2026年中考数学临考冲刺卷（重庆专用）

**基本信息** 重庆中考数学全真模拟冲刺卷，以基础-中档-压轴题梯度覆盖代数、几何、统计核心模块，通过真实情境与综合应用考查数学眼光、思维与语言，强化应试能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-6、填空11-13|概念辨析、基础运算|数与式、图形性质的生成与直接应用| |几何综合|选择5、9，填空12、15，解答18、22、25|动态几何、翻折变换、圆与四边形综合|从单一图形性质到多图形位置关系推导| |函数应用|选择3、8，解答21、24|反比例函数图像、增长率问题、二次函数综合|函数概念-表达式-图像性质-实际应用递进| |统计与概率|选择4、填空11、解答19|全面调查判断、频率估计概率、数据分析|数据收集-整理-分析-推断的完整逻辑链| |新定义与压轴|填空16、选择10、解答25|“开心数”定义、整式分类、动态最值|抽象概念建构与跨模块知识综合应用|

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2026年中考数学临考冲刺卷（重庆专用) 数学·参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D B D B B C B B C 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.8 12.50 13.3 14.、16 15.20W3 3 16. 8172 0 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分) 解：解不等式①，得x>-3, (2分) 解不等式②，得x≤1， (4分) 所以原不等式组的解集为-3<x≤1， (6分) 因此满足原不等式组的所有整数解为-2，-1,0,1。 (8分) 18.(8分)(1)解：如图所示， E (4分) (2)证明：：四边形ABCD是菱形， AC⊥BD,BO=DO. .∠D0C=90°. 1/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CF=0B, :.CF=OD. :∠DCE=∠BDC, :CF∥OD. :四边形OCFD是平行四边形， :∠D0C=90° ·四边形OCFD是矩形. (8分) 19.(10分)(1)解：七年级20名学生竞答成绩在C、D组中的数据有20×(20%+10%)=6（人）， :七年级竞答成绩的中位数是数据从小到大排列后的第10和11个数据，且数据从小到大排列后的第10和 11个数据是83,85， :a=83+85=84, 2 :八年级20名学生竞答成绩中出现次数最多的是84，共计5次， .b=84, 七年级20名学生竞答成绩在B组中的数据有8人， :.七年级20名学生竞答成绩在A组中的数据有20-8-6=6（人)， .m%=×100%=30/0y .m=30; (6分) (2)解：该校八年级学生“创造节”知识竞答的成绩较好，理由： 因为该校七、八年级学生”创造节”知识竞答成绩的平均数相同，但八年级竞答成绩的中位数大于七年级竞答 成绩的中位数，且八年级竞答成绩的众数大于七年级竞答成绩的众数， 所以该校八年级学生”创造节”知识竞答成绩较好； (8分) (3)解：720x30%+800×,5=416(人)， 20 答：估计该估计该校七、八年级参加此次竞答成绩不低于90分的学生人数共416人. (10分) 20.(10分)解：原式=2+x-(x2+4x+4到+ x-2 =x2+x-(x2+4x+4)+ 2x2+4x(x+2(x-21.x-2 x-2x-2 x+2 2/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 =x2+x-x2+4x+4+ 2x2+4xx2-4x-2 x-2x-2x+2 =+x-(x2+4x+4到++4r+4.x-2 x-2x+2 =r+x-(x2+4r+4到+x+2.x-2 x-2x+2 =x2+x-x2-4x-4+x+2 =-2x-2; (7分) x=(π-3)°-21=1-1-1 22’ :原式=-2×2-3 (10分) 21.(10分) 【详解】(1)解：设该超市采购了甲牛奶x箱，乙牛奶y箱， x+y=75 则可得0.3x+02y=16 解得 x=10 y=65 答：该超市采购了甲牛奶10箱，乙牛奶65箱： (5分) (2)解：设每箱乙牛奶的进价为m元，则每箱甲牛奶的进价为(m+10)元， 根据题意可得 50004200 m+10m 解得m=52.5, 经检验，m=52.5是原方程的解， ∴.每箱甲牛奶的进价为62.5元，每箱乙牛奶的进价为52.5元， 10×62.5+65×52.5=4037.5(元)， 答：采购两种牛奶总共需要花费4037.5元. (10分) 22.(10分)(1)解：：在菱形ABCD中，AC=8,BD=6,对角线AC,BD交于点O, :.OB=OD=1BD=3,0A=OC=1AC=4,AC L BD, 2 2 AB=BC=V32+42=5=CD, 在Rt△OBC中，设BC边上的高为h, 3/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 1 S08c=5×3×4=5×5h, 2 2 12 解得h= 1126 当0<x≤5时，h=2BCh2559 当5<x<10时，作PH⊥OD于点H, H B .PH∥OC, △DPH∽△DC0, 器瓷g 5 4’ PH=8-4 5 x0<x≤5) 综上，= 5 2-915sx<1o 作EG⊥BD于点G, D B P Shmo=21 5t, 2 0即13 B0BG= 21 5与 10 2=20<x<10: (4分) (2)解：由上可得，当x=0时，=0；当x=5时，=6；当x=10时，y=0; 7 51时，⅓7：当x2时，2三当7时，为1，当x=0时，牙 4/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故描点，连线，可得函数图象如图所示： 6 0123456789011x 观察图象，函数y的一条性质是：当x=5时，有最大值为6： (8分) (3)解：由图象可得当y=3时，x≈2.5，x≈7.5. (10分) 23.(10分)(1)解：过C作CE⊥AD,CF⊥AB, 北 西 →东 南 30 由题意知，AB=60海里，CD=50海里，∠BCF=30°，∠DCE=45°， 在Rt△CDE中，CE=CD·cos45°=50× =25√2海里， :BF=AB-AF=AB-CE=60-25V2海里， :∠BCF=30°，∠BFC=90°， BC=2BF=120-50V2海里， :B,C两点之间的距离(120-50W2)海里： (5分) (2)解：设在G处渔船被拦截，如图，连接AG,过G作GH⊥AB, 北 D 西 →东 南 E卩」 :渔船正以海里/小时的速度沿B→C方向逃窜，巡逻舰从A处沿某一方向以 G A H 5/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3 v海里/小时的速度直线拦截， 2 3 BG 设AG=3x海里，BG=2x海里， :∠BCF=30°，∠BFC=90°， ∠B=90°-30°=60°， .∠BGH=90°-60°=30°， 8HBG=x海里， AH=AB-BH=60-BH=60-x)海里，GH=√BG2-BH2=√5x海里， .AH2+GH2=AG2, (60-x2+V3x=(3x)2, 解得x=12√6-12（负值舍去）， BG=2x=24V6-24海里， CG=BC-BG=120-50V2-24V6-24=144-50V2-24V6≈14.7海里， 答：该船距离小岛C还有14.7海里. (10分) 24.10分)(1)解：把x=4代入y=x+?,可得y=4, D4,4), 把=0代入y子+手可将=2， A-2,0),A0=2, 把A-2,0),D(4,4代入y=}x2+bx+c, 3 0=-2-2+e 可得 1 4=3x4+4b+e 4 b= 解得 3, c=4 6/15 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 4 :.该抛物线的表达式为y=-二x2+-x+4」 (3分) 33 12 4 (2)解：把y=0代入y=-x2+x+4,可得x=-2,x2=6, 33 B6,0,0B=6, 设P+4 4 作PKx轴，交直线AD于点K,则△PQK∽aBOA, PO PK BO BA' 由-m㎡2+4m+4= 3 x+4,可得x=-号m2+2m+4, X+ 3 2 1 P№2 m2+2m+4-m1 BO 6--2) 石21110 216 m-+9, 16 4 当m=1时，二3m+m+4=5 3 当器取符量大位时，点P的坐标为L, 直线AD与y轴的交点记为S, 2.4 4 把x=0代入y=写x+3,可得y=3 作平行四边形EFBG,连接PG,则BG=EF=V3,BG川EF,EG=BF, ∴.LGBH=∠SAO,PE+BF=PE+EG2PG, 4 六an∠GBH=tan∠S40=3-2, 23 作GH上x轴于点H,则GH-号HB, （居B+B-. HB=3, :HG=3x2=2, 3 作PT1x轴，GT‖x轴，交于点T,则TG=6-3-1=2,PT=5+2=7, 在RtAPTG中，PG=V22+72=√53， 7/15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴PE+BF的最小值为√53. (7分) (3)解：作DRx轴于点R, :D(4,4), ..OR=DR=4, ∠R0D=∠RD0=45°， B 抛物线y=- 3x+4沿射线0D方向平移V反个单位长度，即向右平移1个单位，向上平移1个单位，得 到抛物线y, x-+x-+4+1=r+2x+ 10 y'=- 3 3 3 1 4 1 由一 5x2+-x+4=-5x2+2x+ 3 3 10得x=1· 3 起=1代入r=写+2x9 得y=5, M(1,5), :∠NMB-∠DAB=45°， .∠NMB=∠DAB+45°， 作MX‖AD,作BXIy轴，交于点X,作MI⊥BX于点I,作ML⊥x轴于点L,则∠XMI=∠DAB, tan∠XM0=tan∠DAB=3,MT=BL=6-1=5,ML=B15 8/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 210 .∠LMB=90°×=45°，∠MB=90°×5=45°，X1=5×= 33’ .∠XMB=∠DAB+45°，BX=5+ 1025 33 25 :x6,3 ,点N为直线MX与抛物线y的交点， 设直线MX的解析式为y=kx+b, k+b=5 25, 6k+b= 3 2 解得 13 6=3 直统MX的解新折式为，子+号。 31 把=3代入y号+得号 19 x9) 在x轴上取点W,使得∠WMB=∠DAB+45°，则∠LMW=∠DAB, .tan∠LMW=tan∠DAB, :wL=5×33 210 w091号 3 设直线MW的解析式为y=k2x+b2, [k2+b2=5 36+6=0: 7 3 k2-2 解得 7 6=2 直线MW的解析式为少=，x+7 2 9/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 由-5x2+2x+ *03x+7得=，=1（点M的横坐标)， 3 17 把5三)代入y=)+、得为月 2 4 点N标为） (10分) AHO L B 25.(10分)(1)解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC,AB∥DC,∠D=∠ABC, :△DEE沿FE翻折得到△GEF,点F与点C重合， △DEF≌aGEF(SSS, .DE=EG DF=GF,ZD=ZEGF ∠D=∠ABC, ∠ABC=∠EGF, .AB‖EG, :.四边形AEGB是平行四边形， .AB=EG=DF, EG∥DF, .四边形DFGE是平行四边形， DE=EG, .四边形DFGE是菱形， :AD=8,BE=4,BE⊥AD, 设AB=x,则EG=DF=DE=x, .AE AD-DE =8-x, 在Rt△AEB中，AB2=AE2+EB2, 10/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (8-x)+42=x2,解得x=5, .EG的长为5. (4分) (2)解：BH=MN+MG, 理由：如图，延长BN交AD于点P,连接DG并延长交BC于点Q,连接CG, E D M OH :点F是DC中点， :DF=FC, 由折叠的性质可知，DF=FG,∠DFE=∠GFE,DE=EG,∠DEF=∠GEF, .DF=FG=FC, .∠FDG=LFGD,∠FCG=LFGC, a∠Dcc=∠DGf+∠rGC=∠DGF+∠FDG+∠rGc+∠LFCG)=90, 在平行四边形ABCD中，∠A=∠BCD,AD∥BC, 设∠DFE=a,则∠A=90°-∠DFE=90°-u, .∠BCD=90°-a, BE⊥AD, .∠ABE=90°-∠A=a, :LDFE =ZGFE =a,GF=FC, ·∠FGC=LFCG=2LDFE =0, 2 ∴.∠DCG=∠ABE=a, 在△ABE和△DCG中， ∠AEB=∠DGC=90° ∠ABE=∠DCG=a, AB=CD .△ABE≌△DCG(AAS), ∴CG=EB, :∠A=∠BCD=90°-a, 11/15 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 LGCQ=LBCD-LDCG=90°-a-a=90°-2a, :∠CGQ=90°， .LG0C=90°-LGC0=2a, :AD∥BC, .LADQ=∠GQC=2a, DE=EG, .∠EDG=∠EGD=2a, ∴.∠DEG=180°-2∠EDG=180°-4a, :∠DEF=∠GEF=∠DEG=90-2a, :∠BED=90°， ∴.∠BEG=∠BED-∠DEG=4a-90°， ∴.∠BEN=∠BEG+∠GEF=2a, :BN⊥EF,GH⊥BC, .∠EBN=90°-∠BEN=90°-2a=∠GCH,∠GHC=90°， 在△GHC和△ENB中， ∠BNE=∠CHG=90° ∠EBN=∠GCH=90°-2a, EB=CG .△GHC≌AENB(AAS), ∴.GH=EN, :∠EMN=90°-∠GEF=2a, .∠EMN=LGQH=2a, 在△ENM和△GHQ, ∠EMN=∠GQH ∠ENM=∠GHQ=90°， EN=GH .△ENM≌△GHO(AAS), .MN =OH :∠DPB=∠ENP+∠DEF=90°+90°-2a=180°-2a,LDQC=LED0=2a, 12/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 LDPB+LED0=180°-2a+2a=180°， .BP∥DQ, .四边形BPDQ是平行四边形，.DP=BQ, :∠PEM=LDEG, △PEM∽△DEG, :EP、EM ED EG DE=GE, .EP=EM,则DP=MG, .MG=BO=PD BH=BO+OH, ∴.BH=MN+MG. (8分) (3)解：：△DEE沿FE翻折得到△GEF, 点G的运动轨迹是以点E为圆心，DE=√5为半径的圆， 如图，过点C作CK⊥AD交AD延长线于点K, B :BE⊥AD, .BE∥CK, 又：AD∥CB, .四边形BEKC是矩形， ∴.BE=CK=3, 在RtADKC中，DK=VCD2-CK2=2V5, :DE=√5， EK DE+DK=33, 13/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在Rt△CKE中，CE=VCK2+KE2=6, 在CE上截取一点Q,使得Q=2' :E迎=EG5 EG EC 6 .LQEG=ZGEC, .△EGQn△ECG, :5cG=0G, 6 :点M为射线CB上一动点， 作与BC夹角为30°的射线1，使得∠BCP=30°，作MP⊥I于P, 在R1aMPC中，CM=MP, CG+GMTCM-0G+GM+ME 6 当点Q,G,M,P四点共线时，Y3CG+GM+CM有最小值 6 即点Q到直线1的距离为最小值， 3 CG+GM+。CM =OP, 6 如图，过点Q作QP⊥I交直线1于点P,QP与⊙E交点G,与BC交点M',连接BG', D 、M" B N 在RtAEKC中，CE=6,CK=3, m<KEc-答，即KEc-0. :EK∥BC, ∠ECB=30, ∴.∠P'CE=∠P'CB+∠ECB=60°， 14/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 :B0=2CE=6, c0=cE-0= 2, 在△QCP中，CPQ-片， 0p-g-p-45. :△EGQ△ECG', :G'-5 G'C 6 设QG'=x,CG'=2V5x, or-0r-0o45- 在Rt△p'G'C中，CG2=Gp2+Cp2, -5-g 解得55+面，55国 4 4 (负值舍去) G0=47-5 4 在Rt△MCP'中，∠BCP'=30°， cos∠BCP'=cos30=CP=5】 CM2,即CM'=3 6 sin∠Bcp'=sin30°=CM,=2,即PM'=3. 12 :.GM'-OP-QG'-MP-25 12 4 EK BC=33, :BM'=BC-CM'=3W5-L5=75, 6 6 过点G作G'W⊥BM'交BM'于点N, ∠CMP'=∠BMG'=60°， 在RtaG'MN中，sin∠BMG'=sin60°=GN-5 G'M'2 Gw=25-14 8 Sacw=)BMGN=×25x25-i④-1755-7m. (10分) 2 26 8 96 32 15/15函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 2026年中考数学临考冲刺卷（重庆专用) 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.-5的绝对值是() A.5 B.-5 C.5 D.5 2.下列是某校数学社团成员用A1软件设计的四幅图案，是轴对称图形的是() B 00 B.反比例函数y。的图像一定经过的点是( A.1,6 B.（-3-2 c.-2,3) D.3-6 4.下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是() A.调查全国年轻人喜欢的奶茶品牌 B.调查重庆市民对长寿湖元旦烟花的燃放效果是否满意 C.调查某市中学生课外阅读情况 D.调查“长征十二号”火箭各部分零件合格情况 1/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.如图，圆内接四边形ABCD中，圆心角∠BOC=120°，则∠BAC等于() D A.100° B.120° C.130° D.150° 6.2025年10月1日国家航天局发布的官方信息：天问二号探测器对小行星2016H03的探测距离约为4500 万千米.数据4500用科学记数法表示为() A.45x102 B.4.5x10 C.0.45x10 D.4.5x107 7.如图是某种分子的结构模型图，它由空心小球和实心小球按如图所示的方式排列.第1个图形共有4个 小球，第2个图形共有6个小球，第3个图形共有8个小球…按照这一规律，第10个图形中小球的个数是 () &。g”oe (1) A.18 B.20 C.22 D.24 8.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销 活动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元.设该款汽车这两月售价的月均下 降率是x,则所列方程正确的是() A 161+x)2=23 B 23(1-x)2=16 C.161+2x2=23 D.230-2x2=16 9.如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD边上的点，且DE=1,连接AE交对角线BD于点G,将 △ADE沿直线AE翻折到正方形ABCD所在AD平面内，得△AME,延长EM交BC于点F,延长AM交 BC的延长线于点N,连接GN,则△AGN的面积为() 219 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 D G M 12 17 1217 1717 A.5 B.5 c.5 D.5 10.已知整式M,=a,r+a,++ax+a,其中0，，4为自然数，n与均为正整数.例： 当n=3,x=-1时，有M,-l=a-+a-+a-+a,=-4+a,4+a.下列说法 ①若M,0=3,则符合条件的整式M,(中有4个二次二项式： ②若M,n=4,则符合条件的整式M.有8个 ③若M,(2)=9,且整式M,(是二次三项式，则M,d的值一定是正数. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.一个不透明的袋子中，装有除颜色外均相同的白球和红球共20个，通过多次摸球试验后，发现摸到白 球的频率约为0.4，估计袋中白球的个数为 12.如图，AB∥CD,若∠AFG=130°，则∠FED= G D 3/9 丽学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 13.已知m<<m+1,且m为整数，则m的值为 14.若实数，》同时满足-2y=4州-3沙=8，则+y的值为 15.如图，矩形1BCD内接于O0,对角线4C的长为1B,点F是O0上一点，BF=BC,延长4F、F0 与C所在直线交于点E~G,m∠a1E-号，则线段G的长为 D G 6 16.若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为0，且满足十位和个位数字的和的平方等于由千位 和百位数字组成的两位数，则称这个四位数为“开心数”，例如：四位数2541，因为4+=25，所以 2541是“开心数”：又如，四位数6745，(4+5=81≠67，所以6745不是“开心数”.则最大的“开心 数”为 :已知M=67是“开心数”，将M去掉个位数字后所得的三位数记为以，记 GM-台gF-画 c-d一，若6F(M)+M+7d能够被9整除，则满足条件的GM)最大值与 最小值的和为 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 4/9 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 x-4<4x+5① 17.(8分)求不等式组： x+5≥x+3@ 2 的所有整数解。 解：解不等式①，得 解不等式②，得 所以原不等式组的解集为 因此满足原不等式组的所有整数解为 18.(8分)小明同学在学习了矩形和菱形之后，发现他们的性质既有关联也有不同，为了更好的掌握相 关知识，进行了以下探索，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)如图，在菱形ABCD中，AC,BD相交于点O.用尺规在CD右侧作∠DCE=∠BDC,在CE上截取 CF=OB,并连接DF.(保留作图痕迹，不写作法) (2)求证：四边形OCFD是矩形 证明：四边形ABCD是菱形， AC⊥BD,① ∴.∠DOC=90° .CF=OB ∴② :∠DCE=∠BDC, ③ ∴四边形OCFD是平行四边形. “④ ∴四边形OCFD是矩形. 19.(10分)学校开展了“创造节”知识竞答活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞答成 绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A. 90≤x≤100；B.80≤x<90;C.70≤x<80;D.60≤x<70),下面给出了部分信息： 5/9 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 七年级20名学生竞答成绩在B组中的数据是：83,83,83,83,85,86,87,88 八年级20名学生竞答成绩是： 65,70,75,78,81,84,84,84,84,84,86,86,87,88,89,90,93,95,97,100 C 20% 0%D A m% 七、八年级所抽取学生竞答成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 a 83 八年级 85 85 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中a= b= ；m= (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生“创造节”知识竞答的成绩较好？请说明理由 (写出一条理由即可)； (3)该校七年级有学生720人，八年级有学生800人，请估计该校七、八年级参加此次竞答成绩不低于90分 的学生人数共是多少？ 2xx+2 x+2 20.(10分)先化简，再求值. xx+1-(x+22 -x-2 x-2 x-2,其中x=(π-3)°-21 21.(10分)某超市购进甲乙两种牛奶共75箱.已知每箱甲牛奶占0.3立方米的存储空间，每箱乙牛奶占 0.2立方米存储空间，这75箱甲、乙两种牛奶共占用16立方米的存储空间. (1)请问该超市采购了甲乙牛奶各多少箱？ (2)经市场调查，每箱甲牛奶的进价比每箱乙牛奶的进价多10元.如果用5000元采购甲牛奶的箱数与用 4200元采购乙牛奶的箱数相同，那么采购这两种牛奶总共需要花费多少元？ 22.(10分)如图，在菱形ABCD中，AC=8,BD=6,对角线AC,BD交于点O.动点P以每秒1个 单位长度从点B出发，沿着B-C-D运动，当点p到达点D时停止运动，同时，动点g以每秒亏个单位长 度也从点B出发，沿着B-D运动，P、Q两点同时停止运动.点E为直线AB上的一动点，满足 619 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 21 SBe0=10· 设点p的运动时间为，秒（0<x<10)，△BOP的面积为y,点E到BD的距离为y· 87 6 B 0123456789101ix (1)请直接写出”，”关于x的函数表达式，并写出自变量*的取值范围； 2)在给定的平面直角坐标系中画出”，”的图象，并写出函数”的一条性质： 3)结合函数图象，请直接写出当1=3时x的值，（近似值保留小数点后一位，误差不超过02） 23.(10分)如图，某海警巡逻舰在A处发现正东方向60海里的B处有一艘可疑渔船，渔船正以'海里/ C方向逃窜。已知B位于小岛C的南偏东30方向，小岛D位于C的西北方向50海里处， B-→ B .30° 小时的速度沿 且D位于4的正北方向。《参考数据：514151.73N6≈245) 西 东 南 A B.C (1)求两点之间的距离（结果保留根号）； (2)发现渔船时，巡逻舰立即从处沿某一方向以2'海里/小时的速度直线拦截，求渔船被拦截时，该船距 离小岛C还有多少海里（结果保留小数点后一位）？ +c+e与x轴交于AB两点，与)轴文于点c直线号+号与抛 2 4 24.(10分)如图，抛物线y= 719 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 物线交于点 A,D(4,m) B 备用图 (1)求该抛物线的表达式： 2若是直线1D上方抛物线上一动点，连接P8交D于点°，点5和点F是直线1D上的两个动点， E F PO EF=√3，连接PE,BF,当B0取得最大值时，求点p的坐标及PE+BF的最小值： (3)将抛物线y= 3?+r+c沿射线OD方向平移2个单位长度得到抛物线y,抛物线y与原抛物线交于 点M,点N为抛物线y上一点.若∠NMB-∠DAB=45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写 出求解点V的坐标的其中一种情况的过程。 25.(10分)在平行四边形ABCD中，BE⊥AD,点F为直线CD上一点，将△DEF沿FE翻折得到 △GEF G C(F) 图1 图2 图3 (1)如图1，若点F与点C重合，且点G落在BC上，AD=8,BE=4,求EG的长； (2)如图2，若点F为CD的中点，作GH⊥BC于点H,作BN⊥EF分别交EG,EF于点M和N,若 ∠DFE+∠A=9O°，猜想BH,MN,MG之间的数量关系并证明： 图3.BE=3,DE=5,CD=2,点M为射线CB上一动点，连接8G,CG,MG,求当 CG+GM+ICM 6 2 取到最小值时，△BGM的面积. 819 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 9/9 2026年中考数学临考冲刺卷（重庆专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一﹑选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的绝对值是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 因此，的绝对值为5， 故选：A． 2．下列是某校数学社团成员用AI软件设计的四幅图案，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、两个黑点分别位于右上和左下，找不到一条直线使折叠后两侧完全重合，不是轴对称图形； B、图形上下、左右的文字/符号都不相同，无法找到对称轴使两侧重合，不是轴对称图形； C、左侧是，右侧是无穷大符号，二者不同，折叠后无法重合，不是轴对称图形； D、沿竖直中线（或水平中线）折叠后，直线两侧部分可以完全重合，是轴对称图形． 3．反比例函数的图像一定经过的点是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：对于反比例函数，变形得， 对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D错误． 4．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．调查全国年轻人喜欢的奶茶品牌 B．调查重庆市民对长寿湖元旦烟花的燃放效果是否满意 C．调查某市中学生课外阅读情况 D．调查“长征十二号”火箭各部分零件合格情况 【答案】D 【详解】解：A、调查全国年轻人喜欢的奶茶品牌，适合运用抽样调查，不符合题意； B、调查重庆市民对长寿湖元旦烟花的燃放效果是否满意，适合运用抽样调查，不符合题意； C、调查某市中学生课外阅读情况，适合运用抽样调查，不符合题意； D、调查“长征十二号”火箭各部分零件合格情况，适合运用全面调查，符合题意； 故选：D． 5．如图，圆内接四边形中，圆心角，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴． 6．2025年10月1日国家航天局发布的官方信息：天问二号探测器对小行星的探测距离约为4500万千米．数据4500用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：. 7．如图是某种分子的结构模型图，它由空心小球和实心小球按如图所示的方式排列．第个图形共有个小球，第个图形共有个小球，第个图形共有个小球按照这一规律，第个图形中小球的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：第个图形有个小球； 第个图形有个小球； 第个图形有个小球； 第个图形有个小球， 第个图形的小球个数是：（个）． 8．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元， ∴． 故选：B． 9．如图，正方形的边长为4，点E是边上的点，且，连接交对角线于点G，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得，延长交于点F，延长交的延长线于点N，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，过点G作交于点K， ∵正方形， ∴， ∵正方形的边长为4，， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵将沿直线翻折到正方形所在平面内，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵将沿直线翻折到正方形所在平面内，得， ∴，， ∵正方形， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴， 设， ∵，正方形的边长为4， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10．已知整式，其中，…，为自然数，与均为正整数．例：当，时，有．下列说法： ①若，则符合条件的整式中有个二次二项式； ②若，则符合条件的整式有个； ③若，且整式是二次三项式，则的值一定是正数． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题可知为正整数，为自然数（含），逐个分析： 判断① ，，二次二项式仅两个非零项，，分两类讨论： ∵时，，正整数解共组；时，，正整数解共组； ∴合计个，①正确； 判断② ，为正整数，为正整数，故可取： ∵时，，共个不同多项式；时，，共个不同多项式；时，仅其余系数为，共个； ∴ 合计个，②正确； 判断③ 是二次三项式，故，，存在符合条件的多项式； ∵当时，，不是正数，∴ ③错误， 综上，正确的说法共个． 二﹑填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．一个不透明的袋子中，装有除颜色外均相同的白球和红球共个，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中白球的个数为______． 【答案】 【详解】解：∵通过多次摸球试验后，摸到白球的频率约为， ∴由用频率估计概率可得，估计摸到白球的概率为， 又∵袋中白球和红球共个， ∴估计袋中白球的个数为：． 12．如图，，若，则________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 13．已知，且m为整数，则m的值为_______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵，且m为整数， ∴， 故答案为：． 14．若实数，同时满足，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 当时，， ∴解得：， 把代入得，（舍）， 当时，， ∴，解得：， 把代入得，， ∴， 故答案为：． 15．如图，矩形内接于，对角线的长为13，点是上一点，，延长、与所在直线交于点、，，则线段的长为______． 【答案】 【详解】解：连接，作，，垂足分别为，， ∵矩形内接于， ∴， ∴是的直径， ∵，∴， ∴， ∴设，， 由勾股定理得，解得， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得，即． 16．若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为0，且满足十位和个位数字的和的平方等于由千位和百位数字组成的两位数，则称这个四位数为“开心数”，例如：四位数2541，因为，所以2541是“开心数”；又如，四位数6745，，所以6745不是“开心数”．则最大的“开心数”为___________；已知是“开心数”，将去掉个位数字后所得的三位数记为，记，若能够被9整除，则满足条件的最大值与最小值的和为___________． 【答案】 8172 0 【详解】解：设四位数，则“开心数”满足，且a，b，c，d互不相等且均不为零， ∵为两位数， ∴， 要使得M最大，则需千位数字a最大， ∴a最大可能值为8，此时，故， 此时， ∵数字互不相等， ∴c和d不能为8或1， 可能组合中，，时十位数字最大， 故，且数字8，1，7，2互不相等，满足条件，为最大“开心数”； 由定义，，代入得： ， 根据题意得：， ∴ ， 设， ∵， ∴， 则， ∵能够被9整除， ∴能被9整除， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴或， 当时，，故，，，且数字互不相等， ∴或， 当时，； 当时，； 当时，，故，，，且数字互不相等， ∴或或或或或， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴可能值为1，，，，，，，， ∴最大值为1，最小值为， 最大值与最小值的和为． 故答案为：8172；0． 三﹑解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）求不等式组：的所有整数解． 解：解不等式①，得___________ 解不等式②，得___________ 所以原不等式组的解集为___________ 因此满足原不等式组的所有整数解为___________ 【答案】，，，． 【详解】解： 解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集为， 因此满足原不等式组的所有整数解为． 18．（8分）小明同学在学习了矩形和菱形之后，发现他们的性质既有关联也有不同，为了更好的掌握相关知识，进行了以下探索，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)如图，在菱形中，，相交于点．用尺规在右侧作，在上截取，并连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：四边形是矩形． 证明：四边形是菱形， ，①___________ ， ②___________ ， ③___________ 四边形是平行四边形． ④___________． 四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【详解】（1）解：如图所示， （2）证明：四边形是菱形， ，． ． ， ． ， ． 四边形是平行四边形， ． 四边形是矩形． 19．（10分）学校开展了“创造节”知识竞答活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞答成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞答成绩在组中的数据是：83，83，83，83，85，86，87，88． 八年级20名学生竞答成绩是：65，70，75，78，81，84，84，84，84，84，86，86，87，88，89，90，93，95，97，100． 七、八年级所抽取学生竞答成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 a 83 八年级 85 85 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中___________，___________；___________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生“创造节”知识竞答的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有学生人，八年级有学生人，请估计该校七、八年级参加此次竞答成绩不低于分的学生人数共是多少？ 【答案】(1)，，． (2)我认为八年级学生“创造节”知识竞答的成绩较好，理由见解析 (3)估计该校七、八年级参加此次竞答成绩不低于分的学生人数共人． 【详解】（1）解：七年级20名学生竞答成绩在C、D组中的数据有（人）， ∵七年级竞答成绩的中位数是数据从小到大排列后的第10和11个数据，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是83，85， ∴， ∵八年级20名学生竞答成绩中出现次数最多的是84，共计5次， ∴， 七年级20名学生竞答成绩在B组中的数据有8人， ∴七年级20名学生竞答成绩在A组中的数据有（人）， ∴， ∴； （2）解：该校八年级学生“创造节”知识竞答的成绩较好，理由： 因为该校七、八年级学生”创造节”知识竞答成绩的平均数相同，但八年级竞答成绩的中位数大于七年级竞答成绩的中位数，且八年级竞答成绩的众数大于七年级竞答成绩的众数， 所以该校八年级学生”创造节”知识竞答成绩较好； （3）解：（人）， 答：估计该估计该校七、八年级参加此次竞答成绩不低于分的学生人数共人． 20．（10分）先化简，再求值．，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ； ， 原式． 21．（10分）某超市购进甲乙两种牛奶共75箱．已知每箱甲牛奶占0.3立方米的存储空间，每箱乙牛奶占0.2立方米存储空间，这75箱甲、乙两种牛奶共占用16立方米的存储空间． (1)请问该超市采购了甲乙牛奶各多少箱？ (2)经市场调查，每箱甲牛奶的进价比每箱乙牛奶的进价多10元．如果用5000元采购甲牛奶的箱数与用4200元采购乙牛奶的箱数相同，那么采购这两种牛奶总共需要花费多少元？ 【答案】(1)该超市采购了甲牛奶箱，乙牛奶箱 (2)采购两种牛奶总共需要花费4037.5元 【详解】（1）解：设该超市采购了甲牛奶箱，乙牛奶箱， 则可得， 解得， 答：该超市采购了甲牛奶箱，乙牛奶箱； （2）解：设每箱乙牛奶的进价为元，则每箱甲牛奶的进价为元， 根据题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴每箱甲牛奶的进价为元，每箱乙牛奶的进价为52.5元， （元）， 答：采购两种牛奶总共需要花费4037.5元． 22．（10分）如图，在菱形中，，，对角线，交于点．动点以每秒1个单位长度从点出发，沿着运动，当点到达点时停止运动，同时，动点以每秒个单位长度也从点出发，沿着运动，、两点同时停止运动．点为直线上的一动点，满足．设点的运动时间为秒（），的面积为，点到的距离为． (1)请直接写出，关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的值，（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】(1)； (2)图象见解析，函数的一条性质是：当时，有最大值为； (3)由图象可得当时，和 【详解】（1）解：∵在菱形中，，，对角线，交于点， ∴，，， ∴， 在中，设边上的高为， ∴， 解得， 当时，； 当时，作于点， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 综上，； 作于点， ∵，， ∴，即， ∴； （2）解：由上可得，当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，；当时，； 故描点，连线，可得函数图象如图所示： 观察图象，函数的一条性质是：当时，有最大值为； （3）解：由图象可得当时，，． 23．（10分）如图，某海警巡逻舰在处发现正东方向60海里的处有一艘可疑渔船，渔船正以海里/小时的速度沿方向逃窜．已知位于小岛的南偏东方向，小岛位于的西北方向50海里处，且位于的正北方向．（参考数据：） (1)求两点之间的距离（结果保留根号）； (2)发现渔船时，巡逻舰立即从处沿某一方向以海里/小时的速度直线拦截，求渔船被拦截时，该船距离小岛还有多少海里（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)海里 (2)海里 【详解】（1）解：过C作， 由题意知，海里，海里，， 在中，海里， 海里， ， ， 海里， 两点之间的距离海里； （2）解：设在G处渔船被拦截，如图，连接，过G作， 渔船正以海里/小时的速度沿方向逃窜，巡逻舰从处沿某一方向以海里/小时的速度直线拦截， ， 设海里，海里， ， ， ， ， 海里， 海里，海里， ， ， 解得（负值舍去）， 海里， 海里， 答：该船距离小岛还有海里． 24．（10分）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，点和点是直线上的两个动点，，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，抛物线与原抛物线交于点，点为抛物线上一点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)该抛物线的表达式为； (2)点的坐标为，的最小值为； (3)点的坐标为或． 【详解】（1）解：把代入，可得， ∴， 把代入，可得， ∴，， 把，代入， 可得， 解得， ∴该抛物线的表达式为． （2）解：把代入，可得，， ∴，， 设， 作轴，交直线于点，则， ∴， 由，可得， ∴， 当时，， ∴当取得最大值时，点的坐标为， 直线与轴的交点记为， 把代入，可得， ∴，， 作平行四边形，连接，则，，， ∴，， ∴， 作轴于点，则， ∴， ∴， ∴， 作轴，轴，交于点，则，， 在中，， ∴的最小值为． （3）解：作轴于点， ∵， ∴， ∴， 抛物线沿射线方向平移个单位长度，即向右平移个单位，向上平移个单位，得到抛物线， ∴， 由得， 把代入得， ∴， ∵， ∴， 作，作轴，交于点，作于点，作轴于点，则， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴，点为直线与抛物线的交点， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 由得，（点的横坐标）， 把代入得， ∴， 在轴上取点，使得，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 由得，（点的横坐标）， 把代入得， ∴， ∴点的坐标为或． 25．（10分）在平行四边形中，，点F为直线上一点，将沿翻折得到． (1)如图1，若点F与点C重合，且点G落在上，，，求的长； (2)如图2，若点为的中点，作于点H，作分别交，于点M和N，若，猜想，，之间的数量关系并证明； (3)如图3，，，，点M为射线上一动点，连接，，，求当取到最小值时，的面积． 【答案】(1)5 (2)，理由见详解 (3) 【详解】（1）解：在平行四边形中，，，， ∵沿翻折得到，点F与点C重合， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵，，， 设，则， ∴， 在中，， ∴，解得， ∴的长为5． （2）解：， 理由：如图，延长交于点P，连接并延长交于点Q，连接， ∵点F是中点， ∴， 由折叠的性质可知，，，，， ∴， ∴，， ∴， 在平行四边形中，，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵沿翻折得到， ∴点G的运动轨迹是以点E为圆心，为半径的圆， 如图，过点C作交延长线于点K， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，, ∵， ∴， 在中，， 在上截取一点Q，使得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点M为射线上一动点， 作与夹角为的射线l，使得，作于， ∴在中，， ∴， 当点Q，G，M，P四点共线时，有最小值， 即点Q到直线l的距离为最小值， ∴， 如图，过点Q作交直线l于点，与交点，与交点，连接， 在中，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， 在中，， ∴，即， ，即， ∴， ∵， ∴， 过点作交于点N， ∵， 在中，， ∴， ∴． 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $