专题14 几何图形存在性问题的分类讨论（5大题型，压轴题专项训练）2026年中考数学(全国通用)

**基本信息** 以分类讨论思想为核心，构建“触发条件-分类基准-标准化流程”三阶方法体系，系统覆盖几何存在性问题解题逻辑，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法总述|/|提炼5类触发条件、2大分类基准、四步标准化流程（标基定界-逐类求解-逐一验证-整合结论）|从分类必要性判定到操作落地，形成“原理-方法”逻辑链| |压轴题型专练|5题型×5题|等腰三角形按腰分类、直角三角形按直角顶点分类等5类核心分类策略|针对不同几何图形本质特征，建立“图形定义-分类基准-坐标运算”对应关系| |综合实战演练|13题|综合应用前述方法解决复杂存在性问题|通过跨题型整合，强化“静态定基准，动态分情况”的模型观念|

专题14 分类讨论思想在压轴题中的应用 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 等腰三角形存在性问题中的分类讨论思想 题型02 直角三角形存在性问题中的分类讨论思想 题型03 平行四边形存在性问题中的分类讨论思想 题型04 特殊平行四边形存在性问题中的分类讨论思想 题型05 角度存在性问题中的分类讨论思想 模块三、综合实战演练 一、分类讨论思想在压轴题中的应用解题策略： 一、先判需不需要分：明确分类讨论的触发条件 压轴题中出现以下特征，必须启动分类讨论，避免因漏情况导致错解/漏解： 1. 条件模糊无定形：题干未明确图形形状、点线位置、边角对应关系（如“以某三点作三角形”“线段与抛物线相交”）； 1. 元素动态有变化：动点、动线段、动图形导致位置/形状改变（如动点在直线/抛物线/线段不同段运动、图形旋转/平移后位置不确定）； 1. 概念定义多情况：几何概念本身含多种判定可能（如等腰三角形的腰、直角三角形的直角顶点、平行四边形的对角线）； 1. 函数参数有范围：含参数的函数中，参数取值影响图象/性质（如二次函数的正负决定开口、一次函数的正负决定增减性）； 1. 位置关系不唯一：两图形的相交、相离、相切，或点在图形内/外/上的位置不确定。 二、核心定怎么分：选准分类基准，保证不重不漏 分类的关键是确定单一、统一的基准，拒绝多维度交叉分类，按“一个标准分到底”，中考压轴题高频分类基准分两类： 1. 几何类压轴题（主流）：优先按图形核心判定要素（等腰分腰、直角分直角顶点、平行四边形分对角线/边）；其次按动点位置（动点在图形不同段、坐标系不同象限）；最后按图形位置关系（相交的不同交点、点与图形的位置）。 1. 函数/几何综合压轴题：先按几何特征分类（如特殊图形的判定情况），再在每类中按参数取值/动点位置细分；纯函数题直接按参数范围/图象交点位置分类。 技巧：分类前先梳理题干中不变的静态条件（定点、定线段、定解析式），以“静态定基准，动态分情况”，避免基准混乱。 三、分步落地：分类讨论的标准化解题流程 1. 标基定界：明确基准，标注每类条件边界 确定分类基准后，逐类罗列情况并明确每类的条件边界（如“情况1：以AB为腰，作等腰△ABC”、“情况2：动点P在抛物线对称轴左侧（x<1）”），用序号清晰标注，防止情况交叉或遗漏。 2. 逐类求解：独立推导，紧扣每类专属条件 每类情况单独解题，严格遵循该类的条件边界，不与其他情况混淆；结合对应知识点推导（几何类用距离/中点/斜率公式、全等/相似，函数类用联立方程、函数性质，综合类数形结合设参列解）；即使某类看似无解，也需完整推导并明确“无符合条件的解”，不跳过。 3. 逐一验证：剔除无效解，贴合所有条件 每类求解后，必须验证结果是否同时符合题干总条件、该类边界条件、几何/代数实际，剔除三类无效解： · 违反限定：参数超出取值范围、点不在指定图形（线段/抛物线）上； · 图形退化：三点共线成线段、四点共线无四边形、三角形边长为0； · 矛盾不符：求解结果与分类假设矛盾（如假设∠A为直角，计算后∠A≠90°）。 4. 整合结论：汇总有效解，规范清晰作答 将所有类别的有效解按序号集中汇总，几何题明确点坐标、图形位置，函数题明确参数值、最值、交点坐标，综合题结合几何与代数结论；作答时做到“分类清晰、结论集中”，避免不同情况的结论分散书写。 四、高频压轴题型分类讨论适配技巧 1. 几何存在性问题（等腰/直角三角形、特殊平行四边形）：定2个定点，以1个动点为核心，按图形定义分情况；用坐标公式列等式，重点验证“三点/四点不共线”。 1. 动态几何最值问题：按动点的轨迹分段分类（如线段AB/BC段、抛物线左/右支）；每段单独建函数求最值，最终比较各段最值得全局最值。 1. 函数与几何交点问题：先按几何图形边界（线段/射线/直线）分类，再联立函数解析式；结合自变量取值范围筛选交点，排除线段/图形外的解。 1. 角度存在性问题：按角的顶点/两边对应关系分类，或用隐形圆限定轨迹后按轨迹位置分；用三角函数、斜率列条件，验证角度符合题干要求。 题型01 等腰三角形存在性问题中的分类讨论思想 1．如图，二次函数的图象经过点、、，连结，点为抛物线上一动点（点不与点、、重合），且点的横坐标为，过点作轴交直线于点，交轴于点，连结． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，上存在一点，使得的值最小，求点的坐标； (3)当点在直线上方时，连接、、，求四边形面积的最大值； (4)当为等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)4 (4)或1 【分析】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，将军饮马求最短距离问题，二次函数与面积综合题，等腰三角形分类问题，综合性强，难度较大． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由二次函数表达式为可得抛物线对称轴为直线，即可得到点坐标为，点A、B关于对称轴对称，从而得到当时，为抛物线的对称轴，存在一点，使得的值最小，此时点E即为直线与对称轴的交点．求出直线解析式为，即可得到点的坐标为； （3）根据点的横坐标为得到点的纵坐标为，点坐标为，求出，根据得到，根据二次函数性质即可求出当时，四边形面积的最大，最大值为4； （4）根据，，，求出，，，根据为等腰三角形，分，，三种情况列出方程，解方程舍去不合题意解，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点、， ∴，解得， ∴二次函数表达式为； （2）解：由二次函数表达式为可得抛物线对称轴为直线， ∵， ∴点坐标为，点A、B关于对称轴对称， ∴当时，为抛物线的对称轴，存在一点，使得的值最小，此时点E即为直线与对称轴的交点． 设直线解析式为， ∵点、， ∴，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； （3）解：∵点的横坐标为， ∴点的纵坐标为，点坐标为， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形面积的最大，最大值为4； （4）解：如图， ∵，，， ∴， ， ， ∵为等腰三角形， 当时，，解得（均不合题意，舍去）； 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得． 综上所述，符合条件的的值或1． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积取得最大值为 (3)点的坐标为：，， 【分析】（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可； （2）根据函数解析式设出点坐标，过点作轴于，交于点，交轴于点，过点作，垂足为，如图所示，表示的面积，运用二次函数分析最值即可； （3）设出点坐标，分三种情况讨论分析即可． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴， 解得， 二次函数的解析式为：y； （2）解：由、， 设， 则， 解得， 所在直线解析式为， 过点作轴于，交于点，交轴于点，过点作，垂足为，如图所示： 设，则点， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积取得最大值为； （3）解：的对称轴为直线， 设，又、， 则，， 当时，， 解得：， 此时； 当时，， 解得：，此时； 当时，， 解得：，此时； 综上所述，点的坐标为：，，． 3．如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)若点在抛物线上，且它的横坐标为，与交于点，当的值最小时，求点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴交于点，则，由题意可知，，则，当时，有最小值，此时； （3）设，求出，，，分三种情况讨论：当时，；当时，，无解；当时，或． 【详解】（1）解：将点，，点代入中， ， 解得， ； （2）当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 过点作轴交于点， ， 点横坐标为， ，， 当时，有最小值，此时； （3）存在点，使得是等腰三角形，理由如下： ， 对称轴为直线， 设， ，，， 当时，，解得， ； 当时，，无解； 当时，，解得或， 或； 综上所述：点坐标为或或． 4．综合与探究： 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B，与x轴的另一个交点为点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第二象限内抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点G，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，，，， 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、两点之间线段最短、勾股定理、等腰三角形的判定、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． （1）由一次函数解析式确定，再由待定系数法确定二次函数解析式即可； （2）根据题意得出∴，设点P的横坐标为，得出，，，作轴于点，交于点，然后表示出，利用二次函数的性质求解即可； （3）根据题意得出对称轴为， 设，根据等腰三角形的性质及勾股定理分情况求解即可． 【详解】（1）解：直线，当时，， 当时，， 解得， ， 抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：对于， 又∵， ∴， ∴， 设点P的横坐标为， ，，， 如图2，作轴于点，交于点，   ， ∴， 即， ∴当时，取得最大值为， ， ∴四边形面积的最大值为：； （3）解：存在， ∵, ∴对称轴为， ∵点G在对称轴上， ∴设， ∵， ∴，，， ∵是等腰三角形， ∴当时，， 解得：， ∴点G的坐标为或； ∴当时，， 解得：， ∴点G的坐标为或； ∴当时，， 解得：， ∴点G的坐标为； 综上可得，点G的坐标为，，，，． 5．如图1（注：与图2完全相同），在平面直角坐标系中，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)P是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小时点P坐标（请在图1中探索）； (3)在抛物线对称轴上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）． 【答案】(1)抛物线的解析式为，对称轴为直线 (2) (3)存在，，，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式，再根据抛物线的轴对称公式即可求解； （2）根据抛物线的对称性可得，分析可得当三点共线时，的值最小，连接交抛物线的对称轴于点，利用待定系数法求出直线的解析式，再代入到直线的解析式，即可求出点P坐标； （3）设，分三种情况讨论：①；②；③，分别利用勾股定理列出方程，求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，设抛物线的解析式为， 代入得，， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵P是抛物线对称轴上的一点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 如图1，连接交抛物线的对称轴于点， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点P坐标为； （3）解：存在， ∵， ∴， 设， 则，， ①若，则， 解得：， ∴； ②若，则， 解得：， ∴或； ③若，则， 解得：， ∴或； ∴综上所述，符合条件的点M的坐标为，，，，． 核心：按腰的不同分类，即“任意两边为腰”，三顶点中定 2 个定点、1 个动点，分 3 种情况。 1. 设定点 、，动点 ，分：① ；② ；③ ； 1. 用距离公式列等式，求解动点坐标； 1. 关键：验证三点不共线，排除退化情况。 题型02 直角三角形存在性问题中的分类讨论思想 1．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)写出点A，B，C的坐标； (2)点P为第一象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)若M为抛物线的对称轴上的一个动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)点、、的坐标分别为：、、； (2) (3)点的坐标为：或或或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性、图形的面积计算等，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏； （1）令，则或5，令，则，即可求解； （2）过点作轴交于，交直线于点，将问题转为，再利用二次函数的性质求解； （3）分为斜边、为斜边、为斜边三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：令，则或5，令，则， 故点、、的坐标分别为：、、； （2）解：设点，其中，过点作轴交于，交直线于点， 设直线：，将、代入其中， ，解得：， ， ， ， ， ，抛物线开口向下，其最大值在顶点处取得， ，代入上式得：最大值为， 面积的最大值；； （3）解：设点，而点、的坐标分别为：、， 则，，， ①当为斜边时，则，解得：； ②当为斜边时，同理可得：； ③当为斜边时，同理可得：或； 综上点的坐标为：或或或． 2．已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求的值； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，连接，求的面积的最大值及此时点的坐标； (3)在第2问的条件下，为抛物线对称轴上的一动点，是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点P坐标为 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理、图形的面积计算等，其中（3），要用分类求解，避免遗漏． （1）用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的表达式为：，过点作轴交于点，设点，则，由面积，即可求解； （3）由为直角三角形，分三种情况讨论，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：将、入得： 解得：， ∴抛物线解析式为 （2）解：将代入得：， ， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得： ， 解得： 即直线的表达式为：， 过点作轴交于点， 设点，则， 则面积， ， 故面积有最大值， 当时，面积的最大值为，此时点P坐标为； （3）解：存在， 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 设点， 由勾股定理得：， 同理可得：，， 由为直角三角形，分三种情况讨论： 当时， 则， 解得：， 即点或； 当时， 则， 解得：， 即点； 当时， 则， 解得：， 即点， 综上，点的坐标为：或或或． 3．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)求点A的坐标； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或． 【分析】本题考查了二次函数综合题，需要综合运用抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理等． （1）将、代入得方程组，解方程组即可； （2）令，则，解方程即可求出点A的坐标； （3）设点P的坐标为，先由两点间的距离公式得，，，再分两种情况讨论：当为斜边时，则；当为斜边时，则；分别解方程即可． 【详解】（1）解：将、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴点A的坐标为； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴分以下两种情况讨论： 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴； 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，存在符合条件的P点，，． 4．抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点B，且经过，两点． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理、点的对称性等知识． （1）用待定系数法即可求解； （2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小，进而求解； （3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过， ∴， 设抛物线的表达式为， 将代入上式得：，解得， ∴抛物线的解析式为：； 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小， 把代入直线得，故， 即当点M使时，M的坐标为； （3）设， ∵，， ∴， 若点B为直角顶点时，则， 即， 解得； 若点C为直角顶点时，则， 即 解得， 若P为直角顶点时，则， ∴， 解得， 综上，点P的坐标为或或或． 5．已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1)， (2)存在，点P坐标为 (3)当是直角三角形时，点M的坐标为或或或 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当周长最小时，点P的坐标为． （3）解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 核心：按直角顶点的不同分类，三顶点中定 2 个定点、1 个动点，分 3 种情况。 1.设定点 、，动点 ，分：① （）；② （）；③ （）； 2.用斜率乘积为 （或勾股定理）列等式，求解动点坐标； 3.关键：单独讨论斜率不存在的垂直情况（竖直线/水平线）。 题型03 平行四边形存在性问题中的分类讨论思想 1．如图，抛物线经过三点，交轴于点． (1)求a，b的值； (2)在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求的面积； (3)点为轴上一动点，抛物线上是否存在一点，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积为 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）将代入，求出，得到抛物线的解析式，将代入解析式，即可求出b的值； （2）连接，求出直线的解析式为，使的值最小，即点为直线与对称轴的交点，得到，即可求出三角形的面积； （3）当点在轴下方时和当点在轴上方时进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：将代入， 得到， 解得， 故抛物线解析式为， 将代入解析式，得， 解得； ； （2）解：抛物线解析式为， ， 对称轴为直线， 连接，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 使的值最小，即点为直线与对称轴的交点， 当时，， ， ； （3）解：①当点在轴下方时，如图， ∴ 抛物线的对称轴为直线，， ∴点纵坐标为， 将代入， 解得或（舍去）， ; ②当点在轴上方时， 过点作轴于点， 在和中， ， ，即点的纵坐标为， ， 解得或 或， 综上所述，符合条件的坐标为或或． 2．已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点，点为抛物线上的一个动点， (1)求抛物线的解析式； (2)当点在第一象限时，连接和，求面积的最大值是多少？ (3)若点在轴上，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由待定系数法可求得直线的解析式，设，，即可求得的长，可得，利用二次函数的性质，即可求得当的面积最大值； （3）分当四边形为平行四边形时，和当四边形为平行四边形时两种情形解答，利用平行四边形的性质，对边平行且相等，求得点的纵坐标，再将其代入抛物线的解析式即可求得结论． 【详解】（1）解：将点、的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：过作轴交于点． 设直线的解析式为：， ，解得， 直线的解析式为， 设，， ， 的面积， ∵， 当时，的面积最大，最大面积为； （3）解：， 顶点的坐标为． ①当四边形为平行四边形时， 四边形为平行四边形， ，． ， 即． ． 令，则． ， 点的坐标为或． ②当四边形为平行四边形时， 四边形为平行四边形， ，． ，即． ， 令，则． , 点的坐标为或． 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 3．如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标： (3)R是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点S，使得以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）作轴交于点，求出直线的解析式，将的面积转化为二次函数求最值即可； （3）分分别为平行四边形的对角线，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过坐标轴上三点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， 作轴交于点，设，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，为，此时． （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，， ∵，当以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形时， ①当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ②当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ③当为对角线时，，解得， ∴， ∴； 综上：或或． 4．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，点，与轴交于点，直线与抛物线相交于、两点，且与轴相交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段的一个动点，过点作轴的平行线与抛物线相交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线向左平移1个单位，得到新抛物线与原抛物线交于点，在新抛物线对称轴找一点，在新抛物线找一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出的坐标 ． 【答案】(1) (2)最大值为， (3)或 【分析】（1）把，代入，求的值即可； （2）先求直线的解析式，设，，求出关于的关系式．延长交轴于点，证明是等腰直角三角形，得到，再求出关于的关系式，即可求解的最大值及此时点的坐标； （3）先求出新抛物线的解析式，设，，分，，为对角线，分类讨论即可． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 把，代入得， ，解得， 直线的解析式为． 直线与抛物线相交于、两点， ， 解得或， ． 设，， ， 且， ． 如图，延长交轴于点， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． ，开口向下， 该函数图象有最大值， 对称轴为直线， 且在中， 当时，取最大值，为． 把代入中得，， ； （3）解：由题意得新抛物线的解析式为：， 对称轴为轴，即直线， 设，， ①若为对角线， ，解得， 把代入中得，， ； ②若为对角线， ，解得， 把代入中得，， ； ③若为对角线， ，解得， 把代入中得，， ； 综上所述，点的坐标为或． 5．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，点B在点A的右侧，与y轴相交于点C． (1)求点A，B，C的坐标； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，求点P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)，或 【分析】（1）把代入抛物线解析式可求得C点的坐标，把代入抛物线解析式，解方程可求得A、B两点的坐标； （2）根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，连接，交抛物线的对称轴于点，连接，分析可知当三点共线时，的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式为，再代入到，即可求得点的坐标； （3）设，，分3种情况讨论：①若是对角线；②若是对角线；③若是对角线，利用平行四边形的性质列出方程组，求出的值，即可得出点N的坐标． 【详解】（1）解：当时，则； ∴， 当时，则， 解得，， ∵点B在点A的右侧， ∴，； ∴综上所述，，，； （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接， ∵点和点关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 设直线的解析式为， 将代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：由（1）得，，， 设，， ∵以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形， ∴分3种情况讨论： ①若是对角线， 则， 解得（舍去）或， ∴； ②若是对角线， 则， 解得或， ∴或； ③若是对角线， 则， 解得（舍去）或， ∴； ∴综上所述，点N的坐标为，或． 核心：按定线段为边/对角线分类，四顶点中定 2 个定点、2 个动点，分 3 种情况（定线段为对角线 1 种，为边 2 种）。 1.设定点 、，动点 、，分：① 为对角线（中点重合： 中点= 中点）；② 为边（ 且 ）； 2.用中点坐标公式列等式（最简便），求解动点坐标； 3.关键：分类按“对角线”划分，避免漏解，验证四点不共线。 题型04 特殊平行四边形存在性问题中的分类讨论思想 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A、C，交y轴于点B．其中． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P为直线下方抛物线上一动点，过P作轴交于点D，点M是对称轴上的一个动点，点N是y轴上的一个动点，求出当取最大值时，点P的坐标，及此时的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，当取最小值时，将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线，H为y轴上一点，Q为x轴上一点，当点K在新抛物线的对称轴上时，是否存在这样的点K，使得以D，K，H，Q为顶点的四边形是以为边的矩形，若存在，请直接写出符合条件的K的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】（1）根据已知条件求出A，C的坐标，再利用待定系数法求得抛物线的解析式即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据已知条件设，，得到线段的表达式，延长交x轴于点Q，将进行转化，从而得到，当时有最大值，从而求出点P的坐标，过点P作y轴的对称点，点为A关于抛物线对称轴的对称点，当，N，M，四点共线时，所求结果有最小值，即求的长度即可； （3）先根据题意得出点D坐标和新抛物线的对称轴，根据题意，分两种情况讨论：①当时，②当时，针对不同情况作对应辅助线，利用相似三角形的性质得到对应线段成比例关系，再设出相关点坐标结合图象列出方程并求解未知数，即可得到K的点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 将点A，C代入抛物线得， ，解得， ∴抛物线表达式为． （2）解：设直线的解析式为， 将点B，C代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， ∵轴，D在直线上， ∴设，， ∴， 如图，延长交x轴于点Q， ∴，则， ∴，， ∴， 当时，有最大值， ∴， 过点P作y轴的对称点，点为A关于抛物线对称轴的对称点， ∴当，N，M，四点共线时， ． （3）解：由题意知，原抛物线y的对称轴为，， ∵抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的对称轴为， 根据题意，分以下情况讨论： ①当时， 如图，作轴，过点D分别作，轴， 设， ∴，， 易证得：， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴，则， ∴， ∴， 设， ∴有，解得， ∴； ②当时， 如图，过点D作轴， 设， 易证得， ∴，， ∴， ∴， ∴有，解得或3， 设， ∵在第二象限，即， ∴， 当时，， 同理，设， ∵在第三象限，即， ∴， 当时，， 综上所述，或或． 2．如图，一次函数与二次函数的图象交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点C为抛物线对称轴上一动点，当与的和最小时，点C的坐标为_______； (3)点D为抛物线位于线段下方图象上一动点，过点D作轴，交线段于点E，求线段长度的最大值并求出此时点D的坐标． (4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)有最大值为， (4) 【分析】（1）将，代入得到关于，的二元一次方程组求解即可； （2）抛物线的对称轴为，求出直线与对称轴的交点即可求解； （3）设，则，则，根据二次函数的性质得出的最大值，即可求解此时点坐标； （4）根据题意画出图形，分情况求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， ，解得， 抛物线的解析式为：； （2）解：如图，设直线的解析式为：， 把点 ，代入， 得，解得 ， 直线的解析式为： ， 由（1）知抛物线的对称轴为， 点为抛物线对称轴上一动点，， 当点在上时，最小， 把代入，得， 点的坐标为， 故答案为：； （3）解：如图，由（2）知 直线的解析式为，    设，则， 则， 当时，有最大值为， ∴ （4）解：如图，直线的解析式为：， 直线与轴的交点为， ， ， ， ， 若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，分情况讨论： ①过点C作轴于点，则为等腰直角三角形，过点C作 ，则四边形为正方形， 依题意，知D与F重合，点的坐标为；    ②以为中心分别作点F，点C的对称点 ，连接，则四边形是正方形， ∵， ∴点的坐标为；    ③延长到使，作于点，则四边形是正方形，    ∵点的坐标为，即，且为中点， ∴的坐标为； ④取的中点，的中点，则为正方形， ∵， ∴的坐标为，    综上所述，点N的坐标为： 3．【概念感知】 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标的4倍，我们称这个点为“四倍值点”． 【概念理解】 （1）求反比例函数上的“四倍值点”的坐标； 【概念应用】 （2）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象交x轴于点A、B两点（B在A的左边），交y轴于点，该抛物线的顶点P恰好是一次函数的四倍值点，以原点为中心，把点B顺时针旋转，得到点H．D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作于点E，与交于点F，设点D的横坐标为m． ①求点P的坐标和二次函数的解析式； ②当线段的长度最大时，求D点的坐标； ③若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点H，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或；（2）①点P的坐标为；；②；③或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，一次函数与反比例函数的图象和性质，熟练掌握新定义，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）①根据新定义，求出抛物线的顶点坐标，设出顶点式，利用待定系数法进行求解即可； ②求出直线的解析式，设，则，利用两点间的距离公式，列出二次函数关系式，求最值即可； ③分为边和为对角线，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：设反比例函数上的“四倍值点”的坐标为； 解得：， 经检验，是所列方程的解， 当时，； 当时，． 反比例函数上的“四倍值点”的坐标为或 （2）①解：设一次函数的四倍值点的坐标， ，解得：， 一次函数的四倍值点的坐标为， 该抛物线的顶点P恰好是一次函数的四倍值点， 该抛物线的顶点P的坐标为 设二次函数的解析式为 该二次函数的图象交y轴于点 把代入中得：，解得： ∴，即： ②对于，令则， 解得：，， ，， 设直线的解析式为， 把和分别代入得：，解得：， 直线的解析式为， ，且D点的横坐标为， ，则， ， 抛物线开口向下，二次函数有最大值 当时，有最大值，的最大值是， 当时，， ； ③或，理由如下： ∵， ∴， ∵以原点为中心，把点B顺时针旋转，得到点H， ∴， ∴， 如图1当以为边作矩形，连接交于点T， 设，，， ，解得：， 过P作轴，垂足为，则， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 解得：， 如图2当以为对角线作矩形， 轴，轴， 4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是，求的值； (3)点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点， ①求线段的最大值， ②在轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②存在，边长为或2 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）①根据题意求出点坐标，得到直线的解析式，设，则，进而可得即可；②分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：， 故； （3）①当时，解得：，当时，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∴， 故线段的最大值为； ②存在； 由①知，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 5．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上找一点P，作，E为轴上一个动点，当为最大值时，求线段的最小值； (3)若点M为直线上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，M点的坐标为或或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）过点作轴交于点，当最大时，则最大，求得点坐标，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点，此时最小，即可求解； （3）当为菱形对角线时，，列出等式即可求解；当、为菱形对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：将点，点代入， 可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴交于点， 令，则， ， ， ， 轴 ， ， ∴当最大时，则最大， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，则， ， 当时，最大，即最大， ， ∴点； 作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 此时，取到最小值， 即的最小值； （3）解：存在点和点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形， , ∴抛物线对称轴为直线， 设，， ①当为菱形对角线时，此时， ， 解得， ； ②当为菱形对角线时，， ， 解得， 或， ③当为菱形对角线时，， ， 解得或（与点重合，故舍去）， ； 综上所述：点的坐标为或或或． 核心：先按平行四边形分类，再补充菱形/矩形/正方形专属条件，层层递进讨论。 1.菱形：平行四边形基础上，加邻边相等（距离公式）或对角线垂直（斜率乘积为 ）； 2.矩形：平行四边形基础上，加邻边垂直（斜率乘积为 ）或对角线相等（距离公式）； 3.正方形：平行四边形基础上，加邻边相等且垂直（菱形 + 矩形条件）； 4.关键：先保证平行四边形，再补特殊条件，减少讨论量。 题型05 角度存在性问题中的分类讨论思想 1．如图1，已知抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)如图2，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点M，作轴交于点，求的边上的高的最大值； (3)如图3，连接、，在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用抛物线经过的点以及对称轴，通过解方程组求出抛物线的解析式； （2）先求出直线的解析式，再设出点的坐标，进而表示出与的长度，得到，是等腰直角三角形，的长度，过点作于，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等腰三角形三线合一可得的长，根据二次函数的性质求出最大值即可； （3）分点在上方和下方两种情况，通过构造全等三角形，利用全等三角形的性质以及角度关系来确定点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的图象与轴交于、两点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴，解得， 抛物线所对应的函数表达式为：． （2）解：点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ， 对于抛物线，令，得， ， 设直线解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线解析式为， 设，则， 令，得， ， ，， ，是等腰直角三角形，， 如图，过点作于，则点是的中点， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 即的边上的高的最大值为． （3）解：当点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线于点， ，，， ，， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设直线解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线解析式为， 联立，解得或， ； 当点位于下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接， 对于抛物线， 令，得， 解得或， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ，即， ， 点与点重合， ， 综上所述：或． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接、，当面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）过P作轴，交于F，求出，从而可得直线解析式为，进而得出直线的解析式为，联立，可得， 设，则，，表示出，结合二次函数的性质可得当时，最大，由是定值，且，可得最大，即可得出结果； （3）设与交于点L，由勾股定理可得，结合二次函数图象平移的性质可得，先证明，从而可得，求出解析式为，解析式为，当时，联立，计算即可得出；设关于x轴对称点为，求出 直线解析式为，联立，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线为； （2）解：如图，过P作轴，交于F， 在中，令，则． ∴． 设直线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∵是定值，， ∴最大， ∴当面积最大时，； （3）解：设与交于点L， ， ∵，， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线，向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到新抛物线，为， 即， ∵点为点P的对应点， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 当时，联立， 解得或（舍去）， ∴； 设关于x轴对称点为，直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∴联立， 解得（舍去）或， ∴． 综上所述，点Q的坐标为或． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C，点A在x轴的负半轴上，，点D是抛物线的顶点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是线段下方抛物线上的一个动点，过点P作交y轴于点E，过点P作轴交AD于点F，点M，N为x轴上两个动点，点M在点N的左侧，，连接．当取得最大值时，求P点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，过点A作于点R，点Q是新抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出求解点Q横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)P 点坐标为 ，的最小值为 (3)或 【分析】（1）先求出，再根据，在 轴负半轴，求出，将、代入抛物线即可求解． （2）先求出顶点 ，从而求出直线 解析式，根据，，得出，从而得，求出，设 ，则，即可表示出，得出当时，取得最大值，求出P 点坐标为 ，将 向左移1个单位得 ，则，证出四边形是平行四边形，则，作点关于轴的对称点，得，则当点共线时，最小，最小值为，求出，即可解答． （3）根据题意得出抛物线沿射线方向平移个单位长度，即将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，求出新抛物线解析式为：，分①当点位于直线上方时，②当点位于直线下方时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：在抛物线 中，令，则，则， ∴， ∵，在 轴负半轴， ∴， 将、代入抛物线得： ， 解得：， ∴抛物线表达式为：． （2）解：∵抛物线表达式为：， ∴顶点 ， 设直线解析式为， 则，解得：， ∴直线解析式为 ， ∵， 设直线解析式为， 则，解得：， ∴直线解析式为 ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 这是开口向下的二次函数，故当时，取得最大值， 将代入得 ​， ∴P 点坐标为 ， ∵，将 向左移1个单位得 ，连接， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作点关于轴的对称点，连接， 则， ∴， 当点共线时，最小，最小值为， ∵， ∴的最小值为． （3）解：∵，，， ∴抛物线沿射线方向平移个单位长度，即将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度， 新抛物线解析式为：， ①当点位于直线上方时， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即，点是与轴的交点， 在中，令， 解得：（舍去）或， ∴点的横坐标为； ②当点位于直线下方时， 如图，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作，则， 设，则， ∵， ∴，即， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立和，整理得， 解得：或（舍去，此时为钝角）， ∴点的横坐标为． 综上，点的横坐标为或． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的二次函数的图象交轴于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)点、在直线上，点是第二象限位于抛物线上一点，点在轴上若四边形是正方形，求点的坐标； (3)连接、，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求出的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）连接，，设，根据求解即可； （3）作，根据在上方或下方两种情况讨求解即可. 【详解】（1）解：∵当时，， ∴， ∵当时，，， ∴， ∵二次函数的图象过两点， ∴，解得：， 即：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接，， ∵， ∴， ∴， ∴即：， ∵四边形是正方形， ∴，即：， ∴互相垂直平分，， ∵点是第二象限位于抛物线上一点， ∴设， ，解得：， ∴， ∴， 解得：（舍）， ∴； （3）答：存在，或，理由如下： 过点作，过点B作 ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是正方形， 当时，， ∴， ∴即：， 如图：当在下方时，过点作射线使交于点交抛物线于点，此时， ∵， ∴， ∴， 即：， 设直线的解析式为：， ∴解得：， 即：， ∵， ∴（舍）或， ∴； 当在上方时， 作点关于的对称点， ∵四边形是正方形， ∴点在上，，， ∴， ∵时，， ∴在抛物线上， ∵， ∴， 当与重合时，，此时，， 综上：存在，或. 5．如图，直线与抛物线交于两点，直线与y轴交于点C． (1)求抛物线与直线的解析式； (2)点P在抛物线上，直线交x轴于Q，连接，当的面积是面积的2倍时，求点P的坐标； (3)点M为坐标轴上的动点，当时，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)直线解析式为，抛物线解析式为 (2) (3) 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由一次函数解析式可得点C坐标，从而可得，由的面积是面积的2倍可得点P到的距离是点Q到的距离的2倍，再分类讨论点P的位置并结合图像求解即可； （3）分别讨论点M在x轴正半轴，y轴负半轴与正半轴三种情况，由长度不变，角度不变可得为弦所对圆周角，从而可得所对圆心角为直角，进而求解即可． 【详解】（1）解：代入得： ，解得：， ∴抛物线解析式． 将代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：①点P在x轴上方时，过点P作x轴平行线，交y轴于点F，交直线于点E， 将代入得， ∴点C坐标为， ∵， ∴C为中点，即， ∴当的面积是面积的2倍时，点P到的距离是点Q到的距离的2倍， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P纵坐标为， 将代入得，解得， ∴点P坐标为或． ②点P在x轴下方时，连接，轴于点K， ∵C为中点， ∴， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴点Q为中点， 又∵， ∴， ∴，即点P纵坐标为， 将代入得，解得∴点P坐标为或． 综上所述，点P坐标为或或或． （3）解：①点M在x轴正半轴上，作轴于点N， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点M坐标为． ②如图，点M在y轴负半轴，作于点G， ∵长度不变，， ∴点A，B，M在同一个圆上， ∵， ∴点G为外接圆圆心， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴点M坐标为， 此时，， 所以是等腰直角三角形，符合题意； ③点M1与点M关于点C对称，则四边形为平行四边形，， ∴点坐标为． ∴点M坐标为或或． 核心：按角的顶点/两边对应关系分类，结合“等角转化、三角函数、斜率”列条件。 1.定角的顶点，分角的两边对应不同线段情况；或定角的度数，分“动点在角的两侧/同侧”情况； 2.用三角函数值相等（ 相等）或斜率求夹角，列等式求解动点坐标； 3.关键：结合图形预判角的位置，利用圆（定角对定弦）限定动点轨迹，简化讨论。 1．如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C点，已知点A、B的坐标分别是、． (1)求该抛物线的解析式； (2)在x轴上是否存在一点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，运用分类讨论思想是解题的关键； （1）由抛物线与x轴的交点可设交点式，再对比原解析式，即可得解； （2）根据勾股定理求出，再根据等腰三角形的性质，分类讨论，即可得解． 【详解】（1）解：抛物线与x轴相交于、两点， 设抛物线的解析式为，即， ，， 解得，， 抛物线的解析式为； （2）解：存在．理由如下： 连接，如图， 当时， ， ， ， ， ， ， 当时， ， ， 点坐标为； 当时， 若点在B点左侧，点坐标为，若点在B点右侧，点坐标为， 综上所述，满足条件的P点坐标为或或． 2．如图，抛物线经过的三个顶点，与轴相交于，点坐标为，点是点关于轴的对称点，点在轴的正半轴上． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为线段上一动点，过作轴，轴，垂足分别为，当四边形为正方形时，求出点的坐标； (3)将（）中的正方形沿向右平移，记平移中的正方形为正方形，当点和点重合时停止运动，设平移的距离为，正方形的边与交于点，所在的直线与交于点，连接，是否存在这样的，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值为或或 【分析】（）由二次函数的性质可得抛物线的顶点为， 即得，再利用待定系数法解答即可求解； （）分点在第一象限和第二象限两种情况，先求出直线的解析式，再利用正方形的性质求出点坐标即可； （）过点作于，表示出的坐标，再根据等腰三角形的定义分三种情况解答即可求解； 本题考查了二次函数几何应用，等腰三角形的定义，勾股定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点是点关于轴的对称点， ∴抛物线的对称轴为轴， ∴抛物线的顶点为， ∴抛物线的解析式为， ∵在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的函数关系表达式为； （2）解：①当点在第一象限时，如图， 令，得，     解得，，     ∴点的坐标为，     设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设正方形的边长为，则， ∵点在直线上， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ②当点在第二象限时， 同理可得点的坐标为，此时点不在线段上，故舍去； 综上所述，点的坐标为； （3）解：存在，理由如下： 过点作于，如图，则，， ∵点和点重合时停止运动， ∴， 当时，， ∴，， 当时，， ∴，， 在中，， 在中，，， ∴， ①当时， ， 解得； ②当时， ， 解得； ③当时， ， 解得或， ∵， ∴； 综上所述，存在的值为或或，使是等腰三角形． 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B，C两点，点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在下方运动时，求面积的最大值； (3)若点F为直线上一点，作点A关于y轴的对称点，连接，，当是直角三角形时，直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出B，C两点坐标，再代入抛物线解析式中，即可求出解析式； （2）过点P作轴交于点G，设，则，表示长，进而表示面积求最大值； （3）先求得，根据勾股定理分别表示出，，，根据是直角三角形时，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B，C两点， 在中，当时，得：， 解得：； 当时，得：， ∴，， 将点B，C的坐标分别代入抛物线，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：过点P作轴交于点G，如图1， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的值最大，最大值为； （3）解：抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边）， 当时，得：， 解得：，， ∴， ∵是关于y轴的对称点， ∴， 如图2， 设， ∵，， ∴，，， 当时，由勾股定理得：， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 当时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，当是直角三角形时，或． 4．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点 ，且，直线与抛物线交于、两点，与轴交于点 ，点是抛物线的顶点，设直线上方抛物线上的动点的横坐标为. (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接、，当为何值时，； (3)在直线上是否存在一点使为等腰直角三角形，若存在请直接写出点的坐标，不存在请说明理由. 【答案】(1)；顶点Q坐标为 (2)或1 (3)存在；或 【分析】（1）分别求出点A，B的坐标，设抛物线的解析式为交点式，代入点C的坐标，求出抛物线的解析式即可； （2）根据题意将的面积和的面积表示出来，令，即可解出m的值； （3）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴点的坐标为，点A的坐标为， 设抛物线的表达式为，将点的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∵， ∴抛物线的顶点Q坐标为：． （2）解：联立， 解得：，， ∴点的坐标为， 如图1，过点作轴的平行线，交于点，设点，则点， ∴， 解得：或1． （3）解：存在； 设点，点，，而点， ①当时，如图2，过点作轴的平行线，过点，点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 即，， 解得：或， 当时，，解得，（舍去） ∴点； ②当时，如图3所示， 此时，则点P、H关于抛物线对称轴对称，即垂直抛物线的对称轴，而对称轴与x轴垂直，故轴，则， 同理可得，（舍去）， 故点坐标为． ③当时， （Ⅰ）当点P在抛物线对称轴右侧时，如图所示： 点P在AD下方，与题意不符，故舍去； （Ⅱ）当点P在抛物线对称轴左侧时，同理可得， 解得：（舍去），， 点； 综上可得，点的坐标为或． 5．抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于，顶点为D，点M是抛物线上任意一点． (1)求抛物线解析式； (2)在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点N为抛物线对称轴上一动点，若以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形，求出所有相应的点N的坐标． 【答案】(1) (2)存在，； (3)点N的坐标为或或或． 【分析】此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理的应用和待定系数法求函数解析式等知识，利用分类讨论得出N点坐标是解题关键． （1）直接利用待定系数法求出抛物线解析式进而得出答案即可； （2）首先求出：，：，令，即可求出M点坐标即可； （3）①若，则，②若，则，③若，则，分别求出N点坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线过，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：存在． 如图1，当时， ， 由（1）可得抛物线， ∴， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴：， ∵，∴：， ∴， ∴（舍）， ， ∴， ∴； （3）解：设，则，，， ①如图2，若，则，即， ∴， ∴解得：， ∴点N的坐标为或； ②若，则，即， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； ③若，则，即， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， 综上，点N的坐标为或或或． 6．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B，C三点的坐标． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在；或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数图象和性质、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和待定系数法是解题的关键． （1）分别令，，即可求出三点的坐标； （2）根据三点的坐标求直线的函数表达式，根据直线的表达式设点D的坐标为，然后分为四边形是菱形和四边形是菱形两种情况分别讨论即可． 【详解】（1）解：对于来说， 当时 ，； 故点， 当时，有， 解得：， ∴，； （2）解：存在： 设直线的表达式为：； 将，代入得： ， 解得： 故直线的表达式为： ； 设点D的坐标为，其中， ∵，， ∴，，， ∵， ∴当时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或； 7．如图，已知二次函数的图象与x轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若该抛物线的顶点为点D，求的面积． (3)在坐标平面内是否存在一点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出M点坐标，若不存在，请说明理由 【答案】(1)4 (2)3 (3)存在，的坐标为 【分析】（1）在二次函数中，令，得，解出一元二次方程即可得答案； （2）连接，先求出顶点，再根据的面积求解即可； （3）设，根据平行四边形的性质，对角线互相平分，分以下三种情况：若以为对角线，若以为对角线，若以为对角线，分别进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：在二次函数中，令，得 解得， ， ； （2）解：如图，连接， 由得顶点． 令，得，即． 的面积 ； （3）解：存在点使得以为顶点的四边形是平行四边形． 设． 根据平行四边形的性质，对角线互相平分，分以下三种情况： 若以为对角线，则的中点与的中点重合： 则，解得， ． 若以为对角线，则的中点与的中点重合： 则，解得， ． 若以为对角线，则的中点与的中点重合： 则，解得， ． 综上所述，满足条件的点的坐标为． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值； (3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形（要求），直接写出相应的点Q的坐标． 【答案】(1) (2)，4 (3)点Q的坐标为或或 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积、二次函数的最值问题、平行四边形的性质等知识点，掌握待定系数法以及平行四边形的性质是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解即可； （2）设出M点的坐标，利用列出函数解析式，再根据二次函数的性质求最值即可； （3）由得是平行四边形的边，表示出的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设此抛物线的函数解析式为：， 将代入函数解析式得： ，解得， 所以此函数解析式为：． （2）解：如图：连接， ∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上， ∴M点的坐标为：， ∴ ， ∵， ∴当时，S的最大值为4． （3）解：如图：设． ∵， ∴为平行四边形的边， ∴，Q的横坐标等于P的横坐标， 又∵直线的解析式为， ∴设． 由，得，解得：或或． 当不合题意，舍去． ∴点Q的坐标为或或． 9．如图，抛物线（）的图象与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式和点的坐标； (2)连接，若线段上方的抛物线上有一点，求点到线段距离的最大值，并写出此时点的坐标； (3)在抛物线上找一点，使，求点的坐标； (4)在对称轴上找一点，使最大，直接写出点的坐标； (5)  为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标； (6)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3) (4) (5) (6)存在；点的坐标为、和 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，根据顶点坐标公式求解即可； （2）过点作轴，交直线于点，过点作于点，设点，点坐标为，得到直线的解析式，进而得到的最大值，从而得到点的坐标，根据，求出点到线段距离的最大值； （3）过点作且，连接，过点、作轴的平行线，与过点作轴的平行线，分别交于点、，取的中点，作射线与抛物线交于点，此时，易证得，根据全等三角形的性质易得点的坐标，进而得到点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线解析式联立求出点的坐标； （4）作点关于对称轴的对称点，作射线，交对称轴于点，要使最大，点应在直线上，利用待定系数法求出直线的解析式，从而求出点的坐标； （5）根据可得点、到的距离相等，分两种情况讨论：①当、在同侧时，，利用待定系数法求出直线的解析式，再与抛物线解析式联立求出点的坐标；②当、在两侧时，延长到点使，则点坐标为，即为点，过点作的平行线，利用待定系数法求出平行线的解析式，根据图像发现，此时不存在点； （6）分类讨论：当为平行四边形的对角线时和当且时，根据平行四边形对角线中点坐标相同进行列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入抛物线得： 解得 则抛物线的解析式为， 对称轴为， 将代入得， 则点的坐标为； （2）解：根据抛物线与轴交于点得，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点和点代入得 解得 则直线的解析式为， 过点作轴，交直线于点，过点作于点， 设点，点坐标为， ， 当时，有最大值，最大值为， ， 则点坐标为， 根据点和点得、， 则 由于，轴， 则、， ， 因此，点到线段距离的最大值为，点的坐标为； （3）解：过点作且，连接，过点、作轴的平行线，与过点作轴的平行线，分别交于点、，取的中点，作射线与抛物线交于点，此时，如图： 则、、， ， ， ， 点、， 、， 点的坐标为， 中点的横坐标为、纵坐标为， 即点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点和代入得， ， 解得， 则直线的解析式为， 将直线与抛物线联立得： ， 解得或， 由于点， 则点的横坐标为， 将代入得， 因此点的坐标为； （4）解：作点关于对称轴的对称点，作射线，交对称轴于点，如图所示： 由（1）知，抛物线的对称轴为， 点关于对称轴的对称点为，即为点， 设直线的解析式为， 将点和代入得， ， 解得， 则直线的解析式为， 当时，， 因此，点的坐标为； （5）解：根据题意得： ， 则点、到的距离相等， 分两种情况： ①当、在同侧时，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点代入得，， 解得， 则直线的解析式为， 将直线的解析式与抛物线解析式联立得， ， 解得或（舍去）， 将代入得，， 因此，点的坐标为； ②当、在两侧时，延长到点使，则点坐标为，即为点，过点作的平行线，如图： 设过的直线解析式为， 将点代入得，， 解得， 则直线解析式为， 由图像发现，此时过点的直线与抛物线没有交点， 则点不存在， 综上所述，点的坐标为； （6）解：存在点，点坐标为、和； 理由如下： 由（1）知，抛物线的解析式为，对称轴为， 设点，， 当为平行四边形的对角线时， 根据题意得：， 解得， 当时，， 则点的坐标为； 当且时， 根据题意得：， 解得或， 当时，， 当时，， 则点的坐标为和， 综上所述，抛物线上存在点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形，满足条件的点的坐标为、和． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，点为轴上一动点，点为抛物线对称轴上的动点，连接，，，，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)连接，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的最小值为 (3)或 【分析】（1）使用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点作轴的平行线，交于点，连接，，作点关于轴的对称点，连接，设点的坐标为，先求出直线的函数解析式为，则点的坐标为，使用割补法表示出的面积，得到关于的关系式，求出的面积最大时，点的坐标，从而得到点的坐标．由轴对称的性质可得，，，因此．根据两点之间，线段最短，可得当、、、四点共线时，取得最小值，即取得最小值，使用勾股定理计算即可； （3）根据题意可得，抛物线由抛物线向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到，则．当点在直线下方时，作射线交轴于点，容易证明，则点的坐标为，求出的函数解析式，再与抛物线联立，求出点的坐标．当点在直线上方时，作，且，容易证明，从而得到点的坐标为，经过分析可得，点即为所求的点． 【详解】（1）解：将，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点，连接，，作点关于轴的对称点，连接，设点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∴， ∵点到直线的距离为，点到直线的距离为， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点的坐标为， ∴点的坐标为， 由轴对称的性质可得，，， ∴ 由线段公理可得，， ∴当、、、四点共线时，取得最小值，即取得最小值， 由勾股定理可得，， ∴的最小值为； （3）解：①当点在直线下方时，如图，作射线交轴于点，设点平移到点处，作，垂足为， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由题意可知，， 由勾股定理可得，， ∴， ∴抛物线由抛物线向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为； ②当点在直线上方时，如图，作，且， ∴射线与抛物线的交点即为点， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴点坐标为， 将代入，得， ∴点在抛物线上， ∴点即为所求的点， ∴点坐标为； 综上所述，点坐标为或； 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)点是的角平分线与的交点，点是直线下方抛物线上的一动点，轴交于点，点是轴上一点，点是抛物线对称轴上一点，且，当取得最大值时，连接，，求此时点的坐标及的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中取得最大值时的点，得到新抛物线，点为抛物线上的一动点，且，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的最小值为 (3)或． 【分析】（1）使用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出直线的函数解析式，设点，，表示出后，求出最大值时，，从而得到点的坐标．根据象限的角平分线的性质求出点的坐标，再将点向右平移构造平行四边形，则．根据线段公理，当、、三点共线时，取得最小值，使用勾股定理计算出即可； （3）根据题意，平移路径为，即向右个单位，向上个单位，从而求出抛物线的解析式．分两类讨论，当点在轴下方时，作直线交轴于点，容易证明，从而得到点．用待定系数法求出的解析式后，与抛物线联立，求出点的坐标；当点在轴上方时，使用同样的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：将点，代入中，得， ，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：将代入，得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ，解得， ∴直线的解析式为， ∵点在的平分线上， ∴， 设点，代入，解得， ∴点的坐标为， 设点的坐标为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点的坐标为， 如图，将点向右平移1个单位，得到，连接． 抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，即的最小值为， 由勾股定理可得，， ∴的最小值为． （3）解：由（2）可得，点的坐标为， 根据题意可知，平移路径为从点到点，即向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴新抛物线， ①当点在轴下方时，如图，作直线交轴于点， ∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∵， ∴点的坐标为； ②当点在轴上方时，如图，作直线交轴于点， 同理①可得，， ∴， ∴点的坐标为， 将，代入，得， ∴点在抛物线上， ∴点即为所求的点， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线解析式为交轴于两点，与轴交于点，连接． (1)求三点的坐标； (2)如图1，是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点，求的最大值及点的坐标． (3)如图2，将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，为新抛物线上的一个动点．当时，请直接写出所有符合条件点的坐标． 【答案】(1)，， (2)的最大值为1，点的坐标为 (3)或 【分析】（1）令，求出的坐标，令，求出的坐标； （2）通过证明是等腰直角三角形，得到，利用待定系数法求出直线的解析式为，设点的坐标为，则，其中，进而表示出，再利用二次函数的性质即可求解； （3）根据二次函数平移的性质得到新抛物线，由题意得，再分2种情况讨论：①当在轴上方时；②当在轴下方时，分别求出对应直线的解析式，再联立直线与抛物线的解析式，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴； （2）解：由（1）得，， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 设直线的解析式为， 代入，，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则，其中， 则 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为1， 此时点的坐标为； （3）解：， ∵，， ∴直线的解析式为， ∵将抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴将抛物线向上平移2个单位长度，向右平移1个单位长度得到新抛物线， ∴， ∵， ∴， ①当在轴上方时，记此时点为， ∵， ∴， ∴设直线的解析式为， 代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或（舍去）， ∴； ②当在轴下方时，记此时点为， 延长与交于点， 设点的坐标为， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得（舍去）或， ∴； 综上，所有符合条件点的坐标为或． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点．直线经过，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是上方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交于点，点，为轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一动点．若满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)； (3)， 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及求二次函数解析式，线段和差最值与二次函数综合，二次函数与角度综合； （1）先求出，，再代入中计算即可； （2）设，则，，则，当时，取得最大值，此时．再利用对称求的最小值即可； （3）先求出平移后的解析式为，再根据求解即可． 【详解】（1）解：对于： 令，则，则； 令，则，则． 把点，代入中， 得， 解得， 所以，该抛物线的函数表达式为； （2）解：设，则，， 此时，， ， 且， 当时，取得最大值，此时． 对于：令，则，，则， 点，为轴上的动点，， 将向上平移1个单位长度得到， ， ； （3）解：，．过程如下： 抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ，即， ，， 轴， ， ， ． 分两种情况讨论： ①当时，， ，即， 解得：，， ，， ②当时，， ，即，无解． 综上，，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 分类讨论思想在压轴题中的应用 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 等腰三角形存在性问题中的分类讨论思想 题型02 直角三角形存在性问题中的分类讨论思想 题型03 平行四边形存在性问题中的分类讨论思想 题型04 特殊平行四边形存在性问题中的分类讨论思想 题型05 角度存在性问题中的分类讨论思想 模块三、综合实战演练 一、分类讨论思想在压轴题中的应用解题策略： 一、先判需不需要分：明确分类讨论的触发条件 压轴题中出现以下特征，必须启动分类讨论，避免因漏情况导致错解/漏解： 1. 条件模糊无定形：题干未明确图形形状、点线位置、边角对应关系（如“以某三点作三角形”“线段与抛物线相交”）； 1. 元素动态有变化：动点、动线段、动图形导致位置/形状改变（如动点在直线/抛物线/线段不同段运动、图形旋转/平移后位置不确定）； 1. 概念定义多情况：几何概念本身含多种判定可能（如等腰三角形的腰、直角三角形的直角顶点、平行四边形的对角线）； 1. 函数参数有范围：含参数的函数中，参数取值影响图象/性质（如二次函数的正负决定开口、一次函数的正负决定增减性）； 1. 位置关系不唯一：两图形的相交、相离、相切，或点在图形内/外/上的位置不确定。 二、核心定怎么分：选准分类基准，保证不重不漏 分类的关键是确定单一、统一的基准，拒绝多维度交叉分类，按“一个标准分到底”，中考压轴题高频分类基准分两类： 1. 几何类压轴题（主流）：优先按图形核心判定要素（等腰分腰、直角分直角顶点、平行四边形分对角线/边）；其次按动点位置（动点在图形不同段、坐标系不同象限）；最后按图形位置关系（相交的不同交点、点与图形的位置）。 1. 函数/几何综合压轴题：先按几何特征分类（如特殊图形的判定情况），再在每类中按参数取值/动点位置细分；纯函数题直接按参数范围/图象交点位置分类。 技巧：分类前先梳理题干中不变的静态条件（定点、定线段、定解析式），以“静态定基准，动态分情况”，避免基准混乱。 三、分步落地：分类讨论的标准化解题流程 1. 标基定界：明确基准，标注每类条件边界 确定分类基准后，逐类罗列情况并明确每类的条件边界（如“情况1：以AB为腰，作等腰△ABC”、“情况2：动点P在抛物线对称轴左侧（x<1）”），用序号清晰标注，防止情况交叉或遗漏。 2. 逐类求解：独立推导，紧扣每类专属条件 每类情况单独解题，严格遵循该类的条件边界，不与其他情况混淆；结合对应知识点推导（几何类用距离/中点/斜率公式、全等/相似，函数类用联立方程、函数性质，综合类数形结合设参列解）；即使某类看似无解，也需完整推导并明确“无符合条件的解”，不跳过。 3. 逐一验证：剔除无效解，贴合所有条件 每类求解后，必须验证结果是否同时符合题干总条件、该类边界条件、几何/代数实际，剔除三类无效解： · 违反限定：参数超出取值范围、点不在指定图形（线段/抛物线）上； · 图形退化：三点共线成线段、四点共线无四边形、三角形边长为0； · 矛盾不符：求解结果与分类假设矛盾（如假设∠A为直角，计算后∠A≠90°）。 4. 整合结论：汇总有效解，规范清晰作答 将所有类别的有效解按序号集中汇总，几何题明确点坐标、图形位置，函数题明确参数值、最值、交点坐标，综合题结合几何与代数结论；作答时做到“分类清晰、结论集中”，避免不同情况的结论分散书写。 四、高频压轴题型分类讨论适配技巧 1. 几何存在性问题（等腰/直角三角形、特殊平行四边形）：定2个定点，以1个动点为核心，按图形定义分情况；用坐标公式列等式，重点验证“三点/四点不共线”。 1. 动态几何最值问题：按动点的轨迹分段分类（如线段AB/BC段、抛物线左/右支）；每段单独建函数求最值，最终比较各段最值得全局最值。 1. 函数与几何交点问题：先按几何图形边界（线段/射线/直线）分类，再联立函数解析式；结合自变量取值范围筛选交点，排除线段/图形外的解。 1. 角度存在性问题：按角的顶点/两边对应关系分类，或用隐形圆限定轨迹后按轨迹位置分；用三角函数、斜率列条件，验证角度符合题干要求。 题型01 等腰三角形存在性问题中的分类讨论思想 1．如图，二次函数的图象经过点、、，连结，点为抛物线上一动点（点不与点、、重合），且点的横坐标为，过点作轴交直线于点，交轴于点，连结． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，上存在一点，使得的值最小，求点的坐标； (3)当点在直线上方时，连接、、，求四边形面积的最大值； (4)当为等腰三角形时，直接写出的值． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)若点在抛物线上，且它的横坐标为，与交于点，当的值最小时，求点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．综合与探究： 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B，与x轴的另一个交点为点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第二象限内抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点G，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图1（注：与图2完全相同），在平面直角坐标系中，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)P是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小时点P坐标（请在图1中探索）； (3)在抛物线对称轴上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）． 核心：按腰的不同分类，即“任意两边为腰”，三顶点中定 2 个定点、1 个动点，分 3 种情况。 1. 设定点 、，动点 ，分：① ；② ；③ ； 1. 用距离公式列等式，求解动点坐标； 1. 关键：验证三点不共线，排除退化情况。 题型02 直角三角形存在性问题中的分类讨论思想 1．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)写出点A，B，C的坐标； (2)点P为第一象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)若M为抛物线的对称轴上的一个动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 2．已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求的值； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，连接，求的面积的最大值及此时点的坐标； (3)在第2问的条件下，为抛物线对称轴上的一动点，是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标． 3．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)求点A的坐标； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由． 4．抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点B，且经过，两点． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标． 5．已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点M的坐标． 核心：按直角顶点的不同分类，三顶点中定 2 个定点、1 个动点，分 3 种情况。 1.设定点 、，动点 ，分：① （）；② （）；③ （）； 2.用斜率乘积为 （或勾股定理）列等式，求解动点坐标； 3.关键：单独讨论斜率不存在的垂直情况（竖直线/水平线）。 题型03 平行四边形存在性问题中的分类讨论思想 1．如图，抛物线经过三点，交轴于点． (1)求a，b的值； (2)在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求的面积； (3)点为轴上一动点，抛物线上是否存在一点，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点，点为抛物线上的一个动点， (1)求抛物线的解析式； (2)当点在第一象限时，连接和，求面积的最大值是多少？ (3)若点在轴上，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 3．如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标： (3)R是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点S，使得以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标：若不存在，请说明理由． 4．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，点，与轴交于点，直线与抛物线相交于、两点，且与轴相交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段的一个动点，过点作轴的平行线与抛物线相交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线向左平移1个单位，得到新抛物线与原抛物线交于点，在新抛物线对称轴找一点，在新抛物线找一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出的坐标 ． 5．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，点B在点A的右侧，与y轴相交于点C． (1)求点A，B，C的坐标； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，求点P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标． 核心：按定线段为边/对角线分类，四顶点中定 2 个定点、2 个动点，分 3 种情况（定线段为对角线 1 种，为边 2 种）。 1.设定点 、，动点 、，分：① 为对角线（中点重合： 中点= 中点）；② 为边（ 且 ）； 2.用中点坐标公式列等式（最简便），求解动点坐标； 3.关键：分类按“对角线”划分，避免漏解，验证四点不共线。 题型04 特殊平行四边形存在性问题中的分类讨论思想 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A、C，交y轴于点B．其中． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P为直线下方抛物线上一动点，过P作轴交于点D，点M是对称轴上的一个动点，点N是y轴上的一个动点，求出当取最大值时，点P的坐标，及此时的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，当取最小值时，将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线，H为y轴上一点，Q为x轴上一点，当点K在新抛物线的对称轴上时，是否存在这样的点K，使得以D，K，H，Q为顶点的四边形是以为边的矩形，若存在，请直接写出符合条件的K的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图，一次函数与二次函数的图象交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点C为抛物线对称轴上一动点，当与的和最小时，点C的坐标为_______； (3)点D为抛物线位于线段下方图象上一动点，过点D作轴，交线段于点E，求线段长度的最大值并求出此时点D的坐标． (4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标． 3．【概念感知】 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标的4倍，我们称这个点为“四倍值点”． 【概念理解】 （1）求反比例函数上的“四倍值点”的坐标； 【概念应用】 （2）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象交x轴于点A、B两点（B在A的左边），交y轴于点，该抛物线的顶点P恰好是一次函数的四倍值点，以原点为中心，把点B顺时针旋转，得到点H．D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作于点E，与交于点F，设点D的横坐标为m． ①求点P的坐标和二次函数的解析式； ②当线段的长度最大时，求D点的坐标； ③若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点H，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是，求的值； (3)点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点， ①求线段的最大值， ②在轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 5．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上找一点P，作，E为轴上一个动点，当为最大值时，求线段的最小值； (3)若点M为直线上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由． 核心：先按平行四边形分类，再补充菱形/矩形/正方形专属条件，层层递进讨论。 1.菱形：平行四边形基础上，加邻边相等（距离公式）或对角线垂直（斜率乘积为 ）； 2.矩形：平行四边形基础上，加邻边垂直（斜率乘积为 ）或对角线相等（距离公式）； 3.正方形：平行四边形基础上，加邻边相等且垂直（菱形 + 矩形条件）； 4.关键：先保证平行四边形，再补特殊条件，减少讨论量。 题型05 角度存在性问题中的分类讨论思想 1．如图1，已知抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)如图2，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点M，作轴交于点，求的边上的高的最大值； (3)如图3，连接、，在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接、，当面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C，点A在x轴的负半轴上，，点D是抛物线的顶点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是线段下方抛物线上的一个动点，过点P作交y轴于点E，过点P作轴交AD于点F，点M，N为x轴上两个动点，点M在点N的左侧，，连接．当取得最大值时，求P点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，过点A作于点R，点Q是新抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出求解点Q横坐标的其中一种情况的过程． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的二次函数的图象交轴于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)点、在直线上，点是第二象限位于抛物线上一点，点在轴上若四边形是正方形，求点的坐标； (3)连接、，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，直线与抛物线交于两点，直线与y轴交于点C． (1)求抛物线与直线的解析式； (2)点P在抛物线上，直线交x轴于Q，连接，当的面积是面积的2倍时，求点P的坐标； (3)点M为坐标轴上的动点，当时，直接写出点M的坐标． 核心：按角的顶点/两边对应关系分类，结合“等角转化、三角函数、斜率”列条件。 1.定角的顶点，分角的两边对应不同线段情况；或定角的度数，分“动点在角的两侧/同侧”情况； 2.用三角函数值相等（ 相等）或斜率求夹角，列等式求解动点坐标； 3.关键：结合图形预判角的位置，利用圆（定角对定弦）限定动点轨迹，简化讨论。 1．如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C点，已知点A、B的坐标分别是、． (1)求该抛物线的解析式； (2)在x轴上是否存在一点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线经过的三个顶点，与轴相交于，点坐标为，点是点关于轴的对称点，点在轴的正半轴上． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为线段上一动点，过作轴，轴，垂足分别为，当四边形为正方形时，求出点的坐标； (3)将（）中的正方形沿向右平移，记平移中的正方形为正方形，当点和点重合时停止运动，设平移的距离为，正方形的边与交于点，所在的直线与交于点，连接，是否存在这样的，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B，C两点，点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在下方运动时，求面积的最大值； (3)若点F为直线上一点，作点A关于y轴的对称点，连接，，当是直角三角形时，直接写出点F的坐标． 4．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点 ，且，直线与抛物线交于、两点，与轴交于点 ，点是抛物线的顶点，设直线上方抛物线上的动点的横坐标为. (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接、，当为何值时，； (3)在直线上是否存在一点使为等腰直角三角形，若存在请直接写出点的坐标，不存在请说明理由. 5．抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于，顶点为D，点M是抛物线上任意一点． (1)求抛物线解析式； (2)在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点N为抛物线对称轴上一动点，若以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形，求出所有相应的点N的坐标． 6．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B，C三点的坐标． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 7．如图，已知二次函数的图象与x轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若该抛物线的顶点为点D，求的面积． (3)在坐标平面内是否存在一点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出M点坐标，若不存在，请说明理由 8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值； (3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形（要求），直接写出相应的点Q的坐标． 9．如图，抛物线（）的图象与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式和点的坐标； (2)连接，若线段上方的抛物线上有一点，求点到线段距离的最大值，并写出此时点的坐标； (3)在抛物线上找一点，使，求点的坐标； (4)在对称轴上找一点，使最大，直接写出点的坐标； (5)  为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标； (6)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，点为轴上一动点，点为抛物线对称轴上的动点，连接，，，，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)连接，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)点是的角平分线与的交点，点是直线下方抛物线上的一动点，轴交于点，点是轴上一点，点是抛物线对称轴上一点，且，当取得最大值时，连接，，求此时点的坐标及的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中取得最大值时的点，得到新抛物线，点为抛物线上的一动点，且，直接写出所有符合条件的点的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线解析式为交轴于两点，与轴交于点，连接． (1)求三点的坐标； (2)如图1，是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点，求的最大值及点的坐标． (3)如图2，将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，为新抛物线上的一个动点．当时，请直接写出所有符合条件点的坐标． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点．直线经过，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是上方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交于点，点，为轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一动点．若满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $