专题03 角的问题（几何压轴，压轴题专练）（安徽专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03角的问题（几何压轴，压轴题专练） 01压轴命题透视 以四边形（矩形、正方形）+动点+角度计算。常考角平分线、外角、等腰、绝配角，第一证 命题预测 角相等，第二求角度大小，第三结合动点找角度定值或线段关系。重点练作辅助线、倒角、 等腰与相似，计算不多，主要考思路。 1.特殊角 高频考法 2.二倍角 3.绝配角 02压轴题型精讲 典例靶向突破。一 题型1特殊角 技巧：1构造含特殊角的直角三角形，并利用全等关系转化线段长度 2结合全等得到的线段关系，根据相似列式求解 以45©为例，若在题图中出现∠A0B=45的条件，考虑作垂直构造等腰直角三角形 方法一：过点A(或点B)向另外一边作垂线 方法二：过点A(或点B)作本边的垂线，与另外一边交于一点 注：遇到30°和60°角时，辅助线作法与45°一致；遇到120°，135°，150°角时，考虑延长这些角的一边， 作出其邻补角，再按照上面的方法作辅助线。 △ABC ∠BAC=45° 【典例1】如图，锐角 中， ，则D AD是BC边上的高，BD=2,CD=3 1/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】6 【详解】如图，在AD上取DE=BD=2,DF=CD=3,连接BE、CF, :AD是BC边上的高， ·AD L BC, ∴.∠BED=∠BAE+∠ABE=45°，∠DFC=∠CAF+∠ACF=45°， :∠BAC=∠BAE+∠CAF=45°， ∴.∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠ACF, .△ABE~△CAF, BE AE AFCF· 在RtADBE中，BE=VBD+DE=22 在RtACDF中，CF=VDF2+DC2=3N2 ∴.设AD=x, 2W2_x-2 则：x-33V2, 解得x=6或x=-1(舍去)， .AD的长为6 故答案为6 【典例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6,D是AB上一点，点E在BC上，连接CD 2/33 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,AE交于点F,若∠CFE=45°，BD=2AD,则CE= 【答案】2 【详解】解：如图：过D作DH垂直AC于H点，过D作DG∥AE交BC于G点， 在DG∥AE中，AC=BC=6, .AB=AC2+BC2=62 又BD=2AD, .AD=22, 在等腰直角三角形AHD中，AH=DH=2, CH=6-2=4, 在RtCHD中，CD=VCH+DM2=25 .DG∥AE, .∠CFE=∠CDG=45°，∠B=45°， ∠CDG=LB, 又'∠DCG=∠BCD, ∴.△CDG∽△CBD CD CG .CB CD' ..CD2=CG.CB, 即20=6CG, cG=19 3, 3/33 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BG=BC-CG=6-10_8 33 又DG∥AE, △3DGABAE, 又BD=2AD, BD BG 2 BABE3· 又BG=8 3， BE-BGx3 .CE=6-4=2, 故答案为：2. 题型2二倍角 技巧：特殊角的处理—构造含60°角的直角三角形 二倍角的处理—构造双等腰三角形 条件：在一个三角形中有一个内角是另一个内角的2倍。 A 人2a B 方法一：内作双等腰，如图①，过点A作∠DAC=∠C. A 、d 人2a B 2d D C 图① 结论：△ABD与△ADC是等腰三角形 方法二：外作双等腰，如图②，延长CB至点D,使得BD=BA,连接AD(或延长CB至点D,连接AD,使 得AD=AC). 2 B 图② 结论：△ABD与AADC是等腰三角形 方法三：作二倍角的角平分线，如图③，作∠ABC的平分线BD交AC于点D. 4/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2at-D a &在 a 图③ 结论：△BCD是等腰三角形。 【典例1】口ABCD中，∠BAC=60°，AC、BD相交于点O,且∠BOC=2∠ACB,若AB=4,则BD的长为 D 【答案】7 【详解】解：如图，作BE⊥AC于点E,延长CE到点C',使EC=EC,连接BC',则BE是CC的垂直 平分线， .BC=BC, .∠C'=∠ACB ,∠BOC=LC'BO+∠C', .∠BOC=∠CBO+∠ACB, ,∠BOC=2∠ACB, .2∠ACB=∠C'BO+∠ACB, ∠ACB=∠C'BO, .∠C'=∠C'BO, ..OB =OC', 设OE=x, ..CE=CE=OE+OC=x+0C :CC=2CE=2(x+0C)=2x+20C :四边形ABCD平行四边形， 5/33 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.OA=OC,AC=20C, .'.AC'=CC-AC=2x, ∴.OC=AC'+OA=2x+OC, ..OB=OC'=2x+OC, 在Rt△ABE中，∠BAE=60°， .∠ABE=30°， :AB=)AB=2, 2 :BE=VAB2-AE2=V4-2=2N5,0A=0C=2+x, ∴.0B=OC'=2x+2+x=2+3x, 在Rt△OBE中，根据勾股定理得，OB2=OE2+BE2, 2+32=2+23 解得x=2或x=-2(不合，舍去， :.0B=2+3x=2 .BD=20B=7, 故答案为：7. 【典例2】如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B,CD平分∠ACB,过A作AH⊥CD,垂足为H,若 SACD ∠AED=45°，AE=4V2,AB=12,则SBcD= 【答案】23 【详解】解：如图，过点A作AF∥BC交CD的延长线于点F, 6/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠F=∠BCD,∠B=∠FAB :∠ACB=2∠B,CD平分∠ACB, :∠BCD=∠ACD=∠ACB=∠B 2 ∴.∠F=∠FAB=∠ACF DA=DF,DB=DC AF=AC .FC=AB, 又：AH⊥CD :.FH-HC-1FC=1AB-6 2 ∠AED=45°AE=4W2 :AH=HE=4, 设HD=a,则DC=DH+HC-a+6 ∴.DB=DC=a+6 :4D=AB-BD=12-(a+6=6-a 在Rt△ADH中，AD=6-a,DH=a,AH=4 .AH2+DH2=AD2 4+a2=(6-a2 5 解得：a= 3 4D=6-5、13 35 BD=6+523 33 S.ACD AD 13 ∴.S.BCD BD23 7/33 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13 故答案为： 23· 二题型3绝配角 技巧：情形一：非共顶点型 识别结构：∠C+2∠BDA=180°（有时也可转化为∠C=2∠BAD). B 方法：作点D关于AB的对称点D',连接AD',BD'(或延长CB至点D',使得BD-BD,连接AD) D'B D 结论：△AD'D,△AD'C是等腰三角形 情形二：共顶点型 识别结构：∠A0B+2∠B0C=180°。 方法一：延长C0. B 结论：∠AOD=∠BOC 方法二：延长A0. 、D 结论：∠COD-LBOC. 注：绝配角与二倍角的区别：在绝配角问题中，往往也存在二倍角的关系，它与“二倍角问题”的区别在 8/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 于，绝配角问题中的“二倍角关系”在不同的三角形中，“二倍角问题”中的“二倍角关系”在同一个三 角形中。 【典例1】如图， AMBC中，DLBC,垂足为D,∠ABC=2ZD1C,若MB=5,4C=3 ,则CD的长 为· B D 9 【答案】100.9 【详解】解：如图，延长CB到E,使得BE=BA, is- B .∠E=∠BAE, :∠ABC=∠E+∠BAE, .∠ABC=2∠E, :∠ABC=2∠DAC, .∠CAD=∠E, :∠C=∠C,AD L BC, ∴.∠CDA=∠CAE=90°， ∴.∠E+∠C=90°，∠BAE+∠BAC=90°， ∴.∠C=BAC, .'BC=AB=5, ∴设CD=x,则BD=BC-CD=5-x, AD L BC AB-BD:-4C2-CD: 9/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 52-(5-x刘2=32-x2 9 解得r 10 .'.CD=. 9 10 9 故答案为： 10 【典例2】如图，Rt△ABC中∠ACB=90°，BD平分∠ABC,点E在AB边上，∠BDE=45°；点F在线段 DC上，且 ∠BrC+∠A=180,若BE-DF=25,则CT的长为 CF F D 【答案】吃 【详解】解：延长FC至点G,使CG=FC,连接BG, 设∠FBC=C&, ,∠ACB=90°， ∴.∠BFC=90°-∠FBC=90°-a 又2∠BFC+∠A=180°， ∴.∠A=180°-2∠BFC=180°-290°-a)=2a ∠ACB=90°， .∠ABC=90°-2a, 又BD平分∠ABC, ∠ABD=∠CBD=∠ABC, ∠4BD=∠CBD)90°-2a=49-0 ∠BDE=45° 10/33 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AED=∠BDE+∠ABD=45°+45°-a=90°-a, ∠A=2a, ∠ADE=180°-∠AED-∠A=180°-90°+a-2a=90°-a, .∠AED=∠ADE, :AE=AD: 在△BCG和△BCF中， BC=BC ∠BCG=∠BCF CG=CF .△BCG≌△BCF(SAS), ∴∠CBG=∠CBF=a,CF=CG, :∠ABC=90°-2a, ∠ABG=∠ABC+∠CBG=90°-2a+a=90°-a, :∠A=2a, ∴.∠AGB=180°-∠A-∠ABG=180°-2a-90°+a=90°-a=∠ABG, ..AG=AB, 又，AE=AD, :.AG-AD=AB-AE, ..DG=EB .BE-DF=22, .DG-DF=FG=22, CF-FG- G F D B E 故答案为： V2 【典例】如图，在A1BC中，∠B=90°，D是C边上一点且满足 中， ∠C=2∠BAD CD=3BD ,E是4C 11/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF 边上一点且满足∠ADB=∠ADE:连接BE交AD于点E,则BF A B D 5 【答案】8 【详解】解：延长DB至G,使BG=BD,连接AG,过点E作EN∥AD交CD于N,过点E作EM⊥CD 于点M, --B MN :∠C=2∠BAD, 设∠BAD=u,则∠C=2a, ∠ABD=90°， :∠ADB=90°-O=∠ADE, .∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=2a=∠C, ∴.ED=EC, ∴.∠DAC=90°-∠C-∠BAD=90°-3a, AB=AB,∠ABG=∠ABD=90°，BG=BD △ABG≌△ABD(SAS), ∴∠BAD=∠BAG=,∠G=∠ADB=90°-， ∴.∠CAG=∠DAC+∠BAD+∠BAG=90°-a=∠G, ∴CA=CG, C①=38D, 设BD=BG=m,CD=3m, ∴.CA=CG=5m,在Rt△ABC中，BC=4m,AC=5m, 12/33 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=AC2-BC2 =3m ED=EC,EM⊥CD, :.DM=CM-1CD=1.5m, 2 EM∥AB, ..ACEMACAB, CE CM CE 1.5m CA CB 5m 4m' CE-DE=1 m, 8 .·EN∥AD .∠DEN=∠ADE=∠ADB=∠DNE, DN-DE-15 m, :DF∥EN, 15 EF-DN-8m15 BF BD m 8 15 故答案为： 8 03压轴强化训练 一、填空题 1.(2025贵州遵义一模)如图，在四边形ABCD中，连接AC,AD=CD, ∠BAC=∠BCD=2∠DCA=45°.若AB=2,则△ADC的面积为 D 【答案】 V2+1,1+V2 【详解】解：过C作CE⊥AB交AB的延长线于E,根据∠BAC=∠BCD=2∠DCA=45°， 13/33 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 得等腰RtAACE,AC=VAE2+CE2-V2CE 2a D.a-tF 2 B 由条件可知∠DCA=∠BCA=∠BCE=22.5°， 则CB平分∠ACE, 过点B作BM⊥AC于点M, :BC平分∠ACE, .EB=MB, AC.BM AB 2 AC .S.BCE BE 1BE-EC CE AB AC =√2 BE CE 把B=2代入得BE=5 .CE=AE=2+ 过C作CF⊥AD交延长线于F, 由AD=CD,∠DCA=22.5°， 得等腰Rt△CDF, 设C=DF=a,则MD=CD=a 根据勾股定理，得AF2+CF2=AB2+CE,即V2a+a+a2=22+V2, 解得0-V2+2 a4Dc的面积为40xc-5aa=2c=2+3)-5+1 2 2 √2+1 故答案为： 14/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26黑龙江哈尔滨)如图，在 在A1BC中，点F为C边上一点，1C=C5,连结4C,CD11B交 AE于点F,连结DE,∠CAB=2∠B,若CE=4,AD=3,则BC的长为一· 【答案】7 【详解】解：，AC=CE,CD⊥AE, ∴.∠CAE=∠CEA,CD垂直平分AE, .DE AD=3, .∠DAE=∠DEA, :∠CAB=∠CAE+∠DAE,∠CED=∠CEA+∠DEA, .∠CAB=∠CED=2∠B, ,∠CED=∠EDB+∠B, .∠EDB=∠B, .'BE DE=3, ∴.BC=BE+CE=7 故答案为：7. △ABC,∠ABC=2∠ACB AH⊥BC .AB=5 BH=1 3.(25-26黑龙江哈尔滨)如图， 中， C于点”，若 则BC= 【答案】7 【详解】解：在BC上截取HD=BH,连接AD, H D 15/33 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AH⊥BC, .AH垂直平分BD, ∴.AB=AD=5, .∠ADB=∠ABC=2∠ACB, ∠ADB=∠C+∠CAD, .∠C=∠CAD, .AD=CD=5, .BC=BH+DH+CD=1+1+5=7: 故答案为：7. 4.（23-24黑龙江哈尔滨)如图，在 C中，若1BC=B,∠4CB=90-2A,AD1BC,若 △AB BD=3.CD=2 则B的长为一 【华)9 【详解】解：作∠DAC的角平分线AE,作EF⊥AC 设DE=X,AD=y,则CE=2-x ∠ACB=90°-2B,AD⊥BC ∠DAC=2BDE=FE=x AE=AE,∠ADE=∠AFE=90 ∴.△ADE≌△AFE AF=AD=y :AE平分∠DAC, 16/33 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DAE=B=∠ABC ,∠ADB=∠ADE=90° ∴.△ADB∽△EDA 品0时 x y :y=3 AC=AD+CD2=y2+2=x+4 CF=AC-AF=AC-AD=3x+4-3x CE=ER2+CR2 :.(2-x2=x2+3x+4-√3x 解得：-0（合去） AD=y=V3x=3 AB-VAD+BD35 3V5 故答案为： 2 5.(黑龙江哈尔滨模考) 在△1BC中，∠1=2∠B,BC=6,4C=5,则线段4B的长度为 11 【答案】52.2 【详解】作∠BAC的平分线AD,交BC于点D,如图， 17/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 则∠BAD=∠CAD= ∠BAC, 2 ∠BAC=2∠B, ∴.∠BAD=∠CAD=∠B, ∴.BD=AD, ,∠C=∠C,∠CAD=∠B, .△CAD∽△CBA, .CA CD BC AC' 5 CD 65 CD=25 6 BD=BC-CD=6-25=1Ⅱ 66 .AD=BD= 6 :△CAD∽△CBA, AD AC .ABBC’ 11 6=5 AB6 :4B= 5, 11 故答案为：5· 6. (23-24·黑龙江哈尔滨)在 1BC中，∠46C=2∠4CB,MD为A1BC的平分线，过P点作D的重线 18/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 交AC于点F,垂足为E,过点A作AG1BC于点G,若CF=1,4G-号，则△4BD的面积为 B G D 【答案】100.9 【详解】解：如图，连接DF, B G D AD为△ABC的平分线，BF⊥AD, ∠FAE=∠EAB,∠AEF=∠AEB=90°， AE=AE ∴.△AFE≌△AEB(ASA) :AB=AF, AB=AF,∠FAE=∠EAB,AD=AD, ∴.△ABD≌AAED(SAS) ∴.DF=BD,∠ABD=∠AFD, ∠ABC=∠AFD=2∠ACB=∠ACB+∠CDF, ∠ACB=∠CDF, ..DF =CF BD=1, AGLBC,AG-9 5, 1 99 ∴SMBD=5BD.AG=5×1x 2 2510· 19/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为： 10 AABC ∠ABC=2∠C,BD 7.(25-26·黑龙江哈尔滨)如图， 中， 分∠1BC,点E为BD上一点，连接 平 A5,若 ∠AED=60°，AC=10,AE=4 E= ,则线段 【答案】3 【详解】解：如图，作AH⊥BD,垂足为点H,延长AH交BC于点F,过点F作FG⊥AF,交AC于点 G, :AH⊥BD,且∠AED=60°，AE=4, ∴∠EAH-30°，∠AHB=∠FHB=90°， EH=2, 由勾股定理得 AH=2V3 BD平分∠ABC, 1 ∴.∠ABH=∠FBH= ∠ABC 2 在△ABH和△FBH中， [∠ABH=∠FBH BH=BH ∠AHB=∠FHB' .△ABH≌△FBH(ASA) .AH FH=2V3 20/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AF=AH+FH=43 :∠BC=2∠C,即∠C=4BC. 2 ∴∠C=∠FBH, .BD=CD. FG⊥AF, .∠GFC+∠HFB=90° ∠FHB=90°， .∠FBH+∠HFB=90°， ∴.∠GFC=∠FBH, .∠GFC=∠C, ∴.FG=GC 设FG=GC=x,则AG=10-x, 在Rt△AFG中， .AF2+FG2=AG2, 13 :4+r=10-对，解得x=5, FG=GC=13 4G=10-x=10-13-37 55· ∠AHD=∠AFG=90°， .HD∥FG AH=FH, :AD=DG=1AG=37 2 10 .DC=DG+GC= 37,1363 10510 BD=63 0· AH=FH,AD=DG, :HD是△AFG的中位线， HD=号FG=13 1 10 21/33 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BE=BD-EH-HD=63-2-13 3 10 10 故答案为：3. 8. (2023安徽准北二模)如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C,BG平分∠ABC,交AC于点G,点D、 E分别是边BC、AC上的点（点D不与点B、C重合），且∠ADE=∠ABC,AD与BG交于点F. ()若∠C=40°，∠CDE=25°，则∠AFB的度数为 16 (2)若AB=8,4G=3，BF=2CE,则BD的长为 G 【答案】 115°/115度 6 【详解】(1)：∠C=40°，∠CDE=25°，则∠ABC=2∠C=80°， 又BG平分∠ABC, ∠GBD=)∠ABC=∠C=409 :∠ADE=∠ABC=80°， .∠FDB=180°-∠ADE-∠CDE=180°-80°-25°=75°， .∠AFB=∠FBD+∠BDF=40°+75°=115° 故答案为：115°。 (2):∠ABC=2∠C,BG平分∠ABC, ∠ABG=∠GBC=∠C, ..BG=CG, 又：∠BAG=∠CAB, ,△ABGP△ACB, AB AG BG .AC AB BC, AC=AB2 AG =12, 22/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CG=AC-AG=20 , BC=BG.AB-10 AG :△ABGP△ACB, ∴.∠AGB=∠ABC, ∠ADE=∠ABC, ∠AGB=∠ADE, :∠FAG=∠DAE, ∠AFG=∠AED, :∠AFG+∠AFB=180°，∠AED+∠CED=180°， ∴，∠AFB=∠CED 又∠ABG=∠C, .△ABF∽△DCE, 又BF=2CE,AB=8 AB_BF=2 CD CE .CD=4, .BD=BC-CD=6, 故答案为：6. 二、解答题 △ABC ∠ABC=2∠4CB BD△ABC 9.(25-26浙江杭州)在 中， 为 的角平分线 图1 图3 (I)如图1，若AB=BD,求∠A的度数； (2)如图2，若E为线段BC上一点，∠DEC=∠A,求证：AB=EC; (3)如图3，若AF⊥BD,垂足为F,求证：AC=2BF 【答案】(1)∠A的度数为72° (2)证明见解析 23/33 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)证明见解析 【详解】(1)解：设∠ACB=x, :∠ABC=2∠ACB, .∠ABC=2x, BD平分∠ABC, 六MBD=∠CBD=ABC=x, ·.·AB=BD .∠A=∠ADB=∠DBC+∠C=2x, :∠A+∠ABC+∠C=180°， .2x+2x+x=180°， x=36°， ∠A=2x=72°： (2)证明：由题意得，∠ABC=2∠C且BD为△ABC的角平分线， ·∠ABD=∠DBC=∠C, :BD=CD, 在△ABD和△ECD中， ∠A=∠DEC ∠ABD=∠C BD=CD ∴.△ABD≌△ECD(AAS) .AB=EC: (3)解：如图，过点A作AE∥BC,交BD的延长线于点E, D ∴.∠E=∠DBC,∠EAD=∠C, :∠ABC-2∠C,BD平分∠ABC, :.∠ABD=∠DBC=∠C 24/33 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠E=∠EAD=∠ABD,BD=CD, .AD=DE,AB=AE, :AF⊥BD :.BF-FE-IBE, AC=AD+CD=DE+BD=BE, .AC=2BF ABC,∠ABC=2∠CBG 10.(24-25·安徽准北期中)已知 中， 平分 ∠ABC AB=12AG=8LD .点 、E分别是边BC、AC上的点（点D不与点B、C重合），且∠ADE=∠ABC,AD、BG相交于点F. E D C B 图1 备用图 备用图 (I)求BC的长： (2)如图1，如果BF=3CE,求BF:GF的值； (3)如果△ADE是以AD为腰的等腰三角形，求BD长， 【答案】(1)15 (2)BF:FG=99 6 48 3 (③)BD为5或2 【详解】(1)解：∠ABC=2∠C,BG平分∠ABC, .∠ABG=∠BGC=∠C, ..BG=CG, 又∠BAG=∠CAB, △ABG△ACB， .AB AG BG AC AB BC, AC=4B-144 AG 8 18, 25/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BG=CG=AC-AG=10, ∴.BC= BG.AB=15: AG (2)解：由(I)知，△ABG∽△CAB, ∴，∠AGB=∠ABC :∠ADE=∠ABC, .∠AGB=∠ADE, ∠FAG=∠DAE, ∴.∠AFG=∠AED :∠AFG+∠AFB=180°，∠AED+∠CED=180°， .∠AFB=∠CED 又∠ABG=∠C, .△ABFADCE, AB BF CD CE =3, ∴CD=4, .BD=BC-CD=11, 过G作HG∥BC交AD于H,如图： GH AG CD AC, .GH=AG-CD_16 BF BD 99 同理，FGGH16, BF:FG=99 6: (3)解：①当AD=AE时， .AD=AE ∴.∠ADE=∠AED=∠ABC=∠AGB, 26/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DE∥BG, .∠AFG=∠ADE=∠AGF, ..AF=AG, :∠ABC=2∠C, ∠EDC=∠C, .CE=DE, 由(2)知，△ABF△CDE, ·∠BAD=∠EDC=∠C, :∠ABD=∠CBA, .△ABD∽△CBA, BD AB AB-BC:BD-48 5· ②当DA=DE时，在DC上截取DM=AB=12,连接EM, B D :∠ADM=∠ABC+∠BAD=∠ADE+∠EDM,∠ADE=∠ABC: ∴.∠BAD=∠EDM, ∴△ABD≌△DME(SAS ∴.∠ABC=∠DME=2∠C, ,∠MEC=∠C,BD=ME, ∴.MC=ME=BD, .BD=BC-DM 3 2 2· 483 综上，若△ADE是以AD为腰的等腰三角形，则BD为5或2， 11.(23-24山东聊城)问题背景：在 MBC中， C,点D为线段BC一动点，当D ∠B=2∠C D 满足某种条 件时，探讨在线段AB、BD、CD、AC四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系. 27/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 D 图3 ()在图1中，当AB=AD时，则可得AB=CD,请你给出证明过程. (2)当AD⊥BC时，如图2，求证：AB+BD=DC: (3)当AD是∠BAC的角平分线时，判断AB、BD、AC的数量关系，并证明你的结论. 【答案】()见解析 (2)见解析 (3)AB+BD=AC,理由见解析 【详解】(1)AB=AD, ∴.∠ADB=∠B」 ∠B=2∠C, .∠ADB=∠C, :∠ADB=∠C+∠DAC, .∠DAC=∠C, .DA=DC, ..AB=CD: (2)在DC上截取DH=DB,连接AH, 图2 在△ADB和△ADH中， DB=DH ∠ADB=∠ADH=90° AD=AD .△ADB≌△ADH(SAS), 28/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=AH，∠AHB=∠B, ∠B=2∠C, 、∠AHB=2∠C, :∠AHB=LC+∠HAC, ∠HAC=∠C, :AH=CH, :AB=CH, :AB+BD=CH+DH DC: (3)AB+BD=AC, 理由如下：在AC上截取AG=AB,连接DG, G 图3 在△ADB和△ADG中， AB=AG ∠DAB=∠DAG AD=AD .△ADB≌△ADG(SAS), ∴.DB=DG,∠AGD=∠B, ∠B=2∠C, .∠AGD=∠C, :∠AGD=LC+∠GDC, .∠GDC=LC, ..GD=CG, .DB=CG, ∴.AB+BD=AG+GC=AC △ABC∠ACB=2∠B∠BAC 12.(25-26山西太原)如图，在 中， 的平分线10交BC于点D,点H为 AO上一动点，过点H作直线I⊥AO于H,分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M 29/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (ME) 图1 图2 备用图 备用图 (①)当直线1经过点C时（如图1），写出CD和BV之间的数量关系，并加以证明： (2)当M是BC中点时（如图2），直接写出CD和CE之间的等量关系 (③)点H在射线AO上运动时，请直接写出CD、BN、CE之间的等量关系. 【答案】(I)CD=BN,证明见解析 (2)CD=2CE (3)当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；当点M在BC的延长线上时，CD=BN-CE:当点M在CB 的延长线上时，CD=CE-BN 【详解】(1)解：CD=BN,证明如下： 如图，连接ND, (M(E) :A0平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD, :直线I⊥AO于H, ∴.∠AHN=∠AHC=90°， 在△AHN和△AHC中， ∠NAH=∠CAH AH=AH ∠AHN=∠AHC' ：△AN≌AAHC(ASA .AN=AC,NH=NC .AH垂直平分CN,∠ANC=∠ACN, .'DN=DC, 30/33 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DNH=∠DCH, ∴.∠ANC+∠DNH=∠ACN+∠DCH, ∴.∠AND=∠ACD, :∠ACB=2∠B,∠AND=∠B+∠BDN, ∴.2∠B=∠B+∠BDN, .∠B=∠BDN, .BN DN, .BN=CD: (2)解：当M是BC中点时，CD和CE之间的等量关系为CD=2CE,证明如下： 如图，过点C作CN'⊥AO交AB于N',过点C作CG∥AB交直线I于点G, 由(I)可得：BN'=CD,AN'=AC, A0平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD, :直线⊥AO于H, ∴.∠AHN=∠AHE=90°， 在△AHN和△AHE中， ∠NAH=∠EAH AH=AH ∠AHN=∠AHE' :△MHN≌△AHE(ASA) .AN=AE, :.∠ANE=∠AEN,NN'=CE, .∠ANE=∠CGE,∠B=∠BCG, ∴.∠CGE=∠AEN, ..CG=CE, :M是BC中点， 31/33 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BM=CM, 在△BWM和△CGM中， 「∠B=∠BCG BM=CM ∠NMB=∠GMC' :aBMM≌aCGM(ASA .BN=CG, .'BN =CE, .CD=BN'=NN'+BN=2CE: (3)解：如图，当点M在线段BC上时，过点C作CW'⊥AO交AB于N', N M 由(2)可得：A=AE,AN'=AC,CD=BN', .'AN-AN'=AE-AC, ∴.NW'=CE, 故CD=BN'=BN+CE: 如图，当点M在BC的延长线上时，过点C作CN'⊥AO交AB于W', 由(2)可得：AN'=AC,CD=BN, :AO平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD, 直线I⊥AO于H, .∠AHN=∠AHE=90°， 在△AHN和△AHE中， 32/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠NAH=∠EAH AH=AH ∠AHN=∠AHE' :△1N≌aAHE(ASA) :AN=AE, ∴.AN-AN'=AE-AC, ∴.NW'=CE, 故CD=BN'=BN-CE: 如图，当点M在CB的延长线上时，过点C作CN'⊥AO交AB于N', 由(2)可得：AN'=AC,CD=BN', :AO平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD, 直线1⊥A0于H, ∴.∠AHN=∠AHE=90°， 在△AHN和△AHE中， ∠NAH=∠EAH AH=AH ∠AHN=∠AHE' :△MHN≌△AHE(ASA) .AN=AE, .AN-AN'=AE-AC, .'NN'=CE, 故CD=BN'=CE-BN: 综上所述，当点M在线段BC上时，CD=BN+CE;当点M在BC的延长线上时，CD=BN-CE;当点 M在CB的延长线上时，CD=CE-BN, 33/33 专题03 角的问题（几何压轴，压轴题专练） 命题预测 以四边形（矩形、正方形）+动点+角度计算。常考角平分线、外角、等腰、绝配角，第一证角相等，第二求角度大小，第三结合动点找角度定值或线段关系。重点练作辅助线、倒角、等腰与相似，计算不多，主要考思路。 高频考法 1. 特殊角 2. 二倍角 3. 绝配角 典例·靶向·突破 题型1 特殊角 技巧：1构造含特殊角的直角三角形，并利用全等关系转化线段长度 2结合全等得到的线段关系，根据相似列式求解 以45°为例，若在题图中出现∠AOB=45°的条件，考虑作垂直构造等腰直角三角形 方法一：过点A(或点B)向另外一边作垂线 方法二：过点A(或点B)作本边的垂线，与另外一边交于一点 注：遇到30°和60°角时，辅助线作法与45°一致；遇到120°，135°，150°角时，考虑延长这些角的一边，作出其邻补角，再按照上面的方法作辅助线。 【典例1】如图，锐角中，，AD是BC边上的高，，，则______． 【典例2】如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则_____． 题型2 二倍角 技巧：特殊角的处理——构造含60°角的直角三角形 二倍角的处理——构造双等腰三角形 条件：在一个三角形中有一个内角是另一个内角的2倍。 方法一：内作双等腰，如图①，过点A作∠DAC=∠C. 结论：△ABD与△ADC是等腰三角形 方法二：外作双等腰，如图②，延长CB至点D,使得BD=BA,连接AD(或延长CB至点D,连接AD,使得AD=AC). 结论：△ABD与△ADC是等腰三角形 方法三：作二倍角的角平分线，如图③，作∠ABC的平分线BD交AC于点D. 结论：△BCD是等腰三角形。 【典例1】中，，相交于点，且，若，则的长为_____ 【典例2】如图，在△ABC中，，平分，过作，垂足为，若，，，则=______． 题型3 绝配角 技巧：情形一：非共顶点型 识别结构：∠C+2∠BDA=180°（有时也可转化为∠C=2∠BAD). 方法：作点D关于AB的对称点 D'，连接AD',BD'(或延长CB 至点D'，使得BD'=BD,连接AD'). 结论： △AD'D ,△AD'C是等腰三角形 情形二：共顶点型 识别结构：∠AOB+2∠BOC=180°。 方法一：延长CO. 结论：∠AOD=∠BOC. 方法二：延长AO. 结论：∠COD=∠BOC. 注：绝配角与二倍角的区别：在绝配角问题中，往往也存在二倍角的关系，它与“二倍角问题”的区别在于，绝配角问题中的“二倍角关系”在不同的三角形中，“二倍角问题”中的“二倍角关系”在同一个三角形中。 【典例1】如图，中，，垂足为D，，若，，则的长为_____． 【典例2】如图，中，平分，点E在边上，；点F在线段上，且，若，则的长为______． 【典例3】如图，在中，，D是边上一点且满足，，E是边上一点且满足，连接交于点F，则______． 一、填空题 1．（2025·贵州遵义·一模）如图，在四边形中，连接，．若，则的面积为________． 2．（25-26·黑龙江哈尔滨）如图，在中，点为边上一点，，连结，交于点，连结，，若，，则的长为______． 3．（25-26·黑龙江哈尔滨）如图，中，，于点，若，，则________． 4．（23-24·黑龙江哈尔滨）如图，在中，若，若，则的长为______． 5．（黑龙江哈尔滨·模考）在中，，，，则线段的长度为 _____． 6．（23-24·黑龙江哈尔滨）在中，，为的平分线，过点作的垂线交于点，垂足为，过点A作于点，若，，则的面积为________． 7．（25-26·黑龙江哈尔滨）如图，中，平分，点为上一点，连接，若，则线段_____． 8．（2023·安徽淮北·二模）如图，在中，，平分，交于点，点、分别是边、上的点点不与点、重合，且，与交于点． (1)若，，则的度数为________； (2)若，， ，则的长为________． 二、解答题 9．（25-26·浙江杭州）在中，，为的角平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若为线段上一点，，求证：； (3)如图3，若，垂足为，求证：． 10．（24-25·安徽淮北·期中）已知中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． (1)求的长； (2)如图1，如果，求的值； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求长． 11．（23-24·山东聊城）问题背景：在中，，点为线段一动点，当满足某种条件时，探讨在线段、、、四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系． (1)在图1中，当时，则可得，请你给出证明过程． (2)当时，如图2，求证：； (3)当是的角平分线时，判断、、的数量关系，并证明你的结论． 12．（25-26·山西太原）如图，在中，，的平分线交于点D，点H为上一动点，过点H作直线于H，分别交直线、、、于点N、E、M． (1)当直线l经过点C时（如图1），写出和之间的数量关系，并加以证明； (2)当M是中点时（如图2），直接写出和之间的等量关系________； (3)点H在射线上运动时，请直接写出、、之间的等量关系． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $