数学试卷-山西省2025-2026学年高二下学期期中学情诊断

2025~2026学年第二学期期中学情诊断·高二数学试卷 参考答案、解析及评分细则 1.C从第一个括号中选一个字母有2种方法，从第二个括号中选一个字母有3种方法，从第三个括号中选一 个字母有5种方法，根据分步乘法计数原理可知共有2×3×5=30项.故选C. 2.D元=5代人经验回归方程=7x十5，得y=40,20+30+40+50+a=40,所以a=60.故选D. 5 3.B因为随机变量N(2,2),且P(>2.3)=0.3,P(51.7)=0.3所以P(1.7<5<2)=0.5-0.3=0.2. 故选B. 4B市十品气共斜牛知=1故速弘 5.C(x一y)5展开式的通项为T,+1=C5x5-r(-y)',r=0,1,2,3,4,5,当与2配对时，r=1,故x4y的系数为 一10，当与-号配对时，-2，故y的系数为-10，zy系数为一20.故选C 6.A设椭圆E的左焦点为F1,连接AF,BF1,则四边形AFBF为平行四边形，所以|AF十|AF=|BF|十 |AF|=6.根据椭圆的定义，有|AF1|十|AF|+|BF1|+|BF|=4a,所以12=4a,解得a=3.因为点M到直 线1的距离为分，所以6=1，故椭圆E的离心率为e=22故选A 7.C所有的种植方案分3类： (1)用到三种花卉：⑤一种花卉，①③同花卉，②④同花卉，种植方法的种数为A=60; (2)用到四种花卉：⑤一种花卉，①③不同花卉，②④同花卉，或⑤一种花卉，①③同花卉，②④不花卉，种植方 法的种数为2A=240; (3)用到五种花卉，种植方法的种数为A=120. 240 因此该方案恰好只用到四种花卉的概率是60+240+120号，故选C 4 8.B由题意，要求每个乡镇分配3名教师，且每个乡镇至少有1名女教师，则女教师的分配方案有2种，即 “2+2+1”或“3+1+1” 当女教师按照“2+2十1”分配时，女教师分法种数为CCC=15,再将4名男教师按照“1十1十2”与之配成对 A 应的三组，分法种数为CC=12,最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为A=6,根据分步乘法 计数原理得不同的分配方法种数为15×12×6=1080； 当女教师按照“3十1+1"分配时，女教师的分法种数为CCC-10,再将4名男教师按照“0+2+2”与之配成 A 对应的三组，分法种数为C=6,最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为A=6,根据分步乘法 计数原理得不同的分配方法种数为10×6×6=360. 【高二学情诊断·数学试卷参考答案第1页（共6页）】 根据分类加法计数原理得不同的分配方法种数为1080十360=1440.故选B. 9.BCD对于A,样本相关系数r的绝对值越大，则线性相关性越强，故A错误； 对于B,在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，表明数据越集中，模型的拟合效果越好， 故B正确； 对于C,决定系数R越接近1，残差平方和越接近0，则该回归模型的拟合效果越好，故C正确. 对于D,易知之=lny=ln(cer)=lnc十lner=kx+lnc,又因为线性回归方程为z=2x+0.4,所以k=2, lnc=0.4,即可得c=e,4,所以c,k的值分别是e.4和2，故D正确.故选BCD. 10.AD对于A,P(BA=1-PBA)=1-号=冬，故A正确， 对于B,P(B)=P(AP(BA+P(AP(BD-号×名+号×号-号，故B错误： 对于C,PAB)-PAP(BW=号×3-0PA+B=PA+PB-PAB)=号+号-0=合放 C错误； 对于D,PAB)=需-=，故D正确敢选AD 5 11.ACD令t=x+1可得x=t-1,新所以(2x+3)8=(2t+1)8=ao+a1t+a2t+…十agt8.对于A,令t=0可得 a0=(2×0十1)8=1，故A正确； 对于B,设(2t+1)8展开式的通项为T,+1=C(2t)8-·1"=C8·28-Tt8-r,r=0,1,2,3,…,8,取8一r=3,可 得r=5,所以a3=C×23=448,故B错误； 对于C,令t=1可得(2×1+1)8=38=a0+a1+a2+…+a8①，令t=-1可得(-2×1+1)8=1=a0-a1+ -a十…十a,@,由0-@可得2a+a十a十a）)=3-1,所以a十a十as十a=32,故C正确； ak≥ak-1， 对于D,由选项B可知，a8-,=C8·28-r,r=0,1,2,3,…,8,若a最大，则 =1,2,3,…,7,所以 ak≥ak+1, C8-·2≥Cg·2-1, 9-k×2≥1， k≤6， 解得 则5≤k≤6，故k=5或k=6,又a=1,ag=256,a5= c2g.28×2, k>5, a6=1792,所以a:(i=0,1,2,…,8)中，a5与a6最大，故D正确.故选ACD. 12.-2f(x)=3ax2十1，则f(1)=1+3a=-2,解得a=-1,所以f(1)=1十a=0,即切点为(1,0)，代入直 线2x十y十m=0,整理得2十m=0,解得m=一2. 13.号 用A表示丢掉1个小球后任取2个小球均为黑球，用B表示丢掉的小球为红球，B2表示丢掉的小球 【高二学情诊断·数学试卷参考答案第2页（共6页）】 为黑球，则PA)=号，P)=,PAA)-得-号，PA队)-=， 由全概率公式可得P(A)=P(B,)P(AB,)+P(B)PAB,)=号×号+号×号=号， 所以P(R1w-器-7 2 2 5 7 14.号 C-m+0438m+2=号整理得(n-2)(d-49n-12)=0nEN),解 依题意，P(X=1D=CC= 12m(n-1) 得=2，X的可能取值为1,23，P(X=1D=号，P(X=2)-9=是，P(X=3)-得=片所以E(X0= 1×号+2x号+3X号-2，EX)=1×号+4X号+9X号-号，所以DX0=E(X)-(E(0)-号 5 4=号，则D2x+1D=4D(X0= 15.解：()由表格中的数据可得x=1十2十3+4十5=3，… 2分 5 y=120+105+100+90+85=10, 4分 5 所以2a-刀09-)=-2×20-5+0+1×（←10)+2×（←15)=-85， 空红-=（←2+←1+0+1+公=10， 所以名= 盈a-6-切 85=-8.5, 1 8分 2-动 a=y-b元=100十8.5X3=125.5,…10分 所以不“礼让斑马线”的人数y与月份x之间的经验回归方程为y=一8.5x+125.5.…11分 (2)当x=7时，y=-8.5×7+125.5=66, 因此，预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为66人.…13分 16.解：(1)由数据表格可知，s=60一40=20，n=20十20=40，t=140一40=100.…2分 零假设为H0:喜欢电影《飞驰人生3》与是否成年无关，…3分 140×(20×40-20×60)2 根据列联表中的数据，计算得7-(20+60)X20十40)X(20十20X(60+40≈1.167<2.706，.6分 根据小概率值α=0.1的独立性检验，没有充分证据推断H不成立，因此可以认为H成立，即认为喜欢电 影《飞驰人生3》与是否成年无关.…………7分 (2②由题意可知，未成年人喜欢该电影的概率是船-子，不喜欢的概率是1一子-子 【高二学情诊断·数学试卷参考答案第3页（共6页）】 成年人喜欢该电影的概率是铝-号，不喜欢的概率是1一是 9分 由题意，X的可能取值为0,1,2，… 10分 则PX=0)=×-:PX=1D=×号+号×-是：P(X=2)=×号=合 11 …13分 所以X的分布列为 X 0 1 2 1 P(X) 5 12 2 14分 数学期望为E0=0×立+1X品+2×号-品 15分 17.(1)证明：如图，取CD的中点O,因为PC=PD=3,所以PO⊥CD, 因为平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD, POC平面PCD,所以PO⊥平面ABCD,… …2分 又BCC平面ABCD,所以PO⊥BC, 又BC⊥PD,POC平面PCD,PDC平面PCD, PD∩PO=P,…4分 所以BCL平面PCD. 5分 (2)解：因为PC=PD=3,O为CD的中点，CD=2, 所以OC=1,PO=√/PC-O区=2√2. 过点O作OE∥BC交AB于点E,由BC⊥平面PCD, CDC平面PCD,可得BC⊥CD,则OE⊥CD.… …6分 以O为坐标原点，OE,OC,OP所在直线分别为x轴、y轴、之轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,-3,0),B(2,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2√2)， 所以AB=(0,4,0),BP=(-2,-1,22),BC=(-2,0,0),PC=(0,1,-2√2).…7分 设咒-x0<<1),则P0=xP心=0a,-220,Ad-=(-23,22, AQ=AP+P0=(-2,3十λ，22-22). 设平面ABQ的一个法向量为n=(x,y,z), n·AQ=-2x+(3+x)y+(22-2√2)x=0, 则 令x=1,得n=(W2(1-λ)，0,1)，…10分 n.Ai=4y=0, 设平面PBC的一个法向量为m=(a,b,c), 【高二学情诊断·数学试卷参考答案第4页（共6页）】 m·B2--2a-b+22c=0 则 令c=1,得m=(0,2√2,1). 12分 m·BC=-2a=0, 设平面ABQ与平面PBC的夹角为0， m·n cos0=m·1n 1 13分 3√2(1-λ)2+1 9 解得X=弓或入=是（合去）， 所以存在点Q满足条件，此时瓷=号 15分 18.解：（①）由题意知，游戏I第3局获胜的概率P= 24-8 …2分 (2)易知X=0,1,2,3, …3分 游戏I第1局获胜的概率为2，第2局获胜的概率为子，则第1局和第2局均未获胜的概率为(1-2)× (1-)=8, 4分 因此可知XB(3,),所以PX=0-(1-)°-器P(X=1D-C(1-)广×g-器， Px=)=G(1-)x(层)°-器PX=8》=(得)广品， …8分 随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 125 225 135 27 512 512 512 512 …9分 所以X的期望E(0=0×器+1×+2×+3X品=号或E(X0=3X号-号， 512 512 …10分 (3)应该参加游戏I,理由如下： 记Y1,Y2分别为一次参加游戏I,Ⅱ所获奖金总额， 游戏I第1局获胜的概率为2，第2局获胜的概率为是，第3局获胜的概率为日， 11分 所以E0Y)=200×2+400×4+900X日=312.5，… 12分 游戏Ⅱ第1局获胜的概率为号，第2局获胜的概率为}， 第3局获雕的概率为心×（兮）'×C×子×子=易， 15分 所以EY)=300×号+600X号+900×号=300， 16分 【高二学情诊断·数学试卷参考答案第5页（共6页）】 因为E(Y1)>E(Y2), 所以从奖金期望角度来看，应选择参加游戏I. 小… 17分 19.解：(1)设质点M的初始位置为点A为事件E,质点M两次移动后到A顶点为事件F, PD=REP(FE+PEPF面=×+× 3分 (2)由题意得X的取值可能为1,2， 当X=1时，M移动四次，没有经过A点，另外三个点有1个点经过两次，且该点次序为第一次和第三次，第 一次和第四次，第二次和第四次，此时不同的移动种数为3CA经=18.…4分 当X=2时，M移动四次，有一次经过A点，次序为第二、三或四次移动，此时不同移动种数为C3A=18. 5分 所以符合题意的不同移动次数为18+18=36. PX=D-8-7,PX-2)-8-2 7分 X 1 2 1 2 2 EX0=1X2+2x号=是 …8分 (3)依题意，每一个顶点有3个相邻的顶点，所以当点M在底面ABC上时，随机移动一次仍在底面ABC上 的概率为号，所以A=号， 9分 因为P+1= 号P+1-P)=-}P+1. 12分 所以P1-是=-号(P-), 14分 P-子=一2，所以数列D,-是}是首项为几-子=一b,公比为-}的等比数列. …… 15分 P-=×(-)'=×(-号)川： 所以P=子×(-专)广+. 16分 空-×吉少+一景专》产+ 17分 1+3 【高二学情诊断·数学试卷参考答案第6页（共6页）】■ ■ 2025~2026学年第二学期期中学情诊断 高二数学答题卡 姓名 贴条形码区 准考 证号 1.答题前，考生务必清楚地将自己的姓名、座位号填写在规定的位置，核准条形码上的准考证号、姓名与本 注 人相符并完全正确及考试科目也相符后，将条形码粘贴在规定的位置。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，字体工整、笔迹清楚。 事 3. 考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题区域范围书写的答案无效：在草稿纸、试题卷 上答题无效。 4.保持卡面清洁，不准折叠、不得弄被。 此栏考生禁填 缺考标记☐ 缺考考生，由监考员贴条形码，并用2B铅笔填涂左边的缺考标记。 选择题（用2B铅笔填涂】 1 CA]CB]CC]CD] 5 CA]CB]CC]CD] 9 CA]CB]CC]CD] ◆ 2 CA][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B]CC][D] 3[A][B][C][D] 7CA][B][C][D] 11 CA]CB]CC][D] 4CA][B][C][D] 8 CA]CB]CC][D] 非选择题（用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写】 12.(5分) 13.(5分) 14.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ ■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 高二学情诊断·数学答题卡第1页（共2页） ■ ■ ■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 16.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ ■ ■ ■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17.(本小题满分15分) A 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ 请在各题耳的答题区域内作答超出答题区域的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 高二学情诊断·数学答题卡第2页（共2页） ■ ■ ■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ ■ ■ ■2025~2026学年第二学期期中学情诊断 高二数学试卷 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一、二、三册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 i" 题目要求的， 1.乘积(a1十a2)(b十b2十b3)(c十c2十c3十c4十c)展开式中的项数为 A.28 B.29 C.30 D.31 长 2.某产品的广告费用x(单位：万元)与销售y(单位：万元)之间有如下关系： 2 4 5 6 8 毁 y 20 30 40 50 已知y与x的经验回归方程y=7x十5，则a的值为 A.51 B.50 C.61 D.60 3.已知随机变量~N(2,2),且P(>2.3)=0.3,P(1.7<<2)= A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 蓉 4,若等差数列(a,}满足a=0,则2十十2十 A司 B.1 C.2 5.在(2-)x-)展开式中，含xy项的系数为 A.-10 B.0 C.-20 D.20 茶 6已知椭圆E号+苦=1(a>心0)的右焦点为F,短轴的-个端点为M,直线1w52一y=0交 椭圆E于A,B两点，若AF+BF-6,点M到直线L的距离为2，则椭圆E的离心率为 A.22 B2③ 3 3 c号 n 【高二学情诊断·数学试卷 第1页（共4页）】 7.某地广场有如图所示的花坛，现给花坛种植花卉，要求每个区域只能种植一种 ① 花卉，相邻区域花卉不同，若有5种不同花卉可供选择，在所有种植方案中随 ② ⑤ 机选择一种方案，该方案恰好只用到4种花卉的概率是 ④ ③ A易 B月 c告 D. 8.某教育局选派9名优秀教师到3个乡镇支教，其中有5名女教师，4名男教师，要求每个乡镇 分配3名教师，且每个乡镇至少有1名女教师，则不同的分配方法种数为 A.720 B.1440 C.1480 D.1080 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法正确的是 A.样本相关系数r越大，则线性相关性越强 B.在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区 域内，且宽度越窄表示拟合效果越好 C.用决定系数R刻画回归效果，R越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 D.以模型y=cer去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设之=lny,求得线性回归方程 为之=2x十0.4，则c,k的值分别是e4和2 10.已知P(A)=号，PBA)=),P(BA)=日，则 A.P(BIA)=3 B.P(B)=3 CPA+B)=名 D.P(AIB)- 11.已知(2x十3)8=a十a1(x十1)十a2(x十1)2十…十a8(x十1)8，则下列结论正确的有 A.ao=1 B.a3=494 C.a1十a十a十a,=38-1 2 D.a:(i=0,1,2,…,8)中，a5与a6最大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若函数f(x)=a.x3十x(a∈R)的图象与直线2x十y+m=0相切于点(1，f(1)),则实数 m- 13.小华在某不透明的盒子中放入3红4黑7个球，随机摇晃后，小华从中取出1个小球丢掉 (未看被丢掉小球的颜色).现从剩下6个小球中取出2个小球，结果都是黑球，则丢掉的小 球也是黑球的概率为 14.已知一个袋中装有（除颜色外完全相同）4个白球，n(n∈N*)个红球.现从袋中随机摸出3个 球，设X表示摸出白球的个数，P(X=1)=号，则D(2X+1)= 【高二学情诊断·数学试卷第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速 慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，其中第90条规定：对不 礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍 的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据： 月份 1 2 3 5 违章驾驶员人数 120 105 100 90 85 nxy )(yi-) 参考公式：b= a=y-by. -n (1)请利用所给数据求不“礼让斑马线”违章驾驶员的人数y与月份x之间的经验回归方程 y=bx+a; (2)预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数 16.(本小题满分15分) 2026年春节期间，电影《飞驰人生3》想看人数、讨论度、社交平台热度全程领跑，掀起全民观 影热潮，总票房高达29.27亿元.某电影院为了解民众对该部热映电影的喜欢程度，随机采 访了140名观影人员，得到下表： 是否喜欢 是否成年人 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 20 60 80 成年人 s 40 60 合计 140 (1)根据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为喜欢电影《飞驰人生3》与是否成年有关？ (2)用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设X表示这两人中喜欢电影 《飞驰人生3》的人数，求X的分布列和数学期望， n(ad-bc)2 参考公式：X=(a+bC+ac0+dD(其中n=a+6+c+d). 0.1 0.05 0.01 Ta 2.706 3.841 6.635 【高二学情诊断·数学试卷第3页（共4页）】 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD,BC=CD=2,AB=4,PC=PD=3,平面PCD⊥平 面ABCD,PD⊥BC (1)求证：BC⊥平面PCD; (2)在线段PC上是否存在一点Q,使得平面ABQ与平面PBC夹角 的余弦值为号？若存在，求瓷的值；若不存在，请说明理由。 18.（本小题满分17分) 某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可 获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下： 游戏I:抛掷质地均匀的相同硬币. 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得200元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则 获胜，得400元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记1,3,5的骰子） 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获 胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是3,1,3,5（不计顺序）则获胜，得900元奖金， (1)求游戏I第3局获胜的概率； (2)若销售部门的3位员工均选择游戏I,设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和 数学期望； (3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由， 19.(本小题满分17分) 已知正四面体ABCD顶点处有一质点M,点M每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点 移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点为一次移动： (1)若质点M的初始位置可在四个顶点中随机选择一个，求质点M两次移动后到A顶点的 概率； (2)若质点M的初始位置为点A,点M经过四次移动，要求从初始位置到结束位置，点M与 正四面体四个顶点都重合过，设变量X为点M与点A的重合次数，求X的分布列和数 学期望； (3)若质点M的初始位置为点A,记点M移动i次后仍在底面ABC上的概率为P:(i∈ N),求 【高二学情诊断·数学试卷第4页（共4页）】