5.3 复数的三角表示（教学课件）数学北师大版必修第二册

复数的三角表示 第五章 复 数 北师大版必修第二册·高一 学 习 目 标 1 2 3 掌握复数的三角表示式及相关概念. 了解复数三角表示式的推导过程，会进行复数三角形式和代数形式之间的互化. 通过复数的几何意义，了解复数乘除运算的三角表示式及其几何意义. 读教材 阅读课本P191-P194，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“复数的三角表示”吧！ 1.复数辐角的如何定义的？什么是复数的三角表示？复数的三角表示是如何推导的？ 2.复数的代数形式与三角形式如何进行互化？ 3.如何用复数的三角表示理解复数乘除运算的几何意义？ 单击此处添加备注 3 情境导入 复数的几何意义是什么？ （1）复数复平面内点； （2）复数平面向量 学习过程 01 03 02 目录 1 复数的三角表示式 3 复数除法运算的几何意义 2 复数乘法运算的几何意义 单击此处添加备注 5 新知探究 复数与平面向量一一对应，向量由大小和方向两个量来决定。 思考：观察分析，能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？要如何表示？ a b Z θ r 应该定量刻画向量的大小和方向这两个要素，并且向量 的大小可以用复数的模 r 来表示，向量 的方向可以借助角 来表示． 角 是以 x 轴的非负半轴为始边，向量 所在射线(射线OZ)为终边的角． 为了解决问题，首先应研究什么？ 如何用文字语言表述角 呢？ 新知探究 通过分析可以用向量的模即复数z的模，以及以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角来表示复数z 复数与平面向量一一对应，向量由大小和方向两个量来决定。 思考：观察分析，能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？要如何表示？ a b Z θ r 设，则 ＝ 因此 新知探究 当复数对应复平面的点在其他象限成立吗？ 当复数对应复平面的点在实轴或虚轴上时，这个结论成立吗？ 提出问题 改变平面向量的位置后， 通过观察分析，可以得出结论：不管角的终边落在什么位置，都有:a+bi=． a b Z θ r 新知探究 任何复数都可以表示 r(cosθ+isinθ) 其中r 定义 一般地，任何一个复数 ． r 是复数 z 的模； θ 是以 x 轴的非负半轴为始边，向量 所在射线为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角 a＋bi 叫做复数 z 的代数表示式，简称代数形式 辐角 模 r(cosθ＋isinθ) 叫做复数z的三角表示式，简称三角形式 新知探究 复数的代数形式唯一吗？复数的三角形式呢？ 代数形式是唯一的. 三角形式不唯一.例如 . 提出问题 复数三角形式不唯一，这些辐角值之间有什么关系？ 提出问题 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 2π的整数倍. 例如复数 新知探究 我们规定在 范围内的辐角θ 的值为辐角的主值.通常记作 ，即. 每一个非零复数由唯一的模与辐角的主值，并且可由它的模与辐角主值唯一确定. 复数三角形式不唯一，如何规定辐角值统一复数三角形式？ 提出问题 当 a＞0时， 如果 0，那么与它对应的向量 缩成一个点(零向量)，它的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的. 复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化. 新知探究 两个用三角形式表示的非零复数在什么条件下相等呢？ 提出问题 设， 当z1=z2时，有 所以r1=r2，即 所以θ1=θ2. 结论：两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 牛刀小试 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) × × × × × 典例分析 例1.请将以下复数表示成三角形式（辐角取主值）： ； ； 解：(1)复数 对应的向量如图所示： 因为对应的点在第一象限， 典例分析 例1.请将以下复数表示成三角形式（辐角取主值）： ； ； 解：(2)复数 对应的向量如图所示： 因为对应的点在第四象限， 所以arg 典例分析 例1.请将以下复数表示成三角形式（辐角取主值）： ； ； 解：(3)复数 对应的向量如图所示： 因为对应的点在 x 轴负半轴上， 所以arg 归纳小结 复数代数形式化为三角形式的步骤 1.先求复数的模r＝|z|； 2.确定Z(a，b)所在的象限； 3.根据象限求出辐角； 4.写出复数三角形式.三角形式中的辐角，不一定是辐角主值，但为使表达式简单，常取辐角主值． 新知探究 例2.分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：；(2)) ． 解： (1)复数的模，一个辐角， 所以 ． (2)复数 的模，一个辐角， 所以 对应向量如图所示 对应向量如图所示 学习过程 01 03 02 目录 1 复数的三角表示式 3 复数除法运算的几何意义 2 复数乘法运算的几何意义 单击此处添加备注 19 新知探究 复数的代数形式有乘除运算，那么复数的三角形式是否可以乘除运算？如果可以，又以什么规律进行运算？ 复数乘法能表示成三角形式，其三角表示公式为 sin•sinisin ． 提出问题 如果把复数，分别写成三角形式， sin，你能计算 并将结果分别表示成三角形式吗？ 两个复数相乘，积的模等于它们的模的积，积的辐角等于它们的辐角的和，可以简述为“模相乘，辐角相加”． 复数乘法能表示成三角形式，其三角表示公式为 sin•sinisin ． 定义 新知探究 用文字语言可表述为：两个复数相乘，积的模等于它们的模的积，积的辐角等于它们的辐角的和，可以简述为“模相乘，辐角相加”． 新知探究 思考：复数的加、减运算具有几何意义，那么复数乘法很可能也具有几何意义．请你由复数乘法运算的三角表示进行探索、尝试． 两个复数，相乘时，可以先分别画出它们分别对应的向量， ， 然后把向量绕点原点 O 按逆时针方向旋转角（若<0，就要把绕原点 O 按顺时针方向旋转角| |）， 再把它的模变为原来的倍，得到向量， 表示的复数就是积．这就是复数乘法的几何意义． 典例分析 例3.如图，向量与复数 对应，把绕原点 O 按逆时针方向旋转120°得到． 求向量对应的复数（用代数形式表示）． 解：根据复数乘法的几何意义，所求的复数就是 乘一个复数的积，其中复数的模是1，辐角的主值是120°． 故所求的复数是 ． ． 典例分析 例3 试证明：． 证明： 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　． 学习过程 01 03 02 目录 1 复数的三角表示式 3 复数除法运算的几何意义 2 复数乘法运算的几何意义 单击此处添加备注 25 新知探究 提出问题 如果把复数，分别写成三角形式， sin，且你能计算 并将结果分别表示成三角形式吗？ 复数除法能表示成三角形式，其三角表示公式为 定义 新知探究 用文字语言可表述为：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．可以简述为“模相除，辐角相减” 新知探究 思考：复数的加、减运算具有几何意义，那么复数除法很可能也具有几何意义．请你由复数除法运算的三角表示进行探索、尝试． 由，结合图形，可以得到复数除法运算的几何意义为： 两个复数，相除时，可以像右图那样，先分别画出与，对应的向量， ， 然后把向量绕点O按顺时针方向旋转角（如果<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角| |），再把它的模变为原来的倍，得到向量， 表示的复数就是商． 这就是复数除法的几何意义． 复数除法实质也是向量的_______________． 旋转和伸缩 典例分析 解： 例4 计算 ，并把结果化为代数形式． 思考交流 思考交流：请计算复数 的平方根和3次方程，并与同学交流. 解：设，且， ∵，∴k可取0、1， 思考交流 思考交流：请计算复数 的平方根和3次方程，并与同学交流. 设z2＝ r2(cos y＋isin y)，且z23＝ r(cos θ＋isin θ)， ∴r23(cos 3y＋isin 3y) ＝ r(cos θ＋isin θ)， ∴r22 ＝r，且3y＝θ＋2kπ(k∈Z)， ∵y∈[0，2π)，θ∈[0，2π)，∴k可取0、1、2， 课堂小结 感谢聆听! (1)z=cos-isin是复数z=1-i的三角形式.(　　) (2)复数0没有三角形式.(　　) (3)复数z=2cos-+isin-的辐角主值为-.(　　) (4)z=sin+icos的辐角主值为.(　　) (5)复数z=2cos+isin的共轭复数的三角形式为=2(cos-isin).(　　) $