数学终极押题猜想（江苏南通专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 以考情分析为基础，通过梯度化题型设计，系统整合函数、几何等八大模块，强化新定义理解与动态探究，培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数综合|7题|新定义转化、含参推理、动态定值分析|从一次函数到反比例与二次函数综合，构建代数推理体系| |几何综合|8题|模型化探究、动态几何分析、跨模块融合|以特殊四边形为载体，串联相似、全等与勾股定理应用| |实际应用|9题|数学建模、方案优化、最值决策|从方程到函数，建立实际问题与数学知识的转化路径| |圆综合|8题|切线判定、垂径定理、圆与三角形综合|围绕圆的核心性质，整合几何证明与计算方法|

2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 函数综合压轴题 1 押题猜想二 几何综合压轴题 5 押题猜想三 实际应用压轴题 9 押题猜想四 圆的综合压轴题 52 押题猜想五 统计应用解答题 13 押题猜想六 函数图象小压轴（选填） 16 押题猜想七 几何综合计算题（填空） 27 押题猜想八 函数综合计算题（填空） 30 押题猜想一 函数综合压轴题 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【原创题】定义：在平面直角坐标系中，若某函数的图象上存在点P（x，y），满足y＝mx+m，m为正整数，则把该函数称为“ m 倍函数”．该点称为该函数的“ m倍点”．例如：“2倍函数”，其“2倍点”为(-1,0)． (1)函数y=-3x是“3倍函数”吗？ (2)求函数的图像上“2倍点”的坐标 (3)若关于x的函数的图像上有两个“2倍点”，求m的取值范围； 分析有理·押题有据 从近五年南通的中考情况来看，本部分多以大题的压轴题呈现，函数综合题近三年南通中考函数压轴题逐步弱化几何图形，转向纯代数与坐标运算；从二次函数为主，转向反比例与二次并重；强化含参推理、新定义理解、动态定值，坚持三问梯度设问，重计算与逻辑，轻复杂几何证明。总体来说呈现“偏代数、重计算、无图”的特点，对学生的综合分析能力、计算能力、逻辑推理能力要求比较高。 终极猜想·精练通关 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线，双曲线，若点关于直线的对称点恰好落在双曲线上，则称点为“镜像点”． (1)已知点为“镜像点”，求的值； (2)根据“镜像点”的定义，判断下列说法是否正确，对的打“”，错的打“”． ①符合要求的“镜像点”都在函数的图象上； ②将函数的图象沿轴翻折，再向右平移个单位长度，得到的图象上的点都是“镜像点”； ③若直线经过“镜像点”，则该直线与坐标轴围成的三角形面积为． (3)关于直线对称的抛物线，与轴的交点也为“镜像点”，点为该抛物线上异于点的“镜像点”．当时，以点为顶点的抛物线的最大值记为，最小值记为，令，若，求的取值范围． 2．（2026·广东佛山·一模）在平面直角坐标系中，我们约定： ①不重合的两点与为一对对换点； ②若某函数图象上至少存在一对对换点，则称该函数为对换函数． 根据约定，解答下列问题： (1)反比例函数是对换函数吗？如果是，直接写出该函数图象上的一对对换点坐标；如果不是，说明理由． (2)若关于x的一次函数是对换函数，则k的值是多少？ (3)对换函数中的实数m取满足条件的最小正整数时，求函数图象上的一对对换点坐标． 3．（2026·广东佛山·一模）【问题背景】对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数、反比例函数和二次函数进行了相关探究． 【探究1】一次函数图象的不动点： (1)①若一次函数是“不动点函数”，则该函数图象上的不动点坐标是______； ②若一次函数不是“不动点函数”，请写出一个满足条件的一次函数____________． 【探究2】反比例函数图象的不动点： (2)反比例函数一定是“不动点函数”吗？请说明理由． 【探究3】二次函数图象的不动点： (3)若二次函数的顶点为该函数图象上的一个不动点，求证：二次函数的图象上有两个不同的不动点． 4．（2026·辽宁盘锦·一模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”． (1)①判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标； ②判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标； (2)设函数，的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值； (3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请直接写出m的取值范围． 5．（2026·山西·一模）阅读与思考 下面是小陈同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 利用函数的变化趋势研究代数式值的变化情况 对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式，有时候，需要把一个假分式化为整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式，例如，，观察发现，当部分分式中的分母为一次式时，可以借助反比例函数来研究该分式值的变化情况． 我们已知学习过反比例函数，当时，随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近0．对于部分分式我们可以令，则函数，可以看作是由函数先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的新函数．那么当时，随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近0，此时的值无限接近．例如，已知部分分式，我们令，当时，随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近0，所以的值无限接近2． …… 任务： (1)将分式化为部分分式． (2)函数可以由哪个反比例函数经过怎样的平移得到？ (3)拓展：当时，分式的值随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近，请你直接写出的最小值以及的值． 6．（2026·江苏扬州·一模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“集团平衡点”．例如，点是函数的图象的“集团平衡点”． (1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“集团平衡点”的所有函数是__________（填序号） (2)设函数与的图象的“集团平衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值； (3)若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有1个“集团平衡点”时，求的坐标． 7．（2026·湖南衡阳·一模）我们约定：点为点的“倍位似点”，当点为函数图象上任意一点时，点均在函数图象上，则称函数为函数的“倍位似函数”．例如，点为点的“2倍位似点”，点为函数图象上任意一点，点均在函数图象上，则称函数为函数的“2倍位似函数”．根据该约定，解答下列问题： (1)①点的“3倍位似点”为 （填坐标）； ②点为函数图象上任意一点，则函数的“3倍位似函数”为 （填解析式）； (2)函数的“2倍位似函数”图象与直线只有一个公共点，求的值； (3)函数为函数的“2倍位似函数”，直线与函数图象交于，两点，与函数图象交于两点，函数的图象交于两点，这三条线段能否组成一个直角三角形？若能，求出直角三角形面积的最小值；若不能，请说明理由． 押题猜想二 几何综合压轴题 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【改编题】如图1，一副三角板分别记作，．其中，，，，点在边上，点在射线上，连接，过点作的垂线交射线于点． (1)如图2，当点在线段上时，请写出和的数量关系，并说明理由． (2)当点在线段延长线上时，依题意补全图形，不要求尺规作图，并直接写出（1）中结论是否成立，不必说明理由． (3)在（2）的条件下，若，的面积等于3，请直接写出CF的长． 分析有理·押题有据 南通中考数学几何压轴题多为解答最后一题，分值 12–13 分，采用 “三小问梯度设问”，基础证明、中档计算、压轴探究层层递进。近几年以矩形、正方形、三角形为核心载体，高频考查相似、全等、勾股与分类讨论。命题呈现模型化明显、几何与函数方程结合、重推理探究的特点，未来将更侧重动态综合、素养导向强化、跨模块融合加深，创新情境与数学思想渗透，计算简洁但逻辑要求高。 终极猜想·精练通关 1．（2026·河南郑州·二模）综合与实践课上，老师请同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)如图1，折叠矩形纸片，使点与点重合，折痕为，将纸片展开，连接，，则四边形的形状是________． [深入探究] (2)如图2，在矩形纸片中，点，分别是，边上的点，且，将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，，得到四边形，请你猜想四边形的形状，并给出证明． [拓展应用] (3)在（2）的条件下，若，，当直线与矩形的一边平行时，请直接写出的长． 2．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）在平行四边形中，进行如下折叠： (1)如图1，将沿折叠，使点C与点A重合，折痕与、边分别交于点E、F，求证：； (2)如图2，E、F分别是、边上的动点，连接，将沿折叠，点D落在点处，点C落在点处，交于点G，分别交、于点H、K，如果，请猜想和的数量关系，并说明理由； (3)在图1的基础上，连接与交于点H，如图3所示，若，，，请直接写出的面积． 3．（2026·江苏南通·一模）平移是一种重要的图形变换，在平面几何中，广泛用于解决各种问题． 【尝试解决】 如图1，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，且． (1)过点D作交边于点G，则，的数量关系是 ． (2)在（1）的基础上，求证：． (3)【类比应用】 如图2，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，直线交于点Q，且．若点P是的中点，，求的长． (4)【拓展提升】 如图3，矩形中，点E，F分别在边，上，点P在射线上，直线交于点Q．若，，，，求的值． 4．（2026·安徽亳州·一模）按要求完成下列各题： (1)如图1，点E是正方形的边上一点，连接，过点D作于点G，交边于点F， ①求证：； ②如图2，连接EF，以为邻边构造平行四边形，连接．求的值； (2)如图3，矩形中，，点F是边的中点，连接，过点A作于点G，交边于点E，连接，以为邻边构造平行四边形，连接，求的长． 5．（2026·甘肃天水·二模）如图，在正方形中，，M为上的一动点，连接，将绕点A按顺时针方向旋转，与的延长线交于点N． (1)如图1，求证：． 【深入探究】 (2)如图2，将沿翻折得到，连接，试探究在点M移动的过程中，的面积是否发生变化．若发生变化，请求出的面积的最小值；若不发生变化，请求出的面积． 【拓展延伸】 (3)如图3，在（2）的条件下，点E在线段上，点F在线段上，连接，．当时，求四边形的面积． 6．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图1，在中，点是边的一点，连接．若． (1)【初步感知】直接写出的值． (2)【问题解决】如图2，作射线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论． (3)【变式探究】如图3，连接与交于点，连接． ①若，求证：； ②当时，与之间的关系是，求的值． 7．（2026·山东淄博·一模）【问题情境】 某数学兴趣小组在学习了图形旋转的相关知识之后，在等腰三角形纸片上进行了关于旋转的研究性学习．中，．同学们在边上取点，连接，将以点为中心旋转，由于同学们所取点的位置不同，的角度大小不同，产生了以下两种方案． 【探究感悟】 小明方案：取，旋转使点的对应点落到线段上； (1)如图1，小明发现，此时点的对应点与点的连线恰好平分，则线段的长是_____； 【深入探究】 小刚方案：如图2，旋转使点的对应点落到点上，折叠使点与点D重合，折痕为； (2)在图2中找出与相等的角，并证明； (3)如图3，F为线段上的点，．若，求的长． 8．（2026·山东潍坊·一模）【问题提出】 在中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，连接，过点D作的垂线交直线于点F．探究、、之间的数量关系． 【特例探究】 (1)如图1，当时，证明：； (2)如图2，当时，数学兴趣小组给出了一种解题思路： 取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M． 易得为等腰直角三角形，由（1）可得，进而由，，推导得、、之间的数量关系是：_________； (3)如图3，当时，探究、、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 (4)当时，写出、、之间的数量关系：_____． 押题猜想三 实际应用压轴题 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【改编题】新考法中堂画属于立轴类装裱形式，通常为竖幅大幅作品，悬挂于堂屋正中，它迎门而悬、地位显赫．两旁通常配以楹联或书画，称作“对幅”，由两条字数相等、内容相连、画心尺寸与装裱规格完全相同的书画作品组合而成．某工艺品由一幅中堂画和两条对幅组成，某厂一个工人每天能装裱对幅6条或中堂画10幅，现打算安排39名工人完成该工艺品装裱． (1)如何安排可使每天装裱的工艺品配套？ (2)某书画经销商计划购进这种中堂画、对幅进行销售，有关信息如下表： 原进价 零售价 成套 中堂画 a元/幅 750元/幅 售价：1000元/套 说明：一幅中堂画和两条对幅为一套 对幅 元/条 330元/条 已知用2200元购进的对幅条数与用5000元购进的中堂画数量相同． ①求表中a的值； ②该经销商计划购进对幅的条数比中堂画的5倍还多30条，且中堂画和对幅的总数量不超过270幅（条）．若将一半的中堂画成套销售，其余中堂画、对幅以零售方式销售，请问怎样进货，才能在全部售完时获得最大利润？ 分析有理·押题有据 从近五年南通的中考情况来看，南通中考数学实际应用题，固定为解答题中档题，分值 为10 分，多 2–3 小问递进设问。题型以分式方程的应用、二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用为主，常结合不等式、分段函数、解直角三角形考查；情境贴近民生、本地产业与时代热点，文字信息量大，重数学建模。命题趋势：综合化、情境真实化，突出方案选择与最值决策，弱化纯套路题，强调审题提取信息与结合实际取舍，对建模与规范答题要求更高。 终极猜想·精练通关 1．（2026·重庆·一模）交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在2月和3月分两次购入甲、乙两款头盔．2月购入了第一批，购入甲款头盔的数量是购入乙款头盔数量的2倍还多50，甲、乙两种头盔的购入单价分别为40元和60元，共用去资金23000元． (1)求第一批购入甲、乙两款头盔的数量； (2)3月恰逢开学季，随着家长接送孩子，头盔需求量增加．甲款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数，涨幅不超过）．批发店决定，若甲款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批甲款头盔的数量减少2个．因乙款头盔单价与第一批相同，所以乙款头盔的购入数量在第一批乙款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了3100元，求甲款头盔的单价上涨了多少元？ 2．（2026·山东潍坊·一模）随着电动汽车走进千家万户，电动车充电站成为了日常出行的重要配套设施．某电动车充电站设有快充和慢充两种充电桩，电动车充电时的充电单价由电价和服务费组成，其中电价为元/度． (1)甲公司调查发现，快充桩日使用次数与快充充电单价（元/度）满足：；慢充桩日使用次数与慢充充电单价（元/度）满足；快充桩和慢充桩的平均充电量分别为度/次、度/次．某天，快充充电单价比慢充充电单价多元/度，且一个快充桩与一个慢充桩的充电总量相等，求当日的快充充电单价； (2)乙公司调查发现，在另一独立运营模式下，每个快充桩的日充电量与快充充电单价（元/度）满足：快充充电单价为元/度时，日充电量为度；快充充电单价每降价元/度，日充电量增加度．其中，快充充电单价满足．每个快充桩的日收益日充电量（充电单价电价）．快充充电单价是多少时，每个快充桩的日收益为元？ 3．（2026·湖北襄阳·一模）综合与实践问题情境：在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前n行的点数计算进行探究活动．如图1，这是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，···第n行有n个点． (1)数学建模：容易发现10是三角形点阵前4行的点数和，但是遇到较大的点数，逐个数点很繁琐．在探究的过程中，将一个正立的三角形点阵倒立，再与正立的原三角形点阵拼成一个平行四边形点阵（如图2），三角形点阵的点数和为平行四边形点阵中点的数量的一半．由此得图1中三角形点阵前8行的点数和是________．图1中三角形点阵前n行的点数和是________． (2)问题解决：一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前一个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？ 4．（2026·四川广元·一模）某玩具总店购进一批益智玩具进行销售，若每个定价50元，全部售出后可获利36000元，若每个定价60元，全部售出后可获利48000元，在对5个门店调查时发现此玩具的日销售量（个）仅与销售单价（元）有关，具体记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价 60 59 58 57 56 日销售量 20 22 24 26 28 (1)此玩具的进价是多少元？ (2)从所学的函数模型中挑选你认为合适的函数模型，并求该玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式； (3)如果某门店在销售该玩具时，每天因人工房租等需支出200元，该门店要通过销售该玩具每天获得600元的净利润，同时要尽量减少库存，那么该益智玩具的销售单价定为多少元？ 5．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，某户外乒乓球台的下方支撑结构为抛物线型，已知乒乓球台台面为线段，点C是线段的中点，且点C为抛物线的最高点；台面离地高度为米，支撑结构两端A、B间的宽度为米，点O是线段的中点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该乒乓球台下方支撑结构的抛物线函数表达式； (2)为了改善乒乓球台的稳固性，现将以前的支撑连接进行调整，即在抛物线上确定P，Q两点（点P与点Q关于y轴对称），分别过P，Q作垂直于台面的直线，交台面于M，N两点（即为垂直向上的支撑连接杆），延长交x轴于点D，连接，当时，支撑杆的加固效果最佳，求此时乒乓球台台面下两个焊接点M、N之间的距离．（台面的厚度和支撑结构的粗细不计） 6．（2026·陕西榆林·模拟预测）为进一步提升公园景观设施安全性，优化通行体验，某公园拟对园内抛物线形观景拱桥进行加固修缮．该拱桥的跨度，最高点到地面的竖直距离为．施工期间搭建的“脚手架”可看成矩形（点分别在抛物线上，点分别在直线上）．以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求拱桥所在抛物线的函数表达式； (2)若“脚手架”的三边所用钢材长度为（是地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点与拱桥端点的距离． 7．（2026·山东青岛·一模）2026年马年春节联欢晚会中《武》《奶奶的最爱》等机器人表演节目火爆全网，让机器人成为新春热点．某文化演艺公司计划采购A，B两种型号的表演机器人，用于各类文艺演出的舞台呈现．据了解，A型机器人的单价比B型机器人的单价低3000元，用580000元购买A型机器人的数量和用640000元购买B型机器人的数量相同． (1)求A，B两种型号表演机器人的单价各是多少元； (2)该文化演艺公司计划购买A，B两种型号的表演机器人共25台，且A型机器人的购买数量不超过B型机器人购买数量的3倍，购买A型机器人多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 8．（2026·四川成都·二模）节能又环保的油电混合动力汽车，既可以完全用油动力行驶，也可以完全用电动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油动力行驶则费用为91元；若完全用电动力行驶，则费用为21元，已知用油行驶每千米的费用比用电行驶的费用多0.5元． (1)求完全用电行驶每千米的费用是多少元？ (2)某司机采用油电混合动力从甲地行驶到乙地，若所需费用不超过50元，则汽车至少需要用电行驶多少千米？ 9．（2026·重庆·模拟预测）2026年3月28日和3月29日，中国摩托车品牌“张雪机车”在2026年世界超级摩托车锦标赛（）中实现两回合夺冠，这是中国摩托车品牌首次在顶级赛事中夺冠．张雪机车的崛起对整个摩托车行业产生了积极的影响．某经销商计划购进甲、乙两种型号的摩托车进行销售． (1)若购进甲型摩托车3台，乙型摩托车2台，共耗资21万元；若购进甲型摩托车2台，乙型摩托车5台，共耗资25万元．求甲、乙两种型号摩托车的进价各是多少万元？ (2)在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的摩托车各投入40万元分别进行采购，因技术升级，甲型摩托车的进价每台降低10a万元，乙型摩托车的进价每台降低8a万元．则所购甲型摩托车的数量是所购乙型摩托车的数量的，求a的值． 押题猜想四 圆综合压轴题 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【改编题】如图，是的切线，点C为切点，以为边作平行四边形，点A，D均在上，连接，圆心O在上． (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若，求图中阴影部分的面积． 分析有理·押题有据 近几年南通中考数学解答题中，圆的题目稳定在第 23 题，分值 10 分，属中档偏上几何题。核心必考切线判定与性质，常结合圆周角、垂径定理、相似三角形、解直角三角形综合考查，设问多为 “证明 + 计算” 两小问。图形简洁、辅助线常规，不考超纲定理。命题趋势：圆与全等、相似、解直角三角形深度融合，逐步加入动点、线段与面积计算，重逻辑推理与规范书写，难度平稳，注重基础模型运用与综合计算能力。 终极猜想·精练通关 1．（2026·福建三明·一模）如图，是的直径，与相切于点A，点B是上的一点，且，． (1)求证：是的切线； (2)若弦，求的半径． 2．（25-26九年级下·广东揭阳·月考）如图，在中，，以为直径作为上一点，且，连接并延长交的延长线于点E． (1)求证：直线与相切； (2)若，求的长． 3．（2026·河南郑州·一模）如图，为菱形的对角线上一点，以点为圆心，长为半径的与相切于点． (1)比较大小：___________（填或）； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)若菱形的边长为2，，则的半径为___________ 4．（2026·新疆·一模）如图，是的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点．作，垂足为点，已知平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 5．（2026·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点． (1)求证：F为中点； (2)求的长． 6．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，是的直径，过点作的切线，切点为，点为直径上方上一点，连接并延长交直线于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的平行线交于，连接，求证：是的切线． 7．（2025·陕西咸阳·二模）如图，内接于，，的切线与延长线交于点 D， 点E 是上一点，， 连接并延长交于点 F． (1)求证：是 的切线； (2)若， 求的长． 8．（2024·广东深圳·二模）如图，过圆外一点作的切线，切点为是的直径．连接，过点作的垂线，垂足为，同时交于点，连接． (1)求证：是的切线： (2)若，求切线的长． 押题猜想五 统计应用压轴题 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【改编题】马年春节联欢晚会堪称一场“科技春晚”，多家国产企业的机器人集体亮相，展示了从“能演”到“能干”的进化．某校开展了一次“机器人知识”竞赛，满分100分．为了解本次竞赛的情况，从该校随机抽取部分学生的成绩作为样本，目前正在对收集到的数据进行整理，并绘制相应的统计图（尚未完成）． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量为__________，并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据） (2)该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩不低于80分的学生人数； (3)根据上述统计分析情况，请对本次竞赛情况写出一条合理的评价． 分析有理·押题有据 近几年南通中考数学统计解答题，多位于试卷20–22 题，分值8–10 分，属于基础必得分题。常以条形、扇形、折线统计图组合呈现，围绕频数、频率、平均数、中位数、众数考查，设问一般为补全图表、数据计算、样本估计总体。命题贴近生活与本地热点，图表信息更丰富，逐步增加开放性分析与合理建议类设问。整体难度稳定，重读图能力与规范表达，计算简单、套路清晰，是学生容易拿满分的题型。 终极猜想·精练通关 1．（2026·山东日照·一模）某研究所甲、乙试验田各有水稻稻穗5万个，为了考察水稻穗长的情况，研究员于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度（单位：），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲试验田穗长的频数分布统计表如表1所示（不完整）： 甲试验田穗长频数分布表（表1） 分组/cm 频数 频率 4 14 11 2 合计 50 b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图所示： c．乙试验田穗长在这一组的是： d．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）： 试验田 平均数 中位数 众数 方差 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： (1)表1中的值为 ； (2)表2中的值为 ； (3)在此次考察中，稻穗生长（长度）较稳定的试验田是 ； A．甲    B．乙    C．无法推断 (4)若穗长在范围内的稻穗为“良好”，请估计甲试验田所有“良好”的稻穗约为多少万个？ 2．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）为丰富同学们的课外生活，某中学组织了书法比赛，由书法老师对每位同学的作品进行打分．校学生会随机抽取部分参赛同学的成绩x（单位：分）作为样本，将其按如下四个等级分类统计，并绘制条形统计图和扇形统计图，如下（均不完整）： 成绩等级标准A．优秀： B．良好： C．合格： D．不合格： 根据以上信息，解答下列各题： (1)抽取的学生人数为________人，并补全条形统计图； (2)D等级所在扇形的圆心角度数为________°，抽取的学生成绩的中位数落在________等级； (3)校学生会计划奖励A等级学生每人80元的书法用具，奖励B等级学生每人50元的书法用具．已知该校有600人参与了书法比赛，请你估计购买奖品所需的费用为多少元． 3．（2026·山西晋城·一模）为扎实推进“五育并举”，丰富阳光体育活动内容，增强师生体质，培养团队协作精神，某校开展“绳舞校园，跃动精彩”2026年春季校园跳绳比赛，为师生搭建起运动竞技与风采展示的平台．某数学兴趣小组从八年级男、女同学（分男生组和女生组）中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析． 数据整理：跳绳个数记为，共分为五组： A：，B：；C：，D：，E：，整理成如下频数直方图与扇形统计图（不完整）． 被抽取男同学跳绳个数在C组的数据：130，135，133，135，135，134； 被抽取女同学跳绳个数在C组的数据：133，132，136，133，136，136，136，136． 数据分析：该数学兴趣小组对抽取的男同学与女同学的跳绳个数进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 方差 男同学 134 135 女同学 134 136 认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：________，________，________；并补全频数直方图． (2)若该校八年级参加此次跳绳比赛的男同学有200人，女同学有260人，请你估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数． (3)结合以上数据，分析在该校八年级同学一分钟跳绳中，男生组和女生组哪个更优秀？说明理由． 4．（2026·山东日照·一模）2026年1月16日，谷神星一号海遥七运载火箭在日照近海成功发射，“航天发射”正成为日照的新．某校为了解七年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七年级学生进行了测试，现从七年级学生中随机抽取40名学生的测试成绩（成绩用x表示，单位：分）进行了整理与分析，并分为A、B、C、D、E五个等级： 等级 A B C D E 成绩 信息1： 信息2：七年级抽取学生成绩在C等级的数据是： 70，71，71，73，74，74，74，75，75，76，77，77，78； 根据以上信息，回答下列问题： (1)求七年级抽取学生测试成绩在B等级的学生人数，并补全条形统计图； (2)七年级抽取学生成绩的中位数是_____________； (3)七年级有800名学生都参加此次测试，如果成绩不低于75分可以参加第二轮比赛，请你估计七年级能参加第二轮比赛的人数． 5．（2026·辽宁沈阳·一模）跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．某中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图． A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65  70  73  80  85  95  96  96  98 组别 次数x（单位：次） 频数 A组 9 B组 C组 12 D组 3 根据以上信息回答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ (2)A组学生跳绳次数的中位数是______次； (3)若某中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少人？ 6．（2026·江苏扬州·一模）为了解某校学生视力状况，调查小组随机抽取了该校部分学生进行调查，列出如下不完整的统计表． 抽取的学生视力状况统计表 视力 视力 视力 视力 视力 健康状况组别 A：视力正常 B：轻度视力不良 C：中度视力不良 D：重度视力不良 人数 4 22 8 a 百分比 b (1) ， ； (2)抽样调查数据的中位数所在组别为 组；（填A、B、C或D） (3)已知该校共有800名学生，请估计该校“重度视力不良”学生的人数． 7．（2025·陕西·中考真题）为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分  满分100分  均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图： 其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： (1)B组15个成绩的平均数为______分； (2)本次被抽取的所有成绩的个数为______，本次被抽取的所有成绩的中位数为______分； (3)学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 8．（2026·江苏扬州·一模）双减政策实施后，某校为了解九年级学生每天的睡眠时间的情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查．将调查数据分成五组：A组（小时），B组（小时），C组（小时），D组（小时），E组（小时）．整理后制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次共调查了______名学生，B组所对的扇形圆心角的度数为______°； (2)请补全条形统计图； (3)若该校九年级共有600名学生，请计算该校九年级学生中睡眠时间在8小时以上（含8小时）的学生约有多少人？ 9．（2026·江苏连云港·一模）2026年3月，全国两会在北京顺利召开，意义非凡．为了解学生对两会精神的知晓程度，某校从九年级，两个班中各随机抽查了名学生进行两会知识测试，分别对学生的测试成绩（满分为分）进行收集、整理和分析（测试成绩用表示，都为整数，结果分为四个类型：为不了解；为比较了解；为了解；为非常了解）． 【收集数据】抽取的班学生对于两会精神“了解”的测试成绩为，，，，，； 抽取的班学生的测试成绩为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 【整理数据】，两班的数据整理如下： 【分析数据】，两班的平均数、中位数、众数和方差如表所示； 平均数 中位数 众数 方差 班 班 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：____，_____，请补全条形统计图； (2)假设这两个班共有学生人，请估计这两班在这次测试中成绩为“了解”的学生人数； (3)从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，对，两个班成绩进行简要评价． 押题猜想六 函数图象小压轴（选填） 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【改编题】如图1，在中，，D，E分别是，的中点，连接，，点P从点C出发，沿的方向匀速运动到点A，速度为．图2是点P运动时，的面积S（单位：）随时间t（单位：）变化的图象，则a的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 分析有理·押题有据 近几年南通中考数学选择题函数图像题，多位于第9、10 题，每题 3 分，含基础与压轴档。基础题常考一次、反比例、二次函数图像识别、象限与参数关系、对称轴与增减性。压轴题侧重动点几何函数图像与二次函数多点共线 / 参数判断，融合几何动态、对称性与分类讨论。命题稳定、难度分层，强化数形结合，图像信息更隐蔽，注重从起点、拐点、终点分析变化规律，突出直观想象与逻辑推理素养。 终极猜想·精练通关 1．（2026·安徽合肥·一模）如图，中，，，P，Q两点同时从点A出发，均以1个单位每秒的速度分别沿着，运动，则的面积与运动时间x之间的函数图象是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南周口·二模）某物理实验兴趣小组对A、B两种液体进行加热实验．这两种液体在加热过程中，其温度与加热时间之间的函数关系如图1所示．为了解决“当两种液体的温度n相等时的加热时间t”，可以列方程进行解答．图2是甲、乙两位同学所列方程，则下列判断错误的是（   ） A．可以表示两种液体温度相等时B种液体的温度 B．可以表示两种液体温度相等时A种液体加热所用的时间 C．表示A种液体每分钟的温度变化量 D．A、B两种液体加热至时的温度可用或来表示 3．（2026·河南许昌·一模）图①为汽车倒车雷达中的距离报警器简化电路图，电源电压恒为，为定值电阻，为距离传感器的核心部件，其阻值随传感器到障碍物的距离s（单位：）变化的关系图象如图②所示．当传感器到障碍物的距离为时，报警器开始报警，此时电路中电流表的示数为．下列说法正确的是（   ）（温馨提示：电流表电阻忽略不计，在此串联电路中，电压（电阻电阻）×电流I） A．电阻的初始阻值为 B．当的阻值为时，报警器会报警 C．传感器到障碍物的距离越近，的阻值越大 D．定值电阻的阻值为 4．（2026·贵州遵义·一模）如图，在矩形中，对角线相交于点O，，，动点P从点O出发沿方向以的速度运动，同时点Q从点方向以的速度运动．当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动，若运动时间为，的面积为．点P，Q在运动时，则y的图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，．点从出发，沿向终点运动，过作于点，连接．设点的运动路径长为的面积为，的面积为关于的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（   ） A． B．点在函数图象上 C．的最大值为4 D．当时， 6．（2026·浙江温州·一模）如图1，在菱形中，，点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿折线向终点D匀速运动，两点同时到达终点．设运动时间为x秒，为y．如图2，y关于x的函数图象经过最低点．下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D．点在该函数图象上 7．（2026·浙江金华·一模）如图，点为的重心，当动点从点出发沿的边逆时针运动一周，设点的运动路程为，为，关于函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D．的面积为 8．（2026·四川广安·二模）学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从处匀速跑向处，乙同学从处匀速跑往处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为（秒），甲、乙两人之间的距离为（米），与之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．甲、乙同学的速度和为10米/秒 B．甲、乙同学在8秒时相遇 C．甲同学的速度为5米/秒 D． 9．（2026·山东潍坊·一模）给如图所示的无水泳池注水，泳池的前后侧面均为直角梯形，其余各面均为矩形．如果进水速度是均匀的，泳池内水（阴影区域）的高度h与时间t变化的图象可能是（   ） A． B． C． D． 押题猜想七 几何综合计算题（填空） 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【改编题】如图，将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，若，则的长为______． 分析有理·押题有据 近年南通中考填空压轴几何综合计算题，多集中于 17、18 题，以四边形、三角形组合图形为核心载体。高频考查勾股定理、相似三角形、特殊角三角函数与图形折叠、拼接模型。题干条件隐蔽，侧重辅助线构造与几何转化，计算精简，注重逻辑推理。命题趋势稳定，坚持数形结合，逐步融入隐圆、线段最值等动态几何内容，弱化繁杂运算，强化几何直观与模型运用，以基础模型变式为主，兼顾区分度，贴合中考核心素养考查。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，在半径为4的中，为直径，弦且过半径的中点，为上一动点，于点，即点在以为直径的圆上，当从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长为__________． 2．（2026·江苏扬州·一模）如图，扬州市城南快速路在某个转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点行驶至终点，过点，的两条切线相交于点，机动车在从点到点行驶过程中的转角为．若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为________． 3．（2026·江苏徐州·一模）如图，在正方形中，，点O是边的中点，若点E是直线上一动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值为_______． 4．（2026·四川绵阳·二模）矩形中，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，若，则______． 5．（2026·山东济宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为…按此规律，则的值为__________． 6．（2026·山东日照·一模）如图，在菱形中，，，M是边的中点，N是边上任意一点，将菱形沿翻折，点A落在点E处，连接，则的最小值为_______． 7．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在菱形中，，，点E在边上，且，交的延长线于点F，则的长为______． 8．（2026·贵州六盘水·一模）如图，在矩形中，，，E为的中点，点F为上一点，连接，，若，则的长为______． 9．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，一个正六边形和一个正方形有一个公共顶点E，且顶点A、B、C、D在同一直线上，若正六边形的边长为2，则正方形的面积为______． 押题猜想八 函数综合计算题（填空） 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【改编题】如图，矩形的顶点B、C在x轴上，E是的中点，反比例函数的图像经过点A、E．若，，则k的值为______． 分析有理·押题有据 近年南通中考填空函数综合题集中在中档及压轴位，以一次、反比例、二次函数为核心。命题弱化机械计算，侧重数形结合，常融合几何图形、动点、面积综合考查；一次函数高频考查含参定点问题，反比例聚焦 k 的几何意义，二次函数为填空压轴核心。命题趋势：静态基础考查减少，动态探究、存在性问题增多；结合生活情境与新定义题型，强化代数推理、整体代入等思维方法，综合性与灵活度持续提升，反套路特征明显。 终极猜想·精练通关 1．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，A、B是双曲线上的两个点，分别过点A，B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分面积为1，两个空白矩形的面积之和为6，则k的值为_________． 2．（2026·安徽芜湖·二模）如图，点P在反比例函数的图象上，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，B，与的图象交于点C，D．已知矩形的面积为4． （1）________； （2）连接，当点P在反比例函数图象上运动时，线段长度的最小值为________． 3．（2026·陕西西安·二模）如图，矩形中，，矩形的面积为24，与轴负半轴的夹角为，双曲线（）经过点，则的值为______． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图像在第一象限交于点P，若，则k的值为______． 5．（2026·安徽阜阳·一模）如图，反比例函数（）与一次函数（）相交于点和点，则不等式的解集为________． 6．（2026·黑龙江佳木斯·一模）若点、、都在反比例函数（为常数，）的图象上，且，则的取值范围是______． 7．（2026·江苏徐州·一模）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，该函数图象上的另一个“梦之点”为点H，直线为，当时，x的取值范围是____． 8．（2025·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值始终有，则m的取值范围是 _________． 9．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，将线段沿x轴向右平移5个单位长度得到线段，与反比例函数的图象交于点N，点M在线段上，连接，．若四边形是菱形，则k的值为_______． 28 / 87 32 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 函数综合压轴题 1 押题猜想二 几何综合压轴题 18 押题猜想三 实际应用压轴题 43 押题猜想四 圆的综合压轴题 52 押题猜想五 统计应用解答题 63 押题猜想六 函数图象小压轴（选填） 76 押题猜想七 几何综合计算题（填空） 87 押题猜想八 函数综合计算题（填空） 98 押题猜想一 函数综合压轴题 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【原创题】定义：在平面直角坐标系中，若某函数的图象上存在点P（x，y），满足y＝mx+m，m为正整数，则把该函数称为“m倍函数”．该点称为该函数的“m倍点”．例如：“2倍函数”，其“2倍点”为(-1,0)． (1)函数y=-3x是“3倍函数”吗？ (2)求函数的图像上“2倍点”的坐标 (3)若关于x的函数的图像上有两个“2倍点”，求m的取值范围； 【答案】(1)是 (2)(-4,-6)或(3,8) (3)m>且； 【详解】（1）解：假设函数y=-3x是“3倍函数，设“3倍点”(a,3a+3)，代入y=-3x，得 3a+3=-3a A=-，故函数y=-3x是“3倍函数”， 故答案为：是； （2）解：设函数的图像上的“2倍点”是，代入得 解方程得n=-4,或n=3 故答案为：(-4,-6)或(3,8)； （3）解：设抛物线（），“2倍点”的坐标为， 则 整理得 ∵有两个“2倍点” ∴ 解不等式得：m> 即m的取值范围是m>且； 分析有理·押题有据 从近五年南通的中考情况来看，本部分多以大题的压轴题呈现，函数综合题近三年南通中考函数压轴题逐步弱化几何图形，转向纯代数与坐标运算；从二次函数为主，转向反比例与二次并重；强化含参推理、新定义理解、动态定值，坚持三问梯度设问，重计算与逻辑，轻复杂几何证明。总体来说呈现“偏代数、重计算、无图”的特点，对学生的综合分析能力、计算能力、逻辑推理能力要求比较高。 终极猜想·精练通关 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线，双曲线，若点关于直线的对称点恰好落在双曲线上，则称点为“镜像点”． (1)已知点为“镜像点”，求的值； (2)根据“镜像点”的定义，判断下列说法是否正确，对的打“”，错的打“”． ①符合要求的“镜像点”都在函数的图象上； ②将函数的图象沿轴翻折，再向右平移个单位长度，得到的图象上的点都是“镜像点”； ③若直线经过“镜像点”，则该直线与坐标轴围成的三角形面积为． (3)关于直线对称的抛物线，与轴的交点也为“镜像点”，点为该抛物线上异于点的“镜像点”．当时，以点为顶点的抛物线的最大值记为，最小值记为，令，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②；③ (3) 【详解】（1）解：∵点为“镜像点”， ∴点关于直线的对称点， 把代入，得， 解得． （2）解：①设点是“镜像点”， ∴点关于直线的对称点， 把点代入，得， ∵， ∴， ∴点在函数的图象上，即符合要求的“镜像点”都在函数的图象上， ∴①错误； ②由①得符合要求的“镜像点”都在函数的图象上， 由函数图象的平移变换可得：函数可由向右平移个单位长度得到， ∵的图象与的图象关于轴对称，即将函数的图象沿轴翻折后即是函数的图象， ∴②正确； ③由①得符合要求的“镜像点”都在函数的图象上， 把点代入，得， 把代入直线，得，解得：， 令，则；令，则，解得：， ∴直线与坐标轴围成的三角形面积为， ∴③正确． （3）解：由题意知，点为“镜像点”，其横坐标为， ∴关于直线的对称点横坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为，即， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 由（2）得符合要求的“镜像点”都在函数的图象上，且， 令， 整理得，， ∴， 解得或或， ∵，且点异于点， ∴，都舍去， 将，代入得，， ∴点的坐标为， ∴， ①当时，抛物线开口向上， ， ∴当时，有最小值，即；当时，有最大值，即， ∵， ∴， ∴， ∴与是矛盾的，故不符合题意，舍去， ②当时，抛物线开口向下， ， ∴当时，有最大值，即；时，有最小值，即， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 综上所述，的取值范围是． 2．（2026·广东佛山·一模）在平面直角坐标系中，我们约定： ①不重合的两点与为一对对换点； ②若某函数图象上至少存在一对对换点，则称该函数为对换函数． 根据约定，解答下列问题： (1)反比例函数是对换函数吗？如果是，直接写出该函数图象上的一对对换点坐标；如果不是，说明理由． (2)若关于x的一次函数是对换函数，则k的值是多少？ (3)对换函数中的实数m取满足条件的最小正整数时，求函数图象上的一对对换点坐标． 【答案】(1)是，对换点坐标为和 (2)1 (3)和 【详解】（1）解：设对换点为与，代入反比例函数解析式得： ， 由①得， 由②得， 故可得反比例函数是对换函数， 取，则，对应对换点坐标为和； （2）解：设对换点为与，代入一次函数解析式得： ， 由②得， 把①代入得：， 整理得， 又因为存在不重合的对换点，a不能取任意值，所以时等式不成立， 故且， 解得：； （3）解：设对换点为与，代入函数解析式得： 两式相减得， 整理得， ∵两点不重合， ∴， ∴， ∴， ∴代入得：， ∴， ∴当时，有最小值为， ∴， 又取最小正整数， ∴，此时，，对换点为和． 3．（2026·广东佛山·一模）【问题背景】对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数、反比例函数和二次函数进行了相关探究． 【探究1】一次函数图象的不动点： (1)①若一次函数是“不动点函数”，则该函数图象上的不动点坐标是______； ②若一次函数不是“不动点函数”，请写出一个满足条件的一次函数____________． 【探究2】反比例函数图象的不动点： (2)反比例函数一定是“不动点函数”吗？请说明理由． 【探究3】二次函数图象的不动点： (3)若二次函数的顶点为该函数图象上的一个不动点，求证：二次函数的图象上有两个不同的不动点． 【答案】(1)①；②（答案不唯一） (2)反比例函数不一定是“不动点函数”，理由见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：①令，则， 解得：， ∴该函数图象上的不动点坐标是； ②若一次函数不是“不动点函数”，满足条件的一次函数为； （2）解：反比例函数不一定是“不动点函数”，理由如下： 若反比例函数是“不动点函数”，则令，可得方程， 两边同时乘以，得到， 当时，方程无实数解，此时反比例函数不是“不动点函数”； 当时，方程的解为，此时反比例函数是“不动点函数”； 综上所述，反比例函数不一定是“不动点函数”； （3）证明：∵， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵二次函数的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴， 整理可得：， 若二次函数是“不动点函数”，则令，可得方程， 整理可得：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数解，即二次函数的图象上有两个不同的不动点． 4．（2026·辽宁盘锦·一模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”． (1)①判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标； ②判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标； (2)设函数，的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值； (3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①不存在；②存在，或 (2)或 (3)或 【详解】（1）解：①在中，令，得不成立， 函数的图象上不存在“等值点”； ②在中，令， 解得：，， 函数的图象上有两个“等值点”或； （2）解：在函数中，令， 解得：， ， 在函数中，令， 解得：， ， 轴， ， ， 的面积为3， ， 当时，， 解得， 当时，， ， 方程没有实数根， 当时，， 解得：， 综上所述，的值为或； （3）解：令， 解得：，， 函数的图象上有两个“等值点”或， ①当时，，两部分组成的图象上必有2个“等值点”或， ， ， 令， 整理得：， 的图象上不存在“等值点”， ， ， ， ②当时，有3个“等值点”、、， ③当时，，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”， ④当时，，两部分组成的图象上恰有1个“等值点”， ⑤当时，，两部分组成的图象上没有“等值点”， 综上所述，当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，或． 5．（2026·山西·一模）阅读与思考 下面是小陈同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 利用函数的变化趋势研究代数式值的变化情况 对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式，有时候，需要把一个假分式化为整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式，例如，，观察发现，当部分分式中的分母为一次式时，可以借助反比例函数来研究该分式值的变化情况． 我们已知学习过反比例函数，当时，随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近0．对于部分分式我们可以令，则函数，可以看作是由函数先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的新函数．那么当时，随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近0，此时的值无限接近．例如，已知部分分式，我们令，当时，随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近0，所以的值无限接近2． …… 任务： (1)将分式化为部分分式． (2)函数可以由哪个反比例函数经过怎样的平移得到？ (3)拓展：当时，分式的值随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近，请你直接写出的最小值以及的值． 【答案】(1) (2)函数可以由反比例函数先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到 (3)的最小值为1，的值为2 【详解】（1）解：； （2）解：函数可以由反比例函数先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到； （3）解： ， ∴当时，分式的值随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近0， ∴当时，分式的值随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近2， ∴根据题意可得的最小值为1，的值为2． 6．（2026·江苏扬州·一模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“集团平衡点”．例如，点是函数的图象的“集团平衡点”． (1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“集团平衡点”的所有函数是__________（填序号） (2)设函数与的图象的“集团平衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值； (3)若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有1个“集团平衡点”时，求的坐标． 【答案】(1)③④ (2)的值为或或或0 (3) 【详解】（1）解：根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数， 在中，令得，方程无解， 的图象上不存在“平衡点”； 在中，令得，方程无解， 的图象上不存在“平衡点”； 在中，令得， 可得， ， 则方程有解， 的图象上存在“平衡点”； 在中，令得， 可得 ， 则方程有解， 的图象上存在“平衡点”； 故存在“集团平衡点”的函数是③④； （2）解：在中，令得， 解得或， ， ； 在中，令得， 解得， ， 当时，， ，，， 若，则， 解得； 若，则， 解得或； 若，则， 解得或（此时，重合，舍去）； 的值为或或或0； （3）解：设， ， 抛物线的顶点为， 点关于的对称点为， 旋转后的抛物线解析式为， 在中，令得： ， ， 旋转后的图象上恰有1个“平衡点”， 有两个相等实数根， ，即， ， 的坐标为． 7．（2026·湖南衡阳·一模）我们约定：点为点的“倍位似点”，当点为函数图象上任意一点时，点均在函数图象上，则称函数为函数的“倍位似函数”．例如，点为点的“2倍位似点”，点为函数图象上任意一点，点均在函数图象上，则称函数为函数的“2倍位似函数”．根据该约定，解答下列问题： (1)①点的“3倍位似点”为 （填坐标）； ②点为函数图象上任意一点，则函数的“3倍位似函数”为 （填解析式）； (2)函数的“2倍位似函数”图象与直线只有一个公共点，求的值； (3)函数为函数的“2倍位似函数”，直线与函数图象交于，两点，与函数图象交于两点，函数的图象交于两点，这三条线段能否组成一个直角三角形？若能，求出直角三角形面积的最小值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)①；②； (2) (3)直角三角形面积的最小值为 【详解】（1）解：①点的“3倍位似点”为； ②∵点的“3倍位似点”为， 又∵点在函数的图象上， ∴函数的“3 倍位似函数”为； （2）解：由题可知点为函数 图象上一点， ∴点A 的“2倍位似点”为即 ， 消去m得， 联立， 整理得， ∵两个函数图象只有一个公共点， ∴， ∴， ∴． （3）解：在函数图象上任取一点， 则点的“2倍位似点”为， 即， 消去m得：， 联立， 整理得：， 解得：， 令，， ∴ ， 联立， 整理得， 解得：， 令，， ∴ ， 联立 ， 整理得， 解得：， 令，， ∴ ， 由题意知：，，或，，， 设，，这三条线段组成的直角三角形面积为S， ①当时， 解得， 即， ∴ ， ∵， ∴当时，S最小，且最小值为； ②当时， ， 解得， 即， ∴ ， ∵， ∴当时，S最小，且最小值为； ③当时， ， 解得：，此时，舍去． 综上所述：直角三角形面积的最小值为． 押题猜想二 几何综合压轴题 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【改编题】如图1，一副三角板分别记作，．其中，，，，点在边上，点在射线上，连接，过点作的垂线交射线于点． (1)如图2，当点在线段上时，请写出和的数量关系，并说明理由． (2)当点在线段延长线上时，依题意补全图形，不要求尺规作图，并直接写出（1）中结论是否成立，不必说明理由． (3)在（2）的条件下，若，的面积等于3，请直接写出CF的长． 【答案】(1)，理由见详解 (2)成立 (3)或或． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点F作的延长线于点G，如图2所示： ∵，， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 则， ∵过点作的垂线交射线于点． ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， ∵点在线段上， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴； （2）解：依题意，补全图形，如图3所示： 这个结论成立．过程如下： 过点F作的延长线于点G， ∵，过点作的垂线交射线于点． ∴ ∵， ∴， 即， ∵，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，，， ∴， 即， ∵ ∴ 则， ∴， ∴， 则， ∴， 则， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴． （3）解：如图3所示， 由（2）得， ∵，的面积等于3， ∴， ∴， 即， 整理得， 解得或（舍去）， ∴在等腰中，， 综上：的值为． 分析有理·押题有据 南通中考数学几何压轴题多为解答最后一题，分值 12–13 分，采用 “三小问梯度设问”，基础证明、中档计算、压轴探究层层递进。近几年以矩形、正方形、三角形为核心载体，高频考查相似、全等、勾股与分类讨论。命题呈现模型化明显、几何与函数方程结合、重推理探究的特点，未来将更侧重动态综合、素养导向强化、跨模块融合加深，创新情境与数学思想渗透，计算简洁但逻辑要求高。 终极猜想·精练通关 1．（2026·河南郑州·二模）综合与实践课上，老师请同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)如图1，折叠矩形纸片，使点与点重合，折痕为，将纸片展开，连接，，则四边形的形状是________． [深入探究] (2)如图2，在矩形纸片中，点，分别是，边上的点，且，将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，，得到四边形，请你猜想四边形的形状，并给出证明． [拓展应用] (3)在（2）的条件下，若，，当直线与矩形的一边平行时，请直接写出的长． 【答案】(1)菱形 (2)四边形是平行四边形，证明见解析 (3)或 【详解】（1）解：∵由沿折叠得到， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：四边形是平行四边形，证明如下： ∵四边形是矩形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，，，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解：①当时，如图，此时，设直线交于点，交于点，连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，解得； ②当时，如图，此时，设直线交于点，交于点，连接交于点，连接交于点， 同理①可得，点为的中点，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴垂直平分， ∴，， 在中，， ∴， 在中，； 综上所述，的长为或． 2．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）在平行四边形中，进行如下折叠： (1)如图1，将沿折叠，使点C与点A重合，折痕与、边分别交于点E、F，求证：； (2)如图2，E、F分别是、边上的动点，连接，将沿折叠，点D落在点处，点C落在点处，交于点G，分别交、于点H、K，如果，请猜想和的数量关系，并说明理由； (3)在图1的基础上，连接与交于点H，如图3所示，若，，，请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析； (3) 【详解】（1）解：， ， ， 由折叠的性质可知，，， ， ， ； （2）解：， ，， ，即， 由折叠的性质可知，，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作的延长线于点，过点作交于点， ， ， ， 在中，，， ，， ， 由（1）可知， 设，则，，， 在中，， ， 解得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， 面积． 3．（2026·江苏南通·一模）平移是一种重要的图形变换，在平面几何中，广泛用于解决各种问题． 【尝试解决】 如图1，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，且． (1)过点D作交边于点G，则，的数量关系是 ． (2)在（1）的基础上，求证：． (3)【类比应用】 如图2，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，直线交于点Q，且．若点P是的中点，，求的长． (4)【拓展提升】 如图3，矩形中，点E，F分别在边，上，点P在射线上，直线交于点Q．若，，，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【详解】（1）解：，理由如下： 在正方形中，， ， 四边形是平行四边形， ； （2）证明：， ， 正方形， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过点作交于点，交的延长线于点，过点作于点， 正方形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点P是的中点，，正方形， ， ， 设，则， ， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ， ； （4）解：当点在线段上时，过点作交于点，交延长线于点，过点作， 矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，，矩形， ， 设，则， ， ， ， ， ， ，， ， ； 当点在线段延长线上时，过点作交于点，交延长线于点，过点作， 矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，，矩形， ， 设，则， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； 综上：的值为． 4．（2026·安徽亳州·一模）按要求完成下列各题： (1)如图1，点E是正方形的边上一点，连接，过点D作于点G，交边于点F， ①求证：； ②如图2，连接EF，以为邻边构造平行四边形，连接．求的值； (2)如图3，矩形中，，点F是边的中点，连接，过点A作于点G，交边于点E，连接，以为邻边构造平行四边形，连接，求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， ， ∵， ， ∴， ， ∴， ； ②如图2，作交的延长线于M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， 由（1）得， ， ∵， ， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 如图3，作交的延长线于N， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·甘肃天水·二模）如图，在正方形中，，M为上的一动点，连接，将绕点A按顺时针方向旋转，与的延长线交于点N． (1)如图1，求证：． 【深入探究】 (2)如图2，将沿翻折得到，连接，试探究在点M移动的过程中，的面积是否发生变化．若发生变化，请求出的面积的最小值；若不发生变化，请求出的面积． 【拓展延伸】 (3)如图3，在（2）的条件下，点E在线段上，点F在线段上，连接，．当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积不变，其值为18 (3) 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， 由旋转可知，， ∴， ∴． （2）解：的面积不发生变化．理由如下： 过点N作，垂足为Q． 由（1）知， ∴． 由翻折可知， ∴， ∴， 即． ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 即的面积不变，其值为18． （3）解：∵， ∴． 由翻折可知，，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴ 由（2）知， ∴， ∴． 6．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图1，在中，点是边的一点，连接．若． (1)【初步感知】直接写出的值． (2)【问题解决】如图2，作射线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论． (3)【变式探究】如图3，连接与交于点，连接． ①若，求证：； ②当时，与之间的关系是，求的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①见解析；②． 【详解】（1）解：连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：线段与线段之间的数量关系为：， 理由如下： 连接交于点，如下图： ∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①延长和相交于点， ∵， ∴， 同理得， ∴， ∴是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②延长和相交于点， 同理得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．（2026·山东淄博·一模）【问题情境】 某数学兴趣小组在学习了图形旋转的相关知识之后，在等腰三角形纸片上进行了关于旋转的研究性学习．中，．同学们在边上取点，连接，将以点为中心旋转，由于同学们所取点的位置不同，的角度大小不同，产生了以下两种方案． 【探究感悟】 小明方案：取，旋转使点的对应点落到线段上； (1)如图1，小明发现，此时点的对应点与点的连线恰好平分，则线段的长是_____； 【深入探究】 小刚方案：如图2，旋转使点的对应点落到点上，折叠使点与点D重合，折痕为； (2)在图2中找出与相等的角，并证明； (3)如图3，F为线段上的点，．若，求的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵点与点的连线恰好平分， ∴， 由旋转的性质得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 由题意得垂直平分， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得： ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（2026·山东潍坊·一模）【问题提出】 在中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，连接，过点D作的垂线交直线于点F．探究、、之间的数量关系． 【特例探究】 (1)如图1，当时，证明：； (2)如图2，当时，数学兴趣小组给出了一种解题思路： 取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M． 易得为等腰直角三角形，由（1）可得，进而由，，推导得、、之间的数量关系是：_________； (3)如图3，当时，探究、、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 (4)当时，写出、、之间的数量关系：_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 (4) 【详解】（1）证明：当时，， ∴， 连接， ∵在中，，， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：当时，， 取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M． 则，， ∴，，即为等腰直角三角形， 由（1）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴； （3）解： 理由：当时，， 取的三分之一点G（靠近点D），过点G作，分别交、于点H、M． 则，， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴； （4）解：当时，， 取的分之一点G（靠近点D），过点G作，分别交、于点H、M． 则，， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴． 押题猜想三 实际应用压轴题 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【改编题】新考法中堂画属于立轴类装裱形式，通常为竖幅大幅作品，悬挂于堂屋正中，它迎门而悬、地位显赫．两旁通常配以楹联或书画，称作“对幅”，由两条字数相等、内容相连、画心尺寸与装裱规格完全相同的书画作品组合而成．某工艺品由一幅中堂画和两条对幅组成，某厂一个工人每天能装裱对幅6条或中堂画10幅，现打算安排39名工人完成该工艺品装裱． (1)如何安排可使每天装裱的工艺品配套？ (2)某书画经销商计划购进这种中堂画、对幅进行销售，有关信息如下表： 原进价 零售价 成套 中堂画 a元/幅 750元/幅 售价：1000元/套 说明：一幅中堂画和两条对幅为一套 对幅 元/条 330元/条 已知用2200元购进的对幅条数与用5000元购进的中堂画数量相同． ①求表中a的值； ②该经销商计划购进对幅的条数比中堂画的5倍还多30条，且中堂画和对幅的总数量不超过270幅（条）．若将一半的中堂画成套销售，其余中堂画、对幅以零售方式销售，请问怎样进货，才能在全部售完时获得最大利润？ 【答案】(1)装裱中堂画的有9人，装裱对幅的有30人 (2)①表中a的值为500；②当购进中堂画40幅，对幅230条时，才能在全部售完时获得最大利润 【详解】（1）解：设装裱中堂画的有x人，装裱对幅的有y人， 则依题意，可列二元一次方程组为：， 解得， 答：装裱中堂画的有9人，装裱对幅的有30人． （2）解：①根据题意，得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：表中a的值为500． ②当时，， 设购进中堂画m幅，则购进对幅条， 根据题意，得：， 解得， 设销售利润为w元， ， ， ∴当时，w有最大值，此时对幅， 答：当购进中堂画40幅，对幅230条时，才能在全部售完时获得最大利润． 分析有理·押题有据 从近五年南通的中考情况来看，南通中考数学实际应用题，固定为解答题中档题，分值 为10 分，多 2–3 小问递进设问。题型以分式方程的应用、二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用为主，常结合不等式、分段函数、解直角三角形考查；情境贴近民生、本地产业与时代热点，文字信息量大，重数学建模。命题趋势：综合化、情境真实化，突出方案选择与最值决策，弱化纯套路题，强调审题提取信息与结合实际取舍，对建模与规范答题要求更高。 终极猜想·精练通关 1．（2026·重庆·一模）交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在2月和3月分两次购入甲、乙两款头盔．2月购入了第一批，购入甲款头盔的数量是购入乙款头盔数量的2倍还多50，甲、乙两种头盔的购入单价分别为40元和60元，共用去资金23000元． (1)求第一批购入甲、乙两款头盔的数量； (2)3月恰逢开学季，随着家长接送孩子，头盔需求量增加．甲款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数，涨幅不超过）．批发店决定，若甲款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批甲款头盔的数量减少2个．因乙款头盔单价与第一批相同，所以乙款头盔的购入数量在第一批乙款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了3100元，求甲款头盔的单价上涨了多少元？ 【答案】(1)第一批购入甲款头盔350个，购入乙款头盔150个 (2)甲款头盔的单价上涨了5元 【详解】（1）解：设第一批购入乙款头盔的数量为x个，则第一批购入甲款头盔的数量为个.， 由题意得， 解得， 则甲款头盔的数量为， 答：第一批购入甲款头盔350个，购入乙款头盔150个； （2）解：设甲款头盔的单价上涨了元， 由题意得，， 整理得，， 解得或， 由题意得，， ∴舍去， 答：甲款头盔的单价上涨了5元． 2．（2026·山东潍坊·一模）随着电动汽车走进千家万户，电动车充电站成为了日常出行的重要配套设施．某电动车充电站设有快充和慢充两种充电桩，电动车充电时的充电单价由电价和服务费组成，其中电价为元/度． (1)甲公司调查发现，快充桩日使用次数与快充充电单价（元/度）满足：；慢充桩日使用次数与慢充充电单价（元/度）满足；快充桩和慢充桩的平均充电量分别为度/次、度/次．某天，快充充电单价比慢充充电单价多元/度，且一个快充桩与一个慢充桩的充电总量相等，求当日的快充充电单价； (2)乙公司调查发现，在另一独立运营模式下，每个快充桩的日充电量与快充充电单价（元/度）满足：快充充电单价为元/度时，日充电量为度；快充充电单价每降价元/度，日充电量增加度．其中，快充充电单价满足．每个快充桩的日收益日充电量（充电单价电价）．快充充电单价是多少时，每个快充桩的日收益为元？ 【答案】(1) 当日的快充充电单价为元/度 (2) 快充充电单价为元/度或元/度时，每个快充桩的日收益为元 【详解】（1）解：快充充电单价为元/度，慢充充电单价元/度，快充充电单价比慢充充电单价多元/度， 慢充充电单价为元/度， 根据题意得， 化简得， 方程两边同乘得：， 解得， 检验：当时，， 是原方程的解，且符合题意． 答：当日的快充充电单价为元/度； （2）解：当时，日充电量为度；单价每降价元/度，日充电量增加度， 日充电量为， 根据题意得， 整理得 ， 因式分解得， 解得，， 两个解都满足，均符合题意； 答：快充充电单价为元/度或元/度时，每个快充桩的日收益为元． 3．（2026·湖北襄阳·一模）综合与实践问题情境：在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前n行的点数计算进行探究活动．如图1，这是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，···第n行有n个点． (1)数学建模：容易发现10是三角形点阵前4行的点数和，但是遇到较大的点数，逐个数点很繁琐．在探究的过程中，将一个正立的三角形点阵倒立，再与正立的原三角形点阵拼成一个平行四边形点阵（如图2），三角形点阵的点数和为平行四边形点阵中点的数量的一半．由此得图1中三角形点阵前8行的点数和是________．图1中三角形点阵前n行的点数和是________． (2)问题解决：一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前一个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？ 【答案】(1)36， (2)11人 【详解】（1）解：∵从图2可知平行四边形点阵是由n行每行个点组成的， ∴总数量为， ∵三角形点阵的点数和为平行四边形点阵中点的数量的一半， ∴图1中三角形点阵前n行的点数和为； 当时，， 即图1中三角形点阵前8行的点数和是36； （2）解：设这群人共有x人． 由题意得， 即， 解得（舍去），． 故这群人共有11人． 4．（2026·四川广元·一模）某玩具总店购进一批益智玩具进行销售，若每个定价50元，全部售出后可获利36000元，若每个定价60元，全部售出后可获利48000元，在对5个门店调查时发现此玩具的日销售量（个）仅与销售单价（元）有关，具体记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价 60 59 58 57 56 日销售量 20 22 24 26 28 (1)此玩具的进价是多少元？ (2)从所学的函数模型中挑选你认为合适的函数模型，并求该玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式； (3)如果某门店在销售该玩具时，每天因人工房租等需支出200元，该门店要通过销售该玩具每天获得600元的净利润，同时要尽量减少库存，那么该益智玩具的销售单价定为多少元？ 【答案】(1)此玩具的进价是20元 (2)日销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为 (3)该益智玩具的销售单价定为30元 【详解】（1）解：设此玩具的进价是m元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解， 答：此玩具的进价是20元； （2）解：通过分析表中数据可以看出，该益智玩具日销售量与销售单价之间成一次函数关系， 设该益智玩具的日销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为， 将，代入，得： ，解得：， 答：该益智玩具的日销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为； （3）解：该益智玩具的销售单价定为x元， 根据题意，得：， 解得：，， 当销售单价为60元时，日销售量为个， 当销售单价为30元时，日销售量为个， ，且要尽量减少库存， ∴ 应选择日销售量较大的方案， ． 答：该益智玩具的销售单价定为30元． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，某户外乒乓球台的下方支撑结构为抛物线型，已知乒乓球台台面为线段，点C是线段的中点，且点C为抛物线的最高点；台面离地高度为米，支撑结构两端A、B间的宽度为米，点O是线段的中点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该乒乓球台下方支撑结构的抛物线函数表达式； (2)为了改善乒乓球台的稳固性，现将以前的支撑连接进行调整，即在抛物线上确定P，Q两点（点P与点Q关于y轴对称），分别过P，Q作垂直于台面的直线，交台面于M，N两点（即为垂直向上的支撑连接杆），延长交x轴于点D，连接，当时，支撑杆的加固效果最佳，求此时乒乓球台台面下两个焊接点M、N之间的距离．（台面的厚度和支撑结构的粗细不计） 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点为，且过点，设抛物线函数表达式为， 将代入得，， 解得， ∴抛物线函数表达式为； （2）解：设点的坐标为， ∴点的坐标为，，， ∴，，，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴，即， 解得：（舍去负值）， ∴． 6．（2026·陕西榆林·模拟预测）为进一步提升公园景观设施安全性，优化通行体验，某公园拟对园内抛物线形观景拱桥进行加固修缮．该拱桥的跨度，最高点到地面的竖直距离为．施工期间搭建的“脚手架”可看成矩形（点分别在抛物线上，点分别在直线上）．以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求拱桥所在抛物线的函数表达式； (2)若“脚手架”的三边所用钢材长度为（是地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点与拱桥端点的距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点， ∴设拱桥所在抛物线的函数表达式为， 将代入表达式，得，解得， ∴拱桥所在抛物线的函数表达式为； （2）解：设点， 根据题意得，，，， ∵， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴． 7．（2026·山东青岛·一模）2026年马年春节联欢晚会中《武》《奶奶的最爱》等机器人表演节目火爆全网，让机器人成为新春热点．某文化演艺公司计划采购A，B两种型号的表演机器人，用于各类文艺演出的舞台呈现．据了解，A型机器人的单价比B型机器人的单价低3000元，用580000元购买A型机器人的数量和用640000元购买B型机器人的数量相同． (1)求A，B两种型号表演机器人的单价各是多少元； (2)该文化演艺公司计划购买A，B两种型号的表演机器人共25台，且A型机器人的购买数量不超过B型机器人购买数量的3倍，购买A型机器人多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)A型机器人的价格为29000元，则B型机器人的价格为32000元 (2)故购买A型机器人18台，购买B型机器人7台时，费用最低，最低费用746000元 【详解】（1）解：设A型机器人的价格为x元，则B型机器人的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根且符合题意， 此时， 答：A型机器人的价格为29000元，则B型机器人的价格为32000元． （2）解：根据题意，A型机器人买了台，则购买B型机器人的数量为台， 根据题意，得，解得， 采购费， 由得w随a的增大而减小， ∵a为整数，故当时，w取得最小值，最小值为（元） 故购买A型机器人18台，购买B型机器人7台时，费用最低，最低费用746000元． 8．（2026·四川成都·二模）节能又环保的油电混合动力汽车，既可以完全用油动力行驶，也可以完全用电动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油动力行驶则费用为91元；若完全用电动力行驶，则费用为21元，已知用油行驶每千米的费用比用电行驶的费用多0.5元． (1)求完全用电行驶每千米的费用是多少元？ (2)某司机采用油电混合动力从甲地行驶到乙地，若所需费用不超过50元，则汽车至少需要用电行驶多少千米？ 【答案】(1)完全用电行驶每千米的费用是元 (2)汽车至少需要完全用电行驶千米 【详解】（1）解：设完全用电行驶每千米的费用是元，则完全用油行驶每千米的费用是元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，，且符合题意， 是原方程的解， 答：完全用电行驶每千米的费用是元； （2）解：（千米）， 甲地到乙地的距离为千米， 设用电行驶千米，则用油行驶千米， 由题意得，， ， 汽车至少需要用电行驶82千米． 9．（2026·重庆·模拟预测）2026年3月28日和3月29日，中国摩托车品牌“张雪机车”在2026年世界超级摩托车锦标赛（）中实现两回合夺冠，这是中国摩托车品牌首次在顶级赛事中夺冠．张雪机车的崛起对整个摩托车行业产生了积极的影响．某经销商计划购进甲、乙两种型号的摩托车进行销售． (1)若购进甲型摩托车3台，乙型摩托车2台，共耗资21万元；若购进甲型摩托车2台，乙型摩托车5台，共耗资25万元．求甲、乙两种型号摩托车的进价各是多少万元？ (2)在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的摩托车各投入40万元分别进行采购，因技术升级，甲型摩托车的进价每台降低10a万元，乙型摩托车的进价每台降低8a万元．则所购甲型摩托车的数量是所购乙型摩托车的数量的，求a的值． 【答案】(1)甲型号摩托车进价为5万元，乙型号摩托车进价为3万元 (2) 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号摩托车每台的进价分别为、万元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲型摩托车每台的进价为万元，乙型摩托车每台的进价为万元． （2）解：根据题意得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解且符合题意． 答：的值为． 押题猜想四 圆综合压轴题 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【改编题】如图，是的切线，点C为切点，以为边作平行四边形，点A，D均在上，连接，圆心O在上． (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接交于点E． ∵是的切线， ∴，即． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴，     ∴， ∴是的切线； ∴， ∴平行四边形是菱形， （2）解：如图，延长交于点F， ∵， ∴. 又∵， ∴， ∴垂直平分， ∴. ∵平行四边形是菱形， ， ， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴.     由(1)知，， ， ． 分析有理·押题有据 近几年南通中考数学解答题中，圆的题目稳定在第 23 题，分值 10 分，属中档偏上几何题。核心必考切线判定与性质，常结合圆周角、垂径定理、相似三角形、解直角三角形综合考查，设问多为 “证明 + 计算” 两小问。图形简洁、辅助线常规，不考超纲定理。命题趋势：圆与全等、相似、解直角三角形深度融合，逐步加入动点、线段与面积计算，重逻辑推理与规范书写，难度平稳，注重基础模型运用与综合计算能力。 终极猜想·精练通关 1．（2026·福建三明·一模）如图，是的直径，与相切于点A，点B是上的一点，且，． (1)求证：是的切线； (2)若弦，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【详解】（1）解：证明：连接 ∵，， ∴ ∵， ∴ ∵与相切于点A ∴ 又∵，， ∴ 又∵点B是上的一点 ∴是的切线； （2）解：过点O作，垂足为D ∵，， ∴ 在中，， ∵，， ∴ ∴的半径为2． 2．（25-26九年级下·广东揭阳·月考）如图，在中，，以为直径作为上一点，且，连接并延长交的延长线于点E． (1)求证：直线与相切； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图，连接． ∵点D在圆上， ， ， ∴， ， ， ∴直线与相切． （2）解：设， ，，为半径， ，是的切线， 在中，， 即， 解得， ． 是的切线，切点分别为B，D， ∴， 设，在中，， 即， 解得， ， ∴在中，． 3．（2026·河南郑州·一模）如图，为菱形的对角线上一点，以点为圆心，长为半径的与相切于点． (1)比较大小：___________（填或）； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)若菱形的边长为2，，则的半径为___________ 【答案】(1) (2)与相切，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴； （2）解：与相切，理由如下： 如图所示，过点O作于点N， ∵与相切于点， ∴， 由（1）可得，即平分， 又∵， ∴， ∴与相切； （3）解：∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵以点为圆心，长为半径的与相切于点， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，即的半径为． 4．（2026·新疆·一模）如图，是的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点．作，垂足为点，已知平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见详解； (2)． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：，是的直径， ， 设的半径，则， ，， 由勾股定理得， 解得：，（舍）， 的半径为． 5．（2026·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点． (1)求证：F为中点； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵为半圆O的直径， 、CD为的切线， 又AE为切线， ， ， 在矩形ABCD中，， ， ， ， 、FC为切线， ， ， 为CD中点． （2）解：、AE为切线 ， 设 则， ∴， ∵矩形， ∴， 在中 ， 即， 又， ， ． 6．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，是的直径，过点作的切线，切点为，点为直径上方上一点，连接并延长交直线于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的平行线交于，连接，求证：是的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）证明：连接， ∵是的切线， ∴， 由作图知，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的切线． 7．（2025·陕西咸阳·二模）如图，内接于，，的切线与延长线交于点 D， 点E 是上一点，， 连接并延长交于点 F． (1)求证：是 的切线； (2)若， 求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接，则， ∴，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，                          ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵四边形为正方形， ∴， ∴，                                    ∵， ∴，                                                    由勾股定理得： ， ， ． 8．（2024·广东深圳·二模）如图，过圆外一点作的切线，切点为是的直径．连接，过点作的垂线，垂足为，同时交于点，连接． (1)求证：是的切线： (2)若，求切线的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴是的切线， （2）解：∵，， ∴， ∴， 在中，，， 在中，， 故答案为：． 押题猜想五 统计应用压轴题 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【改编题】马年春节联欢晚会堪称一场“科技春晚”，多家国产企业的机器人集体亮相，展示了从“能演”到“能干”的进化．某校开展了一次“机器人知识”竞赛，满分100分．为了解本次竞赛的情况，从该校随机抽取部分学生的成绩作为样本，目前正在对收集到的数据进行整理，并绘制相应的统计图（尚未完成）． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量为__________，并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据） (2)该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩不低于80分的学生人数； (3)根据上述统计分析情况，请对本次竞赛情况写出一条合理的评价． 【答案】(1)100，图见解析 (2)880 (3)本次竞赛多数学生成绩不低于80分，说明该校学生整体对机器人知识掌握较好，校内机器人知识的普及效果不错． 【详解】（1）解：样本容量为 ； 100分的人数为：， 补全条形统计图如下： （2）样本中成绩不低于80分的人数和为：，占比， 因此估计1000名学生中，成绩不低于80分的人数为：（人）． 答：该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩不低于80分的学生人数约为人． （3）答：本次竞赛多数学生成绩不低于80分，说明该校学生整体对机器人知识掌握较好，校内机器人知识的普及效果不错． 分析有理·押题有据 近几年南通中考数学统计解答题，多位于试卷20–22 题，分值8–10 分，属于基础必得分题。常以条形、扇形、折线统计图组合呈现，围绕频数、频率、平均数、中位数、众数考查，设问一般为补全图表、数据计算、样本估计总体。命题贴近生活与本地热点，图表信息更丰富，逐步增加开放性分析与合理建议类设问。整体难度稳定，重读图能力与规范表达，计算简单、套路清晰，是学生容易拿满分的题型。 终极猜想·精练通关 1．（2026·山东日照·一模）某研究所甲、乙试验田各有水稻稻穗5万个，为了考察水稻穗长的情况，研究员于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度（单位：），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲试验田穗长的频数分布统计表如表1所示（不完整）： 甲试验田穗长频数分布表（表1） 分组/cm 频数 频率 4 14 11 2 合计 50 b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图所示： c．乙试验田穗长在这一组的是： d．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）： 试验田 平均数 中位数 众数 方差 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： (1)表1中的值为 ； (2)表2中的值为 ； (3)在此次考察中，稻穗生长（长度）较稳定的试验田是 ； A．甲    B．乙    C．无法推断 (4)若穗长在范围内的稻穗为“良好”，请估计甲试验田所有“良好”的稻穗约为多少万个？ 【答案】(1)10 (2) (3)A (4)万个 【详解】（1）解：甲试验田在的频数为：． （2）解：乙试验田抽取了50个数据，按大小顺序排列第25、26个数是最中间的两个数，而第25、26个数是和， 则中位数为． （3）解：∵甲试验田穗长的方差小于乙试验田穗长的方差， ∴稻穗生长（长度）较稳定的试验田是甲，即选项A符合题意． （4）解：万个． 答：估计甲试验田所有“良好”的稻穗约为万个． 2．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）为丰富同学们的课外生活，某中学组织了书法比赛，由书法老师对每位同学的作品进行打分．校学生会随机抽取部分参赛同学的成绩x（单位：分）作为样本，将其按如下四个等级分类统计，并绘制条形统计图和扇形统计图，如下（均不完整）： 成绩等级标准A．优秀： B．良好： C．合格： D．不合格： 根据以上信息，解答下列各题： (1)抽取的学生人数为________人，并补全条形统计图； (2)D等级所在扇形的圆心角度数为________°，抽取的学生成绩的中位数落在________等级； (3)校学生会计划奖励A等级学生每人80元的书法用具，奖励B等级学生每人50元的书法用具．已知该校有600人参与了书法比赛，请你估计购买奖品所需的费用为多少元． 【答案】(1)60，图见解析 (2)36，B (3)估计购买奖品所需的费用为26400元． 【详解】（1）解：（人） 答：抽取的学生人数为人． A等级人数：（人）， D等级人数：（人）， 补全条形统计图如答图． （2）解：，B． D等级所在扇形的圆心角度数为， 一共抽取了人，中位数是第、人的平均成绩，将参赛同学的成绩按从小到大的顺序排列，A等级有人，B等级有人，（人）， 所以排在第、的两人的成绩均处于B等级，所以抽取的学生成绩的中位数落在B等级． （3）解：（人），（人）． （元）． 答：估计购买奖品所需的费用为元． 3．（2026·山西晋城·一模）为扎实推进“五育并举”，丰富阳光体育活动内容，增强师生体质，培养团队协作精神，某校开展“绳舞校园，跃动精彩”2026年春季校园跳绳比赛，为师生搭建起运动竞技与风采展示的平台．某数学兴趣小组从八年级男、女同学（分男生组和女生组）中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析． 数据整理：跳绳个数记为，共分为五组： A：，B：；C：，D：，E：，整理成如下频数直方图与扇形统计图（不完整）． 被抽取男同学跳绳个数在C组的数据：130，135，133，135，135，134； 被抽取女同学跳绳个数在C组的数据：133，132，136，133，136，136，136，136． 数据分析：该数学兴趣小组对抽取的男同学与女同学的跳绳个数进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 方差 男同学 134 135 女同学 134 136 认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：________，________，________；并补全频数直方图． (2)若该校八年级参加此次跳绳比赛的男同学有200人，女同学有260人，请你估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数． (3)结合以上数据，分析在该校八年级同学一分钟跳绳中，男生组和女生组哪个更优秀？说明理由． 【答案】(1)，136，20，见解析 (2)128 (3)女生组更优秀，理由见解析 【详解】（1）解：由男同学跳绳个数在C组的数据可知，C组人数为6人，则被抽取的男同学A组的人数为（人），被抽取的男同学跳绳个数数据的第10、11个数据分别为130、133，则中位数； 被抽取的女同学跳绳个数在C组人数所占百分比为，B组人数所占百分比，即； 被抽取的A组女同学人数为：（人），B组人数为：（人），C组人数为：（人），D组人数为：（人），E组人数为：（人）， 因为C组中136的个数为5，在C组中的个数最多且大于其它组总人数，所以被抽取的女同学跳绳个数的众数． 补全频数分布直方图如下： （2）解：（人）， 答：估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数为128． （3）解：我认为该校八年级女同学一分钟跳绳更优秀，因为男、女生跳绳个数的平均数相等，而女生跳绳个数的中位数大于男生跳绳中位数，女生跳绳个数的众数大于男生跳绳个数，所以认为该校八年级女同学一分钟跳绳更优秀（答案不唯一，合理均可）． 4．（2026·山东日照·一模）2026年1月16日，谷神星一号海遥七运载火箭在日照近海成功发射，“航天发射”正成为日照的新．某校为了解七年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七年级学生进行了测试，现从七年级学生中随机抽取40名学生的测试成绩（成绩用x表示，单位：分）进行了整理与分析，并分为A、B、C、D、E五个等级： 等级 A B C D E 成绩 信息1： 信息2：七年级抽取学生成绩在C等级的数据是： 70，71，71，73，74，74，74，75，75，76，77，77，78； 根据以上信息，回答下列问题： (1)求七年级抽取学生测试成绩在B等级的学生人数，并补全条形统计图； (2)七年级抽取学生成绩的中位数是_____________； (3)七年级有800名学生都参加此次测试，如果成绩不低于75分可以参加第二轮比赛，请你估计七年级能参加第二轮比赛的人数． 【答案】(1)七年级抽取学生测试成绩在B等级的学生人数为10名，统计图见详解 (2)75.5 (3)该七年级能参加第二轮比赛的人数为440名 【详解】（1）解：由题意得：成绩在C等级的有13名学生， ∴七年级抽取学生测试成绩在B等级的学生人数为（名）， 补全条形统计图如下： （2）解：∵， ∴根据中位数的定义可知：中位数为第20与第21个数据之和的平均数，即为； （3）解：由题意得： （名）； 答：该七年级能参加第二轮比赛的人数为440名． 5．（2026·辽宁沈阳·一模）跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．某中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图． A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65  70  73  80  85  95  96  96  98 组别 次数x（单位：次） 频数 A组 9 B组 C组 12 D组 3 根据以上信息回答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ (2)A组学生跳绳次数的中位数是______次； (3)若某中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少人？ 【答案】(1)60 (2)85 (3)900 【详解】（1）解：由题意得：（名）． 答：一共抽取60名学生； （2）解：A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65、70、73、80、85、95、96、96、98， 排在中间位置的数是85， 所以A组学生跳绳次数的中位数是85； （3）解：， 所以（名）， 答：估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有900名． 6．（2026·江苏扬州·一模）为了解某校学生视力状况，调查小组随机抽取了该校部分学生进行调查，列出如下不完整的统计表． 抽取的学生视力状况统计表 视力 视力 视力 视力 视力 健康状况组别 A：视力正常 B：轻度视力不良 C：中度视力不良 D：重度视力不良 人数 4 22 8 a 百分比 b (1) ， ； (2)抽样调查数据的中位数所在组别为 组；（填A、B、C或D） (3)已知该校共有800名学生，请估计该校“重度视力不良”学生的人数． 【答案】(1)6； (2)B (3)该校 “重度视力不良”学生的人数为120人． 【详解】（1）解：总人数， 故，． （2）解：样本总人数为40人， 按视力从高到低排序，中位数应为第20位和第21位数据的平均数，A组有4人，A组和B组共有人，所以第20位和第21位数据均落在B组，故中位数所在组别为B组． （3）解：（人）， ∴该校 “重度视力不良”学生的人数为120人． 7．（2025·陕西·中考真题）为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分  满分100分  均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图： 其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： (1)B组15个成绩的平均数为______分； (2)本次被抽取的所有成绩的个数为______，本次被抽取的所有成绩的中位数为______分； (3)学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 【答案】(1) (2)， (3)人 【详解】（1）解：B组15个成绩的平均数为： ； （2）解：∵， ∴本次被抽取的所有成绩的个数为， ∵，而， 所抽取的50个成绩分数排序后排在第个，第个分数落在B组， 而B组成绩排序后为： 从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． ∴第个，第个分数， 本次被抽取的所有成绩的中位数为分； （3）解：学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，则本次竞赛的获奖人数为（人）. 8．（2026·江苏扬州·一模）双减政策实施后，某校为了解九年级学生每天的睡眠时间的情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查．将调查数据分成五组：A组（小时），B组（小时），C组（小时），D组（小时），E组（小时）．整理后制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次共调查了______名学生，B组所对的扇形圆心角的度数为______°； (2)请补全条形统计图； (3)若该校九年级共有600名学生，请计算该校九年级学生中睡眠时间在8小时以上（含8小时）的学生约有多少人？ 【答案】(1)， (2)见解析 (3)人 【详解】（1）解：， ， ∴本次共调查了名学生，B组所对的扇形圆心角的度数为； （2）解：C组人数：（人）， 补全条形统计图为： （3）解：（人）， 答：该校九年级学生中睡眠时间在8小时以上（含8小时）的学生约有人． 9．（2026·江苏连云港·一模）2026年3月，全国两会在北京顺利召开，意义非凡．为了解学生对两会精神的知晓程度，某校从九年级，两个班中各随机抽查了名学生进行两会知识测试，分别对学生的测试成绩（满分为分）进行收集、整理和分析（测试成绩用表示，都为整数，结果分为四个类型：为不了解；为比较了解；为了解；为非常了解）． 【收集数据】抽取的班学生对于两会精神“了解”的测试成绩为，，，，，； 抽取的班学生的测试成绩为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 【整理数据】，两班的数据整理如下： 【分析数据】，两班的平均数、中位数、众数和方差如表所示； 平均数 中位数 众数 方差 班 班 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：____，_____，请补全条形统计图； (2)假设这两个班共有学生人，请估计这两班在这次测试中成绩为“了解”的学生人数； (3)从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，对，两个班成绩进行简要评价． 【答案】(1)，，图见解析 (2)人 (3)见解析 【详解】（1）解：班不了解人数为人，比较了解人数为人，了解共人，故非常了解共人， 将成绩按从小到大排序，可知中位数位于第、之间， 故， 由B班成绩，可得， 补全条形图如下： （2）解：人， 故成绩为“了解”的学生人数约为人； （3）解：从平均数看，，两班学生测试成绩的平均水平一样； 从中位数看，班学生测试成绩的中位数低于班学生测试成绩的中位数，说明班的整体水平好一些； 从众数看，班学生测试成绩的众数低于班学生测试成绩的众数，说明班学生测试成绩的高分集中趋势高一些； 从方差看，班学生测试成绩的方差低于班学生测试成绩的方差，说明班学生测试成绩的波动小一些． 押题猜想六 函数图象小压轴（选填） 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【改编题】如图1，在中，，D，E分别是，的中点，连接，，点P从点C出发，沿的方向匀速运动到点A，速度为．图2是点P运动时，的面积S（单位：）随时间t（单位：）变化的图象，则a的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：从图象第一段看出，当点P运动到点E时，点P的运动路程是a， ∴， 从图象第二段看出，当点P运动到点D时，点P的运动路程是， ∴，， ∴， ∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴在中，， ∵，E是的中点， ∴， ∴． 分析有理·押题有据 近几年南通中考数学选择题函数图像题，多位于第9、10 题，每题 3 分，含基础与压轴档。基础题常考一次、反比例、二次函数图像识别、象限与参数关系、对称轴与增减性。压轴题侧重动点几何函数图像与二次函数多点共线 / 参数判断，融合几何动态、对称性与分类讨论。命题稳定、难度分层，强化数形结合，图像信息更隐蔽，注重从起点、拐点、终点分析变化规律，突出直观想象与逻辑推理素养。 终极猜想·精练通关 1．（2026·安徽合肥·一模）如图，中，，，P，Q两点同时从点A出发，均以1个单位每秒的速度分别沿着，运动，则的面积与运动时间x之间的函数图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：①当时，过点作，交于点， ∴，， ∴，为二次函数； ②当时，过点作，交于点，过点作，交于点， ∵, ∴高为， ∴，为一次函数； ③当时，如图所示，过点作，交于点，反向延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点， ∵中，， ∴， ∵，，，，， ∴， ， ， ， ∴，为二次函数，开口向下． 2．（2026·河南周口·二模）某物理实验兴趣小组对A、B两种液体进行加热实验．这两种液体在加热过程中，其温度与加热时间之间的函数关系如图1所示．为了解决“当两种液体的温度n相等时的加热时间t”，可以列方程进行解答．图2是甲、乙两位同学所列方程，则下列判断错误的是（   ） A．可以表示两种液体温度相等时B种液体的温度 B．可以表示两种液体温度相等时A种液体加热所用的时间 C．表示A种液体每分钟的温度变化量 D．A、B两种液体加热至时的温度可用或来表示 【答案】D 【详解】解：根据图1可得： A种液体：初始温度为，后温度为，因此温度，其中是A每分钟温度变化量， B种液体：初始温度为，后温度为，因此温度，其中是B每分钟温度变化量， 选项A：温度相等时加热时间为，代入B的温度公式得，表述正确； 选项B：温度相等时温度为，对A种液体：，整理得，即A种液体的加热时间，表述正确； 选项C：是A种液体60分钟总温度变化除以时间，就是每分钟温度变化量，表述正确； 选项D：、仅表示两种液体温度的变化量，不是总温度，总温度需要加上初始温度，表述错误． 3．（2026·河南许昌·一模）图①为汽车倒车雷达中的距离报警器简化电路图，电源电压恒为，为定值电阻，为距离传感器的核心部件，其阻值随传感器到障碍物的距离s（单位：）变化的关系图象如图②所示．当传感器到障碍物的距离为时，报警器开始报警，此时电路中电流表的示数为．下列说法正确的是（   ）（温馨提示：电流表电阻忽略不计，在此串联电路中，电压（电阻电阻）×电流I） A．电阻的初始阻值为 B．当的阻值为时，报警器会报警 C．传感器到障碍物的距离越近，的阻值越大 D．定值电阻的阻值为 【答案】D 【详解】解：由图象可得，当时，，故电阻的初始阻值不为，故选项A错误，不符合题意； 由图象可得，当传感器到障碍物的距离为时，报警器开始报警，当的阻值为，故选项B错误，不符合题意； 由图象可得，随着的减小，的阻值也在逐渐减小，故选项C错误，不符合题意； 当时，，，故，即定值电阻的阻值为，故选项D正确，符合题意． 4．（2026·贵州遵义·一模）如图，在矩形中，对角线相交于点O，，，动点P从点O出发沿方向以的速度运动，同时点Q从点方向以的速度运动．当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动，若运动时间为，的面积为．点P，Q在运动时，则y的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在矩形中，，，，， ∴， ∴， 当P运动到点A时，， 当P运动到点B时，， 当Q运动到点D时，， 当点P在上时，则，，，， 过P作于H，则， ∴， ∴，则， ∴， ∴的面积， ∴该函数对应的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线， 当点P在上时，则，，， ∴的面积，是一次函数， ∴当时，该函数图象是随x增大而增大的线段，故选项C符合题意． 5．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，．点从出发，沿向终点运动，过作于点，连接．设点的运动路径长为的面积为，的面积为关于的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（   ） A． B．点在函数图象上 C．的最大值为4 D．当时， 【答案】B 【详解】解：根据函数图象可得的长度为， ， ，故A正确； 当时，如图，则， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 即时，， ∴点不在函数图象上，故B错误； 可得当时，的面积最大， 此时， ，故C正确； 当时，如图，则，， ， ， 即当时，，故D正确． 6．（2026·浙江温州·一模）如图1，在菱形中，，点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿折线向终点D匀速运动，两点同时到达终点．设运动时间为x秒，为y．如图2，y关于x的函数图象经过最低点．下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D．点在该函数图象上 【答案】B 【详解】解：连接，交于点O，过点Q作于点H，如图， ∵菱形中，， ∴，，，， ∴为等边三角形． 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 则点Q以每秒2个单位的速度沿折线向终点D匀速运动， 由图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，，则， 那么，，，由图2可知点，此时点P与点B重合，点Q与点D重合， 当点Q在线段运动时， ∴，，， ∴，解得，， 则， 那么，为 ， 当时即为图2的点E，， 当时，， 当点Q在线段运动时， 同理可得，，， ∴，， 则， 那么，为 ， 当时，， 故选∶B． 7．（2026·浙江金华·一模）如图，点为的重心，当动点从点出发沿的边逆时针运动一周，设点的运动路程为，为，关于函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D．的面积为 【答案】C 【详解】解：由图可知：当时，，即， 或（舍去）， 当时，达到最大值，且为第一段图象的终点，说明点运动到点， ，此时， 当时，即，取得最小值，此时， 在中，由勾股定理得：， ，故选项错误； ，， ， 在中，由勾股定理得：， ，故选项错误； 取的中点，连接， ∵点为的重心， ∴点在中线上，且 ， ，， ， 过点作于点， ， ， ， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：，故选项正确； ∵，， ∴，故选项错误． 8．（2026·四川广安·二模）学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从处匀速跑向处，乙同学从处匀速跑往处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为（秒），甲、乙两人之间的距离为（米），与之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．甲、乙同学的速度和为10米/秒 B．甲、乙同学在8秒时相遇 C．甲同学的速度为5米/秒 D． 【答案】C 【详解】解：由图象可得，甲、乙同学在8秒时相遇，故B正确， 甲的速度为(米秒)， 故C错误， 乙的速度为(米秒)， ∴甲、乙同学的速度和为10米/秒，故A正确， ∴，故D正确． 9．（2026·山东潍坊·一模）给如图所示的无水泳池注水，泳池的前后侧面均为直角梯形，其余各面均为矩形．如果进水速度是均匀的，泳池内水（阴影区域）的高度h与时间t变化的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意可知，开始的一部分时间，随着t的增加，高度增加得逐渐平缓，之后随着t的增加，高度增速不变，所以符合题意的只有A选项． 押题猜想七 几何综合计算题（填空） 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【改编题】如图，将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，若，则的长为______． 【答案】 【详解】解：连接、，如图所示： ∵正方形绕点A逆时针旋转得到正方形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∴． 分析有理·押题有据 近年南通中考填空压轴几何综合计算题，多集中于 17、18 题，以四边形、三角形组合图形为核心载体。高频考查勾股定理、相似三角形、特殊角三角函数与图形折叠、拼接模型。题干条件隐蔽，侧重辅助线构造与几何转化，计算精简，注重逻辑推理。命题趋势稳定，坚持数形结合，逐步融入隐圆、线段最值等动态几何内容，弱化繁杂运算，强化几何直观与模型运用，以基础模型变式为主，兼顾区分度，贴合中考核心素养考查。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，在半径为4的中，为直径，弦且过半径的中点，为上一动点，于点，即点在以为直径的圆上，当从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长为__________． 【答案】 【详解】解：记、交于点，连接，如图所示， 弦且过半径的中点， 为半径的中点， ， ，， 在中，， ， ， ， 在中，， 点在以为直径的圆上，记该圆为， 的半径，， 点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径为， 当点与点重合时，点与点重合，如图所示， 当点与点重合时，点与点重合，如图所示， ， 故答案为：． 2．（2026·江苏扬州·一模）如图，扬州市城南快速路在某个转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点行驶至终点，过点，的两条切线相交于点，机动车在从点到点行驶过程中的转角为．若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为________． 【答案】 【详解】解：连接， ，是圆的切线， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 危险区（阴影部分）的面积为， 故答案为：． 3．（2026·江苏徐州·一模）如图，在正方形中，，点O是边的中点，若点E是直线上一动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值为_______． 【答案】1 【详解】解：连接， 由旋转的性质可知， 四边形是正方形 ，， 在和 中 ， 当时，的长度最小，如图： 四边形是正方形 ∴ ∵，， ∴ 在中，，是的中点， 由勾股定理得， ∴在中， ∴线段长的最小值为1． 4．（2026·四川绵阳·二模）矩形中，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，若，则______． 【答案】 【详解】解：过点作，垂足为点， ∵矩形中，， ∴，，， 由旋转可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质知，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·山东济宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为…按此规律，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理，，， ∴， 同理，，， ， ∴， ∴． 6．（2026·山东日照·一模）如图，在菱形中，，，M是边的中点，N是边上任意一点，将菱形沿翻折，点A落在点E处，连接，则的最小值为_______． 【答案】/ 【详解】解：连接，过点作交的延长线于点， ∵菱形， ∴，， ∴ ∵ ∴， ∵M是边的中点， ∴， ∵将菱形沿翻折 ∴， ∵， ∴， ∴当点落在上时，取得最小值， ∵ ∴， ∴的最小值为． 7．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在菱形中，，，点E在边上，且，交的延长线于点F，则的长为______． 【答案】 【详解】解： ∵菱形，，， ∴，． ∵，， ∴，． 过作，交延长线于， ∴． 在中，， ∴ ， ， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 解得． 8．（2026·贵州六盘水·一模）如图，在矩形中，，，E为的中点，点F为上一点，连接，，若，则的长为______． 【答案】 【详解】解：如图，延长，交于点G， ∵四边形是矩形 ∴， ∵E为的中点 ∴ 设，则 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 整理得， 解得或（舍去） ∴． 9．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，一个正六边形和一个正方形有一个公共顶点E，且顶点A、B、C、D在同一直线上，若正六边形的边长为2，则正方形的面积为______． 【答案】 3 【详解】解：∵六边形的外角和为， ∴， ∵, ∴, ∴正方形的面积为：． 押题猜想八 函数综合计算题（填空） 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【改编题】如图，矩形的顶点B、C在x轴上，E是的中点，反比例函数的图像经过点A、E．若，，则k的值为______． 【答案】6 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵是的中点， ∴， 设，则， ∴，， ∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴． 分析有理·押题有据 近年南通中考填空函数综合题集中在中档及压轴位，以一次、反比例、二次函数为核心。命题弱化机械计算，侧重数形结合，常融合几何图形、动点、面积综合考查；一次函数高频考查含参定点问题，反比例聚焦 k 的几何意义，二次函数为填空压轴核心。命题趋势：静态基础考查减少，动态探究、存在性问题增多；结合生活情境与新定义题型，强化代数推理、整体代入等思维方法，综合性与灵活度持续提升，反套路特征明显。 终极猜想·精练通关 1．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，A、B是双曲线上的两个点，分别过点A，B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分面积为1，两个空白矩形的面积之和为6，则k的值为_________． 【答案】 【详解】解：如图，设过点A，B作x轴和y轴的垂线的垂足分别为，与交于点，两个空白的矩形面积分别表示为， ∵点A、B是双曲线上的点， ， 即， ∴， ∵图中阴影部分面积为1，两个空白矩形的面积之和为6， ∴， 又∵反比例函数图象经过第二象限， ∴． ∴． 2．（2026·安徽芜湖·二模）如图，点P在反比例函数的图象上，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，B，与的图象交于点C，D．已知矩形的面积为4． （1）________； （2）连接，当点P在反比例函数图象上运动时，线段长度的最小值为________． 【答案】 【详解】解：（1）∵点P在反比例函数的图象上，矩形的面积为4， ， 反比例函数的图象在第二象限， ； （2）设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， 由勾股定理得，即， ， 的最小值为， ． 3．（2026·陕西西安·二模）如图，矩形中，，矩形的面积为24，与轴负半轴的夹角为，双曲线（）经过点，则的值为______． 【答案】 【详解】解：过点作轴于，如图： ∵矩形的面积为24， ∴， ， ，， ， 设， 则，， 与x轴负半轴的夹角为， ， ， ，即：， 解得：， ， 由图得：， 故答案为：． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图像在第一象限交于点P，若，则k的值为______． 【答案】12 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点P在第一象限， ∴， ∵， ∴，解得或（不合题意舍去）， ∴，即点P的坐标为， 将点代入得：，解得：． 5．（2026·安徽阜阳·一模）如图，反比例函数（）与一次函数（）相交于点和点，则不等式的解集为________． 【答案】 【详解】解：∵反比例函数（）与一次函数（）相交于点和点， 将点和点代入得，解得：， 故一次函数， 令，则， ∴当时，或， 当时，，当时，， 则当时，， 故不等式的解集为． 6．（2026·黑龙江佳木斯·一模）若点、、都在反比例函数（为常数，）的图象上，且，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵、都在反比例函数（为常数，）的图象上，且， ∴时，随着的增大而增大， ∴， 当时，点在第二象限，；点、在第四象限，，此时满足， ∴的取值范围是． 7．（2026·江苏徐州·一模）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，该函数图象上的另一个“梦之点”为点H，直线为，当时，x的取值范围是____． 【答案】或 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等， ∴“梦之点”都在直线的图象上， 联立， 解得，， ∴， 把，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴函数图象如图： 由图可得，当时，x的取值范围是或． 8．（2025·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值始终有，则m的取值范围是 _________． 【答案】/ 【详解】解：，． ， ， 整理得． 因为无论取何值，该不等式始终成立，所以一次项系数，即， 此时不等式变为， ， ， ． 故答案为：． 9．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，将线段沿x轴向右平移5个单位长度得到线段，与反比例函数的图象交于点N，点M在线段上，连接，．若四边形是菱形，则k的值为_______． 【答案】8 【详解】解：由平移性质得， 当时，，则； ∵四边形是菱形， ∴， 由题意，设，则， 解得(负值已舍去)， ∴，则， ∵点N在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：8． 28 / 87 2 / 105 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $