6.2.3 组合 教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修三教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 《6.2.3 组合》教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求 通过实例，理解组合的概念，能区分排列与组合的联系与区别，能运用组合的概念解决简单的实际计数问题，发展数学抽象、逻辑推理与数学运算核心素养. 课标分析 本节课是人教A版高中数学选择性必修第三册“计数原理”章节的核心内容，承接排列的学习，是计数问题的重要类型.课标强调从具体实例出发，抽象出组合概念，突出无序性这一本质特征，要求学生能准确区分排列与组合，建立“有序为排列、无序为组合”的判断标准.本节课既是对两个计数原理的深化应用，也为后续组合数公式、组合综合应用奠定基础，在培养学生分类讨论、逻辑建模能力上具有重要作用. 2、 教材分析 “组合”是排列与组合知识体系的关键内容，在计数原理知识架构中起着承上启下的作用.它建立在分类加法计数原理、分步乘法计数原理以及排列概念基础之上，通过研究“从个不同元素中取出个元素并成一组”的无序选取问题，丰富了计数问题的类型.组合概念的核心是与顺序无关，它与排列的区别与联系是本节课的重点，也是学生理解的关键点.掌握组合概念，不仅能解决简单的组合计数问题，更为后续学习组合数公式、组合应用、二项式定理提供理论支撑，是培养学生数学抽象、逻辑推理与数学建模素养的重要载体. 3、 学情分析 学生在学习本节课之前，已经掌握了两个计数原理、排列的定义与排列数的计算，能够判断简单的排列问题，具备一定的抽象概括与逻辑推理能力.但学生容易混淆排列的有序性与组合的无序性，在实际问题中难以快速判断是否与顺序有关，对“并成一组”的内涵理解不够深入.同时，学生在列举组合时容易出现重复或遗漏，需要通过实例辨析、动手列举逐步突破.教师应借助生活实例、对比辨析、动手操作，帮助学生理解组合本质，区分排列与组合. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：通过实例抽象概括出组合的定义，理解组合的无序性特征，提升从具体问题到数学概念的抽象能力. 1. 逻辑推理素养：能准确区分排列与组合的联系与区别，掌握判断组合问题的方法，培养逻辑推理与辨析能力. 1. 数学运算素养：能通过列举法计算简单组合问题的结果，做到不重不漏，提升运算准确性与条理性. 1. 直观想象素养：借助树状图、表格列举组合，直观感受组合的无序性，建立有序与无序的直观区分意识. 1. 数学建模素养：将实际计数问题转化为组合模型，运用组合概念解决问题，体会数学在实际生活中的应用. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：组合的定义、组合的无序性特征，排列与组合的区别与联系. 1. 难点：快速准确判断实际问题是排列问题还是组合问题，用列举法正确求解组合问题. 六、教学过程 环节一：检查预习 展示预习问题： 从甲、乙、丙人中选人参加同一项活动，选法有：甲乙、甲丙、乙丙，共种. 从甲、乙、丙人中选人，一人上午一人下午，选法有种. 判断：从人中选人开会，是组合问题；选人分别担任不同职务，是排列问题. 学生回答，教师纠错，强调“顺序”是判断关键. 环节二：引入课题 请学生回顾排列相关知识，随机提问： 排列的定义：从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列. 排列的核心特征：与顺序有关. 排列问题的判断：交换元素顺序，结果发生改变. 教师点评，强调排列的有序性，引出本节课要学习的“只选不排、与顺序无关”的新计数模型——组合. 环节三：合作探究 1. 组合的概念（5分钟） 提出问题：从甲、乙、丙名同学中选名参加同一项活动，与顺序有关吗？ 引导学生列举：甲乙、甲丙、乙丙，共种，交换两人顺序，仍是同一种选法. 类比排列，给出组合定义： 一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 强调核心：只选取，不排序，与顺序无关. 2. 排列与组合的联系与区别（5分钟） 组织学生小组讨论： 联系：都是从个不同元素中任取个元素. 区别：排列与顺序有关，组合与顺序无关. 判断方法：交换两个元素位置，结果变→排列；结果不变→组合. 实例：“甲乙”与“乙甲”是相同组合，不同排列. 3. 组合问题判断（5分钟） 给出实例，学生快速判断： 集合子集：与顺序无关→组合 车票：起点终点有序→排列 票价：两站之间一种票价→组合 分组、握手、选人开会→组合 排队、排序、安排职务→排列 . 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1 判断下列问题是排列问题还是组合问题 (1) 从四个点中选个点为端点的线段.（组合，无序） (2) 从四个点中选个点为端点的有向线段.（排列，有序） (3) 支球队单循环赛场次.（组合，无序） (4) 支球队冠亚军结果.（排列，有序） 例2 平面内有四个点，任意三点不共线 (1) 以其中个点为端点的线段有多少条？ 解：列举，共条. (2) 以其中个点为端点的有向线段有多少条？ 解：共条. 2. 综合练习（7分钟） 例3 甲、乙、丙、丁支足球队举行单循环赛 (1) 列出所有比赛双方：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共场. (2) 冠亚军可能情况：共种. 例4 从中任取个 (1) 相加可得不相等的和：，共个（组合）. (2) 相减可得不相等的差：共个（排列）. 例5 从男女中选人，恰有男女的选法 解：男选：甲乙、甲丙、乙丙；女选：、.共种. 例6 从名同学中选人参加长跑，不同选法有（） A. B. C. D. 答案：，列举共种. 小试牛刀： 一、单选题 1．元旦文艺汇演，因演出需要，身高互不相等的8位同学要排成一排成一个“波浪形”，即同学们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第六个依次递减，第六，七、八个依次递增，则不同的排列方式有（    ）种． A．181 B．171 C．231 D．191 2．有8名划船运动员，其中2人只会划左舷，3人只会划右舷，其他3人既会划左舷又会划右舷，现要从这8名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有（   ） A．52种 B．53种 C．54种 D．55种 3．四只不同的鹦鹉飞回三个不同的笼子，则至少有一个笼子空出来的概率为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 4．从5名男生，3名女生中任选3人（男女都有）参加3个不同的比赛，有______种不同的分配方法．（结果用数值表示） 三、解答题 5．从名男生和名女生中选出人去参加一项创新大赛． (1)如果人中男生女生各选人，那么有多少种选法？（用数字作答） (2)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，那么有多少种选法？（用数字作答） (3)如果人中必须既有男生又有女生，且男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，那么有多少种选法？ 环节五：课堂小结 1. 学生回顾：组合定义、无序性、排列与组合的区别. 2. 教师强调：判断关键看是否与顺序有关，组合只选不排.. 环节六：布置作业 1. 书面作业：课本练习、、，课时达标检测. 2. 拓展作业：列举生活中的个组合问题. 3. 预习：组合数公式及计算. 授课人个案修改记录： 教学反思 本节课以实例为依托，通过对比排列帮助学生理解组合的无序性，整体效果较好。但部分学生在复杂情境中仍易混淆排列与组合，后续需加强判断训练。列举法教学中，要强调有序列举、不重不漏。课堂应多给学生自主辨析、动手列举的时间，提升学生对组合模型的识别与应用能力，落实核心素养. 学科网（北京）股份有限公司 $