6.2.3&6.2.4 组合与组合数 （教学设计）数学人教A版选择性必修第三册

6.2.3&6.2.4 组合与组合数 教学设计 1.教学内容 本节课讲解组合与组合数核心知识，先通过排列对比引出组合定义，明确组合是从n个不同元素中取m（m≤n）个元素并成一组，强调与排列的本质区别为无序性。接着推导组合数定义，记作，结合分步乘法计数原理推出组合数公式及阶乘形式，介绍组合数的两个性质并简单推导。通过选取、抽取类典例讲解组合问题的判断方法与公式应用步骤，对比排列与组合的解题差异，梳理解题关键：先判断有序与无序，再确定n、m并选择对应公式计算，同时指出易混淆排列与组合的易错点并强调规避方法。 2.内容解析 本节课是人教A版（2019）选择性必修第三册计数原理单元的关键内容，承接排列知识，以“有序与无序”为核心区分点引入组合概念，贴合学生认知规律。通过排列实例对比，让学生理解组合无序性本质，为组合数学习铺垫。 组合数定义、公式推导及性质是核心，公式推导依托分步乘法计数原理与排列数公式，体现知识关联性，性质推导侧重逻辑，助力简化计算。 教学中通过典型例题对比两类问题，强化判断能力，点拨易混淆点突破难点。本节课围绕组合与组合数展开，明确其定义及与排列的本质差异，掌握公式、阶乘形式及两大性质，能解决简单选取类问题，需熟练判断问题类型、确定n和m取值，重视知识衔接与易错点辨析，培养逻辑推理与运算能力，为后续复杂计数及概率学习筑牢基础。 教学重点：掌握组合与组合数的定义、公式及性质，能区分并解决组合问题。 1.教学目标 （1）理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系； （2）能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用组合数的性质化简、计算、证明； （3）能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题，提高数学应用能力和分析问题、解决问题的能力. 2.目标解析 （1）该目标是本节课的基础认知目标，聚焦组合与组合数的核心概念，同时要求厘清与排列的区别和联系，核心是让学生抓住“无序”这一组合本质特征，通过对比建立知识关联，为后续公式学习和应用筑牢概念基础，是后续学习的前提。 （2）该目标是本节课的核心技能目标，先依托计数原理推导公式，体现知识的逻辑生成，再要求掌握公式及性质并能灵活运用，既培养学生的逻辑推理能力，也提升其数学运算素养，是连接概念与应用的关键环节。 （3）该目标是本节课的综合应用目标，要求融合排列数、组合数公式和计数原理解决实际问题，旨在让学生实现知识的迁移运用，在分析和解决问题的过程中，提升数学应用能力和逻辑思维能力，体现计数原理的实用价值。 学生已掌握排列、排列数的定义与公式，能运用分步乘法计数原理解决简单排列问题，但对“有序与无序”的本质区分掌握不扎实，公式应用易忽略问题特征。 学生具备基础的逻辑推理和运算能力，不过知识迁移与综合应用能力有待提升，对抽象概念的本质理解易停留于表面。 教学中预计学生难以精准区分组合与排列问题，易因忽略“无序性”将组合问题误判为排列问题；推导组合数公式时，难以快速建立与排列数的逻辑关联，理解公式由来存在障碍；运用组合数性质解题时，无法灵活选择性质简化运算，实际应用中也易混淆n、m的取值范围。 解决困难可通过多组典型实例对比分析，强化“有序与无序”的辨析训练；推导公式时借助分步计数原理逐步引导，搭建排列数与组合数的联系桥梁；设计分层练习，结合实例讲解性质应用场景，明确n、m取值要求，通过错题剖析强化认知。 教学难点：精准区分组合与排列问题，理解组合数公式推导逻辑并灵活运用公式及性质解题 1． 创设情境，引入新知 上节课我们学习了排列问题，核心是 “有序选取”。比如从咱们班 50 名同学中选 2 名分别担任班长和学习委员，有多少种选法？大家很快能反应过来，是，因为班长和学习委员是两个不同的岗位，选出来的两个人调换顺序，结果是不一样的。 思考：从咱们班 50 名同学中选 2 名参加听讲座，有多少种不同的选法？ 追问：这个问题和刚才的 “选班长、学习委员” 有区别吗？ 有区别，区别就在于 “顺序”—— 选甲和乙参加集训，不管是先念甲的名字还是先念乙的名字，最终都是这两个人去，结果没有变化； 但选甲当班长、乙当学习委员，和乙当班长、甲当学习委员，就是两种完全不同的安排。 教师：这个“无序选取”问题，就是本课要学习的-----组合问题 2． 探究新知 探究：从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法? 提示：请用列举法得出结果 学生：学生思考辨析、讨论交流，尝试着列举出所有结果. 预设：甲、乙、丙３名同学中选２名去参加一项活动，就只需考虑将选出的２名同学作为一组， 不需要考虑他们的顺序．因此：甲乙；甲丙；乙丙，共3中选法 思考：两个问题有什么区别？ 问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？ 学生：根据以上求解过程，体会两个问题的区别. 预设：问题1：从已知的3 个不同元素中取出2个元素 ,按照一定的顺序排成一列. →排列（有顺序） 问题2：从已知的3个不同元素中取:出2个元素 ,并成一组.→组合（无顺序） 设计意图：通过对这两个问题的辨析，让学生理解这 两类问题的本质区别，为引入组合的概念奠定基础. 组合定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 思考：相同组合的条件是什么？ 学生：进一步学习和理解组合的定义，找出答案 预设：只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的. 思考：排列与组合之间的联系与区别是什么？ 教师：教师引导学生根据排列、组合的定义，抓住是否有“顺序”这个关键点解决问题. 预设：联系：都要“从n个不同元素中任取m个元素” 区别：排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关. 举例：在上述探究问题中，“甲乙”与 “乙甲”的元素完全相同，但元素的排列顺序不同， 因此它们是相同的组合，不同的排列． 3． 应用新知 思考：校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆． 下面的问题是排列问题，还是组合问题? （1）从中选3辆，有多少种不同的方法? （2）从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法? 学生：先独立思考，然后同桌交流讨论，得出结果. 预设：第（1）题组合问题，第（2）题排列问题 总结：区分排列与组合的方法 首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序， 而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题． 牛刀小试 练1：判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个? (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票? (3)某铁路线上有5个车站，则有多少种不同的火车票价？ (4)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法? (5)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次? (6)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法? (7)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法? 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：（1）（3）（4）（5）（6）是组合问题，（2）（7）是排列问题 设计意图：通过分析、比较组合与排列的实例，以及利用概念判断是排列问题还是组合问题，厘清排列与组合的联系和区别，让学生利用排列与 组合的定义进行辨析，加深对这两个概念的理解，进一步明确组合的概念,提升学 生的数学建模核心素养. 例5.平面内有A，B，C，D共4个点. （1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？并列举所有有向线段. （2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？并列举所有线段. 师生：教师要引导学生先判断是排列问题还是组合问题.学生独立思考，小组交流讨论，尝试得出答案. 分析：（1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列问题； （2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需考虑它们的顺序，是组合问题． 预设：（1）一条有向线段的两个端点要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段的条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为． 这12条有向线段分别为． （2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条：． 牛刀小试 练2：用列举法写出下列组合： (1)从4个不同元素中任取3个元素的所有组合； (2)从5个不同元素中任取2个元素的所有组合． 预设：（1）设个不同元素为， 从中任取3个元素，所有组合为：. （2）设个不同元素为， 从中任取个元素，所有组合为：， . 4． 探究新知 思考：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5(1)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗?进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数? 学生：根据排列和组合的定义，结合计数原理进行理解. 预设：能，具体对应关系如下： 结合上图可知：12(排列数)÷2=6(组合的个数) → 组合数 组合数定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 教师：辨析组合数符号，理解符号中各个字母的含义，并口述分享. 预设： 思考：m，n所满足的条件是什么？ 预设：(1) m∈N*，n∈N* ；(2) m≤n . 要求：用排列数符号表示以下两个组合问题. 问题1：从3个不同元素中取出2个元素的组合数； 问题2：从4个不同元素中取出3个元素的组合数. 学生：学生用组合数符号表示. 探究：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢? 要求：先分析 ① 求从3个不同元素a, b, c中取出2个元素的所有组合数 预设：求“从3个元素中取出2个元素的排列数”： 第1步，从3个元素中取出2个元素作为一组，共有种不同的取法； 第2步，将取出的2个元素作全排列，共有种不同的排法． 于是，根据分步乘法计数原理，有 ． 即 ． 要求：利用以上相同的方法，分析 ②求从4个不同元素a, b, c, d中取出3个元素的所有组合数 学生：学以致用，利用以上相同的方法，求得. 预设：求“从4个元素中取出3个元素的排列数”： 第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有种不同的取法； 第2步，将取出的3个元素作全排列，共有种不同的排法． 于是，根据分步乘法计数原理，有 ． 即 ． 类比：由特殊到一般的数学思想，将求的方法推广为一般形式，如何求组合数？ 学生：按要求求出 预设：求“从个元素中取出个元素的排列数”，可以看作由以下两个步骤得到： 第1步，从个不同元素中取出个元素作为一组，共有种不同的取法； 第2步，将取出的个元素作全排列，共有种不同的排法． 根据分步乘法计数原理，有 ． 因此， . 组合数公式： 这里，并且，这个公式叫做组合数公式． 要求：用阶乘的形式表示以上公式 预设：因为，所以 另外，我们规定． 5． 应用新知 例6 计算：（1）；（2）；（3）；（4）． 学生：回顾组合数公式并计算，得出答案，做好分享准备. 预设：根据组合数公式，可得 （1）； （2）； （3）； （4）． 思考：观察例6的(1)与(2) ， (3)与(4)的结果，你有什么发现？ (1)与(2)分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？ 学生：不易发现，.猜想： 要求：请利用排列数公式的阶乘形式证明以上猜想. 预设： 牛刀小试： 练3：计算下列各式． (1) ； (2) 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：(1) 3C－2C＝3×－2×＝148. （2）∵∴9.5≤n≤10.5. ∵n∈N*，∴n＝10， ∴C＋C＝C＋C＝C＋C＝＋31＝466. 例7 在100件产品中，有98件合格品，2件次品、从这100件产品中任意抽出3件． （1） 有多少种不同的抽法? （2） 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? （3） 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? 师生：在完成例7的过程中，可以向学生提出下列问题： (1) 这是一个排列问题还是组合问题？ (2) 应该根据什么计数原理解决问题？ (3) 能否对同一问题给出不同的方法？ (4) 能否归纳求组合问题的一般方法？ 设计意图：通过应用公式解决问题，及时巩固组合数公式，形成解决组合问题的一般方法. 分析：（1）从100件产品中任意抽出3件，不需考虑顺序，因此这是一个组合问题； （2）可以先从2件次品中抽出1件，再从98件合格品中抽出2件，因此可以看作是一个分步完成的组合问题； （3）从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品的情况，因此可以看作是一个分类完成的组合问题． 预设：（1）所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为 ； （2）从2件次品中抽出1件的抽法有种，从98件合格品中抽出2件的抽法有种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为 ． 从2件次品中抽出1件的抽法数可以是吗? （3）方法1：（直接法） 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为 ． 方法2：（间接法）抽出的件中至少有件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即 ． 当和取较小数值时，可以通过手算得出和．当和取较大数值时，可以使用信息技术工具，以使计算更快捷和准确．许多信息技术工具都有计算排列数和组合数的内部构造函数，输入和的值后，便可以直接得到结果． 总结：有限制条件的抽(选)取问题的处理方法 预设：有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类 (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数. (2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏. 跟踪练习 现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件： (1)一共有多少种不同的取法？ (2)若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的抽法共有多少种？ (3)若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的抽法共有多少种？ 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：（1）所求的抽法总数，就是从30件产品中取出3件的组合数． （2）抽取可以分成两步完成： 第一步，在2件次品中抽出1件，有种方法； 第二步，在28件合格品中抽出2件，有种方法． 由分步乘法计数原理知，不同的抽法为． （3）满足条件的取法可以分成两类：恰有1件次品的取法和恰有2件次品的取法． 第一类，恰有1件次品的取法有种， 第二类，恰有2件次品的取法有种． 由分类加法计数原理知，不同的抽法为． 类型一：插空法解决“不相邻问题” 例1 小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（    ）个． A．240 B．360 C．600 D．720 预设：第一步先排3，4，5，9四个数字，共有种排法； 第二步这四个数字形成5个空，选两个空，放两个1，共有种排法， 根据分步乘法计数原理，共有共有种. 故选：A 总结：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可. 题型二：捆绑法解决“相邻问题” 例题2 某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻的排法种数为( ) A．24 B．36 C．48 D．60 预设：先安排甲､乙相邻，有种排法，再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列，故有排法种数为. 故选：C 总结：对于某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素捆绑，再将它与其它元素在一起排列，注意捆绑部分的内部顺序. 题型三：不同元素的分组问题 类型一：除法策略解决不同元素的完全平均分组问题 例题3 (1)已知有9本不同的书.分成三堆，每堆3本，有________种不同的分堆方法？ 预设：(1) 9本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为. 故答案为：140. 总结：一般的，个不同的元素平均分成组，各组内的元素数目都是个，那么分组的方法数为 . 类型二：除法策略解决不同元素的部分平均分组问题 （2）已知有9本不同的书.分成三堆，两堆2本，另一堆5本，有________种不同的分堆方法？ 预设：(2) 不同的分堆方法的种数为. 故答案为：756. 总结：解决部分平均分组问题的方法是:只需要对其中数量相等的组进行去重(复)，也即分步后再除以 类型三：不除策略解决不同元素的完全不平均分组问题 （3）已知有9本不同的书.分成三堆，一堆2本，一对3本，另一堆4本，有________种不同的分堆方法？ 预设：不同的分堆方法的种数为. 故答案为：1260. 总结：完全不平均分组不会出现重复情况，故按照顺序分步完成即可，不需要除法. 题型4 隔板法解决“相同元素的分组问题” 类型一：每组至少一个元素的情况 例题4 （1）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法（    ） A．10种 B．24种 C．36种 D．60种 预设：依题意，采用隔板法，在个空中插入块板，则不同的放法共有种。 总结：个相同的元素，分成组，每组至少一个元素，共有种分法 类型二：允许有的组没有元素的情况 （2）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，共有多少种放法（    ） A．24种 B．36种 C．60种 D．84种 预设：可以再借4个小球，加起来共10个小球，放到4个不同的箱子里，每个箱子至少有一个小球. 这个问题就转化为类型一：不允许有空箱子的问题. 10个小球产生9个空（不含两头的空），插入块挡板即可，共有种方法. 总结：个相同的元素，分成组，共有种分法 6． 课堂小结 设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力. 作业1：完成教材：第22-23页 练习1，2，3 ，第25页 练习1，2，3. 作业2：配套辅导资料对应的《组合即组合数》.  6.2.2 排列数 1. 组合：从n个不同元素取m（m≤n）个并成一组（**无序性**） 2. 组合数：组合的个数，记作$C_{n}^{m}$，与排列数区别：有序vs无序 3. 公式：① ；② 规定 4. 性质：① （简化计算）；② （递推关系） 5. 解题步骤：判断有序/无序→定n、m→选公式/性质→计算 6. 典例：抽取、选取类（无序）问题对比排列（有序）问题 7. 易错点：混淆有序无序、忽略m≤n、性质适用场景错误 本节课围绕组合与组合数展开教学，以排列知识为基础，通过实例对比突出组合无序性本质，引导学生依托计数原理推导组合数公式，讲解两大性质及应用场景，结合典例梳理解题步骤。教学中发现学生能初步理解组合概念，但对排列与组合的本质区分仍不精准，易将无序组合问题误判为有序排列问题；推导公式时对排列数与组合数的逻辑关联理解不透彻，运用组合数性质解题时，无法根据题目特征灵活选择性质简化计算，部分学生还存在n、m取值判断失误的问题。课堂互动多集中于基础较好的学生，对薄弱生的针对性引导不足，练习设计的梯度性也需加强。后续教学需增加排列组合对比辨析的变式练习，强化公式推导的思维引导，结合错题讲解明确性质应用场景，设计分层练习兼顾不同层次学生，同时优化课堂提问方式，让更多学生参与到思维过程中，提升学生解决计数问题的能力。 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $