第7章二元一次方程组综合专练 2025-2026学年鲁教版五四制七年级数学下册

第7章二元一次方程组综合专练 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．已知方程是二元一次方程，则和的值分别是（    ） A．1和1 B．0和1 C．1和0 D．0和0 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程中所有未知数的次数都为，据此列方程求解参数是解题的关键． 二元一次方程要求变量次数均为，故的指数，的指数． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴的指数，的指数 解， ∴ 解， ∴ ∴， 故选：B． 2．用代入消元法解 ，代入后所得方程正确的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将第一个方程代入第二个方程，再去括号即可． 【详解】解：， 把①代入②，得 ，即． 故选：A． 3．如图是由块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为．若设标有序号的两个正方形边长分别为，，则根据题意可得到的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形列出方程组即可，解题关键是观察图形中正方形边长的拼接关系，找出等量关系列出方程组． 【详解】解：水平方向，观察图形可知，存在由两个边长为的部分组成的水平线段，其长度等于边长为的正方形边长加最小正方形边长，即 ； 垂直方向，从垂直边的拼接关系看，边长为的正方形边长加，等于边长为的正方形边长减，即； 综上，符合条件的二元一次方程组为， 故选：． 4．规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，加减消元法解二元一次方程组．根据共轭方程组的定义，比较给定方程组与标准形式，构建关于和的方程组并求解． 【详解】解：∵ 方程组为共轭方程组， ∴， ∴， 联立方程： 解得： 故选：A． 5．一次函数与的图像如图所示，则下列结论： ①； ②； ③的值每增加，的值增加； ④． 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． ①根据函数图象直接得到，进一步即可得到；②根据当时，，即可求得；③求得，即可判断③；④当时，代入两个函数解析式，借助图象即可判断． 【详解】解：①由图象可得：， ∴， ∴，故①正确； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3， .∴， .∴，即，故②正确； ∵， ∴ 当的值每增加，，故③错误， 当时，由图象可得：，故④错误． 故选：A． 6．已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（    ）个． ①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组．熟练掌握以上知识是解题关键．由，可得原方程组为，求解即可判断①；由原方程组可得出，结合，即得出，求解即可判断②；由原方程组可得出，即说明取任意实数，的值始终不变，可判断③；由原方程组可得出，整理，得：．结合，即可求出，，从而可求出，即存在实数，使成立，可判断④． 【详解】解：①当时，原方程组为， 解得：，故该项正确； ②， 由，得：． ∵，即， ∴， 解得：，即的最大值为2，故该项错误； ③， 由，得：， ∴取任意实数，的值始终不变，故该项正确； ④原方程组可改为：， ∴， 整理，得：． ∵，即， ∴， 解得：， ， ∴，即存在实数，使成立，故该项错误． 综上可知正确的有2个． 故选B． 7．若关于x的多项式的一个因式是，则的值为（   ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，三次多项式含有一个二次因式，因此另一个因式为一次因式，用待定系数法设出因式后展开，对比对应项系数求出a和b的值，再计算即可． 【详解】解：∵关于x的三次多项式的一个因式是， ∴设另一个一次因式为， 可得， ∴， ∴ 解得， ∴． 8．长沙某学校为了响应“双减”政策，大力推行课后服务课程，丰富学生的课后生活，开设了剪纸、戏曲、舞龙、武术、围棋个特色传统文化课程，每位同学至少选择一门特色课程，但是每位同学不能重复选择同一门课程．现对甲、乙、丙、丁、戊位同学的选课情况进行统计发现，甲、乙、丙、丁、戊分别选了、、、、门课程，而在这位同学中剪纸、戏曲、舞龙、武术、围棋分别被选了、、、、次，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．通过两种角度计算选课总次数建立等式，结合、的取值范围确定其值，进而求出的值即可． 【详解】解：按同学选课数统计总次数为， 按课程被选次数统计总次数为， 又两种统计方式的总次数相等， ，即， 单门课程最多被位同学各选次，故， ，得， 又每位同学至少选门课程，故， ，代入得， ， 故选：． 9．对于代数式，小明分别计算了当时该代数式的值，得到以下四个结论，嘉淇发现其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（   ） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的求值、解方程组，通过假设每个结论错误，验证其余三个结论是否一致，找出唯一矛盾的情况． 【详解】解：假设①错误，则②、③、④正确： 联立②和③：， 解得，，代入④得，矛盾，故①不可能错误． 假设②错误，则①、③、④正确： 联立①和③：， 解得，，代入④得，④正确，代入②得，仅②错误，符合题意． 假设③错误，则①、②、④正确： 联立①和②：， 解得，，代入④得，矛盾，故③不可能错误． 假设④错误，则①、②、③正确： 联立①和②：， 解得，，代入③得，矛盾，故④不可能错误． 综上，错误的结论是②． 故选：B． 10．设，，…，是从1，0，这三个数中取值的一列数，若，，则，，…，中为0的个数是（   ） A．120 B．220 C．200 D．620 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式及三元一次方程的解法，熟练掌握完全平方公式及三元一次方程的解法是解题的关键． 先得到，设有个1，个0，个，可得，解方程组即可． 【详解】解：∵， ， ∵， ， 设有个1，个0，个， ∴ ， 解得： ∴，，…，中为0的个数是220， 故选：B． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 … 已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 2 … （1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为______． （2）关于，的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解与系数的关系是解题的关键 （1）两个表格中的相同解即为方程组的解； （2）根据两个方程组的系数的关系即可求解． 【详解】解：（1）根据表格可知，当时，中，中， ∴关于，二元一次方程组的解为， 故答案为； （2）∵关于，二元一次方程组的解为， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 解得， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 故答案为． 12．已知关于的方程组的解互为相反数，则k的值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据解的情况求参数，相反数的定义等知识点，解题的关键是掌握解二元一次方程组的特殊解法． 根据二元一次方程组的特殊解法整理出方程，根据互为相反数整体代入求值即可． 【详解】解：根据题意得，， 得，， ∴， 将代入得，， 解得， 故答案为：． 13．已知关于x，y的方程组现甲看错了①中的a，得到方程组的解为乙看错了②中的b，得到方程组的解为则________，________． 【答案】 1 －3 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，解题关键是能正确得到，的值． 甲看错方程①中的，但其解满足方程②；乙看错方程②中的，但其解满足方程①；分别代入得到关于和的方程组，解之即可． 【详解】解：甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，此解满足方程②， 代入得：，即． 乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，此解满足方程①， 代入得：，即． 联立方程组： 由④得， 代入③得：，即， 解得． 代入，得， 解得： 故答案为：，． 14．已知方程组和方程组的解相同，则的值是_____． 【答案】 【分析】联立两方程组中不含与的方程形成新的方程组，求解新方程组得到与的值，代入剩下的方程求出与的值，最后代入求解即可． 【详解】解：联立得：， ①②得：，即， 把代入①得：， 将代入得， 将代入得， 联立得， 解得：，， 则． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴的正半轴于两点，且的面积为． （1）的值为__________； （2）为第二象限内的一点，连接，交轴于点，且，连接，则的面积为___________． 【答案】 6 【分析】本题考查一次函数的图象与性质及三角形面积的计算，关键是利用一次函数与坐标轴的交点坐标及三角形面积公式求解参数，再通过直线解析式确定点的坐标，进而利用割补法计算三角形面积． （1）先根据直线与轴的交点求出的长度，结合的面积求出的长度，得到点的坐标，将点坐标代入直线解析式即可求出的值； （2）先根据的长度确定点的坐标，利用、两点坐标求出直线的解析式，代入点的纵坐标求出点的横坐标，最后将的面积拆分为两个以为底的三角形面积之和，计算得出结果． 【详解】（1）解：∵直线交轴正半轴于点， ∴， ∴． ∵，且在轴正半轴， ∴，解得， ∴． 将代入得，解得； 故答案为：． （2）解：∵在轴上，， ∴． 设直线的解析式为， 将、代入得：，解得， ∴直线的解析式为． ∵在直线上， ∴，解得， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：． 16．小明家准备装修一套房子，若请甲、乙两个装修公司合作，则需6周完成，需支付工钱5.2万元；若先请甲公司单独做4周后，剩下的请乙公司来做，则还需9周才能完成，需支付工钱4.8万元．若只请一个公司单独完成，从节约开支的角度来考虑，小明家应该选________公司（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组是解题的关键． 先求出甲、乙两公司单独完成装修所需的时间，再计算各自单独完成的工钱，比较后选择更节约开支的公司. 【详解】解：设由甲公司单独做需要x周完成， 则由乙公司单独做需要周完成， 依题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， , 即由甲公司单独做需要10周完成，由乙公司单独做需要15周完成． 设每周需付给甲公司m万元，每周需付给乙公司n万元， 依题意得： 解得： 单独由甲公司做需付（万元）, 单独由乙公司做需付（万元）； 又, 从节约开支的角度来考虑，小明家应该选乙公司． 故答案为：乙 ． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分,共计72分) 17．已知是二元一次方程组的解，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了求代数式的值，二元一次方程组的解；将代入方程组得，即可求解． 【详解】解：是二元一次方程组的解， ， 整理，得， ，得． 故的值为1． 18．用指定的方法解方程组： (1)（用代入消元法）； (2)（用加减消元法）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：由①可得：， 将③代入②可得：， 解得：， 将代入③可得：， ∴方程组的解为； （2）解：由可得：， 解得：， 将代入①得， 解得：， ∴方程组的解为． 19．解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用加减消元法求解； （2）先将原方程组两个方程化简，再利用加减消元法求解； （3）先将原方程组两个方程化简，再利用加减消元法求解； （4）先消去一个未知数转化为二元一次方程组，再依次求解． 【详解】（1）解： 得：， 将代入得：， 解得， 因此该方程组的解为； （2）解： 整理得 得：， 解得， 将代入得：， 解得， 因此该方程组的解为； （3）解： 整理得 得：， 解得， 将代入得：， 解得， 因此该方程组的解为； （4）解： 得：， 得：， 得：， 解得， 将代入得：， 解得， 将代入得：， 解得， 因此该方程组的解为． 20．已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立和，组成方程组即可解答； （2）利用方程组的解求出和，计算代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵方程组与的解相同， ∴， 由得：， ， 将代入①中得：， 解得：， ∴． （2）解：∵由（1）得， ∴将代入，得， 由得：， ， 将代入①中得：，解得：， ∴． 21．对整数、定义一种新运算，规定（其中、是常数），如：． (1)填空： （用含，的代数式表示）； (2)若，． ①求与的值； ②若，求出此时的值． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）根据题干中的计算规则进行计算即可； （2）①根据题干中的计算规则可列方程组，解方程组即可求出、的值； ②根据，可得关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：； （2）①解：，， ， 整理得：， 解得：； ②解：，， ， 解得：． 22．浙（浙江篮球地区联赛）联赛现在家喻户晓，某长兴工厂计划制作两款长兴球队吉祥物玩具．已知生产每件甲款纪念玩具需要4米面料、2千克辅料，生产每件乙款纪念玩具需要3米面料、1千克辅料．现有面料1080米、辅料440千克． (1)甲、乙两款玩具各生产多少件，恰好使两种原材料全部用完？ (2)某直营店根据市场调研情况，决定每件甲款玩具售价190元，每件乙款玩具售价80元．现该店计划从该厂采购一批玩具（两种玩具都要采购），全部售出后总销售额为3600元，请帮助设计采购方案． 【答案】(1)生产甲款纪念玩具120件，乙款纪念玩具200件 (2)共有两种采购方案：甲款8件，乙款26件；甲款16件，乙款7件 【分析】（1）设生产甲款纪念玩具x件，乙款纪念玩具y件，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设采购甲款纪念玩具a件，乙款纪念玩具b件，根据题意，列出方程求出正整数解即可. 【详解】（1）解：设生产甲款纪念玩具x件，乙款纪念玩具y件， 由题意，得，                       解得；                         答：生产甲款纪念玩具120件，乙款纪念玩具200件； （2）解：设采购甲款纪念玩具a件，乙款纪念玩具b件， 由题意，得：，                    ∴， ∵均为正整数，     或 ∴共有两种采购方案：甲款8件，乙款26件；甲款16件，乙款7件. 23．如图，一次函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象与y轴交于点，点C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2． (1)求一次函数的函数解析式； (2)求的面积； (3)问：在y轴上，是否存在一点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）求出C的坐标，然后利用待定系数法即可解决问题； （2）求得A点的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可； （3）分两种情况，利用三角形面积公式即可求得． 【详解】（1）解：把代入得， ∴， 设（）， 把代入可得： ， 解得：， ∴． （2）∵一次函数的图象与y轴交于点A， ∴， ∴； （3）存在，理由如下： ∵， ∴， ，即， ∴， ∵， ∴，或 ， ∴点P的坐标为或． 24．阅读材料，完成下列问题： 材料一：类词语是汉语中一种特殊的重叠形式，其核心特征在于‌第一字与第三字相同，第二字与第四字相同‌，形成对称结构．这种结构不仅强化了语言的节奏感，还通过重复突出动作、状态或情感，使表达更具生动性和强调性．例如，尝试尝试、体验体验、轻松轻松等．数学中若一个四位正整数（各个数位均不为0），千位和十位数字相同，百位和个位数字相同，则称该数为“孪生数”，例如1212、5757都是“孪生数”．把“孪生数”m的百位、千位上的数字交换位置，个位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的孪生数，记为“孪生数”m的“共生数”． 例：孪生数，，则共生数． 解答下列问题： (1) ； (2)试说明任意“孪生数”一定为101的倍数； (3)已知两个“孪生数”p、q，其中，（其中，，，且a，b，c，d都为整数），若p的“共生数”能被17整除，求p的值； (4)在（3）的条件下，且p、q的“共生数”满足，求的值． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3)8989 (4)12或16 【分析】（1）根据题意可得，进而得即可； （2）设这个四位数的千位数字是a，百位数字是b，根据题意得“孪生数”，可得答案； （3）先求出，根据能被17整除，得出能被17整除，根据，且a，b都为整数，得出，，即可得出答案； （4）先根据，得出，根据，，且c，d都为整数，得出或，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴． 故答案为：6； （2）解：设这个四位数的千位数字是a，百位数字是b，根据题意，得 这个“孪生数”是， ∴“孪生数”一定是101的倍数； （3）解：， ， ∴， 同理可得：， ∵能被17整除， ∴能被17整除， ∵，且a，b都为整数， ∴，， ∴； （4）解：根据（3）可得：， ， ，， ∵， ∴， 整理得：， ∵，，且c，d都为整数， ∴或， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； 综上，的值为12或16． 【点睛】本题主要考查了数字规律探究，整式加减的应用，解二元一次方程，解题的关键是熟练掌握新定义，整式加减的运算法则． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章二元一次方程组综合专练 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．已知方程是二元一次方程，则和的值分别是（    ） A．1和1 B．0和1 C．1和0 D．0和0 2．用代入消元法解 ，代入后所得方程正确的是 （   ） A． B． C． D． 3．如图是由块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为．若设标有序号的两个正方形边长分别为，，则根据题意可得到的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 4．规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 5．一次函数与的图像如图所示，则下列结论： ①； ②； ③的值每增加，的值增加； ④． 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 6．已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（    ）个． ①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立． A．1 B．2 C．3 D．4 7．若关于x的多项式的一个因式是，则的值为（   ） A．17 B．18 C．19 D．20 8．长沙某学校为了响应“双减”政策，大力推行课后服务课程，丰富学生的课后生活，开设了剪纸、戏曲、舞龙、武术、围棋个特色传统文化课程，每位同学至少选择一门特色课程，但是每位同学不能重复选择同一门课程．现对甲、乙、丙、丁、戊位同学的选课情况进行统计发现，甲、乙、丙、丁、戊分别选了、、、、门课程，而在这位同学中剪纸、戏曲、舞龙、武术、围棋分别被选了、、、、次，那么等于（    ） A． B． C． D． 9．对于代数式，小明分别计算了当时该代数式的值，得到以下四个结论，嘉淇发现其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（   ） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 10．设，，…，是从1，0，这三个数中取值的一列数，若，，则，，…，中为0的个数是（   ） A．120 B．220 C．200 D．620 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 … 已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 2 … （1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为______． （2）关于，的二元一次方程组的解为______． 12．已知关于的方程组的解互为相反数，则k的值是________． 13．已知关于x，y的方程组现甲看错了①中的a，得到方程组的解为乙看错了②中的b，得到方程组的解为则________，________． 14．已知方程组和方程组的解相同，则的值是_____． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴的正半轴于两点，且的面积为． （1）的值为__________； （2）为第二象限内的一点，连接，交轴于点，且，连接，则的面积为___________． 16．小明家准备装修一套房子，若请甲、乙两个装修公司合作，则需6周完成，需支付工钱5.2万元；若先请甲公司单独做4周后，剩下的请乙公司来做，则还需9周才能完成，需支付工钱4.8万元．若只请一个公司单独完成，从节约开支的角度来考虑，小明家应该选________公司（填“甲”或“乙”）． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分,共计72分) 17．已知是二元一次方程组的解，求的值． 18．用指定的方法解方程组： (1)（用代入消元法）； (2)（用加减消元法）． 19．解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 20．已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 21．对整数、定义一种新运算，规定（其中、是常数），如：． (1)填空： （用含，的代数式表示）； (2)若，． ①求与的值； ②若，求出此时的值． 22．浙（浙江篮球地区联赛）联赛现在家喻户晓，某长兴工厂计划制作两款长兴球队吉祥物玩具．已知生产每件甲款纪念玩具需要4米面料、2千克辅料，生产每件乙款纪念玩具需要3米面料、1千克辅料．现有面料1080米、辅料440千克． (1)甲、乙两款玩具各生产多少件，恰好使两种原材料全部用完？ (2)某直营店根据市场调研情况，决定每件甲款玩具售价190元，每件乙款玩具售价80元．现该店计划从该厂采购一批玩具（两种玩具都要采购），全部售出后总销售额为3600元，请帮助设计采购方案． 23．如图，一次函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象与y轴交于点，点C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2． (1)求一次函数的函数解析式； (2)求的面积； (3)问：在y轴上，是否存在一点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标 24．阅读材料，完成下列问题： 材料一：类词语是汉语中一种特殊的重叠形式，其核心特征在于‌第一字与第三字相同，第二字与第四字相同‌，形成对称结构．这种结构不仅强化了语言的节奏感，还通过重复突出动作、状态或情感，使表达更具生动性和强调性．例如，尝试尝试、体验体验、轻松轻松等．数学中若一个四位正整数（各个数位均不为0），千位和十位数字相同，百位和个位数字相同，则称该数为“孪生数”，例如1212、5757都是“孪生数”．把“孪生数”m的百位、千位上的数字交换位置，个位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的孪生数，记为“孪生数”m的“共生数”． 例：孪生数，，则共生数． 解答下列问题： (1) ； (2)试说明任意“孪生数”一定为101的倍数； (3)已知两个“孪生数”p、q，其中，（其中，，，且a，b，c，d都为整数），若p的“共生数”能被17整除，求p的值； (4)在（3）的条件下，且p、q的“共生数”满足，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $