第08讲 坐标方法的简单应用（知识详解+12典例分析+习题巩固）2025-2026学年人教版七年级数学下册同步讲义与测试

第08讲 坐标方法的简单应用（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】用坐标表示地理位置 利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布平面图的过程如下： (1)建立平面直角坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定 x 轴、 y 轴的正方向； (2)根据具体问题，确定单位长度； (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称 . 注意： (1)选择的参照点不同，相同位置点的坐标也不同； (2)坐标轴的方向通常以正北为纵轴的正方向，正东为横轴的正方向，这样可以使东西南北方向与地理位置一致； (3)一般要注明比例尺和坐标轴上的单位长度. 【知识点02】用表示方向的角和距离表示平面内物体的位置 在航海和地理测绘中，经常用表示方向的角和距离来刻画平面内两个物体的相对位置. 具体步骤如下： 【知识点03】用坐标表示平移 1. 点的平移：在平面直角坐标系中，将点进行平移，点的位置发生了变化，坐标也发生了变化，具体情况如下： P(x，y)的平移方式 平移后点的坐标 规律 沿x 轴方向平移 向左平移a 个单位长度 (x-a，y) 左右平移， 横坐标左减右加， 纵坐标不变 向右平移a 个单位长度 (x+a，y) 沿y 轴方向平移 向上平移b 个单位长度 (x，y+b) 上下平移， 横坐标不变， 纵坐标上加下 向下平移b 个单位长度 (x，y-b) 特别说明：根据点的平移方向和距离，可以得出点的坐标的变化情况；反过来，根据点的横、纵坐标的变化情况，可以判断出点平移的方向和距离.→只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小 2. 图形的平移 一般地，在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a 个单位长度；如果把一个图形各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a 个单位长度. 【题型一】实际问题中用坐标表示位置 例1．（24-25七年级下·重庆·月考）如图，小东去游乐场游玩，他根据游乐场的地图建立了平面直角坐标系，并标注了自己最想游玩的三个项目的位置，若旋转木马位于点，过山车位于点，则摩天轮位于点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了点的坐标，由旋转木马位于点以及过山车位于点建立平面直角坐标系，结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵旋转木马位于点，过山车位于点． ∴建立平面直角坐标系如图所示： ， 故摩天轮位于点， 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图是某舞蹈队形的方阵图，每个格点表示一位演员的位置，随着音乐的节奏，各个位置的演员分别做出不同的动作，形成优美的图案．若演员的位置用来表示，演员的位置用来表示，则演员的位置可用坐标表示为______． 【答案】 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查用坐标表示实际问题. 根据已知点的坐标确定原点位置，进而确定点B的坐标即可． 【详解】解：由题意，建立如图所示坐标系： 由图可知：B演员的位置可表示为. 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·全国·期中）如图是某市区的部分简图，请建立适当的平面直角坐标系，并分别写出各地的坐标（每一个单位长度相当于100米）． 【答案】见解析． 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了实际问题中用坐标表示位置． 以火车站为原点建立平面直角坐标系，写出各点坐标即可． 【详解】解：以火车站为原点，向右为x轴正方向，向上为y轴正方向建立平面直角坐标系， 火车站；体育场；市场；宾馆；文化宫； 医院；超市． 【题型二】用方向角和距离确定物体的位置 例2．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，在一个平面区域内，O处的雷达探测器测得在A，B，C，D，E处均有目标出现．屏幕显示可知E在雷达探测器的北偏西，3海里处，则下列说法正确的是（    ）    A．A在探测器南偏西，1海里处 B．B在探测器南偏东，2海里处 C．C在探测器北偏东，3海里处 D．D在探测器正北方向，1海里处 【答案】B 【知识点】用方向角和距离确定物体的位置 【分析】本题考查的是用坐标系确定位置，理解方位角的意义是解题的关键．根据E在雷达探测器的北偏西，3海里处，结合方位角即可判断点A、B、C、D的位置． 【详解】解：在雷达探测器的北偏西，3海里处， 点A在雷达探测器的南偏西，2海里处， 点B在雷达探测器的南偏东，2海里处， 点C在雷达探测器的北偏东，3海里处， 点D在雷达探测器的正北方向，2海里处， 故选：B． 变式1．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，圆的直径是，如果点的位置在点的东南方向距点处，那么点的位置在点的________距点处． 【答案】北偏东30°方向 【知识点】用方向角和距离确定物体的位置 【分析】本题考查了坐标确定位置，正确地识别图形是解题的关键． 根据点的位置在点的东南方向距点处，于是得到点的位置． 【详解】解：∵圆的直径是 ∴, ∵点的位置在点的东南方向距点处， ∴点的位置在点的北偏东方向距点处， 故答案为：北偏东方向． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是三艘舰艇的位置示意图，试用方向和距离描述处的两艘舰艇相对于C处舰艇的位置． 【答案】见详解 【知识点】用方向角和距离确定物体的位置 【分析】本题考查了方向角的知识点，解答本题的关键是理解确定一个点的位置需要两个量应该是方向角，一个是距离．先测量图上长度再算出实际长度，再结合方向角和距离来表示物体的位置，即可作答． 【详解】解：经测量， 的长为，的长为， 则的实际长度为， 的实际长度为， 故A处舰艇在C处舰艇的正东方向的处，B处舰艇在C处舰艇的北偏东的处． 【题型三】根据方位描述确定物体的位置 例3．（24-25七年级下·河南三门峡·期末）根据下列表述，能确定某地点位置的是（   ） A．万达影院第2排 B．黄河东路 C．北偏东25° D． 【答案】D 【知识点】根据方位描述确定物体的位置 【分析】本题主要考查了位置的表示方式，熟练掌握相关概念是解题关键． 根据在平面内，要有两个有序数据才能清楚地表示出一个点的位置即可得出答案． 【详解】A、仅给出排数，未说明具体座位号，无法确定唯一位置，不符合题意； B、仅给出道路名称，未说明门牌号或交叉路口，无法精确定位，不符合题意； C、仅给出方向，未提供距离，无法确定具体点不符合题意； D、经纬度（东经，北纬）是地理坐标的两个参数，可唯一对应地球上的一个点符合题意； 故选：D． 变式1．如图，A、B、C三点分别代表邮局、医院学校中的某一处，邮局和医院分别在学校的北偏西方向，邮局又在医院的北偏东方向，那么图中的点A应该是__________，点B应该是__________． 【答案】 邮局 医院 【知识点】根据方位描述确定物体的位置 【分析】结合图和已知条件可直接判断出A、B、C三点． 【详解】解：由题意知：邮局和医院分别在学校的北偏西方向，邮局又在医院的北偏东方向， ∴ 可推断出A点是邮局，B点是医院，C点是学校． 故答案为：邮局；医院 【点睛】本题考查了方位的概念以及在生活中的应用．熟练记忆各个方位是解答本题的关键． 变式2．（2023七年级下·全国·专题练习）一个探险家在日记上记录了宝藏的位置，从海岛的一块大圆石O出发，向东1000m，向北1000m，向西500m，再向南750m，到达点P，即为宝藏的位置． （1）画出坐标系确定宝藏的位置； （2）确定点P的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）点P的坐标是（500，250）． 【知识点】根据方位描述确定物体的位置 【分析】（1）建立合适的平面直角坐标系，按照所走路径，即可求得P点位置； （2）根据（1）中的平面直角坐标系，不难求出P点的坐标． 【详解】解：根据数据的特点，选择250作为单位长度，以大圆石O为原点，建立平面直角坐标系． （1）如图，中心带有箭头的线是行动路线，点P的位置如图所示． （2）通过图像观察出点P到x、y轴的距离分别为250,500 因此P点坐标是(500，250) ． 【点睛】此题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，熟练掌握平面直角坐标系的画法以及点坐标的求法是解题的关键． 【题型四】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 例4．（25-26七年级下·全国·周测）在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，掌握点的平移规律是解题的关键． 根据点的平移规律：向下平移时，纵坐标减少，横坐标不变计算新坐标． 【详解】解：∵点向下平移3个单位， ∴横坐标不变，纵坐标减少3， ∴新点坐标为： 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·陕西安康·期末）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为______________． 【答案】 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】本题考查坐标与图形变换-平移，根据点的坐标平移规则“左减右加，上加下减”求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为． 故答案为：． 变式2．在平面直角坐标系中，对于给定的两点P，Q，若存在点M，使得（△表示三角形）面积等于1（即），则称点M为线段PQ的“单位面积点”． 解答下列问题： 如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为． (1)在点，，中，线段OP的“单位面积点”是______； (2)已知点，，将线段OP沿y轴方向向上平移个单位长度，使得线段DE上存在线段OP的“单位面积点”，求t的取值范围； (3)已知点，点M在第一象限且M的纵坐标是3，点M，N是线段PF的两个“单位面积点”，若，且，直接写出点N的坐标． 【答案】(1)B (2)3≤t≤4或5≤t≤6 (3)（1，-3）或（1，9）或（3，1）或（3，5） 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标、坐标与图形 【分析】（1）根据“单位面积点”的定义判断即可． （2）当点D为线段的“单位面积点”时，|4-t|=1．当点E为线段的“单位面积点”时，|5-t|=1，解方程即可解决问题． （3）由点M是线段PF的“单位面积点”，且点M的纵坐标为3，推出M点坐标，分两种情形，分别构建方程求解即可． 【详解】（1） 如图1中， ∵，，，P（2，0）， ∴S△AOP=×2×2=2，S△OPB=×2×1=1，S△OPC=×2×4=4， ∴点B是线段OP的“单位面积点”， 故答案为B． （2） 如图2中， 当点D为线段的“单位面积点”时， |4-t|=1， 解得：t=3或t=5， 当点E为线段的“单位面积点”时， |5-t|=1， 解得：t=4或t=6， ∴线段DE上存在线段O′P′的“单位面积点”，t的取值范围为3≤t≤4或5≤t≤6． （3） 如图3中， ∵P（2，0），F（2，-2）， ∴PF=2，PF∥y轴， ∵点M是线段PF的“单位面积点”，且点M的纵坐标为3， ∴M（1，3）或（3，3）， 当M（1，3）时，设N（1，t）， 由题意，×1×|3-t|=3， 解得t=-3或9， ∴N（1，-3）或（1，9）， 当M（3，3）时，设N（3，n）， 由题意，×3×|3-n|=3， 解得n=1和5， ∴N（3，1）或（3，5）， 综上所述，满足条件的点N的坐标为（1，-3）或（1，9）或（3，1）或（3，5）． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了新概念“单位面积点”、图形与坐标、三角形面积的计算、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“单位面积点”是解题的关键． 【题型五】由平移方式确定点的坐标 例5．（24-25七年级下·云南普洱·期末）在平面直角坐标系中，点先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查点的平移，熟记点的平移规律是解决问题的关键． 根据点的平移规律，向左平移时横坐标减小，向上平移时纵坐标增大，即可得到答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点，即，则点的坐标是， 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·广东湛江·月考）平面直角坐标系中，将点向上平移4个单位，则平移后的点的坐标为______． 【答案】 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查点的平移，掌握知识点是解题的关键． 根据点的平移规律，向上平移时，横坐标不变，纵坐标增加平移单位数． 【详解】解：将点向上平移4个单位，横坐标3不变，纵坐标加4，即， ∴平移后的点的坐标为． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·江西赣州·期末）已知四边形的顶点坐标，将点A向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到点B，将点B向下平移3个单位长度得到点C． (1)写出B，C点的坐标并在平面直角坐标系中画出四边形． (2)求四边形的面积． 【答案】(1)；，见解析 (2) 【知识点】坐标与图形综合、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，正确求出点B和点C的坐标是解题的关键． （1）根据平移方式可求出点B的坐标，进而求出点C坐标，再描出A、B、C、D，并顺次连接A、B、C、D即可； （2）根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵将点A向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到点B， ∴点B的坐标为，即， ∵将点B向下平移3个单位长度得到点C， ∴点C的坐标为，即， 如图所示，四边形即为所求； （2）解： ． 【题型六】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 例6．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）在平面直角坐标系中，点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点，则的值为（   ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加计算即可． 【详解】解：点向右平移m个单位长度，向上平移n个单位长度得到点， ， ， ． 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·河南商丘·期末）在平面直角坐标系中，将点平移后的对应点为，写出点A的一种沿坐标轴方向的平移方式______． 【答案】先向右平移3个单位，再向下平移2个单位 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题考查平移，根据点的坐标得到平移方式即可解答． 【详解】解：点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到， 故答案为：先向右平移3个单位，再向下平移2个单位． 变式2．如图（1），三角形三个顶点的坐标分别是，，． （1）将三角形三个顶点的横坐标都减去6，纵坐标不变，分别得到点，，，依次连接，，各点，所得三角形与三角形的大小、形状和位置有什么关系？ （2）将三角形三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到点，，，依次连接，，各点，所得三角形与三角形的大小、形状和位置有什么关系？ 【答案】（1）三角形与三角形的大小、形状完全相同，三角形可以看作将三角形向左平移6个单位长度得到；（2）三角形与三角形的大小、形状完全相同，它可以看作将三角形向下平移5个单位长度得到 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】（1）根据图形平移时，各点坐标的变化规律相同，从而确定△由△向左平移得到； （2）根据图形平移时，各点坐标的变化规律相同，从而确定△由△向下平移得到． 【详解】解：（1）三角形与三角形的大小、形状完全相同，三角形可以看作将三角形向左平移6个单位长度得到； （2）三角形与三角形的大小、形状完全相同，它可以看作将三角形向下平移5个单位长度得到． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中图形的平移，掌握图形平移时各点坐标的规律，能够利用规律确定平移是解题关键． 【题型七】已知图形的平移，求点的坐标 例7．（24-25七年级下·四川泸州·期末）线段是由线段平移得到的，点的对应点为，则点的对应点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 先根据、确定出平移规律，然后列式计算求出点的横坐标与纵坐标即可得解． 【详解】解：∵点平移的对应点为， ∴平移规律为向右平移4个单位，向下平移3个单位， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的对应点的坐标为． 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，点，将线段平移至，点的对应点，点的对应点，则的值为______． 【答案】 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标 【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质即可求解． 【详解】解：∵将线段平移至，且，，， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）对于坐标系中的图形M上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“n型平移”，点称为将点P进行“n型平移”的对应点；将图形M上的所有点进行“n型平移”称为将图形M进行“n型平移”．例如，将点平移到称为将点P进行“1型平移”，将点平移到称为将点Q进行“型平移”．已知点． (1)在图中建立平面直角坐标系，并画出线段进行“2型平移”后的对应线段，直接写出，的坐标； (2)将线段进行“n型平移”后与y轴有公共点，直接写出n的取值范围_____； (3)将（1）中四边形进行“n型平移”后与x轴有公共点，请直接写出n的取值范围是____． 【答案】(1)平面直角坐标系和平移见解析，点坐标为，点坐标为 (2) (3) 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标 【分析】本题主要考查坐标与图形的平移变换，属于创新题型．理解“n型平移”的意定义，熟练运用点的平移规律是解题关键． （1）根据题目中“n型平移”的定义得到，的坐标，从而得到线段； （2）当点B向上移到y轴上时，求得n的最小值；继续下移，当A点在y轴上时，n取得最大值． （3）当点向下移到x轴上时，求得n'的最小值；四边形继续下移，当A点在x轴上时，n取得最大值． 【详解】（1）解：平面直角坐标系和平移后的线段如图所示， ∴平移后点坐标为，即，点坐标为，即； （2）解：将线段进行“n型平移”后点坐标为，点坐标为， ∵与y轴有交点， ∴，， 解得， 故答案为：； （3）解：（1）中四边形进行“n型平移”后点的坐标为，，，， ∵与x轴有交点， ∴，， 解得， 故答案为：． 【题型八】已知平移后的坐标求原坐标 例8．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系中，点先向下平移4个单位得到点Q，再将点Q向右平移3个单位得到点R．若点R的坐标为，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知平移后的坐标求原坐标 【分析】本题考查已知平移后的坐标求原坐标． 根据点平移的规律，用，表示点的坐标，可得关于，的方程，从而可得，的值，即可得点的坐标． 【详解】解：由平移过程可得， ∵点R的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为． 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）若点向下平移3个单位后位于坐标原点，则点坐标为________． 【答案】 【知识点】已知平移后的坐标求原坐标 【分析】本题考查了坐标的平移，掌握“纵坐标上加下减，横坐标左加右减”是解题关键．根据平移的规律求解即可． 【详解】解：点向下平移3个单位后位于坐标原点， ，， ， 点坐标为， 故答案为：． 【题型九】坐标系中的平移 例9．（24-25七年级下·福建福州·期中）若将向右移动3个单位，再向下移动1个单位，得到点，若直线轴，且线段，点在点的左侧，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【知识点】坐标系中的平移 【分析】本题考查点的坐标．根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，两点间的距离等于横坐标的差的绝对值，据此进行求解即可． 【详解】解：∵将向右移动3个单位，再向下移动1个单位， ∴M点的坐标为， ∵直线轴，且线段，点N在点M的左侧， ∴点N的坐标为， 故选：A． 变式1．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）已知线段轴，若点的坐标为，线段的长为3，则点的坐标是______． 【答案】或 【知识点】坐标系中的平移 【分析】本题考查了坐标与图形的性质．线段轴，把点向左或右平移3个单位即可得到点的坐标． 【详解】解：线段轴， 点的纵坐标与点的纵坐标相同， ，点的坐标为， 点的坐标是或． 故答案为：或． 变式2．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为； (2)点的坐标为． 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标系中的平移 【分析】本题考查坐标轴上的点的坐标特点，平行于坐标轴的点的坐标特点．熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解答本题的关键． （1）根据x轴上点的特征进行解答，即可得出答案； （2）由平行于y轴的点的横坐标相同，可得，即，求得a的值，再将a的值代入求得纵坐标即可解答． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， ， 点的坐标为； （2）解：点坐标为，且轴， ， 解得， 则， 点的坐标为． 【题型十】坐标系中的动点问题（不含函数） 例10．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，直线轴，垂足为点，点P为直线上一动点，当时，则点P坐标______． 【答案】或 【知识点】坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题主要考查了坐标与图形，设点P的坐标为，根据点的坐标可得，，；再分点P在点B上方，点P在点B下方，且在x轴上方和点P在x轴下方三种情况，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵，，， ∴，，， 如图所示，当点P在点B上方时， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在点B下方，且在x轴上方时， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在x轴下方时， ∵， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，点P的坐标为或， 故答案为：或． 变式1．（22-23七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：图形和图形上任意两点间距离的最小值称为图形与图形的“相关距离”，记作．特别地，若图形与图形有公共点，则规定． (1)若图形为点，图形为线段，其中，． 直接写出点与线段的“相关距离”，即______； 点是轴上的一个动点，当时，求点的坐标？ (2)已知点，，，，若线段上存在点使得，直接写出的取值范围． 【答案】(1)；或； (2)或． 【知识点】坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中两点之间的距离，解决本题的关键是理解“相关距离”，根据“相关距离”的定义计算． 根据垂线段最短可知，图形和图形的“相关距离”，是当时，线段的长度，根据两点的坐标即可求出的长度； 分当点在点的右侧、点在图形的左侧、点在内，三种情况求解； 分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况求出点的坐标，再根据点的坐标求出的取值范围． 【详解】（1）解：根据垂线段最短可知， 图形和图形的“相关距离”，是当时，线段的长度， 点与线段的“相关距离”为：， 故答案为：； 解：设点的坐标是， 当点在点的右侧时，则有， 此时点的横坐标是， 即点的坐标是； 当点在图形的左侧时，则有， 此时点的横坐标是， 即点的坐标是； 当点在图形上时， ， ； 综上所述，点的坐标是或； （2）解：如下图所示， 设点的坐标是， 当点在点的左侧时，可得：， ， 解得：， 或， 解得：或， 即； 当点在点的右侧时，可得：， ， 解得：， 或， 解得：或， 即； 综上所述，的取值范围是或． 【题型十一】中点坐标 例11．（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点，轴，点的纵坐标为．则以下说法正确的是（   ） A．当时点P是线段的中点 B．无论取何值，线段的长度恒为3 C．存在唯一一个的值，使得 D．存在唯一一个的值，使得 【答案】D 【知识点】坐标与图形综合、中点坐标 【分析】本题考查了坐标与图形，根据已知点的坐标，即可判断A，B选项，根据的坐标分别求得，求出m的值，进而判断C，D选项． 【详解】解：∵点， 当，则，，， ∵，即点P不是线段的中点，故A选项错误； ∵点， ∴， ∴不是定值，故B选项错误； ∵轴，点的纵坐标为，， ∴， ∵，， 当时， 则或， 解得：或， 即有2个m的值，故C选项错误； 当时，则或（无解）， 解得：， 即有1个m的值，故D选项正确． 故选：D． 变式1．（2025·广东肇庆·一模）公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件．为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在点A和点B之间设置一个中转站，且中转站到点A和点B的距离相等，则中转站的坐标为______． 【答案】 【知识点】中点坐标 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，熟练掌握中点坐标公式，是解题的关键．设中转站的坐标为，根据中点坐标公式进行求解即可． 【详解】解：设中转站的坐标为， ∵中转站到点A和点B的距离相等， ∴中转站为的中点， ∴， ∴中转站的坐标为． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，将线段向右平移4个单位长度后得到线段，再将线段向下平移4个单位长度后得到线段． (1)请画出平移后的线段和； (2)连接，，，分别写出三条线段的中点坐标； (3)若点和，直接写出线段的中点坐标． 【答案】(1)见详解 (2)；； (3) 【知识点】由平移方式确定点的坐标、已知图形的平移，求点的坐标、中点坐标 【分析】（1）根据平移的方向及距离即可作图； （2）观察图像即可得解． （3）设线段的中点坐标为，根据，求出，即可得线段的中点坐标． 【详解】（1）解：如图，线段和即为所求； （2）解：观察图像可得： 的中点坐标为， 的中点坐标为， 的中点坐标为． （3）解：若点和，设线段的中点坐标为， 设，， 则， 解得， ， 解得， ∴线段的中点坐标为． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的平移作图和求线段中点坐标，熟练掌握平移的口诀：上加下减，左加右减是解题的关键． 【题型十二】点坐标规律探索 例12．（25-26七年级下·全国·周测）在平面直角坐标系中，直线经过点，点，，，，，，…均为格点，且按如图所示的规律排列在直线上．若点的纵坐标为，则的值为（    ） A．4048 B．4049 C．4050 D．4051 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了 用坐标描述平面内点的位置，熟练掌握用坐标描述点的位置是解题的关键； 观察坐标系，得出点，，，，，，…的坐标，根据规律得出奇数点和偶数点的坐标规律即可得出纵坐标为的点． 【详解】解：由题图可知，点，，，，，，，… 根据规律可知，奇数格点的坐标为，（为自然数）， 偶数格点的坐标为（为自然数）． 点的纵坐标为， 为偶数格点， ， 解得， ． 故选：A． 变式1．（23-24七年级下·广西桂林·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的友好点，已知点的友好点为点，点的友好点为点，点的友好点为点，…以此类推，当点的坐标为时，点的坐标为______． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】此题考查了坐标规律问题，根据友好点的定义，依次求出点、、、的坐标，发现每4个点坐标循环一次，由于2024是4的倍数，点的坐标与点的坐标相同． 【详解】解：当点的坐标为时， 根据友好点的定义得，点的坐标为，即； 点的坐标为，即； 点的坐标为，即； 点的坐标为，即，与点坐标相同， 因此，点的坐标每4个点循环一次， 因为， 所以点的坐标与点的坐标相同，为． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·陕西安康·期中）在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)若点P在x轴上时，求点P的坐标； (2)若点P在过点且与y轴平行的直线上时，求点P的坐标； 【答案】(1) (2) 【知识点】点坐标规律探索 【分析】（1）已知点在轴上时纵坐标为，据此列出关于的方程，求解后，代入横坐标表达式算出横坐标，从而确定点坐标． （2）过点且与轴平行的直线上的点横坐标都相等，利用此性质列出关于的方程，求出后，代入纵坐标表达式算出纵坐标，确定点坐标． 本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握轴上点的纵坐标为、与轴平行的直线上点的横坐标相等这些坐标特征是解题的关键． 【详解】（1）解：点P在x轴上， ，解得， ， 点P的坐标为； （2）解：点P在过点且与y轴平行的直线上， 点P的横坐标为， ， 解得， ， 点P的坐标为． 一、单选题 1．将点向左平移3个单位得到点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点坐标平移的性质，根据点坐标的平移性质：左减右加，上加下减的规律解决问题即可． 【详解】解：点向左平移3个单位得到点的坐标是， 故选C． 2．中国象棋文化历史悠久，如图是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，“马”所在位置是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标，熟练掌握平面内点的坐标平移规律进行求解即可得出答案．应用平面内点的平移规律进行计算即可得出答案． 【详解】解：根据平面内点的平移规律可得， 把“帅”向右平移3个单位，向上平移3个单位得到“马”的位置， ∴， 即棋子“马”所在的点的坐标为． 故选C． 3．如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点和点的对应点分别是点和点．若点，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，根据点到确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点的坐标，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵点平移后得到点， ∴向右平移了个单位，向上平移了个单位， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 4．在平面直角坐标系中，线段的端点A的坐标是，将线段沿x轴正方向平移3个单位长度，得到线段，点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是坐标与图形变化，根据题意可知，A的横坐标加3，纵坐标不变，得到点A的对应点的坐标为，即可． 【详解】解：∵A的坐标是，将线段沿x轴正方向平移3个单位长度， ∴横坐标加3，纵坐标不变，得到点A的对应点的坐标为，即， 故选：B． 5．在平面直角坐标系中，若点P（-3，-1）向右平移4个单位得到点Q，则点Q在（ ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】A 【分析】根据向右平移，横坐标加，纵坐标不变，然后点所在的象限即可解答． 【详解】解：∵点P（3，1）向右平移4个单位得到点Q， ∴点Q为（1，1）， ∴点Q在第四象限， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化，熟记“左减右加，下减上加”是解题的关键． 6．将点P（m+2，3）向右平移1个单位长度到P′，且P′在y轴上，那m的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．﹣3 D．1 【答案】C 【分析】将点P（m＋2，3）向右平移1个单位长度后点P′的坐标为（m＋3，3），根据点P′在y轴上列式计算即可． 【详解】解：将点P（m＋2，3）向右平移1个单位长度后点P′的坐标为（m＋3，3）， ∵点P′在y轴上， ∴m＋3＝0， 解得：m＝−3， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化——平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．同时考查了y轴上的点横坐标为0的特征． 7．编队飞行（即平行飞行）的两架飞机A、B在坐标系中的坐标分别为、，当飞机A飞到指定位置的坐标是时，飞机B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，根据的坐标得到平移规律，再根据平移规律得到的坐标，掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：飞机A从飞到时，向右平移了个单位， ∴飞机从向右平移个单位到达，即， 故选：B． 8．如图，在平面直角坐标系中，，，，．把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的顺序绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给点的坐标求出四边形的周长是解题的关键． 根据所给点的坐标，可求出四边形的周长，再根据细线的长度即可解决问题． 【详解】解：，，，， ，，，， 绕四边形一周的细线的长度为，， 细线的另一端在绕四边形第圈时的第个单位长度的位置， 即点的位置，坐标为． 故选：B． 9．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位，得到点，，，，…，那么点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化规律，解答本题的关键是结合图形找出坐标的移动规律，从移动规律中计算其纵坐标和横坐标的变化，从而计算点的坐标． 先探究规律，然后利用规律解决问题即可． 【详解】解：根据题意和图的坐标可知：动点从原点出发，每次移动一个单位，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，依次得到点的坐标如下： 、、、，，，，，，…… ∴坐标变化的规律：每移动4次，前两次的纵坐标都为1，而横坐标向右移动了2个单位长度， ∵， ∴点的纵坐标是的纵坐标0，点的横坐标是， ∴点的坐标是． 故选：C． 二、填空题 10．将点向右平移a个长度单位得到点，则______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移规律，熟练掌握点向右平移时横坐标“右加”的变化规律是解题的关键．利用点在平面直角坐标系中平移时，横坐标的变化规律来求解的值，即点向右平移，横坐标增加． 【详解】解：点向右平移个单位长度得到点， 点在平面直角坐标系中向右平移时，横坐标的变化为原横坐标加上平移的单位长度，纵坐标不变， ， 解得． 故答案为： ． 11．如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是和，那么“卒”的坐标为_______．    【答案】 【分析】根据“相”和“兵”的坐标分别是和，建立平面直角坐标系解答即可． 【详解】解：如图所示：    “卒”的坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了用坐标确定位置，解题的关键就是建立平面直角坐标系． 12．如图，在平面直角坐标系中，，，将线段平移至的位置，则的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移变换的性质， 根据平移变换的规律解决问题即可． 【详解】解：由题意，线段向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到线段， ∴， ∴， 故答案为：2． 13．如图，若点和点坐标分别为，，则点坐标为______．    【答案】 【分析】本题考查了点坐标的平移．熟练掌握点坐标平移，左减右加，上加下减是解题的关键． 由点和点坐标可知，小正方形的边长为1，然后根据点是点向右平移2个单位，向下平移1个单位得到的，进行求解作答即可． 【详解】解：∵点和点坐标分别为，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， 故答案为：． 14．如图，在平面直角坐标系中，一个动点从点出发，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点按照上述规律运动下去，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：点的坐标．解答此题的关键是首先要确定点所在的象限，和该象限内点的规律，然后进一步推理得出点的坐标． 根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，可得点在第二象限，再根据第二项象限点的规律即可得出结论． 【详解】解：分析各点坐标可发现，下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限， ∵， ∴点在第二象限， 又∵第二象限的点，点，…… 设点的角标为n， ∴可得横坐标为：，纵坐标为， ∴点． 故答案为：． 三、解答题 15．已知的，，，将平移到，点平移到点，求点、的坐标． 【答案】，． 【分析】本题考查了平移的性质和应用，先找出平移的方式，然后根据平移中点的变化规律求解即可，熟练掌握点的平移特点是解题的关键． 【详解】∵点移到点， ∴点向左平移个单位，再向下平移个单位得到， ∴按同样的平移方式来平移点，向左平移个单位，再向下平移个单位得到， 点，向左平移个单位，再向下平移个单位得到． 16．如图，标明了小英家附近的一些地方，以小英家为坐标原点建立如图所示的坐标系． (1)写出汽车站和消防站的坐标； (2)某星期日早晨，小英同学从家里出发，沿的路线转了一下，又回到家里，依次写出路上她经过的地方． 【答案】(1)汽车站的坐标为，消防站的坐标为； (2)小英经过的地方：游乐场，公园，姥姥家，宠物店，邮局． 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，正确理解题意，确定对应地点在坐标系中的坐标是解题的关键． （1）根据坐标系中汽车站和消防站的位置即可得到答案； （2）根据小英行进的路线，结合坐标系中各个地点的位置即可得到答案． 【详解】（1）解：由坐标系可知，汽车站的坐标为，消防站的坐标为； （2）解：由坐标系可知，游乐场的坐标为，公园的坐标为，姥姥家的坐标为，宠物店的坐标为，邮局的坐标为， ∵小英同学从家里出发，沿的路线转了一下，又回到家里， ∴小英经过的地方有游乐场，公园，姥姥家，宠物店，邮局． 17．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为点，，，将三角形平移得到三角形，其中点，，的对应点分别为点，，． (1)已知点的坐标为，请画出三角形，并说明三角形是由三角形怎么平移得到的？ (2)在（1）的条件下，直接写出点和点的坐标． 【答案】(1)图见解析，将三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形； (2)点坐标为，点坐标为． 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移． （1）利用平移的性质画出三角形，由图形判断出平移方式即可； （2）根据图形，得到点、点平移后的坐标即可． 【详解】（1）解：如图即为所求： ∵点向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点， ∴将三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形； （2）解：由图可知，点坐标为，点坐标为． 18．已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，则点P的坐标为 　 　； (2)若，且轴，则点P的坐标为 　 　； (3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标为0，列出方程即可解决问题； （2）根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，列出方程即可解决问题； （3）根据第二象限内点的符号特征，以及点到坐标轴的距离，列出方程得出a的值代入即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， ， 所以点P的坐标为， 故答案为：； （2）解：根据题意可得：， 解得：， ， 所以点P的坐标为， 故答案为：； （3）解：根据题意可得：， 解得：， ∴，， ∴在第二象限， 把代入． 【点睛】本题考查坐标与图形的变化，一元一次方程等知识，解题的关键是熟记各象限内与坐标轴上点的坐标的特点． 19．在平面直角坐标系中，将线段平移得到的线段记为线段． (1)如果点A，B，的坐标分别为，直接写出点的坐标 　 　； (2)已知点A，B，，的坐标分别为，m和n之间满足怎样的数量关系？说明理由； (3)已知点A，B，，的坐标分别为，求点A，B的坐标． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)点A的坐标为，点B的坐标为 【分析】（1）根据点A到确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点的坐标； （2）根据题意列方程，解方程即可得到结论； （3）根据题意列方程组，解方程组，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵平移后得到点的坐标为， ∴向上平移了4个单位，向右平移了4个单位， ∴的对应点的坐标为， 即． 故答案为：； （2）， 理由：∵将线段平移得到的线段记为线段，， ∴， ∴； （3）∵将线段平移得到的线段记为线段，点A，B，，的坐标分别为， ∴，， 解得， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握点的平移规律是解题的关键． 20．如图，将向右平移3个单位长度，然后再向上平移2个单位长度，可以得到． (1)画出平移后的，并写出三个顶点的坐标； （______，______）；（______，______）；（______，______）； (2)计算的面积为_________； (3)已知点在轴上，以、、为顶点的三角形面积为4，则点的坐标为_________． 【答案】(1)画图见解析，（1，0）；（6，3）；（3，4）； (2)7 (3)（0，6）或（0，-2） 【分析】（1）先根据点平移的特点求出A、B、C对应点、、的坐标，然后顺次连接、、即可； （2）根据△ABC的面积等于其所在的长方形面积减去周围三个三角形面积进行求解即可； （3）设点P的坐标为（0，m），则，，由此求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ∵将向右平移3个单位长度，然后再向上平移2个单位长度，可以得到，点A的坐标为（-2，-2），点B的坐标为（3，1），点C的坐标为（0，2）， ∴（1，0）；（6，3）；（3，4）； （2）解：由题意得； （3）解：设点P的坐标为（0，m）， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为（0，6）或（0，-2）． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，画平移图形，点平移的坐标特点，三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． 21．如图（1），在平面直角坐标系中，已知点，，且m，n满足，将线段向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段，其中点C与点A对应，点D与点B对应，连接，． （1）求点A、B、C、D的坐标； （2）在x轴上是否存在点P，使三角形的面积等于平行四边形的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图（2），点E在y轴的负半轴上，且．求证：． 【答案】（1），，，；（2）存在，或；（3）见解析 【分析】（1）由非负数的性质得出，且，求出，，得出，，由平移的性质得，； （2）设，由（1）由（1）得：，，∴，进而可得关于x的方程，即可得出答案； （3）由平移的性质得，由平行线的性质得出，证出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵m，n满足， ∴，且， ∴，， ∴，， 由平移的性质得：，； （2）解：存在，理由如下： 设， 由（1）得：，， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或； （3）证明：由平移的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平移的性质、坐标与图形性质、平行四边形的面积、三角形面积等知识；熟练掌握平移的性质是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 坐标方法的简单应用（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】用坐标表示地理位置 利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布平面图的过程如下： (1)建立平面直角坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定 x 轴、 y 轴的正方向； (2)根据具体问题，确定单位长度； (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称 . 注意： (1)选择的参照点不同，相同位置点的坐标也不同； (2)坐标轴的方向通常以正北为纵轴的正方向，正东为横轴的正方向，这样可以使东西南北方向与地理位置一致； (3)一般要注明比例尺和坐标轴上的单位长度. 【知识点02】用表示方向的角和距离表示平面内物体的位置 在航海和地理测绘中，经常用表示方向的角和距离来刻画平面内两个物体的相对位置. 具体步骤如下： 【知识点03】用坐标表示平移 1. 点的平移：在平面直角坐标系中，将点进行平移，点的位置发生了变化，坐标也发生了变化，具体情况如下： P(x，y)的平移方式 平移后点的坐标 规律 沿x 轴方向平移 向左平移a 个单位长度 (x-a，y) 左右平移， 横坐标左减右加， 纵坐标不变 向右平移a 个单位长度 (x+a，y) 沿y 轴方向平移 向上平移b 个单位长度 (x，y+b) 上下平移， 横坐标不变， 纵坐标上加下 向下平移b 个单位长度 (x，y-b) 特别说明：根据点的平移方向和距离，可以得出点的坐标的变化情况；反过来，根据点的横、纵坐标的变化情况，可以判断出点平移的方向和距离.→只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小 2. 图形的平移 一般地，在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a 个单位长度；如果把一个图形各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a 个单位长度. 【题型一】实际问题中用坐标表示位置 例1．（24-25七年级下·重庆·月考）如图，小东去游乐场游玩，他根据游乐场的地图建立了平面直角坐标系，并标注了自己最想游玩的三个项目的位置，若旋转木马位于点，过山车位于点，则摩天轮位于点（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图是某舞蹈队形的方阵图，每个格点表示一位演员的位置，随着音乐的节奏，各个位置的演员分别做出不同的动作，形成优美的图案．若演员的位置用来表示，演员的位置用来表示，则演员的位置可用坐标表示为______． 变式2．（24-25七年级下·全国·期中）如图是某市区的部分简图，请建立适当的平面直角坐标系，并分别写出各地的坐标（每一个单位长度相当于100米）． 【题型二】用方向角和距离确定物体的位置 例2．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，在一个平面区域内，O处的雷达探测器测得在A，B，C，D，E处均有目标出现．屏幕显示可知E在雷达探测器的北偏西，3海里处，则下列说法正确的是（    ）    A．A在探测器南偏西，1海里处 B．B在探测器南偏东，2海里处 C．C在探测器北偏东，3海里处 D．D在探测器正北方向，1海里处 变式1．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，圆的直径是，如果点的位置在点的东南方向距点处，那么点的位置在点的________距点处． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是三艘舰艇的位置示意图，试用方向和距离描述处的两艘舰艇相对于C处舰艇的位置． 【题型三】根据方位描述确定物体的位置 例3．（24-25七年级下·河南三门峡·期末）根据下列表述，能确定某地点位置的是（   ） A．万达影院第2排 B．黄河东路 C．北偏东25° D． 变式1．如图，A、B、C三点分别代表邮局、医院学校中的某一处，邮局和医院分别在学校的北偏西方向，邮局又在医院的北偏东方向，那么图中的点A应该是__________，点B应该是__________． 变式2．（2023七年级下·全国·专题练习）一个探险家在日记上记录了宝藏的位置，从海岛的一块大圆石O出发，向东1000m，向北1000m，向西500m，再向南750m，到达点P，即为宝藏的位置． （1）画出坐标系确定宝藏的位置； （2）确定点P的坐标． 【题型四】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 例4．（25-26七年级下·全国·周测）在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·陕西安康·期末）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为______________． 变式2．在平面直角坐标系中，对于给定的两点P，Q，若存在点M，使得（△表示三角形）面积等于1（即），则称点M为线段PQ的“单位面积点”． 解答下列问题： 如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为． (1)在点，，中，线段OP的“单位面积点”是______； (2)已知点，，将线段OP沿y轴方向向上平移个单位长度，使得线段DE上存在线段OP的“单位面积点”，求t的取值范围； (3)已知点，点M在第一象限且M的纵坐标是3，点M，N是线段PF的两个“单位面积点”，若，且，直接写出点N的坐标． 【题型五】由平移方式确定点的坐标 例5．（24-25七年级下·云南普洱·期末）在平面直角坐标系中，点先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·广东湛江·月考）平面直角坐标系中，将点向上平移4个单位，则平移后的点的坐标为______． 变式2．（24-25七年级下·江西赣州·期末）已知四边形的顶点坐标，将点A向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到点B，将点B向下平移3个单位长度得到点C． (1)写出B，C点的坐标并在平面直角坐标系中画出四边形． (2)求四边形的面积． 【题型六】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 例6．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）在平面直角坐标系中，点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点，则的值为（   ） A．1 B． C．5 D． 变式1．（24-25七年级下·河南商丘·期末）在平面直角坐标系中，将点平移后的对应点为，写出点A的一种沿坐标轴方向的平移方式______． 变式2．如图（1），三角形三个顶点的坐标分别是，，． （1）将三角形三个顶点的横坐标都减去6，纵坐标不变，分别得到点，，，依次连接，，各点，所得三角形与三角形的大小、形状和位置有什么关系？ （2）将三角形三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到点，，，依次连接，，各点，所得三角形与三角形的大小、形状和位置有什么关系？ 【题型七】已知图形的平移，求点的坐标 例7．（24-25七年级下·四川泸州·期末）线段是由线段平移得到的，点的对应点为，则点的对应点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，点，将线段平移至，点的对应点，点的对应点，则的值为______． 变式2．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）对于坐标系中的图形M上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“n型平移”，点称为将点P进行“n型平移”的对应点；将图形M上的所有点进行“n型平移”称为将图形M进行“n型平移”．例如，将点平移到称为将点P进行“1型平移”，将点平移到称为将点Q进行“型平移”．已知点． (1)在图中建立平面直角坐标系，并画出线段进行“2型平移”后的对应线段，直接写出，的坐标； (2)将线段进行“n型平移”后与y轴有公共点，直接写出n的取值范围_____； (3)将（1）中四边形进行“n型平移”后与x轴有公共点，请直接写出n的取值范围是____． 【题型八】已知平移后的坐标求原坐标 例8．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系中，点先向下平移4个单位得到点Q，再将点Q向右平移3个单位得到点R．若点R的坐标为，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）若点向下平移3个单位后位于坐标原点，则点坐标为________． 【题型九】坐标系中的平移 例9．（24-25七年级下·福建福州·期中）若将向右移动3个单位，再向下移动1个单位，得到点，若直线轴，且线段，点在点的左侧，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 变式1．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）已知线段轴，若点的坐标为，线段的长为3，则点的坐标是______． 变式2．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，求点的坐标． 【题型十】坐标系中的动点问题（不含函数） 例10．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，直线轴，垂足为点，点P为直线上一动点，当时，则点P坐标______． 变式1．（22-23七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：图形和图形上任意两点间距离的最小值称为图形与图形的“相关距离”，记作．特别地，若图形与图形有公共点，则规定． (1)若图形为点，图形为线段，其中，． 直接写出点与线段的“相关距离”，即______； 点是轴上的一个动点，当时，求点的坐标？ (2)已知点，，，，若线段上存在点使得，直接写出的取值范围． 【题型十一】中点坐标 例11．（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点，轴，点的纵坐标为．则以下说法正确的是（   ） A．当时点P是线段的中点 B．无论取何值，线段的长度恒为3 C．存在唯一一个的值，使得 D．存在唯一一个的值，使得 变式1．（2025·广东肇庆·一模）公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件．为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在点A和点B之间设置一个中转站，且中转站到点A和点B的距离相等，则中转站的坐标为______． 变式2．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，将线段向右平移4个单位长度后得到线段，再将线段向下平移4个单位长度后得到线段． (1)请画出平移后的线段和； (2)连接，，，分别写出三条线段的中点坐标； (3)若点和，直接写出线段的中点坐标． 【题型十二】点坐标规律探索 例12．（25-26七年级下·全国·周测）在平面直角坐标系中，直线经过点，点，，，，，，…均为格点，且按如图所示的规律排列在直线上．若点的纵坐标为，则的值为（    ） A．4048 B．4049 C．4050 D．4051 变式1．（23-24七年级下·广西桂林·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的友好点，已知点的友好点为点，点的友好点为点，点的友好点为点，…以此类推，当点的坐标为时，点的坐标为______． 变式2．（24-25七年级下·陕西安康·期中）在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)若点P在x轴上时，求点P的坐标； (2)若点P在过点且与y轴平行的直线上时，求点P的坐标； 一、单选题 1．将点向左平移3个单位得到点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．中国象棋文化历史悠久，如图是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，“马”所在位置是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点和点的对应点分别是点和点．若点，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，线段的端点A的坐标是，将线段沿x轴正方向平移3个单位长度，得到线段，点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，若点P（-3，-1）向右平移4个单位得到点Q，则点Q在（ ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 6．将点P（m+2，3）向右平移1个单位长度到P′，且P′在y轴上，那m的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．﹣3 D．1 7．编队飞行（即平行飞行）的两架飞机A、B在坐标系中的坐标分别为、，当飞机A飞到指定位置的坐标是时，飞机B的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，，，，．把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的顺序绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位，得到点，，，，…，那么点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．将点向右平移a个长度单位得到点，则______． 11．如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是和，那么“卒”的坐标为_______．    12．如图，在平面直角坐标系中，，，将线段平移至的位置，则的值为______． 13．如图，若点和点坐标分别为，，则点坐标为______．    14．如图，在平面直角坐标系中，一个动点从点出发，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点按照上述规律运动下去，则点的坐标为______． 三、解答题 15．已知的，，，将平移到，点平移到点，求点、的坐标． 16．如图，标明了小英家附近的一些地方，以小英家为坐标原点建立如图所示的坐标系． (1)写出汽车站和消防站的坐标； (2)某星期日早晨，小英同学从家里出发，沿的路线转了一下，又回到家里，依次写出路上她经过的地方． 17．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为点，，，将三角形平移得到三角形，其中点，，的对应点分别为点，，． (1)已知点的坐标为，请画出三角形，并说明三角形是由三角形怎么平移得到的？ (2)在（1）的条件下，直接写出点和点的坐标． 18．已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，则点P的坐标为 　 　； (2)若，且轴，则点P的坐标为 　 　； (3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 19．在平面直角坐标系中，将线段平移得到的线段记为线段． (1)如果点A，B，的坐标分别为，直接写出点的坐标 　 　； (2)已知点A，B，，的坐标分别为，m和n之间满足怎样的数量关系？说明理由； (3)已知点A，B，，的坐标分别为，求点A，B的坐标． 20．如图，将向右平移3个单位长度，然后再向上平移2个单位长度，可以得到． (1)画出平移后的，并写出三个顶点的坐标； （______，______）；（______，______）；（______，______）； (2)计算的面积为_________； (3)已知点在轴上，以、、为顶点的三角形面积为4，则点的坐标为_________． 21．如图（1），在平面直角坐标系中，已知点，，且m，n满足，将线段向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段，其中点C与点A对应，点D与点B对应，连接，． （1）求点A、B、C、D的坐标； （2）在x轴上是否存在点P，使三角形的面积等于平行四边形的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图（2），点E在y轴的负半轴上，且．求证：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $