微专题 概率专题讲义-2026届高三数学二轮专题复习

微专题： 概率专题 考情分析：条件概率、全概率公式在近年来成为新的出题点，思维难度较大。考查方式通常为事件独立性的判断或条件概率、全概率公式计算，可能在小题中单独命题，也可能与随机变量的分布列、数字特征相结合在解答题中出现。还关注创新题型：概率可能在填空压轴题中出现（如2024年新高考Ⅰ卷第14题），可适当增加概率选择题、填空题的练习量，适应概率小题的灵活性和多样化趋势。 必备知识： 1.频率与概率 (1)定义 一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用　频率fn(A)　来估计概P(A)　. fn(A)=. (2)概率的基本性质 性质1:对任意的事件A,都有P(A)　≥0　;  性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=　1　,P(⌀)=　0　;  性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=　P(A)+P(B)　;  性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=　1-P(A)　,P(A)=　1-P(B)　;  性质5:如果A⊆B,那么　P(A)≤P(B)　,由该性质可得,对于任意事件A,因为⌀⊆A⊆Ω,所以0≤P(A)≤1;  性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,有P(A∪B)=　P(A)+P(B)-P(A∩B)　.  2.古典概型 (1)具有以下两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型. ①有限性:样本空间的样本点只有　有限个　; ②等可能性:每个样本点发生的可能性　相等　.  判断一个试验是否是古典概型的关键点 （2） 古典概型的概率公式：一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)= 　.其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3.事件的相互独立性 P(AB)=P(A)P(B)是事件A与B相互独立的充要条件 事件A与事件B相互独立 对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立 性质 若事件A与事件B相互独立,则A与与B,也都相互独立 4.条件概率当P(A)=0时,我们不定义条件概率 条件概率 的定义 设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,称P(B|A)= 　为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率  条件概率 的性质 设P(A)>0,则(1)P(Ω|A)=1; (2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=　P(B|A)+P(C|A)　;  (3)设和B互为对立事件,则P(|A)=1-P(B|A) 5.全概率公式 一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意事件B⊆Ω,有　P(B)=P(Ai)P(B|Ai)　.我们称这个公式为全概率公式.指的是对目标事件B有贡献的全部原因  题型一 古典概型 古典概型的概率求解步骤 （1）求出所有样本点的个数；（2）求出事件包含的所有样本点的个数；（3）代入公式求解. 1．（25-26高三上·福建福州·开学考试）将含有甲、乙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列组合求解个数，即可由古典概型的概率公式求解. 【详解】将含有甲、乙的6人平均分成两组，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料的基本事件共有种情况， 甲、乙至少一人参加指挥交通的情况有， 故所求概率为， 故选：D. 2．（25-26高三上·河北沧州·期中）从这10个正整数中任选3个正整数，所选三个正整数中至少有一个数是素数的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求中的素数，再利用古典概率公式即可求解. 【详解】由题意知：中的素数为，共4个， 所以所选三个正整数中至少有一个数是素数的概率：， 故选：B. 题型二 条件概率 条件概率的求解方法 1．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）盒中装有个红球和个蓝球，小球除颜色外均相同．甲、乙两人先后从盒中随机取出个球，记录颜色后放回．已知两人取出的球颜色相同，则两人取出的球同为蓝色的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记事件两人取出的球颜色相同，事件两人取出的球同为蓝色，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】记事件两人取出的球颜色相同，事件两人取出的球同为蓝色，则， 则，， 由条件概率公式可得， 故选：C. 2．（25-26高三上·四川南充·月考）同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别算出，，结合公式即可求解. 【详解】同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对，则总共有种可能， 设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8， 所以事件包含的样本点个数有个， 所以， 事件包含的基本事件有：，所以， 所以.故选：C. 3．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知口袋内放有8个大小、质地均匀的小球，其中4个白球，4个红球，每次从中不放回地摸出2个小球，设事件表示第1次摸出的小球中恰有1个红球，事件表示第2次摸出的小球中有红球，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件概率定义即可求得. 【详解】因为是不放回，所以第1次摸完后还剩6个球， 又因为事件发生了，即第1次摸出了1个红球和1个白球，还剩3个红球和3个白球. ， 故选：A. 题型三 事件的相互独立 求相互独立事件同时发生的概率的方法 1．（25-26高三上·上海·期中）投掷一枚均匀的骰子，若事件表示“掷出的倍数”，事件表示“掷出偶数”，事件表示“掷出合数”，则与事件独立的事件是（    ）. A．是和 B．只有 C．只有 D．不存在 【答案】B 【分析】利用事件独立性的定义判断即可. 【详解】由题意可得，，，，， 由古典概型的概率公式可得，，， 所以，， 故事件与相互独立，事件与不独立. 故选：B. 2．在一次校园安全知识竞赛中，甲、乙、丙同时回答一道题，每人回答问题正确与否相互独立，甲答对的概率是，甲、乙两人都答对的概率是，乙、丙两人都答错的概率是，则甲、乙、丙三人中，至少有一人答对该题的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设乙、丙各自答对这道题的概率分别是x、y，根据已知及独立事件乘法公式、对立事件概率求法列方程求x、y，再应用对立事件概率求法求目标概率. 【详解】设乙、丙各自答对这道题的概率分别是x，y，则，解得，， 故所求概率为. 故选：D 3．（2025·江西新余·一模）2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以的比分赢得胜利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为，则“莎头”组合再次以获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析“莎头”组合以获胜，即前局“莎头”组合胜局、负局，第局“莎头”组合获胜，利用二项分布的概率公式计算可得. 【详解】“莎头”组合再次以获胜，即前局“莎头”组合胜局、负局，第局“莎头”组合获胜， 所以“莎头”组合再次以获胜的概率. 故选：B 题型四 全概率公式 (贝叶斯公式) 利用全概率公式求解概率的步骤 全概率公式及其应用 一般地,设,,是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式. 贝叶斯公式及其应用 设,,是一组两两互斥的事件,,且，， 则对任意的事件,，有， 1．（2025·广东深圳·模拟预测）近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有A充电站配备2个超级快充桩和3个普通充电桩，B充电站配备1个超级快充桩和3个普通充电桩，为优化资源配置，系统随机从A站调度1个充电桩至B站，随后技术人员从B站随机选取2个充电桩进行升级调试，记“选取的两个充电桩均为普通桩”为事件B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全概率公式求解. 【详解】设从A站调度的充电桩为超级快充桩为事件，从A站调度的充电桩为普通充电桩为事件， 则，. 则. 故选：D 2．（2025·湖南湘潭·一模）跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（    ） A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36 【答案】A 【分析】首先明确各年级教师人数的比例以及各年级中喜欢跑步的教师比例，然后利用全概率公式计算从三个年级中随机抽一名教师喜欢跑步的概率即可 【详解】设事件表示“随机抽一名教师喜欢跑步”，事件分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”， ∵三个年级的教师人数之比为3:3:4， ∴， ∵高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%， ∴, 根据全概率公式， 故选：A. 3.（多选 2025·云南昭通·模拟预测）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（    ） A．为对立事件 B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】根据对立事件定义可判断A；根据条件概率及全概率公式计算可判断BCD. 【详解】对于A，因为甲罐中只有红球和白球，即， 所以为对立事件，故A正确； 对于B，当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时，故B正确； 对于C，当发生时，乙罐中有2个红球，9个白球，此时， 所以，故C不正确； 对于D，，故D正确， 故选：ABD． 4．（2025·湖南邵阳·二模）有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，加工的次品率分别为、、，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙、丙台车床加工的零件数分别占总数的、、．任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记事件取到的零件为甲车床加工的，事件取到的零件为乙车床加工的，事件取到的零件为丙车床加工的，事件取到的零件是次品，利用贝叶斯公式可求得的值. 【详解】记事件取到的零件为甲车床加工的，事件取到的零件为乙车床加工的， 事件取到的零件为丙车床加工的，事件取到的零件是次品， 则，，， ，，， 由贝叶斯公式可得. 因此，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为. 故选：C. 5.（2024·江苏淮安·模拟预测）已知甲袋中有2只白球和3只红球，乙袋中有2只白球和2只红球，先从甲袋中取2只球放入乙袋，再从乙袋中取2只球放入甲袋，已知从乙袋取出的2只球都是红球，则从甲袋取出的2只球是1红1白的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，先分析求解从甲中取出个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，再分别分析三种情况求解即可 【详解】设从甲中取出2个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出2个球，其中红球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意： ①，； ②，； ③，； 根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个红球， 则从甲袋中取出的2只球是1红1白的概率为 . 故选：B. 6.(2024·福建南平模拟)某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用,对运动员进行数据分析.统计运动员甲以往多场比赛,其在接力赛中跑第1棒、第2棒、第3棒、第4棒的出场率与出场时比赛获胜率如下表所示. 位置 出场率 比赛胜率 第1棒 0.3 0.6 第2棒 0.2 0.8 第3棒 0.2 0.7 第4棒 0.3 0.7 (1)当甲出场比赛时,求该运动队获胜的概率; (2)当甲出场比赛时,在该运动队获胜的条件下,求甲跑第1棒的概率. 解析(1)记事件Ai=“甲跑第i(i=1,2,3,4)棒”,事件B=“运动队获胜”,则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)·P(B|A4)=0.3×0.6+0.2×0.8+0.2×0.7+0.3×0.7=0.69,所以当甲出场比赛时,该运动队获胜的概率为0.69. (2)P(A1|B)=,所以当甲出场比赛时,在该运动队获胜的条件下,甲跑第1棒的概率为. 题型五 概率的性质综合 1.设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（）=P（A）＋P（B） P（）. 2.定义：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 3.概率的乘法公式：对任意两个事件与，若，则． 4.全概率公式及其应用： 1.（2025·江苏苏州·三模）若，，，则事件与事件满足（    ） A．互为对立事件 B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】由题意，，从而，，由此可判断A，由可判断B，由条件概率可判断CD. 【详解】对于A，因为，，所以，， 所以，所以互相独立，而，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于CD，由互相独立，可知互相独立， 所以，故C正确，D错误. 故选：C. 2．（25-26高三上·湖北·月考）已知事件和事件满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据概率的加法公式求出，再利用条件概率公式计算求解． 【详解】， ，． 故选：D． 3.（2025·江苏南通·模拟预测）已知，是样本空间中的随机事件，，若，，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件概率和全概率计算公式，列出关于的方程求解. 【详解】因为， . 又， 所以. 故选：A 题型六 比赛中的概率问题 一、游戏、比赛等问题中随机变量的分布列 1、多人比赛或者传球模型，一般情况下涉及到独立事件与互斥事件的识别，及概率运算，离散型随机变量的分布列和期望，如果符合常见的二项分布，超几何分布等等分布，直接用概率公式进行运算。如果限制条件较多，可以进行罗列方式进行分类讨论计算 2、 比赛模式，要考虑以下可能情况： （1）比赛几局？（2）“谁赢了”；（3）有没有平局（4）赢了的必赢最后一局；（5）比赛为啥结束？ 3、常见比赛问题注意事项 ①在与体育比赛规则有关的问题中，一般都会涉及分组，处理该类问题时主要借助于排列组合．对于分组问题，要注意平均分组与非平均分组，另外，在算概率时注意“直接法”与“间接法”的灵活运用． ②与体育比赛有关的问题中最常见的就是输赢问题，经常涉及“多人淘汰制问题”“ 三局两胜制问题”“ 五局三胜制问题”“ 七局四胜制问题”，解决这些问题的关键是认识“三局两胜制”“ 五局三胜制”等所进行的场数，赢了几场与第几场赢，用互斥事件分类，分析事件的独立性，用分步乘法计数原理计算概率，在分类时要注意“不重不漏” ． ③在体育比赛问题中，比赛何时结束也是经常要考虑的问题，由于比赛赛制已经确定，而比赛的平均场次不确定，需要对比赛的平均场次进行确定，常用的方法就是求以场数为随机变量的数学期望，然后比较大小． ④有些比赛会采取积分制，考查得分的分布列与数学期望是常考题型，解题的关键是辨别它的概率模型，常见的概率分布模型有：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布，要注意分布是相互独立的，超几何分布不是，值得注意的是，在比赛中往往是伪二项分布，有的只是局部二项分布． 1．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）甲､乙两人玩掷骰子游戏，每局两人各投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子六个面分别标以数字）并观察向上的点数，当两枚骰子的点数之差为偶数时，视为平局，当两枚骰子的点数之差为奇数时，谁的点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方胜2次或平局4次时停止，则恰好进行了3局时，游戏停止的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由列举法以及古典概型，求得每人获胜的概率，利用概率乘法公式，可得答案. 【详解】由题意两人掷骰子的基本事件如下： 记表格中横向数据为甲，纵向数据为乙， 则甲获胜的情况有，，，，，，，，，共种情况，则概率为， 同理可得乙获胜的概率为，恰好局结束游戏，甲或乙需胜两场，且胜的第二场为游戏第局， 所以符合题意的概率为. 故选：C. 2．（25-26高三上·吉林长春·月考）甲、乙、丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观．每局比赛胜者与此局旁观者进行下一局比赛，按此规则循环下去，约定先赢两局者获胜，比赛结束．根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局．规定第一局由甲、乙对战． (1)求进行两局比赛后，比赛结束且甲获胜的概率； (2)求进行两局比赛后，比赛结束的概率； (3)求比赛结束后，甲获胜的概率． 【答案】(1)； (2) (3). 【分析】（1）由题设可得甲连胜两局，利用相互独立事件乘法原理来计算即可； （2）由题设可得甲连胜两局或乙连胜两局，再利用独立事件乘法原理来计算即可； （3）分情况讨论，再利用独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式来计算即可. 【详解】（1）记甲、乙、丙第局比赛获胜分别为事件， 记比赛两局结束且甲获胜为事件，则， 所以. 故进行两局比赛且甲获胜的概率为． （2）记第一局由甲、乙对战两局后比赛结束为事件，则 所以 ， 则两局后比赛结束的概率为. （3）设比赛结束后，甲获胜的概率为， 则， 则比赛结束后，甲获胜的概率为. 3.(2024·江苏淮安模拟)象棋作为中华民族的传统文化瑰宝,是一项集科学竞技、文化于一体的智力运动,可以帮助培养思维能力、判断能力和决策能力.某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛,参与比赛的40名同学分为10组,每组共4名同学进行单循环比赛.已知甲、乙、丙、丁4名同学所在小组的赛程如表. 第一轮 甲—乙 丙—丁 第二轮 甲—丙 乙—丁 第三轮 甲—丁 乙—丙 规定:每场比赛获胜的同学得3分,输的同学不得分,平局的2名同学均得1分,三轮比赛结束后以总分排名,每组总分排名前两位的同学可以获得奖励.若出现总分相同的情况,则以抽签的方式确定排名(抽签的胜者排在负者前面),且抽签时每人胜利的概率均为,假设甲、乙、丙3名同学水平相当,彼此间胜、负、平的概率均为,丁同学的水平较弱.面对任意一名同学时自己胜、负、平的概率都分别为.每场比赛结果相互独立. (1)求丁同学的总分为5分的概率; (2)已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平,且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局,求甲同学能获得奖励的概率. 解(1)丁同学总分为5分,则丁同学三轮比赛结果为一胜两平,设Ak=“第k(k=1,2,3)轮比赛丁同学胜”,Bk=“第k(k=1,2,3)轮比赛丁同学平”,M=“丁同学三轮比赛结果为一胜两平”,则P(M)=P(A1B2B3)+P(B1A2B3)+P(B1B2A3)=3×2×, 即丁同学的总分为5分的概率为. (2)由于丁同学获得两胜一平,且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局,则在第二、三轮比赛中,丁同学对战乙、甲同学均获胜,故丁同学的总分为7分,且同丁同学比赛后,甲、乙、丙三人分别获得0分、0分、1分,若甲同学获得奖励,则甲最终排名为第二名. ①若第一、二轮比赛中甲同学均获胜,则第三轮比赛中无论乙、丙两位同学比赛结果如何,甲同学的总分为6分,排第二名,可以获得奖励,此时的概率为. ②若第一轮比赛中甲同学获胜,第二轮比赛中甲、丙2名同学平局,第三轮比赛中乙、丙2名同学平局或乙同学获胜,甲同学的总分为4分,排第二名,可以获得奖励,此时的概率为×=. ③若第一轮比赛中甲、乙2名同学平局,第二轮比赛中甲同学获胜,第三轮比赛中当乙、丙2名同学平局时,甲同学的总分为4分,排第二名,可以获得奖励,此时的概率为; 第三轮比赛中当乙、丙同学没有产生平局时,甲同学与第三轮比赛乙、丙中的胜者的总分均为4分,需要进行抽签来确定排名,当甲同学抽签获胜时甲同学排第二名,可以获得奖励,此时的概率为×1-×. 综上,甲同学能获得奖励的概率为. 4.（2024·山东·模拟预测）已知，，，四名选手参加某项比赛，其中，为种子选手，，为非种子选手，种子选手对非种子选手种子选手获胜的概率为，种子选手之间的获胜的概率为，非种子选手之间获胜的概率为．比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军. (1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？ (2)选手与选手相遇的概率为多少？ (3)以下两种方案，哪一种种子选手夺冠的概率更大？ 方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛； 方案二：第一轮比赛种子选手与种子选手比赛． 【答案】(1)； (2) (3)方案一种子选手夺冠的概率更大 【分析】（1）由题意分析知第一轮选手的对战情况分别为，，，即可得出答案； （2）设事件“选手与选手相遇”，分为对战情况分别为，，，求出其概率，相加即可得出答案. （3）设采用方案一，二种子选手夺冠的概率分别为，，由独立事件的乘法公式求出、，比较，的大小即可得出答案. 【详解】（1）第一轮选手的对战情况分别为，，，故总方案数3； （2）设事件“选手与选手相遇”， 当对战为时，，两选手相遇的概率为1； 当对战为时，，两选手相遇的概率为； 当对战为时，，两选手相遇的概率为； 抽到三种对战的概率均为，则. 综上可知选手与选手相遇的概率为. （3）设采用方案一，二种子选手夺冠的概率分别为，，则 采用方案一，假设分组为， 第一轮两种子选手获胜，则第二轮种子选手一定夺冠：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，则种子选手不能获胜， 所以； 采用方案二：假设分组为， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 则，所以， 因此方案一种子选手夺冠的概率更大. 课后作业： 1．（2025·河南鹤壁·二模）某同学忘记单词“”的字母顺序，但是记得前两个字母为“”，后两个字母为“”，则该同学能写对的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用排列及古典概率公式，即可求解. 【详解】因为单词中间三个字母的排列有种排法， 所以该同学能写对的概率为. 故选：C. 2．（25-26高三上·江西·月考）某百货商场为促销举办抽奖活动，设有两种奖券：甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4，每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5，每次抽奖结果相互独立.某顾客计划先抽取2张甲奖券，再抽取1张乙奖券.若该顾客恰好中奖2次，且其中有1张甲奖券中奖，则另外中奖的1张也是甲奖券的概率为（   ） A．0.12 B．0.2 C．0.25 D．0.32 【答案】C 【分析】利用条件概率计算公式以及独立事件的乘法公式可求解. 【详解】设事件：恰好中奖2次且其中有1张甲奖券中奖，即甲奖券中奖1次且乙奖券中奖1次或甲奖券中奖2次且乙奖券不中奖， 事件：恰好中奖2次且均为甲奖券，即甲奖券中奖2次，乙奖券不中奖， 则，， 又由, 所以所求概率为． 故选： C． 3．（2025·湖南湘潭·一模）跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（    ） A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36 【答案】A 【分析】首先明确各年级教师人数的比例以及各年级中喜欢跑步的教师比例，然后利用全概率公式计算从三个年级中随机抽一名教师喜欢跑步的概率即可 【详解】设事件表示“随机抽一名教师喜欢跑步”，事件分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”， ∵三个年级的教师人数之比为3:3:4， ∴， ∵高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%， ∴, 根据全概率公式， 故选：A. 4．（2025·河北石家庄·三模）已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，，，则下面结论正确的是（    ） A．事件A与B一定是对立事件 B． C． D．若事件A、B相互独立，则 【答案】D 【分析】举例判断AB，由于不确定事件A、B的关系，故不能求解，即可判断C，结合对立事件概率公式和相互独立事件乘法公式求解判断D. 【详解】对于AB，一个密封的盒子中有标号为1,2，3,4,5的5个小球从中任取1球， 记事件A：从中取出球的标号为1,2，事件：从中取出球的标号为1,2,3， 则，满足，但不是对立事件，故A错误； 由上例可知，故B错误； 对于C，仅在事件A、B相互独立时才成立，而不知道事件A、B的关系，故不确定的值，错误. 对于D，若事件A、B相互独立，则事件A、也相互独立， 所以，正确. 故选：D 5．（24-25高三下·河北邯郸·开学考试）某城市对市民上班的出行方式进行了调查，结果显示有的市民乘坐公共交通工具，有的市民开私家车，有的市民选择步行．在乘坐公共交通工具出行的市民中有的人迟到，在开私家车出行的市民中有的人迟到，在步行出行的市民中有的人迟到．以频率估计概率，从该市随机选择一名市民，若他迟到了，则这名市民是乘坐公共交通工具出行的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式即可求出结果. 【详解】由题知市民乘坐公共交通工具出行迟到的概率为×=， 市民开私家车出行迟到的概率为×=， 市民骑行或步行出行迟到的概率为×=， 则这名市民迟到的概率为×+×+×=， 故所求的概率为. 故选：C. 6．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）甲、乙两人玩“六六大顺”游戏，其规则为：盒子中装有编号为1，2，……，6的6张卡片，卡片除编号外完全相同，两人轮流有放回的从盒子中任意抽取1张卡片，先抽得6号卡片者胜，且游戏结束；若一人抽得的不是6号卡片，则换另一个人来抽；若一轮中两人均没有抽得6号卡片，则游戏重新开始，一直这样轮回下去，直至游戏结束.若游戏开始时，甲先抽，设甲、乙人获胜的概率分别和，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得抽中6号的概率为，未抽中的概率为，再列出递推式求解即可. 【详解】由题知抽中6号的概率为，未抽中的概率为， 则，解得， ，解得， 所以. 故选：C. 7．（2025·广东汕头·一模）设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（   ） A．与B相互独立 B． C． D． 【答案】C 【分析】AC选项，求出各个事件的概率，得到，，A错误，C正确；BD选项，由条件概率公式进行求解. 【详解】AC选项，由题意得，， ，， ，， 故，C正确； 由于，故， 故与B不互相独立，A错误； B选项，由条件概率得，B错误； D选项，，D错误； 故选：C 8．（2025·辽宁·三模）某高中开发了三个不同的“美育”课程和两个不同的“劳动教育”课程，甲同学从五门课程中任选了两门，已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件概率公式来求解，先分别求出（至少有一门是“美育”课程的概率）和（两门都是“美育”课程的概率），再代入公式计算. 【详解】设事件A：至少有一门是“美育”课程，事件AB：两门都是“美育”课程， 从五门课程中任选两门的选法数为种. “至少有一门是‘美育’课程”的对立事件是“两门都是‘劳动教育’课程”. 两门都是“劳动教育”课程的选法数为种. 所以至少有一门是“美育”课程的选法数为种.则. 从三个不同的“美育”课程中选两门的选法数为种，所以. 由条件概率公式，将，代入可得： . 故选：B. 9．（2025·海南·模拟预测）小明参加一场弓箭比赛，需要连续射击三个靶子，每次射箭结果互不影响，已知他射中这三个靶子的概率分别为x，x，，若他恰好射中两个靶子的概率是，那么他三个靶子都没射中的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用事件相互独立性，互斥，根据恰好射中两个靶子的概率是建立等式，求出x，再利用事件相互独立性乘法公式进行求解． 【详解】记小明射中三个靶子分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，且，， 恰好能射中两个靶子为事件，且两两互斥， 所以 ， 整理得，三个靶子都没射中为事件， 故， 故选：C． 10．（2024·江苏淮安·模拟预测）已知甲袋中有2只白球和3只红球，乙袋中有2只白球和2只红球，先从甲袋中取2只球放入乙袋，再从乙袋中取2只球放入甲袋，已知从乙袋取出的2只球都是红球，则从甲袋取出的2只球是1红1白的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，先分析求解从甲中取出个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，再分别分析三种情况求解即可 【详解】设从甲中取出2个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出2个球，其中红球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意： ①，； ②，； ③，； 根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个红球， 则从甲袋中取出的2只球是1红1白的概率为 . 故选：B. 11．（2025·山东济宁·一模）甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设相应事件，根据独立事件概率求法求，，进而求条件概率. 【详解】设甲获胜为事件A，比赛进行了3局为事件B， 则，， 所以. 故选：C. 12．（2025·四川绵阳·模拟预测）将3个2和2个1随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：先求出事件总数，再利用插空法找到符合题意的事件个数，根据古典概型的概率公式即可求出概率. 方法二：列出所有可能的结果，找到2个1不相邻的基本事件个数，根据古典概型的概率公式即可求出概率. 【详解】方法一： 由题意，事件总数有种， 将2个1放入3个2排好后形成的4个空隙中，有种， ， 故选：A. 方法二： 由题意，将3个1和2个2随机排成一行，可以是： ， 共10种排法， 其中2个2不相邻的排列方法为： ， 共6种方法， 故2个2不相邻的概率为， 故选：A. 13．（2025·云南·模拟预测）某高中举行科技节活动，有甲、乙、丙、丁4名同学去参加九连环、数独和汉诺塔三个活动，其中每个活动都有人参加，且每个同学只能参加一项活动，则在甲参加九连环活动的条件下，甲和乙都参加九连环活动的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件概率公式来求解，先分别求出（甲参加九连环活动的概率）和（甲和乙都参加九连环活动的概率），再代入公式计算. 【详解】从人中选个人为一组，方法数有种， 再把这一组与另外个人全排列，安排到个活动中，方法数有种. 根据分步乘法计数原理，总情况数为种. 若甲单独参加九连环活动，那么从剩下人中选个人为一组，方法数有种， 再把这一组与另外个人全排列，安排到数独和汉诺塔两个活动中，方法数有种， 此时情况数为种. 若甲和另外一人一起参加九连环活动，从剩下人中选人与甲一组，方法数有种， 剩下人全排列安排到数独和汉诺塔两个活动中，方法数有种， 此时情况数为种. 所以甲参加九连环活动的情况数共有种， 则甲参加九连环活动的概率. 若甲和乙都参加九连环活动，则剩下人全排列安排到数独和汉诺塔两个活动中，方法数有种， 则甲和乙都参加九连环活动的概率. 根据条件概率公式. 故选：B. 14．（2025·河北邢台·三模）现有甲、乙、丙、丁4位乒乓球业余爱好者组队参与某次比赛，比赛顺序是第一场双打，第二场与第三场单打，每人只参加其中一个项目，在每场比赛中赢对方的概率分别是，，，且每场比赛相互独立，则在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由互斥加法、独立乘法公式即可求解. 【详解】设双打与第二、第三场单打赢对方分别为事件，，， 三场比赛中恰有两场赢对方为事件，则，，， ， ， 所以. 故选：D. 15．（2025·江西·一模）甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分甲乙出牌的张数和甲乙胜负情况结合古典概率和二项分布讨论. 【详解】甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局， 所以平局的概率， 若甲胜，则结果有、、、、、、、、，共9种， 所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为， 各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为； 若平局2次，则最后1次不能是平局， 另外2次甲全胜或乙全胜，概率为， 若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为， 所以. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是分类的标准. 16．某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答．若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，则丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出事件，依题分别求出和，和，利用全概率公式计算即可. 【详解】设事件为“丙从箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”， 事件为“乙从箱中取出2道代数题”，则， 事件为“乙从箱中取出1道代数题和1道几何题”，则， 事件为“乙从箱中取出2道几何题”，则， 当发生时，箱中有5道代数题和3道几何题，则； 当发生时，箱中有4道代数题和4道几何题，则； 当发生时，箱中有3道代数题和5道几何题，则. 由全概率公式可得 . 故选：D. 17．（2025·黑龙江大庆·三模）某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了个盲盒，其中有个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为，则（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用全概率公式求出，利用古典概率求出，再比较大小即可. 【详解】设事件为“抽奖者甲中奖”，事件为“甲最初选中的盲盒有奖”，则， 在组织方拿走无奖的盲盒后，若先选中的有奖，则剩余个盲盒中有个奖品， 甲更换盲盒后， 若甲先选中的盲盒无奖，则剩余个盲盒中有个奖品，则更换盲盒后， 因此， 由乙碰掉的盲盒无奖，则所有个盲盒中有个奖品，且每个盲盒被抽到的可能性相同，则， 于是，所以. 故选：A. 18.(2024·广东广州模拟)如图所示,一个质点在随机外力的作用下,从原点O出发,每隔1 s等可能地向左或向右移动一个单位,共移动5步.该质点在有且仅有一次经过-1位置的条件下,共经过两次1位置的概率为　　　　　.  答案： 解析设事件A=“有且仅有一次经过-1位置”,事件Ai=“第i(i=1,3,5)步移动到-1位置”,事件B=“共经过两次1位置”,记L为向左,R为向右, ①满足事件A1的是LRRLR,LRRR(第5步无关),LLLRL,LLLL(第5步无关),所以P(A1)=6×5=; ②满足事件A2的是RLLRR,RLLLL,所以P(A2)=2×5=; ③满足事件A3的是RRLLL,RLRLL,所以P(A3)=2×5=. 所以P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=. 满足事件AB的是LRRLR,LRRRL,RLLRR,RLRLL,RRLLL,所以P(AB)=5×5=. 所以P(B|A)=. 19．（23-24高三下·浙江金华·开学考试）（多选题）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球、一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球、一个3号球；3号盒子内装有三个1号球、两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 B．第二次抽到3号球的概率为 C．如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大 D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有150种 【答案】ABD 【分析】对于A，利用条件概率公式求解；对于B，利用全概率公式求解；对于C，利用贝叶斯公式求解；对于D，不同元素的分配问题，先分份再分配即可求解. 【详解】记第一次抽到第号球的事件分别为则有，， 对于A，在第一次抽到2号球的条件下，将2号球放入2号盒子内， 因此第二次抽到1号球的概率为，故A正确； 对于B，记第二次在第号盒子内抽到3号球的事件分别为， 而两两互斥，和为， 记第二次抽到3号球的事件为， 所以，故B正确； 对于C：记第二次在第号盒内抽到1号球的事件分别为， 而两两互斥，和为， 所以， 记第二次抽到1号球的事件为， ， 第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号数相同， 所以， ， ， 即第二次抽到的是1号球，则它来自1号盒子的概率最大，故C错误； 对于D，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种， 将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同方法， 由分步乘法计数原理得不同的放法种数是种，故D正确； 故选：ABD. 20.(多选题)(2023·新高考Ⅱ,12)在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为α(0<α<1),收到0的概率为1-α;发送1时,收到0的概率为β(0<β<1),收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次,三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到1,0,1,则译码为1).则下列说法正确的是(　　) A.采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-α)(1-β)2 B.采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为β(1-β)2 C.采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为β(1-β)2+(1-β)3 D.当0<α<0.5时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 答案：ABD 解析发送1时,收到1的概率为1-β;发送0时,收到0的概率为1-α,再结合独立性可知,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-β)(1-α)(1-β)=(1-α)(1-β)2,故A正确. 采用三次传输方案,若发送1,实际发送了1,1,1,因此依次收到1,0,1的概率为(1-β)β(1-β)=β(1-β)2,故B正确. 采用三次传输方案,若发送1,译码为1的充要条件是至少接收到两个1,因此译码为1的概率为β(1-β)2+(1-β)3=3β(1-β)2+(1-β)3,故C不正确. 当0<α<0.5时,若发送0,采用三次传输方案译码为0的概率为3α(1-α)2+(1-α)3=(1-α)[1+α(1-2α)],采用单次传输方案译码为0的概率为1-α.当0<α<0.5时,由1+α(1-2α)>1得3α(1-α)2+(1-α)3>1-α,故D正确. 故选ABD. 21.(2020·全国Ⅰ,理19)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下: 累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求甲连胜四场的概率; (2)求需要进行第五场比赛的概率; (3)求丙最终获胜的概率. 解(1)甲连胜四场的概率为. (2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束,共有三种情况: 甲连胜四场的概率为;乙连胜四场的概率为;丙上场后连胜三场的概率为. 所以需要进行第五场比赛的概率为1-. (3)丙最终获胜,有两种情况: 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为; 比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为. 因此丙最终获胜的概率为. 22.人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学,被认为是21世纪最重要的尖端科技之一,其理论和技术正在日益成熟,应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理:首先确定先验概率,然后通过计算得到后验概率,使先验概率得到修正和校对,再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理,我们可以设计如下试验模型:有完全相同的甲、乙两个袋子,袋子有形状和大小完全相同的小球,其中甲袋中有9个红球和1个白球,乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子,再从该袋子中等可能摸出一个球,称为一次试验.若多次试验直到摸出红球,则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为(先验概率). (1)求首次试验结束的概率; (2)在首次试验摸出白球的条件下,我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整. ①求选到的袋子为甲袋的概率; ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子,继续进行第二次试验时有如下两种方案:方案一,从原来袋子中摸球;方案二,从另外一个袋子中摸球.请通过计算,说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 解析(1)设试验一次,事件A1=“取到甲袋”,事件A2=“取到乙袋”,事件B1=“试验结果为红球”,事件B2=“试验结果为白球”, (1)P(B1)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)·P(B1|A2)=. 所以试验一次结果为红球的概率为. (2)①因为B1,B2是对立事件,P(B2)=1-P(B1)=,所以P(A1|B2)=,所以选到的袋子为甲袋的概率为. ②由①得P(A2|B2)=1-P(A1|B2)=1-,所以方案一中取到红球的概率为P1=P(A1|B2)P(B1|A1)+P(A2|B2)P(B1|A2)=, 方案二中取到红球的概率为P2=P(A2|B2)·P(B1|A1)+P(A1|B2)P(B1|A2)=,因为,所以方案二中取到红球的概率更大. 23.甲、乙、丙三名同学进行乒乓球比赛，经约定，进行如下4场比赛决定胜负关系： ① 乙、丙两名同学进行本场比赛，败者落入败者组； ② 甲与第①场比赛胜者比赛，败者落入败者组； ③ 败者组两人进行比赛，败者记为第三名； ④ 第②、③场比赛胜者进行比赛，胜者记为第一名，败者记为第二名. 设每场比赛双方获胜的概率均为. (1)求乙在败者组比赛中被淘汰的概率； (2)求甲最终获胜的概率； (3)从最终三人获得名次的数学期望的角度分析，该比赛规则是否对甲有利？ 【答案】(1) (2) (3)对甲有利 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式及对立事件概率公式计算求解. （2）应用独立事件概率乘积公式及互斥事件和概率公式计算求解. （3）根据甲的最终获得名次的数学期望与乙或丙获得名次的数学期望比较判断即可. 【详解】（1）在全局比赛中，由于每场比赛双方获胜的概率均为， 由于比赛规则对于乙和丙是对称的，因此他们获得任一特定名次的概率是相等的， 记事件：甲在败者组比赛中被淘汰，事件：乙或丙在败者组比赛中被淘汰， 事件发生的概率，甲需要在②，③两场比赛中连续失败，则， 由事件与事件互为对立事件，且乙与丙获得任一特定名次的概率是相等的， 所以乙在败者组比赛中被淘汰的概率为. （2）甲最终获胜有如下两种情况：第②，④场比赛甲全胜，此时概率为； 第②场比赛甲失败，第③，④场比赛甲胜利，此时概率为， 所以甲最终获胜的概率为. （3）设甲获得的最终名次为， 由（2），（1）得，，则， 因此； 设乙或丙获得的最终名次为，而乙与丙获得任一特定名次的概率是相等的， 因此， 又，则甲的最终获得名次的数学期望比乙或丙更靠前，所以该比赛规则确实对甲有利. 24.某知识闯关比赛分为预赛与决赛，预赛胜利后才能参加决赛，预赛规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作预赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参加预赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功相互独立． (1)若计划依次派甲、乙、丙进行预赛闯关，，，，求该小组预赛胜利的概率； (2)已知，若乙只能安排在第二个派出，要使预赛派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出； (3)预赛胜利小组的三名队员都可以进入决赛，决赛规定：单人参赛，每个人回答三道题，全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖，已知某队员进入了决赛，他在决赛中第一道题答对的概率为，后两道题答对的概率均为．若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值． 【答案】(1) (2)先派出甲 (3) 【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式和互斥事件加法公式来求解，或用对立事件来求解； （2）利用两类情况，通过概率分布列求解期望，再利用作差法来判断即可； （3）利用获一等奖的概率得到参数的相等关系，再利用获二等奖的概率结合消元变为函数问题，通过求导判断单调性来求最小值即可. 【详解】（1）解法一：设“该小组预赛胜利”，则， 所以该小组预赛胜利的概率为． 解法二：利用对立事件，； （2）由题意知，可分两类情况分别进行讨论，再比较他们期望的大小即可． 第一种情况，依次派出甲、乙、丙进行闯关，设派出的人员数目为，则的可能取值为1，2，3． 由题意可知，，，， 此时． 第二种情况，依次派出丙、乙、甲进行闯关，设派出的人员数目为，则的可能取值为1，2，3． 由题意可知，，，， 此时． 因为 而，即有，，所以． 故要使预赛派出人员数目的期望较小，应先派出甲． （3）由题意可得，于是． 则， 令，． 则，令得． 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 综上可知，当时，． 即的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题： 概率专题 考情分析：条件概率、全概率公式在近年来成为新的出题点，思维难度较大。考查方式通常为事件独立性的判断或条件概率、全概率公式计算，可能在小题中单独命题，也可能与随机变量的分布列、数字特征相结合在解答题中出现。还关注创新题型：概率可能在填空压轴题中出现（如2024年新高考Ⅰ卷第14题），可适当增加概率选择题、填空题的练习量，适应概率小题的灵活性和多样化趋势。 必备知识： 1.频率与概率 (1)定义 一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用　频率fn(A)　来估计概P(A)　. fn(A)=. (2)概率的基本性质 性质1:对任意的事件A,都有P(A)　≥0　;  性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=　1　,P(⌀)=　0　;  性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=　P(A)+P(B)　;  性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=　1-P(A)　,P(A)=　1-P(B)　;  性质5:如果A⊆B,那么　P(A)≤P(B)　,由该性质可得,对于任意事件A,因为⌀⊆A⊆Ω,所以0≤P(A)≤1;  性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,有P(A∪B)=　P(A)+P(B)-P(A∩B)　.  2.古典概型 (1)具有以下两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型. ①有限性:样本空间的样本点只有　有限个　; ②等可能性:每个样本点发生的可能性　相等　.  判断一个试验是否是古典概型的关键点 （2） 古典概型的概率公式：一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)= 　.其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3.事件的相互独立性 P(AB)=P(A)P(B)是事件A与B相互独立的充要条件 事件A与事件B相互独立 对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立 性质 若事件A与事件B相互独立,则A与与B,也都相互独立 4.条件概率当P(A)=0时,我们不定义条件概率 条件概率 的定义 设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,称P(B|A)= 　为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率  条件概率 的性质 设P(A)>0,则(1)P(Ω|A)=1; (2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=　P(B|A)+P(C|A)　;  (3)设和B互为对立事件,则P(|A)=1-P(B|A) 5.全概率公式 一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意事件B⊆Ω,有　P(B)=P(Ai)P(B|Ai)　.我们称这个公式为全概率公式.指的是对目标事件B有贡献的全部原因  题型一 古典概型 古典概型的概率求解步骤 （1）求出所有样本点的个数；（2）求出事件包含的所有样本点的个数；（3）代入公式求解. 1．（25-26高三上·福建福州·开学考试）将含有甲、乙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河北沧州·期中）从这10个正整数中任选3个正整数，所选三个正整数中至少有一个数是素数的概率（    ） A． B． C． D． 题型二 条件概率 条件概率的求解方法 1．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）盒中装有个红球和个蓝球，小球除颜色外均相同．甲、乙两人先后从盒中随机取出个球，记录颜色后放回．已知两人取出的球颜色相同，则两人取出的球同为蓝色的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·四川南充·月考）同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知口袋内放有8个大小、质地均匀的小球，其中4个白球，4个红球，每次从中不放回地摸出2个小球，设事件表示第1次摸出的小球中恰有1个红球，事件表示第2次摸出的小球中有红球，则（    ） A． B． C． D． 题型三 事件的相互独立 求相互独立事件同时发生的概率的方法 1．（25-26高三上·上海·期中）投掷一枚均匀的骰子，若事件表示“掷出的倍数”，事件表示“掷出偶数”，事件表示“掷出合数”，则与事件独立的事件是（    ）. A．是和 B．只有 C．只有 D．不存在 2．在一次校园安全知识竞赛中，甲、乙、丙同时回答一道题，每人回答问题正确与否相互独立，甲答对的概率是，甲、乙两人都答对的概率是，乙、丙两人都答错的概率是，则甲、乙、丙三人中，至少有一人答对该题的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江西新余·一模）2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以的比分赢得胜利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为，则“莎头”组合再次以获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 题型四 全概率公式 (贝叶斯公式) 利用全概率公式求解概率的步骤 全概率公式及其应用 一般地,设,,是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式. 贝叶斯公式及其应用 设,,是一组两两互斥的事件,,且，， 则对任意的事件,，有， 1．（2025·广东深圳·模拟预测）近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有A充电站配备2个超级快充桩和3个普通充电桩，B充电站配备1个超级快充桩和3个普通充电桩，为优化资源配置，系统随机从A站调度1个充电桩至B站，随后技术人员从B站随机选取2个充电桩进行升级调试，记“选取的两个充电桩均为普通桩”为事件B，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南湘潭·一模）跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（    ） A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36 3.（多选 2025·云南昭通·模拟预测）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（    ） A．为对立事件 B． C． D． 4．（2025·湖南邵阳·二模）有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，加工的次品率分别为、、，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙、丙台车床加工的零件数分别占总数的、、．任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为（    ） A． B． C． D． 5.（2024·江苏淮安·模拟预测）已知甲袋中有2只白球和3只红球，乙袋中有2只白球和2只红球，先从甲袋中取2只球放入乙袋，再从乙袋中取2只球放入甲袋，已知从乙袋取出的2只球都是红球，则从甲袋取出的2只球是1红1白的概率为（    ） A． B． C． D． 6.(2024·福建南平模拟)某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用,对运动员进行数据分析.统计运动员甲以往多场比赛,其在接力赛中跑第1棒、第2棒、第3棒、第4棒的出场率与出场时比赛获胜率如下表所示. 位置 出场率 比赛胜率 第1棒 0.3 0.6 第2棒 0.2 0.8 第3棒 0.2 0.7 第4棒 0.3 0.7 (1)当甲出场比赛时,求该运动队获胜的概率; (2)当甲出场比赛时,在该运动队获胜的条件下,求甲跑第1棒的概率. 题型五 概率的性质综合 1.设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（）=P（A）＋P（B） P（）. 2.定义：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 3.概率的乘法公式：对任意两个事件与，若，则． 4.全概率公式及其应用： 1.（2025·江苏苏州·三模）若，，，则事件与事件满足（    ） A．互为对立事件 B． C． D．以上都不对 2．（25-26高三上·湖北·月考）已知事件和事件满足：，则（    ） A． B． C． D． 3.（2025·江苏南通·模拟预测）已知，是样本空间中的随机事件，，若，，，则=（    ） A． B． C． D． 题型六 比赛中的概率问题 1、 比赛模式，要考虑以下可能情况： （1）比赛几局？（2）“谁赢了”；（3）有没有平局（4）赢了的必赢最后一局；（5）比赛为啥结束？ 2、常见比赛问题注意事项 ①在与体育比赛规则有关的问题中，一般都会涉及分组，处理该类问题时主要借助于排列组合．对于分组问题，要注意平均分组与非平均分组，另外，在算概率时注意“直接法”与“间接法”的灵活运用． ②与体育比赛有关的问题中最常见的就是输赢问题，经常涉及“多人淘汰制问题”“ 三局两胜制问题”“ 五局三胜制问题”“ 七局四胜制问题”，解决这些问题的关键是认识“三局两胜制”“ 五局三胜制”等所进行的场数，赢了几场与第几场赢，用互斥事件分类，分析事件的独立性，用分步乘法计数原理计算概率，在分类时要注意“不重不漏” ． ③在体育比赛问题中，比赛何时结束也是经常要考虑的问题，由于比赛赛制已经确定，而比赛的平均场次不确定，需要对比赛的平均场次进行确定，常用的方法就是求以场数为随机变量的数学期望，然后比较大小． 1．（25-26高三上·吉林长春·月考）甲、乙、丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观．每局比赛胜者与此局旁观者进行下一局比赛，按此规则循环下去，约定先赢两局者获胜，比赛结束．根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局．规定第一局由甲、乙对战． (1)求进行两局比赛后，比赛结束且甲获胜的概率； (2)求进行两局比赛后，比赛结束的概率； (3)求比赛结束后，甲获胜的概率． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）甲､乙两人玩掷骰子游戏，每局两人各投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子六个面分别标以数字）并观察向上的点数，当两枚骰子的点数之差为偶数时，视为平局，当两枚骰子的点数之差为奇数时，谁的点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方胜2次或平局4次时停止，则恰好进行了3局时，游戏停止的概率为（    ） A． B． C． D． 3.(2024·江苏淮安模拟)象棋作为中华民族的传统文化瑰宝,是一项集科学竞技、文化于一体的智力运动,可以帮助培养思维能力、判断能力和决策能力.某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛,参与比赛的40名同学分为10组,每组共4名同学进行单循环比赛.已知甲、乙、丙、丁4名同学所在小组的赛程如表. 第一轮 甲—乙 丙—丁 第二轮 甲—丙 乙—丁 第三轮 甲—丁 乙—丙 规定:每场比赛获胜的同学得3分,输的同学不得分,平局的2名同学均得1分,三轮比赛结束后以总分排名,每组总分排名前两位的同学可以获得奖励.若出现总分相同的情况,则以抽签的方式确定排名(抽签的胜者排在负者前面),且抽签时每人胜利的概率均为,假设甲、乙、丙3名同学水平相当,彼此间胜、负、平的概率均为,丁同学的水平较弱.面对任意一名同学时自己胜、负、平的概率都分别为.每场比赛结果相互独立. (1)求丁同学的总分为5分的概率; (2)已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平,且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局,求甲同学能获得奖励的概率. 4.（2024·山东·模拟预测）已知，，，四名选手参加某项比赛，其中，为种子选手，，为非种子选手，种子选手对非种子选手种子选手获胜的概率为，种子选手之间的获胜的概率为，非种子选手之间获胜的概率为．比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军. (1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？ (2)选手与选手相遇的概率为多少？ (3)以下两种方案，哪一种种子选手夺冠的概率更大？ 方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛； 方案二：第一轮比赛种子选手与种子选手比赛． 课后作业： 1．（2025·河南鹤壁·二模）某同学忘记单词“”的字母顺序，但是记得前两个字母为“”，后两个字母为“”，则该同学能写对的概率为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·江西·月考）某百货商场为促销举办抽奖活动，设有两种奖券：甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4，每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5，每次抽奖结果相互独立.某顾客计划先抽取2张甲奖券，再抽取1张乙奖券.若该顾客恰好中奖2次，且其中有1张甲奖券中奖，则另外中奖的1张也是甲奖券的概率为（   ） A．0.12 B．0.2 C．0.25 D．0.32 3．（2025·湖南湘潭·一模）跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（    ） A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36 4．（2025·河北石家庄·三模）已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，，，则下面结论正确的是（    ） A．事件A与B一定是对立事件 B． C． D．若事件A、B相互独立，则 5．（24-25高三下·河北邯郸·开学考试）某城市对市民上班的出行方式进行了调查，结果显示有的市民乘坐公共交通工具，有的市民开私家车，有的市民选择步行．在乘坐公共交通工具出行的市民中有的人迟到，在开私家车出行的市民中有的人迟到，在步行出行的市民中有的人迟到．以频率估计概率，从该市随机选择一名市民，若他迟到了，则这名市民是乘坐公共交通工具出行的概率为（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）甲、乙两人玩“六六大顺”游戏，其规则为：盒子中装有编号为1，2，……，6的6张卡片，卡片除编号外完全相同，两人轮流有放回的从盒子中任意抽取1张卡片，先抽得6号卡片者胜，且游戏结束；若一人抽得的不是6号卡片，则换另一个人来抽；若一轮中两人均没有抽得6号卡片，则游戏重新开始，一直这样轮回下去，直至游戏结束.若游戏开始时，甲先抽，设甲、乙人获胜的概率分别和，则（    ） A． B．1 C． D． 7．（2025·广东汕头·一模）设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（   ） A．与B相互独立 B． C． D． 8．（2025·辽宁·三模）某高中开发了三个不同的“美育”课程和两个不同的“劳动教育”课程，甲同学从五门课程中任选了两门，已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·海南·模拟预测）小明参加一场弓箭比赛，需要连续射击三个靶子，每次射箭结果互不影响，已知他射中这三个靶子的概率分别为x，x，，若他恰好射中两个靶子的概率是，那么他三个靶子都没射中的概率是（   ） A． B． C． D． 10．（2024·江苏淮安·模拟预测）已知甲袋中有2只白球和3只红球，乙袋中有2只白球和2只红球，先从甲袋中取2只球放入乙袋，再从乙袋中取2只球放入甲袋，已知从乙袋取出的2只球都是红球，则从甲袋取出的2只球是1红1白的概率为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·山东济宁·一模）甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·四川绵阳·模拟预测）将3个2和2个1随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·云南·模拟预测）某高中举行科技节活动，有甲、乙、丙、丁4名同学去参加九连环、数独和汉诺塔三个活动，其中每个活动都有人参加，且每个同学只能参加一项活动，则在甲参加九连环活动的条件下，甲和乙都参加九连环活动的概率是（    ） A． B． C． D． 14．（2025·河北邢台·三模）现有甲、乙、丙、丁4位乒乓球业余爱好者组队参与某次比赛，比赛顺序是第一场双打，第二场与第三场单打，每人只参加其中一个项目，在每场比赛中赢对方的概率分别是，，，且每场比赛相互独立，则在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·江西·一模）甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（   ） A． B． C． D． 16．某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答．若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，则丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为（ ） A． B． C． D． 17．（2025·黑龙江大庆·三模）某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了个盲盒，其中有个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为，则（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 18.(2024·广东广州模拟)如图所示,一个质点在随机外力的作用下,从原点O出发,每隔1 s等可能地向左或向右移动一个单位,共移动5步.该质点在有且仅有一次经过-1位置的条件下,共经过两次1位置的概率为　　　　　.  19．（23-24高三下·浙江金华·开学考试）（多选题）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球、一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球、一个3号球；3号盒子内装有三个1号球、两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 B．第二次抽到3号球的概率为 C．如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大 D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有150种 20.(多选题)(2023·新高考Ⅱ,12)在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为α(0<α<1),收到0的概率为1-α;发送1时,收到0的概率为β(0<β<1),收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次,三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到1,0,1,则译码为1).则下列说法正确的是(　　) A.采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-α)(1-β)2 B.采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为β(1-β)2 C.采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为β(1-β)2+(1-β)3 D.当0<α<0.5时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 21.(2020·全国Ⅰ,理19)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下: 累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求甲连胜四场的概率; (2)求需要进行第五场比赛的概率; (3)求丙最终获胜的概率. 22.人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学,被认为是21世纪最重要的尖端科技之一,其理论和技术正在日益成熟,应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理:首先确定先验概率,然后通过计算得到后验概率,使先验概率得到修正和校对,再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理,我们可以设计如下试验模型:有完全相同的甲、乙两个袋子,袋子有形状和大小完全相同的小球,其中甲袋中有9个红球和1个白球,乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子,再从该袋子中等可能摸出一个球,称为一次试验.若多次试验直到摸出红球,则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为(先验概率). (1)求首次试验结束的概率; (2)在首次试验摸出白球的条件下,我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整. ①求选到的袋子为甲袋的概率; ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子,继续进行第二次试验时有如下两种方案:方案一,从原来袋子中摸球;方案二,从另外一个袋子中摸球.请通过计算,说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 23.甲、乙、丙三名同学进行乒乓球比赛，经约定，进行如下4场比赛决定胜负关系： ① 乙、丙两名同学进行本场比赛，败者落入败者组； ② 甲与第①场比赛胜者比赛，败者落入败者组； ③ 败者组两人进行比赛，败者记为第三名； ④ 第②、③场比赛胜者进行比赛，胜者记为第一名，败者记为第二名. 设每场比赛双方获胜的概率均为. (1)求乙在败者组比赛中被淘汰的概率； (2)求甲最终获胜的概率； (3)从最终三人获得名次的数学期望的角度分析，该比赛规则是否对甲有利？ 24.某知识闯关比赛分为预赛与决赛，预赛胜利后才能参加决赛，预赛规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作预赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参加预赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功相互独立． (1)若计划依次派甲、乙、丙进行预赛闯关，，，，求该小组预赛胜利的概率； (2)已知，若乙只能安排在第二个派出，要使预赛派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出； (3)预赛胜利小组的三名队员都可以进入决赛，决赛规定：单人参赛，每个人回答三道题，全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖，已知某队员进入了决赛，他在决赛中第一道题答对的概率为，后两道题答对的概率均为．若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $