2026年中考数学模拟猜题卷（上海专用）

**基本信息** 2026年中考数学模拟猜题卷，聚焦二轮专题复习，以自行车结构（14题）、北斗导航（16题）等真实情境及几何综合题（25题），考查数学眼光、思维与语言，适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/24|计算、函数、统计|基础概念辨析，如正比例函数判断（3题）| |填空题|12/48|因式分解、概率、几何应用|时代素材融入，如北斗授时精度（16题）| |解答题|7/78|函数应用、几何证明、综合探究|分层设计，如窗户旋转问题（22题）结合几何与实际，25题几何综合考查推理能力|

2026年中考数学模拟猜题卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、选择题:(本大题共6题，每题4分，共24分) 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上】 1．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．用代数式表示“的2倍与的差的平方”正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列函数：①；②；③；④；⑤．其中y是x的正比例函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．小明记录了自己10分钟内每分钟的心跳次数，并绘制成如图所示的条形统计图，下列结论错误的是（　　） A．中位数是80次 B．平均数是79次 C．众数是5次 D．10分钟内心跳总次数是790 5．关于非零向量、、，下列选项中错误的是（ ）． A．如果，那么 B．如果、都是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 6．如图，已知中，，，半径为1的经过点，且在边、上截得的弦长相等，点在边上，如果以为半径的与相交，那么的长可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题:(本大题共12题，每题4分，共48分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．分解因式：______． 8．不等式组的解集为________． 9．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为_____． 10．反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而增大，则的值可以是________．（写出一个符合条件的实数即可） 11．方程的解是________________． 12．将二次函数的图象向左平移3个单位，得到的抛物线的表达式为__________________． 13．一个不透明的箱子里放着分别标有数字1，2，3，4，5的五个球，它们除了数字不同外其余都相同，从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球上所标数字为偶数的概率为 __________________． 14．如图1是某品牌自行车，图2是其示意图．已知，，，，自行车的坐垫，平行地面，垂直地面，自行车轮子的半径等于，则坐垫到地面的距离为 _________．（结果精确到，已知，，） 15．某校为开展“阳光体育”活动，从全校名学生中抽取了名学生调查其各自最喜爱的一项体育活动，制成了如图所示的扇形统计图，估计该学校选择羽毛球的学生有__________名． 16．北斗卫星导航系统可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠的定位、导航、授时服务，其授时精度为10纳秒，1纳秒为1秒的十亿分之一，用科学记数法表示其授时精度为______秒． 17．如图，在菱形中，，，连接，E、M分别在边、上，交于点F，交于点N，若点B关于的对称点与点D关于的对称点重合于点O处，则的长为________． 18．如图，在中，，，E是边上一点，将沿直线翻折，点B的对应点为，如果，那么的值为 _______． 三、解答题:(本大题共7题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19.(本题满分10分) 计算． 20.(本题满分10分) 解方程：． 21.(本题满分10分，第(1)、(2)小题满分各5分) 上海中学要添置某种教学仪器，方案一：到商店购买，每件需要12元；方案二：学校自己制作，每件需要8元，但另外需要制作工具的租用费240元．设需要仪器件，方案一的费用为元，方案二的费用为元． (1)分别求出关于的函数关系式． (2)若学校需要仪器70件，采用哪种方案更划算？ 22.(本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分) 如图1，一扇推拉式窗户，为固定的窗框底边，为该窗户开启的下沿一边，可绕点A旋转一定角度，为支撑杆，其中一端固定在窗户下沿边上的点M处，另一端点N在窗框底边上滑动（窗户关闭时，，叠合在边上），支撑杆的长度固定不变．窗户打开一定角度后，即与构成一个旋转角，其侧视图如图2所示，窗户旋转角的大小控制在一定范围内（），其中． (1)如图3，窗户旋转角时，测得，求此时和的长（结果保留根号）； (2)在（1）的基础上，继续打开窗户，旋转角从继续增大，旋转到点M，N的对应点分别为点，，时旋转停止，如图4所示，求端点N在此过程中滑动的长度（结果精确到）． （参考数据：，，，，） 23.(本题满分12分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分7分) 已知是半圆的直径，弦、交于点，与交于点，满足． (1)求证：； (2)如图2，是的中点，与交于点，求证：四边形是菱形． 24.(本题满分12分，第(1)小题满分2分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分) 已知在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于点和点，与轴交于点 ，点是该抛物线在第一象限内一点，联结与线段相交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴与线段交于点，如果点与点重合，求点的坐标； (3)过点作轴，垂足为点与线段交于点，如果，求线段的长度． 25.(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)题满分5分，第(3)小题满分5分) 如图，已知在中，点是边上的一点． (1)当时． ①如图1，是边上的高，求证：； ②如图2，，点在边上，且，顺次连接．如果，求的值． (2)如图3，如果点是边的中点，，点在线段延长线上，且，连接，取中点，分别延长交于点，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年中考数学模拟猜题卷 参考答案 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分） 1 3 4 5 6 D A B c D B 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分） 7.a2b2(2a-3 8.3≤x<4 9.k≥-4 10. -4·(答案不唯一，符合条件的实数即可) 11.x=4 12.y=2(x+3)2+1 13. 14. 5V6+39√2+50 10 15.960 16.1×108 17.4 三、解答题（本大题共7题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(本题满分10分) 【详餐1解：-5-斗 2+V27+(-1)228 =1-2+√5-V5+3√5-1…(6分) =-2+3√5.…(10分) 20.(本题满分10分) 【详解】解：等式两边同乘以(x-9得， 4x-x2-9=2(x-3-2(x+3,…(2分) x2-4x-21=0,…(4分) (x-7)(x+3=0,…(6分) x1=7,x2=-3,…(8分) 经检验：x2=-3是原方程的增根，舍去： 所以原方程的解为x=7.…(10分) 21.(本题满分10分，第(1)、(2)小题满分各5分) 新情境 1/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)把x=70分别代入y1=12x,y2=8x+240中，算出，y2,然后比较大小，即可作答 【详解】(1)解：：方案一：到商店购买，每件需要12元， y=12x; :方案二：学校自己制作，每件需要8元，但另外需要制作工具的租用费240元. y2=8x+240;…(5分) (2)解：依题意，把x=70分别代入y1=12x,y2=8x+240中， 得y1=12×70=840,y2=8×70+240=800. .840>800, y1>y2, :若学校需要仪器70件时，采用方案二更划算.…(10分) 22.(本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分) 新情境 【详解】(1)解：由题意可得：窗户旋转角∠MAN=90°时，测得∠MNA=45°， ∴.∠AMN=∠MNA=45°， :MW=20, AM=AW=MW.sin45°=10N2(cm);…(5分) (2)解：如图3中，作MH'⊥BA交BA的延长线于点H', M' NB 图3 在RtAM N'H'中，∠MNH'=37°，MN'=20cm, .MH'=MN'.sin37°=20×0.6=12(cm, HN'=MH' 12 tan∠IN'Itan37=l6(cm), 在Rt△AMH'中，AM'=AM=10V2, AH'=VAM2-MH2=2v14(cm). 2/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AN'=HN'-AH'=16-24cm 端点N在此过程中滑动的长度为：10V2-（16-214≈5.6(cm).…(10分) 23.(本题满分12分，第1)小题满分5分，第2)小题满分7分) 【详解】(1)证明：DE-CE-1 BEAE2'∠CED=∠AEB, ∴△CEDm△AEB, DE CD 1 BE AB 2'∠D=∠B, :AB是半圆O的直径， BO1 AB2' CD BO AB AB :CD=BO, :∠D=∠B,∠CFD=∠OFB, △CFD≌△OFB(AAS), :DF =BF, :0C经过圆心， .OC⊥BD;…(5分) (2)证明：：M是OB的中点， :OM-1 0B2’ 0A=0B, OA2,即40、2 OM1 AM-3' CE 1 AE2 AE2 AC3’ AE AO AC AM' :∠EAO=∠CAM, ∴.△EA0∽△CAM, ∴.∠AEO=∠ACM, .0E∥CM, 5/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CF FG “OFEF 由(1)知，△CFD≌△0FB, :CF=OF, :FG=EF, :四边形CEOG是平行四边形， :OC⊥BD,即OC⊥EG, .四边形CE0G是菱形.…(12分) 24.(本题满分12分，第1)小题满分2分，第2)小题满分5分，第(3)小题满分5分) 【详解】(1)解：将点A(-1,0)和点C0,2)代入y=一2 x2+bx+c, 1 2 -b+c=0 c=2 3 b= 2, c=2 ∴.y= 2x+2;…(2分) (2)解：y= 3 2+写x+2, 1 2 对称轴为直线x= 2’ 令=0，则- 2+2=0, 2 解得x=-1或x=4, .B(4,0), 设直线BC的解析式为y=kx+m, 4k+m=0 (m=2 1 k=- 2, m=2 1 .y= 2+2, 3 5 :E 设直线AE的解析式为y=x+n, 4/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -k'+n=0 5+n= 5 4 1 K22 1 n-2 1 1 y=2x 2 f11 联立 =2+ 12 3 y=-2+2x+2 x=3或x=-1(舍)， P(3,2):…(7分) (3)解： y↑ 4 E 2 3G B -2H 3 股P6+1+2,则H+2列 Pm=-+, 设直线AP的解析式为y=kx+b, -k+b=0 212, 3 4-t k= 2 4-t b= 2 5/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4- 4-1 .y= 2 x+ 2 1 y=-2x+2 联立 y= 2 ..x= 5-7’ F58- 20-5t 直线4P与y轴交点E0台. CE=2-4-11 22 :PF=PH, .∠PFH=∠PHF, :PG11y轴， .∠ECF=∠PHF, :∠CFE=∠PFH, ∠CEF=LCFE, :CE EF, =白广0会。 (4-)2+4=(5-)2, pm=+2-发 8.·(12分) 25.(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)题满分5分，第3)小题满分5分) 【详解】(1)①证明：：BD是边AC上的高， ∴∠ADC=∠BDC=90°， :∠ABC=90°， ∴∠A+∠C=∠CBD+∠C=90°， ∴∠A=∠CBD, .△ADCn△BDC, AD BD BD CD 6/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BD2=ADCD;…(4分) ②如图，分别过点C,D作CG⊥DF,DH⊥CF, D G F H AD=AE,CF =CD,EF=DF, :∠AED=∠ADE,∠CDF=∠CFD,∠FED=∠FDE,△AED,△EFD,△CDF都是等腰三角形， :DG=FG,∠DCG=∠FCG=∠ACB, 2 设∠AED=∠ADE=a,∠CDF=∠CFD=B,LFED=∠FDE=Y, 则∠ACB=180°-2B,∠FEB=180°-a-Y,a+B+y=180°， .∠FEB=B=∠CFD, 在△BEF与△HFD中， ∠B=∠DHF=90° ∠BEF=∠DFH, EF=DF ∴△BEF≌△HFD(AAS), .BE FH,BF=DH, :a∠EFB=2' 1 BE 1 8F=2' 设BE=x,BF=2x,则BE=FH=x,BF=DH=2x, EF=DF=FH2+DH2=5x, :△CDF是等腰三角形，CG⊥DF, .FG=DG= )DF=5 2 :∠BEF=∠CFG=B,∠B=∠CGF=90°， ∴.△BEF∽△GFC, 7/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE EF 5x FGCF,即5 CF, 2+ CF-7* 3 .CH=CF-FH=。x, 2 3 coC=CH-23:…(9分) DH 2x 4 (2)解：如图，过点A作AM⊥OB, M D B H G 设LABD=∠ACB=a,∠ADB=B, :∠BAC=∠BAC,∠ABD=∠ACB, ∴△ABDn△ACB, ∠ADB=∠ABC=B,AB=AD AC AB .∠CBD=∠ABC-∠ABD=B-a, :BC=BG, .∠G=∠BCG, :∠G+LBCG=LCBD, :∠G=∠BCG=∠CBD=B= 2 2, ∠ACH=∠ACB+∠BCG=Q+B-a=B+a 2 2 :BC=BG,点H是CG的中点， .BH⊥CG,即∠BHC=90°， ZCBH=90°-∠BCG=90°-P)，∠0=90°-∠ACH=90°-f+Q 2 ∠AB0=180°-∠ABC-∠CBH=180-B-90°-B,a）=90°-B+a 2 2 8/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠0=∠AB0, :.OA=AB, AB AD AC AB' OA AD AC OA :点D是AC的中点， AD-AC. 1 504-21C AC OA 0s-4C, 0A=5AC,即AC=N50A, 2 :∠OMA=∠OHC=90°，∠O=∠O, .△OAM∽△OCH, 0A-0M OC OH OM OAOA OA 0hoco1+4coA+2041+2v5-1, 1 S04w=2-1=3-22, S.COH 设5aw-a,则8om32N5B+2同ja, :OA=AB,AM⊥OB, .0B=20M, .S.ouB=2a, o1=94c,40-4c, 2 0A=2AD,即AD=50A, :0D=0A+AD=2+50A, 2 .S.08 2+5s.ou-2+2]a. 2 S.BOD (2+2)a_2+2 S.COH (3+22)a3+22 2+列3-2)=2-5.（14分 9/9 2026年中考数学模拟猜题卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、选择题:(本大题共6题，每题4分，共24分) 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上】 1．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．用代数式表示“的2倍与的差的平方”正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：“的2倍与的差的平方”可表示为：． 故选：A． 3．下列函数：①；②；③；④；⑤．其中y是x的正比例函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：是正比例函数； 当时，是正比例函数； 是一次函数； 不是正比例函数， 不是正比例函数． 故是正比例函数的有①③，共2个， 故选：B． 4．小明记录了自己10分钟内每分钟的心跳次数，并绘制成如图所示的条形统计图，下列结论错误的是（　　） A．中位数是80次 B．平均数是79次 C．众数是5次 D．10分钟内心跳总次数是790 【答案】C 【详解】解：A．将10个数据按从小到大排列后，第5、第6个数据都是80，所以中位数是80次，故本选项结论正确，不符合题意； B．平均数为（次），故本选项结论正确，不符合题意； C．在这10个数据中，80出现的次数最多，共5次，所以众数是80次，故本选项结论错误，符合题意； D．因为（次），所以10分钟内心跳总次数为790（次），故本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 5．关于非零向量、、，下列选项中错误的是（ ）． A．如果，那么 B．如果、都是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【详解】解：选项A：如果，那么，不符合题意； 选项B：如果、都是单位向量，那么，不符合题意； 选项C：如果，那么，不符合题意； 选项D：如果，那么，当且仅当与同向时等号成立，故陈述错误，符合题意． 故选：D． 6．如图，已知中，，，半径为1的经过点，且在边、上截得的弦长相等，点在边上，如果以为半径的与相交，那么的长可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：过点分别作，，垂足为点，延长交于点F， ∵在边、上截得的弦长相等， ∴， ∴平分 ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 当与外切时，连接，设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得； 当与内切时，连接， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得； ∴与相交时，， ∴B符合题意． 二、填空题:(本大题共12题，每题4分，共48分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．分解因式：______． 【答案】 【详解】解：原式． 故答案为：． 8．不等式组的解集为________． 【答案】 【详解】解：， 解①得， 解②得， 不等式组的解集为， 故答案为：． 9．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为_____． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 10．反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而增大，则的值可以是________．（写出一个符合条件的实数即可） 【答案】．（答案不唯一，符合条件的实数即可） 【详解】∵反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而增大， ∴，则． 故的值可以是．（答案不唯一，符合条件的实数即可） 故答案为：．（答案不唯一，符合条件的实数即可） 11．方程的解是________________． 【答案】 【详解】∵， ∴ 整理得， 或 解得，． 经检验不符合题意，舍去；是原方程的解． ∴方程的解是． 故答案为：． 12．将二次函数的图象向左平移3个单位，得到的抛物线的表达式为__________________． 【答案】 【详解】二次函数的图象向左平移3个单位， 得到的抛物线的表达式为． 故答案为：． 13．一个不透明的箱子里放着分别标有数字1，2，3，4，5的五个球，它们除了数字不同外其余都相同，从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球上所标数字为偶数的概率为 __________________． 【答案】 【详解】解：∵一个不透明的箱子里放着分别标有数字1，2，3，4，5的五个球， ∴从这个箱子里随机摸出一个球，一共有5种可能性，其中摸出的球上所标数字为偶数的有2种可能性， ∴摸出的球上所标数字为偶数的概率为． 故答案为：． 14．如图1是某品牌自行车，图2是其示意图．已知，，，，自行车的坐垫，平行地面，垂直地面，自行车轮子的半径等于，则坐垫到地面的距离为 _________．（结果精确到，已知，，） 【答案】 【详解】解：如图，过点A作交的延长线于点J，过点D作于点H，过点C作于点N，过点K作于P． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的竖直距离为， ∴， ∴坐垫到地面的距离． 故答案为：． 15．某校为开展“阳光体育”活动，从全校名学生中抽取了名学生调查其各自最喜爱的一项体育活动，制成了如图所示的扇形统计图，估计该学校选择羽毛球的学生有__________名． 【答案】 【详解】解：羽毛球所占的百分比为， 所以该学校选择羽毛球的学生有（名）， 故答案为：． 16．北斗卫星导航系统可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠的定位、导航、授时服务，其授时精度为10纳秒，1纳秒为1秒的十亿分之一，用科学记数法表示其授时精度为______秒． 【答案】 【详解】解：绝对值小于1的正数可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定. ∵1纳秒=0.000000001纳秒， ∴10纳秒=0.00000001秒=1×10−8秒． 故答案为1×10−8. 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 17．如图，在菱形中，，，连接，E、M分别在边、上，交于点F，交于点N，若点B关于的对称点与点D关于的对称点重合于点O处，则的长为________． 【答案】4 【详解】解：连接、、、，记与的交点为P，与的交点为H，连接交于，如图， 在菱形中，，则，， 则，，， ∵， ∴，则为等边三角形， ∵点，点关于的对称，， ∴为等边三角形，同理均为等边三角形，， ∴， 设，， 则，同理， 即，则， ∴． 故答案为：4． 18．如图，在中，，，E是边上一点，将沿直线翻折，点B的对应点为，如果，那么的值为 _______． 【答案】或 【详解】解：在中，，， ∴， 设， ∴， 如图所示，将沿直线翻折，点的对应点为，，设交于点， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， 同理，， ∴， ∴， 解得，， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴，即， 整理得，， ∵， ∴； 如图所示，将沿直线翻折，点的对应点为，，延长交于点， ∴， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为：或 ． 三、解答题:(本大题共7题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19.(本题满分10分) 计算． 【详解】解： ……（6分） ．……（10分） 20.(本题满分10分) 解方程：． 【详解】解：等式两边同乘以得， ，……（2分） ，……（4分） ，……（6分） ，，……（8分） 经检验：是原方程的增根，舍去； 所以原方程的解为．……（10分） 21.(本题满分10分，第(1)、(2)小题满分各5分) 上海中学要添置某种教学仪器，方案一：到商店购买，每件需要12元；方案二：学校自己制作，每件需要8元，但另外需要制作工具的租用费240元．设需要仪器件，方案一的费用为元，方案二的费用为元． (1)分别求出关于的函数关系式． (2)若学校需要仪器70件，采用哪种方案更划算？ （2）把分别代入中，算出，然后比较大小，即可作答． 【详解】（1）解：∵方案一：到商店购买，每件需要12元， ∴； ∵方案二：学校自己制作，每件需要8元，但另外需要制作工具的租用费240元． ∴；……（5分） （2）解：依题意，把分别代入中， 得，． ∵， ， 若学校需要仪器70件时，采用方案二更划算．……（10分） 22.(本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分) 如图1，一扇推拉式窗户，为固定的窗框底边，为该窗户开启的下沿一边，可绕点A旋转一定角度，为支撑杆，其中一端固定在窗户下沿边上的点M处，另一端点N在窗框底边上滑动（窗户关闭时，，叠合在边上），支撑杆的长度固定不变．窗户打开一定角度后，即与构成一个旋转角，其侧视图如图2所示，窗户旋转角的大小控制在一定范围内（），其中． (1)如图3，窗户旋转角时，测得，求此时和的长（结果保留根号）； (2)在（1）的基础上，继续打开窗户，旋转角从继续增大，旋转到点M，N的对应点分别为点，，时旋转停止，如图4所示，求端点N在此过程中滑动的长度（结果精确到）． （参考数据：，，，，） 【详解】（1）解：由题意可得：窗户旋转角时，测得， ∴， ∵， ∴；……（5分） （2）解：如图3中，作交的延长线于点， 在中，， ， ∴， ， 在中，， ． ∴ ∴端点N在此过程中滑动的长度为：．……（10分） 23.(本题满分12分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分7分) 已知是半圆的直径，弦、交于点，与交于点，满足． (1)求证：； (2)如图2，是的中点，与交于点，求证：四边形是菱形． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴，， ∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵经过圆心， ∴；……（5分） （2）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∵，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是菱形．……（12分） 24.(本题满分12分，第(1)小题满分2分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分) 已知在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于点和点，与轴交于点 ，点是该抛物线在第一象限内一点，联结与线段相交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴与线段交于点，如果点与点重合，求点的坐标； (3)过点作轴，垂足为点与线段交于点，如果，求线段的长度． 【详解】（1）解：将点和点代入， ， ， ；……（2分） （2）解：， 对称轴为直线， 令，则， 解得或， ， 设直线的解析式为， ， ， ， ，， 设直线的解析式为， ， ， ， 联立， 或（舍， ；……（7分） （3）解： 设，则， ， 设直线的解析式为， ， ， ， 联立， ， ，， 直线与轴交点， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ．……（12分） 25.(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)题满分5分，第(3)小题满分5分) 如图，已知在中，点是边上的一点． (1)当时． ①如图1，是边上的高，求证：； ②如图2，，点在边上，且，顺次连接．如果，求的值． (2)如图3，如果点是边的中点，，点在线段延长线上，且，连接，取中点，分别延长交于点，求的值． 【详解】（1）①证明：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；……（4分） ②如图，分别过点作， ∵，，， ∴，都是等腰三角形， ∴， 设， 则，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴；……（9分） （2）解：如图，过点作， 设，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴．……（14分） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $