参加，设置了班级参与奖，要求每名学生至少参加一项比赛，获得个人参与积分后再进行累加，记作班级参与积分，个人积分规则如下表： 参加比赛的数量 每人获得的积分 参加两项 10分 只参加一项 4分 （1）七年级1班共32人，有8人参与了两项活动，则此班级获得的参与积分为 ； （2）在（1）的条件下，七年级2班学生经过测算，若报名22人参加“数独”，14人参加“24点速算”，可得积分156分．若仍是22人报名参加“数独”，2班积分想要超过1班积分，则至少需要 人报名参加“24点速算”． 【变式5-1】（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）2024年4月22日是第55个世界地球日，为提倡节能减排、保护环境，光明中学举办了环保知识竞赛．竞赛中共有25道试题，答对1题得4分，不答或答错1题扣2分．若皓皓本次竞赛的得分不低于80分，则他至少答对（    ）题． A．21 B．22 C．23 D．24 【变式5-2】（24-25七年级下·河南南阳·期中）项目学习：体育比赛计分 某校积极推进“阳光体育”工程，在七、八年级共11个班中开展篮球友谊赛，采取单循环赛（每个班与其他班分别进行一场比赛，每班需进行10场比赛），平局进行加时比赛分出胜负． 下表是两个球队的积分： 队名 胜场 负场 积分 蓝天队 6 4 16 雄鹰队 4 6 14 用方程（组）或不等式完成下列三个任务： 任务一： 根据上表你能知道比赛的计分规则吗？（即胜一场积几分？负一场积几分？） 任务二： 梦想队想让胜场积分与负场积分相同，他们能实现吗？请说明理由． 任务三： 据了解该校上届获得冠军的积分是17分，请你帮雄狮队算一算，在本届比赛中想要超越上届冠军，他们至少要胜多少场？ 【变式5-3】（24-25七年级下·吉林长春·期末） 问题背景 体育比赛中蕴含着丰富的数学知识，数学老师带领学生开展项目学习“体育比赛计分”，结合相关调研数据完成任务． 调研 调研：某次篮球联赛积分 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 东方 光明 雄鹰 卫星 钢铁 调研：球赛出线是我们经常谈及的话题，它是指比赛中参赛队伍通过比赛成绩达到规定条件获得晋级下一轮比赛的资格．篮球赛单循环赛一般按积分确定名次，经调研，某次篮球赛赛制积分规则与调研相同． 问题解决 任务 根据调研中的数据回答问题： （1）某次篮球联赛积分中，胜一场积______分，负一场积______分，卫星队的积分为______分； （2）求雄鹰队的胜场数和负场数． 任务 根据调研中的数据回答问题：某次篮球赛中，火炬队与月亮队要争夺出线权．火炬队当时的战绩是胜负，后面还要比赛场；月亮队当时的战绩是胜负，后面还要比赛场． （3）火炬队已经获得积分为______分； （4）火炬队为确保出线，在后面的比赛中至少要胜多少场？ 【题型6 数字问题】 【例6】一个两位数，其十位上数字与个位上数字之和等于9，且十位上数字与个位上数字都不为0． 若将其十位上数字与个位上数字调换，所得新数小于原来数的． 求这个两位数． 【变式6-1】一个两位数，十位上的数字为m，个位上的数字为n，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的新两位数大于原来的两位数，请比较m、n的大小． 【变式6-2】有一个不小于的两位数，个位上的数比十位上的数字小，则这个两位数是（    ） A． B． C．或 D． 【变式6-3】一个两位数，它的十位数上的数字比个位上的数字大2.且这个两位数小于40，则这个两位数是 . 【题型7 古文问题】 【例7】《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在它的“方程”一章里记载着这样一个问题：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何?”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两?”根据以上译文，请解决以下问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子? (2)若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请直接写出所有可能的购买方法； (3)若某商人准备购买牛和羊共24头（只），且总银两不能超过60两，那么最多可以购买___________头牛． 【变式7-1】我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到野果的个数．若她采集到的一筐野果不少于46个则在第2根绳子上的打结数至少是 ． 【变式7-2】我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题： (1)笼中鸡、兔各有多少只？ (2)若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过40只．问这笼鸡兔最多有多少只鸡？ 【变式7-3】程大位是明代商人、珠算发明家．在其杰作《算法统宗》（如图）中记载有如下问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？” (1)请你求出上述问题的解； (2)若在（1）中的井底有一只青蛙，青蛙在井底想要爬出井外．第一天向上爬尺；第二天休息，下滑2尺；第三天向上再爬尺；第四天休息，下滑2尺…这只青蛙按照这样的规律向上爬与休息，若它想要在9天内（包括第9天）爬出井外，求至少要为多少尺？ 【题型8 方案问题】 【例8】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）某污水处理企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行污水处理（两种型号机器人都买）．相关信息如下： 信息一： A型机器人（台） B型机器人（台） 总费用／万元 1 2 20 1 4 32 信息二： 每台每天处理污水质量（吨） A型机器人 36 B型机器人 30 (1)求A，B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过68万元购买A，B两种型号智能机器人共10台．问该企业有几种购买方案？怎样选择才能每天能处理的污水最多？ 【变式8-1】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）某农场实行机械化种植，为了更好更快地收割庄稼，农场主张致富决定购买8台收割机．现有久保田和春雨两种品牌的收割机，其中久保田牌收割机每天收割24亩，春雨牌收割机每天收割18亩．销售商又宣传说，购买一台久保田收割机比购买一台春雨收割机多8万元，购买2台久保田收割机比购买3台春雨收割机多4万元． (1)求两种收割机的价格； (2)如果张致富购买收割机的资金不超过125万元，那么有哪几种购买方案？ 【变式8-2】（24-25七年级下·广东广州·期末）某校七年级名学生和位老师准备乘坐客车去参观历史博物馆，客运公司有、两种型号的客车可供租用已知满员时，辆型客车和辆型客车每次可运送人；辆型客车和辆型客车每次可运送人． (1)求型客车和型客车的载客量分别是多少人？ (2)学校计划租用辆客车，一次运送全部师生到历史博物馆． 最多可以租用多少辆型客车？ 若，两种型号客车的租金分别是元和元，则共有几种租车方案？哪种方案的租金最低？ 【变式8-3】（24-25七年级下·吉林长春·期中）某农场计划种植一块面积达120公顷的农田，现雇佣A、B两村居民参与劳作．经实践发现，若A、B两村同时开展播种工作，仅需6天就能完成全部种植任务；而若安排村单独播种8天，随后由村单独播种3天，同样可以完成整块农田的种植．此外，村每日的雇佣费用为1500元，村每日的雇佣费用是800元．基于以上信息，请解答以下问题（播种天数取整数）： (1)两村每天各自能够完成多少公顷的农田种植？ (2)若要求该农田的种植工作不超过13天，现计划让村先工作天，剩余部分交由村完成．那么，为确保满足工期要求，A村至少需要工作多少天？ (3)在满足（2）中工期要求的前提下，若农场的种植总预算不能超过13800元，请问该农田有哪些可行的播种方案？ 【题型9 分段收费问题】 【例9】依法纳税是每个公民应尽的义务，新的《中华人民共和国个人所得税法》规定从2011年9月1日起，公民全月工薪不超过3500部分不必纳税，超过3500元部分为全月应纳税所得税额，此项税额按下表分段累进计算。 全月应纳税所得税额 税率 不超过1500元的 3% 超过1500元至4500元的部分 10% 超出4500元以上 15% （1）若李先生今年10月工薪是4900元，则他应缴纳个人所得税税金是________元。 （2）若陈女士今年10月工薪是9000元则她应缴纳个人所得税金多少元？ （3）若某纳税人的10月月工薪不超过15000元他每月的纳税金额能超过月工薪的8％吗？若能，请给出该纳税人的月工薪。 【变式9-1】（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 0.50 超过17吨但不超过30吨的部分 0.50 超过30吨的部分 3.00 0.50 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求，的值． (2)如果今年8月份小王家计划水费不超过80元，则小王家这个月用水最多为多少吨？ 【变式9-2】（24-25八年级下·福建厦门·期末）随着电子商务的蓬勃发展，物流行业竞争日益激烈．某市有两家物流公司A和B，为了吸引客户，各自推出了不同的运费方案．物流A公司采用“基础运费超程单价”的收费模式，而物流B公司则推出“分段优惠”政策．以下是两家公司的具体收费标准和两次运输记录： 物流A公司的收费标准：基础运费覆盖公里，超出300公里的部分按每公里单价收费． 运输记录如下：运输货物甲：货物从厦门运往宁德，距离340公里，总运费900元 运输货物乙：货物从厦门运往汕尾，距离420公里，总运费1140元 物流B公司的收费标准：公里，统一价1200元；超500公里后，每公里加收元． 问题： (1)根据物流A公司的两次运输记录，求该物流A公司的基础运费和超程单价（超过300公里后每公里运费），请列方程（组）解答． (2)某客户需要运送一批货物，运输距离为公里．请根据两家公司的收费标准，分析该客户选择哪家物流公司更合算，并给出具体的决策依据． 【变式9-3】（24-25七年级下·广西北海·期中）小刚为书房买灯，现有两种灯可供选购，其中一种是9瓦（即千瓦）的节能灯，售价49元/盏；另一种是40瓦（即千瓦）的白炽灯，售价为18元/盏．假设两种灯的照明亮度一样，使用寿命都可以达到2800小时，已知小刚家所在地的电价是每千瓦时元． (1)设照明时间是小时，请用含的代数式分别表示用一盏节能灯的费用和用一盏白炽灯的费用；（注：费用灯的售价电费） (2)小刚想在这两种灯中选购一盏，试推断： 照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低； 照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低； (3)小刚想在这两种灯中选购两盏，假定照明时间是3000小时，使用寿命都是2800小时，请你帮他设计费用最低的选灯方案，并说明理由． 【题型10 几何图形问题】 【例10】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）某展览馆为适应更多会展需求，对部分展馆地面进行了升级改造，已知该展馆地面为长米，宽米的长方形，现计划将其分成两个同样大的长方形展览区，其余部分为等宽的通道，设通道的宽度为x米． (1)若一个长方形展览区的宽度至少是通道宽度的倍，求通道的最大宽度； (2)已知通道宽度最终确定为米，工程负责人准备用，两种彩砖铺设展览区的地面，用防滑材料铺设通道，经市场调查发现，用种彩砖铺设展览区每平方米需要元，用B种彩砖铺设展览区每平方米需要元，若铺设展览区的总费用不超过元，求最多购买多少平方米种彩砖？ 【变式10-1】（24-25八年级下·广东梅州·期中）某茶园准备用篱笆围成一片长方形土地用来培育新品种茶叶，已知该长方形土地的长比宽多40米，若要求围成该长方形土地的篱笆长度不超过200米，则该长方形土地的宽至多为（    ） A．50米 B．45米 C．40米 D．30米 【变式10-2】（24-25七年级下·福建泉州·期中）用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的A型长方形纸板和B型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成8张A型长方形纸板或者恰好裁成12张B型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要A型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要A型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成A型长方形纸板，用3张大纸板剪裁B型正方形纸板，且裁成的A、B两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为m个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求m的最大值． 【变式10-3】长为5，宽为的长方形纸片（），如图那样翻折，剪下一个边长等于长方形宽度的正方形（成为第一次操作）；再把剩下的长方形如图那样翻折，剪下一个边长等于此时长方形宽度的正方形（称为第二次操作）；若在第3次操作后，剩下的图形为正方形，则的值为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $