微专题 二项式定理 讲义-2026届高三数学二轮复习

微专题： 二项式定理 考情分析：近三年全国卷中，二项式定理以选填题考查，分值5分，难度中等偏易，属中低档题型。二项式定理侧重展开式通项公式，常考特定项系数、常数项，偶结合赋值法考系数和问题。 核心考查二项式定理基础公式，要求学生准确区分二项式系数与项的系数，同时侧重检验逻辑分类、分步推理能力和代数运算的准确性，注重基础方法的直接应用。 必备知识： 1.二项式定理：字母a,b是一种“符号”,实际上可以是数和式 (1)二项式定理:(a+b)n= an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn　,n∈N*.  (2)通项:　Tk+1=an-kbk　,它表示展开式的第k+1项.  (3)二项式系数:二项展开式中各项的系数(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数. [教材知识深化] 1.二项展开式的项数为n+1. 2.各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n. 3.字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到为0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到为n. 4.二项式系数是指,…,,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关.如(a+bx)n的二项展开式中,第k+1项的二项式系数是,而该项的系数是an-kbk.当然,在某些二项展开式中,各项的系数与二项式系数是相等的. 2.二项式系数的性质 考向1 二项展开式的特定项 求二项展开式中的项的3种方法 求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项一般需要建立方程求r，再将r的值代回通项求解，注意r的取值范围(r＝0，1，2，…，n)． (1)第m项：此时r＋1＝m，直接代入通项； (2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程； (3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程． 1．（25-26高三上·江苏南京·月考）展开式中的第三项为 ． 2．（25-26高三上·上海宝山·月考）展开式的常数项为 . 3．（2024·广东肇庆·模拟预测）已知的二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（    ） A． B． C．40 D．80 4.已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2025·四川自贡·模拟预测）在的展开式中存在常数项，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 考向2三项式问题 求三项展开式中某些特定项的系数的方法 (1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解． (2)两次利用二项式定理的通项公式求解． (3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量． 1．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）的展开式中的常数项是（   ） A．352 B． C．1120 D． 2．（2025·黑龙江双鸭山·二模）的展开式中项的系数是______． 3．（2025·江西景德镇·二模）已知在展开式中含的项的系数为51，则正实数a的值为______． 4．（2025·广东中山·一模）若，则_____________ 考向3 (a＋b)n(c＋d)m的展开式问题 求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路 (1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解． (2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2. (3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑． 1．（2025·山东枣庄·模拟预测）的展开式中的系数为__________. 2．（2024·湖南益阳·一模）的展开式中常数项是______． 3．（2025·河南漯河·二模）的展开式中的系数是________． 4．（2025·山东青岛·三模）已知的展开式中，的系数记为，则_________. 5．（2025·山西太原·模拟预测）若的展开式中的系数为121，则_____． 考向4二项式系数及二项式系数和 二项式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝2n． 1．若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（   ） A． B．各项的二项式系数和为128 C．二项式系数最大的项只有1项 D．第5项系数等于 2．（25-26高三上·江苏南京·月考）若二项式的展开式中二项式系数和为 64 ，那么该展开式中的常数项为（    ） A． B． C．15 D．20 3．（25-26高三上·北京昌平·期中）已知的二项式系数和为64，则二项式系数最大值为 4．（25-26高三上·天津·月考）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 . 考向5赋值法求系数和问题 赋值法在求各项系数和中的应用 （1）对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可； （2）对（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可； （3）一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开式中各项系数之和为f（1），奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 1．（25-26高三上·江苏泰州·月考）已知的二项展开式中各项系数的和为 ． 2．（2024·贵州贵阳·二模）若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西榆林·三模）（多选）若，则下列选项正确的有（   ） A． B．展开式中所有项的二项式系数的和为 C．奇数项的系数和为 D． 4．（2025·贵州铜仁·一模）（多选）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·福建漳州·模拟预测）（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 6.（25-26高三上·重庆·开学考试）（多选题）已知 则（    ） A． B． C． D． 考向6杨辉三角形及应用 1．（2025·浙江温州·模拟预测）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（    ）． A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86 B．第9行所有数字之和为256 C．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 D．在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286 2．（2024·河北承德·一模）（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（    ） A． B．第10行所有数字之和为 C．第2026行的第1013个数最大 D．第15行中从左到右第4个数与倒数第4个数之比为1:3 3．（2025·山东聊城·模拟预测）“杨辉三角”具有很多有趣的性质，如图所示，将最上面一行记为第0行，则从第1行起，每一行两端都是数字1，而其余位置上的每个数都等于它“肩上”两个数的和；每一行第一个数构成常数列；从第一行起，每一行第二个数构成自然数列.现从第二行起，将每一行第三个数构成的数列记为，如图，实线上的数即为的前4项.记，则_____. 4．（2024·云南曲靖·二模）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.题图为“杨辉三角”的一部分（如图），记第n行的第i个数为，则______.    考向7 整除问题 整除问题：一般把指数的底数拆成与除数有关的数的和，再利用二项式定理展开研究. 规律方法：利用二项式定理解决整除问题的思路：①观察除式与被除式间的关系；②将被除式拆成二项式；③结合二项式定理得出结论. 1．（2025·甘肃白银·三模）98除的余数是（   ） A．1 B．9 C．3 D．6 2．除以128的余数为（   ） A．51 B．43 C．41 D．33 3．（25-26高三上·四川成都·月考）已知，，若，，则（    ） A．1 B．13 C．12 D．2 4．若，且，若能被9整除，则的值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 5．被9除的余数是 . 6．（2025·湖北武汉·三模）被8除的余数为 . 考向8 近似计算问题 1．最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 2．实数精确到的近似值为 . 3． （精确到0.01） 考向9 二项式系数与系数的最值问题 1.求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解 2.二项展开式系数最大项的求法 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用 从而解出k来，即得． 1．（2025·湖南衡阳·三模）的展开式中二项式系数最大的项为___________． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项是_______ . 3．（2025·山西长治·模拟预测）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中系数为实数且最大的项为（   ） A．第三项 B．第四项 C．第五项 D．第五项或第六项 4．（2025·广东云浮·模拟预测）的二项展开式中系数最大的项是__________. 5．（2025·四川广安·一模）的展开式中的系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________． 6.已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三下·重庆渝中·月考）在 的展开式中系数最大的项为 . 课后作业 基础题组练 1.（25-26高三上·广东·开学考试）（多选题）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（　　） A．常数项为 B．各项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第项 D．有理项的系数和为 2.（2025·广东·模拟预测）的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．30 C．45 D．15 3.（2025·安徽黄山·一模）若二项式展开式中的常数项为160，则 ． 4.（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）的常数项为 . 5.(2024·贵州贵阳二模)已知x5=a0+a1(x+1)++a3(x+1)3+a4(x+1)4+a5(x+1)5,则a2=(　　) A.15 B.10 C.-10 D.-15 6.(2024·湖南长沙二模)(1+x)i的展开式中x3的系数为(　　) A.180 B.210 C.240 D.250 7.(2024·安徽皖江名校二模)已知x-n的展开式中二项式系数和为256,则展开式中系数最大的项为(　　) A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项 8.(2024·浙江嘉兴模拟)x+2x-5展开式中的常数项是120,则实数a=　　　　　.  9.(2024·河南三模)若n(n∈N*)的展开式中存在常数项,则n的值可以是　　　　.(写出一个值即可)  10.（25-26高三上·江苏南通·月考）（多选题）已知二项展开式，下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 综合提升练 11.(2024·江西上饶模拟)《孙子算经》对同余除法有较深的研究.设a,b,m(m>0)为整数,若a和b同时除以m所得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a≡b(mod m).若a=+…+,a≡b(mod 10),则b的值可以是(　　) A.2 021 B.2 022 C.2 023 D.2 024 12.(多选题)(2024·浙江如东模拟)若(x2+x-2)10=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a20x20,则(　　) A.a0=1 024 B.a1=1 C.a19=10 D.a1+a3+a5+…+a19=-512 13.(多选题)(2024·福建泉州一模)已知x+n(n∈N*)的展开式中共有8项,则该展开式结论正确的是(　　) A.所有项的二项式系数和为128 B.所有项的系数和为8 C.系数最大项为第2项 D.有理项共有4项 14.(2025·上海同济大学一附中高三检测)已知(1+2 024x)50+(2 024-x)50=a0+a1x+a2x2+…+a50x50,若ak<0,k∈{0,1,2,…,50},则实数k的最大值为　　　　.  15.(2024·河北“五个一”名校联盟模拟)已知x+n+2的展开式中各项系数和为8,则展开式中常数项为　　　　　.  16.(2024·江西景德镇三模)若关于x,y的多项式的展开式中各项系数之和为64,则n=　　　　;其中含xy的项的系数的最大值为　　　　.  17.（2025·湖北·模拟预测）（多选题）下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．被8整除的余数为1 D．精确到的近似数为 18．（25-26高三上·山西长治·月考）（多选题）已知函数，则（    ） A． B． C．的个位数是9 D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题： 二项式定理 考情分析：近三年全国卷中，二项式定理以选填题考查，分值5分，难度中等偏易，属中低档题型。二项式定理侧重展开式通项公式，常考特定项系数、常数项，偶结合赋值法考系数和问题。 核心考查二项式定理基础公式，要求学生准确区分二项式系数与项的系数，同时侧重检验逻辑分类、分步推理能力和代数运算的准确性，注重基础方法的直接应用。 必备知识： 1.二项式定理：字母a,b是一种“符号”,实际上可以是数和式 (1)二项式定理:(a+b)n= an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn　,n∈N*.  (2)通项:　Tk+1=an-kbk　,它表示展开式的第k+1项.  (3)二项式系数:二项展开式中各项的系数(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数. [教材知识深化] 1.二项展开式的项数为n+1. 2.各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n. 3.字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到为0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到为n. 4.二项式系数是指,…,,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关.如(a+bx)n的二项展开式中,第k+1项的二项式系数是,而该项的系数是an-kbk.当然,在某些二项展开式中,各项的系数与二项式系数是相等的. 2.二项式系数的性质 考向1 二项展开式的特定项 求二项展开式中的项的3种方法 求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项一般需要建立方程求r，再将r的值代回通项求解，注意r的取值范围(r＝0，1，2，…，n)． (1)第m项：此时r＋1＝m，直接代入通项； (2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程； (3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程． 1．（25-26高三上·江苏南京·月考）展开式中的第三项为 ． 【答案】 【分析】根据二项式的通项公式：对于，其展开式的第项为，代入已知条件求解. 【详解】根据二项式的通项公式得： 故答案为：. 2．（25-26高三上·上海宝山·月考）展开式的常数项为 . 【答案】 【分析】利用二项展开式的通项即可求解. 【详解】的二项展开式的通项为， 令，则， 所以展开式的常数项为. 故答案为：. 3．（2024·广东肇庆·模拟预测）已知的二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（    ） A． B． C．40 D．80 【答案】B 【详解】由题知，，解得， 所以的展开式的通项为， 令，得，所以的系数为. 故选：B. 4.已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据第项的二项式系数为，求出，再根据二项展开式的通项，即可求出其有理项. 【详解】由题知，又， 所以，展开式通项为，令， 则，所以展开式中有4项的有理项. 故选：C 5．（2025·四川自贡·模拟预测）在的展开式中存在常数项，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由二项式的展开式的通项， 令，得，因为，所以的最小值为. 故选：B. 考向2三项式问题 求三项展开式中某些特定项的系数的方法 (1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解． (2)两次利用二项式定理的通项公式求解． (3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量． 1．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）的展开式中的常数项是（   ） A．352 B． C．1120 D． 【答案】C 【详解】法一：原式， 所以其常数项为． 法二：原式． ， 由，得， 所以常数项为． 故选：C. 2．（2025·黑龙江双鸭山·二模）的展开式中项的系数是______． 【答案】60 【详解】将看作个因式相乘， 则得到需从个因式中先选择个因式取，有种不同的取法； 再从剩余个因式中选择个因式取，有种不同的取法， 最后从剩下的因式中取，有种不同的取法， 根据分步乘法计数原理，可得的系数为， 故答案为：. 3．（2025·江西景德镇·二模）已知在展开式中含的项的系数为51，则正实数a的值为______． 【答案】1 【详解】由展开式中， 所以， 解得或（舍）． 故答案为： 4．（2025·广东中山·一模）若，则_____________ 【答案】392 【详解】依题意，令，得， 展开式的项是5个多项式中，取1个用，再从余下4个中取1个用，另3个都用2， 或者是5个多项式中，取3个用，另2个都用2， 因此， 所以. 故答案为：392 考向3 (a＋b)n(c＋d)m的展开式问题 求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路 (1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解． (2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2. (3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑． 1．（2025·山东枣庄·模拟预测）的展开式中的系数为__________. 【答案】 【详解】的展开式中的项为， 所以的展开式中的系数为. 故答案为：. 2．（2024·湖南益阳·一模）的展开式中常数项是______． 【答案】61 【详解】对于，展开式通项为，， 令，可得，此时， 令，可得，此时， 所以原式的展开式中常数项为. 故答案为： 3．（2025·河南漯河·二模）的展开式中的系数是________． 【答案】-3 【详解】法一：（双通项法）的展开式的通项为，的展开式的通项为， 则的展开式的通项为，其中，．令， 得，于是的展开式中的系数等于. 法二：， 于是的展开式中的系数为． 故答案为：-3. 4．（2025·山东青岛·三模）已知的展开式中，的系数记为，则_________. 【答案】 【详解】由题可得： 故答案为： 5．（2025·山西太原·模拟预测）若的展开式中的系数为121，则_____． 【答案】3 【详解】由， 而的展开式的通项为，， 因为的展开式中的系数为121， 所以，解得. 考向4二项式系数及二项式系数和 二项式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝2n． 1．若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（   ） A． B．各项的二项式系数和为128 C．二项式系数最大的项只有1项 D．第5项系数等于 【答案】B 【分析】根据二项展开式的通项公式和相关性质逐一判断各选项即可. 【详解】由题意，解得，故A错误； 二项展开式的各项的二项式系数和为，故B正确； 的二项展开式共有8项，其二项式系数最大的项有两项，分别为第四项和第五项，故C错误； 对于D，二项展开式的第5项为，其系数为35，故D错误. 故选：B. 2．（25-26高三上·江苏南京·月考）若二项式的展开式中二项式系数和为 64 ，那么该展开式中的常数项为（    ） A． B． C．15 D．20 【答案】A 【分析】由二项式系数和求得，再由二项式展开式的通项得，令，解出，代入即可求解. 【详解】由题意得， ，所以展开式的通项为 令 ，所以展开式中的常数项为． 故选：A. 3．（25-26高三上·北京昌平·期中）已知的二项式系数和为64，则二项式系数最大值为 【答案】20 【分析】根据二项式系数和为可得，再结合二项式系数的性质即可求解. 【详解】因为的二项式系数和为64，则，解得， 所以二项式系数最大值为. 故答案为：20. 4．（25-26高三上·天津·月考）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 . 【答案】7 【分析】根据只有第5项的二项式系数最大，可得，写出展开式的通项公式，令，求得k值，代入即可求出答案. 【详解】因为只有第5项的二项式系数最大， 所以展开式共有9项，即， 所以展开式的通项公式为， 令，解得， 所以展开式中的系数为. 故答案为：7 考向5赋值法求系数和问题 赋值法在求各项系数和中的应用 （1）对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可； （2）对（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可； （3）一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开式中各项系数之和为f（1），奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 1．（25-26高三上·江苏泰州·月考）已知的二项展开式中各项系数的和为 ． 【答案】256 【分析】利用赋值法计算即可. 【详解】对于，令， 则的二项展开式中各项系数的和为． 故答案为：256 2．（2024·贵州贵阳·二模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， 令，得 ①，再令，得 ②. 得，，所以. 故选：D. 3．（2025·陕西榆林·三模）（多选）若，则下列选项正确的有（   ） A． B．展开式中所有项的二项式系数的和为 C．奇数项的系数和为 D． 【答案】ABD 【详解】对于A：因为，因此，故A正确； 对于B：展开式中所有项的二项式系数的和为，故B正确； 对于C：令，可得； 再令，可得， 将两式相加，即得展开式中所有奇数项系数的和为，故C错误； 对于D：令，则， 再令，可得， 所以，故D正确． 4．（2025·贵州铜仁·一模）（多选）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，取，得，A错； 对于B,展开式中项的系数为，B对； 对于C，令， 可得二项式， 展开式中各项系数均为正， 即， 又 ，C错； 对于D，取，得， 取，得， 联立解得， 因此，D对. 故选：BD 5．（2025·福建漳州·模拟预测）（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】A：二项式展开式中最高次项的指数为， 所以展开式中最高次项的指数为， 所以，因此本选项说法正确； B：展开式中最高次项的指数为，系数为， 所以， 含项的系数为， 中，含项的系数， 所以，因此本选项说法正确； C：在中， 令，得， 令，得， 两式相减，得， 所以本选项说法不正确； D：由上可知，所以本选项说法正确. 故选：ABD 6.（25-26高三上·重庆·开学考试）（多选题）已知 则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用二项展开式的通项公式求，判断A的真假；利用赋值法，令可判断B的真假；利用赋值法，分别令和，求出和可判断C的真假；设，求导，再令可判断D的真假. 【详解】对A：因为，故A错误； 对B：令，得，故 B正确； 对C：令得①， 令得②. ①    ②得：；①②得. 所以，故C正确； 对D：设， 则. 再令得，故D错误. 故选：BC 考向6杨辉三角形及应用 1．（2025·浙江温州·模拟预测）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（    ）． A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86 B．第9行所有数字之和为256 C．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 D．在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286 【答案】D 【详解】在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是，A错误； 由二项式系数的性质知，第n行各数的和为，所以第8行所有数字之和为，则第9行数字之和必大于256，B错误； 第20行数字的最大值为，第21行数字的最大值为，所以，C错误； 在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为，D正确． 故选：D 2．（2024·河北承德·一模）（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（    ） A． B．第10行所有数字之和为 C．第2026行的第1013个数最大 D．第15行中从左到右第4个数与倒数第4个数之比为1:3 【答案】AB 【详解】对于，故A正确； 对于B，由杨辉三角的每行系数和性质可知， 第0行所有数字之和为，第1行所有数字之和为， 第2行所有数字之和为，第3行所有数字之和为， 第4行所有数字之和为，以此类推，第10行所有数字之和为，故B正确； 对于C，由杨辉三角图可知，第行有个数字， 如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大； 如果是偶数，则第个数字最大，故第2026行的第个数最大，故C错误； 对于D，由题意，第15行，第4个数为， 倒数第4个数为，即，故D错误. 故选：AB. 3．（2025·山东聊城·模拟预测）“杨辉三角”具有很多有趣的性质，如图所示，将最上面一行记为第0行，则从第1行起，每一行两端都是数字1，而其余位置上的每个数都等于它“肩上”两个数的和；每一行第一个数构成常数列；从第一行起，每一行第二个数构成自然数列.现从第二行起，将每一行第三个数构成的数列记为，如图，实线上的数即为的前4项.记，则_____. 【答案】/ 【详解】在杨辉三角中，第行的第个数（从第行开始计数）为， ， 所以， 所以, 故答案为：. 4．（2024·云南曲靖·二模）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.题图为“杨辉三角”的一部分（如图），记第n行的第i个数为，则______.    【答案】 【详解】由题意，根据二项展开式的性质，可得， 则. 故答案为：. 考向7 整除问题 整除问题：一般把指数的底数拆成与除数有关的数的和，再利用二项式定理展开研究. 规律方法：利用二项式定理解决整除问题的思路：①观察除式与被除式间的关系；②将被除式拆成二项式；③结合二项式定理得出结论. 1．（2025·甘肃白银·三模）98除的余数是（   ） A．1 B．9 C．3 D．6 【答案】A 【分析】将转化为，写出其二项展开式，即可求解. 【详解】，故98除的余数是1． 故选：A 2．除以128的余数为（   ） A．51 B．43 C．41 D．33 【答案】C 【分析】变形为，再利用二项展开式即可得到答案. 【详解】因为， 且显然能被128整除， 所以所求余数即为681除以128的余数. 因为，所以除以128的余数为41. 故选：C. 3．（25-26高三上·四川成都·月考）已知，，若，，则（    ） A．1 B．13 C．12 D．2 【答案】B 【分析】由题可得，变形即可求解. 【详解】由题可得, 所以得 ， 由于 ，所以； 故选：B 4．若，且，若能被9整除，则的值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】A 【分析】变形，写出通项，根据通项可知，除不能被9整除，其他项均能被9整除，进而只需满足能被9整除，即可根据的取值范围得出答案. 【详解】因为， 所以该二项展开式的通项为， 当时，能被9整除， 但时，不能被9整除， 要使能被9整除，则能被9整除， 因为，所以， ，即. 故选：A. 5．被9除的余数是 . 【答案】7 【分析】本题可先根据二项式定理将原式变形，然后分析变形后的式子被9除的余数. 【详解】根据二项式定理， 对进行变形， 可得，即. 因为，所以. 根据二项式定理展开： ， 则. 除了最后一项，其余各项都含有因数9，都能被9整除， 所以除以9的余数就是. 即被9除的余数是. 故答案为：7. 6．（2025·湖北武汉·三模）被8除的余数为 . 【答案】2 【分析】根据二项式展开式性质计算求解余数. 【详解】， 因为能被8整除， 所以除以8的余数即是被8除的余数， 所以被8除的余数是2. 故答案为：2. 考向8 近似计算问题 1．最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【答案】C 【分析】利用二项式定理进行估值即可. 【详解】由题意得， 由二项式定理得， 而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可， 所以我们得到， 则其与1.22更接近，故C正确. 故选：C 2．实数精确到的近似值为 . 【答案】 【分析】先将变形为，再利用二项式定理展开化简即可得解. 【详解】因为 ， 将精确到，故近似值为. 故答案为：. 3． （精确到0.01） 【答案】30.84 【分析】先利用二项式定理将原式化为，再变形为，利用二项式定理展开，并近似计算． 【详解】原式 故答案为：30.84． 考向9 二项式系数与系数的最值问题 1.求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解 2.二项展开式系数最大项的求法 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用 从而解出k来，即得． 1．（2025·湖南衡阳·三模）的展开式中二项式系数最大的项为___________． 【答案】 【详解】由二项式性质得的展开式中二项式系数最大的项为第5项， 由二项式定理得的展开式通项为，， 令，解得，则第5项为. 故答案为： 2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项是_______ . 【答案】210 【详解】已知 的展开式中只有第6项系数最大，所以，解得. 通项公式为： . 令，则，所以常数项为. 故答案为：210. 3．（2025·山西长治·模拟预测）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中系数为实数且最大的项为（   ） A．第三项 B．第四项 C．第五项 D．第五项或第六项 【答案】C 【详解】． 由，得， 所以， 又， 据此可知当时系数为实数， 实数系数分别为， ，， ， ，， 经比较可知最大值为210，此时，对应第五项. 故选：C． 4．（2025·广东云浮·模拟预测）的二项展开式中系数最大的项是__________. 【答案】或 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 设展开式第项的系数最大， 则，即，解得， 又，或，展开式中系数最大的项为或. 故答案为：或. 5．（2025·四川广安·一模）的展开式中的系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________． 【答案】 【详解】因为， 令，得各项系数的和， ．又． 因为展开式各项的系数与二项式系数是相等的， 由二项式系数的性质得系数最大的项为． 故答案为： 6.已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式定理展开公式，结合系数最大列出不等式即可求解. 【详解】的展开式的通项为， 由题可知，解得． 故选：A 7．（24-25高三下·重庆渝中·月考）在 的展开式中系数最大的项为 . 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求结果. 【详解】的展开式的通项公式为, 所以系数为，其中， 当为奇数时，为负数，系数不是最大， ， 所以系数最大的项为 故答案为： 课后作业 基础题组练 1.（25-26高三上·广东·开学考试）（多选题）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（　　） A．常数项为 B．各项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第项 D．有理项的系数和为 【答案】AC 【分析】根据二项式展开式的通项、对赋值进行计算即可求解. 【详解】二项式的通项为：， 当即时，该项为常数项，即，故选项A正确； 当时，各项系数和为，故选项B错误； 因为是偶数，所以二项式系数最大的项是， 即第项为二项式系数最大的项，故选项C正确； 有理项要求的指数为整数，即为整数， 令，则，即，故需为偶数， 因此，分别计算对应项的系数： ， ， ， ， 有理项系数和为，因此选项D错误. 故选：AC. 2.（2025·广东·模拟预测）的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．30 C．45 D．15 【答案】A 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】的展开式中，有， 则的系数为，的系数为， 所以的展开式中，的系数为． 故选：A． 3.（2025·安徽黄山·一模）若二项式展开式中的常数项为160，则 ． 【答案】2 【分析】求出二项展开式的通项，令的指数等于零，再根据题意建立等量关系，即可求出. 【详解】由题二项式展开式的通项公式为：， 所以当时的项为常数项，解得. 故答案为：2. 4.（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）的常数项为 . 【答案】31 【分析】本题如果使用公式，计算将非常繁琐，选择使用组合数的方法，进行解答即可. 【详解】选取常数项；应将含有的项全部消掉（约分掉），观察项中的的指数比，为， 为了将指数化为0，如果选了一个，则应该选择2个， 所以所有选择的可能性有以下两种：①分别选择0个、0个、5个；②分别选择1个、2个、2个， 应用组合数可得：. 故答案为：. 5.(2024·贵州贵阳二模)已知x5=a0+a1(x+1)++a3(x+1)3+a4(x+1)4+a5(x+1)5,则a2=(　　) A.15 B.10 C.-10 D.-15 答案：C 解析 因为x5=[-1+(x+1)]5,由二项展开式的通项公式,可得T3=(-1)3(x+1)2,所以a2=-10. 6.(2024·湖南长沙二模)(1+x)i的展开式中x3的系数为(　　) A.180 B.210 C.240 D.250 答案：B 解析(1+x)i=(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7+(1+x)8+(1+x)9,所以x3系数为+…++…+=210. 7.(2024·安徽皖江名校二模)已知x-n的展开式中二项式系数和为256,则展开式中系数最大的项为(　　) A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项 答案：C 解析由已知2n=256,故n=8,故展开式的通项公式为Tk+1=x8-k-k=(-1)k2kx8-2k(k=0,1,…,8),故奇数项的系数为正数,偶数项的系数为负数,20=1,22<24,26=424,则>1,>1,故26最大,因此第7项的系数最大. 8.(2024·浙江嘉兴模拟)x+2x-5展开式中的常数项是120,则实数a=　　　　　.  答案：2 解析∵2x-5展开式的通项公式为Tr+1=(-1)r25-rx5-2r(r=0,1,2,…,5),令5-2r=-1,得r=3,即T4=-22x-1=-. 令5-2r=1,得r=2,即T3=23x=80x, ∴x+2x-5展开式中的常数项为x·T4+·T3=-40+80a,故-40+80a=120,解得a=2. 9.(2024·河南三模)若n(n∈N*)的展开式中存在常数项,则n的值可以是　　　　.(写出一个值即可)  答案：5(答案不唯一,满足n=5k,k∈N*即可) 解析n的展开式的通项公式为Tr+1=r=2r=2r=2r(0≤r≤n且r∈N),令(2n-5r)=0,则r=,又0≤r≤n且r∈N,所以n=5k,k∈N*. 10.（25-26高三上·江苏南通·月考）（多选题）已知二项展开式，下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】令，利用二项展开式通项可判断A选项；利用赋值法可判断BC选项；求导，结合赋值法可判断D选项. 【详解】令， 对于A选项，的展开式通项为， 其中，，所以，A对； 对于B选项，， 所以，B错； 对于C选项，， 所以，C对； 对于D选项，， 故，D对. 故选：ACD. 综合提升练 11.(2024·江西上饶模拟)《孙子算经》对同余除法有较深的研究.设a,b,m(m>0)为整数,若a和b同时除以m所得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a≡b(mod m).若a=+…+,a≡b(mod 10),则b的值可以是(　　) A.2 021 B.2 022 C.2 023 D.2 024 答案：C 解析a=+…+=230-1=810-1=(10-2)10-1=1010+109×(-2)+108×(-2)2+…+(-2)10-1=10[109+108×(-2)+…+(-2)9]+1 024-1=10[109+108×(-2)+…+(-2)9+102]+3,所以a除以10的余数为3,选项中除以10余数为3的数只有2 023. 12.(多选题)(2024·浙江如东模拟)若(x2+x-2)10=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a20x20,则(　　) A.a0=1 024 B.a1=1 C.a19=10 D.a1+a3+a5+…+a19=-512 答案：ACD 解析令x=0,得a0=(-2)10=1 024,故A正确; 令x=1,得a0+a1+…+a20=0, 令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a18-a19+a20=1 024, 两式相减得a1+a3+a5+…+a19=-512,故D正确; 易知=(x-1)10(x+2)10,而(x-1)10中的常数项为1,含x项为x×(-1)9=-10x,含x9项为x9×(-1)=-10x9,含x10项为x10,同理(x+2)10中的常数项为1 024,含x项为x×29=5 120x,含x9项为x9×2=20x9,含x10项为x10,所以a1=1×5 120+(-10)×1 024=-5 120,故B错误; a19=-10×1+1×20=10,故C正确. 故选ACD. 13.(多选题)(2024·福建泉州一模)已知x+n(n∈N*)的展开式中共有8项,则该展开式结论正确的是(　　) A.所有项的二项式系数和为128 B.所有项的系数和为8 C.系数最大项为第2项 D.有理项共有4项 答案：AD 解析 因为x+n的展开式共有8项,所以n=7.故所有项的二项式系数和为27=128,故A正确;令x=1,可得所有项的系数和为1+7≠8,故B错误;因为展开式的通项公式为Tr+1=·x7-r·r=r·,r=0,1,2,…,7.设Tr+1项系数最大,由解得则r=2,故第3项的系数最大,故C错误;由7-为整数,且r=0,1,2,…,7,可知r的值可以为0,2,4,6,所以展开式中,有理项共有4项,故D正确.故选AD. 14.(2025·上海同济大学一附中高三检测)已知(1+2 024x)50+(2 024-x)50=a0+a1x+a2x2+…+a50x50,若ak<0,k∈{0,1,2,…,50},则实数k的最大值为　　　　.  答案：23 解析因为(1+2 024x)50展开式中xk的系数为 2 024k,(2 024-x)50展开式中xk的系数为2 02450-k(-1)k,所以(1+2 024x)50+(2 024-x)50展开式中xk的系数为2 024k+2 02450-k(-1)k=2 024k[1+2 02450-2k(-1)k],k=0,1,2,…,50.要使ak<0,则k为奇数,且2 02450-2k>1,所以50-2k>0,则k<25,所以k的最大值为23. 15.(2024·河北“五个一”名校联盟模拟)已知x+n+2的展开式中各项系数和为8,则展开式中常数项为　　　　　.  答案：-2 解析令x=1,可得展开式中各项系数的和为(1+1)n+2=2n+2=8,解得n=1. x+3的展开式的通项公式为Tr+1=·x3-r·r=·x3-2r, 因为(x3-x+1)x+3=x3x+3-x·x+3+x+3, 所以展开式中常数项为x3·x-3-x·x-1=1-3=-2. 16.(2024·江西景德镇三模)若关于x,y的多项式的展开式中各项系数之和为64,则n=　　　　;其中含xy的项的系数的最大值为　　　　.  答案：6　 解析的展开式中各项系数之和为64,则令x=y=1,得2n=64,解得n=6,所以的展开式中含xy的项的系数为cos2θ·sin2θ=30cos2θsin2θ≤302=, 当且仅当cos2θ=sin2θ=时等号成立,即最大值为. 17.（2025·湖北·模拟预测）（多选题）下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．被8整除的余数为1 D．精确到的近似数为 【答案】ABD 【分析】逆用二项式定理计算可判断A项，运用赋值法，令，求解可判断B项，由，结合二项式定理计算可判断C项，，结合二项式定理计算可判断D项. 【详解】对于A项，由二项式定理可知，故A项正确； 对于B项，令得①，令得②， 所以①②可得，故B项正确； 对于C项，， 由此可得被8整除的余数为，故C项错误； 对于D项， ， 所以精确到的近似数为，故D项正确. 故选：ABD. 18．（25-26高三上·山西长治·月考）（多选题）已知函数，则（    ） A． B． C．的个位数是9 D． 【答案】BD 【分析】赋值法求系数和判断A、B；由，结合展开式通项得个位数由决定，即可判断C；由并应用二项式定理求对应项系数判断D. 【详解】由题设，令，则，A错； 令，则， 所以，即，B对； 由，展开式通项为， 显然个位数由决定，即个位数是1，C错； 由， 展开式通项为，， 当时，，即， D对. 故选：BD 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $