第十章 二元一次方程组【高频易错题题型讲练】-2025-2026学年苏科版数学七年级下册同步培优讲义

**基本信息** 聚焦二元一次方程组高频易错点，以23个题型为框架，通过典例分析与变式训练系统构建“解法-参数-应用”三维方法体系，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解法类|6题型（代入/加减消元等）|消元技巧、整体求值法|从基础解法到特殊技巧，构建运算能力| |参数类|5题型（解求参数等）|错解复原、同解问题处理|结合方程解的概念，发展推理意识| |应用类|12题型（行程/工程等）|实际问题建模、图表信息转化|从生活情境抽象数量关系，强化模型观念|

2025-2026学年苏科版（新教材）数学七年级下册专项培优讲义（题型讲练） 专题10.8 高频易错题题型讲练『第十章 二元一次方程组』 〔23个题型讲练+能力提升练 共56题〕 【苏科版七年级下册●新教材】 2 题型一 已知二元一次方程组的解求参数 2 题型二 代入消元法 2 题型三 加减消元法 2 题型四 二元一次方程组的特殊解法 3 题型五 二元一次方程组的错解复原问题 4 题型六 构造二元一次方程组求解 4 题型七 已知二元一次方程组的解的情况求参数 4 题型八 方程组相同解问题 5 题型九 三元一次方程组的应用 5 题型十 根据实际问题列二元次方程组 5 题型十一 根据几何图形列二元次方程组 6 题型十二 方案问题（二元一次方程组的应用） 6 题型十三 行程问题（二元一次方程组的应用） 7 题型十四 工程问题（二元一次方程组的应用） 8 题型十五 数字问题（二元一次方程组的应用） 9 题型十六 年龄问题（二元一次方程组的应用） 9 题型十七 分配问题（二元一次方程组的应用） 9 题型十八 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 10 题型十九 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 11 题型二十 几何问题（二元一次方程组的应用） 11 题型二十一 图表信息题（二元一次方程组的应用） 12 题型二十二 古代问题（二元一次方程组的应用） 13 题型二十三 其他问题（二元一次方程组的应用） 13 能力提升训练 14 题型一 已知二元一次方程组的解求参数 【典例分析】（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．99 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南通·月考）解关于x，y的方程组时，可以用消去未知数x，也可以用消去未知数y，试求的值为_____． 题型二 代入消元法 【典例分析】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）解方程组： (1)； (2) 【变式训练】（24-25七年级下·浙江温州·期中）在二元一次方程中，若x、y互为相反数，则___________． 题型三 加减消元法 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）下面是嘉嘉同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解方程组： 解： ，得③……第一步 ，得……第二步 解得……第三步 将代入①，得……第四步 所以原方程组的解为……第五步 (1)任务一：嘉嘉解方程组用的方法是 ；（填“代入法”或“加减法”） (2)任务二：第 步开始出现错误． (3)任务三：写出正确的解方程组的过程． 【变式训练】（24-25七年级下·贵州铜仁·期中）解下列二元一次方程组： (1) (2) 题型四 二元一次方程组的特殊解法 【典例分析】（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）阅读下面材料，回答问题： 解方程组： 解：由①＋②，得，化简，得③． 将③代入①，得，解得． 将③代入②，得，解得． 所以原方程组的解为 这种解二元一次方程组的方法叫作整体求值法． (1)已知，则________； (2)已知关于的方程组的解满足，求的值； (3)请仿照上面的解题思路，解方程组：． 【变式训练】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知：，是常数，若二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是______． 题型五 二元一次方程组的错解复原问题 【典例分析】（25-26七年级下·四川绵阳·月考）在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 【变式训练】（24-25七年级下·河南周口·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出原方程组的解． 题型六 构造二元一次方程组求解 【典例分析】（2026七年级下·全国·专题练习）若，则，的值分别是（   ） A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3 【变式训练】（25-26七年级下·河南郑州·月考）对于、定义一种新运算“※”：，其中、为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：，，求的值______． 题型七 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【典例分析】（25-26七年级下·山东淄博·月考）若关于的方程组和方程组有相同的解，请分别求出的值． 【变式训练】（25-26七年级下·山东泰安·期中）若方程组无解（其中），则的值为___________． 题型八 方程组相同解问题 【典例分析】（24-25七年级下·四川资阳·期末）已知关于x、的方程组和有相同的解，求、的值． 【变式训练】（25-26七年级下·河南南阳·月考）解方程组的应用： (1)如果方程组与方程组有相同的解，那么__________． (2)甲、乙两人同时解关于x、y的方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得，求原方程组的正确解． 题型九 三元一次方程组的应用 【典例分析】（25-26七年级下·重庆渝北·开学考试）为迎国庆，沙乡街道办摆放花盆，有塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆三种．其中塑料花盆由15朵红花、24朵黄花、25朵粉花组合而成，陶瓷花盆由10朵红花、12朵黄花组合而成，木制花盆由10朵红花、18朵黄花、25朵粉花组合而成．这些花盆一共用了2900朵红花，3750朵粉花，则黄花一共用了____朵． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）一个三位数的各数位数字之和等于，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，如果把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小，求原三位数． 题型十 根据实际问题列二元次方程组 【典例分析】（25-26七年级下·山东青岛·月考）甲从一地点出发，前往某地，途中经过上坡路和平路，再按原路返回．已知上坡每小时走千米，下坡每小时走千米，平路每小时走千米．去时走了分钟，回程走了分钟．设去时上坡路长，平路长，为求和的值，可列的二元一次方程组为______． 【变式训练】（24-25七年级下·重庆江津·月考）甲、乙两人在相距千米的两地，若同时出发相向而行，经小时相遇，若同向而行，且甲比乙先出发小时去追乙，在乙出发后小时甲追上乙，求甲、乙两人的速度，设甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 题型十一 根据几何图形列二元次方程组 【典例分析】（25-26七年级下·河南南阳·月考）如图是用4个相同的长方形与1个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的边长比小正方形边长的4倍多1，设长方形的两邻边长分别为x，y，且x与y的比是，下列关系式错误的是（   ） A． B． C． D．， 【变式训练】（25-26七年级下·福建厦门·月考）将两块完全相同且宽为的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度________． 题型十二 方案问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）大荔西瓜生产区域位于关中平原东部，北依镰山，南傍渭水，黄河临东，洛水贯中，是我国唯一具备西瓜生产七项指标的地区，现欲将一批西瓜运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满西瓜一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满西瓜一次可运走11吨，现有西瓜30吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满西瓜． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满西瓜一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． 【变式训练】（25-26七年级下·山东泰安·期中）2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车比4辆“晨光”型汽车的进价少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该体验中心计划用400万购进这两款汽车，两种汽车均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 题型十三 行程问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（24-25七年级下·河南新乡·期中）如图，已知点、在数轴上表示的数分别是、64，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动，若点、同时出发．则出发后12秒相遇；若点先出发7秒，则点出发10秒后与点相遇． (1)求动点、运动的速度分别是多少？ (2)若点、同时出发，设运动时间为， ①动点在数轴上对应的数为______，动点在数轴上对应的数为_____； ②求为何值时，点与点恰好相距14？ 【变式训练】（24-25七年级下·辽宁鞍山·月考）如图，某型号的动车由一节车头和若干节车厢组成，每节车厢的长度都相等．已知该型号的动车挂节车厢以的速度通过某观测点用时，挂节车厢以的速度通过该观测点用时，求车头及每节车厢的长度． 题型十四 工程问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（24-25七年级下·全国·课后作业）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的． 【变式训练】（24-25七年级下·湖北·月考）修建一条长960米的公路，由甲、乙两支工程队从两端同时施工，6天可以完成任务．已知甲工程队的施工速度是乙工程队的，求甲、乙两支工程队每天分别修建多少米？ 题型十五 数字问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（24-25七年级下·四川眉山·期中）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）如图，这是工作表的一部分，字母依次表示列，数依次表示行．该表中每一列中的数都比前一列相应的数大，每一行中的数都比前一行相应的数大n．若，x与a的数量关系为：________． 题型十六 年龄问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（24-25七年级下·上海·自主招生）甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 【变式训练】（23-24七年级下·河南郑州·开学考试）父亲今年44岁，儿子今年16岁，当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是_____岁． 题型十七 分配问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（24-25七年级下·四川内江·期中）若干本书分给小朋友，每人本，则余本，每人本，则最后一人只得本，则有____________本书． 【变式训练】（24-25七年级下·云南楚雄·期末）某工厂生产大型汽油桶，汽油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片构成现工厂共有名工人，其中每名工人每天可制作圆形铁片个或长方形铁片个为了使每天生产的铁片数量刚好配套成油桶，应如何安排工人进行生产？设安排人制作圆形铁片，人制作长方形铁片，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 题型十八 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（24-25七年级下·山东烟台·期中）学校组织学生举行“数学创新技能大赛”，该学校拟购进A、B两种品牌的计算器作为本次大赛奖品．已知某商店购进3台A种品牌计算器所需费用与购进2台B种品牌计算器所需费用相同，购进1台A种品牌计算器与2台B种品牌计算器共需费用400元． (1)请你计算一下该商店A、B两种品牌计算器每台的进价分别是多少元？ (2)销售时，该商店将A种品牌计算器定价为180元/台，B种品牌计算器定价为250元/台，该商店拟用1000元购进这两种计算器（1000元刚好全部用完），为能在销售完这两种计算器后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？ 【变式训练】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）某专卖店销售“冰墩墩”和“雪容融”玩偶．学校为奖励同学，欲从该专卖店购买个玩偶作为奖品，如果购买个“冰墩墩”和个“雪容融”，共需花费元；如果购买个“冰墩墩”和个“雪容融”，共需花费元． (1)求每个“冰墩墩”和“雪容融”玩偶的售价各为多少元？ (2)学校在购买好之后，该专卖店还剩下个“冰墩墩”和个“雪容融”，专卖店将这些玩偶中的一部分按套装销售(个“冰墩墩”和个“雪容融”为个套装，每套价格为元)，其余按原价销售，当这个玩偶全部售出后，共计收入元．问套装销售了多少套？ 题型十九 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（24-25七年级下·海南儋州·期中）在某工程建设中，有甲、乙两种卡车参加运土，3辆甲种卡车与2辆乙种卡车一次共可运土48立方米，2辆甲种卡车与3辆乙种卡车一次共可运土52立方米．求甲种卡车和乙种卡车一次可运土多少立方米？ 【变式训练】（25-26七年级下·全国·周测）某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为_________万元． 题型二十 几何问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（25-26七年级下·四川绵阳·月考）如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是_________． 【变式训练】（25-26七年级下·山东聊城·月考）在长为、宽为的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，则每个小长方形花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 题型二十一 图表信息题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（24-25七年级下·山东德州·月考）2008年5月12日14时28分，我国四川省汶川地区发生里氏8.0级强烈地震，给当地人民造成巨大经济损失．齐村中学积极组织捐款支援灾区，八（1）班55名同学共捐款274元，捐款情况如下表，表中捐款2元和5元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你帮忙确定表中数据，并说明理由． 捐款（元） 人数 【变式训练】（25-26七年级下·四川绵阳·期末）某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程． 题型二十二 古代问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（25-26七年级下·四川绵阳·月考）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则的值是（   ） A．0 B．8 C．10 D． 【变式训练】（25-26七年级下·河南南阳·期中）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”，如图1，从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x、y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则图2表示的方程是_________，这两个方程组成的方程组的解为_________． 题型二十三 其他问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（25-26七年级下·山东聊城·期中）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人／辆） 45 60 租金（元／辆） 1200 1800 参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ 【变式训练】（2023七年级下·浙江·竞赛）北京冬（残）奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到广大网友的喜爱．王老师想要购买这两种吉祥物作为本次冬奥会的纪念品，已知购买2件“冰墩墩”和1件“雪容融”共需元，购买3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需元．若已列出一个方程为，则另一个方程可以为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26七年级下·福建厦门·期中）为了落实校园餐专项整治，某市给中学生的营养餐提出如下标准： ①营养餐的总质量为，成分包含：蛋白质、脂肪、碳水化合物、矿物质； ②蛋白质和脂肪的含量占； ③碳水化合物比蛋白质少，矿物质的含量是脂肪含量的2倍． 若设一份营养餐中含蛋白质，脂肪，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）下列各式，属于二元一次方程的个数有（   ） ①    ②    ③    ④    ⑤    ⑥    ⑦ A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26七年级下·浙江舟山·期中）已知和是方程的两个解，则的值（   ） A．30 B．0 C．5 D．6 4．（25-26七年级下·北京·期中）已知关于的方程组的解满足，则的值为_____． 5．（25-26七年级下·山东泰安·月考）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”．诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、丙三人的解题方案，判断正确的有_________个． 甲：设客房有x间，则； 乙：设客人有y人，则； 丙：设客房有x间，客人有y人，则． 6．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知关于、的方程组的解满足与的值相等，则的值是_____． 7．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知关于的二元一次方程组的解为，关于的二元一次方程组的解为_____． 8．（25-26七年级下·吉林长春·月考）解二元一次方程组：． 9．（25-26七年级下·北京·期中）现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵．我们的目标是把矩阵变成下面这种样子：，这样就直接看出方程组的解为． (1)方程组对应的矩阵为_____． (2)关于的三元一次方程组的系数排成的矩阵为，则对应的方程组为_____，若为定值．求与满足的数量关系． 10．（25-26七年级下·北京·期中）三月，我校班超联赛火热开赛！为丰富同学们的课余生活、满足运动需求，学校计划采购一批足球和篮球．负责采购的老师在团购群中看到了如下对话信息： (1)根据对话信息，求足球和篮球的单价各是多少元？ (2)若学校一次性采购总金额为700元．两种球都至少购买1个且采购资金正好用完，请给出所有购买方案． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版（新教材）数学七年级下册专项培优讲义（题型讲练） 专题10.8 高频易错题题型讲练『第十章 二元一次方程组』 〔23个题型讲练+能力提升练 共56题〕 【苏科版七年级下册●新教材】 1 题型一 已知二元一次方程组的解求参数 1 题型二 代入消元法 3 题型三 加减消元法 4 题型四 二元一次方程组的特殊解法 6 题型五 二元一次方程组的错解复原问题 8 题型六 构造二元一次方程组求解 9 题型七 已知二元一次方程组的解的情况求参数 10 题型八 方程组相同解问题 11 题型九 三元一次方程组的应用 13 题型十 根据实际问题列二元次方程组 14 题型十一 根据几何图形列二元次方程组 15 题型十二 方案问题（二元一次方程组的应用） 16 题型十三 行程问题（二元一次方程组的应用） 18 题型十四 工程问题（二元一次方程组的应用） 20 题型十五 数字问题（二元一次方程组的应用） 21 题型十六 年龄问题（二元一次方程组的应用） 22 题型十七 分配问题（二元一次方程组的应用） 23 题型十八 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 24 题型十九 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 26 题型二十 几何问题（二元一次方程组的应用） 27 题型二十一 图表信息题（二元一次方程组的应用） 28 题型二十二 古代问题（二元一次方程组的应用） 29 题型二十三 其他问题（二元一次方程组的应用） 31 能力提升训练 32 题型一 已知二元一次方程组的解求参数 【典例分析】（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．99 【答案】A 【分析】根据两个方程组的解相同，所以先求出只含、的方程组的解，再将解代入含、的方程，求出、，最后计算即可． 本题主要考查了二元一次方程组的解法及同解问题，熟练掌握解方程组的步骤和利用同解求参数是解题的关键． 【详解】解：， 得： ， 把代入①得： ， 把代入中得， 得： ， 把代入③得： ， 则，所以； 故选：A ． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南通·月考）解关于x，y的方程组时，可以用消去未知数x，也可以用消去未知数y，试求的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查解含参的二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键，根据题意可得到，解二元一次方程组即可得到的值，从而即可得到答案． 【详解】解：由题可得： 得：， ∵此时可以消去未知数， ∴， 得：， ∵此时可以消去未知数， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 题型二 代入消元法 【典例分析】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）解方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 将①代入②得， 解得 将代入①得， ∴方程组的解为； （2）解： 整理得， 将②代入①得， 解得 将代入②得， ∴方程组的解为． 【变式训练】（24-25七年级下·浙江温州·期中）在二元一次方程中，若x、y互为相反数，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，相反数的定义，根据相反数的定义得到，再把代入原方程得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型三 加减消元法 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）下面是嘉嘉同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解方程组： 解： ，得③……第一步 ，得……第二步 解得……第三步 将代入①，得……第四步 所以原方程组的解为……第五步 (1)任务一：嘉嘉解方程组用的方法是 ；（填“代入法”或“加减法”） (2)任务二：第 步开始出现错误． (3)任务三：写出正确的解方程组的过程． 【答案】(1)加减法 (2)一 (3)，过程见解析 【分析】（1）根据具体的解题步骤判断求解即可； （2）根据方程两边同时乘以2，计算判断即可． （3）根据方程组的求解步骤，规范求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，解题用的是加减法； （2）解：，得，漏乘常数致错， 故错在第一步； （3）解：①，得． ②+③，得，解得． 将代入①，得，解得， 所以方程组的解为． 【变式训练】（24-25七年级下·贵州铜仁·期中）解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法消去y，进而求解． （2）先将第一个方程去分母整理，第二个方程去括号整理，再用加减消元法求解． 【详解】（1） ， ​ 将①，得， ③ ②+③消去，得， 解得 ， 把代入①，解得 ， 所以方程组的解为； （2）给第一个方程两边同乘6去分母，整理得：， ① 化简第二个方程，得，② 将②，得， ③ ①+③消去，得， 解得 ， 把代入②，解得 ， ∴方程组的解为． 题型四 二元一次方程组的特殊解法 【典例分析】（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）阅读下面材料，回答问题： 解方程组： 解：由①＋②，得，化简，得③． 将③代入①，得，解得． 将③代入②，得，解得． 所以原方程组的解为 这种解二元一次方程组的方法叫作整体求值法． (1)已知，则________； (2)已知关于的方程组的解满足，求的值； (3)请仿照上面的解题思路，解方程组：． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）利用整体求值法进行求解即可； （2）利用整体求值法求出的值，结合，列出关于的方程进行求解即可； （3）利用整体求值法化简方程组，再进行求解即可． 【详解】（1）解：， ，得， 解得； （2）解：， ，得， 化简，得， ∵， ∴， 解得； （3）解：， ，得，即， 把③代入②，得，解得， 把代入③，得； ∴． 【变式训练】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知：，是常数，若二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【分析】利用换元法将待求解方程组变形为与已知方程组结构相同的形式， 根据已知方程组的解得到关于新未知数的等量关系，求解即可得到结果． 【详解】解：设，，则待求解方程组可化为， 将方程组两边同时除以，得， 已知二元一次方程组的解是， ∴， 解得， 即， 解得． 题型五 二元一次方程组的错解复原问题 【典例分析】（25-26七年级下·四川绵阳·月考）在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 【答案】 【分析】甲看错方程组中的，其得到的解满足方程组，代入求解可求出，乙看错方程组中的，其得到的解满足原方程，据此求出，最后计算的值即可． 【详解】解：∵甲求得的解是方程组的解， ∴将代入方程组得：， 解得； ∵乙看错了方程组中的，求得的解满足原方程， ∴将，代入得：， 解得：， ∴． 【变式训练】（24-25七年级下·河南周口·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出原方程组的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组的错解复原问题，根据题意可知甲的解满足方程②，乙的解满足方程①，据此求出a、b的值，再利用加减消元法解原方程组即可得到答案． 【详解】解：甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得， ，． ，． ∴原方程组为 得 ， 解得， 把代入得 ， 解得， ∴原方程组的解为． 题型六 构造二元一次方程组求解 【典例分析】（2026七年级下·全国·专题练习）若，则，的值分别是（   ） A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3 【答案】B 【分析】根据平方和绝对值的非负性，两个表达式之和为零则每个表达式均为零，由此列出方程组求解． 本题考查了非负数的意义，二元一次方程组的解法，根据题意列出方程组并正确求解是解题关键． 【详解】解：∵ 且 ， 又∵ ， ∴ ， 解得 故选：B． 【变式训练】（25-26七年级下·河南郑州·月考）对于、定义一种新运算“※”：，其中、为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：，，求的值______． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据新运算的定义，由已知条件列出关于a和b的二元一次方程组，解出a和b的值，再代入即可求的值． 【详解】解：由题意，得，解方程组得． ∴， ∴， 故答案为：17． 题型七 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【典例分析】（25-26七年级下·山东淄博·月考）若关于的方程组和方程组有相同的解，请分别求出的值． 【答案】的值为，的值为． 【分析】本题考查了同解方程组的知识，解答此题的关键是熟知方程组有公共解的含义．方程组有相同的解，所以只需求出方程组的解，再代入方程组，即可求出未知数的值． 【详解】解：根据题意得：方程组 ①②得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴ 把代入方程组， 得， 解得： ∴的值为，的值为． 【变式训练】（25-26七年级下·山东泰安·期中）若方程组无解（其中），则的值为___________． 【答案】/0.5 【分析】先将二元一次方程组化为关于x的一元一次方程，由二元一次方程组无解，得到，求出k的值即可． 【详解】解：由方程组，得 ， ， ∵原方程组无解，且， ∴， 解得． 题型八 方程组相同解问题 【典例分析】（24-25七年级下·四川资阳·期末）已知关于x、的方程组和有相同的解，求、的值． 【答案】 【分析】根据题意先联立，求得解后 代入，再解方程组即可得出结果． 【详解】解：∵关于x、的方程组和有相同的解， ∴联立， 解得， 将代入得， 解得． 【变式训练】（25-26七年级下·河南南阳·月考）解方程组的应用： (1)如果方程组与方程组有相同的解，那么__________． (2)甲、乙两人同时解关于x、y的方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得，求原方程组的正确解． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）两个方程组有相同的解，因此该相同解同时满足两个只含x，y的方程，先求出x，y的值，再代入含m，n的方程求出m，n，即可计算得到的值； （2）甲看错a得到的解满足正确的方程②，乙看错b得到的解满足正确的方程①，分别代入求出正确的a，b，再解原方程组即可得到正确解． 【详解】（1）解：∵两个方程组有相同的解， ∴x、y满足方程组，解得， 将，代入， 得，解得， ∴． （2）解：将代入方程②，得：，解得， 将代入方程①，得：，解得， 把，代入原方程组，得到， 解得， ∴原方程组的正确解为． 题型九 三元一次方程组的应用 【典例分析】（25-26七年级下·重庆渝北·开学考试）为迎国庆，沙乡街道办摆放花盆，有塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆三种．其中塑料花盆由15朵红花、24朵黄花、25朵粉花组合而成，陶瓷花盆由10朵红花、12朵黄花组合而成，木制花盆由10朵红花、18朵黄花、25朵粉花组合而成．这些花盆一共用了2900朵红花，3750朵粉花，则黄花一共用了____朵． 【答案】4380 【分析】设塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆的数量分别为、、个，根据“这些花盆一共用了2900朵红花，3750朵粉花”列方程化简得出，，再根据黄花总数代入求解即可． 【详解】解：设塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆的数量分别为、、个， 根据题意可得红花总数量：，化简得：①， 粉花总数量：，化简得：②， 把②代入①：， 整理得：， 则黄花总数（朵）． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）一个三位数的各数位数字之和等于，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，如果把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小，求原三位数． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组在数字问题中的应用，核心是掌握三位数的代数表示方法：原三位数可表示为(其中为百位数字，为十位数字，为个位数字)，并根据题目给出的三个等量关系构建方程组求解．首先设出三个数位的数字，根据“各数位数字和为”“个位与十位数字和比百位大2”“对调百位与十位后的新数比原数小”分别列出方程；接着化简第三个方程得到，再将第二个方程代入第一个方程求出的值；然后代入求出的值，最后代入第二个方程求出的值，进而组合得到原三位数． 【详解】解：设原三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为． 根据题意，列出方程组：， 化简得， 将②代入①，得：，解得：； 把代入③，得：，解得； 把，代入②，得：，解得； 原三位数为； 答：原三位数为． 题型十 根据实际问题列二元次方程组 【典例分析】（25-26七年级下·山东青岛·月考）甲从一地点出发，前往某地，途中经过上坡路和平路，再按原路返回．已知上坡每小时走千米，下坡每小时走千米，平路每小时走千米．去时走了分钟，回程走了分钟．设去时上坡路长，平路长，为求和的值，可列的二元一次方程组为______． 【答案】 【分析】先统一时间单位，将分钟换算为小时，根据总时间等于各段路程所用时间之和，结合原路返回时去时上坡变为回程下坡，平路长度和速度不变，分别根据去程和回程的总时间列方程即可． 【详解】解：速度单位为千米/小时，需统一单位，， 去时：上坡路程为，速度为，用时，平路路程为，速度为，用时，总时间为， ∴ 回程：原路返回，去时的上坡路变为下坡路，平路长度不变，因此下坡路程为，速度为，用时，平路用时仍为，总时间为， ∴； ∴可列方程组． 【变式训练】（24-25七年级下·重庆江津·月考）甲、乙两人在相距千米的两地，若同时出发相向而行，经小时相遇，若同向而行，且甲比乙先出发小时去追乙，在乙出发后小时甲追上乙，求甲、乙两人的速度，设甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别找出相向而行和同向而行两种情况下的等量关系，据此列出方程组即可． 【详解】解：设甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时。 ∵甲乙同时出发相向而行，小时相遇，总路程为千米，两人路程和等于两地距离， ∴， ∵同向而行时，甲比乙先出发小时，乙出发后小时甲追上乙，甲一共行驶小时，乙一共行驶小时，甲追上乙时甲的路程比乙多千米， ∴， ∴可列方程组． 题型十一 根据几何图形列二元次方程组 【典例分析】（25-26七年级下·河南南阳·月考）如图是用4个相同的长方形与1个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的边长比小正方形边长的4倍多1，设长方形的两邻边长分别为x，y，且x与y的比是，下列关系式错误的是（   ） A． B． C． D．， 【答案】B 【分析】结合“x与y的比是”，可得，整理可得，即可判断选项A；由图形可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为，结合“大正方形的边长比小正方形边长的4倍多1”可得，即可判断选项C；将进行整理，可得，即可判断选项B；将与联立并求解，进而可知，，可判断选项D． 【详解】解：根据题意，x与y的比是，即， 整理可得，故选项A正确，不符合题意； 由图形可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为 ∵大正方形的边长比小正方形边长的4倍多1， ∴，故选项C正确，不符合题意； 对于，等号右侧去括号，得， 移项，合并同类项，可得，故选项B错误，符合题意； 将与联立， 可得，解得， ∴，，故选项D正确，不符合题意． 【变式训练】（25-26七年级下·福建厦门·月考）将两块完全相同且宽为的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度________． 【答案】 【分析】设长方体木块的长为，根据图形中高度之间的数量关系列出方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：设长方体木块的长为， 由题意可知木块的宽为， 根据图和图可得方程：，即， ，得， 解得． 题型十二 方案问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）大荔西瓜生产区域位于关中平原东部，北依镰山，南傍渭水，黄河临东，洛水贯中，是我国唯一具备西瓜生产七项指标的地区，现欲将一批西瓜运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满西瓜一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满西瓜一次可运走11吨，现有西瓜30吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满西瓜． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满西瓜一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． 【答案】(1)1辆A型车载满西瓜一次可运送3吨，1辆B型车载满西瓜一次可运送4吨； (2)该物流公司共有2种租车方案：①租用6辆A型车，3辆B型车；②租用2辆A型车，6辆B型车． 【分析】（1）设1辆A型车载满西瓜一次可运送x吨，1辆B型车载满西瓜一次可运送y吨，用2辆A型车和1辆B型车载满西瓜一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满西瓜一次可运走11吨，据此列出方程组并解方程组即可； （2）计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满西瓜．据此列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满西瓜一次可运送x吨，1辆B型车载满西瓜一次可运送y吨， 由题意：， 解得：， 答：1辆A型车载满西瓜一次可运送3吨，1辆B型车载满西瓜一次可运送4吨； （2）由题意得：， 整理得： 又由题意可知，a，b均为正整数， ∴或， ∴该物流公司共有2种租车方案：①租用6辆A型车，3辆B型车；②租用2辆A型车，6辆B型车． 【变式训练】（25-26七年级下·山东泰安·期中）2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车比4辆“晨光”型汽车的进价少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该体验中心计划用400万购进这两款汽车，两种汽车均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【答案】(1)“晨光”型汽车的进货单价是25万元，“清风”型汽车的进货单价是20万元. (2)方案1：购买“晨光”型汽车12辆，“清风”型汽车5辆；方案2：购买“晨光”型汽车8辆，“清风”型汽车10辆；方案3：购买“晨光”型汽车4辆，“清风”型汽车15辆 【分析】（1）设“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元，根据辆“晨光”型汽车与辆“清风”型汽车的进货总成本为万元；辆“清风”型汽车的进价比辆“晨光”型汽车少万元，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买“晨光”型汽车m辆，“清风”型汽车n辆，根据两款汽车总花费为400万，列出二元一次方程，求出二元一次方程的整数解即可． 【详解】（1）解：设“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元， 根据题意得：， 解得：， 答：“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元． （2）解：设购买“晨光”型汽车m辆，“清风”型汽车n辆，根据题意得： ， ∵m、n为正整数， ∴或或， 答：共有3种购买方案，方案1：购买“晨光”型汽车12辆，“清风”型汽车5辆；方案2：购买“晨光”型汽车8辆，“清风”型汽车10辆；方案3：购买“晨光”型汽车4辆，“清风”型汽车15辆 题型十三 行程问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（24-25七年级下·河南新乡·期中）如图，已知点、在数轴上表示的数分别是、64，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动，若点、同时出发．则出发后12秒相遇；若点先出发7秒，则点出发10秒后与点相遇． (1)求动点、运动的速度分别是多少？ (2)若点、同时出发，设运动时间为， ①动点在数轴上对应的数为______，动点在数轴上对应的数为_____； ②求为何值时，点与点恰好相距14？ 【答案】(1)动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度 (2)①，；②为10秒或14秒时，点与点恰好相距14 【分析】（1）先求出，设动点运动的速度是每秒个单位长度，动点运动的速度是每秒个单位长度，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）①由（1）得动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度，结合点、在数轴上表示的数分别是、64，列代数式即可； ②根据题意列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 设动点运动的速度是每秒个单位长度，动点运动的速度是每秒个单位长度， 则， 解得， 答：动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度． （2）解：①因为动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度，点、在数轴上表示的数分别是、64， 所以动点在数轴上对应的数为，动点在数轴上对应的数为； ②由题意得， 化简整理得， 所以或， 解得或14， 答：为10秒或14秒时，点与点恰好相距14． 【变式训练】（24-25七年级下·辽宁鞍山·月考）如图，某型号的动车由一节车头和若干节车厢组成，每节车厢的长度都相等．已知该型号的动车挂节车厢以的速度通过某观测点用时，挂节车厢以的速度通过该观测点用时，求车头及每节车厢的长度． 【答案】车头长米，每节车厢长米； 【分析】根据题意，设车头米，车厢每节米，然后列出方程组，解方程组即可得到答案； 【详解】解：设车头米，车厢每节米，根据题意， 可列方程组：， 解得：； 答：车头长米，每节车厢长米． 题型十四 工程问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（24-25七年级下·全国·课后作业）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的． 【答案】(1)甲队单独完成此项工程需要40天，乙队单独完成此项工程需要15天 (2)与公司派来的乙工程队再合作6天可完成此项工程 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程（组）． （1）设甲队单独完成此项工程需要天，乙队单独完成此项工程需要天，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解； （2）设与公司派来的乙工程队再合作天可完成此项工程的，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设甲队单独完成此项工程需要天，乙队单独完成此项工程需要天， 根据题意得 解得 答：甲队单独完成此项工程需要40天，乙队单独完成此项工程需要15天 （2）解：设与公司派来的乙工程队再合作天可完成此项工程的， 根据题意得， 解得， 答：与公司派来的乙工程队再合作6天可完成此项工程． 【变式训练】（24-25七年级下·湖北·月考）修建一条长960米的公路，由甲、乙两支工程队从两端同时施工，6天可以完成任务．已知甲工程队的施工速度是乙工程队的，求甲、乙两支工程队每天分别修建多少米？ 【答案】甲工程队每天修建60米，乙工程队每天修建100米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键，设甲工程队每天修建x米，乙工程队每天修建y米，根据“甲、乙两支工程队从两端同时施工，6天可以完成任务，且甲工程队的施工速度是乙工程队的”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：设甲工程队每天修建x米，乙工程队每天修建y米， 依题意，得：， 解得：， 答：甲工程队每天修建60米，乙工程队每天修建100米． 题型十五 数字问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（24-25七年级下·四川眉山·期中）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需要根据题意找出两个等量关系，正确用代数式表示两位数，再列出方程组，两位数等于10乘十位数字加个位数字．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，十位数字为， 由“十位数字与个位数字的和是8”可得第一个方程． ∵原两位数为，数字对调后组成的新两位数为， ∴由“这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数”可得第二个方程 ． ∴所列方程组为． 故选：D． 【变式训练】（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）如图，这是工作表的一部分，字母依次表示列，数依次表示行．该表中每一列中的数都比前一列相应的数大，每一行中的数都比前一行相应的数大n．若，x与a的数量关系为：________． 【答案】 【分析】根据题意可列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：由已知得：， 得：， ∴． 即x与a的数量关系为． 题型十六 年龄问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（24-25七年级下·上海·自主招生）甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁，根据“甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁， 依题意，得：， 解得：． 甲现在的年龄为25岁，乙现在的年龄为20岁， 甲比乙大5岁 故选：A． 【变式训练】（23-24七年级下·河南郑州·开学考试）父亲今年44岁，儿子今年16岁，当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是_____岁． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设x年前父亲的年龄是儿子年龄的8倍，父亲的年龄为y岁，则儿子的年龄为岁，由题意：父亲今年44岁，x年前父亲的年龄是儿子的8倍，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设x年前父亲的年龄是儿子年龄的8倍，父亲的年龄为y岁，则儿子的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴， 即当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是岁， 故答案为：． 题型十七 分配问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（24-25七年级下·四川内江·期中）若干本书分给小朋友，每人本，则余本，每人本，则最后一人只得本，则有____________本书． 【答案】 【分析】设小朋友的人数为，根据书本总数不变建立方程，结合和都是正整数，利用质数的性质确定和的值，进而求出书本总数. 【详解】解：设小朋友的人数为， 每人本，则余本，每人本，则最后一人只得本， 根据题意可得：， 整理得：， ，均为正整数，是质数，正因数只有和， 可得： 或 ， 当时， 解得，不符合题意，舍去； 当时， 解得，符合题意； 将，代入， 可得书的本数为：. 【变式训练】（24-25七年级下·云南楚雄·期末）某工厂生产大型汽油桶，汽油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片构成现工厂共有名工人，其中每名工人每天可制作圆形铁片个或长方形铁片个为了使每天生产的铁片数量刚好配套成油桶，应如何安排工人进行生产？设安排人制作圆形铁片，人制作长方形铁片，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据两个等量关系列方程组，一是总工人人数为42，二是配套时2个圆形铁片配1个长方形铁片，即圆形铁片总数量是长方形铁片总数量的2倍，据此整理得到方程组． 【详解】∵安排x人制作圆形铁片，y人制作长方形铁片，总共有42名工人， ∴， ∵每个油桶需要2个圆形铁片和1个长方形铁片，刚好配套时，圆形铁片总数量是长方形铁片总数量的2倍， 又∵x人每天生产圆形铁片共个，y人每天生产长方形铁片共个， ∴， 等式两边同时除以2，整理得， ∴可得方程组． 题型十八 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（24-25七年级下·山东烟台·期中）学校组织学生举行“数学创新技能大赛”，该学校拟购进A、B两种品牌的计算器作为本次大赛奖品．已知某商店购进3台A种品牌计算器所需费用与购进2台B种品牌计算器所需费用相同，购进1台A种品牌计算器与2台B种品牌计算器共需费用400元． (1)请你计算一下该商店A、B两种品牌计算器每台的进价分别是多少元？ (2)销售时，该商店将A种品牌计算器定价为180元/台，B种品牌计算器定价为250元/台，该商店拟用1000元购进这两种计算器（1000元刚好全部用完），为能在销售完这两种计算器后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？ 【答案】(1)A品牌计算器每台的进价为100元，B品牌计算器每台的进价为150元 (2)为能在销售完后获得最大利润，该商店应购进A种品牌计算器10台，B种品牌计算器0台 【分析】（1）设A品牌计算器每台的进价为x元，B品牌计算器每台的进价为y元，根据购进3台A种品牌计算器所需费用与购进2台B种品牌计算器所需费用相同，购进1台A种品牌计算器与2台B种品牌计算器共需费用400元建立方程组求解即可； （2）设购买A品牌计算器m台，购买B品牌计算器n台，根据购买费用为1000元列出方程，求出对应方程的非负整数解，再求出每组解对应的利润即可得到答案． 【详解】（1）解：设A品牌计算器每台的进价为x元，B品牌计算器每台的进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A品牌计算器每台的进价为100元，B品牌计算器每台的进价为150元； （2）解：设购买A品牌计算器m台，购买B品牌计算器n台， 由题意得，， ∴， ∴， ∵m、n都是非负整数， ∴是不大于10的整数， ∴n要是偶数， 当时，，此时利润为元， 当时，，此时利润为元， 当时，，此时利润为元， 当时，，此时利润为元， ∵， ∴当，时，利润最大， 答：为能在销售完后获得最大利润，该商店应购进A种品牌计算器10台，B种品牌计算器0台． 【变式训练】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）某专卖店销售“冰墩墩”和“雪容融”玩偶．学校为奖励同学，欲从该专卖店购买个玩偶作为奖品，如果购买个“冰墩墩”和个“雪容融”，共需花费元；如果购买个“冰墩墩”和个“雪容融”，共需花费元． (1)求每个“冰墩墩”和“雪容融”玩偶的售价各为多少元？ (2)学校在购买好之后，该专卖店还剩下个“冰墩墩”和个“雪容融”，专卖店将这些玩偶中的一部分按套装销售(个“冰墩墩”和个“雪容融”为个套装，每套价格为元)，其余按原价销售，当这个玩偶全部售出后，共计收入元．问套装销售了多少套？ 【答案】(1)每个“冰墩墩”售价元，每个“雪容融”售价元； (2)套装销售了套． 【分析】（1）设每个“冰墩墩”玩偶售价元，每个“雪容融”玩偶售价元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设套装销售了套，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设每个“冰墩墩”玩偶售价元，每个“雪容融”玩偶售价元． 解得 答：每个“冰墩墩”售价元，每个“雪容融”售价元； （2）设套装销售了套，则 解得 答：套装销售了套． 题型十九 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（24-25七年级下·海南儋州·期中）在某工程建设中，有甲、乙两种卡车参加运土，3辆甲种卡车与2辆乙种卡车一次共可运土48立方米，2辆甲种卡车与3辆乙种卡车一次共可运土52立方米．求甲种卡车和乙种卡车一次可运土多少立方米？ 【答案】甲种卡车一次可运土8立方米，乙种卡车一次可运土12立方米 【分析】设甲种卡车一次可运土x立方米，乙种卡车一次可运土y立方米，再根据题意列出二元一次方程组，解方程即可． 【详解】解：设甲种卡车一次可运土x立方米，乙种卡车一次可运土y立方米， 由题意得， 解得：， 答：甲种卡车一次可运土8立方米，乙种卡车一次可运土12立方米． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·周测）某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为_________万元． 【答案】34 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组来解决现实生活中的应用问题；解题的关键是把握题意，正确列出方程，准确求解计算． 设甲柜台去年十二月份营业额为万元，乙柜台为万元，根据总营业额万元和一月份变化后总营业额万元，列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲柜台去年十二月份营业额为万元，乙柜台为万元， 由题意，得方程组 解得 故甲柜台去年十二月份的营业额为万元． 故答案为：． 题型二十 几何问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（25-26七年级下·四川绵阳·月考）如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是_________． 【答案】 【分析】设小长方形的长为a，宽为b，根据图形列出方程组，求出a，b,再用面积公式计算即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可知， 解得， ∴阴影部分面积为． 【变式训练】（25-26七年级下·山东聊城·月考）在长为、宽为的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，则每个小长方形花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图形可看出：小长方形的个长一个宽，小长方形的个宽一个长，设出长和宽，列出方程组即可得答案． 【详解】设小长方形的长为，宽为， 由题意得， 解得， 小长方形的长为，宽为， 小长方形的面积为． 题型二十一 图表信息题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（24-25七年级下·山东德州·月考）2008年5月12日14时28分，我国四川省汶川地区发生里氏8.0级强烈地震，给当地人民造成巨大经济损失．齐村中学积极组织捐款支援灾区，八（1）班55名同学共捐款274元，捐款情况如下表，表中捐款2元和5元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你帮忙确定表中数据，并说明理由． 捐款（元） 人数 【答案】捐款元的有人，捐款元的有人 【分析】设八（1）班捐元的有人，捐元的有人．根据八（1）班名同学，共捐款元，列出方程组，解方程即可求解． 【详解】解：设八（1）班捐元的有人，捐元的有人． 根据题意，得 ， 解得，． 答：捐款元的有人，捐款元的有人． 【变式训练】（25-26七年级下·四川绵阳·期末）某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程． 【答案】捐款10元的有15人，捐款15元的有12人；过程见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设捐款10元的为人，捐款15元的为人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设捐款10元的为人，捐款15元的为人， 根据题意得：， 解得：， 答：捐款10元的有15人，捐款15元的有12人． 题型二十二 古代问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（25-26七年级下·四川绵阳·月考）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则的值是（   ） A．0 B．8 C．10 D． 【答案】D 【分析】在正方形框内填入数字，由题中幻方规律列出关于的二元一次方程组，对每一个方程恒等变形得出关于的方程求解即可得到答案． 【详解】解：设正方形框内所填数字为，如图所示： 则由题意得， 由①得， 由②得， ， 解得， 将代入得． 【变式训练】（25-26七年级下·河南南阳·期中）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”，如图1，从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x、y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则图2表示的方程是_________，这两个方程组成的方程组的解为_________． 【答案】 【分析】先得到图二表示的方程，进而得到方程组求解即可． 【详解】解：∵从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x、y的系数与相应的常数项， ∴表示， ∴表示， ∴图2表示的方程是， 可得， 解得：． 题型二十三 其他问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（25-26七年级下·山东聊城·期中）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人／辆） 45 60 租金（元／辆） 1200 1800 参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ 【答案】参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车． 【分析】设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车，根据“计划租用的45座客车辆数师生总数”或“座客车辆数）师生总数”可列方程组求解； 【详解】解：设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车，根据题意，得 ， 解得， 答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车 【变式训练】（2023七年级下·浙江·竞赛）北京冬（残）奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到广大网友的喜爱．王老师想要购买这两种吉祥物作为本次冬奥会的纪念品，已知购买2件“冰墩墩”和1件“雪容融”共需元，购买3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需元．若已列出一个方程为，则另一个方程可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设两种吉祥物的单价，根据题意得到两个基础关系式，结合已知方程的由来，对两个基础关系式作差即可得到另一个方程． 【详解】解：设购买1件“冰墩墩”的价格为元，购买1件“雪容融”的价格为元， 根据题意可得， 已知给出的方程是得到的结果，对两个方程做减法运算， ，左边，右边为， ，即另一个方程为． 1．（25-26七年级下·福建厦门·期中）为了落实校园餐专项整治，某市给中学生的营养餐提出如下标准： ①营养餐的总质量为，成分包含：蛋白质、脂肪、碳水化合物、矿物质； ②蛋白质和脂肪的含量占； ③碳水化合物比蛋白质少，矿物质的含量是脂肪含量的2倍． 若设一份营养餐中含蛋白质，脂肪，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】00根据题干给出的等量关系列出方程即可得到答案． 【详解】解：设一份营养餐中含蛋白质，脂肪， ∵蛋白质和脂肪的含量占总质量的， ∴， ∵碳水化合物比蛋白质少，矿物质含量是脂肪含量的倍， ∴碳水化合物质量为，矿物质质量为， ∵总质量中，除去蛋白质和脂肪，剩余碳水化合物和矿物质的总质量为， ∴， 因此得到方程组． 2．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）下列各式，属于二元一次方程的个数有（   ） ①    ②    ③    ④    ⑤    ⑥    ⑦ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：二元一次方程需要满足三个条件：①是整式方程；②含有两个未知数；③所有未知数项的次数均为1，逐个判断如下： ①，项的次数为，不是二元一次方程； ②，整理得，是整式方程，含两个未知数，所有未知数项次数均为，是二元一次方程； ③，是分式，该式不是整式方程，不是二元一次方程； ④，整理得，是整式方程，含两个未知数，所有未知数项次数均为，是二元一次方程； ⑤，未知数项的次数为，不是二元一次方程； ⑥，不是等式，不属于方程，不是二元一次方程； ⑦，含有三个未知数，不是二元一次方程； 综上，符合条件的二元一次方程共个． 3．（25-26七年级下·浙江舟山·期中）已知和是方程的两个解，则的值（   ） A．30 B．0 C．5 D．6 【答案】D 【分析】把x、y的值代入，得出关于m、n的方程组，即可求解． 【详解】解：∵和是方程的两个解， ∴ ，得， ∴ 4．（25-26七年级下·北京·期中）已知关于的方程组的解满足，则的值为_____． 【答案】 【分析】先将两式相加求出，再整体代入得出答案． 【详解】解：， ，得． ∵， ∴， 解得． 5．（25-26七年级下·山东泰安·月考）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”．诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、丙三人的解题方案，判断正确的有_________个． 甲：设客房有x间，则； 乙：设客人有y人，则； 丙：设客房有x间，客人有y人，则． 【答案】 2 【分析】对于甲的方案，因为设客房有间，根据“每间住7人多7人”可得客人总数为，根据“每间住9人空一间”可得客人总数为，如果这两个表达式都表示客人总数，那么可列出等式，据此判断甲的方程是否正确． 对于乙的方案，因为设客人有人，根据“每间住7人多7人”可得客房数为，根据“每间住9人空一间”可得客房数为，如果乙的等式中客房数的表达式符合题意，那么判断乙的方程是否正确． 对于丙的方案，因为设客房间、客人人，根据“每间住7人多7人”可列，根据“每间住9人空一间”即住满的房间共间，客人总数为，变形可得，如果这两个方程符合等量关系，那么判断丙的方程组是否正确． 最后统计正确方案的个数． 【详解】解：甲：设客房有间，根据总人数相等列方程， 每间住人，总人数为，每间住人，空出间，总人数为，因此，甲正确. 乙：设客人有人，根据客房数量相等列方程， 每间住人，人无房住，客房数量为，每间住人，空出间，客房数量为，因此方程应为，乙所列方程错误，乙不正确. 丙：设客房有间，客人有人，根据题意可得， 由一房七客多七客，得，即， 由一房九客一房空，得，整理得， 因此方程组正确，丙正确. 综上，甲丙两人正确，正确的个数为. 6．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知关于、的方程组的解满足与的值相等，则的值是_____． 【答案】 【分析】将两个方程相减可得，再根据可得答案． 【详解】解：， ，得． ∵， ∴， 解得． 7．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知关于的二元一次方程组的解为，关于的二元一次方程组的解为_____． 【答案】 【分析】根据题意易得关于的二元一次方程组的解满足，进行求解即可. 【详解】解：由题意，关于的二元一次方程组的解满足， 解得. 8．（25-26七年级下·吉林长春·月考）解二元一次方程组：． 【答案】 【分析】采用加减消元法进行求解即可． 【详解】解：， 由，得， 解得， 再代入方程①，得， 解得， 故方程的解为． 9．（25-26七年级下·北京·期中）现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵．我们的目标是把矩阵变成下面这种样子：，这样就直接看出方程组的解为． (1)方程组对应的矩阵为_____． (2)关于的三元一次方程组的系数排成的矩阵为，则对应的方程组为_____，若为定值．求与满足的数量关系． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由题意即可写出方程组对应的矩阵； （2）由题意即可写出矩阵对应的方程组，由方程组即可得与满足的数量关系． 【详解】（1）解：由题意得，方程组对应的矩阵为：． （2）解：由题意得，矩阵对应的方程组为， 得，， ∴， ∵为定值， ∴，即． 10．（25-26七年级下·北京·期中）三月，我校班超联赛火热开赛！为丰富同学们的课余生活、满足运动需求，学校计划采购一批足球和篮球．负责采购的老师在团购群中看到了如下对话信息： (1)根据对话信息，求足球和篮球的单价各是多少元？ (2)若学校一次性采购总金额为700元．两种球都至少购买1个且采购资金正好用完，请给出所有购买方案． 【答案】(1)足球和篮球的单价分别为元 (2)有2种购买方案：①足球8个，篮球5个；②足球2个，篮球10个 【分析】（1）设足球和篮球的单价分别为元，根据对话信息建立二元一次方程组求解； （2）设购买足球个，篮球个，由题意得，，整理得，，再根据题意以及的约束条件求解． 【详解】（1）解：设足球和篮球的单价分别为元， 由题意得，， 解得 答：足球和篮球的单价分别为元； （2）解：设购买足球个，篮球个， 由题意得，， 整理得， ∵为正整数， ∴为整数，即为的倍数， ∵， ∴当时，； 当时， 当时，（舍去）， ∴当时，均不符合题意， ∴有2种购买方案：①足球8个，篮球5个；②足球2个，篮球10个． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $