6.2.3 组合 教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学教学设计聚焦“组合”核心知识点，通过回顾排列问题（从3名同学选2名参加上下午活动），对比无顺序选2名的新问题，以排列知识为支架引出组合概念，梳理前后知识逻辑。 特色在于从具体问题抽象组合定义培养数学眼光，类比排列定义并表格对比异同发展数学思维，结合集合子集、车票票价等实例判断排列组合强化数学语言。助力学生夯实概念，培养抽象与逻辑思维，为教师提供清晰类比教学法和实例，提升教学效率。

第六章 计数原理 6.2.3组合   一、教学目标 1.通过解决实际的计数问题，得到组合的定义； 2.正确理解组合的定义，并能利用定义判断组合问题. 3.正确认识组合问题与排列问题的区别与联系. 4.通过概括具体组合问题的特征，类比排列得到组合的定义，培养学生数学抽象的核心素养.   二、教学重难点 重点：组合的定义. 难点：将实际问题中的具体对象抽象为元素，得到组合的定义．   三、教学过程 （一）创设情境 回顾：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？ 第1步先选出参加活动的2名同学 第2步再确定2名同学的参加次序 抽离背景：从3个不同的元素a,b,c中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ 第1步先选出2个元素 第2步再对元素进行排序 排列的定义： 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 设计意图：通过具体的排列问题与组合问题情境对比，在排列问题的基础上引出组合问题，为抽象得到组合的概念作认知准备 （二）探究新知 任务1：探索组合的概念 探究：问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？ 问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，有多少种不同的选法？与“回顾”中的问题有什么联系与区别？ 思考：上边两个问题有什么区别？ 问题一：从已知的3个不同元素中取出2个元素，按照一定的顺序排成一列. 问题二：从已知的3个不同元素中取出2个元素，并成一组 有顺序，排列！ 无顺序，组合！ 探究：你能类比排列的定义，给出组合的定义吗？ 排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 注意：(1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的，取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出. (2)组合的特性：元素的无序性.、取出的m个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求. 相同组合：两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的. 思考：组合和排列有什么共同和不同点？ 排列 组合 相同点 从n个不同元素中取出m个元素 不同点 元素的顺序有关 元素的顺序无关 完成这件事情共分几步 第一步：取；第二步：排 仅一步：取 师生活动：学生类比排列的定义，独立思考，总结归纳组合定义. 设计意图：类比排列概念的形成，从特殊到一般得出组合的概念. 探究：判断下列问题是组合问题还是排列问题？ (1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个? (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?有多少种不同的火车票价? (3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法? (4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次? (5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法? (6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法? 要求：先自主探究，再展示汇报. 注意：组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果. 答：(1)组合问题；(2)排列问题；组合问题；(3)组合问题；(4)组合问题；(5)组合问题；排列问题. （三）应用举例 例1 已知A,B,C,D,E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合. 解：先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合写出来，如下图： 总结：列出问题的组合的方法 （1）要列举出所有从n个不同元素中选出m个元素的组合，可借助顺序后移法或树状图法，直观的写出组合，做到不重复、不遗漏． （2）由于组合与顺序无关，故利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推进，且写出的一个组合不可交换位置.如写出AB后，不必再交换位置为BA，因为它们是同一组合.画树状图时，应注意顶层与下枝的排列思路，防止重复或遗漏. 设计意图：通过例1巩固组合的概念. 例2 校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆. 下面的问题是排列问题，还是组合问题? (1)从中选3辆，有多少种不同的方法? (2)从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法? 解：(1)只要选出3辆即可，没有顺序，是组合问题； (2)选出3辆后再分给3位同学，与顺序有关，是排列问题. 师生活动：教师引导学生根据排列、组合的定义，抓住是否有“顺序”这个关键区分排列问题与组合问题. 设计意图：通过利用概念分析、判断组合与排列的具体实例，进一步明确组合的概念，并从具体实例中初步感知排列与组合的区别与联系. 总结：区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题． 例3 平面内有A，B，C，D共4个点. (1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条? (2)以其中2个点为端点的线段共有多少条? 分析：(1)确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列问题；(2)确定一条线段，只需确定两个端点，而不需要考虑它们的顺序，是组合组合问题. 解：(1)一条有向线段的两个端点要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段的条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为： (2)由于不考虑两个端点的顺序，因此将(1)中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有：AB、AC、AD、BC、BD、CD六条. 师生活动：引导学生判断是排列问题还是组合问题： (1)要完成的一件事是什么？ (2)完成的一件事情是否与顺序有关？ 设计意图：通过引导学生解决排列问题与组合问题，使学生感受解决这类题目的思路，帮助学生理解组合的概念． （四）课堂练习 1.甲、乙、丙、丁支足球队举行单循环赛． 列出所有各场比赛的双方； 列出所有冠、亚军的可能情况． 解：甲、乙、丙、丁个足球队举行单循环赛，比赛的双方分别为甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁． 冠、亚军的所有可能情况如下： 冠军 甲 乙 甲 丙 甲 丁 乙 丙 乙 丁 丙 丁 亚军 乙 甲 丙 甲 丁 甲 丙 乙 丁 乙 丁 丙   2.已知平面内，，，这个点中任何个点都不在一条直线上，写出以其中任意个点为顶点的所有三角形． 解：以，，，中任意三个点为顶点的三角形有，，，． 3.现有，，，这个数． 从这个数中任取个相加，可以得到多少个不相等的和？ 从这个数中任取个相减，可以得到多少个不相等的差？ 解：从，，，四个数中任取两个，有，，，，，，共种情况，又由这四个数中任意两个数的和均不相等，故可以得到不相等的和有个． 从，，，四个数中任取两个，有种情况，又因为，，重复了个，所以这四个数中任意两个数的差均不相等有个，故可以得到不相等的差有个．  4.壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各张，一共可以组成多少种币值？ 解：由题意可知：若从这四张人民币任取张，一共有元、元、元、元种币值若从这四张人民币任取张，一共有元、元、元、元、元、元种币值若从这四张人民币任取张，一共有元、元、元、元种币值若从这四张人民币任取张，只有元种币值，根据分类计数原理，可知一共有种币值，一共可以组成种币值． 5.某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，共有          种选派方法，若甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案有          种 解：没有限制条件则共有种，若有限制条件，根据题意，分种情况讨论： 从五名志愿者中选派的四人中有甲但没有乙，甲有种安排方法，剩下三人全排列即可，此时有种选派方法． 从五名志愿者中选派的四人中有乙但没有甲，乙有种安排方法，剩下三人全排列即可，此时有种选派方法． 从五名志愿者中选派的四人中既有甲又有乙，需要在剩下人中选出人，有种选法，再考虑甲是否从事导游工作：若甲从事导游工作，有种情况，若甲不从事导游工作，则有情况，故安排方法有种， 则此时有种选派方法． 故一共有种选派方法． 故答案为：；． 设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固组合的概念，能够灵活运用. （五）归纳总结 【课堂小结】通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？ 设计意图：回顾整节课的内容，帮助学生理清知识思路，形成知识体系. 学科网（北京）股份有限公司 $