精品解析：甘肃康县第一中学、康县第二中学、康县永兴中学2026届高三下学期考前模拟考试数学试卷

2026年康县第一中学、康县第二中学、康县永兴中学 高三三模模拟考试（数学）试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 下列存在量词命题中真命题的个数是（ ） ① ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数 ③是无理数，是无理数 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词的定义逐一分析命题①②③并判断真假即可得结论． 【详解】解：①取实数成立，所以为真命题； ②至少有一个整数，例如1，它既不是合数，也不是素数，故②为真命题； ③例如x=是无理数，x2仍然是无理数，所以是无理数，是无理数为真命题； 综上，真命题的个数为3个， 故选：D. 2. 在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是（ ）． A. 8 B. 16 C. 18 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】利用共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可解. 【详解】由是的中点得，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是25. 故选：D 3. 已知点在直线上，点在直线上，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 与、的具体值有关 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，， 所以， 因为，， 所以. 4. 在棱长为1的正方体ABCD-­A1B1C1D1中，下列选项正确的是（ ） A. AD∥平面A1BC1 B. 三棱锥D­A1BC1的外接球的表面积为 C. DB1⊥平面A1BC1 D. 三棱锥D­A1BC1的体积为 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与平面平行和垂直的判断方法可判断A、C；三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 由球的表面积公式计算判断B；利用割补法由即可判断D. 【详解】对于A，因为与平面相交于，故AD与平面相交，故A错误； 对于B，三棱锥的外接球即正方体的外接球，得其直径为， 故外接球的表面积，故B错误； 对于C，因为正方体，故 平面，故平面，故， 同理，又，平面，故平面，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 5. 若变量线性相关，由数据求得回归方程为，则下列结论一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据回归直线方程必过样本中心建立方程，解方程即可求出结果. 【详解】由回归直线过样本中心点，得， ，代入，得， 方程两边同时乘5，得. 故选：D． 6. 若随机变量的分布列如表，则的值为（ ） 1 2 3 4 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率分布列的性质求出a的值，由求得结果． 【详解】根据题意可得， 所以. 故选：A. 7. 某科研型企业，每年都对应聘入围的大学生进行体检，其中一项重要指标就是身高与体重比，其中每年入围大学生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）基本都具有线性相关关系，根据今年的一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是（ ） A. y与x具有正的线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心 C. 若某应聘大学生身高增加1cm，则其体重约增加0.83kg D. 若某应聘大学生身高为170cm，则可断定其体重必为55.39kg 【答案】D 【解析】 【分析】根据线性回归方程分析，x的系数为正则正相关；线性回归方程必过样本中心点；利用线性回归方程分析数据时只是估计值，与真实值存在误差. 【详解】由于线性回归方程中x的系数为0.83，因此y与x具有正的线性相关关系，故A正确； 线性回归方程必过样本中心点，故B正确； 由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1cm，其体重约增加0.83kg，故C正确； 当某大学生的身高为170cm时，其体重估计值是55.39kg，而不是具体值，故D不正确. 故选：D 【点睛】本题考查两变量间的相关关系、线性回归方程，属于基础题. 8. 已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得. 【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上， 因此，即， ∴， 当且仅当，即时取“=”， 所以的最小值为9. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．在研究树高与胸径之间的关系时，某同学收集了某种树的5组观测数据（如下表）： 胸径 8 9 10 11 12 树高 8.2 10 11 12 13.8 假设树高与胸径满足的经验回归方程为，则（ ） A. B. 当胸径时，树高的预测值为14 C. 表中的树高观测数据的40%分位数为10 D. 当胸径时，树高的残差为 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据样本中心点代入计算得出判断A；根据经验回归方程预测判断B；根据百分位数定义计算判断C；计算残差判断D. 【详解】选项 A ：把点代入经验回归方程为，则，故A正确； 选项B：当时，，故 B 错误； 选项 C ：数据排序后为共5个数据， 由， 的分位数对应第2和第3个数据的平均值：，故 C 错误； 选项 D ：当 时，预测值，残差为，故 D 正确. 故选：AD. 10. 已知，函数则（ ） A. 的值域为 B. 是奇函数 C. 存在，使得在定义域上单调递增 D. 当时，方程有两个实根 【答案】BCD 【解析】 【分析】当时，求出分段函数的值域，可知值域中不包含0，故A错误；根据奇函数的定义判断可知是奇函数，故B正确；当时， 在和上都是增函数，且，可知C正确；当时，分和两情况分别求解方程可知D正确. 【详解】对于A，因，当时，单调递增，且， 当时，单调递增，且， 所以的值域为， 若，则，此时的值域不包含0，故A错误； 对于B，当时，， 当时，，所以是奇函数，故B正确； 对于C，当时，由上可知，在和上都是增函数， 且，所以在定义域上单调递增，C正确； 对于D，当时，若，由，可得，即方程在上有1个实根； 若，由，可得，即方程在上也有1个实根， 故当时，方程有两个实根，即D正确. 故选：BCD. 11. 已知为等比数列，其前项和为，公比为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式与前项和公式计算即可逐一判断. 【详解】对于A，为等比数列，，则，，故A错误； 对于B，因为等比数列，则，又，因，故，即B正确； 对于C，当时，因，， 所以，故C正确； 对于D，由，得，则，所以， 又，即，又因为，即， 因，则得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 以半径为R，圆心角为α的扇形铁皮为圆锥的侧面，制成一个圆锥形容器.当扇形的圆心角α为________时，容器的容积最大. 【答案】## 【解析】 【分析】设圆锥底面半径为，高为 ，那么，再根据，代入得到 ，利用导数求得函数的最大值，以及和，由圆心角得解. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，则， 因此， 则，令 ，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时容积最大， 把代入，得 由，得， 即圆心角为时容积最大. 故答案为： 13. 已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线与抛物线交于两点，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率及焦点坐标，求得直线方程，联立直线与抛物线方程，结合抛物线的定义即可求得． 【详解】抛物线的焦点的坐标为 斜率为且过焦点的直线方程为 联立抛物线方程，得，化简得 设两个交点坐标分别为 所以 则 所以 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线定义的综合应用，用两个交点表示弦长，属于难题． 14. 中，，，平面内一点满足：，则的最小值为______． 【答案】##2.75 【解析】 【分析】旋转三角形到位置，计算的长度，结合的长为1，由此确定的最小值. 【详解】因为， 所以， 所以，即， 如图：将旋转至位置，使得，则， ， 又，所以， 由余弦定理可得， 所以，又， 所以，当且仅当三点共线，且在之间时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：. 【点睛】利用旋转构造全等三角形是问题解决的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． （III）求二面角的正弦值． 【答案】15. 证明如下： 以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 则,,,,,,， 因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，， 所以,,, 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 因为，所以， 因为平面，所以平面； 16. ； 17. . 【解析】 【分析】（I）建立空间直角坐标系，求出及平面的一个法向量，证明，即可得证； （II）求出，由运算即可得解； （III）求得平面的一个法向量，由结合同角三角函数的平方关系即可得解. 【15题详解】 略 【16题详解】 由（1）得，， 设直线与平面所成角为， 则； 【17题详解】 由正方体的特征可得，平面的一个法向量为， 则， 所以二面角的正弦值为. 16. 为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于 （年份）的线性回归方程，且销量的方差为，年份 的方差为． （1）求与 的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份 的线性相关性的强弱． （2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？ （3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中男性的人数为 ，求 的分布列和数学期望． ①参考数据：． ②参考公式：线性回归方程为，其中； 相关系数，若，则可判断与 线性相关较强； ，其中 ．附表： 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）电动汽车销量与年份 的线性相关性的较强； （2）依据小概率值的独立性检验，认为购买电动汽车与车主性别有关； （3）分布列： 0 1 2 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线性回归方程，结合相关系数公式计算作答. （2）根据给定的列联表求出的观测值，再与临界值表比对作答. （3）利用分层抽样求出男女性人数，再求出 的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出方差作答. 【小问1详解】 由，得，由，得， 因为线性回归方程，则， 即， 因此相关系数， 所以电动汽车销量与年份 的线性相关性的较强. 【小问2详解】 零假设：购买电动汽车与车主性别无关， 由表中数据得：， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. 【小问3详解】 按购买电动汽车的车主进行分层抽样，抽取的7人中男性有人，女性有5人， 则 的可能值为，， 所以 的分布列为： 0 1 2 的数学期望. 17. 近几年，贵州榕江县“村超篮球联赛”火热开展，以篮球为纽带点燃乡村的体育热情，促进了全民健身和乡村振兴的发展，榕江县某篮球队对最近场比赛的得分进行了统计，将数据按，，，分为组，画出的频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中的值 （2）估计这场比赛得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） （3）现从比赛得分在的比赛中按分层抽样抽取场比赛，再从这场比赛中随机抽取场，求这两场都不低于分的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为，列方程，可解得； （2）根据频率分布直方图的平均数计算公式直接可计算； （3）根据分层抽样的定义确定得分分别在，内的人数，再用古典概型的概率公式计算. 【小问1详解】 由已知得，解得； 【小问2详解】 由已知可估计平均数为 ； 【小问3详解】 由频率分布直方图可知得分在，内的频率分别为，， 即分别在两区间内的场数之比为， 根据分层抽样可知，抽取的场比赛中得分在内的有场，设为，，得分在内的有场，设为，，， 则从场中随机抽取场的情况有，，，，，，，，，，共有种情况； 其中满足两场都不低于分的情况有，，，共种情况， 则所求概率为. 18. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为，A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a．设表示以O为圆心，过B，C的圆，同理，圆，的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，球面ABC（阴影部分）叫做球面三角形． （1）若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积（直接写出答案，无需证明）； （2）若平面三角形ABC为直角三角形，，设，则： （i）求证：； （ii）延长与球O交于点D，若直线，与平面所成的角分别为，，，S为的中点，T为的中点，设平面与平面的夹角为，若，求平面截球O的面积的最大值． 【答案】（1） （2）（i）证明如下： 由余弦定理有， 且，消掉， 有． （ii） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直得出球面三角形ABC面积为整个球面面积的，再应用球的表面积公式计算求解； （2）（i）应用余弦定理计算证明；（ii）先求出平面与平面的法向量，应用正弦值得出，最后应用点到平面距离计算得出球O的半径及截面即可. 【小问1详解】 若平面OAB，OAC，OBC两两垂直时， 球面三角形ABC面积为整个球面面积的， 故． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由AD是球的直径，则，， 又，平面， 所以平面，平面，则， 而平面，所以平面． 由直线与平面所成的角分别为，． 所以，． 由，则，，，， 由，，， 以C为坐标原点，以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C作BD的平行线为z轴， 建立如图3所示的空间直角坐标系． 设，，则，，，， 则，，，， 设平面的法向量为，，， 则，取，则，， 所以． 设平面法向量，，， 则，取，则，， 所以． 要使，则， 所以， 即，解得． 作平行于交于，显然点到平面的距离即为到平面的距离， 到的垂线设为，则， 由（2）可得平面，而平面，故 而平面，所以平面， 故的最小值就是点到平面的距离的最小值， 而当时，的长度最小，故此时点到平面的距离的最小， 即此时截面面积最大，即的坐标为时截面面积最大. 在平面中，，， 设平面的法向量为，则。 取，而， 故球心O到平面距离． 设平面截球O的半径为r，， 所以截面圆面积为． 19. 已知双曲线：的实轴长为，右焦点到双曲线的渐近线距离为. （1）求双曲线的方程； （2）过点作直线交双曲线的右支于两点，连接并延长交双曲线左支于点(为坐标原点），求的面积的最小值； （3）设定点，过点T的直线交双曲线于两点，不是双曲线的顶点，若在双曲线上存在一点，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点到渐近线的距离可求，故可得双曲线方程； （2）设：，联立直线方程和双曲线方程消去后结合韦达定理可得面积的解析式（用表示），再结合换元法可求其面积的最大值. （3）设直线的方程为，联立化简可得，由条件化简可得，结合双曲线的范围可得结论. 【小问1详解】 因为双曲线的实轴长为，故， 而双曲线的渐近线为， 故右焦点到渐近线的距离为， 故双曲线的方程为：. 【小问2详解】 显然直线与轴不垂直，设：， 由双曲线的对称性知的中点为，故，   联立 故， 由于均在双曲线右支，故，故， 而， 代入韦达定理得， 令，则， 易知在上为减函数，则当时，， 综上，的面积的最小值为. 【小问3详解】 不妨设， 若直线的斜率为，则直线与双曲线的交点为双曲线的顶点，与条件矛盾， 所以可设直线的方程为，且， 联立，消可得， 方程的判别式， 所以， 所以， 所以， ， ， ， 所以 所以 所以， 因为直线的斜率与直线的斜率之和为定值， 所以，故， 故为定值， 所以， 因为或， 所以或，存在双曲线上的点满足， 使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，定值为， 所以的范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年康县第一中学、康县第二中学、康县永兴中学 高三三模模拟考试（数学）试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 下列存在量词命题中真命题的个数是（ ） ① ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数 ③是无理数，是无理数 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是（ ）． A. 8 B. 16 C. 18 D. 25 3. 已知点在直线上，点在直线上，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 与、的具体值有关 4. 在棱长为1的正方体ABCD-­A1B1C1D1中，下列选项正确的是（ ） A. AD∥平面A1BC1 B. 三棱锥D­A1BC1的外接球的表面积为 C. DB1⊥平面A1BC1 D. 三棱锥D­A1BC1的体积为 5. 若变量线性相关，由数据求得回归方程为，则下列结论一定成立的是（　　） A. B. C. D. 6. 若随机变量的分布列如表，则的值为（ ） 1 2 3 4 A. B. C. D. 7. 某科研型企业，每年都对应聘入围的大学生进行体检，其中一项重要指标就是身高与体重比，其中每年入围大学生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）基本都具有线性相关关系，根据今年的一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是（ ） A. y与x具有正的线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心 C. 若某应聘大学生身高增加1cm，则其体重约增加0.83kg D. 若某应聘大学生身高为170cm，则可断定其体重必为55.39kg 8. 已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. 4 D. 8 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．在研究树高与胸径之间的关系时，某同学收集了某种树的5组观测数据（如下表）： 胸径 8 9 10 11 12 树高 8.2 10 11 12 13.8 假设树高与胸径满足的经验回归方程为，则（ ） A. B. 当胸径时，树高的预测值为14 C. 表中的树高观测数据的40%分位数为10 D. 当胸径时，树高的残差为 10. 已知，函数则（ ） A. 的值域为 B. 是奇函数 C. 存在，使得在定义域上单调递增 D. 当时，方程有两个实根 11. 已知为等比数列，其前项和为，公比为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 以半径为R，圆心角为α的扇形铁皮为圆锥的侧面，制成一个圆锥形容器.当扇形的圆心角α为________时，容器的容积最大. 13. 已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线与抛物线交于两点，则____________． 14. 中，，，平面内一点满足：，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． （III）求二面角的正弦值． 16. 为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于 （年份）的线性回归方程，且销量的方差为，年份 的方差为． （1）求与 的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份 的线性相关性的强弱． （2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？ （3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中男性的人数为 ，求 的分布列和数学期望． ①参考数据：． ②参考公式：线性回归方程为，其中； 相关系数，若，则可判断与 线性相关较强； ，其中 ．附表： 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 近几年，贵州榕江县“村超篮球联赛”火热开展，以篮球为纽带点燃乡村的体育热情，促进了全民健身和乡村振兴的发展，榕江县某篮球队对最近场比赛的得分进行了统计，将数据按，，，分为组，画出的频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中的值 （2）估计这场比赛得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） （3）现从比赛得分在的比赛中按分层抽样抽取场比赛，再从这场比赛中随机抽取场，求这两场都不低于分的概率. 18. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为，A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a．设表示以O为圆心，过B，C的圆，同理，圆，的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，球面ABC（阴影部分）叫做球面三角形． （1）若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积（直接写出答案，无需证明）； （2）若平面三角形ABC为直角三角形，，设，则： （i）求证：； （ii）延长与球O交于点D，若直线，与平面所成的角分别为，，，S为的中点，T为的中点，设平面与平面的夹角为，若，求平面截球O的面积的最大值． 19. 已知双曲线：的实轴长为，右焦点到双曲线的渐近线距离为. （1）求双曲线的方程； （2）过点作直线交双曲线的右支于两点，连接并延长交双曲线左支于点(为坐标原点），求的面积的最小值； （3）设定点，过点T的直线交双曲线于两点，不是双曲线的顶点，若在双曲线上存在一点，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $