精品解析：江苏天一中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试卷（平行班）

江苏省天一中学2025-2026学年第二学期期中考试 高二数学学科（平行班） 命题人：潘干 审阅人：行凯歌 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2. 设随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 4. 清明将至，为倡导文明祭祀，筑牢防火安全防线，4名青年志愿者到3个社区参加“绿色清明”公益宣讲活动，要求每名志愿者只能选择一个社区，每个社区至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 64种 D. 72种 5. 若函数的导函数为，且，则（ ） A. 0 B. C. D. 6. 某知识过关题库中有三种难度的题目数分别为，其中小明完成型题目的正确率分别为，小明从该题库中任选一道题完成，做对的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若事件满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两人分别从10个不同的数中随机选择若干个数（也可以不选），分别构成集合，记 中元素的个数为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（ ） A. B. 第10行所有数字之和为 C. 第2026行的第1013个数最大 D. 第15行中从左到右第4个数与倒数第4个数之比为1:3 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线在处的切线方程为 B. 函数的值域是 C. 若点P是曲线上的动点，则点P到直线 距离的最小值为 D. 若过点至少可以作曲线的三条切线，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 5名学生进行拍照，其中A不站在两边，B站在最中间，则不同的排法种数为______. 13. 对于数字的结果可借助二项式的展开式进行计算，由此请写出的后三位数为______. 14. 若对任意的，恒有，则实数的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在时取得极大值4. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 16. 若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为 . （1）求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值； （2）求展开式中所有的有理项； （3）求展开式中系数最大的项. 17. 中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． （1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数； （2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； （3）计划安排A、B、C三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数． 18. 教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． （1）从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； （2）从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； （3）从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 19. 已知函数 ． （1）若，求的单调区间； （2）若有且仅有1个零点，求的值； （3）若存在，使得 对任意恒成立，证明： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省天一中学2025-2026学年第二学期期中考试 高二数学学科（平行班） 命题人：潘干 审阅人：行凯歌 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以 2. 设随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过二项分布的期望，方差公式求解. 【详解】因为随机变量，所以， 解得，所以， 所以. 3. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】的展开式中含的项为， 所以所求系数为. 4. 清明将至，为倡导文明祭祀，筑牢防火安全防线，4名青年志愿者到3个社区参加“绿色清明”公益宣讲活动，要求每名志愿者只能选择一个社区，每个社区至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 64种 D. 72种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分组分配问题解法，先分组再分配即可求解． 【详解】根据题意，将4名青年志愿者分为三组，共有种情况，再分配到3个社区，共有种情况， 所以共有种不同情况． 5. 若函数的导函数为，且，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，结合求解即可. 【详解】由，得， 由，得，解得. 6. 某知识过关题库中有三种难度的题目数分别为，其中小明完成型题目的正确率分别为，小明从该题库中任选一道题完成，做对的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设小明选道类试题为事件， 小明选道类试题为事件，小明选道类试题为事件， 设小明答对试题为事件，则， ，， ，，， 故，故C正确. 7. 若事件满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件的概率公式，可得，根据概率的加法公式，可得，结合全概率公式及条件概率公式，代入求解，即可得答案. 【详解】由，得， 又， 所以， 由，得， 所以. 8. 甲、乙两人分别从10个不同的数中随机选择若干个数（也可以不选），分别构成集合，记 中元素的个数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用分步乘法原理得出任一选择方案发生的概率，甲、乙两人的选择中没有相同的数为，可能的选择方案数，进而求出概率即可. 【详解】把甲和乙的选择合称为一个选择方案．因为甲、乙两人随机选择其中的若干个数， 所以每个数被选中还是没被选中的概率均为． 设甲选中的数的个数为，则没被选中的数的个数为， 所以甲的这一选择发生的概率． 同理，乙的某一种选择发生的概率，所以任一选择方案发生的概率． 若甲、乙两人的选择中没有相同的数，设甲、乙两人选择的数的个数一共为， 则可能的选择方案数为， 当分别取时，根据分类加法计数原理，所有可能的选择方案数， 则甲、乙两人的选择中没有相同的数的概率， 所以． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是，应用二项式定理的逆用即可求和. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】令，得，故A正确； 的展开式中，， ，， ，故B正确； 令，得，令，得， ， 又， ，故C错误，D正确． 10. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（ ） A. B. 第10行所有数字之和为 C. 第2026行的第1013个数最大 D. 第15行中从左到右第4个数与倒数第4个数之比为1:3 【答案】AB 【解析】 【分析】由组合数的性质计算可判断A；由杨辉三角的每行系数和性质可判断B；由杨辉三角图可知，第行有 个数字，每行最中间项的系数最大可判断C；根据可判断D. 【详解】对于，故A正确； 对于B，由杨辉三角的每行系数和性质可知， 第0行所有数字之和为，第1行所有数字之和为， 第2行所有数字之和为，第3行所有数字之和为， 第4行所有数字之和为，以此类推，第10行所有数字之和为，故B正确； 对于C，由杨辉三角图可知，第行有 个数字， 如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大； 如果是偶数，则第个数字最大，故第2026行的第个数最大，故C错误； 对于D，由题意，第15行，第4个数为， 倒数第4个数为，即，故D错误. 故选：AB. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线在处的切线方程为 B. 函数的值域是 C. 若点P是曲线上的动点，则点P到直线 距离的最小值为 D. 若过点至少可以作曲线的三条切线，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用导数的几何意义求出切线方程；对于B，利用导数判断函数的单调性，从而求出的值域；对于C，当在点P处的切线与直线 平行时，点P到直线 的距离最小，求出点P坐标，用点到直线距离公式求出最值；对于D，设切点坐标，写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，构造函数，，利用导数分析该函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】函数的定义域为，， 对于A，因为，且 ， 所以曲线在处的切线方程为，故A错误； 对于B，当 时， ，函数的单调递增， 当时， ，函数的单调递减， 所以的最大值为，又当 时，；当 时，， 所以函数的值域是，故B正确； 对于C，当曲线在点P处的切线与直线 平行时，点P到直线 的距离最小， 设点，则 ，整理得 ， 因为在上单调递增，所以有唯一解 ，此时， 点P到直线 的距离，故C正确； 对于D，设过点的切线切点为，则切线斜率为， 故曲线在点处的切线方程为， 将点的坐标代入切线方程得，可得， 令，，则， 令 ，解得或 ，所以函数的单调递减区间为、， 令 ，解得 ，所以函数的单调递增区间为， 故函数的极小值为，极大值为， 又当 时， ；当 时，， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 即若过点至少可以作曲线的三条切线，则，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 5名学生进行拍照，其中A不站在两边，B站在最中间，则不同的排法种数为______. 【答案】12 【解析】 【分析】先安排，，再安排其他3个人，得到答案 【详解】A有两个位置可以选择，有一个位置可以选择，除了A和B，其他3个人有种选择， 故不同的排法种数为. 13. 对于数字的结果可借助二项式的展开式进行计算，由此请写出的后三位数为______. 【答案】 【解析】 【分析】将转化为，利用二项式定理展开，分析展开式中会对百位、十位、个位产生影响的项，当 时，必为的倍数，则只需要考虑当的情况进行求解. 【详解】由题意可知， ， 当 时，必为的倍数， 所以只需要考虑当的情况， 首先考虑，此时该项为， 由于的末位为0， 所以的末三位均为0， 依然不会对结果的百位、十位、个位产生影响， 故只需考虑的情况. 当时，， 当时，， 所以将这两项相加得到，取后三位即. 故答案为：. 14. 若对任意的，恒有，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先对不等式进行移项，将含的部分合并得到，观察到两边可以统一为函数，利用其单调性将问题转化为在上恒成立，进而通过求的最大值得到参数范围. 【详解】不等式可化为. 令，则，所以. 设，则，所以单调递增. 又，， 则等价于，即在上恒成立， 也即在上恒成立. 令，则， 令 ，则，解得， 当时， ；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 要使在上恒成立，只需. 所以实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在时取得极大值4. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1） ； （2）最大值为4，,最小值为0. 【解析】 【分析】（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值； （2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值. 【小问1详解】 ，由题意得，解得 . 此时，， 当时， ，所以在 单调递增， 当时，，所以在单调递减， 当 时， ，所以在 单调递增， 所以在时取得极大值. 所以 . 【小问2详解】 由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增. 又因为，，， ， 所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0. 16. 若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为 . （1）求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值； （2）求展开式中所有的有理项； （3）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1） （2）. （3）第4项和第5项 【解析】 【分析】（1）先根据题意求出的值，再求出展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和即可； （2）求出展开式的通项公式求解，令为整数即可； （3）设展开式中第项的系数最大，列出不等式求出结果. 【小问1详解】 由题，可得，即，即，又，所以， 令，得，故系数和为，各项的二项式系数和为 ， 故展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值为. 【小问2详解】 因展开式的通项公式为，， 当时，为整数，即，，， 所以展开式的有理项为. 【小问3详解】 因为展开式的通项公式为，， 设展开式中第项的系数最大，则， 即，解得或 ， 故展开式的第4项和第5项的系数最大， 又，， 所以展开式系数最大的项为第4项和第5项. 17. 中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． （1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数； （2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； （3）计划安排A、B、C三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数． 【答案】（1）480 （2）360 （3）540 【解析】 【分析】（1）采用插空法，先排其余四科，再插空； （2）特殊的先排，再用分步乘法； （3）先分组后分配. 【小问1详解】 第一步，先将另外四门课排好，有种情况； 第二步，将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中，有种情况； 所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有种； 【小问2详解】 第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况； 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况； 第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法种情况； 因此，所有选课种数为. 【小问3详解】 ①将6个科目分成1、1、4三组，然后分给三名教师：种情况； ②将6个科目分成1、2、3三组，然后分给三名教师：种情况； ③将6个科目分成2、2、2三组，然后分给三名教师：种情况； 综上，所有的课程安排共有种情况. 18. 教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． （1）从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； （2）从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； （3）从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 【答案】（1） （2）的分布列为 数学期望 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率估计概率，再由独立事件的乘法公式即可求解； （2）先算出男生和女生中各随机抽取一人“运动达标”的概率，确定随机变量的可能取值并计算概率，进而得出分布列及数学期望； （3）先确定服从的二项分布，由二项分布的性质确定概率最大时的值. 【小问1详解】 由题意，可估计从该校的男生中任选一人，“运动不达标”的概率为， 设“从该校的男生中任选两人，这两人均为运动不达标”为事件， 则； 【小问2详解】 由表可知，从男生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 从女生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 随机变量的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为 数学期望. 【小问3详解】 由题意知从该校随机抽取一名学生，“运动达标”的概率为， 服从二项分布， 则要使得使概率取得最大值需且， 则且， 解得， 为整数，所以 ， 使概率取得最大值时的值为. 19. 已知函数 ． （1）若 ，求的单调区间； （2）若有且仅有1个零点，求的值； （3）若存在，使得 对任意恒成立，证明： ． 【答案】（1）的单调递增区间为 ，单调递减区间为. （2） （3）因为 对任意恒成立， 所以 ，即 ， 因此， 要证 ，只需证明 即可， 对函数求导得到 ， 令 ，则 ， 所以在区间 单调递减， 即 在区间 单调递减， 存在唯一极大值点，满足 ，即， 在内 函数单调递增， 内 函数单调递减， 所以当时取得极大值也是最大值 . 因此 ， 令 ，则， 当 时， ， 单调递增， 当时， ， 单调递减， 故 在 时取得最大值 ， 因此 ， 所以 ，所以 ， 故 得证. 【解析】 【分析】（1）先求定义域，再对函数求导，利用导数即可得到单调区间； （2）由有且仅有1个零点，分离参数得到有且仅有1个解，令， 利用导数得到的单调性和最小值 ，所以 . （3）由 对任意恒成立，得到，则只需证明 即可，利用导数得到最大值为 .因此 ，再令 ，得到 时 取得最大值 ，因此 ，即 ，故 得证. 【小问1详解】 当 时， ，定义域为 ， 求导得到 ， 令 ，则当时 ， 所以在 内单调递减，且 ， 即 在 内单调递减，且 ， 所以当 时， ，函数单调递增； 当 时， ，函数单调递减； 综上所述，单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 【小问2详解】 因为有且仅有1个零点， 所以方程 有且仅有1个解， 即有且仅有1个解， 令， ， 则， 令 ，则 ， 所以在区间 上单调递增， 又因为 ， 所以当 时， ，即 ，单调递减； 当 时， ，即 ，单调递增； 所以函数在 处取得极小值也是最小值 ， 当时， ， 时， ， 因为有且仅有1个解， 所以 . 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $