专题05 多解问题（几何压轴，压轴题专练）（安徽专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05多解问题（几何压轴，压轴题专练) 01压轴命题透视 常以三角形、四边形为背景，结合折叠、旋转、动点，核心考查全等、相似、勾股定理。题 命题预测 型多为线段长度、角度、面积多解，需分类讨论点的位置、图形形状，容易因漏情况失分， 注重逻辑严谨与计算准确，整体稳中求变，侧重基础模型与思维严谨性。 1.点在线段（直线）上的不同位置 高频考法 2.作图或变换引起顶点位置不确定 3.特殊图形存在时顶点位置不确定（重点) 02压轴题型精讲 典例靶向突破。 二题型1、点在线段（直线）上的不同位置 技巧：情形一：等分点（以三等分点为例） 条件：P为线段AB的三等分点 A PP B 解题思路： ()分类讨论依据：点P靠近点A或靠近点B; 1 (2)找点：①当点P靠近点A时，AP1=2BP 1 ②当点P靠近点B时，BP=2AP 情形二：点在线段上或线段的延长线上 1 条件：P是射线AB上一点，且BP=2AB A P B P2 解题思路： ()分类讨论依据：点P在线段AB上或AB的延长线上： 1/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 (2)找点：①当点P在线段AB上时，BP,=2AB 1 ②当点P在线段AB的延长线上时，BP=2AB 【典例1】如图，在 t△ABC, ∠C=90°，∠A=30°，AB= 中， 8.若点D在直线1B上（不与点A,B重 合)，且∠BCD=30°，则AD的长为 B 【答案】6或12 【详解】解：，∠C=90°，∠A=30°，AB=8, 1 ∠B=600,BC=2MB=4, ①点D在线段AB时， D ,∠BCD=30°，∠B=60°， ∴∠BDC=90°， ·.BD=2BC=2, ∴.AD=AB-BD=6: ②点D在线段AB延长线上时， 0 B ,∠BCD=30°，∠ABC=60° 2/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠D=∠ABC-∠BCD=30°=∠BCD, ∴BC=BD=4, .AD=AB+BD=12: ③点D在线段BA延长线上时， D 此时∠BCD>∠ACB,即∠BCD>90°，故不符合题意，舍去， 综上，AD的长为6或12 【典例2】己知正方形ABCD边长为3，E为边AB上的三等分点，连接DE,则DE长为 【答案】\ o或EB或而 【详解】解：，正方形ABCD边长为3，∴.AB=AD-3,∠A90°， E为边AB上的三等分点， 1 2 AE=3AB=1或AE3AB=2, 在Rt△DAE中， 当AE-1时，如图1，则DB=VAE+AD=VP+3=而 A D E B 图1 当AE-2时，如图2，DB-√E+D-V2+3=厅 D E B C 图2 3/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即DE的长为而暖店 √10V13 故答案为： 或 【典例3】矩形ABCD中，AB=6,AD=9,对角线AC、BD交于点O,点E在AC上，AO=2OE,连接 BE并延长交矩形一边于点F,则DF的长为 【答案】4或6 【详解】解：四边形ABCD是矩形， .BC//AD,AD=BC=9,CD=AB=6,OA=OB=OC=OD F :点E在AC上，AO=2OE时， ∴需分两种情况： CE3 ①当点E在OA上时，则AE,1, :AG∥BC :△AEF∽aCEB BC_CE=3 93 ·AAE,1,即A1,解得：A=3, :DF=D-A5=9-3=6 CE2_1 ②当点E2在0C上时，则AE,3, CS∥AB :△1E,BaCE,5 4/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CF CE21 CF=1 ·ABAE,3,即63，解得：CE=2, DF,=CD-CF,=6-2=4 综上，DF的长为4或6. 故答案为：4或6. 题型2、作图或变换引起顶点位置不确定 技巧：一、作几何图形顶点位置不确定 情形一：所作图形顶点位置不确定： 情形二：所作图形的边不确定。 二、平移变换引起的点位置不确定 情形一：平移距离不同，但都满足题干要求： 情形二：平移方向不同 三、旋转变换引起的点位置不确定 情形一：旋转角度不确定： 情形二：旋转方向不确定。 四、折叠（对称）引起的点位置不确定 情形一：折叠后顶点落在直线上，结合点在线段（直线）上的不同位置分类讨论： 情形二：折叠后产生特殊图形或满足特定条件。 【奥例1】如图，在△1BC中，AB=AC-5+∠B1C=12,Pe是8C上两点，将BP沿直线4P折叠， △ACQ沿直线AQ折叠，使得B,C的对应点重合于点R.当△PQR为直角三角形时，线段BP的长为 【答案】1或2 【详解】由题意得∠PRQ=∠PRA+∠QRA=∠B+∠C=180°-∠BAC=60°， 故△PQR为直角三角形分为两种情况： ∠RPQ=90° AO⊥BC_O (1)当 时，如图1，作 千 设BP=PR=x,则PO=V5x,R0=CQ=2x 5/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAC=120°，AB=AC, .∠B=∠C=30°， AO=AB.BO-340-3AR BC=2B0=2x54B=3+5. 所以x+V5x+2x=3+V5 解得x=1,即BP=1: ∠RQP=90° AO⊥BC_O (2)当 时，如图2，作 于 设R0=CO=x,则PO=VBx,PR=BR=2x, ∠BAC=120°，AB=AC, ∴∠B=∠C=30°， :A0=号AB,B0=5A0=5A8, 2 BC=2B0=2x AB=3+V3, 2 所以x+V5x+2x=3+V5 解得x=1,则BP=2」 综上所述，线段BP的长为1或2. 故答案为：1或2. B- 图1 图2 【典例2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4,点O是边AB的中点，点P是边BC上 一动点，连接PO,将线段PO绕点P顺时针旋转，使点O的对应点D落在边AC上，连接OD,若 △AOD为直角三角形，则BP的长为 6/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 【答案】3或3 【详解】.∠C=90°，∠A=30°， .AB=2BC=8, :点O是边AB的中点， .0A=4, 当∠AOD=90°时，如图1，过P点作PE⊥OD于E点，PF⊥OB于F点， D A B O F 图1 在Rt△AOD中， :∠A=30°， OD=3 4=45 3 3, ,线段PO绕点P顺时针旋转，使点O的对应点D落在边AC上， ..PO=PD DE-0E-23 3, :∠EOF=ZOEP=∠PFO=90°， 四边形OEPF为矩形， PF-0E= 25 3, 在Rt△PBF中， :∠B=60° 7/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Br= 3 r=5x252 333, BP=2BF-4 : 当∠AD0=90°时，如图2，过P点作PE⊥OD于E点， D E 0 图2 在Rt△AOD中， ∠A=30°， 1 00=201=2, 线段PO绕点P顺时针旋转，使点O的对应点D落在边AC上， ..PO=PD ..DE=OE=1, :∠EDC=∠C∠PED90°， ∴四边形DEPC为矩形， ..PC=DE=1, BP=BC-PC=4-1=3, 4 综上所述， BP的长为3或3. 4 故答案为：3或3. 【典例3】如图，两个直角三角板ABC与CDE按如图所示的方式摆放，其中∠B=∠D=30°， ∠ACB=∠ECD=0,MC=CE=5,且本C、D共线，将△DCE沿DC方向平移得到△DCE',若点E 落在AB上，则平移的距离为 8/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C D 【答案】 V5-1 【分析】根据平移的性质可知CE'=CE=V5 设平移的距离为，则可表示出4C=5-,再根据合 30 角的RiACE 的性质可得V5AC=CE 从而列出含的方程，解方程即可得解。 【详解】解：，将△DCE沿DC方向平移得到△D'CE' C'E'=CE=3 ,若设平移的距离为x,则CC=x ..AC'=-x ∠E'C'D'=∠ECD=90° ∴.C'E'ICB ,∠AEC'=∠B=30° 在Ra1CE中，由勾股定理可推导出 3AC'=CE' 55-=5 :r=3-1 平移的距离为V5-1 V3-1 故答案是： 【典例4】如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=12,E是线段AD上一动点，以E为直角顶点在EB的 9/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 右侧作等腰三角形EBF,连接DF,当点F落在矩形ABCD的对角线上时，则DF的长为 【答案】 25 或6 【详解】解：过F作FH⊥AD于H, B ,在矩形ABCD中，AB=6,AD=12, ∴.∠A=∠ADC=90°，AB=CD=6, ∴.∠BEF=90°， ∴.∠ABE=∠HEF=90°-∠AEB, 又BE=FE, :△ABE≌aHEF(AAS) ∴AB=EH=6,AE=HF, 设AE=HF=a,则DH=AD-AE-EH=6-a, 当F在BD上时，如图， FH⊥AD,∠A=90°， ∴HF∥AB, ∴.△DHF∽△DAB, DH HF 6-aa ∴.DA=AB,即12=6， 解得a=2, .HF=2,DH=4, 10/39 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DF-HDH -25 当F在AC上时，如图， 同理△AHF∽△ADC, AH HF 6+a_a ∴.DA=CD,即12=6， 解得a=6, F与C重合， .DF=6, 综上， DF 的长为25或6 2N5 故答案为： 或6. 题型3、特殊图形存在时顷点位置不确定 技巧：一、等腰三角形存在性问题 条件：已知线段AB和直线1，在直线I上找一点P,使△PAB为等腰三角形。 ·B A B 二、直角三角形存在性问题 条件：已知线段AB和直线L,在直线I上找一点P,使△PAB为直角三角形。 ·B P 三、平行四边形存在性问题 情形一：已知三点 条件：点A,B,C为定点，在平面内找一点P,使以A,B,C,P为顶点的四边形为平行四边形（三定一动）。 11/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 情形二：已知两点 条件：点A,B为定点，在平面内找两点P,Q,使以A,B,P,Q为顶点的四边形为平行四边形（两定两动） B B 03 0 图① 图② 四、菱形存在性问题 条件：点A为平面内一定点，点B为直线1上一定点，在直线1上找点P,在平面内找点Q,使以 A,B,P,Q为顶点的四边形为菱形 A 【典例1】如图，在等腰梯形ABCD中，AD'BC,BC=5AD=5N5,∠B=45P,等腰直角三角形EMN 中，含45°角的顶点E放在BC边上移动，直角边EM始终经过点A,斜边EN与CD交于点F,若△ABE为 等腰三角形，则CF的长为一· 【答案】3或2或5V5-4 【详解】解：如图，过点A作AMLBC于M,过点D作DN⊥BC于N, 12/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D B M :等腰梯形ABCD中，ADlBC,BC=5HD=5V2 BM=3(sc-4D)=55-回=-22，∠C-∠B=45, ∠B=45°， 六ABBM5=4, ①如图1，AE=BE时， B 图1 :∠B=45°， .∠BAE=∠B=45°， ·△ABE是等腰直角三角形， 服-号8=25 :cE=BC-BE=55-2V5-=3V2 又：∠CEF=180°-∠AEB-∠AEF=180°-90°-45°=45°， ∴·△CEF是等腰直角三角形， 2 ∴.CF=2CE=3 ②如图2，AB=BE时， 13/39 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 D B 图2 ∠B=45°， ∴.∠AEB=2(180°-∠B)=2(180°-45)=67.5°， .∠CEF=180°-∠AEB-∠AEF=180°-67.5°-45°=67.5， ∴.∠CFE=180°-∠C-∠CEF=180°-45°-67.5°=67.5°， ∴.∠CEF=∠CFE, ∴.CF=CE, BC=52 ,AB=4, CF-CE-BC-BE-54 ③如图3，AB=AE时，∠AEB=∠B=45°， D B 图3 .∠CEF=180°-∠AEB-∠AEF=180°-45°-45°=90°， ∴.△ABE、△CEF都是等腰直角三角形， :BE=V54B=45 ∴CE=BC-BE=55-4W2-V2 14/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :cf=5cE=5x2=2 综上所述，CF的长为3或554或2 故答案为：3或5V2 -4或2. 【典例2】如图，在△MBC中，4=AC=10,8C=16 点D为BC边上一动点，连接1D,将线段1D绕 点A顺时计转“，且“=BC,得到线段5，连技E,D,其中DE交48于友R,当△8F为直角 三角形时，CD的长为 B > 【答案】8或2 【详解】解：当△BEF为直角三角形时，分两种情况， ①当∠EFB=90°时，如解图①， ..AB=AC, ∴.∠ABC=∠C 由旋转的性质可得，AE=AD, ∴.∠AED=∠ADE, 又：∠EAD=a=∠BAC, .∠AED=∠ADE=∠ABC=∠C, ,∠DFB=∠EFB=90°， ∴.∠FBD+∠FDB=90°， ∴.∠ADE+∠FDB=90°， :AD L BC, .点D为BC的中点， 15/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CD=]BC=8. 2 ②当∠BEF=90°时，如解图②，过点A作BC的垂线，垂足为G. AB=AC, ∴点G为BC的中点， :∠EAD=∠BAC, ∴.∠EAB=∠DAC, 又，AE=AD,AB=AC, ∴.△AEB≌△ADC, ∴.DEBA=DC, 由①知，∠ADE=∠C, ∴，∠EBA=∠ADE. :∠EFB=∠AFD, ∴.△EFB∽△AFD, ∴.∠FAD=∠FEB=90°. :1B=10,BG=8 六在R△ABG中，Qos∠ABG=BG=4 AB5· 在R△MBD中，os∠ABD=B-10-4 BD BD 5' BD=25 2 .BC=16。 CD=BC-BD=] · 7 综上所述，CD的长为8或2· 16/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D B D 图① 图② 【典例3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，AD=16cm,BC=21cm,CD=13cm.动点 P从点B出发，沿射线BC以每秒3cm的速度运动.动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒lcm的速 度向点D运动：当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动.设点P的运动时间为t秒，当以点P、C 、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为 A B 537 【答案】2或4 【详解】解：，AD=I6cm,动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒lcm的速度向终点D运动， ∴运动时间为16÷1=16（秒）， ~BC=21cm,P的速度为每秒3cm,P到达C的时间为21÷3=7（秒）， ∴当P在C点以及C点的左边时，即0≤t≤7时，PC=21-3t, 当P在C的右边时，即7<t≤16时，PC=3t-21, 以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形， PCDO 0<t≤7PC=DQ ①当四边形 为平行四边形时， ∴.16-t=21-3t, 解限 CPDO ②当四边形 为平行四边形时， 7<t≤16CP=DQ .3t-21=16-t, 37 解得1=4， 17/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 537 综合上述，当1=2或4时，以点p、C、DQ为顶点的四边形是平行四边形. 5.37 故答案为：2或4· 【典例4】如图，四边形BCD是一个矩形，其中8=5,8C=,直线D上有一个动点P,平面上有 点”.当以1，C,P,巴为顶点的四泣形为菱形时，则2的长为 Q BO 【答案】1或3或 【详解】 解：在矩形ABCD中， AB=V5BC=1 ∴.∠BAC=30° .∠CAD=60° 当B=4C 时△ACP1为等边三角形， AO 分别以 ,AP,CP为对角线作菱形， ..COs=CO=2 COa-2CD/ 18/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BO1=CO1-BC=2-1=1 B02=VBC2+CQz=+25=3, BO3=BC+CQ2-142-3 当AP2=AC时，可得菱形ACQP2, ..B0= 或3或国 故答案为：1或3或厅 03压轴强化训练 t△ABC 1.(24-25辽宁本溪)如图，在 中， ∠ACB=90,∠ABC=30AC=4,点D为1B边上-点 (不与A,B重合)，点E为BC的中点，将△CDE沿DE翻折，得到ADEF,连接BF,当以点D,E,B,F为 顶点的四边形为平行四边形时，AD的长为 B 【答案】2或8-2V5 【详解】解：在Rt△ABC中， :∠ABC=30°，AC=4, .AB=2AC=8, 由勾股定理得： BC=VAB2-AC2=43 点E为BC的中点， ∴.BE=CE, 分为两种情况： ①如图，四边形BEDF为平行四边形. 19/39 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 D(D E 由翻折可知：DC=DF, :四边形BEDF为平行四边形，∠ABC=30°， ∴，DF=BE, ∴Dc=DF=BE=CE=8c=25, CCD⊥AB 过点作 手点D, .∠ABC=30°， :.CD'=1BC=2 2 点D与D重合， .CD⊥BD, 在Rt△BDC中， .BD=BC2 -CD2=6 .AD=8-6=2: ②如图，四边形BDEF为平行四边形. D B 由翻折可知：CE=FE=号BC=2V5, ,四边形BDEF为平行四边形， BD=FE=2 20/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D=8-2V5 综上所述， D的长2或8-25 故答案为：2或8-2V5 2.(23-24河南驻马店)如图，在正方形ABCD中，AB=6,点E是线段BC上的动点，将△ABE沿直线 AE翻折，得到△AB'E,点F是DC上一点，且DF=2,连接AF,B'F,则当BE的长为时， △ABF是直角三角形. R 【答案】3或6 【详解】①当点B'在直线AF下方，且∠ABF=9O°时，如图. D B 又：∠AB'E=∠ABE=90°， ·点E,B,F三点共线 在Rt△AB'F和RtADF中， (AB'=AD AF=AF, ∴.RtaAB'F≌RtAADF, ..B'F =DF=2, 设BE=x,则B'E=x,EC=6-x, 21/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RtAFEC中，由勾股定理，得FE2=EC2+FC, 即+2y=6-02+6-2y 解得x=3, 故BE=3. ②当点B在直线AF上方，且∠ABF=90°时，点B与点D重合， 此时点E与点C重合， 故BE=6 故答案为：3或6 3.(24-25江苏盐城)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4,D为AB的中点，E为BC边 上的点，连接DE,将△BDE沿DE折叠得到△FDE,连接AF,若以点D、E、F、A为顶点的四边形为 平行四边形，则此平行四边形的面积为 【答案】8或83 【详解】解：在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4, .AB=8 :D为AB的中点， .AD=BD=4, 当点F在AD下方时，如图所示，过点D作DH⊥BC于点H, ~四边形ADEF是平行四边形， 22/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :EF AD=4 SADEF =2S.DEF :将△BDE沿DE折叠得到△FDE, ·BE=EF=4SDEF=SDEB SDEF=2.DEF=28.DER ∠B=30°，DB=4 .DH-D8-2 S.ADEF=2.D=EBx DH=4x2=8 当点F在AD上方时，如图所示： C 同上理，可得DE=DB=5DH-D8=2,而CD8D4=5,则E,C重合， SAEDE=2S.DEn =EBxDH=4V3x2=83 综上所述，平行四边形的面积为8或8√3， 故答案为：8或8√5 4.(2025·安徽芜湖一模)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=16,点D在边BC上，点E在边 AB上，沿DE将△ABC折叠，使点B与点A重合，连接AD,点P是线段AD上一动点，当半径为5的⊙P 与△ABC的一边相切时，AP的长为一· 23/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 25 15 【答案】3或4 【详解】解：设BD=x,由折叠知AD=BD=x,CD=I6-x, 在R△4CD中，由勾股定理得，x=82+(16-x)2, 解得，x=10, .CD=10, :4B=VAC2+BC-V82+16_8V5 ..AE=BE=2AB=4V5, ∴DE=V102-452=2V5<5. ,点P是线段AD上运动时，⊙P不可能与AB相切， 分两种情况：①当⊙P与AC相切时，过点P作PF⊥AC于点F,如图1， E D B 图1 ∴.PF=5,PFCD, △APF-△ADC, .4P-Pr AP=5 4DCD,即106) :AP25 3； ②⊙P与BC相切时，过点P作PG⊥BC于点G,如图2， 24/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 p C G D B 图2 ∴.PG=5,PGAC, .△DPG-△DAC, .DP PG DP 5 ÷D440,即108， 25 DP=4, 2515 AP=10-4=4, 2515 综上，AP的长为写或4 AABC BC 5.(2025·河南周口·二模)如图，在 中， ∠BAC=90,AB=4C=3.D是射线8C上的一个动 点，连接AD,将线段AB绕点D逆时针旋转90°得到线段EF(E,F分别是A,B的对应点)·连接 BE,DE,DF,当△BED是以BD为腰的等腰三角形时，BD的长为· 【答案】 3V2-33V2+3 或 【详解】解：当△BED是以BD为腰的等腰三角形时，有BD=BE或DB=DE两种情况.但是从点D运动 轨迹和图形来看，若DB=DE,则DB=DA, 而当D是线段BC的中点时，点E和点B重合，不存在△BDE: 当点D在线段BC的延长线上时，∠BAD>9O°，不存在DA=DB,故只需讨论BD=BE即可. ①当点D在线段BC上时，如解图1所示，记DE与AB交于点P 25/39 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 由旋转的性质，可知DA=DE,DB=DF,AB=EF.∠BDF=90°， :△ABD≌EFD(SSS) ∴∠BAD=∠E 又：∠BPE=∠DPA, ∴.∠ABE=∠ADE=90° ,∠BAC=90°，AB=AC=3, ∴.∠ABC=45°， 同理可得∠DBF=45°， .∠ABF=90° .∠ABE+∠ABF=180° E,B,F三点共线 设BD=BE=x,则DF=x,BF=√2x. .BF =EF-BE=3-x, :3-x=2x 解得x=35-3.即D=32-3 ②当点D在BC延长线上时，如解图2所示. 同理O,可得△MBD2aEFD(SS),∠ABE=90 ∴.∠BAD=∠DEF. :∠ADE=90°， ∴.∠ABE+∠ADE=180° ∴.∠BAD+∠BED=180° .∠DEF+∠BED=180°. ∴B,E,F三点共线 设BD=BE=x,则DF=x,BF=√2x ..BF=EF+BE=3+x, :3+x=V2x 26/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得=35+3，即BD=W5+3 综上所述， BD的张为35-3或35+3 故答案为： 3W5-3或3W5+3 图1 图2 △ABC,∠ACB=90°，AC=BC=1,D CD 6.(25-26河南信阳) D 中， 为1B上一点，连接，将 绕点C 顺时针旋转9O°至CE.连接DE交AC于点F,当△AEF为等腰三角形时，BD长为 B 【答案】 【详解】解：：∠ACB=90°，AC=BC=1, .∠B=∠BAC=45°，AB=VAC2+BC2=V2 :将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CE, ∴.CD=CE,∠DCE=∠ACB=90°， ∴.∠ACE=∠BCD=90°-∠ACD, ..AC=BC, :.△BCD≌aACE(SAS 27/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BD=AE,∠CAE=∠B=45°， .∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°， :△AEF为等腰三角形， .AE=AF或AF=EF或AE=EF, 当AE=AF时，则∠AEF=∠AFE, :CD=CE,∠DCE=90°， .∠EDC=∠DEC=45°， ∴.∠EDC=∠CAE=45°， ,∠AFE=∠DFC, ∴.∠AEF=∠DCF, ∴.∠DFC=∠DCF, ,∠DFC=∠ADF+∠DAF=∠ADF+45°=∠ADF+∠EDC=∠ADC, ∴.∠DCF=∠ADC, .AD=AC=1, :.BD=4B-AD=2-1 当AF=EF,则∠EAF=∠AEF=45°， .∠AFE=90° 同理得∠DCF=∠AEF=45°， .∠BAC=∠DCF=45° ∴.∠ADC=90°，AD=CD, ∴.∠BDC=90° ,∠BCD=∠ACB-∠DCF=45°=∠B, .CD=BD. 、CD=AD=BD=B-vV2 2: 当AE=EF,则∠EAF=∠AFE=45°， .∠AEF=90°， ∠BAE=90°，即∠BAE+∠AEF+∠ADE>180°， ∴此时，不能构成△ADE,即D点不在AB上，不存在此种情况： 28/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上，当AAEF为等腰三角形时， 故答案为： 2 △AB 7.(25-26辽宁鞍山)如图， 是等边三角形，边长为10，点D在MB延长线上，且BD=2,动点E 从点A出发，沿着射线AC运动，连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转60°得到线段DF,连接AF.当 CE=方4C时，则线段的长为 【答案】7或3 【详解】解：当点E在线段AC上时，过点D作DG∥BC交AC的延长线于点G,如图所示， .AABC 是等边三角形， ∴.∠ABC=∠ACB=60° :DG∥BC, ∴.∠ADG=∠ABC=∠G=∠ACB=60°， ∴△ADG是等边三角形， .'DG=AD. 将线段DE绕点D逆时针旋转60°得到DF, DE=DF,∠EDF=60° ∴.∠ADF=∠EDG, ∴.△ADF≌aGDE, ∴，EG=AF :B=10,BD-2 .AD=10+2=12, 29/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AG=12 CE-AE-AC-5, .EG=AG-AE=12-5=7 AF=7: 当点E在线段AC的延长线上时，过点D作DH∥BC,交AC的延长下于点H,如图所示， 同理可得△EDH≌△FDA, .'AF=EH. AB=10,BD=2 .AH=AD=12,AE=AC+CE=10+5=15. .EH=AE-AH=15-12=3, .AF=3 综上所述，AF的长为7或3. B H DEFG △ABC LO△ABC 8.(25-26江苏南京)如图所示，正方形 是等边 的内接正四边形，点是 的重心， 点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，将正方形DEFG绕点O旋转n°时该正方形第一次重新内接于 (AD 等边△ABC,记此时点D的对应点为点D,则AD的值为 30/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B G 【省我0 【详解】解：设BG的长为a, :44B DEFG 是等边三角形，四边形 是正方形， :∠A=∠B=∠C=60°，4B=BC=AC∠BGD=90°DG=DEDE∥GF ,.∠BDG=90°-∠B=30°，∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°， 、BD=2BG=2a,DG=VBD-BG=50,△ADE是等边三角形， AD=DE=AE-DG=a ..AB-BC=AC=AD+BD=a+2a=3+2 a .'CE=BD=2a,CF=BC-BG-GF=a, 如图，当顺时针将正方形DEFG绕△ABC的重心点O旋转n°时该正方形第一次重新内接于等边△ABC 时， G O 由旋转可知，此时AD'=BD=2a, 、2 2a4 a 3 如图，当逆时针将正方形DEFG绕△ABC的重心点O旋转n°时该正方形第一次重新内接于等边△ABC 时， 31/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E G D 此时∠DGA=90°，D'G=GF'=V5a,AF"=BG=a, AG"=AF"+G"F"=a+a=(1+3a D=DrG+4G=5a+[1+a=7+25a2, AD")2 AD 2(7+23a27+25 :.AD AD2 3a2 3 AD )2 47+25 综上所述， AD 的值为3或3· 故答案为： 4 .7+23 或3 △ABC. 9.(2025江西南昌·三模)如图，在等边 C中，B=4,点D为AC上一点，D=3, 点E是 BC边上的动点，连接DE,以DE为边作正方形DEFG,当DE的长为整数时，正方形DEFG的面积为_ B 【答案】1或4或9 【详解】解：如图：过点D作DH⊥BC于点H,连接BD, 32/39 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 D B E ,在等边 中，AB=4AD=3 △ABC. ∴.CD=AC-AD=4-3=1,∠C=60°， DH⊥BC ..∠CDH=30° .c-cD-.on--c 17 .BH=BC-CH=4- 22, .BD=NBH2+DH2 当点E在点H处时，DE的长最小，当点E在点B处时，DE的长最大， 5 :.2 ≤DE≤V13, 1<3<2,3<<4,DE的长为整数， DE的长为1或2或3， ∴.正方形DEFG的面积为1或4或9. 故答案为：1或4或9. 10.(2026河南平顶山一模)如图，将边长为6的等边三角形ABC沿射线BC平移得到△DEF,点P,Q 分别为C,的中点点°是线段吧的中点，连楼O1.0C.当△10C为直角三角形时，5 PO 33/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】6或12 【详解】解：①当∠AOC=90°时，如图1. B C(E) 图1 :等边三角形ABC沿射线BC平移得到△DEF,点P,Q分别为AC,DF的中点， .PO=BE,AC=6. :∠AOC=90°，点P为AC的中点， 0p=4P-cp4c=3, :点O是线段PQ的中点， .P9=2OP=6, ∴.BE=PQ=6 ②当∠AC0=90°时，如图2. B 图2 :等边三角形ABC沿射线BC平移得到△DEF,点P,Q分别为AC,DF的中点， .P2∥BF,PO=BE,∠ACB=60,AC=6. ·PQ∥BF .∠OPC=∠ACB=60°， .∠P0C=90°-60°=30°， :点P为AC的中点，AC=6, 34/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21C3 ·CP= 在Rt△PC0中，∠PCO=90°，∠POC=30°， ..OP=2CP=6 :点O是线段P№的中点， P9=20P=12, ∴.BE=PQ=12 综上所述，当△AOC为直角三角形时，BE的长为6或12. △ABC,AB=AC=4∠B=30 11.(24-25上·江西九江)如图，在 中， ,D为BC上的动点，连接AD, 作菱形ADEF,且∠DAF=6O°，连接CE,当BD=时，△CDE为等腰三角形. B 【答案】 25或25-2或25+2 【详解】解：△CDE为等腰三角形，连接AE :四边形ADEF为菱形，∠DAF=6O .∠DEA=30°，∠ADE=1209 AB=AC=4,∠B=30 ∴.∠ACB=∠B=30° 、∠DEA=∠ACB ①如答图1，当CE=DE时，AE交CD于点G ,'∠AED=∠ACB.,∠DGE=∠AGC .△DGE∽AGC AG CG :DG GE ,∠CGE=∠AGD .△AGD∽CGE 35/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DCE=∠DAE=30° CE=DE .∠EDC=LDCE=30° ∴.∠ADC=∠ADE-∠CDE=120°-30°=90° ,在RIAABD中，∠B=30°，AB=4 .AD=2 BD=23 G B E 答图1 ②如答图2，CD=CE,点E在CB下方，过点A作BC的垂线交BC于点H 方法同①可证：∠DCE=30° CD=CE :.∠CDE=∠CED=180P,30=75 2 ∴.∠ADC=120°-75°=45 由①可知：AH=2,BH=2V5 ,在RtAADH中：DH=AH=2 :BD=2V5-2 A D GH 答图2 ③如答图3，CD=CE,点E在CB上方，DE与AC交于点M ,∠ACD=∠AED,∠AME=∠CMD 36/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△AME∽△DMC AMME MD CM ,∠AMD=∠EMC ∴.△AMD∽△EMC ∴.∠MCE=∠ADE=120 ,∴，∠DCE=120°+30°=150° .CD=CE ·∠EDC=∠DEC=180°-15 -=150 2 ∴.∠ADH=180°-∠ADE-∠EDC=45° ∴，在Rt△AHD中，DH=AH=2 BD=BH+DH=2+2 E B H D 答图3 综上所述，当BD=25或25-2或25+2时，4CDE为等腿三角形. 故答案为： 25或25-2或2N5+2 △ABC, 12.(25-26黑龙江大庆)如图，在 中， 4CB=90,B=30,4C=4,点”为4上-点，将 线段PB绕点P顺时针旋转得线段PO,点Q在射线BC上，当PQ的垂直平分线MN交直线AB于点E,交 CB于点F,当△ACE为等腰三角形时，PB的长为· M B 37/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】2或6. 【详解】解：：∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4, ∴.AB=2AC=8, ①当点E是B的中点时，连接2，如图1， EO M 图1 则CE-4B=B=4 2 由旋转得∠PQB=∠B=30°， ∠EPQ=∠B+∠PQB=60° PO MN 的垂直平分线， EP=EO ∴.△EPO是等边三角形， EP=EO=PO :BE=4, PB=2, ②15=AC=4 EO ，如图，连接， E P O B 图2 38/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=8, .BE=AE+AB=4+8=12, ∠BQP=30° 由(1)知， PO N 的垂直平分线 EP=EQ∠EQP=∠EPQ=60° ∠EQB=90° 则E0=2EB=6, ∴.PB=BE-EP=6, 故答案为2或6. 39/39 专题05 多解问题（几何压轴，压轴题专练） 命题预测 常以三角形、四边形为背景，结合折叠、旋转、动点，核心考查全等、相似、勾股定理。题型多为线段长度、角度、面积多解，需分类讨论点的位置、图形形状，容易因漏情况失分，注重逻辑严谨与计算准确，整体稳中求变，侧重基础模型与思维严谨性。 高频考法 1. 点在线段（直线)上的不同位置 2. 作图或变换引起顶点位置不确定 3. 特殊图形存在时顶点位置不确定（重点） 典例·靶向·突破 题型1、点在线段（直线)上的不同位置 技巧：情形一：等分点（以三等分点为例） 条件：P为线段AB的三等分点 解题思路： (1)分类讨论依据：点P靠近点A或靠近点B; (2) 找点：①当点P靠近点A时， AP1=BP1 ②当点P靠近点B时， BP2=AP2 情形二：点在线段上或线段的延长线上 条件：P是射线AB上一点，且 BP=AB 解题思路： (1)分类讨论依据：点P在线段AB上或AB的延长线上； (2)找点：①当点P在线段AB上时，BP1=AB ②当点P在线段AB的延长线上时，BP2=AB 【典例1】如图，在中，．若点D在直线上（不与点A，B重合），且，则的长为_____________． 【典例2】已知正方形边长为3，E为边上的三等分点，连接，则长为____________． 【典例3】矩形中，，对角线交于点，点在上，，连接并延长交矩形一边于点，则的长为_________． 题型2、作图或变换引起顶点位置不确定 技巧：一、作几何图形顶点位置不确定 情形一：所作图形顶点位置不确定； 情形二：所作图形的边不确定。 2、 平移变换引起的点位置不确定 情形一：平移距离不同，但都满足题干要求； 情形二：平移方向不同 3、 旋转变换引起的点位置不确定 情形一：旋转角度不确定； 情形二：旋转方向不确定。 4、 折叠（对称）引起的点位置不确定 情形一：折叠后顶点落在直线上，结合点在线段（直线）上的不同位置分类讨论； 情形二：折叠后产生特殊图形或满足特定条件。 【典例1】如图，在中，是上两点，将沿直线折叠，沿直线折叠，使得的对应点重合于点．当为直角三角形时，线段的长为 。 【典例2】如图，在中，，，，点O是边的中点，点P是边上一动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转，使点O的对应点D落在边上，连接，若为直角三角形，则的长为 ． 【典例3】如图，两个直角三角板与按如图所示的方式摆放，其中，，，且共线，将沿方向平移得到，若点落在上，则平移的距离为 ． 【典例4】如图，在矩形中，，，E是线段上一动点，以E为直角顶点在的右侧作等腰三角形，连接，当点F落在矩形的对角线上时，则的长为___________． 题型3、特殊图形存在时顶点位置不确定 技巧：一、等腰三角形存在性问题 条件：已知线段AB和直线l,在直线l上找一点P,使△PAB为等腰三角形。 2、 直角三角形存在性问题 条件：已知线段AB和直线l,在直线I上找一点P,使△PAB为直角三角形。 三、平行四边形存在性问题 情形一：已知三点 条件：点A,B,C为定点，在平面内找一点P,使以A,B,C,P为顶点的四边形为平行四边形（三定一动）。 情形二：已知两点 条件：点A,B为定点，在平面内找两点P,Q,使以A,B,P,Q为顶点的四边形为平行四边形（两定两动） 四、菱形存在性问题 条件：点A为平面内一定点，点B为直线l上一定点，在直线l上找点P,在平面内找点Q,使以A,B,P,Q为顶点的四边形为菱形 【典例1】如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，BC＝5AD＝5，∠B＝45°，等腰直角三角形EMN中，含45°角的顶点E放在BC边上移动，直角边EM始终经过点A，斜边EN与CD交于点F，若△ABE为等腰三角形，则CF的长为 _____． 【典例2】如图，在中，，点D为边上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，且，得到线段，连接，其中交于点F，当为直角三角形时，的长为______． 【典例3】如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为__________． 【典例4】如图，四边形是一个矩形，其中，，直线上有一个动点，平面上有一点，当以，，，为顶点的四边形为菱形时，则的长为______． 1．（24-25·辽宁本溪）如图，在中，，点为边上一点（不与重合），点为的中点，将沿翻折，得到，连接，当以点为顶点的四边形为平行四边形时，的长为__________． 2．（23-24·河南驻马店）如图，在正方形中，，点是线段上的动点，将沿直线翻折，得到，点是上一点，且，连接，，则当的长为______时，是直角三角形． 3．（24-25·江苏盐城）如图，在中，，，，为的中点，为边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，则此平行四边形的面积为___________． 4．（2025·安徽芜湖·一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝16，点D在边BC上，点E在边AB上，沿DE将△ABC折叠，使点B与点A重合，连接AD，点P是线段AD上一动点，当半径为5的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为_____． 5．（2025·河南周口·二模）如图，在中，．D是射线上的一个动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段（E，F分别是A，B的对应点）．连接，当是以为腰的等腰三角形时，的长为______． 6．（25-26·河南信阳）中，为上一点，连接，将绕点C顺时针旋转至．连接交于点F，当为等腰三角形时，长为____________． 7．（25-26·辽宁鞍山）如图，是等边三角形，边长为10，点D在延长线上，且，动点E从点A出发，沿着射线运动，连接，将线段绕点D逆时针旋转60°得到线段，连接．当时，则线段的长为_________． 8．（25-26·江苏南京）如图所示，正方形是等边的内接正四边形，点是的重心，点、、分别在边、、上，将正方形绕点旋转时该正方形第一次重新内接于等边，记此时点的对应点为点，则的值为________． 9．（2025·江西南昌·三模）如图， 在等边中，， 点D为上一点，， 点E是边上的动点，连接，以为边作正方形，当的长为整数时，正方形的面积为______． 10．（2026·河南平顶山·一模）如图，将边长为6的等边三角形沿射线平移得到，点P，Q分别为，的中点，点是线段的中点，连接，．当为直角三角形时，__________． 11．（24-25上·江西九江）如图，在中，，，D为BC上的动点，连接AD，作菱形ADEF，且，连接CE，当______时，为等腰三角形． 12．（25-26·黑龙江大庆）如图，在中，，，，点为上一点，将线段绕点顺时针旋转得线段，点在射线上，当的垂直平分线交直线于点，交于点，当为等腰三角形时，的长为_____． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $