数学试卷(B卷)-山西省2025-2026学年高二下学期期中学情诊断

2025~2026学年第二学期期中学情诊断·高二数学试卷 参考答案、解析及评分细则 1.C从第一个括号中选一个字母有2种方法，从第二个括号中选一个字母有3种方法，从第三个括号中选一 个字母有5种方法，根据分步乘法计数原理可知共有2×3×5=30项.故选C. 2.D4a十a=l,a=号.故选D, 3.B因为随机变量N(2,o2),且P(>2.3)=0.3,P(<1.7)=0.3所以P(1.7<2)=0.5-0.3=0.2. 故选B. 4.B 1十2资中法学群牛村1故选B 5.C(x一y)5展开式的通项为T+1=Cx5-r(-y)”,r=0,1,2,3,4,5,当与2配对时，r=1,故xy的系数为 一10，当与一工配对时，r=2,故xy的系数为一10，xy系数为一20.故选C. U 6.A设椭圆E的左焦点为F1,连接AF1,BF1,则四边形AF1BF为平行四边形，所以AF|十|AF=|BF十 |AF=6.根据椭圆的定义，有|AF|+AF十|BF1|十|BF=4a,所以12=4a,解得a=3.因为点M到直 线1的距离为2，所以b-1,故椭圆E的离心率为e=2, .故选A 7.C所有的种植方案分3类： (1)用到三种花卉：⑤一种花卉，①③同花卉，②④同花卉，种植方法的种数为A=60; (2)用到四种花卉：⑤一种花卉，①③不同花卉，②④同花卉，或⑤一种花卉，①③同花卉，②④不花卉，种植方 法的种数为2A=240: (3)用到五种花卉，种植方法的种数为A=120. 240 因此该方案恰好只用到四种花卉的概率是0十240十120一号，故选C 4 8.B由题意，要求每个乡镇分配3名教师，且每个乡镇至少有1名女教师，则女教师的分配方案有2种，即 “2+2+1”或“3+1+1” 当女教师按照“2+2+1”分配时，女教师分法种数为©CC=15,再将4名男教师按照“1十1十2”与之配成对 A 应的三组，分法种数为CC=12,最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为A=6,根据分步乘法 计数原理得不同的分配方法种数为15×12×6=1080； 当女教师按照3十1十1"分配时，女教师的分法种数为CCC=10,再将4名男教师按照“0十2十2”与之配成 A 对应的三组，分法种数为C=6,最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为A=6,根据分步乘法 计数原理得不同的分配方法种数为10×6×6=360. 根据分类加法计数原理得不同的分配方法种数为1080十360=1440.故选B. 9.BC由2=2m-10得n=6,由2+2n-10=n得n=8.故选BC 10.BD对于A,因为PBA-票=日，所以PAB)=PBPA)=言×号-0放A误： P(A) 1 对于B.PAB=8-=子故B正确： P(B) 2 对于C,因为PAB)=冬，所以P酒B)=是，所以P(B)=PAB)XP(B)=×号-是故C错误； 对于D.PAUB)=PA+P(B)-PAB)=号+号=品放D正确故选ED 11.ACD令t=x十1可得x=t-1,所以(2x十3)8=(2t+1)8=a0+at+a2t2+…十agt.对于A,令t=0可得 a=(2×0+1)8=1,故A正确； 【高二学情诊断·数学试卷参考答案第1页（共4页）】 对于B,设(2t+1)8展开式的通项为T,+1=C%(2t)8-r·1'=C8·28t8-r,r=0,1,2,3,…,8,取8-r=3,可 得r=5,所以a3=C8×23=448,故B错误； 对于C,令t=1可得(2×1+1)8=38=ao+a1+a2+…+ag①，令t=-1可得(-2×1+1)8=1=a-a1+ -a十叶a@,由0-②可得2a十a十a十，)=3-1，所以a十a十a十a-22,故C正确： 对于D,由选项B可知，ag-,=C·28-7,r=0,1,2,3,,8,若4最大，则0之0-1’k=1,2,3,…,7,所以 (ak≥ak+1, 1…2≥g,×221, Cg·2≥Cg*·2*+1,,8一km解得{≥5，则5≤k≤6，故k=5或k=6,又a=1,as=256,a9 a6=1792,所以a(i=0,1,2,…,8)中，a5与a6最大，故D正确.故选ACD. 12.一2f(x)=3ax2+1,则f(1)=1+3a=一2，解得a=-1,所以f(1)=1十a=0,即切点为(1,0)，代入直 线2x十y十m=0,整理得2十m=0,解得m=一2. 13,号用A表示丢掉1个小球后任取2个小球均为黑球，用B表示丢掉的小球为红球，B:表示丢掉的小球 为黑球，则P(B)=号，P(B)-号，PAA)-得-号，PAB)-是-片， 由全概率公式可得P)=P(B,)PAB)十P()PAB)=号×号+号×号-号， 4x 所以P(BA)=PCAB)_ 5=2 P(A) 5 14.g依题意，P(X=1)-C- S-a+午十万-日，整理得(a-2)(t-49a-12)=0(aN),解 12m(n-1) 得=2，X的可能取值为12,3，P0X=1=号，PX=2)-智=号，P0X=3)-得-日所以E(X0= 1X号+2X是+3X号=2，E(X)=1X号+4X号+9X号-2号，所以D)=B(x)-(E(X0)-号 4=号，则D(2X+1)=4DX)=g 51 15.解：(1)由题意可知号十1=4，解得n=6,… …3分 故展开式的通项为T+1=C2x, …4分 令r=2,则第3项的系数为C治22=60.…6分 (②)法-：设第+1项的系数最大，则2≥C2， …9分 C%2r>≥Cg+12+1, 即 14 1 2 解得<<号 12分 6-rr+1' 因为r∈N,所以r=4,所以展开式中的系数最大的项为T5=C24x3=240x-3.…13分 法二：由1知（匠+2）》°展开式的通项为T+1=C2x学6=0,12…，6. 则第1,2，，7项系数分别为1,24,60,160,240,192,64，…11分 所以展开式中系数最大的是第5项，即240x3. 13分 16.解：(1)需测试5次，按顺序可看作为5个位置， 第一步将2个次品放在第2和第5个位置，第二步选3个正品放其余3个位置， 由分步乘法原理方法数为：A好·A经=48.…6分 (2)至多3次可分为恰好2次，恰好3次找到所有次品， 恰好2次，即前2次测试都是次品，方法数为A虽；…9分 【高二学情诊断·数学试卷参考答案第2页（共4页）】 B 恰好3次，即第3次是次品，前2次中有1次是次品，方法数为C·C·A虽； 13分 所以总的测试情况数为：A+C2C4A=18. 15分 17.(1)证明：如图，取CD的中点O,因为PC=PD=3,所以PO⊥CD, 因为平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD, POC平面PCD,所以PO⊥平面ABCD,… 2分 又BCC平面ABCD,所以PO⊥BC, 又BC⊥PD,POC平面PCD,PDC平面PCD, PD∩PO=P，… 4分 所以BCL平面PCD.… 5分 (2)解：因为PC=PD=3,O为CD的中点，CD=2, 所以OC-1,P0=√PC-OC=2√2. 过点O作OE∥BC交AB于点E,由BC⊥平面PCD, CDC平面PCD,可得BC⊥CD,则OE⊥CD.… …6分 以O为坐标原点，OE,OC,OP在直线分别为x轴、y轴、之轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,-3,0),B(2,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2√2)， 所以AB=(0,4,0),B2=(-2,-1,22),BC=(-2,0,0),PC=(0,1,-22). …7分 设8-0<<1，侧则Pd-P心=0-2②0.Ad=(-23,2@, AQ=Ap+PQ=(-2,3+λ，2√2-2W2). 设平面ABQ的一个法向量为n=(x,y,z), 则a·A0-2+（3+0+22-220=0…令g=1,得m-1-0,1,…10分 n.AB=4y=0, 设平面PBC的一个法向量为m=(a,b,c), 则m·或-2a-+2Bc=0令c=1,得m=0,22,. 12分 m·Bd=-2a=0, 设平面ABQ与平面PBC的夹角为0， cos0=lm·n m·n3√/2(1-)2+1 9. 13分 解得入=合或入=多（舍去）， 所以存在点Q满足条件，此时器= 15分 18.解：(1)由题意知，游戏I第3局获胜的概率P= …2分 (2)易知X=0,1,2,3, …3分 游戏I第1局获胜的概率为2，第2局获胜的概率为子，则第1局和第2局均未获胜的概率为(1-号)× (1-)=8, 4分 因此可知XB(,号)，所以PX=0=(1-号)广-器P(X=1D=G(1-号)》”×号-器， PX=2)=C(1-号)×（层）广-盟P(X=3)=(号)广=0， ……8分 随机变量X的分布列为 0 1 2 3 P 125 225 135 27 512 512 512 512 …9分 【高二学情诊断·数学试卷参考答案第3页（共4页）】 B 所以X的期望E(0=0×器+1×器+2X器+3X品=号或EX0=3×号-号 512 8 8 …10分 (3)应该参加游戏I,理由如下： 记Y1,Y2分别为一次参加游戏I,Ⅱ所获奖金总额， 游戏I第1局获胜的概率为2，第2局获胜的概率为，第3局获胜的概率为令， 。 11分 所以EY)=200×2+400×}+900×日=312.5， 12分 游戏Ⅱ第1局获胜的概率为号，第2局获胜的概率为号， 第3局获胜的概率为C×(号)'×d×号×号-易， 15分 所以EY,)=300×号+600×号+900×号=30， 16分 因为E(Y1)>EY2), 所以从奖金期望角度来看，应选择参加游戏I. 17分 19.解：(1)设质点M的初始位置为点A为事件E,质点M两次移动后到A顶点为事件F, P)=P(BPFE+P面PFr面=子×+Xg-子 …3分 (2)由题意得X的取值可能为1,2， 当X=1时，M移动四次，没有经过A点，另外三个点有1个点经过两次，且该点次序为第一次和第三次，第 一次和第四次，第二次和第四次，此时不同的移动种数为3CA经=18.…4分 当X=2时，M移动四次，有一次经过A点，次序为第二、三或四次移动，此时不同移动种数为CgA=18. 0…44………**……,5分 所以符合题意的不同移动次数为18十18=36. PX=1D=8-,PX=20-3器= 7分 X 1 2 1 2 2 B0=1X号+2X2=是 8分 (3)依题意，每一个顶点有3个相邻的顶点，所以当点M在底面ABC上时，随机移动一次仍在底面ABC上 的概率为号，所以R=号， …9分 因为P1=号P十1-P)= +1 12分 所以P-=-号(P-)， 14分 P一=一，所以数列{一}是首项为P一-=一立公比为的等比数列 …15分 P-是=-×(-3)=}×(-3)川， 所以P=子×(-3)广+ 16分 所烈-x音-人》 1+号 +n=-是(-3)”+是-6 …17分 【高二学情诊断·数学试卷参考答案第4页（共4页）】 B■ ■ 2025~2026学年第二学期期中学情诊断 高二数学答题卡 姓名 贴条形码区 准考 证号 1.答题前，考生务必清楚地将自己的姓名、座位号填写在规定的位置，核准条形码上的准考证号、姓名与本 注 人相符并完全正确及考试科目也相符后，将条形码粘贴在规定的位置。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，字体工整、笔迹清楚。 事 3. 考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题区域范围书写的答案无效：在草稿纸、试题卷 上答题无效。 4.保持卡面清洁，不准折叠、不得弄被。 此栏考生禁填 缺考标记☐ 缺考考生，由监考员贴条形码，并用2B铅笔填涂左边的缺考标记。 选择题（用2B铅笔填涂】 1 CA]CB]CC]CD] 5 CA]CB]CC]CD] 9 CA]CB]CC]CD] ◆ 2 CA][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B]CC][D] 3[A][B][C][D] 7CA][B][C][D] 11 CA]CB]CC][D] 4CA][B][C][D] 8 CA]CB]CC][D] 非选择题（用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写】 12.(5分) 13.(5分) 14.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ ■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 高二学情诊断·数学答题卡第1页（共2页） ■ ■ ■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 16.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ ■ ■ ■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17.(本小题满分15分) A 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ 请在各题耳的答题区域内作答超出答题区域的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 高二学情诊断·数学答题卡第2页（共2页） ■ ■ ■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ ■ ■ ■2025~2026学年第二学期期中学情诊断 高二数学试卷 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一、二册，选择性必修第三册第六章一第七章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.乘积(a1十a2)(b1十b2十b)(c十c2十c3十c4十c5)展开式中的项数为 A.28 B.29 C.30 D.31 2.已知随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=4a,P(X=1)=a,则a= A号 c D 3.已知随机变量~N(2,o2),且P(>2.3)=0.3,P(1.7<<2)= A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 4若等差数列a.}满足a,=0,则2市十2十 A司 B.1 C.2 D 5,在(2-)x-y)°展开式中，含xy项的系数为 A.-10 B.0 C.-20 D.20 6已知椭圆E登+芳 =1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线1W5x一y=0交 椭圆E于A,B两点，若AF十BF=6,点M到直线L的距离为2，则椭圆E的离心率为 A 2W2 B.2 3 3 C② .3 D 3 【高二学情诊断·数学试卷 第1页（共4页）】 B 7.某地广场有如图所示的花坛，现给花坛种植花卉，要求每个区域只能种植一种 ① ② 花卉，相邻区域花卉不同，若有5种不同花卉可供选择，在所有种植方案中随 ⑤ 机选择一种方案，该方案恰好只用到4种花卉的概率是 ④ ③ A易 B司 c号 8.某教育局选派9名优秀教师到3个乡镇支教，其中有5名女教师，4名男教师，要求每个乡镇 分配3名教师，且每个乡镇至少有1名女教师，则不同的分配方法种数为 A.720 B.1440 C.1480 D.1080 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若C=Cm-1o,则n的取值可能是 A.4 B.6 C.8 D.10 10.对于随机事件AB,若PA)=号，P(B)=号，P(BA)=日，则 A.P(AB) B.P(A|B)=1 CPB)=号 D.PCAUB)- 11.已知(2x十3)8=a十a1(x十1)十a2(x十1)2十…十a8(x十1)8，则下列结论正确的有 A.ao=1 B.a3=494 Ca十a十a6十a=3921 2 D.a(i=0,1,2,,8)中，a5与a6最大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.若函数f(x)=ax3十x(a∈R)的图象与直线2x十y十m=0相切于点(1，f(1)),则实数 m= 13.小华在某不透明的盒子中放人3红4黑7个球，随机摇晃后，小华从中取出1个小球丢掉 (未看被丢掉小球的颜色).现从剩下6个小球中取出2个小球，结果都是黑球，则丢掉的小 球也是黑球的概率为 14.已知一个袋中装有（除颜色外完全相同）4个白球，n(n∈N*)个红球.现从袋中随机摸出3个 球，设X表示摸出白球的个数，P(X=1)=号，则D(2X+1)= 【高二学情诊断·数学试卷第2页（共4页）】 B 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知(+子) 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大， (1)求展开式中第3项的系数； (2)求该展开式中系数最大的项， 16.（本小题满分15分) 已知6件不同的产品中有2件次品，现对这6件产品一一进行测试，直至找到所有次品并立 即停止测试 (1)若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第5次测试时，找到第二件次品，则共有多少种 不同的测试情况？ (2)若至多测试3次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？ 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD,BC=CD=2,AB=4,PC=PD=3,平面PCD⊥平 面ABCD,PD⊥BC (1)求证：BC⊥平面PCD; (2)在线段PC上是否存在一点Q,使得平面ABQ与平面PBC夹角 的余弦值为？若存在，求瓷的值；若不存在，请说明理由。 D 【高二学情诊断·数学试卷第3页（共4页）】 B 18.(本小题满分17分) 某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可 获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下： 游戏I:抛掷质地均匀的相同硬币， 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得200元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则 获胜，得400元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记1,3,5的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获 胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是3,1,3,5（不计顺序）则获胜，得900元奖金 (1)求游戏I第3局获胜的概率； (2)若销售部门的3位员工均选择游戏I,设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和 数学期望； 圜 (3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由 19.(本小题满分17分) 已知正四面体ABCD顶点处有一质点M,点M每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点 移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点为一次移动 (1)若质点M的初始位置可在四个顶点中随机选择一个，求质点M两次移动后到A顶点的 概率； (2)若质点M的初始位置为点A,点M经过四次移动，要求从初始位置到结束位置，点M与 正四面体四个顶点都重合过，设变量X为点M与点A的重合次数，求X的分布列和数 学期望； (3)若质点M的初始位置为点A,记点M移动i次后仍在底面ABC上的概率为P:(i∈ N*),求 Se. 【高二学情诊断·数学试卷第4页（共4页）】 B