湖北孝感市2026届高三第二次统一考试数学试题

孝感市2026届高三年级第二次统一考试

数学

本试卷满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合，|，则（   ）

A． B． C． D．

2．方程的一个复数根是（   ）

A． B． C． D．

3．已知等差数列的前项和为，且，，则等于（   ）

A．8 B．9 C．10 D．11

4．若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（   ）

A． B． C． D．

5．设一个圆台的侧面积、体积分别为、，将它的高扩大到原来的2倍（上、下底面圆的半径均不变），得到的圆台的侧面积、体积分别为、，则（   ）

A．，  B．，

C．，  D．，

6．在中，，边上的高等于，则（   ）

A． B． C． D．

7．已知函数为偶函数，且，则的解集为（   ）

A．  B．

C．  D．

8．以、为焦点的椭圆与直线有且仅有一个公共点，则该椭圆的离心率为（   ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．如图，四面体中，平面，，垂足为，，垂足为F，则下列说法正确的是（   ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则平面 D．若，则

10．数列满足），且，数列的前项和为，从的前项中任取不同的两项，它们的和为偶数的概率为，数列的前项积为，则（   ）

A． B． C． D．

11．已知函数的定义域是，满足，且，若存在实数，使函数在区间上恰好有2026个零点，则实数的值可能为（   ）

A． B．0 C． D．

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．曲线在点处的切线与直线垂直，则点的坐标为________．

13．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，且满足，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的内切圆半径为________．

14．在一组数2，2，7，12，27中插入两个整数，，使得新的一组数极差为原来极差的两倍，且众数和中位数保持不变，则的最小值为________．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（本小题满分13分）如图，正方形所在的平面与平面垂直，且．

（1）证明：平面平面；

（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值．

16．（本小题满分15分）已知函数在区间单调，其中为正整数，，且图象关于点对称．

（1）求的最小正周期；

（2）在中，，，边上的中线长为，求的面积．

17．（本小题满分15分）甲、乙两支球队参加某球类比赛，如果每局比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立．比赛有两种方案，方案一：采用“三局两胜”制，即累计先胜两局的队最终获胜；方案二：采用“五局三胜”制，即累计先胜三局的队最终获胜．

（1）当时，采用方案一还是方案二对乙更有利（不用说明理由），并求该方案下乙队最终获胜的概率；

（2）当时，若比赛采用方案二．

（ⅰ）求在甲队最终获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率；

（ⅱ）若比赛结果为或者时，胜方得3分，负方得0分，比赛结果为时，胜方得2分，负方得1分，求甲队本次比赛的得分的分布列及均值．

18．（本小题满分17分）已知函数，．

（1）函数，讨论其单调性；

（2）若对恒成立，求的值；

（3）函数，若该函数有且仅有三个极值点，，，且，若，求证：．