6.2.3&6.2.4 组合与组合数 （教学设计）数学人教A版选择性必修第三册

6.2.3&6.2.4  组合与组合数  教学设计

1.教学内容

本节课讲解组合与组合数核心知识，先通过排列对比引出组合定义，明确组合是从n个不同元素中取m（m≤n）个元素并成一组，强调与排列的本质区别为无序性。接着推导组合数定义，记作，结合分步乘法计数原理推出组合数公式及阶乘形式，介绍组合数的两个性质并简单推导。通过选取、抽取类典例讲解组合问题的判断方法与公式应用步骤，对比排列与组合的解题差异，梳理解题关键：先判断有序与无序，再确定n、m并选择对应公式计算，同时指出易混淆排列与组合的易错点并强调规避方法。

 

2.内容解析

本节课是人教A版（2019）选择性必修第三册计数原理单元的关键内容，承接排列知识，以“有序与无序”为核心区分点引入组合概念，贴合学生认知规律。通过排列实例对比，让学生理解组合无序性本质，为组合数学习铺垫。

组合数定义、公式推导及性质是核心，公式推导依托分步乘法计数原理与排列数公式，体现知识关联性，性质推导侧重逻辑，助力简化计算。

教学中通过典型例题对比两类问题，强化判断能力，点拨易混淆点突破难点。本节课围绕组合与组合数展开，明确其定义及与排列的本质差异，掌握公式、阶乘形式及两大性质，能解决简单选取类问题，需熟练判断问题类型、确定n和m取值，重视知识衔接与易错点辨析，培养逻辑推理与运算能力，为后续复杂计数及概率学习筑牢基础。

教学重点：掌握组合与组合数的定义、公式及性质，能区分并解决组合问题。

 

1.教学目标

（1）理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系；

（2）能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用组合数的性质化简、计算、证明；

（3）能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题，提高数学应用能力和分析

问题、解决问题的能力.

2.目标解析

（1）该目标是本节课的基础认知目标，聚焦组合与组合数的核心概念，同时要求厘清与排列的区别和联系，核心是让学生抓住“无序”这一组合本质特征，通过对比建立知识关联，为后续公式学习和应用筑牢概念基础，是后续学习的前提。

 （2）该目标是本节课的核心技能目标，先依托计数原理推导公式，体现知识的逻辑生成，再要求掌握公式及性质并能灵活运用，既培养学生的逻辑推理能力，也提升其数学运算素养，是连接概念与应用的关键环节。

（3）该目标是本节课的综合应用目标，要求融合排列数、组合数公式和计数原理解决实际问题，旨在让学生实现知识的迁移运用，在分析和解决问题的过程中，提升数学应用能力和逻辑思维能力，体现计数原理的实用价值。

学生已掌握排列、排列数的定义与公式，能运用分步乘法计数原理解决简单排列问题，但对“有序与无序”的本质区分掌握不扎实，公式应用易忽略问题特征。

学生具备基础的逻辑推理和运算能力，不过知识迁移与综合应用能力有待提升，对抽象概念的本质理解易停留于表面。

教学中预计学生难以精准区分组合与排列问题，易因忽略“无序性”将组合问题误判为排列问题；推导组合数公式时，难以快速建立与排列数的逻辑关联，理解公式由来存在障碍；运用组合数性质解题时，无法灵活选择性质简化运算，实际应用中也易混淆n、m的取值范围。

解决困难可通过多组典型实例对比分析，强化“有序与无序”的辨析训练；推导公式时借助分步计数原理逐步引导，搭建排列数与组合数的联系桥梁；设计分层练习，结合实例讲解性质应用场景，明确n、m取值要求，通过错题剖析强化认知。

教学难点：精准区分组合与排列问题，理解组合数公式推导逻辑并灵活运用公式及性质解题

 

1．创设情境，引入新知

上节课我们学习了排列问题，核心是 “有序选取”。比如从咱们班 50 名同学中选 2 名分别担任班长和学习委员，有多少种选法？大家很快能反应过来，是，因为班长和学习委员是两个不同的岗位，选出来的

两个人调换顺序，结果是不一样的。

思考：从咱们班 50 名同学中选 2 名参加听讲座，有多少种不同的选法？

追问：这个问题和刚才的 “选班长、学习委员” 有区别吗？

有区别，区别就在于 “顺序”——

选甲和乙参加集训，不管是先念甲的名字还是先念乙的名字，最终都是这两个人去，结果没有变化；

但选甲当班长、乙当学习委员，和乙当班长、甲当学习委员，就是两种完全不同的安排。

教师：这个“无序选取”问题，就是本课要学习的-----组合问题

2．探究新知

探究：从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法?

提示：请用列举法得出结果

学生：学生思考辨析、讨论交流，尝试着列举出所有结果.

预设：甲、乙、丙３名同学中选２名去参加一项活动，就只需考虑将选出的２名同学作为一组， 不需要考虑他们的顺序．因此：甲乙；甲丙；乙丙，共3中选法

思考：两个问题有什么区别？

问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？

问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？

学生：根据以上求解过程，体会两个问题的区别.

预设：问题1：从已知的3 个不同元素中取出2个元素  ,按照一定的顺序排成一列. →排列（有顺序）

问题2：从已知的3个不同元素中取:出2个元素  ,并成一组.→组合（无顺序）

设计意图：通过对这两个问题的辨析，让学生理解这 两类问题的本质区别，为引入组合的概念奠定基础.

组合定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个