专题06 几何压轴题（重庆专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题06 几何压轴题（解析版） 考点1 几何压轴求解类 1．（2023·重庆·中考B）如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，连接并延长，与的平分线交于点F，连接，若，则的长度为（    ）    A．2 B． C．1 D． 2．（2024·重庆·中考A）如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·重庆·中考B）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A．2 B． C． D． 4．（2025·重庆·中考）如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 考点2 几何压轴折叠类 5．（2021·重庆·中考A）如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为 ． 6．（2021·重庆·中考B）如图，中，点D为边BC的中点，连接AD，将沿直线AD翻折至所在平面内，得，连接，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若，，则AD的长为 ． 考点3 几何证明压轴题 7．（2021·重庆·中考A）在中，，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得． （1）如图，当时，连接，交于点．若平分，，求的长； （2）如图，连接，取的中点，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图，在（2）的条件下，连接，．若，当，时，请直接写出的值． 8．（2021·重庆·中考B）在等边中，， ，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF． （1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG． ①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长； ②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：； （2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当最小时，直接写出的面积． 9．（2022·重庆·中考A）如图，在锐角中，，点，分别是边，上一动点，连接交直线于点． (1)如图1，若，且，，求的度数； (2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，点是的中点，连接．在点，运动过程中，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)若，且，将沿直线翻折至所在平面内得到，点是的中点，点是线段上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接．在点，运动过程中，当线段取得最小值，且时，请直接写出的值． 10．（2022·重庆·中考B）在中，，，D为的中点，E，F分别为，上任意一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，． (1)如图1，点E与点C重合，且的延长线过点B，若点P为的中点，连接，求的长； (2)如图2，的延长线交于点M，点N在上，且，求证：； (3)如图3，F为线段上一动点，E为的中点，连接，H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段的长度的最小值． 11．（2023·重庆·中考A）在中，，，点为线段上一动点，连接．      (1)如图1，若，，求线段的长． (2)如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点． 若，求证：． (3)在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边．点为所在直线上一点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到． 连接，点为的中点，连接，当取最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值． 12．（2024·重庆·中考A）在中，，点是边上一点（点不与端点重合）．点关于直线的对称点为点，连接．在直线上取一点，使，直线与直线交于点．    (1)如图1，若，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图1，若，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； (3)如图2，若，点从点移动到点的过程中，连接，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 13．（2024·重庆·中考B）在中，，，过点作． (1)如图1，若点在点的左侧，连接，过点作交于点．若点是的中点，求证：； (2)如图2，若点在点的右侧，连接，点是的中点，连接并延长交于点，连接．过点作交于点，平分交于点，求证：； (3)若点在点的右侧，连接，点是的中点，且．点是直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是直线上一动点，连接，．在点的运动过程中，当取得最小值时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点的运动过程中，直接写出的最大值． 14．（2025·重庆·中考）在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，，求的度数； (2)如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明： (3)如图3，，，，连接，．点从点移动到点过程中，将绕点逆时针旋转得线段，连接，作交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积． 考点1 几何压轴求解类 1．（2025·重庆育才中学教育集团·三诊）在正方形的边上有一点E，连接，以为直角边作等腰直角三角形，且，点H是的中点，连接．则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·重庆实外·三模）若两个正方形与如图所示放置，并且B、C、F三点共线，连接，过点B作交于点N，连接交于点M，连接，若，则的长度为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（2025·重庆巴蜀中学·三模）如图，正方形中，点E、F分别在上，，连接，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·重庆西大附中·三模）如图，在正方形中，点是上的一点，且，于点，，且交于点，则的值为（   ） A． B．3 C．4 D． 5．（2025·重庆南开中学·二模）如图，在菱形中，O为对角线中点，将绕顶点A逆时针旋转至，使E点恰好落在上，连接．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·重庆巴南·二模）如图，在矩形中，E为对角线上一点，连接，过点E作交延长线于F，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 7．(24-25九下·重庆第九十五初级中学校·三模)如图，四边形是正方形，点是边上一点，，交的延长线于点，连接．若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 8．(24-25九下·重庆第一中学校·二模)如图，在正方形中，点为边上一点，连接，使，点在上，接，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·重庆西大附中·二诊）如图，在边长为5的正方形中，，连接，交于点H，连接交于点G，连接交于点M，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025·重庆八中·一模）如图，在正方形中，点在边上，，作平分交于点，则的长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 11．（2025·重庆渝北·一模）如图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线，分别交正方形的四边于点，，，，直线，交于点，记的面积为，四边形的面积为．若，则用含的式子表示的值是（   ） A． B． C． D． 12．(24-25九下·重庆实验外国语学校·)如图，在矩形中，为对角线，平分交于点F，点E是上一点，连接、，若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·重庆开州云枫教育集团·一模）如图，为正方形的对角线上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落到边上，线段交对角线于点，且为的中点．若正方形的边长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 14．(24-25九下·重庆育才中学·)如图，以的斜边为边，在的同侧作正方形，正方形的对角线、交于点，连结，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 考点2 几何证明压轴题 15．（2025·重庆育才中学教育集团·三诊）在中，，在直线上有一点D，连接，绕点D逆时针转动得到，连接，其中 (1)如图1，与交于点Q，平分，若，求的度数（用的代数式表示）； (2)如图2，点G为中点，点F为中点，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点F为中点，，当最小时，在直线上有一点M，沿翻折至，当面积最大时，请直接写出的值． 16．（2025·重庆实外·三模）在等腰中，，，在线段上取一点D，连接．过点B作交于点G． (1)如图1，当点D是的中点，时，求的长度； (2)如图2，当为的角平分线时，过点C作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F，过点B作，求证： (3)在内部有一点P，连接、、，设Q为线段上的动点，当取得最小值时，请直接写出的最小值． 17．（2025·重庆巴蜀中学·三模）如图，已知在中，，点E在直线上，连接．过点C作于点D，交于点E (1)如图1，若点E在线段上，平分，，，求的长度； (2)如图2，若点E在线段上，，延长至点G，连接，满足，请用等式表示线段、之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若，将沿翻折至所在平面得，连接，点P为的中点，连接，在E点运动过程中，当取最小值时，直接写出此时的值． 18．（2025·重庆西大附中·三模）中，，，，点是的中点，点是上一动点，点是三角形内一点，且满足，， (1)如图1，当点为中点时，点恰好在上，求的长； (2)如图2，以为边作正，连接，并延长交与点，若点在点的右侧，请探究点到、、的距离间的关系，并证明之； (3)如图3，连接，求的最小值． 19．（2025·重庆南开中学·二模）如图，在中，，点为线段上一动点，以为边向左作等边． (1)如图1，当为边中点时，若，，求的周长； (2)若，点在线段上，且满足，线段交线段于点，连接． ①如图2，若，用等式表示线段和之间的数量关系，并证明； ②如图3，连接，，点运动过程中，当为直角三角形时，请直接写出的值． 20．（2025·重庆巴南·二模）如图，在中，，点D是边上一点，点E是线段上一点． (1)如图1，若，且，求的长； (2)如图2，若，，点E是的中点，连接，点F是线段上一点且，连接．用等式表示线段，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若平分，平分，于点F，的面积为，，直接写出的最大值． 21．(24-25九下·重庆第九十五初级中学校·三模)在中，点在直线的上方． (1)如图1，，点在边上，且，若，求的长； (2)如图2，点为外一点，，，，证明：； (3)如图3，，，点是上一点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当取得最小值时，请直接写出此时的面积． 22．(24-25九下·重庆第一中学校·二模)如图，在中，于点，点在左侧，且，连接交于点． (1)如图1，若，，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图2，过点作的垂线，垂足为点，交于点，若，，请用等式表示线段、、之间的数量关系并证明； (3)如图3，，取的中点，点是线段上的动点，连接、，当度数取得最大值时，过点作于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，当取得最大值时，直接写出的值． 23．（2025·重庆西大附中·二诊）在中，，点为边上中点，为直线上一点，连接． (1)如图，若，，求线段的长度； (2)如图，若，点为边上一点，且，连接并延长至点，使，连接．请猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图，若，，点为直线上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点为的中点，连接，请直接写出当取得最小值时的面积． 24．（2025·重庆八中·一模）在中，，点为平面内一点，连接、，点为中点，连接． (1)如图1，点在边上，若，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图2，点在内，连接，若，求证：； (3)如图3，，点在内且，当取最小值时，把沿着翻折到的同一平面得到，请直接写出四边形的面积． 25．（2025·重庆渝北·一模）在中，，，点为直线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得，连接． (1)如图1，若点为线段上一点，且，求点到的距离． (2)如图2，若点为线段上一点，连接并延长与的延长线交于点，连接，，求证：． (3)如图3，点为上一点，连接，，把沿翻折，得到，连接，点为的中点，连接，当的长度最小时，请直接写出的值． 26．(24-25九下·重庆实验外国语学校·)在等边中，于点D，点E是线段上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转到，连接． (1)如图1，，，求的面积： (2)如图2，以为边在右侧作等边，延长交的延长线于点H．若，求证：； (3)如图3，，点K为平面内一动点，连接、，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接．点M是线段的中点，以点M为直角顶点，为直角边，在上方作，，连接，当线段取最大值时，请直接写出的面积． 27．（2025·重庆开州云枫教育集团·一模）在中，，D是边上一动点，E是外一点，连接 (1)如图1，，，若，求的度数； (2)如图2，，，过点D作交于点F，，请探究线段之间的等量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若，延长线上有一点D，且，连接，在线段上取一点E，使得，连接交于点F，点P是直线上一动点，将沿翻折得，连接，取的中点M，当线段取得最小值时，请直接写出的面积． 28．(24-25九下·重庆育才中学·)如图，与均为直角三角形，． (1)如图1，点与点重合，过点作于点，与相交于点，若，，求的度数． (2)如图2，点在上，，，连接，点为的中点，点在上，连接、，，请写出、、的数量关系并予以证明． (3)在（2）的条件下，如图3，点为直线上的动点，点关于直线的对称点为点，点为线段的中点，连接、、，当的值最大时，求的值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 几何压轴题（解析版） 考点1 几何压轴求解类 1．（2023·重庆·中考B）如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，连接并延长，与的平分线交于点F，连接，若，则的长度为（    ）    A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【来源】2023年重庆市中考数学真题（B卷） 【分析】连接，根据正方形得到，，根据角平分线的性质和等腰三角形的性质，求得，再证明，求得，最后根据直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半，即可求出的长度． 【详解】解：如图，连接，   四边形是正方形， ，，， ， ， ， 平分， ， ， 在与, ， ， ， ， O为对角线的中点， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，直角三角形特征，作出正确的辅助线，求得是解题的关键． 2．（2024·重庆·中考A）如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】2024年重庆市中考真题（A卷）数学试题 【分析】过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则，证明，则，设，得到，则，故，同理可求，则，因此． 【详解】解：过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则， 由旋转得， ∵四边形是正方形， ∴，，，设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，设， 则， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可求， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，正确添加辅助线，构造“一线三等角全等”是解题的关键． 3．（2024·重庆·中考B）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【来源】2024年重庆市中考数学试题B卷 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先由正方形的性质得到，再证明得到，进一步证明得到，设，则， 在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 4．（2025·重庆·中考）如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】2025年重庆市中考数学试题 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，连接，证明，可得，设，则，根据勾股定理可得，再利用角平分线的性质得到点到的距离相等，利用面积之比即可解答，正确作出辅助线，利用勾股定理列方程解得是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，四边形是正方形， ，， 点E是边的中点， , 将沿直线翻折得， ，, ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得, 即， 解得， ， 和的平分线相交于点H， 点到的距离相等， ， 故选：A． 考点2 几何压轴折叠类 5．（2021·重庆·中考A）如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为 ． 【答案】 【来源】重庆市2021年中考数学真题（A卷） 【分析】根据折叠的性质得到DE为的中位线，利用中位线定理求出DE的长度，再解求出AF的长度，即可求解． 【详解】解：∵将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合， ∴DE垂直平分AF，，，， ∵DE∥BC， ∴，，， ∴， ∴， ∴，即D为AB的中点， ∴DE为的中位线， ∴， ∵AF＝EF， ∴是等边三角形， 在中，，， ∴， ∴， ∴四边形ADFE的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形、中位线定理、折叠的性质等内容，掌握上述基本性质定理是解题的关键． 6．（2021·重庆·中考B）如图，中，点D为边BC的中点，连接AD，将沿直线AD翻折至所在平面内，得，连接，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若，，则AD的长为 ． 【答案】3 【来源】重庆市2021年中考数学真题（B卷） 【分析】利用翻折的性质可得推出是的中位线，得出，再利用得出AO的长度，即可求出AD的长度． 【详解】由翻折可知 ∴O是的中点， ∵点D为边BC的中点，O是的中点， ∴是的中位线， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了翻折的性质，三角形的中位线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质，掌握三角形的中位线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质是解题的关键． 考点3 几何证明压轴题 7．（2021·重庆·中考A）在中，，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得． （1）如图，当时，连接，交于点．若平分，，求的长； （2）如图，连接，取的中点，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图，在（2）的条件下，连接，．若，当，时，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）． 【来源】重庆市2021年中考数学真题（A卷） 【分析】（1）连接，过点作，垂足为，证明，得：，再在等腰直角中，找到，再去证明为等腰三角形，即可以间接求出的长； （2）作辅助线，延长至点，使，连接，在中，根据三角形 的中位线，得出，再根据条件证明：，于是猜想得以证明； （3）如图（见解析），先根据旋转的性质判断出是等边三角形，再根据证出四点共圆，然后根据等腰三角形的三线合一、角的和差可得是等腰直角三角形，设，从而可得，根据三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，根据矩形的判定与性质可得四边形是矩形，，最后根据等量代换可得，解直角三角形求出即可得出答案． 【详解】解：（1）连接，过点作，垂足为． 平分，， ． ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， 平分， . ， ， ， ． ． （2） 延长至点，使，连接． 是的中点， ． ， ， ， 在和中，， ， ， ． （3）如图，设交于点，连接， ， ， 由旋转的性质得：， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 点四点共圆， 由圆周角定理得：， 垂直平分，（等腰三角形的三线合一）， ， 平分， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， 由（2）可知，， ， ， 是等腰直角三角形，且， （等腰三角形的三线合一）， ， 在和中，， ， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，， 则． 【点睛】本题考查了图形的旋转、等边三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、圆周角定理、解直角三角形等知识点，综合能力比较强，较难的是题（3），判断出四点共圆是解题关键． 8．（2021·重庆·中考B）在等边中，， ，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF． （1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG． ①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长； ②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：； （2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当最小时，直接写出的面积． 【答案】（1）①；②见解析；（2） 【来源】重庆市2021年中考数学真题（B卷） 【分析】（1）①连接AG，根据题意得出△ABC和△GEF均为等边三角形，从而可证明△GBC≌△GAC，进一步求出AD＝3，AG＝BG＝，然后利用勾股定理求解即可； ②以点F为圆心，FB的长为半径画弧，与BH的延长线交于点K，连接KF，先证明出△BFK是顶角为120°的等腰三角形，然后推出△FEB≌△FHK，从而得出结论即可； （2）利用“胡不归”模型构造出含有30°角的直角三角形，构造出，当N、P、J三点共线的时候满足条件，然后利用等边三角形的性质及判定、矩形的判定及性质以及解直角三角形的知识分别计算出PN与DN的长度，即可得出结论． 【详解】（1）解：①如图所示，连接AG， 由题意可知，△ABC和△GEF均为等边三角形， ∴∠GFB＝60°， ∵BD⊥AC， ∴∠FBC＝30°， ∴∠FCB＝30°，∠ACG＝30°， ∵AC＝BC，GC＝GC， ∴△GBC≌△GAC（SAS）， ∴∠GAC＝∠GBC＝90°，AG＝BG， ∵AB＝6， ∴AD＝3，AG＝BG＝， ∴在Rt△ADG中，， ∴； ②证明：以点F为圆心，FB的长为半径画弧，与BH的延长线交于点K，连接KF，如图， ∵△ABC和△GEF均为等边三角形， ∴∠ABC＝60°，∠EFH＝120°， ∴∠BEF+∠BHF＝180°， ∵∠BHF+∠KHF＝180°， ∴∠BEF＝∠KHF， 由辅助线作法可知，FB＝FK，则∠K＝∠FBE， ∵BD是等边△ABC的高， ∴∠K＝∠DBC＝∠DBA＝30°， ∴∠BFK＝120°， 在△FEB与△FHK中， ∴△FEB≌△FHK（AAS）， ∴BE＝KH， ∴BE+BH＝KH+BH＝BK， ∵FB＝FK，∠BFK＝120°， ∴BK＝BF， 即：； （2）方法一：以为顶点，为一边，作，交于，过作于，设交于，如图： 中，， 最小即是最小，此时、、共线， 将线段绕点顺时针旋转得到线段， 在射线上运动，则在射线上运动，根据“瓜豆原理”， 为主动点，是从动点，为定点，，则、轨迹的夹角， ， ， ， ， ， ， ， ， 而， ， 四边形是矩形， ， 边中，，， ， 又， ， 等边中，，点为中点时，点为中点， ，， 中，，， ，， 中，， ， ． 方法二：如图，连接EQ， ∵在等边中，， ， ∴∠A＝60°，∠BDA＝90°，∠ABD＝30°， ∵点E、Q分别为AB、BD的中点， ∴EQ为△ABD的中位线， ∴EQAD， ∴∠BEQ＝∠A＝60°，∠BQE＝∠BDA＝90°， ∵∠BQE＝90°，∠ABD＝30°， ∴EQ＝， ∵点M为BE的中点， ∴ME＝＝EQ， ∵将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP， ∴△EPF为等边三角形，∠PEF＝60°，PE＝EF＝PF， ∴∠BEQ＝∠PEF， ∴∠BEQ－∠PEQ＝∠PEF－∠PEQ， 即∠MEP＝∠QEF， 在△MEP与△QEF中， ， ∴△MEP≌△QEF（SAS） ∴∠EMP＝∠EQF＝90°， ∴MP⊥BE， ∴点P在射线MP上运动， 如图，以为顶点，为一边，作，交于，过作于，设交于， 则在中，， 最小即是最小，此时、、共线，如下图： ∵∠EMP＝90°，∠PML＝30°， ， ， ， ， 又∵， ， 四边形是矩形， ， 在等边中，，， ， 又， ， 在等边中，，点为中点时，点为中点， ，， ∴在中，，， ，， ∴在中，， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形性质及应用，涉及旋转变换、解直角三角形、三角形全等的判定及性质、矩形的判定及性质等知识，难度较大，解题的关键是构造辅助线． 9．（2022·重庆·中考A）如图，在锐角中，，点，分别是边，上一动点，连接交直线于点． (1)如图1，若，且，，求的度数； (2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，点是的中点，连接．在点，运动过程中，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)若，且，将沿直线翻折至所在平面内得到，点是的中点，点是线段上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接．在点，运动过程中，当线段取得最小值，且时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【来源】2022年重庆市中考数学真题（A卷） 【分析】（1）在射线上取一点，使得，证明，求出，然后根据四边形内角和定理及邻补角的性质得出答案； （2）证明，求出，倍长至，连接，PQ，证明，求出，在CF上截取FP＝FB，连接BP，易得为正三角形，然后求出，证，可得PQ＝PC，∠QPF＝∠CPB＝60°，则可得为正三角形，然后由得出结论； （3）根据可知轨迹为如图3-1中圆弧，O为所在圆的圆心，此时AO垂直平分BC，当、、三点共线时，取得最小值，设，解直角三角形求出PL、PH，再用面积法求出PQ计算即可． 【详解】（1）解：如图1，在射线上取一点，使得， ∵，BC＝BC， ∴（SAS）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）， 证明：∵，， ∴△ABC是正三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠DBC＝60°， 又∵， ∴（SAS）， ∴， ∴， ∴， 倍长至，连接，PQ， ∵CN＝QN，∠QNF＝∠CNM，NF＝NM， ∴（SAS）， ∴，∠QFN＝∠CMN， 由旋转的性质得AC＝CM， ∴， 在CF上截取FP＝FB，连接BP， ∵， ∴， ∴为正三角形， ∴∠BPF＝60°，， ∴， ∵∠QFN＝∠CMN， ∴FQ∥CM， ∴， ∴， 又∵， ∴（SAS）， ∴PQ＝PC，∠QPF＝∠CPB＝60°， ∴为正三角形， ∴，即； （3）由（2）知， ∴轨迹为如图3-1中圆弧，O为所在圆的圆心，此时AO垂直平分BC， ∴、、三点共线时，取得最小值， ∵∠PAO＝∠PAB＋∠BAO＝90°， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图3-2，作HL⊥PK于L， 设， 在Rt△HLP中，，即， ∴， ∴，， 设PQ与HK交于点R，则HK垂直平分PQ， ∵S△PHK＝， ∴， ∴， ∴， ∵BC＝AP＝2， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，平行线的性质，圆的基本性质，解直角三角形，勾股定理等知识，综合性较强，能够作出合适的辅助线是解题的关键． 10．（2022·重庆·中考B）在中，，，D为的中点，E，F分别为，上任意一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，． (1)如图1，点E与点C重合，且的延长线过点B，若点P为的中点，连接，求的长； (2)如图2，的延长线交于点M，点N在上，且，求证：； (3)如图3，F为线段上一动点，E为的中点，连接，H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段的长度的最小值． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3) 【来源】2022年重庆市中考数学真题（B卷） 【分析】（1）根据已知条件可得为的中点，证明，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解； （2）过点作交的延长线于点，证明，，可得，进而根据，即可得出结论， （3）根据（2）可知，当点在线段上运动时，点在平行于的线段上运动，根据题意作出图形，根据点到圆上的距离求最值即可求解． 【详解】（1）如图，连接 将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段， 是等腰直角三角形， P为FG的中点， ， ， ， ，D为的中点，， ，， ， 在中，； （2）如图，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在与中，   ， ， ， ， 又，，   ， ， ， ， ，   又， ， , ， ， ， ， ； （3）由（2）可知， 则当点在线段上运动时，点在平行于的线段上运动， 将沿翻折至所在平面内，得到， E为的中点， ， ， 则点在以为圆心为半径的圆上运动，当三点共线时，最小， 如图，当运动到与点重合时，取得最小值，． 如图，当点运动到与点重合时，取得最小值， 此时，则． 综上所述，的最小值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，全等三角形的性质与判定，轴对称线的性质，点到圆上一点距离最值问题，正确的添加辅助线是解题的关键． 11．（2023·重庆·中考A）在中，，，点为线段上一动点，连接．      (1)如图1，若，，求线段的长． (2)如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点． 若，求证：． (3)在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边．点为所在直线上一点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到． 连接，点为的中点，连接，当取最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【来源】2023年重庆市中考数学真题（A卷） 【分析】（1）解，求得，根据即可求解； （2）延长使得，连接，可得，根据，得出四点共圆，则，，得出，结合已知条件得出，可得，即可得证； （3）在取得最小值的条件下，即，设，则，，根据题意得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，取的中点，连接，则是的中位线，在半径为的上运动，当取最大值时，即三点共线时，此时如图，过点作于点，过点作于点，连接，交于点，则四边形是矩形，得出是的中位线，同理可得是的中位线，是等边三角形，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，则，在中，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图所示，延长使得，连接，    ∵是的中点则，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴四点共圆， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，    在取得最小值的条件下，即， 设，则，， ∴，， ∵将沿所在直线翻折至所在平面内得到． ∴ ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， 取的中点，连接， 则是的中位线， ∴在半径为的上运动， 当取最大值时，即三点共线时，此时如图，过点作于点，过点作于点，    ∵是的中点， ∴， ∴是等边三角形， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 如图所示，连接，交于点，则四边形是矩形，      ∴，是的中点， ∴ 即是的中位线，同理可得是的中位线， ∴， ∵是等边三角形，将沿所在直线翻折至所在平面内得到， ∴ ∴ 则 在中， ∴．      【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，折叠的性质，圆外一点到圆上距离的最值问题，垂线段最短，矩形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．（2024·重庆·中考A）在中，，点是边上一点（点不与端点重合）．点关于直线的对称点为点，连接．在直线上取一点，使，直线与直线交于点．    (1)如图1，若，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图1，若，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； (3)如图2，若，点从点移动到点的过程中，连接，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【来源】2024年重庆市中考真题（A卷）数学试题 【分析】（1）由三角形内角和定理及外角定理结合即可求解； （2）在上截取，连接，交于点H，连接，先证明，再证明四边形是平行四边形，可得，记与的交点为点N，则由轴对称可知：，，再解即可； （3）连接，记与的交点为点N，由轴对称知，，，，当点G在边上时，由于，当为等腰三角形时，只能是，同（1）方法得，，中，，解得，然后，解直角三角形，表示出，，即可求解；当点G在延长线上时，只能是， 设，在中，，解得，设，解直角三角形求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，    ∵，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：， 在上截取，连接，交于点H，    ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 记与的交点为点N， 则由轴对称可知：，， ∴中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，记与的交点为点N，    ∵， ∴， 由轴对称知， 当点G在边上时，由于， ∴当为等腰三角形时，只能是， 同（1）方法得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴中，，解得， ∴，而， ∴为等边三角形， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点G在延长线上时，只能是，如图：    设， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴在中，， 解得， ∴， 设，则，， 在中，，由勾股定理求得， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，外角定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的分类讨论，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 13．（2024·重庆·中考B）在中，，，过点作． (1)如图1，若点在点的左侧，连接，过点作交于点．若点是的中点，求证：； (2)如图2，若点在点的右侧，连接，点是的中点，连接并延长交于点，连接．过点作交于点，平分交于点，求证：； (3)若点在点的右侧，连接，点是的中点，且．点是直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是直线上一动点，连接，．在点的运动过程中，当取得最小值时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点的运动过程中，直接写出的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【来源】2024年重庆市中考数学试题B卷 【分析】（1）证明得到，再由点是的中点，得到，即可证明； （2）如图所示，过点G作于H，连接，先证明，得到，，再证明是等腰直角三角形，得到；由直角三角形斜边上的中线的性质可得，则，进而可证明，则；设，则，可得由角平分线的定义可得，则可证明，进而证明，得到，即可证明； （3）如图所示，过点D作交延长线与H，连接，则四边形是矩形，可得，证明是等边三角形，得到，进而得到，；由旋转的性质可得，证明，得到，则点Q在直线上运动，设直线交于K，则，可得，由垂线段最短可知，当时，有最小值，则，设，则，则，；再求出，则，，由勾股定理得；由全等三角形的性质可得，则；由折叠的性质可得，由，得到当点Q在线段上时，此时有最大值，最大值为，据此代值计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，过点G作于H，连接， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图所示，过点D作交延长线与H，连接， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点是的中点，且， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在直线上运动， 设直线交于K，则， ∴， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； ∵， ∴， ∴； 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴当点Q在线段上时，此时有最大值，最大值为， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，等腰直角三角的性质与判定，旋转的性质，折叠的性质，垂线段最短，矩形的性质与判定等等，解（2）的关键在于作出辅助线证明，得到；解（3）的关键在于通过手拉手模型证明点Q的运动轨迹是直线，从而根据垂线段最短确定点Q的位置． 14．（2025·重庆·中考）在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，，求的度数； (2)如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明： (3)如图3，，，，连接，．点从点移动到点过程中，将绕点逆时针旋转得线段，连接，作交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，理由见解析. (3) 【来源】2025年重庆市中考数学试题 【分析】（1）利用，，得出是等边三角形，得出．由旋转得，则可求出，再利用外角即可求解； （2）连接，，利用，，得，证明，得，，得出，再证明，得出，可得，，再通过点是的中点，和点是的中点，证明，，通过证明是等腰直角三角形，即可得出； （3）取中点，中点，连接，，，通过证明，得出，由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动，由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线，即点和点重合时，最小， 此时，由翻折可知，则点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，由点到圆上一点的最大距离可知当、、依次共线时，取最大值，此时，连接，过点作于点，过点作于点，证明，得出，，通过证明，得出，，再计算出，，即可求出，则，通过，求出， 可求出，则利用即可求出． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴． 由旋转得， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连接，， ∵，， ∴， 由旋转知，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即； （3）解：取中点，中点，连接，，， ∵，， ∴，，， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动， 由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线， 即点和点重合时，最小， 此时如图， 由翻折可知， ∴点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 由点到圆上一点的最大距离可知当、、依次共线时，取最大值， 此时如图，连接，过点作于点，过点作于点， 由旋转知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵，， ∴． 考点1 几何压轴求解类 1．（2025·重庆育才中学教育集团·三诊）在正方形的边上有一点E，连接，以为直角边作等腰直角三角形，且，点H是的中点，连接．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】重庆育才中学教育集团初2025年九年级第三次自主作业 数学试卷 【分析】如图所示，连接，，，证明出，得到，然后求出，即可得到． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵四边形是正方形 ∴是等腰直角三角形 ∵是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∵点H是的中点 ∴ ∵是等腰直角三角形，点H是的中点 ∴ ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 2．（2025·重庆实外·三模）若两个正方形与如图所示放置，并且B、C、F三点共线，连接，过点B作交于点N，连接交于点M，连接，若，则的长度为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【来源】2025年重庆市实验外国语学校九年级中考三模数学试题 【分析】设交点为，根据正方形的性质得到，利用勾股定理求出，证明，推出，再证明，推出，求出，利用勾股定理求出，再证明，推出，进而推出，结合，证明，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，设交点为， ∵四边形与四边形都是正方形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（2025·重庆巴蜀中学·三模）如图，正方形中，点E、F分别在上，，连接，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】2025年重庆巴蜀中学校中考三模数学试题 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握“半角模型” 的辅助线构造是解题的关键． 延长至点，使得，连接，先证明，再证明，则，设，则 ，，设，则，，在中，由勾股定理得，解得，即可求解比值． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，∵， ∴， 设，则，， ∵在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故选：B． 4．（2025·重庆西大附中·三模）如图，在正方形中，点是上的一点，且，于点，，且交于点，则的值为（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【来源】2025年重庆市西南大学附属中学中考三模数学 【分析】设，由正方形性质可求出的长，进而求出的长，证，利用相似三角形对应边成比例可求得、的长，证，得，根据线段的和差求得的长即可． 【详解】解：设， 四边形是正方形，， ，，， ， ， ， 在中，， 则由勾股定理可得， ， ， ， ， 即， ，， 又， ， 又，， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，灵活运用相似三角形的判定与性质求出线段的长是解答本题的关键． 5．（2025·重庆南开中学·二模）如图，在菱形中，O为对角线中点，将绕顶点A逆时针旋转至，使E点恰好落在上，连接．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模数学试题 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质．作于点，根据平行线分线段成比例结合菱形的性质求得，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质，求得，再证明，求得，，据此计算即可求解． 【详解】解：作于点， ∵， ∴， ∴， ∵O为菱形对角线中点， ∴， ∴， ∵将绕顶点A逆时针旋转至，使E点恰好落在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵菱形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．（2025·重庆巴南·二模）如图，在矩形中，E为对角线上一点，连接，过点E作交延长线于F，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【来源】2025年 重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模数学试题 【分析】过点E作于点N，延长交于M，证明四边形是矩形，四边形是矩形，设，则，由得到，证明，则，得到，则，得到，勾股定理得到，即可得到答案． 【详解】解：过点E作于点N，延长交于M， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 7．(24-25九下·重庆第九十五初级中学校·三模)如图，四边形是正方形，点是边上一点，，交的延长线于点，连接．若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】重庆市第九十五初级中学校2024-2025学年九年级下学期第三次模拟诊断数学试题 【分析】本题主要涉及正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等数学概念． 过点作交于点，通过构造全等三角形，将已知线段、与正方形的对角线建立联系，进而求出的长度． 【详解】解：过点作交于点． 四边形是正方形， ，， ， 又，即， ， ． ，， ， ， ， 又，，， ． 在和中， ， ． ，． ，， 根据勾股定理． ． 在中，， ． 故选∶A． 8．(24-25九下·重庆第一中学校·二模)如图，在正方形中，点为边上一点，连接，使，点在上，接，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年九年级下学期第二次模拟数学试题 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程．设正方形的边长为，，求得，，在中，根据勾股定理列式计算求得，作的平分线，交于点，作于点，设，在中，利用勾股定理列式计算求得，在中，求得，再证明，延长交于点，证明，求得，，据此求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为，， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴， 在中，，即， 整理得， 解得（舍去）或， ∴，，， 作的平分线，交于点，作于点， ∵平分，，， ∴， 设，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 整理得， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵正方形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， 延长交于点， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 9．（2025·重庆西大附中·二诊）如图，在边长为5的正方形中，，连接，交于点H，连接交于点G，连接交于点M，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊数学试题 【分析】先证明，可得，，证明，如图，延长交于，证明，可得，，进一步求解，从而可得答案． 【详解】解：∵在边长为5的正方形中，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， 如图，延长交于， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 10．（2025·重庆八中·一模）如图，在正方形中，点在边上，，作平分交于点，则的长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【来源】2025年重庆市第八中学校中考一模数学试题 【分析】过点作于点，交于点，先解直角三角形可得，再证出，设，在中，解直角三角形可得的值，然后利用勾股定理可得的长，则可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在中，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、正方形的性质、解直角三角形、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和解直角三角形的方法是解题关键． 11．（2025·重庆渝北·一模）如图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线，分别交正方形的四边于点，，，，直线，交于点，记的面积为，四边形的面积为．若，则用含的式子表示的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】2025年重庆市渝北区中考一模考试数学试题 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，如图，过点D作交的延长线于点R．过点O作于点T，于点V．证明，推出四边形的面积=正方形的面积正方形的面积，证明，设，分别求出，即可． 【详解】解：如图，过点D作交的延长线于点R．过点O作于点T，于点V． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵O是正方形的中点，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积=正方形的面积正方形的面积， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：D． 12．(24-25九下·重庆实验外国语学校·)如图，在矩形中，为对角线，平分交于点F，点E是上一点，连接、，若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】重庆实验外国语学校2024-2025学年九年级下学期一诊数学试题 【分析】先证明，作于点，设，则，利用证明，推出，在中，利用勾股定理列式求得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 作于点， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 13．（2025·重庆开州云枫教育集团·一模）如图，为正方形的对角线上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落到边上，线段交对角线于点，且为的中点．若正方形的边长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】2025年重庆市开州区云枫教育集团九年级中考一模数学试题 【分析】如图，过点作于点，先证明是等腰直角三角形，得到，再证明得到，，求出，得到，明，得到，求出（负值舍去），则 ，即可得到． 【详解】解：如图，过点作 于点， ∵四边形是正方形， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴ ∴， ∵正方形的边长为 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴ （负值舍去）， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 14．(24-25九下·重庆育才中学·)如图，以的斜边为边，在的同侧作正方形，正方形的对角线、交于点，连结，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】重庆育才中学2024-2025学年九年级下学期第一次自主作业数学试题 【分析】根据勾股定理求出，再构造三角形全等，得，，然后再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：在上截取，使，设与交于点F， 由勾股定理得， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：A． 考点2 几何证明压轴题 15．（2025·重庆育才中学教育集团·三诊）在中，，在直线上有一点D，连接，绕点D逆时针转动得到，连接，其中 (1)如图1，与交于点Q，平分，若，求的度数（用的代数式表示）； (2)如图2，点G为中点，点F为中点，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点F为中点，，当最小时，在直线上有一点M，沿翻折至，当面积最大时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【来源】重庆育才中学教育集团初2025年九年级第三次自主作业 数学试卷 【分析】（1）如图：由旋转可得，，，证明，，可得，证明，再进一步可得结论． （2）连接，并延长至点，使得，连接，证明可得，证明，与（1）同理得，即，可得，证明，进一步可得结论； （3）如图，连接，过作于，连接并延长交于，证明，再证明，可得，可得在过点且垂直于的直线上运动，当时，即重合时，最小，此时重合，如图，结合沿翻折至，当面积最大时，可得为等腰直角三角形，，设，过作于，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵由旋转可得， ∴，， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 连接，并延长至点，使得，连接，， ∵旋转 ∴ ∵点是的中点 ∴ ∴， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， 与（1）同理得， 即， ∴， 故， ∵ ∴， ∴， ∵点是的中点，， ∴． （3）解：如图，连接，过作于，连接并延长交于， ∵，， ∴，，， ∵，为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在过点且垂直于的直线上运动， ∴当时，即重合时，最小，此时重合，如图， ∵沿翻折至，当面积最大时， ∴，，， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 设， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 过作于， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 16．（2025·重庆实外·三模）在等腰中，，，在线段上取一点D，连接．过点B作交于点G． (1)如图1，当点D是的中点，时，求的长度； (2)如图2，当为的角平分线时，过点C作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F，过点B作，求证： (3)在内部有一点P，连接、、，设Q为线段上的动点，当取得最小值时，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3) 【来源】2025年重庆市实验外国语学校九年级中考三模数学试题 【分析】（1）根据勾股定理求得，再用等面积法即可求得； （2）连接，证明，得，继而可证明，得，证明， 由，从而证明； （3）作，使，作，使，连接，，作，交的延长线于点，可得， ，得，当四点共线时，PA取得最小值，设，则，从而可得， ，，求得，作于，证明，求得 ，进而可求，，，作于，求得 ，在下方作，作于，当最小时，的值最小，求得相关线段的长即可求解． 【详解】（1）解：点D是的中点， ， 在中，， ， ， ； （2）证明：连接， 中，，， ， 为的角平分线， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， 即； （3）解：作，使，作，使，连接，，作，交的延长线于点， ， 即， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 当四点共线时，取得最小值，如图所示： 中，，， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 同理可求， ， 在中，， 作于， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， 作于， ， 即， ， ， 在下方作，作于， ， ， 当最小时，的值最小，当共线且时最小， ，， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形的相关知识，勾股定理，翻折的性质，动点线段和最小问题等，掌握相关的判定方法及性质，并会根据题意作出辅助线是解题的关键． 17．（2025·重庆巴蜀中学·三模）如图，已知在中，，点E在直线上，连接．过点C作于点D，交于点E (1)如图1，若点E在线段上，平分，，，求的长度； (2)如图2，若点E在线段上，，延长至点G，连接，满足，请用等式表示线段、之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若，将沿翻折至所在平面得，连接，点P为的中点，连接，在E点运动过程中，当取最小值时，直接写出此时的值． 【答案】(1)3 (2)，理由见解析 (3) 【来源】2025年重庆巴蜀中学校中考三模数学试题 【分析】（1）利用同角的余角相等得到，利用角平分线的定义和三角形的外角的性质得到，从而得到，从而得解； （2）根据题意可知是等腰三角形，，，再利用三角形的外角的性质证明，过点E作交的延长线于点H，从而证明，，得到，继而得到； （3）由，设，则，，取的中点O，连接，，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据是的中位线，得到，，故当点O、C、P三点共线且点P在O、C之间时，取最小值，此时，画出图形，延长和交于点D，由证明，得到，从而得到，，，设，则，由折叠得到，运用勾股定理得到，从而列出方程，解出x，即，从而求出，从而得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2），理由如下： 由（1）得：， ∵，， ∴，， 又∵，即， ∴， 过点E作交的延长线于点H， 则，， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）∵在中，， ∴， 设，则，， 取的中点O，连接，，则， 由折叠可知：，， ∵点P为的中点，点O是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴当点O、C、P三点共线且点P在O、C之间时，取最小值， 此时， 此时，如下图所示，延长和交于点D， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设，则， 由折叠可知：， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴． 即当取最小值时，的值为． 【点睛】本题考查三角形的外角的性质，三角形的中位线，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，折叠的性质，综合性非常大，正确作出辅助线把握图形的变化规律是解题的关键． 18．（2025·重庆西大附中·三模）中，，，，点是的中点，点是上一动点，点是三角形内一点，且满足，， (1)如图1，当点为中点时，点恰好在上，求的长； (2)如图2，以为边作正，连接，并延长交与点，若点在点的右侧，请探究点到、、的距离间的关系，并证明之； (3)如图3，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【来源】2025年重庆市西南大学附属中学中考三模数学 【分析】（1）由直角三角形的性质可得，，证明为等边三角形，求出，由等边三角形的性质可得，证明是的中位线，由三角形中位线的性质求解即可； （2）作交于，在上截取，连接，则，由直角三角形的性质可得，，证明，得出，推出，由平行线分线段成比例定理可得，即点是的中点，由（1）可得为等边三角形，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，即可得解； （3）由直角三角形的性质可得，，求出，取的中点，连接，，则，证明得出，，再证明，得出，证明为的中位线，得出，证明点、、、四点共圆，得出，求出，得出点在以为直径的圆上运动（即点在以为半径的圆上运动），作于，则，，证明为的中点，即为圆心，连接，则，由，得出当、、在同一直线上时，最小，即可得解． 【详解】（1）解：∵中，，，， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴； （2）解：，证明如下： 如图：作交于，在上截取，连接， 则， ∵， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即点是的中点， 由（1）可得为等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵ ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵中，，，， ∴，， ∴， 如图，取的中点，连接，，则， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴点、、、四点共圆， ∴， ∵，， ∴，即， ∴点在以为直径的圆上运动（即点在以为半径的圆上运动）， 作于，则，， ∴， ∴为的中点，即为圆心， 连接，则， ∵， ∴当、、在同一直线上时，最小，为， 故的最小值为． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与值、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 19．（2025·重庆南开中学·二模）如图，在中，，点为线段上一动点，以为边向左作等边． (1)如图1，当为边中点时，若，，求的周长； (2)若，点在线段上，且满足，线段交线段于点，连接． ①如图2，若，用等式表示线段和之间的数量关系，并证明； ②如图3，连接，，点运动过程中，当为直角三角形时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②或 【来源】2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模数学试题 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角函数，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）在中，利用三角函数求得，由勾股定理得，再利用直角三角形斜边中线的性质得，最后利用等边三角形性质求解； （2）①在上取一点，使，连接，，延长交于点，利用倒角得，可得是等边三角形，结合等边，利用手拉手模型证明，可得，，通过倒角可得，则，，则可证，则，，得，，再证明，，，易得，利用，倒角可得，则，即可证明； ②同①在上取一点，使，连接，，延长交于点，同①可得，，设，则，分两种情况：当时和当时，分别作图计算即可 ． 【详解】（1）解：在中， ∵，，， ∴， ∴， ∵为边中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴的周长； （2）解：①，理由如下： 在上取一点，使，连接，，延长交于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴, ∴， ∴， ∴； ②同①在上取一点，使，连接，，延长交于点， 同①可得，， 设， ∴， 当时，如图， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∵， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 20．（2025·重庆巴南·二模）如图，在中，，点D是边上一点，点E是线段上一点． (1)如图1，若，且，求的长； (2)如图2，若，，点E是的中点，连接，点F是线段上一点且，连接．用等式表示线段，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若平分，平分，于点F，的面积为，，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【来源】2025年 重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模数学试题 【分析】（1）若，则，如图1，过点作于，则，，得出，根据，解直角三角形求出，根据，求出即可． （2）如图，连接，延长至，使，连接，根据，得出，结合，得出证明是等边三角形，得出，，，证明，得出，即可得，证出，，即可证明，即可证出； （3）过点作于点于点，连接，利用角平分线性质得出，再利用，得出，可知当最小时，最大，过点作于点，利用，可得，点轨迹为到直线距离为3的定直线，即，且距离为3，过点作直线的对称点，连接，当依次共线时，取最小值，此时，证明，证明共线，求出，利用即可求解． 【详解】（1）解：若，则， 如图，过点作于，则， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． （2）解：，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作于点于点，连接， ∵平分平分， ， ， ∵的面积为，， ， 则当最小时，最大， 即当最小时，最大， 过点作于点， 则， 即， 解得：， 点轨迹为到直线距离为3的定直线，即，且距离为3，如图， 过点作直线的对称点，连接， 则， 利用两点之间线段最短，知，当且仅当三点共线时，取最小值，即当三点共线时，最小值为， 当三点共线时，如图， ， ， 又， ， ， 平分平分， 平分， ， 又， ∴共线， 即是与l的距离， ， ， ， ， 得， 解得：， 即的最大值为． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，二次根式，角平分线的性质，勾股定理，将军饮马问题，熟练掌握这些性质和定理，并会利用中点构造全等，利用动点找轨迹，是解题的关键． 21．(24-25九下·重庆第九十五初级中学校·三模)在中，点在直线的上方． (1)如图1，，点在边上，且，若，求的长； (2)如图2，点为外一点，，，，证明：； (3)如图3，，，点是上一点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当取得最小值时，请直接写出此时的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【来源】重庆市第九十五初级中学校2024-2025学年九年级下学期第三次模拟诊断数学试题 【分析】（1）设，则，，在中，利用勾股定理求解即可得； （2），证明：在取一点，使得，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，由此即可得证； （3）将绕点旋转，得到，取的中点，连接，证明，进而得到，得到点在以为直径的圆上，推出当三点共线时，取得最小值为，勾股定理求出的长，进而求出的长，过点作，根据锐角三角函数求出的长，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴． （2）解： 如图，在取一点，使得， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． （3）将绕点旋转，得到，取的中点，连接，则：， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上， ∴，， ∴当三点共线时，取得最小值为， ∵， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 过点作， 则：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形，确定动点的位置，是解题的关键． 22．(24-25九下·重庆第一中学校·二模)如图，在中，于点，点在左侧，且，连接交于点． (1)如图1，若，，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图2，过点作的垂线，垂足为点，交于点，若，，请用等式表示线段、、之间的数量关系并证明； (3)如图3，，取的中点，点是线段上的动点，连接、，当度数取得最大值时，过点作于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，当取得最大值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年九年级下学期第二次模拟数学试题 【分析】（1）利用，，得出，，再利用直角得出，即可求出，利用等腰三角形内角求出和，再求出，即可求解； （2）在上取点使，连接，利用，，，进行导角得出，证明，得出，再导角得出，则，再证明，得出，即可证明； （3）构造的外接圆，当与相切时，此时设为，为，设与交于点，在中，，又由，得出，由点是线段上的动点，即可知当的外接圆与相切时，度数取得最大值，此时，连接并延长交于点，连接，通过证明，得出，设，得出，，求出，，再求出，利用是定值，，构造的外接圆，连接，，证明点是中点，得出的轨迹在以中点为圆心，半径长为的圆上部分，由旋转知，，连接，，延长至点，使，连接，通过，得出，，得出点在点为圆心，半径长为的圆上部分，由点到圆上一点的距离可知，当，，依次共线时，取得最大值，此时证明点，，，共线，，再进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，在上取点使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，构造的外接圆，当与相切时，此时设为，为，设与交于点， 在中，， 又∵， ∴， 由点是线段上的动点， 即可知当的外接圆与相切时，度数取得最大值， 此时如图，连接并延长交于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∵为的中点， 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，利用是定值，，构造的外接圆，连接，， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形，且，， ∴，， ∴点是中点， ∴的轨迹在以中点为圆心，半径长为的圆上部分， 如图，由旋转知，， 连接， ∴， 如图，延长至点，使，连接， ∴（点在上），， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点在点为圆心，半径长为的圆上部分， 由点到圆上一点的距离可知，当，，依次共线时，取得最大值， 此时如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，是中点，， ∴， ∴，， ∴点，，，共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的切线的性质，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，勾股定理，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 23．（2025·重庆西大附中·二诊）在中，，点为边上中点，为直线上一点，连接． (1)如图，若，，求线段的长度； (2)如图，若，点为边上一点，且，连接并延长至点，使，连接．请猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图，若，，点为直线上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点为的中点，连接，请直接写出当取得最小值时的面积． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)当取得最小值时的面积为． 【来源】2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊数学试题 【分析】（）由等腰三角形的性质可得，，，，则，根据性质可得，设，则，则，然后求出的值即可； （）延长至，使得，连接，证明，则，，设，，再证明，故有，，从而求出，所以，过作于点，可得，然后由线段和差即可求解； （）通过勾股定理得，由折叠性质可知，，，则点在以为圆心，为长度的圆上，即点在上运动，取中点，连接，所以点在以为圆心，为长度的圆上运动，当点三点共线时，当取得最小值，过作，交于点，过作，交延长线于点，由平行线分线段成比例可得，求出，所以，证明，则，故，求出，所以，然后用面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵，点为边上中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，整理得， 解得：（负值已舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长至，使得，连接， ∵点为边上中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，， ∵，点为边上中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， 过作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为边上中点， ∴， ∴， 由折叠性质可知，， 如图，点在以为圆心，为长度的圆上，即点在上运动，取中点，连接， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，为长度的圆上运动， ∴如图，当点三点共线时，当取得最小值，过作，交于点，过作，交延长线于点， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴为中点， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， ∴当取得最小值时的面积为． 【点睛】本题考查了圆有关概念，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 24．（2025·重庆八中·一模）在中，，点为平面内一点，连接、，点为中点，连接． (1)如图1，点在边上，若，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图2，点在内，连接，若，求证：； (3)如图3，，点在内且，当取最小值时，把沿着翻折到的同一平面得到，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【来源】2025年重庆市第八中学校中考一模数学试题 【分析】（1）首先确定，由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，进而额的，然后结合三角形外角的定义和性质即可获得答案； （2）延长至点，使得，连接，在上取点，使得，结合三角形中位线的性质可得，，再证明，由全等三角形的性质可得，，进而可知，即可证明结论； （3）取中点，连接，结合三角形中位线的性质证明，可知点的运动轨迹在以为直径的圆上，设中点为，当三点共线时，取最小值，此时连接，过点作于点，过点作于点，证明，结合相似三角形的性质解得的值，进而可求得的值，由折叠的性质可得，然后由四边形的面积求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴； （2）如下图，延长至点，使得，连接，在上取点，使得， ∵，点为中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如下图，取中点，连接， ∵点为中点，点为中点，， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹在以为直径的圆上， 设中点为，当三点共线时，取最小值， 此时，连接，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵把沿着翻折到的同一平面得到， ∴， ∵， ∴四边形的面积． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、三角形中位线的性质、三角形外接圆、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 25．（2025·重庆渝北·一模）在中，，，点为直线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得，连接． (1)如图1，若点为线段上一点，且，求点到的距离． (2)如图2，若点为线段上一点，连接并延长与的延长线交于点，连接，，求证：． (3)如图3，点为上一点，连接，，把沿翻折，得到，连接，点为的中点，连接，当的长度最小时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【来源】2025年重庆市渝北区中考一模考试数学试题 【分析】（1）作于，作交的延长线于点，证明，得，根据三角函数求得，进而可得，即可求解； （2）连接，由，得，证明，证明，得，进而证明，得，由，得，两边乘即可得； （3）延长至，使，连接，，得，当三点共线时，，此时最小，设，可得，，，根据勾股定理可求，作于，作于，根据面积关系可得 ，，求得，即可求得． 【详解】（1）解：作于，作交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）解∶， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：延长至，使，连接，， 将沿直线翻折， ，， ， 当三点共线时，， 此时最小， 是中点， 是的中位线， ， 当最小时，最小，如图所示： 作于， 由（1）知：， ， 设， ，， ， ， ，， ， 作于，作于， 平分， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质，含的直角三角形性质，勾股定理，角平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 26．(24-25九下·重庆实验外国语学校·)在等边中，于点D，点E是线段上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转到，连接． (1)如图1，，，求的面积： (2)如图2，以为边在右侧作等边，延长交的延长线于点H．若，求证：； (3)如图3，，点K为平面内一动点，连接、，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接．点M是线段的中点，以点M为直角顶点，为直角边，在上方作，，连接，当线段取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【来源】重庆实验外国语学校2024-2025学年九年级下学期一诊数学试题 【分析】（1）过点E作于点G，根据等边三角形的性质得到，求出，即可求出，根据旋转的性质易得，证明，推出，由正切的定义求出，得到，利用勾股定理求出，即可求出的面积； （2）连接，过点G作于点P，根据结合，求出，同理（1）可得，得到，由等边三角形的性质得到，进而得到，易证，得到，求出，证明是等边三角形，得到，根据等边三角形的性质证明，得到，，再求出，易证，得到，得到，即可证明结论； （3）在上取点，使得，连接，由翻折的性质得到为定值，即可得到点在以为圆心，长为半径的圆上运动，由，求出，再证明是的中位线，得到，推出到点在以为圆心，长为半径的圆上运动，证明，即可得到点在以为圆心，长为半径的圆上运动，利用相似三角形的性质求出，结合图形得到当三点共线，且点O在线段上时，线段取最大值，此时最大值为，过点N作于点T，根据垂直平分线的性质，求出，进而求出，即可求出此时的面积． 【详解】（1）解：过点E作于点G， ∵等边中，于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； （2）证明：连接，过点G作于点P， ∵，， ∴， ∴， 同理（1）可得， ∴， ∵等边中，于点D， ∴垂直平分， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上取点，使得，连接， 由翻折的性质得到为定值， ∴点在以为圆心，长为半径的圆上运动， ∵， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点在以为圆心，长为半径的圆上运动， ∵，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴点在以为圆心，长为半径的圆上运动， ∴， ∴， 当三点共线，且点O在线段上时，线段取最大值， 此时最大值为， 过点N作于点T， 由（2）知垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴此时的面积为． 27．（2025·重庆开州云枫教育集团·一模）在中，，D是边上一动点，E是外一点，连接 (1)如图1，，，若，求的度数； (2)如图2，，，过点D作交于点F，，请探究线段之间的等量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若，延长线上有一点D，且，连接，在线段上取一点E，使得，连接交于点F，点P是直线上一动点，将沿翻折得，连接，取的中点M，当线段取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【来源】2025年重庆市开州区云枫教育集团九年级中考一模数学试题 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形． ∴， 又∵， ∴， ∴． 在和中， ，     ∴． ∴， 又∵， ∴； （2）， 证明：在上截取，连接交于点N， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中，      ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 又∵， ∴， 在和中， ； ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：连接， ∵翻折， ∴， ∴， ∵，M是中点， ∴， 连接，则，即， 故当M在上时，最小， 过C作于G，过作于H， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 即线段取得最小值时， 的面积． 28．(24-25九下·重庆育才中学·)如图，与均为直角三角形，． (1)如图1，点与点重合，过点作于点，与相交于点，若，，求的度数． (2)如图2，点在上，，，连接，点为的中点，点在上，连接、，，请写出、、的数量关系并予以证明． (3)在（2）的条件下，如图3，点为直线上的动点，点关于直线的对称点为点，点为线段的中点，连接、、，当的值最大时，求的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【来源】重庆育才中学2024-2025学年九年级下学期第一次自主作业数学试题 【分析】（1）过点F作，由题意可知，解直角三角形可得，，根据，得，，进而可得，即可求解； （2）过点作交延长线于，连接，延长交于，则，先证为等腰直角三角形，得，再证，得，，再证，则，可知为的中点，则，再证，进而可证得，得，由，即，得，则，再结合即可得结论； （3）设，连接，由折叠可知，，可得，易知，得，延长至使得，可得，易得，得，可知，即当点在的延长线上时，取得最大值，连接，，过点作，可得，均等腰直角三角形，求得，设，在中，，列出方程求得，进而求得，即可求解． 【详解】（1）解：过点F作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ， 则， 即， ∴， ∵过点作于点， ∴， ∴； （2），证明如下： 过点作交延长线于，连接，延长交于，则， ∵，， ∴，则， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， ∵，则， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∵，即， ∴，则， ∴，则为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， 则， ∵， ∴； （3）设，则，， 连接，由折叠可知，，则，，即， ∵， ∴，则， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， 延长至使得， ∴，，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，当点在的延长线上时取等号， ∴当点在的延长线上时，取得最大值， 连接，，过点作， ， ∵，则，均等腰直角三角形， ∴，则 ∵，即， ∴设，则，，， 在中，，即， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$