专题35 概率-2025-2026学年中考数学第一轮复习

该初中数学讲义聚焦概率专题，覆盖中考核心考点，包括事件分类、概率计算、列举法、频率估计概率及统计综合应用，知识点从概念到方法再到综合应用系统架构，通过“考点梳理-方法归纳-真题精析-分层训练”流程帮助学生突破难点。 亮点在于情境化教学与数学思维培养，以生活实例引入发展抽象能力，通过列表与树状图对比训练提升推理意识，设三级练习配合解题思路指导，培养数据观念和应用意识，助力教师精准复习，高效提升学生应考能力。

专题35 概率 考点 本专题是九年级数学统计与概率板块的核心内容，也是中考必考知识点之一，主要考查事件的分类、简单概率的计算、列举法（列表法、树状图法）求概率、用频率估计概率，以及概率与统计的综合应用。 考情 中考命题特点鲜明：1. 背景贴近生活实际，常以抽奖、游戏、抽样调查、社团活动等为载体，强调数学与实际生活的联系；2. 核心考查概率的计算，尤其是列举法的应用，要求学生能清晰列出所有等可能结果；3. 注重综合应用，常与统计图表（条形图、扇形图）结合，先通过图表获取数据，再计算概率；4. 渗透数形结合、分类讨论思想，培养学生的逻辑推理和数据处理能力。题型涵盖选择题、填空题、解答题，分值占比约6~10分，难度以基础题和中档题为主，少量综合题结合统计图表考查。 一、事件的分类 1. 必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件，概率为； 2. 不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件，概率为； 3. 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，概率取值范围为； 4.推论：必然事件和不可能事件统称为确定事件；随机事件的概率越接近1，发生的可能性越大；越接近0，发生的可能性越小。 二、概率的定义与基本公式 1. 概率的定义：一般地，对于一个随机事件，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率，记作； 2. 基本公式：若一个随机事件所有等可能的结果数为，事件发生的结果数为，则； 3. 推论： 所有等可能结果的概率之和为1，即； 对立事件的概率之和为1，若事件的对立事件为，则。 三、求概率的常用方法 1. 直接列举法：适用于结果数较少的随机事件，直接列出所有等可能结果，再计算概率； 2. 列表法：适用于两步完成的随机事件，将第一步的结果作为行，第二步的结果作为列，列出所有等可能的结果组合，再统计目标事件的结果数； 3. 树状图法：适用于两步及以上完成的随机事件，通过树状图的分支清晰呈现所有等可能结果，避免重复或遗漏； 4. 几何概型：适用于试验结果落在几何图形内的随机事件，概率公式为； 5. 用频率估计概率：当试验次数足够大时，随机事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数可作为概率的估计值。 四、常见概率模型与二级结论 1. 无放回抽样模型：每次抽取后不放回，下次抽取的结果受前一次影响，结果数会减少； 2. 有放回抽样模型：每次抽取后放回，下次抽取的结果不受前一次影响，每次结果数相同； 3. 二次抽取模型： 从个物体中抽取2个，无放回时所有等可能结果数为，有放回时为； 若抽取的物体分为两类（如个A类，个B类），则抽到1个A类和1个B类的结果数为（无放回）或（有放回）； 4. 多人选择模型：人从个选项中随机选择，所有人选择相同选项的结果数为，所有等可能结果数为。 五、【核心解题思路】 明确事件类型→确定等可能结果→选择合适方法计算概率： 1. 遇到事件分类问题，先判断事件是必然、不可能还是随机事件，紧扣定义分析； 2. 计算简单概率时，先确定总结果数和目标事件结果数，注意“等可能”的前提（如球除颜色外无差别、卡片完全相同等）； 3. 遇到两步及以上事件，优先用列表法或树状图法，列表法适合两步事件，树状图法适合多步事件，避免遗漏或重复； 4. 概率与统计综合题，先通过统计图获取数据（如总人数、各部分人数），再结合概率公式计算，最后根据结果给出合理建议。 解题关键提醒：1. 区分“有放回”和“无放回”抽样，两者的总结果数不同；2. 几何概型需准确计算区域的长度、面积或体积；3. 用频率估计概率时，需满足“试验次数足够大”的条件。 考点1 事件的分类 例1．（2026·湖北黄冈·模拟预测）下列事件中，是随机事件的是（    ） A．掷一次骰子，向上一面的点数是7 B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 C．从一个只装有白球与黑球的袋中摸球，摸出红球 D．任意画一个三角形，其内角和是 考点2 简单概率的计算 例2．（湖南永州市2026年中考第一次模拟考试数学）五张形状、大小、材质完全相同的卡片上分别标有实数1，2，3，4，5，置于不透明的盒中，摇匀后，随机抽取1张，则抽到的卡片上标注为偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 考点3 列表法与树状图法求概率 例3（2026·山西长治·一模）每年4月的第四周为全民阅读活动周．某学校计划开展“书香三晋”校园读书活动，设置了经典诵读、读书分享、主题演讲、征文比赛四项活动，小张和小李各自从中随机选择一项参加，则他俩选择同一项活动的概率是_______． 考点4 用频率估计概率 例4．．（江苏省无锡市锡北片2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试题）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（    ） A．掷一枚正方体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面朝上的概率 C．从一个装有4个黑球和2个白球的不透明口袋中任意摸出一球（小球除颜色外完全相同），摸到白球的概率 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 考点5 概率与统计综合 例5．（2026·四川巴中·一模）某校为了解学生每周体育锻炼情况，随机抽取七、八年级部分学生，对其每周锻炼时间（单位：）进行统计，按锻炼时间分为：：；：；：；：四组，并绘制了如下不完整的统计图．请根据图中提供的信息，完成下列问题： (1)此次调查共抽取了______名学生，扇形统计图中“”组对应的圆心角的度数为______，并补全条形统计图； (2)若该校八年级共有600名学生，估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数； (3)乒乓球比赛中，“”组中七年级2班的甲、乙两名同学进入了决赛，争夺冠军，冠军奖励32颗乒乓球．甲乙两人水平相当，比赛规则为5局3胜制．比赛开始后，甲连胜2局，因特殊情况终止了比赛，也不再补赛．班主任决定用获胜概率的大小来给甲乙两人分配奖品，请用列表法或树状图法求甲获胜的概率，并求出甲、乙两人各分得乒乓球的数量． 一、单选题 1．（2025·湖南·中考真题）某校开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧，现从中随机抽取一类社团活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州·中考真题）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表：（  ） 抛掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（  ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏苏州·中考真题）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·江苏扬州·中考真题）下列说法不正确的是（   ） A．明天下雨是随机事件 B．调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式 C．描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图 D．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 5．（2025·江苏徐州·中考真题）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（    ） A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球 C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·辽宁·中考真题）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　） A． B． C． D． 8．（2025·甘肃兰州·中考真题）现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a，e，i的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同），若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·湖北武汉·中考真题）某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·山东济南·中考真题）某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（　　） A． B． C． D． 11．（2025·山东东营·中考真题）盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同．两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·河北·中考真题）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·湖北武汉·中考真题）掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字．下列事件是必然事件的是（    ） A．向上两面的数字和为5 B．向上两面的数字和大于1 C．向上两面的数字和大于12 D．向上两面的数字和为偶数 14．（2025·海南·中考真题）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（   ） A．出现点数为6的概率是 B．出现点数为0是随机事件 C．出现点数为偶数是必然事件 D．出现点数为奇数是不可能事件 15．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 16．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（    ） A． B． C． D． 17．（2025·青海西宁·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．概率很大的事件一定会发生 B．“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件 C．两组身高数据的方差分别是，，则乙组的身高更整齐 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖 二、填空题 18．（2025·贵州·中考真题）一个不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率是_______________． 19．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）桌上倒扣着背面图案相同的张扑克牌，其中张红桃，张黑桃．从中随机抽取张，则抽取的扑克牌的花色是红桃的概率是_____． 20．（2025·湖北·中考真题）窗，让人足不出户便能将室外天地尽收眼底．如图，“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”是我国传统的窗格构造方式，从这三种方式中随机选出一种制作窗格，选中“步步锦”的概率是______． 21．（2025·天津·中考真题）不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为____________． 22．（2025·广西·中考真题）从三个数字中任选两个，则选出的两个数字之和是偶数的概率为______． 23．（2025·黑龙江·中考真题）如图，随机闭合开关中的两个，能让两盏灯泡同时发光的概率为_______． 24．（2025·宁夏·中考真题）为提升学生艺术素养，学校在周三同时开展了多种文艺社团活动．现从参加器乐、舞蹈和声乐这三个文艺社团的学生中随机抽取两名，他们恰好参加同一社团的概率为_____． 25．（2025·黑龙江大庆·中考真题）2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学从“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的概率为________． 26．（2025·山东德州·中考真题）把英文单词“”中的字母依次写在完全相同的6张卡片上，每张卡片上只写其中的1个字母．然后将卡片洗匀，从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡的概率是_______． 27．（2025·山东滨州·中考真题）在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是______． 28．（2025·四川绵阳·中考真题）水是生命之源．水分子的化学式为，即1个水分子由2个氢原子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是__________． 29．（2025·四川雅安·中考真题）某中学九年级（1）班开展“禁毒知识竞赛”活动，为表扬同学们积极参与，班主任组织转盘抽奖活动．自由转动转盘，当它停止转动时指针落在三等奖区域的概率为，落在二等奖区域的概率为，落在一等奖区域的概率为，则一等奖区域所对的圆心角度数为______． 30．（2025·山东济南·中考真题）在一个不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为___________． 31．（2025·四川攀枝花·中考真题）在分别写有数字1到10的10张卡片中，随机地抽出1张卡片，抽到卡片上的数字是质数的概率是__________． 32．（2025·四川·中考真题）如图，将一个可以自由转动的转盘分成3个大小相同的扇形，并分别标为红、黄、绿三种颜色，指针位置固定．转动转盘，停止后，其中的某个扇形恰好停在指针所指的位置（指针指向交线时，当作指向右边的扇形）．转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为______． 33．（2025·北京·中考真题）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商_______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为_______万元． 三、解答题 34．（2025·江苏常州·中考真题）在5张相同的小纸条上，分别写有：①；②0；③1；④正数；⑤负数．将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀． (1)从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是 ； (2)先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的数与文字描述相符合的概率． 35．（2025·江苏苏州·中考真题）为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有共3部电影，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看． (1)甲同学选择A电影的概率为________； (2)求甲、乙2位同学选择不同电影的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 36．（2025·陕西·中考真题）某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． (1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______； (2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 37．（2025·吉林·中考真题）在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动需分A，B，C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成．请用画树状图或列表的方法，求参与者小顺和小利被分配到同一组的概率． 38．（2025·湖南长沙·中考真题）2025年5月18日，湖南省第三届大中小学阅读教育论坛在长沙举行．论坛聚焦美育与阅读融合．为探索美育与阅读融合的新路径，某校举行了以“美育与阅读融合”为主题的知识竞赛，竞赛成绩以等级式呈现，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行统计，得到如下两幅待完善的统计图表．（A代表优秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格．） 等级 频数 频率 A m B C n D 6 根据图表中所给信息，解答下列问题： (1)本次调查随机抽取了______名学生的成绩；表中______，______； (2)在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为______度； (3)若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取2名学生参加以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动，请用列表法或树状图法求选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率． 39．（2025·吉林长春·中考真题）长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率． 40．（2025·山东青岛·中考真题）京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等．现有4张不透明卡片，正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案外其余都相同．将这4张卡片背面朝上洗匀，先随机抽取一张，再从剩下的3张中随机抽取一张．利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求抽取到的两张卡片中有“生”的概率． 41．（2025·江苏镇江·中考真题）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、5、7，这些球除数字外都相同．从袋子中随机摸出2个球，用列表或画树状图的方法，求摸出标有数字2和3的两个球的概率． 42．（2025·江苏盐城·中考真题）在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示： 抛掷次数 2枚正面都朝上的频数 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） (1)根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到） (2)请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 43．（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． (1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____； (2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． 44．（2025·四川宜宾·中考真题）某中学开学之初，为了解七年级新生对学校开展社团活动的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（社团活动的项目有：篮球、乒乓球、舞蹈、象棋、演讲与口才、手工与剪纸，每人必选且只能选一项）．根据调查结果，制成了如下的统计图． 请结合图中信息解答下列问题． (1)本次共调查了_______名学生，其中喜爱舞蹈的学生人数是_______，并补全条形统计图； (2)若七年级新生共有600人，估计有_______人喜欢乒乓球运动； (3)新生中有甲、乙、丙、丁四位同学，篮球基础较好，且喜欢篮球运动．学校篮球队在这四人中选2人加入篮球队，请用列表或画树状图的方法，求同时选中甲乙两人的概率． 45．（2025·四川德阳·中考真题）2025年1月24日至2月16日，以“三星璀璨灵蛇献瑞”为主题的第十六届德阳灯会在玄珠湖公园盛大举行，设置“三星梦境”“德阳光华”等五大主题板块．灯会结束后，主办方随机抽取多名游客进行满意度调查（每人只能选择一项），用A、B、C、D、E分别代表一大主题板块，整理得到以下不完整统计表： 主题板块 频数（满意人数） 频率（所占比例） A 180 0.36 B a 0.20 C 75 D b c E (1)直接写出a、b、c的值； (2)根据以上抽样调查结果，游客最满意的主题板块是什么？若本届灯会实际接待游客达200000人，请估计最满意此板块的人数； (3)若灯会工作人员中有4名青年志愿者，其中有2名男性、2名女性，现随机抽取2名青年志愿者进行视频采访，请利用画树状图或者列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 46．（2025·山东东营·中考真题）劳动教育是新时代党对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展素质教育的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．为此，某校拟组建（烹饪）、（种植）、（陶艺）、（木雕）4个劳动小组，规定每个学生必须参加且只能参加一个小组．为了解学生参加劳动小组的意愿，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如图所示的两个不完整的统计图：请根据信息，解决下列问题：      (1)参加这次调查的学生总人数为多少？将条形统计图补充完整； (2)请计算扇形统计图中部分扇形所对应的圆心角； (3)若该校共有3600名学生，请根据调查结果，估计该校选择小组的学生人数． (4)若该校在，，，四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选中项目和的概率． 47．（2025·黑龙江绥化·中考真题）2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高（单位：）数据分为、、、、五组，并制成了如下不完整的统计图表． 组别 身高分组 人数 5 4 12 9 根据以上信息回答： (1)这次抽查的志愿者共有________人，扇形统计图中的圆心角度数是________，请补全条形统计图． (2)若组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率． 48．（2025·青海·中考真题）为了让学生体验青海民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：．五谷画，．彩陶，．剪纸，．排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程），根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图：根据提供的信息，解答下列问题： (1)此次被调查的学生总人数为__________；扇形统计图中__________； (2)补全条形统计图； (3)该校有人，请你估计该校对课程感兴趣的学生有多少名？ (4)甲、乙两名同学从、、、四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率． 49．（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点． (1)求t的值； (2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l； (3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率． 50．（2025·四川资阳·中考真题）为丰富学生课外锻炼活动，某学校增设了A（足球）、B（篮球）、C（体操）、D（田径）四个锻炼项目，每名学生只能选择其中的一项．为了解学生的选择情况，随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查共抽取了______名学生，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，求项目C对应的圆心角度数； (3)已知选择项目D的学生是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名参加比赛，用画树状图或列表法求抽到两名性别相同的学生的概率． 51．（2025·四川乐山·中考真题）某校开展“综合与实践”项目学习，拟开设四个项目供学生选择：．体育中的数学，．绘制公园平面地图，．改进我们的课桌椅，．高度的测量，若每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制成统计图表，如图所示， 项目 人数 频率 16 8 4 0.1 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查抽取的学生总人数为______人，请补全条形统计图； (2)已知该校共有800名学生，请估计选择项目的学生人数； (3)现准备从四个项目中随机选择两个项目在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到项目和项目的概率． 52．（2025·四川广元·中考真题）我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： (1)抽取的学生人数是________，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是________，补全条形统计图； (2)估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？ (3)甲、乙两名学生分别从A、B、C三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率． 53．（2025·四川巴中·中考真题）为提高学生的科创意识，某校准备开设C语言编程、无人机飞行训练、科创小论文、科幻画创作4门课外活动课程，每个学生有且只能选择一门课程参加．为筹备此项活动课程，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下统计表和扇形统计图． 意愿参加课程人数统计表 课程 C语言编程 无人机飞行训练 科创小论文 科幻画创作 人数 10 8 15 (1)抽取的学生共有______人，其中意愿参加无人机飞行训练的有______人； (2)若该校有800人，估计全校参加科幻画创作的学生有多少人？ (3)某班有2名男生2名女生参加C语言编程课程，现从这4人中随机抽取2名学生给老师当助手，请用树状图或者列表法说明恰好抽到一名男生一名女生的概率． 54．（2025·西藏·中考真题）某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动时间，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间x（分钟）分为五个小组： A：；B：；C：；D： ；E： 现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据统计图信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量是_________，并将频数分布直方图补充完整； (2)若该校共有学生3000人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有多少人？ (3)已知A组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 55．（2025·青海西宁·中考真题）近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷． 调查问卷 年  月 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是(   )(单选) A．玩偶        B．冰箱贴        C．创意摆件        D．手机挂件 【数据的收集与整理】 数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题∶ (1)本次抽样调查的样本容量是________； (2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________； 【做出合理估计】 (3)若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？ 【解决概率问题】 (4)文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率． 56．（2025·山东淄博·中考真题）粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩/分 频数（人数） 1 10 2 3 35 4 25 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度； (2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图； (3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 57．（2025·山东东营·中考真题）东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下． （一）收集与整理 农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 64，74，78，82，84，86，86，92，96，98； 城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 62，70，79，83，85，87，87，90，97，100． （二）描述与分析 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 84 a 86 c 城区 84 86 b 118.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表格中a、b、c的值， ________， __________， ________； （三）迁移与应用 （2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率； （3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议． 58．（2025·江苏南京·中考真题）甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3；乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4，先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球． (1)取出的3个小球上所写数字没有4的概率是____________； (2)取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？ 59．（2025·四川雅安·中考真题）聚焦“双减”落地，凸显“特色”作业．随着暑假来临，某校为学生制定了四类假期实践作业：A．非遗传承人；B．运动打卡师；C．睡眠科学家；D．今天我当家．某班就“你最喜欢哪一类作业”（必须选且只能选一类）进行调查，通过调查绘制出如下不完整的统计图． 请你根据图中的信息解答下列问题： (1)求该班此次调查的学生人数； (2)求的值，并补全条形统计图； (3)开学后，老师准备在甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名同学进行假期实践类作业分享，请利用树状图或列表的方法求恰好达到“甲”和“乙”两位同学的概率． 60．（2025·甘肃·中考真题）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成3个扇形，分别涂有“红、白、蓝”三种颜色，转盘指针固定．转动转盘、等转盘停止转动后，观察指针所落区域的颜色．若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘． (1)任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为_______； (2)任意转动转盘两次（第一次转动转盘，等转盘停止转动后，再第二次转动转盘），用画树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率． 61．（2025·江苏南通·中考真题）为继承和弘扬中华优秀传统文化，某校将八年级学生随机安排到以下四个场所参加社会实践活动． 已知小明、小华、小丽都是该校八年级学生，求下列事件的概率： (1)小明到南通博物苑参加社会实践活动； (2)小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动． 62．（2025·江苏宿迁·中考真题）某校建议学生利用周末时间积极参加社会实践活动．某一周末有两个项目供学生选择：A文明交通劝导志愿行，B乡村教育关爱行，每名学生只能选择其中一个项目． (1)甲同学选择A项目的概率为___________； (2)请用画树状图的方法，求甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的概率． 63．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母．转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次． (1)转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为_______； (2)转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率． 64．（2025·江苏无锡·中考真题）一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同． (1)将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是___________； (2)将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 65．（2025·江苏淮安·中考真题）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀． (1)从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是 ； (2)一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率． 66．（2025·江西·中考真题）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． (1)若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（   ） A．必然事件    B．随机事件    C．不可能事件 (2)若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题35 概率 考点 本专题是九年级数学统计与概率板块的核心内容，也是中考必考知识点之一，主要考查事件的分类、简单概率的计算、列举法（列表法、树状图法）求概率、用频率估计概率，以及概率与统计的综合应用。 考情 中考命题特点鲜明：1. 背景贴近生活实际，常以抽奖、游戏、抽样调查、社团活动等为载体，强调数学与实际生活的联系；2. 核心考查概率的计算，尤其是列举法的应用，要求学生能清晰列出所有等可能结果；3. 注重综合应用，常与统计图表（条形图、扇形图）结合，先通过图表获取数据，再计算概率；4. 渗透数形结合、分类讨论思想，培养学生的逻辑推理和数据处理能力。题型涵盖选择题、填空题、解答题，分值占比约6~10分，难度以基础题和中档题为主，少量综合题结合统计图表考查。 一、事件的分类 1. 必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件，概率为； 2. 不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件，概率为； 3. 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，概率取值范围为； 4.推论：必然事件和不可能事件统称为确定事件；随机事件的概率越接近1，发生的可能性越大；越接近0，发生的可能性越小。 二、概率的定义与基本公式 1. 概率的定义：一般地，对于一个随机事件，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率，记作； 2. 基本公式：若一个随机事件所有等可能的结果数为，事件发生的结果数为，则； 3. 推论： 所有等可能结果的概率之和为1，即； 对立事件的概率之和为1，若事件的对立事件为，则。 三、求概率的常用方法 1. 直接列举法：适用于结果数较少的随机事件，直接列出所有等可能结果，再计算概率； 2. 列表法：适用于两步完成的随机事件，将第一步的结果作为行，第二步的结果作为列，列出所有等可能的结果组合，再统计目标事件的结果数； 3. 树状图法：适用于两步及以上完成的随机事件，通过树状图的分支清晰呈现所有等可能结果，避免重复或遗漏； 4. 几何概型：适用于试验结果落在几何图形内的随机事件，概率公式为； 5. 用频率估计概率：当试验次数足够大时，随机事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数可作为概率的估计值。 四、常见概率模型与二级结论 1. 无放回抽样模型：每次抽取后不放回，下次抽取的结果受前一次影响，结果数会减少； 2. 有放回抽样模型：每次抽取后放回，下次抽取的结果不受前一次影响，每次结果数相同； 3. 二次抽取模型： 从个物体中抽取2个，无放回时所有等可能结果数为，有放回时为； 若抽取的物体分为两类（如个A类，个B类），则抽到1个A类和1个B类的结果数为（无放回）或（有放回）； 4. 多人选择模型：人从个选项中随机选择，所有人选择相同选项的结果数为，所有等可能结果数为。 五、【核心解题思路】 明确事件类型→确定等可能结果→选择合适方法计算概率： 1. 遇到事件分类问题，先判断事件是必然、不可能还是随机事件，紧扣定义分析； 2. 计算简单概率时，先确定总结果数和目标事件结果数，注意“等可能”的前提（如球除颜色外无差别、卡片完全相同等）； 3. 遇到两步及以上事件，优先用列表法或树状图法，列表法适合两步事件，树状图法适合多步事件，避免遗漏或重复； 4. 概率与统计综合题，先通过统计图获取数据（如总人数、各部分人数），再结合概率公式计算，最后根据结果给出合理建议。 解题关键提醒：1. 区分“有放回”和“无放回”抽样，两者的总结果数不同；2. 几何概型需准确计算区域的长度、面积或体积；3. 用频率估计概率时，需满足“试验次数足够大”的条件。 考点1 事件的分类 例1．（2026·湖北黄冈·模拟预测）下列事件中，是随机事件的是（    ） A．掷一次骰子，向上一面的点数是7 B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 C．从一个只装有白球与黑球的袋中摸球，摸出红球 D．任意画一个三角形，其内角和是 【答案】B 【详解】解：随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件， A、 掷一次骰子，最大点数为6，向上一面的点数是7一定不会发生，是不可能事件，不符合要求； B、 随意翻书的某页，页码可能是奇数也可能是偶数，页码为偶数可能发生也可能不发生，是随机事件，符合要求； C 、袋中只有白球和黑球，一定摸不出红球，是不可能事件，不符合要求； D 、根据三角形内角和定理，任意三角形内角和一定是，是必然事件，不符合要求． 考点2 简单概率的计算 例2．（湖南永州市2026年中考第一次模拟考试数学）五张形状、大小、材质完全相同的卡片上分别标有实数1，2，3，4，5，置于不透明的盒中，摇匀后，随机抽取1张，则抽到的卡片上标注为偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵五张形状、大小、材质完全相同的卡片随机抽取1张，所有等可能的结果总数为，其中卡片标注为偶数的结果有种，即和， ∴根据概率公式可得抽到标注为偶数的概率为． 考点3 列表法与树状图法求概率 例3（2026·山西长治·一模）每年4月的第四周为全民阅读活动周．某学校计划开展“书香三晋”校园读书活动，设置了经典诵读、读书分享、主题演讲、征文比赛四项活动，小张和小李各自从中随机选择一项参加，则他俩选择同一项活动的概率是_______． 【答案】/ 【分析】利用列表法求概率即可． 【详解】解：用A，B，C，D分别表示经典诵读、读书分享、主题演讲、征文比赛四项活动，列表如下： A B C D A A，A A，B A，C A，D B B，A B，B B，C B，D C C，A C，B C，C C，D D D，A D，B D，C D，D 共16种等可能的结果，其中他俩选择同一项活动的情况有4种，∴． 考点4 用频率估计概率 例4．．（江苏省无锡市锡北片2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试题）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（    ） A．掷一枚正方体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面朝上的概率 C．从一个装有4个黑球和2个白球的不透明口袋中任意摸出一球（小球除颜色外完全相同），摸到白球的概率 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 【答案】C 【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【详解】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意； B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； C、从一个装有4个黑球和2个白球的不透明口袋中任意摸出一球（小球除颜色外完全相同），摸到白球的概率为，故此选项符合题意； D、从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率为；故此选项不符合题意． 考点5 概率与统计综合 例5．（2026·四川巴中·一模）某校为了解学生每周体育锻炼情况，随机抽取七、八年级部分学生，对其每周锻炼时间（单位：）进行统计，按锻炼时间分为：：；：；：；：四组，并绘制了如下不完整的统计图．请根据图中提供的信息，完成下列问题： (1)此次调查共抽取了______名学生，扇形统计图中“”组对应的圆心角的度数为______，并补全条形统计图； (2)若该校八年级共有600名学生，估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数； (3)乒乓球比赛中，“”组中七年级2班的甲、乙两名同学进入了决赛，争夺冠军，冠军奖励32颗乒乓球．甲乙两人水平相当，比赛规则为5局3胜制．比赛开始后，甲连胜2局，因特殊情况终止了比赛，也不再补赛．班主任决定用获胜概率的大小来给甲乙两人分配奖品，请用列表法或树状图法求甲获胜的概率，并求出甲、乙两人各分得乒乓球的数量． 【答案】(1)80，，图见解析；(2)210人；(3)甲、乙两人各分得乒乓球的数量分别为28个、4个 【分析】（1）用A组人数除以所占百分数可得抽取学生总数，用B组人数除以抽取学生总数，再乘以360度可得B组对应的圆心角的度数； （2）利用样本估计总体思想求解； （3）画出树状图，根据比赛规则找出甲获胜的情况有几种，进而得出概率，即可求解． 【详解】（1）解：抽取学生总数为：（名）， 扇形统计图中“”组对应的圆心角的度数为：， “”组八年级人数为：（名）， 补全后的条形统计图如下： （2）解：（名） 答：估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数为210人； （3）解：由题意画树状图如下： 由图可知，共有8种等可能的情况，根据5局3胜制规则，乙获胜的情况有1种（即第三、四、五局乙连胜），甲获胜的情况有7种， 所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲分得乒乓球的数量为：， 乙分得乒乓球的数量为：， 即甲、乙两人各分得乒乓球的数量分别为28个、4个． 一、单选题 1．（2025·湖南·中考真题）某校开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧，现从中随机抽取一类社团活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查概率公式的计算，掌握其概率的计算是关键． 根据概率的基本公式，计算抽中戏剧类社团的概率． 【详解】解：共有5类社团活动（舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧），每类被抽中的可能性相等，抽中戏剧类社团属于其中1种可能结果， ∴概率为成功事件数除以总事件数，即：， 故选：D． 2．（2025·贵州·中考真题）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表：（  ） 抛掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即可作为概率的估计值．观察表格数据，随着抛掷次数增加，频率逐渐稳定在附近，即可得出答案． 【详解】解：当抛掷次数较小时（如20次、60次等），频率波动较大（、等），当次数增加到500次及以上时，频率稳定在，所以抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为． 故选：B． 3．（2025·江苏苏州·中考真题）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了根据概率求数量，熟练掌握概率公式是解题的关键． 设红球有个，根据摸到白球的概率公式列方程求解． 【详解】解：设红球有个，则袋中总球数为个， ∴摸到白球的概率为， 根据题意得：， 解得：， 因此，红球的个数为2个． 故选：B． 4．（2025·江苏扬州·中考真题）下列说法不正确的是（   ） A．明天下雨是随机事件 B．调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式 C．描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图 D．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件、调查方式、统计图选择及方差的意义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关知识点进行判断即可． 【详解】A：明天下雨的结果不确定，属于随机事件，正确，故该选项不符合题意； B：长江鱼种类调查范围广、个体多，应采用抽样调查，错误，故该选项符合题意； C：折线统计图适用于展示数据变化趋势，描述气温变化合适，正确，故该选项不符合题意； D：方差越小数据越稳定，乙方差更小，更稳定，正确，故该选项不符合题意． 故选：B． 5．（2025·江苏徐州·中考真题）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（    ） A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球 C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球 【答案】C 【分析】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：∵一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球， ∴至多有3个红球，至少有1个红球，至多有2个黑球，至少有0个黑球， A．至多有1个球是红球，不是必然事件，不符合题意；     B．至多有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意； C．至少有1个球是红球，是必然事件，符合题意； D．至少有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意； 故选：C． 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列举法求概率；设2枚鸟卵全部成功孵化为A、B两只雏鸟，列举出所有可能的结果数，2只雏鸟都是雄鸟的结果数，利用概率公式即可计算． 【详解】解：设2枚鸟卵全部成功孵化为A、B两只雏鸟，所有可能的结果为：AB两只雏鸟都是雄鸟，两只雏鸟都是雌鸟，A雏鸟是雄鸟B雏鸟是雌鸟，A雏鸟是雌鸟B雏鸟是雄鸟，共有4种等可能结果，其中2只雏鸟都是雄鸟有一种结果，则2只雏鸟都是雄鸟的概率为； 故选：D． 7．（2025·辽宁·中考真题）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出相同颜色的小球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 红 黄 红 (红，红) (红，黄) 黄 (黄，红) (黄，黄) 共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色的小球的结果有2种， ∴两次摸出的都是红球的概率为． 故选：C． 8．（2025·甘肃兰州·中考真题）现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a，e，i的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同），若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率等知识点，用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可，熟练掌握列表法或树状图法求概率的方法是解决此题的关键． 【详解】解：将所有结果列表格如下： 声母         韵母 a e i d da de di t ta te ti l la le li 所有可能的组合为9种，符合条件的情况仅1种，故两张卡片刚好拼成“德”字读音de的概率为． 故选：A． 9．（2025·湖北武汉·中考真题）某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单的概率计算．需先确定所有可能的结果数及符合条件的结果数，根据，再求概率． 【详解】抽奖盒中有三个小球，分别标有10元、20元、30元． 随机摸出两个小球的所有可能组合共有3种： 1. 10元和20元，和为30元； 2. 10元和30元，和为40元； 3. 20元和30元，和为50元． 其中，和为50元的组合只有1种（20元和30元）． 因此，所求概率为：． 故选：C． 10．（2025·山东济南·中考真题）某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果，其中恰好选到同一种营养套餐的结果有4种， ∴恰好选到同一种营养套餐的概率是． 故选：A． 11．（2025·山东东营·中考真题）盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同．两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列表法求概率，通过列举所有可能的抽取结果，再找出两人抽到卡片图案相同的结果，最后根据概率公式计算出相应概率． 【详解】解：记印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案的卡片分别为a，b，c，d，列表如下： a b c d a b c d 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中他们抽到的卡片图案相同的结果有4种， ∴所求概率为， 故选：D． 12．（2025·河北·中考真题）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据概率求数量，根据题意得出数字有个，数字有2个，则数字只有个，结合选项，即可求解． 【详解】解：正方体共6个面，向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为， ∴数字有个，数字有2个，则数字只有个 选项A中数字有2个，符合题意 故选：A． 13．（2025·湖北武汉·中考真题）掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字．下列事件是必然事件的是（    ） A．向上两面的数字和为5 B．向上两面的数字和大于1 C．向上两面的数字和大于12 D．向上两面的数字和为偶数 【答案】B 【分析】本题考查了事件分类．熟练掌握必然事件，不可能事件，随机事件的概念是解题的关键．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；不可能事件指在一定条件下一定不发生的事件． 分析各选项中两骰子点数和的可能情况，判断是否必然成立． 【详解】选项A：和为5的可能组合有（1,4）、（2,3）、（3,2）、（4,1），共4种，概率为，非必然事件． 选项B：两骰子最小点数为1，最小和为，因此和必定大于1，概率为1，是必然事件． 选项C：两骰子最大和为，无法超过12，概率为0，为不可能事件． 选项D：和为偶数的概率为，可能发生但不必然． 故选：B． 14．（2025·海南·中考真题）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（   ） A．出现点数为6的概率是 B．出现点数为0是随机事件 C．出现点数为偶数是必然事件 D．出现点数为奇数是不可能事件 【答案】A 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断即可． 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A．出现点数为6的概率是，正确，符合题意； B．出现点数为0是不可能事件； C．出现点数为偶数是随机事件； D．出现点数为奇数是随机事件； 故选A． 15．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点A作于点D，证明出△ABC是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分别求出和，然后根据概率公式求解即可． 【详解】如图所示，过点A作于点D ∵是直径 ∴ ∵ ∴△ABC是等腰直角三角形 ∵ ∴， ∴ ∴， ∴该粒米落在扇形内的概率为． 故选：D． 【点睛】此题考查了几何概率，求扇形面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 16．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率，列举所有可能结果红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝，然后用概率公式即可求解，掌握列举法求概率是解题的关键． 【详解】解：∵从红、蓝两种颜色中随机选取一种， ∴有红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝， ∴故相邻两个方格所涂颜色不同的概率是， 故选：． 17．（2025·青海西宁·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．概率很大的事件一定会发生 B．“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件 C．两组身高数据的方差分别是，，则乙组的身高更整齐 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖 【答案】B 【分析】本题考查了事件的概率，随机事件的分类，方差等知识的综合运用，理解概率，事件分类，方差的概念是解题的关键． 根据概率，事件的分类，方差的概念，逐一分析即可求解． 【详解】解：A、概率很大的事件发生的可能性大，不一定会发生，故A选项错误，不符合题意； B、“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件，正确，符合题意； C、∵， ∴甲组的身高更整齐，故C选项错误，不符合题意 ； D、某抽奖活动的中奖概率为，则抽奖10次不一定就有1次中奖，故D选项错误，不符合题意； 故选：B ． 二、填空题 18．（2025·贵州·中考真题）一个不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率是_______________． 【答案】/ 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 由红球的个数及球的总数，根据概率的计算公式即可． 【详解】解：∵一个不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，每个球除颜色外都相同， ∴任意摸出一个球，摸到红球的概率是， 故答案为：． 19．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）桌上倒扣着背面图案相同的张扑克牌，其中张红桃，张黑桃．从中随机抽取张，则抽取的扑克牌的花色是红桃的概率是_____． 【答案】 【分析】本题考查概率的计算，直接应用概率公式：事件发生的概率等于该事件可能发生的结果数除以所有可能的结果数。 【详解】解：从7张扑克牌中随机抽取张，共有种等可能结果， 其中抽到红桃的有种结果， 抽取红桃的概率为． 故答案为：． 20．（2025·湖北·中考真题）窗，让人足不出户便能将室外天地尽收眼底．如图，“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”是我国传统的窗格构造方式，从这三种方式中随机选出一种制作窗格，选中“步步锦”的概率是______． 【答案】 【分析】该题考查了概率公式，根据概率公式求解即可． 【详解】解：共有“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”三种窗格， 故选中“步步锦”的概率是， 故答案为：． 21．（2025·天津·中考真题）不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为____________． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，解题的关键是掌握概率公式． 用绿球的个数除以总球的个数即可得出答案． 【详解】解：袋子中绿球的个数为6， 球的总数为13， 所以抽到绿球的概率为， 故答案为：． 22．（2025·广西·中考真题）从三个数字中任选两个，则选出的两个数字之和是偶数的概率为______． 【答案】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图解答即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中选出的两个数字之和是偶数的结果有种， ∴选出的两个数字之和是偶数的概率为， 故答案为：． 23．（2025·黑龙江·中考真题）如图，随机闭合开关中的两个，能让两盏灯泡同时发光的概率为_______． 【答案】 【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， 共有6种等可能的结果，其中能让两盏灯泡同时发光的结果有2种， ∴． 24．（2025·宁夏·中考真题）为提升学生艺术素养，学校在周三同时开展了多种文艺社团活动．现从参加器乐、舞蹈和声乐这三个文艺社团的学生中随机抽取两名，他们恰好参加同一社团的概率为_____． 【答案】 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及他们恰好参加同一社团的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：把器乐、舞蹈和声乐这三个文艺社团分别记为、、， 画树状图得： 共有9种等可能的结果，他们恰好参加同一个社团的有3种情况， 两人恰好参加同一社团的概率为：； 故答案为：． 25．（2025·黑龙江大庆·中考真题）2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学从“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的概率为________． 【答案】 【分析】本题考查列表法或画树状图求概率．根据题意记“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”分别用字母A，B，，表示，列出表格表示出所有等可能的结果，再找出恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的结果，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：记“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”分别用字母A，B，，表示， 根据题意可列出表格如下： 第一个第二个 A A — — — — 由表可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的有2种结果， 小庆同学恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的概率为． 故答案为：． 26．（2025·山东德州·中考真题）把英文单词“”中的字母依次写在完全相同的6张卡片上，每张卡片上只写其中的1个字母．然后将卡片洗匀，从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡的概率是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式，解题时要熟练掌握并能根据题意画出树状图是关键． 依据题意，画出树状图，从而可得随机抽取2张共有30种等可能性，其中恰好是字母相同的两张卡片有4种，进而可以计算概率求解． 【详解】根据题意，画出树状图如下： 从中随机抽取2张共有30种等可能性，其中恰好是字母相同的两张卡片有4种， 从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡片的概率为． 故答案为：． 27．（2025·山东滨州·中考真题）在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查列举法求概率，列出所有等可能的结果，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，共有A断B通，A断B断，A通B断，A通B通，共4种等可能的结果，其中A，B之间电流能够正常通过的结果只有A通B通1种情况， 故A，B之间电流能够正常通过的概率是； 故答案为：． 28．（2025·四川绵阳·中考真题）水是生命之源．水分子的化学式为，即1个水分子由2个氢原子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是__________． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可计算出这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率． 【详解】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有 24 种等可能性，其中这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的可能性有 12 种， ∴这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率为， 故答案为：． 29．（2025·四川雅安·中考真题）某中学九年级（1）班开展“禁毒知识竞赛”活动，为表扬同学们积极参与，班主任组织转盘抽奖活动．自由转动转盘，当它停止转动时指针落在三等奖区域的概率为，落在二等奖区域的概率为，落在一等奖区域的概率为，则一等奖区域所对的圆心角度数为______． 【答案】/度 【分析】用360度乘以落在一等奖区域的概率即可得到答案． 【详解】解：， ∴一等奖区域所对的圆心角度数为． 30．（2025·山东济南·中考真题）在一个不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为___________． 【答案】 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：因为不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同， 所以从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为， 故答案为：． 31．（2025·四川攀枝花·中考真题）在分别写有数字1到10的10张卡片中，随机地抽出1张卡片，抽到卡片上的数字是质数的概率是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查简单的概率计算 ，先确定总卡片数和卡片中质数的个数，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵共10张卡片，为质数的有2，3，5，7，共4个， ∴抽到卡片上的数字是质数的概率是， 故答案为：． 32．（2025·四川·中考真题）如图，将一个可以自由转动的转盘分成3个大小相同的扇形，并分别标为红、黄、绿三种颜色，指针位置固定．转动转盘，停止后，其中的某个扇形恰好停在指针所指的位置（指针指向交线时，当作指向右边的扇形）．转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率．正确画出树状图确定所有等可能的情况和符合条件的情况是解题的关键． 根据题意画出树状图得出所有等可能的情况，找出符合条件的情况，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有9种等可能的情况，其中指针指向颜色相同的扇形的有3种， 则转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为． 故答案为：． 33．（2025·北京·中考真题）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商_______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为_______万元． 【答案】 【分析】本题考查列举等可能的结果，根据表格列举出增长量的变化是解题关键． （1）分别计算各经销商销售完第2台比第1台的利润的增长量，比较即可得答案； （2）分别求出一家分配时、四家分配时、三家分配时、两家分配时的最大利润，比较即可得答案． 【详解】解：（1）当时， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， ∵， ∴应向经销商分配2台设备． （2）当给这四家经销商中的一家分配时，最大利润为经销商的万元， 当分配给多家销售时： 当分配四家时，最大利润为（万元）， 当分配给三家时，最大利润为（万元）， 当分配给两家时，最大利润为（万元）或（万元）， 综上所述：企业可获得的总利润的最大值为万元． 故答案为：， 三、解答题 34．（2025·江苏常州·中考真题）在5张相同的小纸条上，分别写有：①；②0；③1；④正数；⑤负数．将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀． (1)从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是 ； (2)先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的数与文字描述相符合的概率． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了概率公式，画树状图或列表法求概率，解题关键是掌握． （1）利用概率公式求解； （2）利用画树状图或列表法求概率． 【详解】（1）解：∵①；②0；③1；①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀， ∴从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是， 故答案为：； （2）画树状图，如图： 共6种情况，其中抽到的数与文字描述相符合的有2种， ∴抽到的数与文字描述相符合的概率． 35．（2025·江苏苏州·中考真题）为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有共3部电影，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看． (1)甲同学选择A电影的概率为________； (2)求甲、乙2位同学选择不同电影的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】(1)；(2) 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）首先根据题意画出树状图或列表格，然后由树状图或列表格求得所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得． 【详解】（1）现有共3部电影， 甲同学选择A部电影的概率是． 故答案为：； （2）用树状图或利用表格列出所有等可能的结果： 甲同学选择电影 乙同学选择电影 A B C A B C 那么总结果有9种，甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种， （甲、乙2位同学选择不同电影）． 36．（2025·陕西·中考真题）某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． (1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______； (2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了用列表或画树状图求概率，概率公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张，运用概率公式进行计算，即可作答． （2）先理解题意，再画树状图，得到一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种，运用概率公式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张， ∴将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为， 故答案为：． （2）解：依题意，画树状图如下所示： ∴一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种， ∴这两个小组研究方向不同的概率． 37．（2025·吉林·中考真题）在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动需分A，B，C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成．请用画树状图或列表的方法，求参与者小顺和小利被分配到同一组的概率． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到参与者小顺和小利被分配到同一组的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 小顺小利 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中参与者小顺和小利被分配到同一组的结果数有3种， ∴参与者小顺和小利被分配到同一组的概率为． 38．（2025·湖南长沙·中考真题）2025年5月18日，湖南省第三届大中小学阅读教育论坛在长沙举行．论坛聚焦美育与阅读融合．为探索美育与阅读融合的新路径，某校举行了以“美育与阅读融合”为主题的知识竞赛，竞赛成绩以等级式呈现，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行统计，得到如下两幅待完善的统计图表．（A代表优秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格．） 等级 频数 频率 A m B C n D 6 根据图表中所给信息，解答下列问题： (1)本次调查随机抽取了______名学生的成绩；表中______，______； (2)在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为______度； (3)若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取2名学生参加以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动，请用列表法或树状图法求选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率． 【答案】(1)；(2)；(3)见解析， 【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图信息关联问题，以及概率问题，旨在考查学生的数据处理能力． （1）根据频数分布表求出总人数即可求解； （2）根据A等级所占比例即可求解； （3）画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解． 【详解】（1）解：由频数分布表可得，总人数为：（人）； ∴，， 故答案为： （2）解：“A等”所对应的扇形的圆心角为：， 故答案为： （3）解：记“选出的2名学生恰好来自同一个班级”为事件A，设一班的2名学生为甲和乙，二班的2名学生为丙和丁，画出树状图： 一共有种等可能的结果，其中事件A包含4种可能的结果． ． 39．（2025·吉林长春·中考真题）长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，可画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果数有3种， ∴这甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是． 40．（2025·山东青岛·中考真题）京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等．现有4张不透明卡片，正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案外其余都相同．将这4张卡片背面朝上洗匀，先随机抽取一张，再从剩下的3张中随机抽取一张．利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求抽取到的两张卡片中有“生”的概率． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中抽取到的两张卡片中有“生”的结果数有6种， ∴抽取到的两张卡片中有“生”的概率是． 41．（2025·江苏镇江·中考真题）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、5、7，这些球除数字外都相同．从袋子中随机摸出2个球，用列表或画树状图的方法，求摸出标有数字2和3的两个球的概率． 【答案】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，则可得从袋子中随机摸出2个球的所有等可能的结果，再找出摸出标有数字2和3的两个球的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，从袋子中随机摸出2个球共有12种等可能的结果，其中，摸出标有数字2和3的两个球有2种， 则摸出标有数字2和3的两个球的概率为， 答：摸出标有数字2和3的两个球的概率为． 42．（2025·江苏盐城·中考真题）在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示： 抛掷次数 2枚正面都朝上的频数 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） (1)根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到） (2)请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 【答案】(1)；(2)见解析 【分析】本题考查了利用频率估计概率，列表法求概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率． （1）根据题意，用频率估计概率即可； （2）根据列表法求概率，即可求解． 【详解】（1）解：由图表可知，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是， 故答案为：． （2）解：列表如下， 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 共有4种等可能结果，其中“2枚硬币正面都朝上”，有1种， 因此“2枚硬币正面都朝上”的概率为． 43．（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． (1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____； (2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据简单地概率公式计算解答即可； （2）利用画树状图法或列表法计算概率即可． 本题考查了概率的计算，熟练掌握概率公式和画树状图活列表法计算概率是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：摸出标有数字1的小球的概率为， 故答案为：． （2）解：列表如下： 甲 乙 1 2 3 4 1 － （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） － （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） － （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） － 由上表可知，共有12种等可能的结果， 其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有6种， ． 44．（2025·四川宜宾·中考真题）某中学开学之初，为了解七年级新生对学校开展社团活动的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（社团活动的项目有：篮球、乒乓球、舞蹈、象棋、演讲与口才、手工与剪纸，每人必选且只能选一项）．根据调查结果，制成了如下的统计图． 请结合图中信息解答下列问题． (1)本次共调查了_______名学生，其中喜爱舞蹈的学生人数是_______，并补全条形统计图； (2)若七年级新生共有600人，估计有_______人喜欢乒乓球运动； (3)新生中有甲、乙、丙、丁四位同学，篮球基础较好，且喜欢篮球运动．学校篮球队在这四人中选2人加入篮球队，请用列表或画树状图的方法，求同时选中甲乙两人的概率． 【答案】(1)100，10，补全条形统计图见解析；(2)150；(3) 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率，读懂统计图，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）先由演讲与口才人数除以占比求出调查的人数，再由调查的人数减去其余的人数即可求解喜爱舞蹈的学生人数，即可补全条形统计图； （2）用样本估计总体的方法即可求解； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：调查的学生数：（人）， 喜爱舞蹈的人数：（人）， 补全条形统计图如图： 故答案为：100，10； （2）解：（人）， ∴估计有150人喜欢乒乓球运动， 故答案为：150； （3）解：画树状图为： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中同时选中甲乙两人的结果数有2种， ∴同时选中甲乙两人的概率是． 45．（2025·四川德阳·中考真题）2025年1月24日至2月16日，以“三星璀璨灵蛇献瑞”为主题的第十六届德阳灯会在玄珠湖公园盛大举行，设置“三星梦境”“德阳光华”等五大主题板块．灯会结束后，主办方随机抽取多名游客进行满意度调查（每人只能选择一项），用A、B、C、D、E分别代表一大主题板块，整理得到以下不完整统计表： 主题板块 频数（满意人数） 频率（所占比例） A 180 0.36 B a 0.20 C 75 D b c E (1)直接写出a、b、c的值； (2)根据以上抽样调查结果，游客最满意的主题板块是什么？若本届灯会实际接待游客达200000人，请估计最满意此板块的人数； (3)若灯会工作人员中有4名青年志愿者，其中有2名男性、2名女性，现随机抽取2名青年志愿者进行视频采访，请利用画树状图或者列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 【答案】(1)，，；(2)游客最满意的主题板块是A板块；当本届灯会实际接待游客达200000人时，估计最满意此板块的人数是72000人；(3) 【分析】本题考查了列表法和树状图法求概率，统计表的综合运用，以及用样本估计总体． （1）利用A板块的频数和频率求得样本容量，再求出a、b、c的值； （2）利用样本估计总体求解即可； （3）利用树状图表示出所有可能，进而利用概率公式求出即可． 【详解】（1）解：人， ∴， ， ； （2）解：根据以上抽样调查结果，游客最满意的主题板块是A板块． （人） 答：当本届灯会实际接待游客达200000人时，估计最满意此板块的人数是72000人． （3）解：画树状图如图： 共有种等可能结果，其中“1名男生和1名女生”的结果有种， P（一男一女）． 答：恰好是1名男生和1名女生的概率是． 46．（2025·山东东营·中考真题）劳动教育是新时代党对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展素质教育的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．为此，某校拟组建（烹饪）、（种植）、（陶艺）、（木雕）4个劳动小组，规定每个学生必须参加且只能参加一个小组．为了解学生参加劳动小组的意愿，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如图所示的两个不完整的统计图：请根据信息，解决下列问题：      (1)参加这次调查的学生总人数为多少？将条形统计图补充完整； (2)请计算扇形统计图中部分扇形所对应的圆心角； (3)若该校共有3600名学生，请根据调查结果，估计该校选择小组的学生人数． (4)若该校在，，，四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选中项目和的概率． 【答案】(1)，补充条形统计图见解析；(2)；(3)估计选择D小组的学生人数为500人；(4) 【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，利用列表法求概率，掌握由样本百分比估算总体数量的方法，圆心角的计算方法，列表法是解题的关键． （1）根据C组的人数与占比计算求解调查总人数，由此得到B组人数，即可补全条形图； （2）根据圆心角的计算方法求解即可； （3）根据样本百分比估算总体数量即可求解； （4）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：调查总人数为：（人）； 选择B人数为：（人）； 答：参加调查的总人数为180人， 补全条形图如下， （2）解：， 答：B部分扇形所对应的圆心角为； （3）解：（人）， 答：估计选择D小组的学生人数为500人． （4）解：由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共12种等可能的结果，其中，恰好选中项目A和D的结果有2种， ∴． 47．（2025·黑龙江绥化·中考真题）2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高（单位：）数据分为、、、、五组，并制成了如下不完整的统计图表． 组别 身高分组 人数 5 4 12 9 根据以上信息回答： (1)这次抽查的志愿者共有________人，扇形统计图中的圆心角度数是________，请补全条形统计图． (2)若组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率． 【答案】(1)40，，见解析；(2)见解析， 【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，树状图或列表法求概率，准确理解题意是解题的关键． （1）先根据D组的人数和百分比求出抽查的总人数，再利用乘以组的的百分比即可求出扇形统计图中的圆心角度数，再求出C组的人数并补全统计图即可； （2）画出树状图或列表法得到所有等可能情况，用概率公式求出答案即可． 【详解】（1）解：这次抽查的志愿者共有：（人）， 扇形统计图中的圆心角度数是， C组的人数为（人）， 补全条形统计图如下： 故答案为：40， （2）解：设2名男志愿者分别记作、，2名女志愿者分别记作、 根据题意可以画出如下的树状图 列表法如下图 由树状图法或列表法可以看出共有12种结果出现的可能性相等，选中的2名女志愿者担任组长的是和的情况有两种. 48．（2025·青海·中考真题）为了让学生体验青海民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：．五谷画，．彩陶，．剪纸，．排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程），根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图：根据提供的信息，解答下列问题： (1)此次被调查的学生总人数为__________；扇形统计图中__________； (2)补全条形统计图； (3)该校有人，请你估计该校对课程感兴趣的学生有多少名？ (4)甲、乙两名同学从、、、四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率． 【答案】(1)，；(2)补全条形统计图见解析；(3)人；(4)． 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率的求法，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键． （）根据对课程感兴趣的学生人数除以所占百分比即可求出此次被调查的学生总人数，然后通过对课程感兴趣的学生人数除以总人数再乘以即可求出的值； （）由（）总人数减去人数，即可得到抽取部分学生对课程感兴趣的学生人数，然后补全条形统计图即可； （）用乘以对课程感兴趣的学生所占百分比即可求解； （）由题意列表或画树状图，然后通过概率公式即可求解． 【详解】（1）此次被调查的学生总人数为（人）， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）抽取部分学生对课程感兴趣的学生有（人）， 补全条形统计图如图， （3）解：人， 答：估计该校对感兴趣的学生有人； （4）情况：列表格， 甲乙                                                                                                                         如树状图所示，共有种等可能结果，而出现甲、乙两人恰好选到同一课程的有种：，，，， ∴； 情况：画树状图， 如树状图所示，共有种等可能结果，而出现甲、乙两人恰好选到同一课程的有种：，，，， ∴． 49．（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点． (1)求t的值； (2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l； (3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率． 【答案】(1)；(2)，见详解；(3) 【分析】本题考查了概率公式，反比例函数的性质，一次函数的性质，画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接把代入进行计算，得； （2）先得出，再代入直线，求出，即可求出l与y轴交点的坐标，再由两点确定一条直线画出直线的函数图象； （3）先得出格点共有个，分别是再分析得出格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，最后运用概率公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵曲线过点． ∴； （2）解：由（1）得， 故， ∵直线也经过点P， ∴把代入，得， 解得， ∴； 令，则， ∴l与y轴交点的坐标为； 直线l的函数图象，如图所示； （3）解：依题意，在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，分别是， ∵曲线， 则， ∴格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上， 即该格点在曲线G上的概率． 50．（2025·四川资阳·中考真题）为丰富学生课外锻炼活动，某学校增设了A（足球）、B（篮球）、C（体操）、D（田径）四个锻炼项目，每名学生只能选择其中的一项．为了解学生的选择情况，随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查共抽取了______名学生，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，求项目C对应的圆心角度数； (3)已知选择项目D的学生是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名参加比赛，用画树状图或列表法求抽到两名性别相同的学生的概率． 【答案】(1)80；条形统计图见详解；(2)；(3) 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的关联，以及用画树状图或列表法求概率，解题关键是理解题意，能结合两种图形获取有效信息． （1）已知A项目所占圆心角度数为，可根据，先求出其占总人数的比例，再根据A项目人数为32人，即可求出总人数；进而根据总人数求出 C类人数，即可完成条形统计图； （2）由（1）中 C类人数，可先求出其占总人数的比例，再用比例与相乘即可求出对应圆心角的度数； （3）首先画出树状图，由图可得所有等可能的结果数量，以及恰好两名性别相同的学生的结果数量，再根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，本次被调查的学生共有：（人） C项目人数为：（人）， 完整条形统计图如下： （2）C类对应的圆心角的度数为：． （3）画出树状图如下所示： 由上图可得，共有12种等可能的结果，其中两名性别相同的学生的结果有4种， ∴恰好两名性别相同的学生的概率为：． 51．（2025·四川乐山·中考真题）某校开展“综合与实践”项目学习，拟开设四个项目供学生选择：．体育中的数学，．绘制公园平面地图，．改进我们的课桌椅，．高度的测量，若每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制成统计图表，如图所示， 项目 人数 频率 16 8 4 0.1 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查抽取的学生总人数为______人，请补全条形统计图； (2)已知该校共有800名学生，请估计选择项目的学生人数； (3)现准备从四个项目中随机选择两个项目在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到项目和项目的概率． 【答案】(1)40，补全条形统计图见解析；(2)人数为人；(3) 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率、用样本估计总体、频数(率)分布表、条形统计图，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用表格中D的人数除以频率可得本次调查抽取的学生总人数；求出选择C项目的人数，补全条形统计图即可； （2）根据用样本估计总体，用800乘以B的人数所占的百分比，即可得出答案； （3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选到项目A和项目B的结果数，再利用概率公式可得答案． 【详解】（1）解：本次调查抽取的学生总人数为 (人)， ∴选择C项目的人数为 (人)， 补全条形统计图如图所示： 故答案为：40； （2）解：（人）， 答：估计选择项目的学生人数为人； （3）解：列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中恰好选到项目A和项目B的结果有：，，共2种， ∴恰好选到项目A和项目B的概率为． 52．（2025·四川广元·中考真题）我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： (1)抽取的学生人数是________，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是________，补全条形统计图； (2)估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？ (3)甲、乙两名学生分别从A、B、C三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率． 【答案】(1)50人；；补全条形统计图见解析；(2)80人；(3)；列表法见解析 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用、用样本估计总体以及用列表法或树状图法求随机事件的概率，解题的关键是从统计图中提取有效信息（如部分数量及对应百分比）计算总人数和各项目人数，再通过样本比例估计总体数量，同时准确列举所有可能结果计算概率． （1）①由B类人数人）及占比求抽取学生总数即可；②先计算D类人数占比，再用360度乘以占比即可求得圆心角；③用总数减去已知类别人数求得C类人数，补全条形图即可； （2）先求得样本中C类人数占比，再用总体人数乘以该占比即可； （3）列表列举甲、乙从A、B、C三类中选择的所有可能结果数，再找出两人选同一项目的结果数，然后用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵B类有人，且占抽取学生总数的， ∴抽取的学生人数为（人）． ∵D类有人， ∴D类人数占总人数的比例为， 则扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数为． ∵总人数为人，A类8人，B类人，D类人，E类6人， ∴C类人数为（人），补条形统计图如下． 故答案为：50人；． （2）解：∵样本中C类人数为人，占抽取总人数的比例为， ∴估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生人数为（人）． 答：估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生有人． （3）解：设A、B、C三类项目分别用字母A、B、C表示，列表如下： 甲\乙 A B C A                B                C                由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两人填报同一项目的结果有3种：、、． ∴他们两人填报同一项目的概率为． 答：他们两人填报同一项目的概率是． 53．（2025·四川巴中·中考真题）为提高学生的科创意识，某校准备开设C语言编程、无人机飞行训练、科创小论文、科幻画创作4门课外活动课程，每个学生有且只能选择一门课程参加．为筹备此项活动课程，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下统计表和扇形统计图． 意愿参加课程人数统计表 课程 C语言编程 无人机飞行训练 科创小论文 科幻画创作 人数 10 8 15 (1)抽取的学生共有______人，其中意愿参加无人机飞行训练的有______人； (2)若该校有800人，估计全校参加科幻画创作的学生有多少人？ (3)某班有2名男生2名女生参加C语言编程课程，现从这4人中随机抽取2名学生给老师当助手，请用树状图或者列表法说明恰好抽到一名男生一名女生的概率． 【答案】(1)，；(2)全校参加科幻画创作的学生有人；(3)恰好抽到一名男生一名女生的概率为． 【分析】本题考查扇形统计图，用样本频数估计总体频数，用树状图求概率． （1）用C语言编程的人数除以对应的百分比，即可得抽取的学生人数，减去意愿参加C语言编程、科创小论文、科幻画创作的人数，即可得意愿参加无人机飞行训练的人数； （2）用全校总人数乘以科幻画创作学生数占总人数的比，即可得全校参加科幻画创作的学生人数； （3）根据题意画树状图，用一男一女的组合数比总数，即可得恰好抽到一名男生一名女生的概率． 【详解】（1）解：（人） （人） 故答案为：，． （2）解：（人） 答：全校参加科幻画创作的学生有人． （3）解：画树状图如下： ∴． 答：恰好抽到一名男生一名女生的概率． 54．（2025·西藏·中考真题）某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动时间，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间x（分钟）分为五个小组： A：；B：；C：；D： ；E： 现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据统计图信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量是_________，并将频数分布直方图补充完整； (2)若该校共有学生3000人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有多少人？ (3)已知A组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)60，频数分布直方图见详解；(2)1200人；(3) 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了频数分布直方图． （1）由的人数除以所占百分比求出样本容量，进而求出组的人数，将频数分布直方图补充完整即可； （2）由该校学生总人数乘以每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生所占的百分比即可． （3）画树状图，共有 6 种等可能的结果，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 4 种，再由概率公式求解即可； 【详解】（1）解：本次调查的样本容量是：， 则组的人数， 将频数分布直方图补充完整如下： （2）解：（人）， 该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有1200人． （3）解：画树状图如图： 共有 6 种等可能的结果，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 4 种， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为， 故答案为：． 55．（2025·青海西宁·中考真题）近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷． 调查问卷 年  月 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是(   )(单选) A．玩偶        B．冰箱贴        C．创意摆件        D．手机挂件 【数据的收集与整理】 数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题∶ (1)本次抽样调查的样本容量是________； (2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________； 【做出合理估计】 (3)若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？ 【解决概率问题】 (4)文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率． 【答案】(1)120；(2)；(3)600人；(4)． 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合利用，树状图法求概率，从统计图中有效的获取信息是解题的关键； （1）用喜爱冰箱贴的人数除以所占的比例，求出样本容量即可； （2）用360度乘以喜爱玩偶的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （4）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：(1)； 故答案为：120； (2)喜爱玩偶的人数为， ； 故答案为：； (3)(人) 答：估计全校最喜爱手机挂件的学生有600人． (4)根据题意，可以画出如下树状图： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，即，这些结果出现的可能性相等，其中甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的结果共有4种，即． 所以，P(甲，乙两人恰好获得同一类文创产品)． 56．（2025·山东淄博·中考真题）粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩/分 频数（人数） 1 10 2 3 35 4 25 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度； (2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图； (3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)20，10，90；(2)统计图见解析；(3) 【分析】本题考查了统计图表的识别、概率的计算： （1）结合扇形统计图和统计表格即可先求出总数，再求b和a，最后再求第4组的圆心角； （2）根据（1）中求出数据即可作图； （3）将2名男生和3名女生编号，列举出所有可能的结果，按概率计算方法计算即可． 【详解】（1）解：由图可知抽取的学生的总数量为， 由扇形统计图可知第5组人数， 则第2组人数， 第4组人数在扇形图中对应的圆心角为， 故答案为：20，10，90； （2）解：如图： （3）解：设2名男生为a、b和3名女生为1、2、3，则随机选出2人，有下列组合： ， 共10种可能的结果，其中恰好是1名男生和1名女生的有6种， 故概率为． 57．（2025·山东东营·中考真题）东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下． （一）收集与整理 农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 64，74，78，82，84，86，86，92，96，98； 城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 62，70，79，83，85，87，87，90，97，100． （二）描述与分析 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 84 a 86 c 城区 84 86 b 118.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表格中a、b、c的值， ________， __________， ________； （三）迁移与应用 （2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率； （3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议． 【答案】（1）85，87，95.2；（2）；（3）建议见解析 【分析】本题主要考查了中位数，众数，方差的定义，用列表法或画树状图的方法求概率，利用平均数、中位数、众数、方差作决策等知识． （1）根据中位数，众数，方差的定义求解即可． （2）农村学校95分以上学生有2人，分别记为，，城区学校95分以上学生有2人，分别记为，，画出树状图，根据概率公式求解即可． （3）答案不唯一，只要能对平均数、中位数、众数、方差任一统计量进行比较，数据大小比较，进而提出合理建议即可． 【详解】解：（1）， 城区学校10名学生的艺术成绩中出现次数最多的是87， 故， （2）农村学校95分以上学生有2人，分别记为，，城区学校95分以上学生有2人，分别记为，，画树状图如下： 总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好都是城区学生的结果有2种， ∴P（所选两名学生恰好都是城区学生）． （3）例：从平均数看，城区学校和农村学校的艺术成绩水平相同，建议继续保持城乡优质均衡发展； 从中位数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议加强农村学校艺术教学； 从众数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议提高农村学校艺术教学水平； 从方差看，城区学校艺术成绩的方差大于农村学校艺术成绩的方差，城区学校艺术成绩波动较大，建议减小两极分化． 58．（2025·江苏南京·中考真题）甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3；乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4，先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球． (1)取出的3个小球上所写数字没有4的概率是____________； (2)取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？ 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）画树状图可得出所有等可能的结果数以及取出的3个小球上所写数字没有4的结果数，再利用概率公式可得出答案． （2）由树状图可得取出的3个小球上所写数字都不相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字没有4的结果有2种， 取出的3个小球上所写数字没有4的概率为． 故答案为：． （2）解：由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字都不相同的结果有4种， 取出的3个小球上所写数字都不相同的概率为． 59．（2025·四川雅安·中考真题）聚焦“双减”落地，凸显“特色”作业．随着暑假来临，某校为学生制定了四类假期实践作业：A．非遗传承人；B．运动打卡师；C．睡眠科学家；D．今天我当家．某班就“你最喜欢哪一类作业”（必须选且只能选一类）进行调查，通过调查绘制出如下不完整的统计图． 请你根据图中的信息解答下列问题： (1)求该班此次调查的学生人数； (2)求的值，并补全条形统计图； (3)开学后，老师准备在甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名同学进行假期实践类作业分享，请利用树状图或列表的方法求恰好达到“甲”和“乙”两位同学的概率． 【答案】(1)该班此次调查的学生人；(2)，见解析；(3)恰好选到“甲”和“乙”两位同学的概率为： 【分析】（1）根据非遗传承人的人数和占比求解即可； （2）根据（1）求出的总学生和今天我当家的人数求出，再求出选择“运动打卡师”假期实践作业的人数，进而补全条形统计图即可； （3）根据题意，用树状图法列出所有等可能结果，进而计算概率即可． 【详解】（1）解：（人）， 答：该班此次调查的学生人； （2）解：∵， ∴， 选择“运动打卡师”假期实践作业的人数为（人）， 补全条形图如下： （3）解：把“甲、乙、丙、丁”分别记为， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中恰好选到“甲”和“乙”两位同学的结果有种， ∴恰好选到“甲”和“乙”两位同学的概率为：． 60．（2025·甘肃·中考真题）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成3个扇形，分别涂有“红、白、蓝”三种颜色，转盘指针固定．转动转盘、等转盘停止转动后，观察指针所落区域的颜色．若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘． (1)任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为_______； (2)任意转动转盘两次（第一次转动转盘，等转盘停止转动后，再第二次转动转盘），用画树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查几何概率，利用列表法求概率，正确的列出表格，熟练掌握概率公式，是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为； 故答案为：； （2）列表：      第二次 第一次 红 白 蓝 红 （红，红） （红，白） （红，蓝） 白 （白，红） （白，白） （白，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，白） （蓝，蓝） 共有9种等可能结果，颜色不同的结果有6种， ． 61．（2025·江苏南通·中考真题）为继承和弘扬中华优秀传统文化，某校将八年级学生随机安排到以下四个场所参加社会实践活动． 已知小明、小华、小丽都是该校八年级学生，求下列事件的概率： (1)小明到南通博物苑参加社会实践活动； (2)小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动． 【答案】(1)；(2)． 【分析】本题主要考查了概率的计算，包括简单事件概率（单一对象选择）和两步事件概率（两人选择），熟练掌握概率公式（，其中是总结果数，是事件发生的结果数 ）以及用列表法列举所有等可能结果是解题的关键． （1）根据有四个等可能的场所，小明选到南通博物苑是其中一种情况，用南通博物苑这一种情况数除以总场所数即可得概率； （2）通过列表法列出小华和小丽选择场所的所有等可能结果，再找出两人都选南通美术馆的结果数，用该结果数除以总结果数得到概率 ． 【详解】（1）解：图中社会实践活动分别用①，②，③，④表示，则小明到南通博物苑参加社会实践活动的概率为； （2）解：列表如下： 小华小丽 ① ② ③ ④ ① ①① ①② ①③ ①④ ② ②① ②② ②③ ②④ ③ ③① ③② ③③ ③④ ④ ④① ④② ④③ ④④ 共有16种等可能的结果数，其中小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的结果数有1种，所以小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的概率为． 62．（2025·江苏宿迁·中考真题）某校建议学生利用周末时间积极参加社会实践活动．某一周末有两个项目供学生选择：A文明交通劝导志愿行，B乡村教育关爱行，每名学生只能选择其中一个项目． (1)甲同学选择A项目的概率为___________； (2)请用画树状图的方法，求甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的概率． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了概率的基本计算，画树状图法求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵有两个项目供学生选择， ∴甲同学选择A项目的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图为：    由树状图可知一共有8种等可能的结果数，其中甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的结果数有2种， ∴甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的概率是． 63．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母．转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次． (1)转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为_______； (2)转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率． 【答案】(1)；(2)转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列举出所有情况，乙盘指针落在C区域未落在Q区域的情况数，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：旋转甲转盘一次，指针落在“A”区域的概率是． （2）解：列表如下： 由表知，所有的情况数有12种，其中转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的情况数有2种， ∴转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为． 64．（2025·江苏无锡·中考真题）一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同． (1)将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是___________； (2)将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同， ∴将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球标号均小于3的结果有2种， ∴两次摸到的球标号均小于3的概率为． 65．（2025·江苏淮安·中考真题）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀． (1)从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是 ； (2)一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率． 【答案】(1)；(2)，见解析 【分析】本题考查利用概率公式计算概率，掌握树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式即可解题； （2）运用树状图列出所有等可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即可． 【详解】（1）解：盒子里装有四张卡片， 从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是， 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“美”，1张为“好”的结果有2种， ∴抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率为：． 66．（2025·江西·中考真题）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． (1)若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（   ） A．必然事件    B．随机事件    C．不可能事件 (2)若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 【答案】(1)B；(2) 【分析】本题主要考查了随机事件、列表法求概率等知识点，正确列表成为解题的关键． （1）直接根据随机事件的定义即可解答； （2）将“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D，然后列表确定所有等可能结果数以及符合题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵随机抽取一个盲盒并打开，四个游戏均有可能， ∴随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件． 故选B． （2）解：“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D， 根据题意列表如下： A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 则共有12种结果，两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的情况数为2． 所以两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $