6.2.3 组合 教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第六章 计数原理

6.2.3组合

1.通过解决实际的计数问题，得到组合的定义；

2.正确理解组合的定义，并能利用定义判断组合问题.

3.正确认识组合问题与排列问题的区别与联系.

4.通过概括具体组合问题的特征，类比排列得到组合的定义，培养学生数学抽象的核心素养.

重点：组合的定义.

难点：将实际问题中的具体对象抽象为元素，得到组合的定义．

（一）创设情境

回顾：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？

第1步先选出参加活动的2名同学

第2步再确定2名同学的参加次序

抽离背景：从3个不同的元素a,b,c中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？

第1步先选出2个元素

第2步再对元素进行排序

排列的定义： 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

设计意图：通过具体的排列问题与组合问题情境对比，在排列问题的基础上引出组合问题，为抽象得到组合的概念作认知准备

（二）探究新知

任务1：探索组合的概念

探究：问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？

问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，有多少种不同的选法？与“回顾”中的问题有什么联系与区别？

思考：上边两个问题有什么区别？

问题一：从已知的3个不同元素中取出2个元素，按照一定的顺序排成一列.

问题二：从已知的3个不同元素中取出2个元素，并成一组

        有顺序，排列！     无顺序，组合！

探究：你能类比排列的定义，给出组合的定义吗？

排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

注意：(1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的，取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出.

(2)组合的特性：元素的无序性.、取出的m个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求.

相同组合：两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的.

思考：组合和排列有什么共同和不同点？

	排列	组合
相同点	从n个不同元素中取出m个元素
不同点	元素的顺序有关	元素的顺序无关
完成这件事情共分几步	第一步：取；第二步：排	仅一步：取

 

师生活动：学生类比排列的定义，独立思考，总结归纳组合定义.

设计意图：类比排列概念的形成，从特殊到一般得出组合的概念.

探究：判断下列问题是组合问题还是排列问题？

(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?

(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?有多少种不同的火车票价?             

(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法?

(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?

(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法?

(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?

要求：先自主探究，再展示汇报.

注意：组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.

答：(1)组合问题；(2)排列问题；组合问题；(3)组合问题；(4)组合问题；(5)组合问题；排列问题.

（三）应用举例