4.3公式法分解因式（分层作业，3基础8题型+培优）数学新教材北师大版八年级下册

4.3 公式法分解因式 题型一 公式法分解因式的判定 一、单选题 1．下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列多项式，①，②，③，④能用公式法分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列多项式：①；②；③；④．其中能用公式法因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列多项式能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．下列各多项式中不能用公式法分解的是（   ） A． B． C． D． 6．下列多项式在实数范围内不能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 7．在因式①；②；③；④；⑤中，能用公式法分解因式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 应用平方差公式分解因式 一、单选题 1．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列多项式中，能用平方差公式分解的因式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 4．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 5．若，则m的值是（   ） A． B．2 C． D．4 二、填空题 6．分解因式_____． 7．下列各式能用平方差公式分解因式的有_____（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥． 8．若，则整式A为_________． 9．分解因式：_______________． 10．若，则括号内应填入的代数式为_______． 三、解答题 11．分解因式： (1)； (2)． 12．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 13．请利用因式分解将下列运算进行简化． (1)； (2)． 14．因式分解： (1)； (2)． 15．因式分解 (1)； (2)． 题型三 应用完全平方公式分解因式 一、单选题 1．已知下列多项式：①；②；③；④．其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（） A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③ 2．下列多项式中，能运用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．因式分解：为（   ） A． B． C． D． 4．若是一个完全平方式，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 5．如果因式分解的结果为____． 6．已知，则代数式的值为__________． 7．已知，，则代数式的值为______ 8．分解因式：_______． 9．已知a，b，c满足，，，则的值为__________． 三、解答题 10．因式分解：． 11．因式分解： (1)； (2)； (3)． 12．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型一 平方差公式的应用 一、单选题 1．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“天才数”．如，因此、都是“天才数”，则下面哪个数是“天才数”（    ） A． B． C． D． 2．已知，，是一个三角形三边的长，则代数式的值（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是零 D．可能是零 3．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“友谊数”．下列数中“友谊数”是（　　） A．502 B．204 C．250 D．520 4．可以被20和30之间的某两个整数整除，则这两个数是（   ） A．26，24 B．26，25 C．24，25 D．23，24 5．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为，所以11就是一个“智慧数”．下面4个数中不是“智慧数”的是（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 6．小晋是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：西、爱、我、山、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．美我山西 C．山西游 D．我爱山西 二、填空题 7．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（，．即均为“和谐数”），在不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为______． 三、解答题 8．已知为正整数，求证：能被16整除． 9．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如：因为，，；所以这三个数都是“智慧数”． (1)和这两个数是“智慧数”吗？若是，请表示成两个连续奇数的平方差形式； (2)设两个连续奇数是和（其中取正整数），由这两个连续奇数能构造出“智慧数“吗？为什么？ 题型二 运用平方差公式解决问题 一、填空题 1．规律探究题计算：_____． 二、解答题 2．阅读理解——智慧数． 定义：如果一个正整数能表示成两个正整数，的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如：，∴16就是一个“智慧数”，我们可以利用进行研究． (1)试写出不大于的3个智慧数； (2)请判断，是否为“智慧数”，若是“智慧数”，请将，按“”照样写出：若不是“智慧数”，则不需写： (3)现给出下列结论： ①被4除余2的正整数都不是“智慧数”； ②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”； ③所有的正奇数都是“智慧数”． 以上3个结论中，正确的结论是__________．（填序号即可） 3．阅读与思考 阅读下面的材料，并解决问题． 借助因式分解解决整除问题 一般地，如果一个正整数，其中能被整除，能被整除，那么就能被整除．例如：，其中6能被2整除，2能被2整除，所以12一定能被整除，即12一定能被4整除． 受此启发，小张认为，若为正整数，那么一定能被24整除．他的证明过程如下： 证明：． 为正整数，一定能被3整除． 能被8整除，一定能被整除，即一定能被24整除． 问题解决 (1)若为正整数，下列各数，一定能整除的是__________． A．8   B．10   C．14   D．17 (2)应用：已知是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知是正整数，能被36整除，请直接写出的最小值． 4．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是____________；（填序号） ①；②；③ (2)请你应用从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①若，求的值； ②琳琳家有一块正方形地，因为修路，把这块地的东边缩短了．村长建议在这块地（缩短后）的南边加长，变成长方形地．琳琳的父母认为得到了合理的补偿，于是就同意了，而琳琳却提出了反对意见，认为这样她家这块地的面积减少了．你认为琳琳的说法正确吗？为什么？ 5．阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例：“两两分组”： 解： 原式 例：“三一分组” 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)因式分解： ； (2)已知，，是的三边长， 且满足．试判断的形状． 6．运算能力从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （填选项）． A． B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 7．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作可以得到一个公式： ； (2)利用你得到的公式，计算下列各式： ①； ②． 题型三 整体思维分解因式 一、解答题 1．小红在翻阅数学资料时看到如图所示的阅读材料，请你根据阅读材料帮小红解决下列问题： 阅读材料 分解因式： 解：①将“”看成整体，令，则原式， ②再将还原，得到原式． 上述解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想 (1)因式分解：； (2)因式分解：． 2．先阅读材料，再解答问题： 分解因式：． 解：将“”看成一个整体，设， 则原式． 将代入，得原式． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． (1)分解因式：； (2)应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 3．阅读材料： 因式分解：． 解：令， 则， ． 材料中的解题过程用到的是“整体思想”，这是数学解题过程中常用的一种思想方法．请你运用这种思想方法解答下列问题： (1)因式分解：____________． (2)因式分解：． (3)求证：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 4．【阅读材料】因式分解： 解：，将看成整体，令，则原式，将M还原，则原式．上述解题过程用到的是“整体思想”，请用“整体思想”解决以下问题： 【数学理解】（1）因式分解：； 【拓展探索】（2）证明：无论a，b取何值时，的值一定是非负数． 5．阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式． 又如：因式分解． 我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式． 请根据上面的提示和范例解决下面问题： (1)因式分解：______； (2)已知，求的值； (3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 题型四 配方法分解因式求最值 一、单选题 1．不论x，y为何实数，的值总是（   ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．零 2．已知a、b满足等式，，，则x，y的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、最值问题、比较大小等方面都有广泛的应用．当______时，代数式的最小值是_______． 4．不论，取何实数，式子的值总是________． 三、解答题 5．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．若，利用配方法求M的最小值． 解：． ∵，， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)是一个完全平方式，求 ； (2)分解因式：； (3)若，求y的最大值； (4)当m，n为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 6．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 比如，因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以． 所以当时，即时，的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)求的最小值． (2)已知，则___________； (3)已知有理数x、y满足，求的最小值． 7．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 ； 例如：求代数式的最小值， ．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： ； (2)已知，（为任意实数），求的最小值． 题型五 运用分解因式判定三角形的形状 一、填空题 1．已知等腰三角形的两边长分别为，（，都为正整数），且，满足169，则此等腰三角形的周长为____________． 二、解答题 2．（1）用配方法分解因式_______． （2）当a，b为何值时，多项式有最小值，求出这个最小值． （3）已知a，b，c是的三条边，且满足，试判断的形状． 3．【阅读材料，掌握知识】爱动脑筋的康同学要把多项式分解因式，是这样想的：先把它的前两项、后两项分成两组，并分别提出公因式，，得到的结果中又会有公因式，于是再提出公因式，从而解决问题，解题过程如下． 原式 ． 这种方法称为分组法．分组法是中学数学解题中的一种重要思想方法．请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【理解知识，解决问题】 （1）将多项式分解因式的结果是 ． （2）因式分解： ． 【提炼思想，拓展应用】 （3）已知的三边长分别是，，，且满足，试判断的形状，并说明理由． 4．【阅读材料】 我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解． 例如：（此处可看作在原式上添加“”，也可看作将3拆分为“”）． 【解决问题】 (1)用配方法将分解因式； (2)用配方法将分解因式； (3)已知分别为等腰三角形的腰和底，且满足，求该等腰三角形的周长． 题型六 分组法分解因式 一、解答题 1．我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作分组分解法． 例如： ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项或多项后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）． (2)已知的三边长a，b，c满足，判断的形状并说明理由． 2．阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例：“两两分组”： 解： 原式 例：“三一分组” 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)因式分解： ； (2)已知，，是的三边长， 且满足．试判断的形状． 3．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知，，分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 题型七 实数范围内分解因式 一、单选题 1．在实数范围内因式分解，正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．在实数范围内分解因式：_________． 3．在实数范围内分解因式：________． 题型八 十字交叉相乘法分解因式 一、填空题 1．求不等式的解集有如下方法： 根据“异号两数相乘，积为负”可得（1）或（2） 解得（1）无解  （2） 所以不等式的解集为 请用上述方法直接求出不等式的解集：___________． 2．分解因式：________． 3．分解因式：_____． 二、解答题 4．因式分解： 5．根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 6．材料：如何将型的式子分解因式呢？我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：．例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (2)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (3)若利用十字相乘法可分解为（均为整数），求a和p的值． 一、填空题 1．已知为的三边，且满足，则的形状是______三角形． 二、解答题 2．材料一：整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． 材料二： 对于关于x的一元整式M，其奇数次项系数之和为m，偶数次项系数之和为n． 若，则当时，M的值为0；若，则当时，M的值为0． 例如，对于一元整式，由、得，所以把代入整式，得其值为0． 由此可以确定整式有因式，于是可设．分别确定p、q的值，再代入，就可以因式分解整式，这种因式分解的方法叫作“试根法”． 阅读上述两则材料，回答问题： (1)整式除以整式，商式是______，余式是______． (2)材料二中，______，______． (3)对于一元整式，必定有当______，其值为0． (4)根据材料一和材料二，因式分解______． 3．求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3. (1)仿照例题，用配方法求代数式的最小值． (2)若，求，的值 4．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．如多项式，因式分解的结果为，当时，各个因式的值是，，于是就可以把“1525425”作为一个七位数密码．当然也可以取另外一些适当的数字，得出新的密码． (1)已知多项式，当时，用上述方法生成的密码是什么？ (2)已知多项式，当m，n分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为10，16，请你求出第三个因式码． 5．阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为s，偶次项系数之和为t，若，则，若，则．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出m，n的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中________，________； (2)对于一元多项式，必定有f（________）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 6．【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 7． (1)【阅读与思考】 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． 请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________． (2)【理解与应用】 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： ①  __________； ②  __________． (3)【探究与拓展】 对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： ①  分解因式__________； ②  若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 8．按照要求解答： (1)如图①，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为（）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是______． (2)类似地，在棱长为的正方体上挖去一个棱长为（）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中几何体的体积．由此可以得到的因式分解的等式是______，并证明这个等式． (3)结合上述经验，将因式分解的结果是______． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 公式法分解因式 题型一 公式法分解因式的判定 一、单选题 1．下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平方差公式和完全平方公式的结构特征，逐个判断多项式是否符合即可得到结果． 【详解】解：①，不是完全平方项，不符合平方差公式结构，不能直接用公式法分解； ②，不符合两个公式的结构，不能直接用公式法分解； ③，不符合两个公式的结构，只能提取公因式，不能直接用公式法分解； ④，符合完全平方公式结构，能直接用公式法分解为； ∴能直接运用公式法分解因式的多项式共1个． 2．下列多项式，①，②，③，④能用公式法分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查公式法分解因式． 逐个分析每个多项式是否满足公式条件即可． 【详解】解：①为平方和，无公式可分解； ②，可用平方差公式； ③不符合完全平方或平方差公式结构，无法用公式法分解； ④，可用完全平方公式； 能用公式法分解的有②和④，共2个． 故选：B． 3．下列多项式：①；②；③；④．其中能用公式法因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】检查每个多项式是否适用于平方差公式或完全平方公式进行因式分解； 本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ① = = = ，能用平方差公式分解； ② = = ，能用平方差公式分解； ③ = ，能用完全平方公式分解； ④ 无法用公式法分解； 能用公式法因式分解的有①、②、③，共3个． 故选：C． 4．下列多项式能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握和是解答本题的关键． 公式法因式分解指使用平方差公式或完全平方公式．选项C符合完全平方公式，其他选项均无法用公式法分解． 【详解】解： 选项A： 为平方和，无法用公式法因式分解； 选项B：，无法用公式法因式分解； 选项C：，符合完全平方公式，能用公式法因式分解； 选项D：，使用提公因式法，无法公式法因式分解． 故选C． 5．下列各多项式中不能用公式法分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式和完全平方公式逐项分析即可得解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：A、，能用平方差公式分解，故不符合题意； B、，能用完全平方公式分解，故不符合题意； C、不能用公式法分解，符合题意； D、，能用完全平方公式分解，故不符合题意； 故选：C． 6．下列多项式在实数范围内不能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式是解答的关键．利用完全平方公式和平方差公式进行逐项判断即可． 【详解】解：A、在实数范围内不能用公式法因式分解，符合题意； B、，在实数范围内能用完全平方公式因式分解，不符合题意； C、，在实数范围内能用平方差公式因式分解，不符合题意； D、，在实数范围内能用平方差公式因式分解，不符合题意； 故选：A． 7．在因式①；②；③；④；⑤中，能用公式法分解因式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了公式法分解因式，掌握公式法分解因式的方法是解题的关键． 根据乘法公式，分解因式的概念“把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做分解因式”进行判定即可求解． 【详解】解：①，不能用公式法分解因式，不符合题意； ②，能用公式法分解因式，符合题意； ③，不能用公式法分解因式，不符合题意； ④，不能用公式法分解因式，不符合题意； ⑤，能用公式法分解因式，符合题意； 综上所述，能用公式法分解因式的有②⑤，共2个， 故选：A ． 8．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据完全平方公式进行判断，即可． 【详解】解：①，不能用完全平方公式分解因式； ②； ③，不能用完全平方公式分解因式； ④； ⑤．， 所以能用完全平方公式分解因式的有3个． 故选：C 【点睛】本题考查了因式分解——运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法；平方差公式：；完全平方公式：． 题型二 应用平方差公式因式分解 一、单选题 1．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式法因式分解，根据能用平方差公式法进行因式分解的多项式的特点，两个平方项且符号相反，进行判断即可． 【详解】解：A、，能用平方差公式分解因式，不符合题意； B、，能用平方差公式分解因式，不符合题意； C、，两个平方项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，符合题意； D、，能用平方差公式分解因式，不符合题意； 故选：C． 2．下列多项式中，能用平方差公式分解的因式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先明确能用平方差公式分解因式的条件：多项式为两项，两项符号相反，且每一项都可化为平方的形式，再逐一判断即可得出符合条件的个数． 【详解】解：①，两项同号，不符合，不能分解； ②，符合条件，能分解； ③，符合条件，能分解； ④不是多项式，无法进行因式分解； ⑤，符合条件，能分解； 综上符合条件的共有3个． 3．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用平方差公式分解因式，，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； B、不能用平方差公式分解因式，不符合题意； C、不能用平方差公式分解因式，不符合题意； D、，能用平方差公式分解因式，符合题意； 故选：D． 4．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法． 先提取公因式，再利用平方差公式继续分解，注意因式分解要彻底． 【详解】解： = ， 故选：C． 5．若，则m的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，把因式分解，然后根据对应系数相等解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 二、填空题 6．分解因式_____． 【答案】 【分析】先提公因式，再由平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 7．下列各式能用平方差公式分解因式的有_____（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】②③⑤⑥ 【分析】根据平方差公式分解因式的条件，即多项式为两个符号相反的平方项的差，逐个对各式进行判断即可． 【详解】解：能用平方差公式分解因式的多项式需满足：多项式为二项式，两项均可写成某个整式的平方，且两项符号相反， ① ，两项符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解因式； ② ，两项均可写成整式的平方，且符号相反，符合要求，能用平方差公式分解因式； ③ ，两项均可写成整式的平方，且符号相反，符合要求，能用平方差公式分解因式； ④ ，两项符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解因式； ⑤ ，两项均可写成整式的平方，且符号相反，符合要求，能用平方差公式分解因式； ⑥ ，两项均可写成整式的平方，且符号相反，符合要求，能用平方差公式分解因式． 8．若，则整式A为_________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的计算，熟练掌握整式的计算方法是解题的关键； 将右边 因式分解为 ，再进一步分解为 ，与左边比较，通过等式关系求出 A． 【详解】解：右边： 左边 ： 因此， 两边同时除以 （假设 且 ）， 得 ∴ 故答案为：． 9．分解因式：_______________． 【答案】 【分析】观察原式结构，可将其转化为平方差的形式，再利用平方差公式进行因式分解，最后化简括号内的整式即可． 【详解】解： ． 10．若，则括号内应填入的代数式为_______． 【答案】 【分析】将等号右侧的多项式利用平方差公式因式分解，对比已知因式即可得到所求代数式． 【详解】解： 三、解答题 11．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用提公因式法分解因式即可； （2）用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 12．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 13．请利用因式分解将下列运算进行简化． (1)； (2)． 【答案】(1)10000 (2)55 【分析】本题考查了提公因式法以及运用平方差公式进行简便运算，正确地运用平方差公式是解题的关键． （1）先提公因数25，再运用平方差公式进行简便运算； （2）运用平方差公式进行简便运算． 【详解】（1）解：原式= ； （2）解：原式= ． 14．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先把原式变形为，再提取公因式分解因式即可； （2）利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解． （1）利用平方差公式进行因式分解； （2）提取公因式后化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型三 应用完全平方公式因式分解 一、单选题 1．已知下列多项式：①；②；③；④．其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（） A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据完全平方公式的结构，逐个判断多项式是否符合该结构，即可求解． 【详解】解：①不符合完全平方公式的结构，不能用完全平方公式进行因式分解； ②，符合完全平方公式结构，能用完全平方公式进行因式分解； ③的两个平方项符号相反，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式进行因式分解； ④，符合完全平方公式结构，能用完全平方公式进行因式分解； 综上，能用完全平方公式进行因式分解的是②④． 2．下列多项式中，能运用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的结构特征，判断各选项是否符合该结构即可． 【详解】解：A、∵不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解，故 A错误． B、不符合完全平方公式结构，无法用完全平方公式因式分解，故B错误． C、的一次项不是两个平方项底数乘积的倍，不符合完全平方公式结构，故C错误． D、，符合完全平方和公式结构，可分解为，故 D正确． 3．因式分解：为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式进行分解即可． 【详解】解： ． 4．若是一个完全平方式，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查完全平方式的结构特征，根据完全平方公式的形式，对应系数列方程求解即可得到结果． 【详解】解：先将原式变形可得 ∵该多项式是完全平方式，完全平方公式符合 ∴一次项系数满足 即 分两种情况计算： 当时，解得 当时，解得 ∴的值为或． 二、填空题 5．如果因式分解的结果为____． 【答案】 【分析】利用完全平方公式解答即可． 【详解】解： 6．已知，则代数式的值为__________． 【答案】9 【分析】观察代数式，其符合完全平方公式的结构特征，可先利用完全平方公式对其因式分解，再将整体代入分解后的式子进行计算． 【详解】解： ， ， 原式 7．已知，，则代数式的值为______ 【答案】/ 【分析】根据已知得出，再将代数式因式分解，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴ 8．分解因式：_______． 【答案】 【分析】先分组，然后将前三项利用完全平方公式分解，得到一个整体的平方，再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解： ． 9．已知a，b，c满足，，，则的值为__________． 【答案】11 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 10．因式分解：． 【答案】 【分析】运用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：原式 ． 11．因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用平方差公式分解，再合并同类项，最后提公因式即可； （2）先合并同类项，再提公因式即可分解； （3）利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 12．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将看作整体，利用完全平方公式进行初步分解，再利用平方差公式进行分解； （2）先提取公因式，再利用平方差公式进行分解； （3）先分组分解，再提取公因式； （4）设，提取公因式后，用十字相乘进行分解，再将还原成即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：， 设， 原式， ∵， ∴原式． 题型一 平方差公式的应用 一、单选题 1．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“天才数”．如，因此、都是“天才数”，则下面哪个数是“天才数”（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平方差公式的应用，灵活推导 “天才数” 的特征是解题的关键．根据 “天才数” 的定义，设两个连续奇数为和（为整数），利用平方差公式计算得出 “天才数” 一定是的整数倍，进而验证各选项得到答案． 【详解】解： “天才数”可表示为两个连续奇数的平方差，设两个连续奇数为和，为整数， 利用平方差公式计算得：， “天才数”一定是的整数倍对选项验证：，不是整数，所以不是天才数； ，是整数，此时为整数，所以是天才数；同理98和100不是 “天才数”. 2．已知，，是一个三角形三边的长，则代数式的值（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是零 D．可能是零 【答案】A 【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解的应用，熟练进行因式分解，再结合三角形的三边关系，判断每个因式的符号，进而判断积的符号是解题的关键． 将代数式因式分解为平方差形式，利用三角形三边关系判断每个因式的正负，从而确定整个式子的符号. 【详解】解：∵ = = 又∵ 为三角形的三边， ∴ ，，， ∴ ，且 ， ∴ ∴ 代数式的值一定为负数. 故选：A． 3．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“友谊数”．下列数中“友谊数”是（　　） A．502 B．204 C．250 D．520 【答案】D 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．设较小的奇数为，较大的为，根据题意列出算式，求出解判断即可． 【详解】解：设较小的奇数为，较大的为， 根据题意得：， A．若，即，不为整数，不符合题意； B．若，即，不为奇数，不符合题意； C．若，即，不为整数，不符合题意； D．若，即，符合题意． 故选：D． 4．可以被20和30之间的某两个整数整除，则这两个数是（   ） A．26，24 B．26，25 C．24，25 D．23，24 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用（平方差公式的多次运用），解题的关键是利用平方差公式对逐步因式分解，找出20到30之间的因数． 用平方差公式多次分解，得到其因式，从中找出20到30之间的整数因数． 【详解】解： 其中，， 这两个数均在20和30之间， 因此能被26和24整除． 故选A． 5．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为，所以11就是一个“智慧数”．下面4个数中不是“智慧数”的是（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式分解因式的应用，牢记是解题的关键．设k是正整数，证明除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，即可得答案． 【详解】解：设k是正整数， ∵， ∴除1外，所有的奇数都是智慧数，所以，A，C选项都是智慧数，不符合题意； ∵， ∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，所以D选项是智慧数，不符合题意， B选项2026不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，符合题意． 故选：B． 6．小晋是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：西、爱、我、山、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．美我山西 C．山西游 D．我爱山西 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用，将原式提取公因式后，进一步利用平方差公式因式分解，得到四个因式，分别对应“爱”、“我”、“西”、“山”四个字，组合后即为“我爱山西”． 【详解】∵ 原式   ， 根据对应关系： → 我， → 爱， → 山， → 西， ∴ 结果呈现的密码信息为“我爱山西”． 故选：D． 二、填空题 7．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（，．即均为“和谐数”），在不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为______． 【答案】 【分析】根据“和谐数”的定义，设出两个连续奇数，推导得到“和谐数”的表达式，结合不超过的条件确定的范围，再化简求和即可求解． 【详解】解：设两个连续奇数分别为，，其中为正整数， 由平方差公式得，， 令， 解得， ∴所有不超过的“和谐数”之和为： ． 三、解答题 8．已知为正整数，求证：能被16整除． 【答案】 见解析 【分析】本题考查了因式分解、平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ， ∵为正整数， ∴能被16整除， ∴能被16整除． 9．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如：因为，，；所以这三个数都是“智慧数”． (1)和这两个数是“智慧数”吗？若是，请表示成两个连续奇数的平方差形式； (2)设两个连续奇数是和（其中取正整数），由这两个连续奇数能构造出“智慧数“吗？为什么？ 【答案】(1)是“智慧数”，；不是“智慧数” (2)能，理由见解析 【分析】（）根据“智慧数”的定义解答即可求解； （）利用平方差公式因式分解可得，进而根据是正整数即可判断求解； 本题考查了平方差公式的应用，理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵能表示成两个连续奇数的平方差形式， ∴是“智慧数”，， ∵不能表示成两个连续奇数的平方差形式， ∴不是“智慧数”； （2）解：两个连续奇数是和（其中取正整数），这两个连续奇数能构造出“智慧数”，理由如下： ∵ ， 又∵为正整数， ∴为正整数， ∴是“智慧数”， ∴和这两个连续奇数能构造出“智慧数”． 题型二 运用平方差公式解决问题 一、填空题 1．规律探究题计算：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式．先利用平方差公式分解，再计算即可得到结果． 【详解】解： 故答案为： 二、解答题 2．阅读理解——智慧数． 定义：如果一个正整数能表示成两个正整数，的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如：，∴16就是一个“智慧数”，我们可以利用进行研究． (1)试写出不大于的3个智慧数； (2)请判断，是否为“智慧数”，若是“智慧数”，请将，按“”照样写出：若不是“智慧数”，则不需写： (3)现给出下列结论： ①被4除余2的正整数都不是“智慧数”； ②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”； ③所有的正奇数都是“智慧数”． 以上3个结论中，正确的结论是__________．（填序号即可） 【答案】(1)不大于的智慧数有：3，5，7（答案不唯一） (2)24为“智慧数”，；不是“智慧数” (3)①② 【分析】（1）根据智慧数的定义求解； （2）根据智慧数的定义求解； （3）假设存在正整数、，使得是被4除余2的正整数，从而可得（为整数），再根据两数乘积是偶数，得出、均是偶数，于是有就能被4整除，得出矛盾，从而可得被4除余2的正整数都不是“智慧数”，由此可判断； ②设能被4整除的正整数为（为正整数且），根据， 不妨令，从而可得，于是可得，，从而说明除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，由此可判断． ③设k为正整数，根据，可得出除1外，所有的奇数都是智慧数，由此可判断． 【详解】（1）解：∵， ∴3是智慧数， ∵， ∴5是智慧数， ∵， ∴7是智慧数， ∴不大于的智慧数有：3，5，7（答案不唯一）； （2）不是“智慧数”， 是“智慧数”， 或； （3）假设存在正整数、，使得是被4除余2的正整数， 即（为整数）， 又， 即两数乘积是偶数， 由此知道、均是偶数， 那么就能被4整除， 这与被4除余2相矛盾， 因此，被4除余2的正整数都不是“智慧数”， 故正确； 若，则， ∵、为正整数，和同为正偶数， ∴只能且，解得，不符合为正整数的要求； 设能被4整除的正整数为（为正整数且）， 由于， 不妨令， 从而有， ∴． 解得，∴， 又∵为正整数且， ∴、为正整数， 因此，除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， 故②正确． 设k为正整数， ， ∴除1外，所有的奇数都是智慧数， 故③错误， 综上所述，正确的结论是①②． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了运用平方差公式进行运算，平方差公式分解因式，因式分解的应用，构造二元一次方程组求解等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 3．阅读与思考 阅读下面的材料，并解决问题． 借助因式分解解决整除问题 一般地，如果一个正整数，其中能被整除，能被整除，那么就能被整除．例如：，其中6能被2整除，2能被2整除，所以12一定能被整除，即12一定能被4整除． 受此启发，小张认为，若为正整数，那么一定能被24整除．他的证明过程如下： 证明：． 为正整数，一定能被3整除． 能被8整除，一定能被整除，即一定能被24整除． 问题解决 (1)若为正整数，下列各数，一定能整除的是__________． A．8   B．10   C．14   D．17 (2)应用：已知是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知是正整数，能被36整除，请直接写出的最小值． 【答案】(1)C (2)见解析 (3)2 【分析】本题主要考查了因式分解的应用（平方差公式、提取公因式法），熟练掌握因式分解的方法并结合整数的性质分析因数是解题的关键． （1）对因式分解，分析其因数，匹配选项； （2）先对用平方差公式因式分解，再化简，分析其是否含24的因数； （3）先因式分解，化简后根据能被36整除的条件，求n的最小值． 【详解】（1）解： ， ∵是正整数，是整数， ∴一定能被14整除， 故答案为：C； （2）解： ， ∵是正整数，和是连续整数， ∴能被2整除， ∴能被整除，即能被24整除； （3）解：， ∵能被36整除， ∴是整数， 即能被3整除， ∵是正整数，和是连续整数， ∴当时，能被3整除， 故的最小值为：2． 4．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是____________；（填序号） ①；②；③ (2)请你应用从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①若，求的值； ②琳琳家有一块正方形地，因为修路，把这块地的东边缩短了．村长建议在这块地（缩短后）的南边加长，变成长方形地．琳琳的父母认为得到了合理的补偿，于是就同意了，而琳琳却提出了反对意见，认为这样她家这块地的面积减少了．你认为琳琳的说法正确吗？为什么？ 【答案】(1)② (2)①；②琳琳的说法正确，理由见解析 【分析】本题考查了运用平方差公式进行运算，平方差公式与几何图形，平方差公式分解因式，因式分解的应用，列代数式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据图1、2分别写出阴影部分面积，再得出等式即可； （2）①将第一个式子的左边分解因式，再将代入求得； ②根据题意列出算式，用平方差公式进行计算，再合并同类项，然后作出判断． 【详解】（1）解：由图1得阴影部分面积为，由图2得阴影部分面积为， 所以可得到的等式是， 故答案为：②； （2）解：， 又，， 所以， 所以； 解：琳琳的说法正确， 理由：根据题意，原来地边长为，则面积为， 后来地的面积为， 所以她家这块地的面积减少了． 5．阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例：“两两分组”： 解： 原式 例：“三一分组” 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)因式分解： ； (2)已知，，是的三边长， 且满足．试判断的形状． 【答案】(1)①；② (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，熟练掌握因式分解的方法是解题关键； （1）①两两分组进行因式分解；②三一分组进行因式分解； （2）移项后两两分组进行因式分解求得的关系即可． 【详解】（1）解：①原式 ； ②原式 ； （2）解：， ， ， ∴或， 即：或， ∴是等腰三角形． 6．运算能力从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （填选项）． A． B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)A (2) (3) 【分析】本题考查了平方差公式的应用，包括图形验证、代数求值，掌握平方差公式的变形与交叉约分的技巧是解题的关键． （1）通过比较剪拼前后图形的面积，验证平方差公式； （2）利用平方差公式，代入已知值求； （3）将每个括号内的式子用平方差公式分解，再通过交叉约分简化计算． 【详解】（1）解：图①面积： 图②面积： 因为剪拼前后面积相等， 所以验证的等式是： 故选：A． （2）解：，， ， ． （3）解：原式 7．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作可以得到一个公式： ； (2)利用你得到的公式，计算下列各式： ①； ②． 【答案】(1) (2)①1 ②55 【分析】（1）用代数式表示图1剩余部分的面积以及图2的面积即可； （2）①根据平方差公式将原式化为即可； ②分组后，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图1中从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形，剩余部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：； （2）①原式 ； ② ． 题型三 整体思维因式分解 一、解答题 1．小红在翻阅数学资料时看到如图所示的阅读材料，请你根据阅读材料帮小红解决下列问题： 阅读材料 分解因式： 解：①将“”看成整体，令，则原式， ②再将还原，得到原式． 上述解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想 (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查整体思想在因式分解中的应用及完全平方公式的运用，核心是通过换元将复杂多项式转化为熟悉的完全平方式进行分解． （1）观察式子结构，可将看作一个整体，式子符合完全平方差公式的形式，直接套用公式分解后还原即可； （2）先将设为整体，把原式转化为关于该整体的二次式，展开后用完全平方公式分解，再对还原后的多项式继续利用完全平方公式分解，得到最终的因式分解结果． 【详解】（1）解：令，则原式， 将还原，得原式； （2）解：令，则原式， 将还原，得原式， ， 原式． 2．先阅读材料，再解答问题： 分解因式：． 解：将“”看成一个整体，设， 则原式． 将代入，得原式． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． (1)分解因式：； (2)应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，利用整体思想求解是解题的关键． （1）设，则原式，据此可得答案； （2）设，则可推出，即，根据偶次方的非负性求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则原式， 将代入，得原式； （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴该长方形的周长． 3．阅读材料： 因式分解：． 解：令， 则， ． 材料中的解题过程用到的是“整体思想”，这是数学解题过程中常用的一种思想方法．请你运用这种思想方法解答下列问题： (1)因式分解：____________． (2)因式分解：． (3)求证：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了整体思想在因式分解中的应用、完全平方公式等知识点，掌握将复杂代数式中的某一部分视为整体，再利用完全平方公式进行化简或证明的方法是解题的关键． （1）将视为一个整体，利用完全平方公式进行因式分解； （2）将视为一个整体，先将式子展开，再利用完全平方公式进行因式分解； （3）先将与建立联系，再将视为整体，通过完全平方公式变形，最后证明结果为整数的平方． 【详解】（1）解： 令，则原式变为 故． （2）解：令，则， ． （3）证明： 令，则上式 为正整数， 也为正整数， ∴式子的值一定是某个整数的平方． 4．【阅读材料】因式分解： 解：，将看成整体，令，则原式，将M还原，则原式．上述解题过程用到的是“整体思想”，请用“整体思想”解决以下问题： 【数学理解】（1）因式分解：； 【拓展探索】（2）证明：无论a，b取何值时，的值一定是非负数． 【答案】（1）；（2）见详解 【分析】（1）令，根据题中所给方法进行求解即可； （2）令，然后去括号，再根据题中所给方法进行因式分解，然后根据平方的非负性即可得证． 【详解】（1）解：将看成整体，令， 则原式， 将A还原，则原式． （2）证明：将看成整体，令， 则原式， 将B还原，则原式， ∵， ∴无论a，b取何值时，的值一定是非负数． 5．阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式． 又如：因式分解． 我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式． 请根据上面的提示和范例解决下面问题： (1)因式分解：______； (2)已知，求的值； (3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题以整体换元法为背景考查了完全平方公式的应用，关键是要找到整体即可解答． （1）将看作整体换元，利用完全平方公式即可求解； （2）将看成整体换元，即可求解； （3）将中第一项与第四项结合，第二项第三相结合展开，利用整体换元即可求解． 【详解】（1）解：（1）将看成整体，令， 则原式， 再将a还原，得到原式， 故答案为：； （2）∵， ∴ ∴ ； （3）证明：设这连续整数分别为n，，，，（n为整数）， 则 将看成整体，令， 则原式 ， 再将b还原，得到原式， ∵n为整数， ∴为整数， 故式子的值一定是某一个整数的平方． ∴四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方 题型四 配方法因式分解求最值 一、单选题 1．不论x，y为何实数，的值总是（   ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．零 【答案】A 【分析】利用配方法把原式变形，再根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】 ∵， ∴， ∴的值总是正数． 2．已知a、b满足等式，，，则x，y的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题采用作差法比较大小，对差因式分解后，利用平方数的非负性判断x与y的大小关系，用到了完全平方公式因式分解的知识． 【详解】解： ， ∵任何实数的平方都满足， ∴， 即． 二、填空题 3．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、最值问题、比较大小等方面都有广泛的应用．当______时，代数式的最小值是_______． 【答案】 3 3 【分析】本题利用配方法将二次多项式变形为完全平方式与常数的和，再根据平方的非负性求解代数式的最小值及对应的值． 【详解】解：对代数式进行配方，得． ， ∴当，即时，代数式取得最小值，最小值为． 4．不论，取何实数，式子的值总是________． 【答案】非负数 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，利用完全平方公式将原式变形为，根据平方的非负性，得出表达式值总是非负数． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴不论，取何实数，式子的值总是非负数， 故答案为：非负数． 三、解答题 5．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．若，利用配方法求M的最小值． 解：． ∵，， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)是一个完全平方式，求 ； (2)分解因式：； (3)若，求y的最大值； (4)当m，n为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2) (3)132 (4)，，最小值为2016 【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征即可确定出k的值； （2）把化为的形式，先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解； （3）首先把y配方写成，根据平方的非负性得y的最大值； （4）用拆项的方法首先把多项式化为的形式，进一步分解因式，再根据平方的非负性求出多项式最小值． 【详解】（1）解：∵是一个完全平方式， ∴． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴． ∴当时，y有最大值，最大值为132； （4）解： ， 当，时代数式有最小值， 解得，，最小值为2016． 6．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 比如，因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以． 所以当时，即时，的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)求的最小值． (2)已知，则___________； (3)已知有理数x、y满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）根据配方法把原式变形为，再根据非负数的意义解答即可； （2）根据完全平方公式把原式变形为，再根据非负数的意义，可得x，y的值，即可求解； （3）根据题意可得，再根据非负数的意义解答即可． 【详解】（1）解：， 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以， 即的最小值为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0． 所以， 即的最小值为1． 7．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 ； 例如：求代数式的最小值， ．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： ； (2)已知，（为任意实数），求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过添加9构造完全平方式，再减去9使原式值不变，转化为平方差公式，最后分解为； （2）先计算，添加构造完全平方式，再减去，转化为，利用平方非负性得最小值为，即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）∵，为任意实数）， ∴ ， ∵， ∴ ∴当时，的最小值是． 【点睛】解决本题的关键是通过添加适当的项构造完全平方式，结合平方差公式分解因式、利用非负数性质求字母值，以及通过完全平方式的非负性求代数式的最值． 题型五 运用因式分解判定三角形形状 一、填空题 1．已知等腰三角形的两边长分别为，（，都为正整数），且，满足169，则此等腰三角形的周长为____________． 【答案】7或8或11 【分析】本题考查的是因式分解和三角形三边之间的关系，解决本题的关键是熟练掌握这些知识点． 由给定方程解出，再根据非负数的性质求出、的值，最后根据等腰三角形的性质分类讨论周长． 【详解】解：，满足， ，即 ， 解得：． 为正整数， 当时，，当时，， 当时，，若腰为2，则三边为，满足三角形三边关系，周长为7； 若腰为3，则三边为，满足三角形三边关系，周长为8． 当时，，若腰为5，则三边为，满足三角形三边关系，周长为11； 若腰为1，则三边为，但，不满足三角形三边关系，故舍去． 综上，周长为7或8或11． 故答案为：7或8或11． 二、解答题 2．（1）用配方法分解因式_______． （2）当a，b为何值时，多项式有最小值，求出这个最小值． （3）已知a，b，c是的三条边，且满足，试判断的形状． 【答案】（1）；（2）当时，多项式有最小值，最小值为4；（3）是等腰三角形 【分析】本题主要考查了分解因式，等腰三角形的定义，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）把原式变形为，利用完全平方公式分解因式得到，据此利用平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法可得，再根据非负数的性质求解即可； （3）利用完全平方公式分解因式得到，则由非负数的性质可得a、b、c的值，进而可得答案． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵， ∴，当且仅当时等号成立， 故此时， ∴， ∴当时，多项式有最小值，最小值为4； （3）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 3．【阅读材料，掌握知识】爱动脑筋的康同学要把多项式分解因式，是这样想的：先把它的前两项、后两项分成两组，并分别提出公因式，，得到的结果中又会有公因式，于是再提出公因式，从而解决问题，解题过程如下． 原式 ． 这种方法称为分组法．分组法是中学数学解题中的一种重要思想方法．请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【理解知识，解决问题】 （1）将多项式分解因式的结果是 ． （2）因式分解： ． 【提炼思想，拓展应用】 （3）已知的三边长分别是，，，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）是等边三角形，见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用分组分解法分解因式、利用完全平方公式判断三角形形状，通过分组提取公因式或运用公式逐步分解． （1）观察多项式，将前两项和后两项分组，即和，分别提取公因式，得到和，注意到，转化为，此时两项有公因式，提取后得； （2）观察多项式，分组为和，分别提取公因式，得到和，两项有公因式，提取后得，再用平方差公式分解为； （3）已知等式，移项整理为．分组为和，利用完全平方公式转化为．因平方数非负，两非负数和为0则各自为0，故，三角形为等边三角形． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3）， ， ， ， ，， ，， ， △是等边三角形． 4．【阅读材料】 我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解． 例如：（此处可看作在原式上添加“”，也可看作将3拆分为“”）． 【解决问题】 (1)用配方法将分解因式； (2)用配方法将分解因式； (3)已知分别为等腰三角形的腰和底，且满足，求该等腰三角形的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分解因式，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，掌握配方法是解题的关键． （1）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）根据题意可得，则，据此根据非负数的性质求出a、b的值，再根据等腰三角形的定义和构成三角形的条件求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ， ， ∴ ， 若该等腰三角形的三边长为2，1，1， ∵，不满足三角形的三边关系， ∴不能构成三角形，舍去； 若该等腰三角形的三边长为2，2，1， ∵， ∴可构成三角形， ∴此时等腰三角形的周长为． 题型六 分组法分解因式 一、解答题 1．我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作分组分解法． 例如： ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项或多项后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）． (2)已知的三边长a，b，c满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)①，② (2)为等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）①将式子整理为，再结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可； ②将式子整理为，再结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）将整理得到，再结合，b，c均为正数，分析求解，即可解题． 熟练掌握因式分解方法，以及正确理解新方法是解题的关键． 【详解】（1）解：①． ②． （2）解：为等腰三角形．理由如下： ． 的三边长a，b，c ，b，c均为正数， ， ， 为等腰三角形． 2．阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例：“两两分组”： 解： 原式 例：“三一分组” 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)因式分解： ； (2)已知，，是的三边长， 且满足．试判断的形状． 【答案】(1)①；② (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，熟练掌握因式分解的方法是解题关键； （1）①两两分组进行因式分解；②三一分组进行因式分解； （2）移项后两两分组进行因式分解求得的关系即可． 【详解】（1）解：①原式 ； ②原式 ； （2）解：， ， ， ∴或， 即：或， ∴是等腰三角形． 3．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知，，分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)的形状是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了直角三角形的判定，因式分解，用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，平方差公式及完全平方公式，合理分组、综合运用因式分解的几种方法是解题关键． （1）认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再整体运用平方差公式进行分解； （2）等式左边的多项式拆开分组，构造成三个完全平方式的和等于0的形式，利用非负数的性质求出a、b、c的关系即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：∵， ∴， ∴， ， ，，， ， 即， 的形状是直角三角形． 题型七 实数范围内分解因式 一、单选题 1．在实数范围内因式分解，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】实数范围内的因式分解，需分解彻底，且结果中根式要化为最简，利用提取公因式结合平方差公式分解即可． 【详解】解： A．未彻底分解，不合题意； B．二次根式未化简，不合题意； C．因式分解正确，符合题意； D．括号内符号错误，不合题意． 二、填空题 2．在实数范围内分解因式：_________． 【答案】 【分析】先提取公因式x，然后根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 3．在实数范围内分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查在实数范围内分解因式，掌握相关知识是解决问题的关键．将原式变形为，利用完全平方公式可得，再用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型八 十字交叉相乘法分解因式 一、填空题 1．求不等式的解集有如下方法： 根据“异号两数相乘，积为负”可得（1）或（2） 解得（1）无解  （2） 所以不等式的解集为 请用上述方法直接求出不等式的解集：___________． 【答案】 【分析】先对不等式左边因式分解，再根据“异号两数相乘，积为负”将原不等式转化为两个一元一次不等式组，分别求解不等式组后即可得到原不等式的解集． 【详解】解：， ， ∴（1）或（2）， 解得（1）；（2）无解； ∴不等式的解集为． 2．分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查十字相乘法分解因式，掌握相关知识是解题关键． 使用十字相乘法分解二次三项式即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 3．分解因式：_____． 【答案】 【分析】此题考查了十字相乘法的分解因式，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．根据十字相乘法分解因式即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 二、解答题 4．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解的综合运用，涉及十字相乘法分解因式．先将看作一个整体，把原式转化为关于该整体的二次三项式，用十字相乘法分解；再对分解后得到的因式中可继续分解的部分，再次用十字相乘法分解，直至所有因式在有理数范围内均不能再分解． 【详解】解：原式， ． 5．根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①把化为，然后利用十字相乘法分解因式； ②把化为，然后利用十字相乘法分解因式； （2）先把多项式看作关于的二次三项式，然后利用十字相乘法分解因式； （3）先把多项式分成和两组，再把两组分别分解，然后利用提公因式法分解因式． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解： ； （3）解： ． 6．材料：如何将型的式子分解因式呢？我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：．例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (2)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (3)若利用十字相乘法可分解为（均为整数），求a和p的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式的因式分解： （1）直接根据十字相乘法分解即可； （2）根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）解：； 故答案为： （3）解：由题意得， 均为整数， ， ． 一、填空题 1．已知为的三边，且满足，则的形状是______三角形． 【答案】等腰 【分析】将已知等式因式分解后，结合三角形三边关系得到三角形边的等量关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：， ， 移项得， 提取公因式得， 为的三边， 根据三角形三边关系可知，即， ，即， 是等腰三角形． 二、解答题 2．材料一：整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． 材料二： 对于关于x的一元整式M，其奇数次项系数之和为m，偶数次项系数之和为n． 若，则当时，M的值为0；若，则当时，M的值为0． 例如，对于一元整式，由、得，所以把代入整式，得其值为0． 由此可以确定整式有因式，于是可设．分别确定p、q的值，再代入，就可以因式分解整式，这种因式分解的方法叫作“试根法”． 阅读上述两则材料，回答问题： (1)整式除以整式，商式是______，余式是______． (2)材料二中，______，______． (3)对于一元整式，必定有当______，其值为0． (4)根据材料一和材料二，因式分解______． 【答案】(1)；0 (2)； (3) (4) 【分析】本题考查了整式的除法，因式分解的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据长除法即可求解； （2）根据长除法确定整式除以整式的商式，即可确定p、q的值； （3）根据材料二的内容即可求解； （4）由（3）得，整式有因式，再利用长除法确定整式除以整式的商式，得到，再利用十字相乘法因式分解，即可得出答案． 【详解】（1）解：整式除以整式的长除法如下： 因此，商式是，余式是0． 故答案为：；0； （2）解：整式除以整式的长除法如下： 因此，商式是，余式是0． 则 所以，． 故答案为：；； （3）解：对于一元整式， 由、得， 所以把代入整式，得其值为0． 故答案为：； （4）解：由（3）得，整式有因式， 整式除以整式的长除法如下： 因此，商式是，余式是0． 则， 又因为， 所以 故答案为：． 3．求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3. (1)仿照例题，用配方法求代数式的最小值． (2)若，求，的值 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）用配方法，将改写为，由，可得，即可求解； （2）移项，配方可得，由，，可得，，即可求解． 【详解】（1）解：， ∵ ， ∴， ∴代数式的最小值为． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴ ，． 4．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．如多项式，因式分解的结果为，当时，各个因式的值是，，于是就可以把“1525425”作为一个七位数密码．当然也可以取另外一些适当的数字，得出新的密码． (1)已知多项式，当时，用上述方法生成的密码是什么？ (2)已知多项式，当m，n分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为10，16，请你求出第三个因式码． 【答案】(1)152329 (2)178 【分析】本题考查因式分解的应用，因式分解的意义，解决本题的关键是通过对多项式分解因式，代入数值得到因式码并按顺序排列形成密码． （1）对多项式分解因式，然后代入计算各因式的值，按从小到大顺序排列因式码形成密码； （2）对多项式分解因式，再根据前两个因式码为10，16，得到方程组：，求出m、n，然后将m、n代入第三个因式求出结果即可． 【详解】（1）解： ， 当时， ， ， ∴用上述方法生成的密码是152329； （2）解： ， ∵m，n分别取正整数，，密码的前两个因式码为10，16， ∴， 解得：， ∴ ． 即第三个因式码为178． 5．阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为s，偶次项系数之和为t，若，则，若，则．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出m，n的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中________，________； (2)对于一元多项式，必定有f（________）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘法与因式分解； （1）根据题意，展开即可求解； （2）根据定义，可得奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，即可求解； （3）根据（2）的结论，设，进而即可求解． 【详解】（1）解：依题意，设 ∴ 解得：， 故答案为：，． （2）解：∵ 其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为 ∴ （3）∵ ∴多项式中有因式 设 ∴ ∴， ∴ 6．【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；② 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，理解“十字相乘法”的内涵是正确解答的关键． （1）利用如图1、图2，仿图3的“十字”可以对进行因式分解； （2）①利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解；②利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （3）①利用题中的“十字”可以对多项式进行因式分解；②利用如解析图所示的“十字”可以对多项式进行因式分解为，然后结合有理数的乘法运算分析求解即可． 【详解】 解：（1）， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①∵ ∴； ②∵ ∴， ∴， 故答案为：； （3）①根据题意得： ∴， 故答案为：； ②， ∴， ∴， ∵、均为整数， ∴为奇数，不能为3的倍数， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴． 7． (1)【阅读与思考】 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． 请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________． (2)【理解与应用】 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： ①  __________； ②  __________． (3)【探究与拓展】 对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： ①  分解因式__________； ②  若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 【答案】(1) (2)； (3)；43或 【分析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，写出结果即可． （2）①把二次项系数2写成，常数项写成，满足，写出分解结果即可． ②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，写出分解结果即可． （3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，写出分解结果即可． ②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，写出分解结果，计算即可． 【详解】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，所以． 故答案为：． （2）①把二次项系数2写成，，满足，所以． 故答案为：． ②把项系数6写成，把项系数2写成，满足， 所以． 故答案为：． （3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件， 所以． 故答案为：． ②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件， 所以m=或m=， 故m的值为43或-78． 【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，读懂阅读材料，理解其中的内涵是解题的关键． 8．按照要求解答： (1)如图①，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为（）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是______． (2)类似地，在棱长为的正方体上挖去一个棱长为（）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中几何体的体积．由此可以得到的因式分解的等式是______，并证明这个等式． (3)结合上述经验，将因式分解的结果是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过两种方法计算同一阴影面积，验证平方差公式； （2）通过两种方法计算同一几何体体积，推导并证明立方差公式； （3）拆项构造立方差公式，结合提公因式、完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解：据图可知，对于阴影部分的面积， 方法：； 方法：， 故． （2）解：据图可知，对于图中几何体的体积， 方法：； 方法：， 故， 证明： ， 左边， 左边右边． （3）解： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $