2026年高考数学模拟卷（三）（全国Ⅱ卷）

2026年高考数学模拟卷（三） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·重庆·二模）已知集合，，则=（    ） A． B． C． D． 2．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C．1 D．2 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）向量，，若与同向，则（   ） A． B． C．3 D．±3 4．（2026·吉林·二模）在等比数列中，，，则（   ） A． B．2 C．2 D．4 5．（2026·辽宁锦州·模拟预测）已知是空间中不重合的三条直线，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若与异面，与异面，则与异面 6．（2026·贵州六盘水·一模）已知随机变量，若，则（   ） A．88 B．90 C．92 D．94 7．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图是由一个扇形和三角形组成的平面区域，，，扇形圆心角，，则扇形区域的面积为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·辽宁沈阳·三模）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·海南省直辖县级单位·二模）设函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为π B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．的值域为 10．（2026·山西运城·二模）已知一组数据由5个正整数组成，且这组数据中至少有1个8，则关于这组数据的描述可能是（   ） A．中位数为3且平均数为5 B．平均数为4且众数为4 C．平均数为4且方差为3.2 D．中位数为5且方差不小于7.2 11．（2026·四川成都·二模）如图，平行六面体的底面ABCD是边长为1的菱形，且，平面，则（   ） A．平面平面 B． C． D．平行六面体的体积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·海南海口·模拟预测）等比数列的各项均为正数，其前n项和为，且，，成等差数列，则数列的公比为________． 13．（2026·重庆·二模）已知函数，，若f(x)有两个零点，则_______. 14．（2026·辽宁沈阳·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为．若椭圆C上存在不同的两点A，B，使得，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·山西运城·二模）已知等差数列的公差为． (1)若，求数列的前项和； (2)若数列为递减数列，求的取值范围． 16．（2026·贵州六盘水·一模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求a的取值范围. 17．（2026·海南海口·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，点是线段的中点． (1)证明：平面； (2)若二面角的正弦值为，求四棱锥外接球的表面积． 18．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知椭圆的长轴长为4，左焦点为，平面内一动点到点的距离与到直线的距离相等，过作的两条切线，切点分别为 . (1)求动点 的轨迹方程； (2)证明： （i） 平分 ； （ii）为定值. 19．（2026·贵州贵阳·模拟预测）2021年3月，滇池绿道作为昆明市十大重点工程之一启动建设.滇池绿道规划总长137公里，宛如一条璀璨夺目的翡翠项链，将滇池沿线43处主要湿地公园、2个历史文化名村、20余处美丽乡村串珠成链，融滇池美景与人文古韵于一体，徐徐铺展出一幅青绿为底、乡愁点睛、活力涌动的滇池长卷. 骑行爱好者小明已骑行数年，2026年年初，他从滇池绿道沿岸选择了2条不同的骑行路线，记为路线A、B，计划保持每周骑行一次，并制定了两个不同阶段的骑行计划. 第一阶段：第一周等可能地从A、B路线中随机选择一个路线，经过统计分析发现，若前一周选择路线A，则下一周选择路线B的概率为；若前一周选择路线B，则下一周选择路线A的概率为. 第二阶段：骑行30周，每周从1∼30这30个数字中随机选择一个.若该数字除以7余数为1或2，则该周选择路线A，否则选择路线B.每个数字仅使用一次，直到第30个数字抽完. (1)记小明第一阶段累计次选择路线骑行共花了周，比较的期望与的大小；（给出判断即可） (2)求小明第一阶段第2周选择骑行路线B的概率； (3)记小明第二阶段路线B骑行次数全部用完为止共花了周，求随机变量的期望. 2 / 4 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学模拟卷（三） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·重庆·二模）已知集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不等式，即，即， 解得，故， 不等式可化为，即， 解得，故， 所以. 2．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】，，故的虚部为. 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）向量，，若与同向，则（   ） A． B． C．3 D．±3 【答案】A 【详解】由题设知，则，则，则， 因为与同向，所以，故. 4．（2026·吉林·二模）在等比数列中，，，则（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】B 【详解】设等比数列公比为，由，得，，. 由，得，即， 因，故，则. 5．（2026·辽宁锦州·模拟预测）已知是空间中不重合的三条直线，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若与异面，与异面，则与异面 【答案】A 【详解】选项A，由平行的性质得平行于同一条直线的两条直线平行，因此选项A正确； 选项B，垂直于同一条直线的两条直线不一定垂直， 也可能平行、相交或异面，因此选项B错误； 选项C，垂直于同一条直线的两条直线不一定平行， 也可能相交或异面，因此选项C错误； 选项D，与异面，与异面， 与也可能是平行或者相交，此时与均共面，因此选项D错误. 6．（2026·贵州六盘水·一模）已知随机变量，若，则（   ） A．88 B．90 C．92 D．94 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性可得. 【详解】因为，所以， 所以. 7．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图是由一个扇形和三角形组成的平面区域，，，扇形圆心角，，则扇形区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，. 中，，，，， 由正弦定理得，解得， 扇形区域面积为. 8．（2026·辽宁沈阳·三模）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线定义知，，设，，则. 双曲线离心率，故. 在中，，由余弦定理得：， 又，代入得. 将、代入上式：. 化简得. 即，整理为. 因式分解得，因，故. 则，因此. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·海南省直辖县级单位·二模）设函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为π B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．的值域为 【答案】AC 【详解】对于A：函数，根据周期公式可得，故A正确； 对于B：令，解得， 当时，，当时，，所以直线不是函数的对称轴，故B错误； 对于C：令，解得， 当时，，所以是的一个零点，故C正确； 对于D：对于函数，因为的值域为， 所以的值域为，故D错误. 10．（2026·山西运城·二模）已知一组数据由5个正整数组成，且这组数据中至少有1个8，则关于这组数据的描述可能是（   ） A．中位数为3且平均数为5 B．平均数为4且众数为4 C．平均数为4且方差为3.2 D．中位数为5且方差不小于7.2 【答案】ABD 【分析】举出符合要求的例子可得A、B、D；利用平均数与方差定义计算可得C. 【详解】对A：若这组数据为2，3，3，8，9，则其中位数为3且平均数为5，故A正确； 对B：若这组数据为1，3，4，4，8，则其平均数为4且众数为4，B正确； 对C：若这组数据的平均数为4，且至少有1个8， 则要使得方差最小，这五个数为3，3，3，3，8， 此时这组数据的方差，故C错误； 对D：若这组数据为2，2，5，8，8，则其中位数为5， 平均数为，方差，故D正确． 11．（2026·四川成都·二模）如图，平行六面体的底面ABCD是边长为1的菱形，且，平面，则（   ） A．平面平面 B． C． D．平行六面体的体积为 【答案】ABD 【分析】A选项，由线面平行得到面面平行；B选项，由线面垂直的判定定理和性质定理可证；C选项，先根据线面垂直得到线线垂直，由空间向量相关公式得到的长度，进而求出；D选项，求出平行六面体的高，得到体积. 【详解】A选项，因为，，所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以平面， 同理可知，平面， 又，平面，所以平面平面，A正确； B选项，连接，因为底面ABCD是边长为1的菱形，所以⊥， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，B正确； C选项，因为平面，平面，所以， ，， 则， 即， 又，，设的长度为， 故，解得，负值舍去， 又， 故 ， 所以，C错误； D选项，， 又， 故，故， 过点作⊥于点，则， 因为平面，平面，所以， 因为平面，为相交直线， 所以⊥平面，故为平行六面体的高， 菱形的面积为， 则平行六面体的体积为，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·海南海口·模拟预测）等比数列的各项均为正数，其前n项和为，且，，成等差数列，则数列的公比为________． 【答案】2 【详解】设等比数列的公比为，首项为， 所以，前3项和， 因为成等差数列，所以，代入得， 由于，所以可得，解得或， 又因为各项为正数，所以，即得． 13．（2026·重庆·二模）已知函数，，若f(x)有两个零点，则_______. 【答案】 【分析】由得到解出的值，取范围内的的值分别为，，从而得到. 【详解】令，则，解得或， 情况一：，即，在内无解. 情况二：，即， ， 在内，取，得；取，得. 当时，，不在范围内. 故，， 因此. 14．（2026·辽宁沈阳·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为．若椭圆C上存在不同的两点A，B，使得，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】设，，由得到两点坐标之间的关系，再结合点在椭圆上，点的横坐标满足，得到不等式即可求得结果. 【详解】已知椭圆方程为，离心率，则， 如图所示，设左右焦点分别为，，椭圆上的点，， 由题意得，即， 由于都在椭圆上，则有，， 代入，得，由可得： ，整理得， 再代入得 ， 整理得， 当时，得，显然不符合条件； 当时，得，符合条件； 当且时，解得，代入，则，化简得， 为了使点在椭圆范围内，则点的横坐标需要满足，即，解得. 而当或时，与平行，即点，重合，不符合条件. 综上所述，的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·山西运城·二模）已知等差数列的公差为． (1)若，求数列的前项和； (2)若数列为递减数列，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助等差数列定义计算可得，再利用等比数列与等差数列求和公式计算即可得解； （2）令，作差可得，结合递减数列定义，分为奇数与为偶数讨论即可得. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以 ； （2）设，则， 当为奇数时，， 因为数列为递减数列，所以，得， 当为偶数时，， 因为数列为递减数列，所以，得； 故的取值范围是． 16．（2026·贵州六盘水·一模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，即可得曲线在点处的切线方程； （2）分三种情况，对函数的单调性进行分析，进而得到的最小值，结合恒成立，可得a的取值范围. 【详解】（1）若，函数，定义域为， ， 所以，. 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）函数，定义域为. 若，则是减函数，值域为，不满足恒成立，所以. 若，. 令，得或. 当时，恒成立， 所以当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增. 所以在处取得极小值，即最小值. 若恒成立，则，即， 化简得，解得. 当时，恒成立， 所以当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增. 所以在处取得极小值，即最小值. 若恒成立，则，即， 化简得，解得. 综上，a的取值范围是. 17．（2026·海南海口·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，点是线段的中点． (1)证明：平面； (2)若二面角的正弦值为，求四棱锥外接球的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，由面面角向量法可得，进而计算可解. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 因为底面为矩形，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，点是线段的中点， 所以， 因为且平面， 所以平面； （2）以点为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系，设， 则，，，， ，，， 由题意可得，平面， 所以平面的一个法向量可以为， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量可以为， 由题意可得，解得， 将四棱锥补充成完整正方体，可知为四棱锥外接球的直径，即， 所以四棱锥外接球的表面积为. 18．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知椭圆的长轴长为4，左焦点为，平面内一动点到点的距离与到直线的距离相等，过作的两条切线，切点分别为 . (1)求动点 的轨迹方程； (2)证明： （i） 平分 ； （ii）为定值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）证明见解析 【分析】（1）根据题意求出，再根据抛物线的定义列等式，求出点的方程； （2）（i）利用角平分线的向量判定：联立椭圆与切点弦方程，用韦达定理求出，利用向量共线的充要条件进行转化，最后代入韦达定理和验证； （ii）利用向量的数量积和椭圆左焦半径公式进行计算,证明. 【详解】（1）因为椭圆的长轴长为4，左焦点为， 所以，所以直线为， 设，则，化简得：， 所以动点的轨迹方程为； （2）（i）由（1）可知，所以椭圆方程为， 设， 则切线的方程为，切线的方程为， 因为既在上，又在上， 所以，所以直线的方程为， 联立，消去得， 所以， 消去得， 所以， 平分与共线与共线 与共线 ①， 下面证明①式成立： ②， ③， 将②③代入①得 ， 由于上式显然成立，于是①式成立，故平分； （ii） ， 所以为定值. 19．（2026·贵州贵阳·模拟预测）2021年3月，滇池绿道作为昆明市十大重点工程之一启动建设.滇池绿道规划总长137公里，宛如一条璀璨夺目的翡翠项链，将滇池沿线43处主要湿地公园、2个历史文化名村、20余处美丽乡村串珠成链，融滇池美景与人文古韵于一体，徐徐铺展出一幅青绿为底、乡愁点睛、活力涌动的滇池长卷. 骑行爱好者小明已骑行数年，2026年年初，他从滇池绿道沿岸选择了2条不同的骑行路线，记为路线A、B，计划保持每周骑行一次，并制定了两个不同阶段的骑行计划. 第一阶段：第一周等可能地从A、B路线中随机选择一个路线，经过统计分析发现，若前一周选择路线A，则下一周选择路线B的概率为；若前一周选择路线B，则下一周选择路线A的概率为. 第二阶段：骑行30周，每周从1∼30这30个数字中随机选择一个.若该数字除以7余数为1或2，则该周选择路线A，否则选择路线B.每个数字仅使用一次，直到第30个数字抽完. (1)记小明第一阶段累计次选择路线骑行共花了周，比较的期望与的大小；（给出判断即可） (2)求小明第一阶段第2周选择骑行路线B的概率； (3)记小明第二阶段路线B骑行次数全部用完为止共花了周，求随机变量的期望. 【答案】(1)当时，；当时， (2) (3)周. 【分析】（1）利用马尔可夫链的期望递推即可得到结论； （2）利用全概率公式，考虑第一周等可能选A或B及对应的转移概率，即可计算得第2周选B的概率； （3）由题意确定的所有可能取值为20，21，22，，30，由超几何分布并组合恒等式即可计算期望值. 【详解】（1）记为第一次选择的周数， 表示从出发首次到所需的步数，表示从出发首次到所需的步数， 由题设第一周选择的概率为，选的概率为，而第一次出现在第周， 故，故， 故， 又， 故第n次选择B出现的周数期望为， 则，当且仅当时等号成立， 故当时，；当时，. （2）设小明第一阶段第2周选择骑行路线B的概率为， 则. （3）1~30这30个数字中除以7余数为1或者2的有10个， 所以有10次选择路线A，20次选择路线B， 的所有可能取值为20，21，22，，30，为的个数， 从30个数字中任选个数字，共有种可能，其中符合要求的个数为， 因此前次抽取的集合恰好包含所有和个的概率为， 这个数字的所有排列顺序等可能， 在随机排列中，最后一个位置是的概率等于所占的比例， 故，， . 所以随机变量的期望是周. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $