精品解析：四川南充市第十中学校2025-2026学年高一下期期中考试数学试卷

南充十中高2025级2025-2026学年度下期期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟 命题人：张长江 审题人：李祥平 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. ，，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两角差的正切公式计算. 【详解】． 故选：D. 2. 已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直向量的数量积为0及数量积的运算化简即可得解. 【详解】由题意， 又向量与的夹角为且为单位向量， ∴，解得. 故选：D 3. 将函数的图象向右平移，再将横坐标伸长为原来的3倍，得到的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的信息，利用三角函数图象变换法则求出解析式. 【详解】函数的图象向右平移，得， 再将横坐标伸长为原来的3倍，得， 故选：B 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由于，则， 于是. 5. 函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. 函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数图象关于直线对称 D. 函数图象的对称中心为 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答． 【详解】由图象可知，，，因为，所以， 所以，而，则， 由图可知，所以，所以， A，图象向左平移个单位得到图象，不正确； B，由，可得， 则单调递增区间为，则在上单调递增，即在上单调递增，正确； C，由于，则直线不是函数图象的对称轴，不正确； D，由，可得，则函数图象关于点对称，不正确． 故选：B 6. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 故选：C 7. 筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论错误的是（ ） A. 分钟时，以射线为始边，为终边的角为 B. 分钟时，该盛水筒距水面距离为米 C. 1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等 D. 1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设盛水筒距水面距离与时间的函数关系式为，结合图象求出函数解析式可得选项A正确，选项B错误；求出和时的函数值可得选项C正确；根据可得一个周期内有分钟符合题意，由此可得选项D正确. 【详解】 如图，以为原点，以射线方向为轴正方向建立平面直角坐标系. 设盛水筒距水面距离与时间的函数关系式为， 由题意得， ∴，解得，故， 设函数的最小正周期为，则，故， ∴， ∵盛水筒的初始位置为点， ∴当时，，即，故， 由点在第四象限可得初相，∴， ∴， ∴分钟时，以射线为始边，为终边的角为，该盛水筒距水面距离为米，故选项A正确，选项B错误. 当时，，当时，，故C正确. 由得， 当时，，故，解得，有分钟， ∵1个小时有个周期， ∴1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米，故D正确. 故选：B. 8. 已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合的范围及正弦函数的性质，求出的取值范围． 【详解】， 因为，所以， 要使在上有两个零点，则，解得， 故的取值范围为． 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】A选项，由， 得， 即，故A正确； B选项，，故B错误； C选项，，故C正确； D选项， ，故D错误. 10. 函数，下列结论正确的有（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的图象关于直线对称 C. 若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则 D. 函数的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，画出函数图象或整体思想分析可判断选项A，B；方程根的个数问题转化为函数图象交点个数问题可判断选项C；利用同角三角函数的关系化简函数解析式可判断选项D． 【详解】， 对于A，由，得，而在上单调递增，故函数在上单调递增，A正确； 对于B，，故函数的图象不关于直线对称，B错误； 对于C，由，可得，由，得， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且当，即时，，当，即时，， 当，即时，， 要使方程在上有两个不相等的实数根， ，故，C错误； 对于D，因 ， 因，则当时，取得最大值，故D正确. 11. 定义平面向量的“Rickie变换”，记作“”.对任意平面向量，规定变换后的向量，对向量连续进行次变换所得的向量记作.设，为平面内的非零向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则一定存在，使得 B. 若，则 C. 若，则的最大值为 D. 若存在两素数，使得，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：设，利用平面向量共线定理及所给定义计算即可得；对B：举出反例即可得；对C：设，，利用三角函数性质及所给定义计算即可得；对D：找出对向量连续进行次变换所得的向量规律，再分与进行讨论即可得. 【详解】对A：设，， 由，则存在，使得， 则，又， 故，故A正确； 对B：取，，， 则，，，， 故，， 此时，故B错误； 对C：设，， 则，， 故， ， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 故的最大值为，故C正确； 对D：设，当时，， 当时，， 当时，， 当时，； 若，则有以下四种可能： 1.，，且， 则； 2. ，，且， 则； 3. ，，且， 则； 4.，，且， 则； 故时，不合题意； 若，则，有以下两种可能： 1.，则； 2.，则； 即时，符合题意； 综上：若存在两素数，使得，则，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则与的夹角_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的定义结合平面向量夹角的取值范围可求得结果. 【详解】因为，，，则， 因为，故. 故答案为：. 13. 若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解. 【详解】由，得 . 故答案为： 14. 若平面向量是两个单位向量，且，空间向量满足，，，则对任意的实数，，的最小值是_________． 【答案】3 【解析】 【分析】将平方，结合，，，化简整理得到，再利用二次式的特点求解. 【详解】因为是两个单位向量，且，，，， 所以 ， ， ， ，当且仅当取等号. 所以的最小值是3. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积及其运算性质以及二次式的最值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、演算步骤. 15. 设是不共线的两个非零向量． （1）若，求证：三点共线； （2）若与共线，求实数k的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可. （2）由共线性质求出参数即可. 【小问1详解】 由， 得, , 所以，且有公共点B， 所以三点共线. 【小问2详解】 由与共线， 则存在实数，使得， 即，又是不共线的两个非零向量， 因此，解得，或， 实数k的值是 16. 已知平面向量，且. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件化简得到，结合先平方再开方计算向量的模； （2）先计算，，最后根据计算即可. 【小问1详解】 由整理得，又， 代入得，解得， 则； 【小问2详解】 因为， 又， 所以. 17. 已知函数（）. （1）化简，并求函数的对称中心； （2）求在区间上的值域； （3）若，，求的值. 【答案】（1），对称中心为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式及辅助角公式，可得，再由正弦函数的性质，即可求出对称中心； （2）根据条件，求出的范围，再由正弦函数的性质，即可求解； （3）根据条件求得，由平方关系求出，再由余弦的差角公式，即可求解. 【小问1详解】 因为， 由，解得，所以的对称中心为. 【小问2详解】 当时，，所以， 则，所以在区间上的值域为. 【小问3详解】 因为，得到， 又，则，所以， 则. 18. 近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设. （1）若，求的长； （2）若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 【答案】（1） （2）当时，取得最大值，最大值为平方米. 【解析】 【分析】（1）先在中，利用正弦函数的定义求出，再在中，利用可得； （2）先利用三角恒等变换化简，再由正弦函数的单调性计算可得. 【小问1详解】 因为，在中，（米）， 故（米）， 在中，则（米）. 【小问2详解】 因为四边形是矩形，可得， 所以在中，，， 在中，，则， 于是， 则矩形的面积 ， 所以 由，得， 则当时，即时，， 所以当时，取得最大值，最大值为平方米. 19. 对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． （1）试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； （2）若是回旋函数，求实数ω的值； （3）若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值． 【答案】（1）不是，理由见解析 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）代入题目给的定义求解即可， （2）求解分讨论即可， （3）求解讨论得 【小问1详解】 因为， 所以， 所以不恒成立， 所以函数不是一个阶数为的回旋函数． 【小问2详解】 设是阶数为t的回旋函数，则， 若，上式对任意实数x均成立； 若，， 因为的值域为，所以， 当时，对任意实数x有， 则，， 所以，； 当时，对任意实数x有， 则，，所以，． 综上所述，，． 【小问3详解】 因为对任意的x都成立， 由（2）可知，，， 所以． 令，解得（）． 因为函数在[0，1]上恰有2024个零点，所以，所以． 又因为，所以，所以． 【点睛】新结构问题利用题目给的定义，结合已经掌握的知识求解，合理推理. 20. 对于一组向量，记，令向量，如果存在向量，，使得，那么称是的“k向量”. （1）设，，若是的“向量”，求实数x的取值范围； （2）若，，是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由； （3）已知均是的“向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，，满足：为坐标原点，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值. 【答案】（1） （2）存在，且“向量”为，，理由见解析； （3）4048 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，通过向量的坐标运算及模运算得到不等式，求出答案；（2），若中存在“向量”，只需使，结合题意分析可得，当或6时，符合要求，得到结论；（3）由题意整理可得，设，由得，设，由对称得到方程组，求出，其中，即可得结果. 【小问1详解】 由题意可得：，即， 因为，则，，， 可得， 则，解得或， 所以实数x的取值范围. 【小问2详解】 存在“向量”，且“向量”为、，理由如下： 由题意可得， 若中存在“向量”，则， 因为， 所以， 即，即，又，所以或6. 当或6时，符合要求，故存在“向量”，且“向量”为、. 【小问3详解】 由题意，得，即， 所以，即，亦即， 同理，， 三式相加并化简，得， 即，，所以. 设，由得， 设，因为与关于点对称，与（且）关于点对称， 则依题意得：， 将①代入②得，， 从而， …… ， 以上k个式子相加化简得， ， 又由②知， ， 即， 所以， 其中， ， 当且仅当，即，时等号成立， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充十中高2025级2025-2026学年度下期期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟 命题人：张长江 审题人：李祥平 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. ，，（ ） A. B. C. D. 2. 已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 将函数的图象向右平移，再将横坐标伸长为原来的3倍，得到的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. 函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数图象关于直线对称 D. 函数图象的对称中心为 6. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 7. 筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论错误的是（ ） A. 分钟时，以射线为始边，为终边的角为 B. 分钟时，该盛水筒距水面距离为米 C. 1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等 D. 1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米 8. 已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 函数，下列结论正确的有（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的图象关于直线对称 C. 若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则 D. 函数的最大值为 11. 定义平面向量的“Rickie变换”，记作“”.对任意平面向量，规定变换后的向量，对向量连续进行次变换所得的向量记作.设，为平面内的非零向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则一定存在，使得 B. 若，则 C. 若，则的最大值为 D. 若存在两素数，使得，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则与的夹角_______. 13. 若，则________. 14. 若平面向量是两个单位向量，且，空间向量满足，，，则对任意的实数，，的最小值是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、演算步骤. 15. 设是不共线的两个非零向量． （1）若，求证：三点共线； （2）若与共线，求实数k的值． 16. 已知平面向量，且. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 17. 已知函数（）. （1）化简，并求函数的对称中心； （2）求在区间上的值域； （3）若，，求的值. 18. 近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设. （1）若，求的长； （2）若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 19. 对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． （1）试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； （2）若是回旋函数，求实数ω的值； （3）若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值． 20. 对于一组向量，记，令向量，如果存在向量，，使得，那么称是的“k向量”. （1）设，，若是的“向量”，求实数x的取值范围； （2）若，，是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由； （3）已知均是的“向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，，满足：为坐标原点，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $