专题01：概率与统计解答题八种考法归纳 讲义- 2026年高考数学二轮复习高分冲刺【解答题全通关】（上海专用）

该高中数学讲义聚焦高考概率与统计解答题，覆盖分层抽样、数字特征、独立性检验、回归分析、分布列、正态分布等核心考点，按八种考法逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题讲解、分层练习四环节，帮助学生构建从统计估计到概率综合应用的解题框架。 资料以“考法归类+素养导向”为特色，采用真题情境驱动教学，如结合奥运会成绩数据讲解回归分析培养数据意识，设置基础巩固与能力提升分层练习。通过数学思维训练提升学生用数学语言表达现实问题的能力，为教师把控复习节奏、学生高效突破解答题提供系统支撑。

2026年高考数学二轮复习高分冲刺【解答题全通关】 专题01 概率与统计解答题八种考法归纳 1.（2026·上海·春季高考）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下： 年龄 剪纸 摄影 画画 人数 8 45 10 55 6 50 (1)现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？ (2)该兴趣班150人的平均年龄是多少？ (3)现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在为事件，记抽到学员爱好摄影为事件.事件与是否独立？请说明理由. 2．（2025·上海·高考真题）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 (1)求这组数据的极差与中位数； (2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率； (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）． 3．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示： 时间范围学业成绩 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1） (3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ 4．（2023·上海·高考真题）21世纪汽车博览会2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B取到模型有棕色内饰，求，并据此判断事件A和事件B是否独立； (2)为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型。为了得到奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元。 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。 请判断以上三种结果分别对应几等奖。设中奖的奖金数是，写出的分布，并求的数学期望。 题型01：统计方法、统计图表、统计估计与概率综合 1. （2026上海徐汇高三模拟）某平台为了研究用户日均观看短视频的时长，随机抽取了200名用户进行调查，得到数据如下表： 日均时长（分钟） [40，50] 频数 30 50 80 30 10 (1)估计这200名用户日均观看时长的第70百分位数； (2)若平台规定“日均观看时长不少于30分钟的用户为潜在高粘性用户”，现从样本中有放回地抽取次，每次抽取1人，记抽到潜在高粘性用户的人数为. （i）当时，求的分布列和数学期望； （ii）若平台希望至少抽到1名潜在高粘性用户的概率不低于，至少需抽取多少次？（参考数据：） 2. （2025上海普陀高三模拟）固态电池是纯电动汽车搭载的新一代电池，与使用电解液的传统液态锂离子电池相比，固态电池具有安全性能高、能量密度大等特点．某公司试生产了一批新型固态电池，为了了解该批次固态电池的“循环寿命”x（循环寿命是指：电池的容量下降到初始容量的某一阈值时，完成充放电循环的次数）的情况，从这批固态电池中随机抽取了100组进行了测试，并统计绘制了下表： 循环寿命x（千次） 组数y 5 15 a b 5 已知循环寿命x（千次）的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）． (1)求a，b的值； (2)根据测试数据可以认为“循环寿命”x近似服从正态分布，经计算样本标准差s的估计值为0.7．用样本数据的平均值作为的值，用样本标准差s的估计值作为的值． （ⅰ）若规定：循环寿命的电池为一等品；的电池为优等品．求试生产的电池的一等品率和优等品率的估计值（结果用百分数表示）； （ⅱ）在该型电池的生产中，称发生概率低于0.27%的事件为小概率事件，在质量控制时，如果小概率事件未发生，则认为该批产品合格；否则可以认为该批产品不合格．若这100组电池中，循环寿命x的最大值和最小值分别为6.5和2.3．请判断该批固态电池是否合格？并说明理由． 参考数据：若随机变量，则，，． 3．（2026青浦区高三阶段练习）某企业的甲、乙两条生产线都生产M型零件，一天中，甲、乙两条生产线分别生产320件和1280件M型零件，为了解该企业M型零件的生产质量，现利用分层随机抽样，从一天中生产的M型零件中随机抽取40件，测量其尺寸（单位：mm），所得尺寸数据的统计结果如下表： 平均尺寸 标准差 甲生产线p件M型零件 80 6 乙生产线q件M型零件 70 4 (1)求这40件M型零件尺寸的平均数； (2)求这40件M型零件尺寸的标准差； (3)假设该企业一天中生产的M型零件尺寸服从正态分布，其中用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值.试估计：这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件是否低于40件? 参考数据：①n个数，，，…，的方差为；②若随机变量X服从正态分布，则，，；③. 4.（2026上海黄浦高三阶段练习）某校为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组．第二组，……第六组，画出频率分布直方图如图所示， (1)估计该校学生这次测试成绩的第25百分位数； (2)估计该校学生这次测试成绩的平均值（每一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3)从两组中按分层抽样抽取5名学生，再随机抽取3名同学进行问卷测试，问3名同学中恰好只有1名同学成绩在之间的概率． 5．(2025·上海奉贤·一模)为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一､高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人. (1)学校高中三个年级一共有多少个学生？ (2)若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中是正整数） 日均睡眠时间（小时） 8.5 9 9.5 10 学生数量 32 13 11 4 求该样本的第40百分位数. (3)从这100名学生的样本中随机抽取三个学生的日均睡眠时间，求其中至少有1个数据来自高三学生的概率. 题型02：相关分析与概率综合 6. 近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到2024年某地新能源汽车销量（单位：千辆） 年份 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 销量 33 69 93 129 附：相关系数； 回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为， (1)试根据样本相关系数的值判断该地汽车销量与年份代号的线性相关性强弱（，则认为与的线性相关性较强，，则认为与的线性相关性较弱）；（精确到0.001） (2)建立关于的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量． 7. 随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后18个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得， . (1)求样本的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)已知这18个月中有10个月的销售金额高于平均数，从这18个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额高于平均数的月份数为，求随机变量的分布列． 附：相关系数． 8. 我国新能源汽车迅速崛起，成为推动绿色革命的核心引擎.某品牌新能源汽车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：.现有①和②两种模型作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中均为常数. (1)请从样本相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ (2)为刺激消费，省出台了以下补贴政策：每购买一辆新能源汽车，补贴6000元.若甲､乙两人近期在省购买一辆该新能源汽车的概率分别为，其中，每人最多购买一辆.求该省对甲､乙两人补贴总金额的期望值的取值范围. 参考数据：. 相关系数. 题型03：回归分析与概率综合 9．（2025上海中学高三月考）为了检查一批零件的质量是否合格，检查员计划从中依次随机抽取零件检查：第次检查抽取号零件，测量其尺寸(单位：厘米)．检查员共进行了100次检查，整理并计 算得到如下数据：，，． (1) 这批零件共有1000个．若在抽查过程中，质量合格的零件共有60个，估计这批零件中质量合格的零件数量； (2) 若变量与存在线性关系，记，求回归系数的值； (3) 在抽出的100个零件中，检查员计划从中随机抽出20个零件进行进一步检查，记抽出的20个零件中有对相邻序号的零件．求的数学期望． 10．（2025·上海宝山·二模）某游乐园的活动项目共有三类，分别是“过山车”等10个体验类项目、“海豚之舞”等4个表演类项目、“智力闯关”等3个互动类项目.因设备维护需要，项目并非每日都全部开放.以下数据是项目开放的数量（个）和游客平均等待时间（分钟/个）的关系： 项目类别 体验类 演出类 互动类 开放数量（个） 4 5 6 7 8 2 4 2 3 平均等待时间（分钟/个） 76 73 67 60 53 30 46 30 (1)体验类项目中，若关于的回归方程为，请计算的值，并依据该模型预测所有体验类项目均开放时的平均等待时间（精确到整数）； (2)小王游玩当日，体验类、演出类、互动类项目分别开放了8个、4个、3个，他计划随机游玩其中的3个项目，已知他选择的项目中至少包含1个互动类项目，求他的等待总时间恰为120分钟的概率； (3)为提高游客的参与度，园方在互动类项目“智力闯关”中设计了两关.通过第一关的游客奖励20个游园币，游客可以选择结束或继续闯关.若继续闯关，则必须完成第二关的所有题目.第二关包含2道相互独立的选择题，每答对1题可再奖励20个游园币，每答错1题则要扣除10个游园币.每个游园币可兑换园区内任意一个项目的1分钟等待时间.小王已通过第一关，假设他在第二关中每道题答对的概率均为，为了获得更多项目等待时间的兑换奖励，小王是否应该继续闯关？请你帮他做出决策. 11.（2025华东师大三附中高三三模）根据相关研究报告显示，预计年电商交易额突破亿元，网购用户规模接近亿．下表为某网店统计的近个月的利润（单位：万元），其中为月份代号． 月份 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 2025年4月 月份代号 1 2 3 4 5 利润／万元 8 6.3 5.1 3.2 2.4 （1）依据表中的统计数据，计算样本相关系数（精确到），判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系；若可用，求出关于的经验回归方程，并估计年月该网店利润；若不可用，请说明理由； （2）该专营店为了吸引顾客，推出两种抽奖方案．方案一：一次性购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折，其余情况不打折．方案二：从装有个形状大小、完全相同的小球（其中红球个，白球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸出个红球和一个白球打六折，摸出个黑球打八折，其余情况不打折．某顾客计划在此网店购买元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 参考：，， 12. 随着国内人均收入的增加，居民的健康意识也不断增加，健身器材行业发展迅速，下面为年中国健身器材市场规模（单位：百亿元）. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 4.1 4.4 4.8 5.5 6.3 (1)由上面数据可知，可用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（，的值精确到）； (2)数据显示2024年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为，用频率估计概率，现从2024年购买过体育用品类的中国消费者中国随机抽取3人，记购买过运动防护类的消费者人数为，求的分布列与数学期望. 参考数据： 其中. 参考公式：对于一组数据，，，，其经验回归直线的斜率与截距的最小二乘法公式为：，. 题型04：独立性检验与概率综合 13. （2025建平中学高三下学期三模）轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及颜值经济的火热，轻食行业迎来快速发展.某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查.统计其中400名中国轻食消费者（表中4个年龄段的人数各100人）食用轻食的频数与年龄得到如下的频数分布表. 使用频数 偶尔1次 30 15 5 10 每周1～3次 40 40 30 50 每周4～6次 25 40 45 30 每天1次及以上 5 5 20 10 （1）若把年龄在的消费者称为青少年，年龄在的消费者称为中老年，每周食用轻食的频数不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据所给数据，完成列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关； （2）从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用分层抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，，.求的分布列与期望； （3）已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品概率分别为，，，求小李晚餐选择低卡甜品的概率. 参考公式：，. 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 14.近日，2025年江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”）如火如荼地进行，引发广泛关注．某地区随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 男性 25 150 女性 50 75 (1)列出列联表并根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“苏超”赛事与性别有关？ (2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取3名市民参加“苏超”赛事知识问答．已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成相互独立．求在有且仅有2人顺利完成的条件下，这2人的性别不同的概率． 附：． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 15. 为了研究“长期长跑”与“半月板损伤”之间的关系，研究人员在长跑爱好者中随机抽取了1000人进行调查，所得数据统计如下表所示： 组别 半月板的健康状况 合计 半月板正常 半月板损伤 长期长跑 40 360 400 非长期长跑 460 140 600 合计 500 500 1000 (1)根据小概率值的独立性检验，判断“长期长跑”与“半月板损伤”之间是否相关； (2)若按照半月板的健康状况，使用分层随机抽样的方法从长期长跑的爱好者中随机抽取人，再从这人中随机挑选人，记抽到的人中半月板损伤的人数为，求的分布列与均值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（2025·陕西西安·一模）鄂尔多斯某地一景区为了吸引游客，进行了马术实景剧的展演.景区为了解游客对其开展的“马术实景剧”活动的满意度，随机抽取400人进行调查，得到如下2×2列联表： 调查结果组别 不满意 满意 合计 本地游客 80 120 200 外地游客 60 140 200 合计 140 260 400 (1)根据小概率值的独立性检验，分析满意情况是否与游客的来源有关； (2)在本地游客的样本中用分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步的访谈，求这3人中满意人数X的概率分布列和数学期望. 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 题型05：互斥事件独立事件的概率、条件概率与全概率综合 17．（25-26高三上·上海松江·期末）在乒乓球比赛中，一个发球回合时长是指从运动员发球开始，到其中一方得分为止的时间．现记录一场比赛中运动员连续10个发球回合时长（单位：秒），数据如下：3.2，4.7，5.3，4.1，5.8，9.6，12.4，6.5，7.2，8.9． (1)求这组数据的极差和中位数； (2)如果定义一个发球回合时长超过5.0秒为“长发球回合”，那么从这10个发球回合时长中随机抽取3个，求至少有2个是“长发球回合”的概率； (3)假设甲乙运动员相约进行一次比赛，比赛有两种赛制可选：①一局定胜负：只打一局，胜者赢得比赛；②三局两胜：先赢得两局者为胜，最多打三局．若甲在一局中获胜的概率为．从甲的角度考虑，哪种赛制对他更有利？请说明理由． 18．（25-26高三上·上海浦东新·期末）小明和小李要进行一系列的比赛，假设每局比赛的结果互不影响. (1)若比赛没有平局，且小明每局获胜的概率为0.4. ①如果共有三局比赛，求小明的比赛结果依次为赢、输、赢的概率； ②小明作为实力较弱的一方，他可以优先选择“一局定胜负”或“三局两胜”的赛制（“三局两胜”指先赢两局者为胜，最多三局结束）.请帮助小明分析，选择哪种赛制对他更有利，并说明理由. (2)如果小明每局获胜的概率为，他和小李要进行一场“五局三胜”的比赛（“五局三胜”指先赢三局者为胜，最多五局结束）.记小明最终获胜的概率为，请给出的表达式，判断并说明函数在上的单调性，并指出现实意义. 19. 2025年国庆假期期间，某超市举办了购物抽奖活动．设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券，已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否结果互不影响． (1)已知某顾客有三次抽奖机会，现有两种抽奖方案供选择： 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得金额50元的代金券，中奖两次获得金额20元的代金券，其它情况没有奖励． 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得金额70元的代金券，中奖两次获得金额30元的代金券，其它情况没有奖励． 计算获得代金券金额的期望，分析该顾客选择哪个方案比较合适？ (2)若一位顾客有一次抽奖机会，他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖，已知该顾客抽取中奖，求该顾客选择乙抽奖箱的概率． 20. 某农科所正在试验培育甲、乙两个品种的杂交水稻，水稻成熟后对每一株的米粒称重，重量达到规定的标准后，则该株水稻达标.在水稻收获后，通过科研人员的统计，甲品种的杂交水稻有不达标，乙品种的杂交水稻有不达标. (1)若假设甲、乙两个品种的杂交水稻株数相等，一科研人员随机选取了一株水稻，称重后发现不达标，求该株水稻来自甲品种和乙品种的概率分别是多少； (2)科研人员选取了8株水稻，其中甲品种5株，乙品种3株，再从中随机选取3株进行分析研究，这3株中来自乙品种水稻的有株，求的数学期望. 题型06：统计与分布列及期望方差综合 21. 某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务．为了测试该模型的性能，对其进行了1000次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如图所示的样本数据频率分布直方图． (1)估计这1000次试验中该AI模型正确识别图像数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)以频率估计概率，随机对该模型进行4次试验，用表示这4次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数，求的分布列和数学期望． 22. 2023年山东淄博以烧烤文化火出了圈．为了解游客在淄博吃烧烤的消费情况，某记者随机采访了15位游客，他们分别来自A、、三个地区．现将这15位游客一顿烧烤的人均消费金额数据记录如下表（单位：元）． A 32   68   86 57   70   78   91 66   77   79   80   80   81   83   94 假设所有游客消费金额相互独立. (1)据人流量监测数据显示，五一假期中的某日有超过16万游客“进淄赶烤”．估计其中来自A地区的游客人数； (2)从来自A地区和地区的游客中各随机选取一人，记为选出的两人中一顿烧烤的人均消费金额大于70元的人数，估计的数学期望； (3)从样本中来自A、、三个地区的游客中各随机选取一人，记这三人一顿烧烤的人均消费金额分别为，写出方差的大小关系．（结论不要求证明） 23. 某校在文化节举办了“知识竞答”比赛，满分分，现统计全校参赛学生的成绩，将所得的数据分成 组： ，得到频率分布直方图如下：   (1)求的值； (2)以每组数据的中间值为代表，估计本次比赛成绩的平均值； (3)若采用分层按比例抽样的方法，从成绩在 的同学中抽取名同学的成绩进行复盘分析，再从这名同学中不放回抽取份试卷，记成绩在 内的人数为随机变量，求的分布列和数学期望. 24. 某公司生产的某种产品按照质量标准分为一等品、二等品、三等品共3个等级，采购商小李从该公司生产的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据： 等级 一等品 二等品 三等品 数量/件 40 30 30 (1)根据产品等级，按分层随机抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为X，求X的分布列及数学期望； (2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件三等品的概率； (3)该公司提供该产品的两种销售方案供采购商小李选择， 方案一：产品不分类，售价均为21.5元/件. 方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 售价/（元/件） 24 22 18 从采购商小李的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案?请说明理由. 题型07：统计与二项分布、超几何分布、正态分布综合 25. 某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (2)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． 26. 已知某企业加工某零件，根据长期检测结果，得知该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布．现从该企业生产的零件中随机抽取100件，其质量指标值的样本数据统计情况如图所示． (1)求这100件零件的质量指标值的样本平均数和样本方差．（同一组的数据用该组区间的中点值作代表） (2)用这100件零件的质量指标值的样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值．若质量指标值在内的产品为优等品，根据正态分布，求该企业生产的产品为优等品的概率． 附：取， ，，． 27. 某校为了解学生数学学科核心素养发展水平，组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．   (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)根据频率分布直方图，求样本的80％分位数（四舍五入精确到整数）； (3)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数（四舍五入精确到整数）． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 28. 在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表： 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)计算满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表） (2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则. 题型08：概率统计的实际应用 29.某商场进行周年庆大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏.游戏规则如下：在一个盒子里放着6个大小相同的小正方体，其中有3个A类小正方体，4个面印着奇数，2个面印着偶数；有2个B类小正方体，6个面都印着奇数；1个C类小正方体，6个面都印着偶数.游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一个小正方体并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是奇数，则进入最终挑战环节，否则游戏结束，不获得任何礼券.最终挑战的环节是进行第三次投掷，有两个方案可供选择，方案一：继续投掷之前抽取的那枚小正方体，若投掷后向上的面为奇数，则获得200元礼券；方案二：不使用之前抽取的小正方体，从盒子中剩余的5个小正方体里再次随机抽取一个进行投掷，若投掷后向上的面为奇数，则获得300元礼券，不管选择方案一还是方案二､若投掷后向上的面为偶数，则获得100元礼券， (1)求第一次投掷后向上的面为奇数的概率； (2)若某位顾客抽取一个小正方体后连续投掷两次，向上的面均为奇数，求该小正方体是A类小正方体的概率； (3)在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种投掷方案最终获得的礼券金额的数学期望，并以此判断选择哪种投掷方案更合适. 30.某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立． (1)计划依次派甲、乙、丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； (2)若依次派甲、乙、丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； (3)已知，若甲只能安排在第一个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定乙、丙谁先派出． 1. 小明有自觉体锻的习惯，某运动软件记录了其每天运动的时长（单位：min），小明从最近90天的记录中随机选取了10天的记录，具体数据如下： (1)求这组数据的第60百分位数： (2)运动时长不超过60min为不达标，估算从90天记录中随机抽取1天，该天运动时长不达标的概率： (3)从这10个数中随机删除2个数得到一组新的数据，求前后两组数据的极差相同的概率． 2. 随机抽取某集团公司旗下五家超市，得到广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下： 广告支出x（万元） 2 4 5 6 8 销售额y（万元） 20 30 50 60 70 (1)计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为广告支出与销售额具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高，） (2)求出y关于x的线性回归方程，并预测若广告支出15（万元），则销售额约为多少万元？参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为，，. 3. 火车晚点是人们在旅行过程中最常见的问题之一，针对这个问题，许多人都会打电话进行投诉.某市火车站为了解每年火车的正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年~2022年）每年火车正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值. 600 592 43837.2 93.8 （1）求关于的经验回归方程；若预计2024年火车的正点率为，试估算2024年顾客对火车站投诉的次数； （2）根据顾客对火车站投诉的次数等标准，该火车站这8年中有6年被评为“优秀”，2年为“良好”，若从这8年中随机抽取3年，记其中评价“良好”的年数为，求的分布列和数学期望. 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， 4.近年来某App用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该App在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码x 1 2 3 4 5 App在线用户数y（单位：万） 80 150 210 260 300 (1)求样本相关系数r，并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱： (2)从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y，记最小的数据为X，求X的分布列及数学期望． 注：样本相关系数．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.其中，． 5．林芝第二十一届桃花旅游文化节于2024年3月31日晚正式拉开帷幕.某研究小组为了了解开幕式文艺演出时林芝市民的观看情况，从全市随机调查了50名市民（男女各25名），统计到全程观看、部分观看和没有观看的人数如下表： 观看情况 全程观看 部分观看 没有观看 男性人数 9 4 女性人数 18 4 (1)求出表中x，y的值； (2)从样本中没有观看的人中随机抽取2人进一步了解情况，求恰好男女各1人的概率； (3)根据表中统计的数据，完成下面的2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，分析全程观看是否与性别有关? 单位：人 性别 观看情况 合计 全程观看 非全程观看 男性 女性 合计 附：，. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 6. 2025年9月3日在天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，这不仅是一场军事盛宴，更是一次民族精神的洗礼．某中学为了增强学生的爱国主义情怀，减轻学习压力，决定组织一次军事知识竞赛．为了了解学生喜欢军事是否与性别有关，随机抽取了100名学生进行调查，已知女生中有15名喜欢军事，男生中有的人喜欢军事，喜欢军事的学生中有是男生．参加竞赛的学生从喜欢军事的学生中选取，测试题型分为选择题与填空题两种，每次由电脑随机选出一道，选择题与填空题出现的频率之比为，已知学生答对选择题的概率为，答对填空题的概率为，每次答题互不影响． 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 女生 15 合计 (1)根据已知条件补充完整上表，并根据小概率值的独立性检验，分析该校学生喜欢军事是否与性别有关； (2)若每位学生答3题，求该学生答对题数X的分布列和数学期望． 附：，其中． 7.某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. (1)求的值; (2)若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求 的分布列及数学期望； (3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多 1株高度低于的概率. 8.已知某企业加工某零件，根据长期检测结果，得知该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布．现从该企业生产的零件中随机抽取100件，其质量指标值的样本数据统计情况如图所示． (1)求这100件零件的质量指标值的样本平均数和样本方差．（同一组的数据用该组区间的中点值作代表） (2)用这100件零件的质量指标值的样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值．若质量指标值在内的产品为优等品，根据正态分布，求该企业生产的产品为优等品的概率． 附：取， ，，． 9.某企业车载电池LG型有A，B两条生产线，产品质检员随机从A，B两条生产线共抽取50件车载电池进行电量误差检测，误差（单位：kwh）统计的数据如下表： 生产线 抽取件数 平均误差 标准差 A 30 0.2 2.1 B 20 1.1 (1)若两条生产线的车载电池电量的误差X服从正态分布，以抽取样本的误差的平均数作为的估计值，并规定为特等品，其余为一等品或二等品，求两条生产线生产的LG型的件车载电池中特等品的件数的估计值； (2)某小型新能源汽车装配了特等品和一等品车载电池，该车载电池特等品的续航优秀率为60%，为了测试特等品车载电池的续航功能，从装配了特等品的该新能源汽车中随机抽取4辆进行测试，记续航优秀的台数为，求随机变量X的分布列和数学期望. 附：，若，则，，. 10.随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后18个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得， . (1)求样本的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)已知这18个月中有10个月的销售金额高于平均数，从这18个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额高于平均数的月份数为，求随机变量的分布列． 附：相关系数． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学二轮复习高分冲刺【解答题全通关】 专题01 概率与统计解答题八种考法归纳 1.（2026·上海·春季高考）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下： 年龄 剪纸 摄影 画画 人数 8 45 10 55 6 50 (1)现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？ (2)该兴趣班150人的平均年龄是多少？ (3)现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在为事件，记抽到学员爱好摄影为事件.事件与是否独立？请说明理由. 【答案】(1)9；(2)；(3)不相互独立，理由见解析. 【分析】（1）由题意，计算年龄段占总体比例，据此可得答案. （2）利用年龄区间中点作为该区间年龄平均值，再由各年龄段人数占总体比例可得答案； （3）验证，是否等于可得答案. 【详解】（1）年龄段占总体比例为： ，则抽取人数为：； （2）由题可得人的平均年龄为：； （3）由题可得，，， 注意到，则事件A与事件B不相互独立. 2．（2025·上海·高考真题）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 (1)求这组数据的极差与中位数； (2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率； (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）． 【答案】(1)；；(2)(3) 【分析】（1）由最长与最短用时可得极差，由中间两数平均数可得中位数； （2）由古典概型概率公式可得； （3）先求成绩平均数，再由在回归直线上，代入方程可得，再代入年份预测可得. 【详解】（1）由题意，数据的最大值为，最小值为， 则极差为； 数据中间两数为与， 则中位数为. 故极差为，中位数为； （2）由题意，数据共个，以上数据共有个， 故设事件“恰有个数据在以上”， 则， 故恰有个数据在以上的概率为； （3）由题意，成绩的平均数 ， 由直线过， 则， 故回归直线方程为. 当时,. 故预测年冠军队的成绩为秒. 3．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示： 时间范围学业成绩 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1） (3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ （附：其中，．） 【答案】(1) (2) (3)有 【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可； （2）根据平均数的计算公式即可得到答案； （3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论. 【详解】（1）由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比， 则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为． （2）估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为 ． 则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时. （3）由题列联表如下： 其他 合计 优秀 45 50 95 不优秀 177 308 485 合计 222 358 580 提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关． 其中． ． 则零假设不成立， 即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关． 4．（2023·上海·高考真题）21世纪汽车博览会2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B取到模型有棕色内饰，求，并据此判断事件A和事件B是否独立； (2)为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型。为了得到奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元。 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。 请判断以上三种结果分别对应几等奖。设中奖的奖金数是，写出的分布，并求的数学期望。 【答案】(1)，事件相互独立； (2)分布列见解析，271元. 【分析】（1）根据给定数表，利用古典概率求出，再利用相互独立事件的定义判断作答. （2）求出三种结果的概率，按给定的假设2，3确定奖金额与对应的概率列出分布列，求出期望作答. 【详解】（1）由给定的数表知，，，， 而，因此事件相互独立， 所以，事件相互独立. （2）设事件：外观和内饰均为同色，事件：外观内饰都异色，事件：仅外观或仅内饰同色， 依题意，；； ，则， 因此抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖； 外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖， 奖金额的可能值为：， 奖金额的分布列： 600 300 150 奖金额的期望（元）. 题型01：统计方法、统计图表、统计估计与概率综合 1. （2026上海徐汇高三模拟）某平台为了研究用户日均观看短视频的时长，随机抽取了200名用户进行调查，得到数据如下表： 日均时长（分钟） [40，50] 频数 30 50 80 30 10 (1)估计这200名用户日均观看时长的第70百分位数； (2)若平台规定“日均观看时长不少于30分钟的用户为潜在高粘性用户”，现从样本中有放回地抽取次，每次抽取1人，记抽到潜在高粘性用户的人数为. （i）当时，求的分布列和数学期望； （ii）若平台希望至少抽到1名潜在高粘性用户的概率不低于，至少需抽取多少次？（参考数据：） 【答案】(1) (2)（i）分布列见解析，；（ii）11次 【分析】（1）第70百分位数为累计频数，第70百分位数落在区间，利用比例求解即可； （2）（i），列出Y的所有可能取值和对应概率，得到分布列，并利用二项分布求期望公式计算出数学期望； （ii）利用对立事件计算出抽到潜在高粘性用户的概率，解不等式得到答案 【详解】（1）将数据按时长升序排列，第70百分位数位置为， 前两组累计频数，前3组累计频数， 故第70百分位数落在区间， 则第70百分位数约为； （2）（i）潜在高粘性用户的频率为，. 易得的可能取值有0，1，2，3， 则， ，. 故的分布列为 0 1 2 3 ； （ii）设至少需抽取次，则，即，. 即， 故至少需抽取11次. 2. （2025上海普陀高三模拟）固态电池是纯电动汽车搭载的新一代电池，与使用电解液的传统液态锂离子电池相比，固态电池具有安全性能高、能量密度大等特点．某公司试生产了一批新型固态电池，为了了解该批次固态电池的“循环寿命”x（循环寿命是指：电池的容量下降到初始容量的某一阈值时，完成充放电循环的次数）的情况，从这批固态电池中随机抽取了100组进行了测试，并统计绘制了下表： 循环寿命x（千次） 组数y 5 15 a b 5 已知循环寿命x（千次）的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）． (1)求a，b的值； (2)根据测试数据可以认为“循环寿命”x近似服从正态分布，经计算样本标准差s的估计值为0.7．用样本数据的平均值作为的值，用样本标准差s的估计值作为的值． （ⅰ）若规定：循环寿命的电池为一等品；的电池为优等品．求试生产的电池的一等品率和优等品率的估计值（结果用百分数表示）； （ⅱ）在该型电池的生产中，称发生概率低于0.27%的事件为小概率事件，在质量控制时，如果小概率事件未发生，则认为该批产品合格；否则可以认为该批产品不合格．若这100组电池中，循环寿命x的最大值和最小值分别为6.5和2.3．请判断该批固态电池是否合格？并说明理由． 参考数据：若随机变量，则，，． 【答案】(1)，． (2)（ⅰ）一等品率的估计值为13.59%；优等品率的估计值为2.275%；（ⅱ）不合格，理由见解析 【分析】（1）由题意列出关于的方程组即可求解； （2）由题意，，（i）根据正态分布的对称性求概率即可；（ii）算出，然后由即可判断. 【详解】（1）由题，①， ②， 由①②解得，． （2）由题，，， （ⅰ）因为 ； ， 所以一等品率的估计值为13.59%；优等品率的估计值为2.275%． （ⅱ）不合格．理由如下： 由题，， 所以， 又，， 故小概率事件发生，所以该批固态电池不合格． 3．（2026青浦区高三阶段练习）某企业的甲、乙两条生产线都生产M型零件，一天中，甲、乙两条生产线分别生产320件和1280件M型零件，为了解该企业M型零件的生产质量，现利用分层随机抽样，从一天中生产的M型零件中随机抽取40件，测量其尺寸（单位：mm），所得尺寸数据的统计结果如下表： 平均尺寸 标准差 甲生产线p件M型零件 80 6 乙生产线q件M型零件 70 4 (1)求这40件M型零件尺寸的平均数； (2)求这40件M型零件尺寸的标准差； (3)假设该企业一天中生产的M型零件尺寸服从正态分布，其中用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值.试估计：这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件是否低于40件? 参考数据：①n个数，，，…，的方差为；②若随机变量X服从正态分布，则，，；③. 【答案】(1)72； (2)6； (3)低于40件. 【分析】（1）由分层抽样中样本均值与总体均值关系求； （2）设甲的均值，方差，乙的均值，方差，根据方差公式及已知有，即可得； （3）根据正态分布的对称性及特殊区间概率估计尺寸小于的零件数. 【详解】（1）由题设，，， 所以； （2）由题设，甲的均值，方差，乙的均值，方差， 所以，， 而，即， 所以，，而， 所以，可得； （3）由（1）（2）知零件服从，则， 这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件有， 所以这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件低于40件. 4.（2026上海黄浦高三阶段练习）某校为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组．第二组，……第六组，画出频率分布直方图如图所示， (1)估计该校学生这次测试成绩的第25百分位数； (2)估计该校学生这次测试成绩的平均值（每一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3)从两组中按分层抽样抽取5名学生，再随机抽取3名同学进行问卷测试，问3名同学中恰好只有1名同学成绩在之间的概率． 【详解】（1）因为，， 所以第百分位数为. （2）平均值； （3）因为的频率为，的频率为， 则中抽取名学生，分别记作、， 中抽取名学生，分别记作、、， 从这5名学生，随机抽取3名同学进行问卷测试，则可能结果有：，，，，，，，，，共个； 其中3名同学中恰好只有1名同学成绩在之间有，，共个， 所以3名同学中恰好只有1名同学成绩在之间的概率. 5．(2025·上海奉贤·一模)为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一､高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人. (1)学校高中三个年级一共有多少个学生？ (2)若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中是正整数） 日均睡眠时间（小时） 8.5 9 9.5 10 学生数量 32 13 11 4 求该样本的第40百分位数. (3)从这100名学生的样本中随机抽取三个学生的日均睡眠时间，求其中至少有1个数据来自高三学生的概率. 【详解】（1）设学校高中三个年级一共有个学生, 因为采用分层抽样法抽取一个容量为100的样本，在高一年级抽取了35人，高二年级抽取了33人， 所以高三抽取的人数为：人， 又因为高三年级一共512人，所以有：，解得. 所以学校高中三个年级一共有1600个学生. （2）因为抽取100名学生的样本极差为2，所以 又因为，所以样本的第40百分位数为： （3）因为100名学生的样本中随机抽取三个学生的总情况数为： 其中至少有1个数据来自高三学生的情况为： 所以至少有1个数据来自高三学生的概率为： 题型02：相关分析与概率综合 6. 近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到2024年某地新能源汽车销量（单位：千辆） 年份 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 销量 33 69 93 129 附：相关系数； 回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为， (1)试根据样本相关系数的值判断该地汽车销量与年份代号的线性相关性强弱（，则认为与的线性相关性较强，，则认为与的线性相关性较弱）；（精确到0.001） (2)建立关于的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量． 【答案】(1)与具有较强的线性相关关系 (2)，（千辆） 【分析】（1）根据题干所给数据算出，，，代入相关系数计算公式计算即可； （2）根据（1）算出的结果进一步算出，再根据线性回归方程经过计算，最后把代入回归直线方程即可求解． 【详解】（1）已知，，则， ，则， ，，所以， 已知，故， 又，代入相关系数公式， 可得， 因为，所以与具有较强的线性相关关系． （2）根据， 由（1）可知，，所以， 由，已知，，，则， 所以关于的线性回归方程为，将代入线性回归方程（千辆）． 7. 随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后18个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得， . (1)求样本的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)已知这18个月中有10个月的销售金额高于平均数，从这18个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额高于平均数的月份数为，求随机变量的分布列． 附：相关系数． 【答案】(1)，具有很强的正相关性 (2) 0 1 2 【分析】（1）由条件结合相关系数公式求出相关系数，根据相关系数性质判断结论； （2）由条件确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【详解】（1）样本的相关系数为： 由于相关系数，故销售金额（单位：万元）和月份编号具有很强的正相关性； （2）由题意得：的可能取值为0，1，2， 18个月中有10个月的销售金额高于平均数， 所以， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 8. 我国新能源汽车迅速崛起，成为推动绿色革命的核心引擎.某品牌新能源汽车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：.现有①和②两种模型作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中均为常数. (1)请从样本相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ (2)为刺激消费，省出台了以下补贴政策：每购买一辆新能源汽车，补贴6000元.若甲､乙两人近期在省购买一辆该新能源汽车的概率分别为，其中，每人最多购买一辆.求该省对甲､乙两人补贴总金额的期望值的取值范围. 参考数据：. 相关系数. 【思路分析】（1）利用公式分别求出模型①和②的相关系数，结合相关系数的意义即可判断哪一个模型拟合程度更好； （2）根据已知得该省对甲､乙两人补贴总金额的期望值为，结合二次函数的性质求范围. 【规范答题】（1）设模型①和②的相关系数分别为， 由题意可得：， ， 所以，由相关系数的意义可得，模型②的拟合程度更好. （2）由题意，甲乙买车的总数量可能值为， ， ， ， 该省对甲､乙两人买车数量期望值为， 所以两人补贴总金额期望值为，， 由在上单调递增，则， 所以. 题型03：回归分析与概率综合 9．（2025上海中学高三月考）为了检查一批零件的质量是否合格，检查员计划从中依次随机抽取零件检查：第次检查抽取号零件，测量其尺寸(单位：厘米)．检查员共进行了100次检查，整理并计 算得到如下数据：，，． (1) 这批零件共有1000个．若在抽查过程中，质量合格的零件共有60个，估计这批零件中质量合格的零件数量； (2) 若变量与存在线性关系，记，求回归系数的值； (3) 在抽出的100个零件中，检查员计划从中随机抽出20个零件进行进一步检查，记抽出的20个零件中有对相邻序号的零件．求的数学期望． 解析：(1)因为在这100个零件中，合格的零件为60个， 故质量合格的零件所占样本比例为． ……2分 而在这1000个零件中，质量合格的零件数为：(个)． ……4分 评分说明： 1. 正确解得样本中合格零件所占比例，给2分． 2. 利用样本中合格率正确解得总体合格零件数，给2分． (2) 由可得，， 又因为，， 因此可得：． ……4分 代入数据可得：． ……6分 (3) 用表示抽查的结果，若第个零件与第个零件被选中，则记； 若结果是其余情况，则记．． ……2分 由线性期望的性质可得： (个)． ……4分 10．（2025·上海宝山·二模）某游乐园的活动项目共有三类，分别是“过山车”等10个体验类项目、“海豚之舞”等4个表演类项目、“智力闯关”等3个互动类项目.因设备维护需要，项目并非每日都全部开放.以下数据是项目开放的数量（个）和游客平均等待时间（分钟/个）的关系： 项目类别 体验类 演出类 互动类 开放数量（个） 4 5 6 7 8 2 4 2 3 平均等待时间（分钟/个） 76 73 67 60 53 30 46 30 (1)体验类项目中，若关于的回归方程为，请计算的值，并依据该模型预测所有体验类项目均开放时的平均等待时间（精确到整数）； (2)小王游玩当日，体验类、演出类、互动类项目分别开放了8个、4个、3个，他计划随机游玩其中的3个项目，已知他选择的项目中至少包含1个互动类项目，求他的等待总时间恰为120分钟的概率； (3)为提高游客的参与度，园方在互动类项目“智力闯关”中设计了两关.通过第一关的游客奖励20个游园币，游客可以选择结束或继续闯关.若继续闯关，则必须完成第二关的所有题目.第二关包含2道相互独立的选择题，每答对1题可再奖励20个游园币，每答错1题则要扣除10个游园币.每个游园币可兑换园区内任意一个项目的1分钟等待时间.小王已通过第一关，假设他在第二关中每道题答对的概率均为，为了获得更多项目等待时间的兑换奖励，小王是否应该继续闯关？请你帮他做出决策. 【答案】(1)，51分钟； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据表中数据分别求出，代入回归方程即可求出，将代入回归方程可求出平均等待时间； （2）利用条件概率公式，结合分步计数乘法原理和分类计数加法原理以及组合数，计算即可求得概率； （3）通过计算得到小王参加第二关获得的游园币数的期望，根据每道题答对的概率的取值分类讨论，做出相关决策. 【详解】（1）， 代入回归方程，得，解得. 当时,，即开放所有体验类项目时的平均等待时间约为51分钟. （2）记事件“等待总时间恰为120分钟”，事件“选择的3个项目中至少包含1个互动类项目”， 因为全部的项目数为15个，其中互动类项目有3个，则事件共包含了种； 在事件的条件下，等待总时间恰为120分钟，此时的可能情况有： ①一个互动类项目，一个体验类项目，一个演出类项目，此时共有种情况； ②两个互动类项目，一个体验类项目，此时共有种情况. 由条件概率公式得. （3）设小王参加第二关获得的游园币数为随机变量，则所有可能取值为， 则 所以. 所以，当时，，不建议小王继续闯关； 当时，，小王可根据自己的情况随机选择； 当时，，建议小王继续闯关. 11.（2025华东师大三附中高三三模）根据相关研究报告显示，预计年电商交易额突破亿元，网购用户规模接近亿．下表为某网店统计的近个月的利润（单位：万元），其中为月份代号． 月份 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 2025年4月 月份代号 1 2 3 4 5 利润／万元 8 6.3 5.1 3.2 2.4 （1）依据表中的统计数据，计算样本相关系数（精确到），判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系；若可用，求出关于的经验回归方程，并估计年月该网店利润；若不可用，请说明理由； （2）该专营店为了吸引顾客，推出两种抽奖方案．方案一：一次性购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折，其余情况不打折．方案二：从装有个形状大小、完全相同的小球（其中红球个，白球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸出个红球和一个白球打六折，摸出个黑球打八折，其余情况不打折．某顾客计划在此网店购买元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 参考：，， 【答案】（1）可以，万元 （2）选择方案二 【解析】 【分析】（1）求出、的值，将数据代入相关系数公式，求出的值，可得出结论，再将代入经验回归方程，可得出结果； （2）计算出方案一、二中实际付款金额，比较大小后可得出结论. 【小问1详解】 由题意可得，， ， ， ， 所以，， 因为接近于，所以可以用线性回归模型拟合与的关系， ，则， 所以，关于的经验回归方程为， 将代入经验回归方程为， 故估计年月该网点利润估计知为万元. 【小问2详解】 设方案一的中奖次数为，由题意可知，实际付款金额为万元， 则的可能取值有、、、， 则，， ，， 故， 设方案二实际付款金额为万元，由题意可知，的可能取值有、、， ，，， 故 因为，所以，从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择方案二更优惠. 12. 随着国内人均收入的增加，居民的健康意识也不断增加，健身器材行业发展迅速，下面为年中国健身器材市场规模（单位：百亿元）. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 4.1 4.4 4.8 5.5 6.3 (1)由上面数据可知，可用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（，的值精确到）； (2)数据显示2024年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为，用频率估计概率，现从2024年购买过体育用品类的中国消费者中国随机抽取3人，记购买过运动防护类的消费者人数为，求的分布列与数学期望. 参考数据： 其中. 参考公式：对于一组数据，，，，其经验回归直线的斜率与截距的最小二乘法公式为：，. 【详解】（1）由 ，则模型线性化为：， ，，， 由，，得， 由，，得， 代入最小二乘法估计公式，得：， ，， 故关于的回归方程为：. （2）由题意知： 服从二项分布，即. 由二项分布的概率计算公式得：， ，， ，故的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 题型04：独立性检验与概率综合 13. （2025建平中学高三下学期三模）轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及颜值经济的火热，轻食行业迎来快速发展.某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查.统计其中400名中国轻食消费者（表中4个年龄段的人数各100人）食用轻食的频数与年龄得到如下的频数分布表. 使用频数 偶尔1次 30 15 5 10 每周1～3次 40 40 30 50 每周4～6次 25 40 45 30 每天1次及以上 5 5 20 10 （1）若把年龄在的消费者称为青少年，年龄在的消费者称为中老年，每周食用轻食的频数不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据所给数据，完成列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关； （2）从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用分层抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，，.求的分布列与期望； （3）已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品概率分别为，，，求小李晚餐选择低卡甜品的概率. 参考公式：，. 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关，理由见解析 （2）分布列见解析，数学期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）数据分析，得到列联表，计算出卡方，与6.635比较后得到结论； （2）先利用分层抽样得到，，和的抽取人数，得到的可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望； （3）设出事件，结合全概率公式得到答案. 【小问1详解】 列联表如下： 青少年 中老年 合计 食用轻食频率低 125 95 220 食用轻食频率高 75 105 180 合计 200 200 400 故， 故有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关； 【小问2详解】 每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用分层抽样， 的抽取人数为，的抽取人数为， 的抽取人数为，的抽取人数为， 的可能取值为0，1，此时的取值为0，1，2，故的可能取值为0，1，2， 其中包含两种情况，即和，故， 包含三种情况，，和，故， 包含1种情况，即，故， 故的分布列如下： 0 1 2 则数学期望为； 【小问3详解】 记小李早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，分别为事件， 则，，， 小李晚餐选择低卡甜品为事件，则，，， 故， 故小李晚餐选择低卡甜品的概率为. 14.近日，2025年江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”）如火如荼地进行，引发广泛关注．某地区随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 男性 25 150 女性 50 75 (1)列出列联表并根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“苏超”赛事与性别有关？ (2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取3名市民参加“苏超”赛事知识问答．已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成相互独立．求在有且仅有2人顺利完成的条件下，这2人的性别不同的概率． 附：． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，认为关注“苏超”赛事与性别有关 (2) 【分析】（1）由题意可得列联表，再计算，对比临界值表即可得解； （2）根据题意，求出有且仅有2人顺利完成知识问答的概率和这2人性别不同的概率，再根据条件概率公式求解即可. 【详解】（1）列联表如下： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 零假设为：关注“苏超”赛事与性别无关． 故依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立， 即认为关注“苏超”赛事与性别有关. （2）由分层抽样可知，抽取男性市民2人，女性市民1人， 记“有且仅有2人顺利完成知识问答”为事件A，“这2人的性别不同”为事件B， 则， ， 则， 所以在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，这2人的性别不同的概率为. 15. 为了研究“长期长跑”与“半月板损伤”之间的关系，研究人员在长跑爱好者中随机抽取了1000人进行调查，所得数据统计如下表所示： 组别 半月板的健康状况 合计 半月板正常 半月板损伤 长期长跑 40 360 400 非长期长跑 460 140 600 合计 500 500 1000 (1)根据小概率值的独立性检验，判断“长期长跑”与“半月板损伤”之间是否相关； (2)若按照半月板的健康状况，使用分层随机抽样的方法从长期长跑的爱好者中随机抽取人，再从这人中随机挑选人，记抽到的人中半月板损伤的人数为，求的分布列与均值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)“长期长跑”与“半月板损伤”之间具有相关性 (2)分布列见解析， 【分析】（1）由假设的定义及公式可得； （2）由分层抽样可求出正常与损伤的人数，再根据超几何分布求出概率，列表得到分布列及期望. 【详解】（1）零假设为：“长期长跑”与“半月板损伤”之间无相关关系， 则， 故零假设不成立，即“长期长跑”与“半月板损伤”之间具有相关性. （2）由分层随机抽样知识知，半月板正常的有人，半月板损伤的有人， 则的可能取值为, 则， 所以的分布列为 1 2 故. 16．（2025·陕西西安·一模）鄂尔多斯某地一景区为了吸引游客，进行了马术实景剧的展演.景区为了解游客对其开展的“马术实景剧”活动的满意度，随机抽取400人进行调查，得到如下2×2列联表： 调查结果组别 不满意 满意 合计 本地游客 80 120 200 外地游客 60 140 200 合计 140 260 400 (1)根据小概率值的独立性检验，分析满意情况是否与游客的来源有关； (2)在本地游客的样本中用分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步的访谈，求这3人中满意人数X的概率分布列和数学期望. 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)无关； (2)分布列见解析，数学期望为. 【分析】（1）根据给定数表，求出的观测值，再与临界值比对即可得解. （2）根据分层抽样的性质，结合古典概型公式、数学期望公式求解即可. 【详解】（1）零假设为：满意情况与游客的来源无关， 因为， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 可以认为成立，所以满意情况与游客的来源无关. （2）由分层抽样的性质，得选出5人中，满意人数为，不满意人数为， 依题意，的可能值为， ，，， 所以这3人中满意人数X的概率分布列为： 数学期望. 题型05：互斥事件独立事件的概率、条件概率与全概率综合 17．（25-26高三上·上海松江·期末）在乒乓球比赛中，一个发球回合时长是指从运动员发球开始，到其中一方得分为止的时间．现记录一场比赛中运动员连续10个发球回合时长（单位：秒），数据如下：3.2，4.7，5.3，4.1，5.8，9.6，12.4，6.5，7.2，8.9． (1)求这组数据的极差和中位数； (2)如果定义一个发球回合时长超过5.0秒为“长发球回合”，那么从这10个发球回合时长中随机抽取3个，求至少有2个是“长发球回合”的概率； (3)假设甲乙运动员相约进行一次比赛，比赛有两种赛制可选：①一局定胜负：只打一局，胜者赢得比赛；②三局两胜：先赢得两局者为胜，最多打三局．若甲在一局中获胜的概率为．从甲的角度考虑，哪种赛制对他更有利？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)一局定胜负对甲更有利 【分析】（1）根据极差和中位数的计算公式即可求解； （2）根据古典概型的概率的计算公式结合组合数公式即可求解； （3）分别计算一局定输赢和三局两胜情况下甲获胜的概率，比较大小. 【详解】（1）将题中数据按从小到大的排序排列得： 3.2，4.1，4.7，5.3，5.8，6.5，7.2，8.9，9.6，12.4． 故极差为；中位数为. （2）因为长发球回合数，短发球回合数， 所以从 10 个中随机抽取 3 个，至少有 2 个是长发球回合的概率为： ； （3）对于甲来说，一局定胜负的情况下，赢得比赛的概率为， 三局两胜的情况下，赢得比赛的概率为， 则， 因为，所以，即， 所以一局定胜负对甲更有利. 18．（25-26高三上·上海浦东新·期末）小明和小李要进行一系列的比赛，假设每局比赛的结果互不影响. (1)若比赛没有平局，且小明每局获胜的概率为0.4. ①如果共有三局比赛，求小明的比赛结果依次为赢、输、赢的概率； ②小明作为实力较弱的一方，他可以优先选择“一局定胜负”或“三局两胜”的赛制（“三局两胜”指先赢两局者为胜，最多三局结束）.请帮助小明分析，选择哪种赛制对他更有利，并说明理由. (2)如果小明每局获胜的概率为，他和小李要进行一场“五局三胜”的比赛（“五局三胜”指先赢三局者为胜，最多五局结束）.记小明最终获胜的概率为，请给出的表达式，判断并说明函数在上的单调性，并指出现实意义. 【答案】(1)①；②一局定胜负对小明更有利，理由见解析 (2)，函数在上的单调递增；意义见解析 【分析】（1）①根据独立事件概率的乘法公式即可计算小明比赛结果依次为“赢、输、赢”的概率； ②分别计算“一局定胜负”和“三局两胜”赛制下小明获胜的概率，比较大小来确定哪种赛制对小明更有利； （2）先根据“五局三胜”的规则，分情况讨论小明获胜的情况，利用独立事件概率的乘法公式和互斥事件概率的加法公式，求出的表达式，再通过求导判断函数的单调性，并分析现实意义. 【详解】（1）①根据题意，比赛没有平局，且小明每局获胜的概率为0.4，所以三局比赛相互独立，且小明每局输的概率为0.6， 所以小明的比赛结果依次为赢、输、赢的概率为； ②根据题意，一局定胜负时，小明赢得比赛的概率为， 三局两胜时，小明赢得比赛有两种情况： 情况一：前两局获胜，概率为， 情况二：前两局胜一局，输一局，第三局获胜，其概率为， 根据互斥事件的加法公式，所以在“三局两胜”的赛制下， 小明获胜的概率为， 因为，所以从小明的角度考虑，一局定胜负对小明更有利； （2）“五局三胜”的赛制下，小明获胜有以下几种情况： 情况一：前三局获胜，概率为， 情况二：前三局胜两局输一局，第四局获胜，则， 情况三：前四局胜两局输两局，第五局获胜，则， 所以小明赢的概率为： ， 所以， 所以， 因为，所以， 所以函数在上的单调递增； 现实意义：在“五局三胜”的比赛中，小明每局获胜的概率越大，他最终获胜的概率就越大，即小明实力越强，他获胜的可能性就越大. 19. 2025年国庆假期期间，某超市举办了购物抽奖活动．设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券，已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否结果互不影响． (1)已知某顾客有三次抽奖机会，现有两种抽奖方案供选择： 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得金额50元的代金券，中奖两次获得金额20元的代金券，其它情况没有奖励． 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得金额70元的代金券，中奖两次获得金额30元的代金券，其它情况没有奖励． 计算获得代金券金额的期望，分析该顾客选择哪个方案比较合适？ (2)若一位顾客有一次抽奖机会，他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖，已知该顾客抽取中奖，求该顾客选择乙抽奖箱的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分别计算两方案中奖三次和中奖两次的概率，从而求得获得代金券金额的期望，比较期望选择较大的方案； （2）设事件A为“顾客选择甲抽奖箱”，事件B为“顾客选择乙抽奖箱”，事件C为“顾客选择丙抽奖箱”，事件D为“抽取的奖券中奖”，利用全概率公式即可求解，再利用贝叶斯公式即可求解. 【详解】（1）方案一中，中奖三次的概率为， 中奖两次的概率为， 所以获得代金券金额的期望为； 方案二中，中奖三次的概率为, 中奖两次的概率为， 所以获得代金券金额的期望为， 因为，所以该顾客选择方案一比较合适. （2）设事件A为“顾客选择甲抽奖箱”，事件B为“顾客选择乙抽奖箱”，事件C为“顾客选择丙抽奖箱”，事件D为“抽取的奖券中奖”， 由题意得， ，,， , , 所以已知该顾客抽取中奖，求该顾客选择乙抽奖箱的概率. 20. 某农科所正在试验培育甲、乙两个品种的杂交水稻，水稻成熟后对每一株的米粒称重，重量达到规定的标准后，则该株水稻达标.在水稻收获后，通过科研人员的统计，甲品种的杂交水稻有不达标，乙品种的杂交水稻有不达标. (1)若假设甲、乙两个品种的杂交水稻株数相等，一科研人员随机选取了一株水稻，称重后发现不达标，求该株水稻来自甲品种和乙品种的概率分别是多少； (2)科研人员选取了8株水稻，其中甲品种5株，乙品种3株，再从中随机选取3株进行分析研究，这3株中来自乙品种水稻的有株，求的数学期望. 【答案】(1)株水稻来自甲品种和乙品种的概率分别是，； (2). 【分析】（1）设事件A为“该株水稻来自甲品种”，事件B为“该株水稻不达标”，应用全概率公式求，再应用贝叶斯公式求该株水稻来自甲品种和乙品种的概率； （2）根据已知分析随机变量的可能取值，并求出对应概率值，进而求期望即可. 【详解】（1）从甲、乙两个品种的杂交水稻中任取一株， 设事件A为“该株水稻来自甲品种”，事件B为“该株水稻不达标”， 则，，，， ∴， ，， 该株水稻来自甲品种和乙品种的概率分别是，. （2）依题意的所有可能取值为0，1，2，3，则 ，， ，， ∴的数学期望. 题型06：统计与分布列及期望方差综合 21. 某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务．为了测试该模型的性能，对其进行了1000次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如图所示的样本数据频率分布直方图． (1)估计这1000次试验中该AI模型正确识别图像数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)以频率估计概率，随机对该模型进行4次试验，用表示这4次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数，求的分布列和数学期望． 【详解】（1）， 故均值为29． （2）设1次试验中正确识别图像数量不少于20个的概率为， 则，则，；． 列出的分布列如下： 0 1 2 3 4 0.0081 0.0756 0.2646 0.4116 0.2401 ． 22. 2023年山东淄博以烧烤文化火出了圈．为了解游客在淄博吃烧烤的消费情况，某记者随机采访了15位游客，他们分别来自A、、三个地区．现将这15位游客一顿烧烤的人均消费金额数据记录如下表（单位：元）． A 32   68   86 57   70   78   91 66   77   79   80   80   81   83   94 假设所有游客消费金额相互独立. (1)据人流量监测数据显示，五一假期中的某日有超过16万游客“进淄赶烤”．估计其中来自A地区的游客人数； (2)从来自A地区和地区的游客中各随机选取一人，记为选出的两人中一顿烧烤的人均消费金额大于70元的人数，估计的数学期望； (3)从样本中来自A、、三个地区的游客中各随机选取一人，记这三人一顿烧烤的人均消费金额分别为，写出方差的大小关系．（结论不要求证明） 【详解】（1）由题意，随机采访的15位游客中有3人来自A地区， 估计16万游客中来自A地区的游客人数为． （2）从来自A地区和地区的游客中各随机选取一人，其一顿烧烤的人均消费金额大于70元的概率分别约为和．的可能取值为0，1，2，， ，， 所以，的分布列为： 0 1 2 数学期望． （3）由题可知：的所有可能结果为：32，68，86，选到的概率均为， 所以的分布列为： 32 68 86 P 所以，； 的所有可能结果为：57，70，78，91，选到的概率均为， 所以的分布列为： 57 70 78 91 P ， 的所有可能结果为：66，77，79，80， 81，83，94， 所以的分布列为： 66 77 79 80 81 83 94 P ，， 所以． 23. 某校在文化节举办了“知识竞答”比赛，满分分，现统计全校参赛学生的成绩，将所得的数据分成 组： ，得到频率分布直方图如下：   (1)求的值； (2)以每组数据的中间值为代表，估计本次比赛成绩的平均值； (3)若采用分层按比例抽样的方法，从成绩在 的同学中抽取名同学的成绩进行复盘分析，再从这名同学中不放回抽取份试卷，记成绩在 内的人数为随机变量，求的分布列和数学期望. 【详解】（1）由频率分布直方图，所有组频率和为，得， 解得； （2）各组中间值分别为，对应频率分别为； 平均数； （3）分层抽样后，，分别抽取人、人、人 随机变量可能取值为、、，概率分别为：；； ；所以分布列为： 数学期望为：； 24. 某公司生产的某种产品按照质量标准分为一等品、二等品、三等品共3个等级，采购商小李从该公司生产的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据： 等级 一等品 二等品 三等品 数量/件 40 30 30 (1)根据产品等级，按分层随机抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为X，求X的分布列及数学期望； (2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件三等品的概率； (3)该公司提供该产品的两种销售方案供采购商小李选择， 方案一：产品不分类，售价均为21.5元/件. 方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 售价/（元/件） 24 22 18 从采购商小李的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案?请说明理由. 【详解】（1）由题可得，抽取的10件产品中，一等品有4件，非一等品有6件， 所以的可能取值为0，1，2，3. ，，，， 则的分布列为： 0 1 2 3 （件） （2）从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，记抽到三等品的数量为，则， 所以. （3）由题意得，方案二的产品的平均售价为：（元/件）， 因为，所以从采购商小李的角度考虑，应该选择方案一. 题型07：统计与二项分布、超几何分布、正态分布综合 25. 某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (2)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． 【答案】(1)72分 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，可求得a值，分析可得选报物理方向的最低分在内，根据x值右侧面积和为，即可求得答案. （2）求出成绩在区间和的人数，分析可得X的可能取值，求出各个取值对应的概率，列出分布列，求出期望即可. 【详解】（1）由题意，解得， 成绩在的频率为0.1，在的频率为0.25，在的频率为0.3， 因为， 所以选报物理方向的最低分在内，则， 解得，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分． （2）由题可知，成绩在区间的频数为， 成绩在区间的频数为， 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为， 成绩在的频数为， 再从这7份答卷中随机抽取3份，的所有可能取值为， ， 故的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为：． 26. 已知某企业加工某零件，根据长期检测结果，得知该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布．现从该企业生产的零件中随机抽取100件，其质量指标值的样本数据统计情况如图所示． (1)求这100件零件的质量指标值的样本平均数和样本方差．（同一组的数据用该组区间的中点值作代表） (2)用这100件零件的质量指标值的样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值．若质量指标值在内的产品为优等品，根据正态分布，求该企业生产的产品为优等品的概率． 附：取， ，，． 【详解】（1）． ． （2）由题意知，样本方差，故， 所以该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布． ， 所以该企业生产的产品为优等品的概率为0.9545． 27. 某校为了解学生数学学科核心素养发展水平，组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．   (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)根据频率分布直方图，求样本的80％分位数（四舍五入精确到整数）； (3)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数（四舍五入精确到整数）． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【详解】（1）设样本平均数的估计值为， 则. 所以，样本平均数的估计值为62. （2）由图可知，前三组的频率和为，第四组的频率为， 所以样本的80％分位数为 （3）由（1）可知，样本平均数的估计值，所以， 则 所以，估计能参加复试的人数为 28. 在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表： 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)计算满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表） (2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则. 【答案】(1)，样本中位数为 (2)8186 (3)分布列见解析， 【分析】（1）结合题设数据，根据平均数和中位数的定义求解即可； （2）由题意，，，进而根据正态分布特殊区间的概率求解即可； （3）由题意可得的所有取值为，再求出顾客每次抽奖返还2000元现金的概率，顾客每次抽奖返还1000元现金的概率，顾客每次抽奖不返还任何现金的概率，进而求解分布列和数学期望. 【详解】（1）由题意，平均数， 前3组的频率为，前4组的频数为， 所以样本中位数位于，设为， 则，解得，则样本中位数为. （2）由题意，近似地服从正态分布，且，， 由于 ， 因此估计这些车主中满意度评分位于区间的人数为 . （3）由题意，的所有取值为， 顾客每次抽奖返还2000元现金的概率为， 顾客每次抽奖返还1000元现金的概率为， 顾客每次抽奖不返还任何现金的概率为， 则，， ， ， ， 则的分布列为： 0 1000 2000 3000 4000 所以. 题型08：概率统计的实际应用 29.某商场进行周年庆大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏.游戏规则如下：在一个盒子里放着6个大小相同的小正方体，其中有3个A类小正方体，4个面印着奇数，2个面印着偶数；有2个B类小正方体，6个面都印着奇数；1个C类小正方体，6个面都印着偶数.游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一个小正方体并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是奇数，则进入最终挑战环节，否则游戏结束，不获得任何礼券.最终挑战的环节是进行第三次投掷，有两个方案可供选择，方案一：继续投掷之前抽取的那枚小正方体，若投掷后向上的面为奇数，则获得200元礼券；方案二：不使用之前抽取的小正方体，从盒子中剩余的5个小正方体里再次随机抽取一个进行投掷，若投掷后向上的面为奇数，则获得300元礼券，不管选择方案一还是方案二､若投掷后向上的面为偶数，则获得100元礼券， (1)求第一次投掷后向上的面为奇数的概率； (2)若某位顾客抽取一个小正方体后连续投掷两次，向上的面均为奇数，求该小正方体是A类小正方体的概率； (3)在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种投掷方案最终获得的礼券金额的数学期望，并以此判断选择哪种投掷方案更合适. 【答案】(1) (2) (3)，，选择方案二更合适 【分析】（1）根据全概率公式，即可求解； （2）利用全概率公式和条件概率公式，即可求解； （3）根据两种不同的方案，结合题意，写出不同的期望，比较后即可判断. 【详解】（1）记事件分别表示第一次抽到A类，B类，C类小正方体， 亊件表示第一次投掷后向上的面为奇数，事件表示第二次投掷后向上的面为奇数. （2）续投掷两次向上的面均为奇数的概率为 故所求概率为 （3）若选择方案一、记事件表示第三次投掷后向上的面为奇数， 设第三次投掷后最终获得的礼券为元， 的可能取值为200，100， 则 ， ， 所以. 若选择方案二、记事件表示第三次投掷后向上的面为奇数， 设第三次投掷后最终获得的礼券为元， 的可能取值为300，100. ①若第一次抽到的是A类小正方体，记事件（）分别表示第二次抽到A类，B类，C类小正方体， 则 ； ②若第一次抽到的是B类小正方体，记事件（）分别表示第二次抽到A类，B类，C类小正方体， 则 所以， 则， 所以， 所以， 则， 所以选择方案二更合适. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，并正确使用条件概率公式和全概率公式，求解概率. 30.某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立． (1)计划依次派甲、乙、丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； (2)若依次派甲、乙、丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； (3)已知，若甲只能安排在第一个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定乙、丙谁先派出． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)先派出乙． 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解； （2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3，利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到的分布，再结合期望公式求解； （3）分别计算出依次派甲乙丙进行闯关和依次派甲丙乙进行闯关所派出人员数目的期望，再利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）设事件表示“该小组比赛胜利”， 则； （2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以的分布为： 1 2 3 所以； （3）若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为． 由（2）可知，． 若依次派甲丙乙进行闯关，设派出人员数目的期望为，则． 从而， ． 因为，所以，，所以，即． 所以要使派出人员数目的期望较小，先派出乙． 1. 小明有自觉体锻的习惯，某运动软件记录了其每天运动的时长（单位：min），小明从最近90天的记录中随机选取了10天的记录，具体数据如下： (1)求这组数据的第60百分位数： (2)运动时长不超过60min为不达标，估算从90天记录中随机抽取1天，该天运动时长不达标的概率： (3)从这10个数中随机删除2个数得到一组新的数据，求前后两组数据的极差相同的概率． 【详解】（1）把10天的记录按照从小到大排列为：， 因为是整数，所以第60百分位数为第6个数与第7个数的平均数， 因为，这组数据的第60百分位数为71； （2）因为选取的样本中运动时长不达标的频率为， 所以估计该天运动时长不达标的概率为0.3； （3）因为前后两组数据的极差相同，所以随机删除的2个数为中的两个， 则概率 2. 随机抽取某集团公司旗下五家超市，得到广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下： 广告支出x（万元） 2 4 5 6 8 销售额y（万元） 20 30 50 60 70 (1)计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为广告支出与销售额具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高，） (2)求出y关于x的线性回归方程，并预测若广告支出15（万元），则销售额约为多少万元？参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为，，. 【答案】(1)，可以认为广告支出与销售额具有较高的线性相关程度 (2)，销售额为136万元. 【分析】（1）根据相关系数公式求出相关系数即可判断. （2）根据公式求出，进而确定线性回归方程，然后将广告支出代入方程中求出销售额即可. 【详解】（1）根据表格里的数据可得： ，. 所以 . . . 所以可以认为广告支出与销售额具有较高的线性相关程度. （2）根据公式可得： ，. 所以关于的线性回归方程为. 当广告支出15万元时，销售额约为万元. 3. 火车晚点是人们在旅行过程中最常见的问题之一，针对这个问题，许多人都会打电话进行投诉.某市火车站为了解每年火车的正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年~2022年）每年火车正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值. 600 592 43837.2 93.8 （1）求关于的经验回归方程；若预计2024年火车的正点率为，试估算2024年顾客对火车站投诉的次数； （2）根据顾客对火车站投诉的次数等标准，该火车站这8年中有6年被评为“优秀”，2年为“良好”，若从这8年中随机抽取3年，记其中评价“良好”的年数为，求的分布列和数学期望. 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， 【答案】（1），20次； （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）应用最小二乘法求回归直线，再代入估算2024年顾客对火车站投诉的次数； （2）根据题意写出的可能取值，应用超几何概率公式求对应概率，即得分布列，进而求期望. 【小问1详解】 由题设，，则， 所以，所以； 当时，代入，得到， 所以2024年顾客对该市火车站投诉的次数约为20次. 【小问2详解】 由题意，服从超几何分布，可取0，1，2， ，，， 0 1 2 所以. 4.近年来某App用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该App在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码x 1 2 3 4 5 App在线用户数y（单位：万） 80 150 210 260 300 (1)求样本相关系数r，并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱： (2)从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y，记最小的数据为X，求X的分布列及数学期望． 注：样本相关系数．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.其中，． 【答案】(1)，很强的线性正相关关系 (2) X 80 150 210 P 【详解】（1）由题意，，， 则， 由， 同理， 则， 则， 由接近1且为正，故变量x与y之间有很强的线性正相关关系. （2）由题意，X的可能取值为80、150、210， 则，， ， 故X的分布列为： X 80 150 210 P 则. 5．林芝第二十一届桃花旅游文化节于2024年3月31日晚正式拉开帷幕.某研究小组为了了解开幕式文艺演出时林芝市民的观看情况，从全市随机调查了50名市民（男女各25名），统计到全程观看、部分观看和没有观看的人数如下表： 观看情况 全程观看 部分观看 没有观看 男性人数 9 4 女性人数 18 4 (1)求出表中x，y的值； (2)从样本中没有观看的人中随机抽取2人进一步了解情况，求恰好男女各1人的概率； (3)根据表中统计的数据，完成下面的2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，分析全程观看是否与性别有关? 单位：人 性别 观看情况 合计 全程观看 非全程观看 男性 女性 合计 附：，. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【详解】（1）由题意得，解得，，解得. （2）由（1）知没有观看的人数为7，男4女3，设男生编号为a，b，c，d，女生编号为1，2，3. 从7人中抽2人，所有可能的结果为，，，a1，a2，a3，，，b1，b2，b3，，c1，c2，c3，d1，d2，d3，12，13，23，共21种，恰好男女各1人的结果为a1，a2，a3，b1，b2，b3，c1，c2，c3，d1，d2，d3，共12种. 所以从没有观看的人中随机抽取2人，恰好男女各1人的概率. （3）完整列联表如下 性别 观看情况 合计 全程观看 非全程观看 男性 12 13 25 女性 18 7 25 合计 30 20 50 零假设为：是否全程观看与性别无关. 根据表中的数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即是否全程观看与性别无关. 6. 2025年9月3日在天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，这不仅是一场军事盛宴，更是一次民族精神的洗礼．某中学为了增强学生的爱国主义情怀，减轻学习压力，决定组织一次军事知识竞赛．为了了解学生喜欢军事是否与性别有关，随机抽取了100名学生进行调查，已知女生中有15名喜欢军事，男生中有的人喜欢军事，喜欢军事的学生中有是男生．参加竞赛的学生从喜欢军事的学生中选取，测试题型分为选择题与填空题两种，每次由电脑随机选出一道，选择题与填空题出现的频率之比为，已知学生答对选择题的概率为，答对填空题的概率为，每次答题互不影响． 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 女生 15 合计 (1)根据已知条件补充完整上表，并根据小概率值的独立性检验，分析该校学生喜欢军事是否与性别有关； (2)若每位学生答3题，求该学生答对题数X的分布列和数学期望． 附：，其中． 【答案】(1) 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 30 20 50 女生 15 35 50 合计 45 55 100 认为该校学生喜欢军事与性别无关． (2) 0 1 2 3 数学期望． 【分析】（1）完善列联表，计算进行判断； （2）因为的可能取值为0，1，2，3，且，列出分布列求期望. 【详解】（1）由题可知喜欢军事的男生与女生人数之比为， 且有15名女生喜欢军事，所以有30名男生喜欢军事， 因为男生中有的人喜欢军事，所以男生共有50名，故不喜欢军事的男生有20名， 完善后的列联表如下： 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 30 20 50 女生 15 35 50 合计 45 55 100 零假设为：该校学生喜欢军事与性别无关． ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即该校学生喜欢军事与性别无关． （2）学生答对任意一题的概率为， 的可能取值为0，1，2，3，且， ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 数学期望． 7.某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. (1)求的值; (2)若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求 的分布列及数学期望； (3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多 1株高度低于的概率. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，； (3) 【分析】（1）根据频率和为1，即可求解； （2）首先确定高度在和的株数，再按照超几何分布，即可求解； （3）根据独立重复概率公式，以及条件概率公式，即可求解. 【详解】（1）依题意可得，解得； （2）由（1）可得高度在和的频率分别为和，所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3，所以可取0，1，2. 所以，， 所以的分布列为： 所以 （3）从所有花卉中随机抽取株，记至少有株高度在为事件，至多株高度低于为事件， 则，， 所以. 8.已知某企业加工某零件，根据长期检测结果，得知该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布．现从该企业生产的零件中随机抽取100件，其质量指标值的样本数据统计情况如图所示． (1)求这100件零件的质量指标值的样本平均数和样本方差．（同一组的数据用该组区间的中点值作代表） (2)用这100件零件的质量指标值的样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值．若质量指标值在内的产品为优等品，根据正态分布，求该企业生产的产品为优等品的概率． 附：取， ，，． 【答案】(1)， (2)0.9545 【分析】（1）根据频率分布直方图计算样本平均数及方差的方法，求出样本均值和方差即可； （2）根据正态分布的性质，由方差和均值，判断结果即可. 【详解】（1）． ． （2）由题意知，样本方差，故， 所以该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布． ， 所以该企业生产的产品为优等品的概率为0. 9.某企业车载电池LG型有A，B两条生产线，产品质检员随机从A，B两条生产线共抽取50件车载电池进行电量误差检测，误差（单位：kwh）统计的数据如下表： 生产线 抽取件数 平均误差 标准差 A 30 0.2 2.1 B 20 1.1 (1)若两条生产线的车载电池电量的误差X服从正态分布，以抽取样本的误差的平均数作为的估计值，并规定为特等品，其余为一等品或二等品，求两条生产线生产的LG型的件车载电池中特等品的件数的估计值； (2)某小型新能源汽车装配了特等品和一等品车载电池，该车载电池特等品的续航优秀率为60%，为了测试特等品车载电池的续航功能，从装配了特等品的该新能源汽车中随机抽取4辆进行测试，记续航优秀的台数为，求随机变量X的分布列和数学期望. 附：，若，则，，. 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【分析】（1）结合题意先确定，再结合正态分布的性质求出特等品的概率，最后结合题意求解估计值即可. （2）先确定变量服从二项分布，再利用二项分布的概率公式求解概率写出分布列，最后结合二项分布的期望公式求解期望即可. 【详解】（1）设这50件零件尺寸误差的平均数为， 由题意得，则， 而，规定为特等品，则为特等品， 故特等品的概率为， 故两条生产线生产的LG型的件车载电池中特等品的件数约为件. （2）由题意得， 则，， ，，， 则X的分布列如下， 0 1 2 3 4 且. 10.随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后18个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得， . (1)求样本的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)已知这18个月中有10个月的销售金额高于平均数，从这18个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额高于平均数的月份数为，求随机变量的分布列． 附：相关系数． 【答案】(1)，具有很强的正相关性 (2) 0 1 2 【分析】（1）由条件结合相关系数公式求出相关系数，根据相关系数性质判断结论； （2）由条件确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【详解】（1）样本的相关系数为： 由于相关系数，故销售金额（单位：万元）和月份编号具有很强的正相关性； （2）由题意得：的可能取值为0，1，2， 18个月中有10个月的销售金额高于平均数， 所以， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $