11.1 二次根式（题型专练，3基础2提升题型+培优）数学新教材苏科版八年级下册

11.1 二次根式 题型一 二次根式的识别 1．下列各式中为二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 4．下列式子中：，，，，，二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 求二次根式的值 1．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．当时，二次根式的值为_________． 4．当时，则二次根式_____． 题型三 二次根式有意义的条件 1．若，则的结果是（   ） A． B． C． D． 2．使代数式有意义的取值范围是___________． 3．若式子有意义，则的取值范围是______． 4．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 题型一 求二次根式参数的值 1．若是整数，则满足条件的自然数n的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 3．已知是整数，则正整数n的最小值为______． 4．已知是整数，则正整数n的最大值为____． 题型二 利用二次根式的性质化简 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．计算：=______． 4．已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：=________ ． 1．实数a、b满足，则a2+b2的最大值为 　　 ． 2．若二次根式和都有意义，求x的取值范围． 3．已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简|a+b|+|a|． 4．观察下列各式：①2，②3；③4，… （1）请观察规律，并写出第④个等式：　 　 ； （2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律： 　 ； （3）请证明（2）中的结论． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 11.1二次根式 题型一 基础达标题 题型二 题型三 二次根式 题型一 能力提升题 题型二 拓展培优题 A 基础达标题 ● 题型一二次根式的识别 1.C 2.D 3.C 4.C 题型二求二次根式的值 1.C 2.B 3.3 4.1 题型三二次根式有意义的条件 1.A 2.X≥2026 1/2 上好每一堂课 二次根式的识别 求二次根式的值 二次根式有意义的条件 求二次根式参数的值 利用二次根式的性质化简 命学科网·上好课 3.x2-2且x≠1 4.x>-5 B 题型一求二次根式参数的值 1.D 2.B 3.2 4.18 题型二利用二次根式的性质化简 1.C 2.D 3.2 4.b-2/-2+b 1.52. 2.x≥月 3.-3a 4.(1)V4+后=5后；(2)V+雨= www zxxk.com 上好每一堂课 能力提升题 拓展培优题 (+1) 2/2 11.1 二次根式 题型一 二次根式的识别 1．下列各式中为二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据二次根式的定义：二次根式需满足两个条件，一是根指数为2，二是被开方数为非负数，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：选项A：，被开方数为负数，不是二次根式，故本选项不符合题意； 选项B：该式根指数为，是三次根式，不是二次根式，故本选项不符合题意； 选项C：，根指数为，满足二次根式定义，是二次根式，故本选项符合题意； 选项D：，被开方数为负数，不是二次根式，故本选项不符合题意． 2．下列式子中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式． ∵选项A中的根指数为3，是三次根式， ∴A不符合要求． ∵选项B中的被开方数，式子无意义， ∴B不符合要求． ∵选项C中的被开方数可能小于0，此时式子无意义， ∴不是一定为二次根式，C不符合要求． ∵对任意实数，都有， ∴，根指数为2，满足二次根式的定义，一定是二次根式， ∴D符合要求． 3．下列是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式． ∵ 选项A中，被开方数，∴ 不是二次根式，排除A； ∵ 选项B中，的符号不确定，当时，被开方数为负数，∴ 不是二次根式，排除B； ∵ 对任意实数，都有，∴ ，被开方数恒为非负数，∴ 是二次根式； ∵ 选项D中，当时，，被开方数为负数，∴ 不是二次根式，排除D． 4．下列式子中：，，，，，二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，需要同时满足根指数为2、被开方数非负两个条件，逐个判断统计个数即可． 【详解】解：∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； ∵的被开方数，不满足条件，∴不是二次根式； ∵的根指数为3，不满足条件，∴不是二次根式； ∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； ∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； 综上，符合条件的二次根式共3个． 题型二 求二次根式的值 1．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【详解】当时， ， 故选：C． 2．当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．将代入计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：B． 3．当时，二次根式的值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的定义． 将把代入，再化简即可． 【详解】解：把代入得： 原式； 故答案为：． 4．当时，则二次根式_____． 【答案】1 【分析】将代入二次根式，计算后即可得到结果． 【详解】解：依题意，把代入，得． 题型三 二次根式有意义的条件 1．若，则的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件可确定的值，然后将的值代入已知式子中，即可确定的值，代入到所求代数式中，根据有理数的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得，，， ，， ， ，即， ， ． 2．使代数式有意义的取值范围是___________． 【答案】 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数． 【详解】解：要使二次根式有意义，需满足被开方数 ， 解得 ． 3．若式子有意义，则的取值范围是______． 【答案】且 【分析】本题考查二次根式与分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不等于0，即可求解． 【详解】解：要使有意义，需满足且 ∴且， 因此的取值范围是． 4．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得． 题型一 求二次根式参数的值 1．若是整数，则满足条件的自然数n的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题根据二次根式有意义的条件，结合为整数的要求，得出是非负完全平方数，列举所有符合条件的完全平方数，即可得到满足要求的自然数的个数． 【详解】∵是二次根式， ∴，可得， 又∵是自然数， ∴， ∵是整数， ∴是非负完全平方数，满足条件的可取， 对应得到的值为，均为自然数， ∴满足条件的自然数共有个． 2．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 3．已知是整数，则正整数n的最小值为______． 【答案】2 【分析】先根据二次根式的性质化简，将能开方的因数开出来后，根据为整数，可得化简后剩余的被开方数需为完全平方数，据此求解正整数的最小值． 【详解】解：是整数， 是整数，即是完全平方数， 正整数的最小值为． 4．已知是整数，则正整数n的最大值为____． 【答案】18 【分析】根据二次根式有意义的条件可得被开方数非负，结合是正整数，可知为正的完全平方数，要得到正整数的最大值，只需要让取最小的正完全平方数即可求解． 【详解】解：∵是整数， ∴，是整数， 解得， ∴是完全平方数， 要使正整数的值最大，需使取最小的完全平方数，即， 解得． 题型二 利用二次根式的性质化简 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式化简，合并同类项，积的乘方运算，完全平方公式逐个计算判断即可． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意； 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据积的乘方，单项式的乘法，二次根式的化简法则计算即可． 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C错误； 选项D：，等式成立，D正确． 3．计算：=______． 【答案】2 【详解】解：， 故答案为：． 4．已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：=________ ． 【答案】/ 【分析】由数轴可知，，进而判断式子的正负，再根据绝对值和二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知，， ，， ． 1．实数a、b满足，则a2+b2的最大值为 　　 ． 【答案】52． 【解答】解：原式变形为|b+4|+|b﹣2|＝10， ∴|a﹣2|+|a﹣6|+|b+4|+|b﹣2|＝10， ∴a到2和6的距离之和是4，b到﹣4和2的距离之和是6， ∴2≤a≤6，﹣4≤b≤2， ∴|a|最大为6，|b|最大为4， ∴a2+b2＝62+（﹣4）2＝36+16＝52． 故答案为：52． 2．若二次根式和都有意义，求x的取值范围． 【答案】x 【解答】解：∵二次根式和都有意义， ∴，解得x． 3．已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简|a+b|+|a|． 【答案】﹣3a 【解答】解：由数轴可知a＜b＜0，且|a|＞|b|， ∴a+b＜0， ∵0， ∴a＞0、b0， 则原式＝|a|﹣（a+b）a﹣|b| ＝﹣a﹣a﹣ba+（b） ＝﹣3a﹣bb ＝﹣3a． 4．观察下列各式：①2，②3；③4，… （1）请观察规律，并写出第④个等式：　 　 ； （2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律： 　 ； （3）请证明（2）中的结论． 【答案】（1）5；（2）（n+1）． 【解答】解：（1）5； （2）（n+1）； （3） ＝（n+1）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $