精品解析：浙江丽水发展共同体2025-2026学年高二下学期4月期中联考数学试题

2025学年第二学期丽水发展共同体期中联考 高二年级数学学科试题 命题学校：松阳县第一中学 审题学校：龙泉中学浙江省庆元中学 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛掷一枚均匀硬币两次，能作为随机变量的是（ ） A. 抛掷硬币的次数 B. 出现正面的次数 C. 出现正面或反面的次数 D. 出现正面和反面的次数之和 【答案】B 【解析】 【详解】抛掷一枚均匀硬币两次，则抛掷硬币的次数为，不是随机变量，A不满足； 出现正面的次数是随机的，可作为随机变量，B满足； 出现正面或反面的次数，标准不明确，不是随机变量，C不满足； 出现正面和反面的次数之和为必然事件，试验前便知是必然出现的结果，不是随机变量，D不满足. 2. 某校高一新生中的四名同学打算参加“文学社”、“街舞社”、“美术社”三个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，则不同的参加方法的种数为（ ） A. 18 B. 36 C. 48 D. 72 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，可将四名同学先按照分组，再对三个社团进行分配即可， 故不同的参加方法的种数为. 3. 的展开式中的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式定理求出答案即可. 【详解】的展开式中的系数是 故选：B 4. 已知曲线在点处的切线与直线平行，则a的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 因为在点处的切线与直线平行， 所以，解得. 5. 设{}是首项为，公差为﹣2的等差数列，为前项和，若S1，S2，S4成等比数列，则 ＝（ ） A. 2 B. ﹣2 C. 1 D. ﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式,求出,,,再根据S1，S2，S4成等比数列,列方程可求得. 【详解】由等差数列的前项和公式得, 所以,,, 因为S1，S2，S4成等比数列,所以,即,解得. 故选D. 【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式、等比数列的性质.属于基础题. 6. 甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先求出，，，判断A，由条件概率公式和全概率公式依次判断B、C、D选项即可. 【详解】根据题意，甲箱中有2个红球和2个黑球，则，，，故A不正确； 乙箱中有1个红球和3个黑球，则，，，故B不正确； 则有，故C不正确； 则，故D正确； 故选：D 7. 已知，，是不相等的实数，且，随机变量的分布列为 则下列说法正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据数学期望公式可得，再根据方差公式得，利用基本不等式求范围，即得结果. 【详解】 因为 （当且仅当时取等号） 因为 故选：C 【点睛】本题考查数学期望与方差、利用基本不等式求值域，考查基本分析求解能力，属中档题. 8. 设a，，函数，若函数恰有3个零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设，恰有3个零点 当时，，是一次函数 若，，该函数有无数个零点，与题目要求不符； 若，，该函数无零点； 若，当时，该函数存在一个零点，当，该函数没有零点， 所以当时，至多有一个零点， 要使得函数有三个零点，则当时，函数应至少有两个零点， 当时，， ， 若，则在上，在上有最小值； 此时在区间的图象大致为： 若，则函数在上没有零点； 若，则函数在上只有一个零点， 所以当时，在上至多只有一个零点，不满足题意， 若，则在上，，在上，， 此时在区间的图象大致为： 故在上有最小值， 为保证有两个零点，，即， 且 ，即， 所以，当时，， ，有两个零点， 那么，当时，则必然存在一个零点，即满足 ， 因 ，所以， 因此， 综上所述，，. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知数列满足，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 的通项公式为 D. 数列是递增数列 【答案】AC 【解析】 【详解】由，得，则， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，故A正确，B错误； 则，即，即数列是递减数列，故C正确，D错误. 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 已知随机变量的分布列为，则 B. 若随机变量且，则 C. 在含有件次品的件产品中，任取件，表示取到的次品数，则 D. 用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用分布列的性质可判断A选项；利用正态分布的对称性可判断B选项；利用超几何分布的概率公式可判断C选项；利用二项分布的期望和方差公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，由分布列的性质可知， 解得，A对； 对于B选项，若随机变量且， 则，B对； 对于C选项，在含有件次品的件产品中，任取件，表示取到的次品数， 则，C错； 对于D选项，由题意可知， 由二项分布的期望和方差公式可得，， 解得，，D对. 11. 已知函数在处取得极值，的导函数为，则（ ） A. B. C. 当时， D. 时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】运用导数与函数的极值关系可以求得后判断A，再运用对称性的定义可以求解B，最后，运用单调性与最值的关系可以求解CD 【详解】对于A选项，, ，,所以选项A错误； 对于B选项, ,，， ,所以选项B正确； 对于C选项,， 令，得或，在上单调递减， 当时，,, 所以，，所以，选项C正确； 对于D选项, 当且时， 由于在上单调递减，在上单调递增， 处取得极小值，处取得极大值，由于， ， 因为, 由于,所以，, 所以，即, 所以，, 所以，在上， 所以，在上，，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的导函数为，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】对函数表达式同时求导并令，解方程即可求得结果. 【详解】已知函数， 求导可得， 代入，可得，即. 13. 已知数列的前n项和为，且，则________． 【答案】75 【解析】 【详解】当为奇数时，为奇数，则，故数列的奇数项均为； 当为偶数时，为偶数，则，即， 则数列的偶数项，是以为首项，公差为1的等差数列， 所以. 14. 袋中装有大小相同的五个小球，其编号分别为1，2，3，4，5．每次从袋中随机摸出一个小球，记下编号后放回袋中，搅拌均匀再进行摸取，设第次摸取小球的编号为，则在中：圆的个数的方差为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意知若表示圆，则，计算出，则，利用二项分布的方差计算公式即可得解. 【详解】若表示圆，则， 则符合的情况有：，，，，， 则， 又， 所以. 非选择题部分 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 已知为数列的前n项和，，. （1）求数列的通项公式： （2）若，为数列的前n项和.求，并证明：. 【答案】（1） （2），证明： ∵，∴，∴ 又∵，∴随着n的增大而减少，从而随着n的增大面增大， ∴， 综上所述，. 【解析】 【分析】（1）根据题设，利用的关系可推得，判断数列为等差数列，即可求得答案； （2）由（1）求得的表达式，利用裂项求和求得，结合的单调性，可证明结论. 【小问1详解】 当时,，,则, 当时，，则, 两式相减得： 即 即 ∵，∴, ∴数列是2为首项，公差为2的等差数列，∴. 【小问2详解】 由（1）得，， . 16. 已知函数． （1）若，求函数的单调区间和极值； （2）若对所有的，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为； （2）实数的取值范围为 【解析】 【分析】（1）代入参数后，先求导并因式分解，通过分析导数符号确定单调区间，再将极值点代入原函数计算极值． （2）先化简不等式，分离参数得到，构造函数​，利用导数求其在上的最大值，从而确定的取值范围． 【小问1详解】 若，则． 则， 令，得或；令，得或；令，得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时, 取得极大值，当时，取得极小值． 【小问2详解】 因为对所有，有成立， 即对所有，， 因为，所以，有 设，其中，则， 因为，所以． 当，即时，． 当，即时，． 因此在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，故a的取值范围为 17. 如图在三棱锥中，平面平面，，，点、分别为、的中点，为线段上的动点． （1）求证：； （2）若平面，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】（1） 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 因为平面，故. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，设，设，其中，求出平面的一个法向量的坐标，根据求出的值，再利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴， 过点且垂直于平面的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、、， 则，设，其中， ，， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则，，可得， 因为平面，则，所以， 解得，故， 故可取平面的一个法向量为， 又因为，则， 设直线与平面所成角为，则， ，故， 因此直线与平面所成角的正切值为. 18. 甲、乙、丙三个人组团参加某闯关游戏，规定闯关时每次只能派一人上场，且每人最多只能上场一次，若前一个人在规定时间内不能完成闯关，则再派下一个人继续闯关，直至有人闯关成功或三人均闯关失败则游戏结束．现已知甲、乙、丙三人各自在规定时间内能完成闯关的概率分别为，且，假定各人能否完成任务的事件相互独立． （1）若，求这三人闯关成功概率，并回答闯关成功的概率与三个人被派出的先后顺序是否有关？ （2）设游戏结束时所需要派出人员数目为，求的分布列和期望的最小值． 【答案】（1），闯关成功的概率与三个人被派出的先后顺序无关 （2） 1 2 3 ； 【解析】 【分析】（1）根据对立事件及独立事件乘法公式计算求解； （2）根据独立事件概率计算公式确定分布列，结合实际逻辑利用作差法确定最小值. 【小问1详解】 因为无论以怎样的顺序派出人员，闯关不能成功的概率都是， 所以闯关成功的概率与三个人被派出的先后顺序无关， 并等于； 【小问2详解】 设依次派出的三个人各自完成任务的概率分别是，其中是对于的任意排列，随机变量的分布为 1 2 3 ； 根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值． 即 下面证明：．（*） 当且时，， 当或时，因为， 所以 综上：成立． 19. 已知椭圆经过点，右焦点． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆交于不同的、两点，直线、的斜率之积为． （ⅰ）求坐标原点到直线的距离的取值范围； （ⅱ）设的中点为，点满足，过作轴，过作轴，直线与直线交于点，求的最小值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）（i）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，将该直线的方程与椭圆方程联立，结合韦达定理以及得出参数的值或关系，结合求出参数的取值范围，再利用点到直线的距离公式可求得坐标原点到直线的距离的取值范围； （ii）化简韦达定理，可化简点的坐标，计算得出，可知点在以原点为圆心，以为半径的圆上，利用圆的几何性质可求得的最小值. 【小问1详解】 由题意可得，又，解得， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设点、， （i）当直线的斜率不存在时，设直线的方程为， 由得，可取、， 所以，解得，则； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，得， 则 由韦达定理可得，， 所以 ，化简得， 且，即，解得且， 所以 因为，所以， 故， 综上所述原点到直线的距离的取值范围为； （ⅱ）由（i）得，， 所以， 且， 所以，所以点在以原点为圆心，以为半径的圆上， 故， 当且仅当点为线段与圆的交点时，等号成立， 即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期丽水发展共同体期中联考 高二年级数学学科试题 命题学校：松阳县第一中学 审题学校：龙泉中学浙江省庆元中学 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛掷一枚均匀硬币两次，能作为随机变量的是（ ） A. 抛掷硬币的次数 B. 出现正面的次数 C. 出现正面或反面的次数 D. 出现正面和反面的次数之和 2. 某校高一新生中的四名同学打算参加“文学社”、“街舞社”、“美术社”三个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，则不同的参加方法的种数为（ ） A. 18 B. 36 C. 48 D. 72 3. 的展开式中的系数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知曲线在点处的切线与直线平行，则a的值为（ ） A. 3 B. C. D. 5. 设{}是首项为，公差为﹣2的等差数列，为前项和，若S1，S2，S4成等比数列，则 ＝（ ） A. 2 B. ﹣2 C. 1 D. ﹣1 6. 甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，是不相等的实数，且，随机变量的分布列为 则下列说法正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 设a，，函数，若函数恰有3个零点，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知数列满足，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 的通项公式为 D. 数列是递增数列 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 已知随机变量的分布列为，则 B. 若随机变量且，则 C. 在含有件次品的件产品中，任取件，表示取到的次品数，则 D. 用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，，则 11. 已知函数在处取得极值，的导函数为，则（ ） A. B. C. 当时， D. 时， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的导函数为，且，则________． 13. 已知数列的前n项和为，且，则________． 14. 袋中装有大小相同的五个小球，其编号分别为1，2，3，4，5．每次从袋中随机摸出一个小球，记下编号后放回袋中，搅拌均匀再进行摸取，设第次摸取小球的编号为，则在中：圆的个数的方差为________． 非选择题部分 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 已知为数列的前n项和，，. （1）求数列的通项公式： （2）若，为数列的前n项和.求，并证明：. 16. 已知函数． （1）若，求函数的单调区间和极值； （2）若对所有的，都有成立，求实数的取值范围． 17. 如图在三棱锥中，平面平面，，，点、分别为、的中点，为线段上的动点． （1）求证：； （2）若平面，求直线与平面所成角的正切值． 18. 甲、乙、丙三个人组团参加某闯关游戏，规定闯关时每次只能派一人上场，且每人最多只能上场一次，若前一个人在规定时间内不能完成闯关，则再派下一个人继续闯关，直至有人闯关成功或三人均闯关失败则游戏结束．现已知甲、乙、丙三人各自在规定时间内能完成闯关的概率分别为，且，假定各人能否完成任务的事件相互独立． （1）若，求这三人闯关成功概率，并回答闯关成功的概率与三个人被派出的先后顺序是否有关？ （2）设游戏结束时所需要派出人员数目为，求的分布列和期望的最小值． 19. 已知椭圆经过点，右焦点． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆交于不同的、两点，直线、的斜率之积为． （ⅰ）求坐标原点到直线的距离的取值范围； （ⅱ）设的中点为，点满足，过作轴，过作轴，直线与直线交于点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $