精品解析：四川泸州市2025-2026学年高三下学期质量监测数学试题

高2023级高三质量监测试题 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，解得， 集合， ． 2. 已知，则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，， 所以复数的共轭复数为. 3. 已知数列为等差数列，若，，则其公差为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】令公差为，则，，且， 由，则，整理得. 4. 已知椭圆的离心率为，则其长轴长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】椭圆的标准形式为，则，即， 离心率，即，解得， ， ，故长轴长为． 5. 已知函数是奇函数，当时，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】可知，函数是奇函数， 则. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得， 所以. 7. 某导航机器人团队，调研5组不同避障阈值（单位：灵敏度）与路径规划耗时（单位：）得到的数据如下表： 避障阈值 9 9.5 10 10.5 11 规划耗时 8 6 5 由表中数据可知，规划耗时与避障阈值之间存在较强的线性相关关系，其经验回归方程是，则规划耗时数据5，6，8，，的第百分位数为（ ） A. 8 B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，代入回归方程得， ，解得， 规划耗时数据升序排列为：5，6，8，，， 第百分位数位置为：, 当不是整数时，向上取整，为第4个数据，即为． 8. 已知函数，若关于的方程恒有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求出函数在上的值域，利用单调性求出在上的值域，再结合方程恒有解列式求解. 【详解】当时，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此函数在上的值域为， 而函数在上单调递减，值域为， 要使关于的方程恒有解，则，解得， 所以的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 在上的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由周期公式得到表达式判断A，代入验证可得判断B，C，应用余弦函数性质得出最值判断D. 【详解】，由于最小正周期为，故，故，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故的图象关于点对称，故C正确； 对于D，当时，， 故，当时，取上的最小值为，故D正确. 10. 若是正四棱台的棱上的动点（包括端点），则（ ） A. 存在点，使得平面 B. 直线与异面 C. 平面平面 D. 若，则平面平面 【答案】BC 【解析】 【分析】利用反证法结合线面垂直的性质可判断A选项；利用异面直线的概念可判断B选项；推导出平面，结合面面垂直的判定定理可判断C选项；利用反证法结合面面平行的性质可判断D选项. 【详解】A，若存在点，使得平面， 因为平面，所以， 又因为四边形为正方形，所以， 因为，、平面， 所以平面，平面， 所以，事实上，四边形为等腰梯形，即与不垂直，A错； B，将正四棱台补成正四棱锥，如下图所示： 则平面，若直线与共面，则点与点重合时，直线与共面， 但为线段上的点，即点不可能与点重合，故与异面，B对； C，设，则为正方形的中心，所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故平面平面，C对； D，设，则为的中点， 若平面平面，且平面平面，平面平面， 由面面平行的性质定理可得， 因为，则为的中点，为的中点，所以， 在平面内，过点且平行于的直线有且只有一条，矛盾，故假设不成立，D错. 11. 设抛物线的焦点为，点在上，点在圆上，则（ ） A. 的最小值为4 B. 对任意点，总存在两点满足 C. 若直线与相切，则被所截得的弦长为8 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用抛物线的性质判断选项A，利用垂直平分线的性质判断选项B，利用焦点弦长公式判断选项C，利用余弦定理结合导数判断选项D． 【详解】根据抛物线的定义，等于点到准线的距离， ，最小值为圆心到准线的距离，故A正确； 若，等价于在的垂直平分线上，如下图所示， 的垂直平分线与抛物线总有两个交点，故B正确； 设切线的方程为， 圆心到直线距离为，解得， 联立，得， 由抛物线焦点弦长公式，弦长为，故C错误； 在中，， 设点，则，，， 设，则， ，在该区间内单调递减， 最大时，最小，令，问题转化为求最小值， ，等价于求的最小值， ， 即求的最大值， 令，求导得， 令，解得， 由抛物线方程可知， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 是函数的极小值点，此时， 即的最小值为， ，， 当时，，对应，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，满足，则，的夹角为________． 【答案】 【解析】 【详解】由，得， 因此，，而， 所以，的夹角. 13. 设为等比数列的前项和，若，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【详解】令公比为，且，则， 而，所以， 当为奇数时，当为偶数时， 所以最小出现在为偶数的情况，显然最小为. 14. 已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，母线长为6，若一个球与该圆台的上下底面和侧面均相切，则球与圆台的侧面切点所形成的曲线的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆台与其内切球轴截面的几何性质求出球与圆台的侧面切点所形成的圆的直径，即可求. 【详解】如图，作圆台的轴截面： 设，则，且， 由，则， 由，即， 所以，可得， 由题意，球与圆台的侧面切点所形成的曲线是以为直径的圆，其半径为， 所以曲线的长度为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）已知，，求边上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可将条件整理为，因为，故可求得，即可得； （2）根据余弦定理得到关于的方程并求解，再由等面积法求边上的高. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 所以，即， 整理可得，中， 所以，且，所以； 【小问2详解】 由，则，即， 所以（负值舍），设边上的高为，则， 所以. 16. 已知函数，其中． （1）当时，求函数的极小值； （2）当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分析函数单调性和极值点，进而求出函数的极小值； （2）先转化不等式，构造函数并求导，分析函数单调性及极值点，进而求出的取值范围． 【小问1详解】 当时，函数，求导得： ， 令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 是极小值点，代入函数得． 【小问2详解】 恒成立， ，不等式化为， 整理得，，问题转化为， 令，则， ，令分子为0，化简得 ，整理得， ，，故，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得最大值：， 当时，，时， 且对所有，成立； 当时，处，不满足条件， 的取值范围为． 17. 如图，在三棱柱中，侧面侧面，侧面为矩形，，，点在棱上，且平面． （1）求证：； （2）若三棱锥的体积为，点为的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，连接，利用线面平行的性质，结合三角形中位线的性质推理得证. （2）利用面面垂直的性质，结合锥体体积公式求出，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 在三棱柱中，连接，连接， 由平面，平面平面，平面，得， 由四边形为平行四边形，得是线段中点，因此是线段的中点， 所以. 【小问2详解】 由侧面为矩形，得，而平面平面，平面平面， 平面，则平面，过点作交于， 于是平面，在中，，， 则，， 解得，由（1）得，令边上的高为， 由，得，在平面内过作，由（1）得平面， 则直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 又点为的中点，则， ， 设平面与平面的法向量分别为， 则，取，得， ，取，得， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知双曲线经过点，为的右焦点． （1）求的标准方程； （2）过点的直线与的右支交于，两点，设点关于轴的对称点为． （i）已知，求的方程； （ii）设的外接圆圆心为，证明：直线的斜率与的斜率之积为定值． 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出关于的方程组求解. （2）（i）设出直线的方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理及直线的斜率之和为0求出直线所过定点，再列出面积的表达式求解即可；（ii）由（i）中信息求出线段中垂线方程，进而求出点的坐标，再利用斜率坐标公式计算得证. 【小问1详解】 由双曲线经过点，得， 由为的右焦点，得，联立解得， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 （i）显然直线不垂直于坐标轴，设其方程为， 点，由消去得， ，，， 由点关于轴的对称点为，得直线的斜率之和为0，即， 则，整理得， 因此，而，解得， 即直线过定点， 则， 整理得，而，解得，此时，， 直线的斜率， 所以直线的方程为，即. （ii）线段的垂直平分线方程为， 即，同理线段的垂直平分线方程为， 设点，而，则， ，即，即， 因此直线的斜率，而直线的斜率，则， 所以直线与直线的斜率之积是定值1. 19. 在一个盒子中，装有5个大小相同的小球，小球上的编号依次为1，2，3，4，5，现从中有放回地依次随机抽取小球若干次，每次仅抽取1个小球并记录小球上的编号．记为第次抽取后出现的编号种类数（例如，依次抽取3次，小球编号分别为3，3，1，于是）． （1）求的概率； （2）记为第次抽取后出现的编号中的最小编号，为第次抽取后出现的编号中的最大编号． （i）若的概率不超过0.1，求的最小值； （ii）设，，的数学期望分别为，，，探究是否存在正整数和正整数，使得，，成等差数列．若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） (i)3 (ii)存在， 【解析】 【分析】（1）利用古典概型思想即可得到答案； （2）（i）结合有放回抽样的概率特征，依据编号种类数、最小编号和最大编号这三个随机变量的定义，列出不等式，再验证即可； （ii），利用补集思想推导分布列与数学期望，结合等差中项性质及函数单调性，求解参数范围与对应正整数解. 【小问1详解】 由题意知，从个不同的小球中有放回的抽取次，基本事件总数为， 事件""表示抽取后出现的编号种类数为，即两次抽取小球的编号不同. 所以第一次抽取有种可能，第二次抽取和第一次抽取编号不同，则第二次抽取有种可能， 故满足条件的事件数为. 所以. 【小问2详解】 (i)表示前次抽取的编号里的最小编号大于等于，即前次抽取的编号均大于等于. 每次抽取的编号大于等于的编号仅有，，，，中的和 故每次抽取的编号大于等于的概率为. 又有放回抽取，每次抽取概率相互独立， 故. 由题意知，， 令，则，不满足题意. 令，则，不满足题意. 令，则，满足题意. 故的最小值为. (ii)可能的取值为，，，，. 因为有放回抽样， 故前次抽取的编号均大于等于的概率为. 所以， ， ， ， . 故. 可能的取值为，，，， 则前次抽取的编号均小于等于的概率为. 所以， ， ， ， ， 故， 所以. 又连续抽次，编号未被抽到的概率为，则编号被抽到过的概率为. 记事件为"连续抽次，编号被抽到过"，则 所以. 若，，成等差数列， 则， 即， 化简得. 当时，，化简得,，满足题意. 当时，，化简得,，不满足题意. 当时，函数在正整数集上单调递增， 则，， 所以当时，. 令，则. 化简得，此时的值不为正整数，不满足题意. 综上,存在满足条件的正整数，其值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2023级高三质量监测试题 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列为等差数列，若，，则其公差为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知椭圆的离心率为，则其长轴长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 5. 已知函数是奇函数，当时，，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 某导航机器人团队，调研5组不同避障阈值（单位：灵敏度）与路径规划耗时（单位：）得到的数据如下表： 避障阈值 9 9.5 10 10.5 11 规划耗时 8 6 5 由表中数据可知，规划耗时与避障阈值之间存在较强的线性相关关系，其经验回归方程是，则规划耗时数据5，6，8，，的第百分位数为（ ） A. 8 B. 9 C. D. 8. 已知函数，若关于的方程恒有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 在上的最小值为 10. 若是正四棱台的棱上的动点（包括端点），则（ ） A. 存在点，使得平面 B. 直线与异面 C. 平面平面 D. 若，则平面平面 11. 设抛物线的焦点为，点在上，点在圆上，则（ ） A. 的最小值为4 B. 对任意点，总存在两点满足 C. 若直线与相切，则被所截得的弦长为8 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，满足，则，的夹角为________． 13. 设为等比数列的前项和，若，，则的最小值为________． 14. 已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，母线长为6，若一个球与该圆台的上下底面和侧面均相切，则球与圆台的侧面切点所形成的曲线的长为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）已知，，求边上的高． 16. 已知函数，其中． （1）当时，求函数的极小值； （2）当时，恒成立，求的取值范围． 17. 如图，在三棱柱中，侧面侧面，侧面为矩形，，，点在棱上，且平面． （1）求证：； （2）若三棱锥的体积为，点为的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知双曲线经过点，为的右焦点． （1）求的标准方程； （2）过点的直线与的右支交于，两点，设点关于轴的对称点为． （i）已知，求的方程； （ii）设的外接圆圆心为，证明：直线的斜率与的斜率之积为定值． 19. 在一个盒子中，装有5个大小相同的小球，小球上的编号依次为1，2，3，4，5，现从中有放回地依次随机抽取小球若干次，每次仅抽取1个小球并记录小球上的编号．记为第次抽取后出现的编号种类数（例如，依次抽取3次，小球编号分别为3，3，1，于是）． （1）求的概率； （2）记为第次抽取后出现的编号中的最小编号，为第次抽取后出现的编号中的最大编号． （i）若的概率不超过0.1，求的最小值； （ii）设，，的数学期望分别为，，，探究是否存在正整数和正整数，使得，，成等差数列．若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $