2.11函数的图象 课件-2027届高三数学一轮复习

第二章　函数 第11节　函数的图象 1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 2.会画简单的函数图象. 3.会运用函数图象研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式问题. 课标要求 1.利用描点法作函数的图象 步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线. 3 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 f(x)-k 4 (2)对称变换 y＝f(x)的图象 y＝____________的图象; y＝f(x)的图象 y＝____________的图象; y＝f(x)的图象 y＝____________的图象; y＝ax(a>0,且a≠1)的图象 y＝____________(a>0,且a≠1)的图象. -f(x) f(-x) -f(-x) logax 5 (3)伸缩变换 y＝f(x) y＝f(ax); y＝f(x) y＝Af(x). (4)翻折变换 y＝f(x)的图象 y＝__________的图象; y＝f(x)的图象 y＝__________的图象. |f(x)| f(|x|) 6 常用结论与微点提醒 7 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)当x∈(0,＋∞)时,函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.(　　) (2)函数y＝f(1－x)的图象,可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到.(　　) 诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编 × × (1)令f(x)＝－x,当x∈(0,＋∞)时,y＝|f(x)|＝x,y＝f(|x|)＝－x,两者图象不同,(1)错误. (2)y＝f(1－x)＝f[－(x－1)],所以可由y＝f(－x)向右平移1个单位长度得到,(2)错误. 8 (3)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.(　　) (4)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.(　　) × × (3)中两函数当a≠1时,y＝af(x)与y＝f(ax)是由y＝f(x)分别进行纵坐标与横坐标伸缩变换得到,两图象不同,(3)错误. (4)y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称,(4)错误. 9 2.函数y＝的图象大致为(　　) 法一　当0<x<1时,y<0,故B,D不正确; 当0<x<1时,y＝<0,且y＝x4－1单调递增, 所以y＝单调递减,故A不正确,故选C. C 10 法二　函数y＝的定义域为{x|x∈R,且x≠±1}.y'＝, 所以当x<－1或－1<x<0时,y'>0, 函数y＝在(－∞,－1)和(－1,0)上均单调递增; 当0<x<1或x>1时,y'<0,函数y＝在(0,1)和(1,＋∞)上均单调递减.故选C. 法三　记f(x)＝,则f(0)＝－1,排除B,D; 当x＝0.01时,f(0.01)＝<－1＝f(0),排除A,选C. 3.已知函数f(x)＝x|x|－2x,则下列结论正确的是(　　) A.f(x)是偶函数,单调递增区间是(0,＋∞) B.f(x)是偶函数,单调递减区间是(－∞,1) C.f(x)是奇函数,单调递减区间是(－1,1) D.f(x)是奇函数,单调递增区间是(－∞,0) C 将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值, 得f(x)＝ 画出函数f(x)的图象,如图所示, 观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称, 故函数f(x)为奇函数,且在(－1,1)上单调递减. 12 4.函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称,再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象,则g(x)＝____________.  e－x＋1 由题意得f(x)＝e－x, ∴g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1. 13 例1 作出下列各函数的图象: (1)y＝; 考点一　作函数的图象 原函数解析式可化为y＝2＋,故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单 位长度,再向上平移2个单位长度得到,如图1所示. 图1 (2)y＝|x2－4x－5|; y＝|x2－4x－5|的图象可由函数y＝x2－4x－5的图象保留x轴上方的部分不变,将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到,如图2所示. 图2 (3)y＝－1. y＝－1,其图象可看作由函数y＝的图象向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到. 而y＝ 图3 其图象可由y＝的图象保留x≥0时的图象, 然后将该部分关于y轴对称得到, 则y＝－1的图象如图3所示. 感悟提升 函数图象的常见作法及注意事项 (1)直接法:对于基本函数,根据函数的特征描出图象的关键点,直接作图. (2)转化法:含有绝对值符号的,去掉绝对值符号,转化为分段函数来画. (3)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平衡、伸缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作图. (4)作函数的图象一定要注意定义域. 训练1 作出下列各函数的图象: (1)y＝x2－2|x|－3; y＝x2－2|x|－3＝其图象如图1所示. 图1　 　　　 (2)y＝|log2(x＋1)|. y＝|log2(x＋1)|,其图象可由y＝log2x的图象向左平移1个单位长度, 再保留x轴上方部分不变,将x轴下方部分翻折到x轴上方得到,如图2所示. 图2　 　　　 例2 (1)(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8,2.8]的图象大致为(　　) B 由题知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(－x)＝－(－x)2＋(e－x－ex)sin(－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x), 所以函数f(x)为偶函数,函数图象关于y轴对称,排除A,C; f(1)＝－1＋sin 1>－1＋sin ＝－1＋>0,排除D. 考点二　函数图象的识别 (2)(2025·天津卷)已知函数y＝f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能为(　　) A.f(x)＝ B.f(x)＝ C.f(x)＝ D.f(x)＝ D 由题图可知函数f(x)的定义域为{x|x≠±1},且f(x)为偶函数,易得f(x)＝与f(x)＝均为奇函数,排除A,B; 由题图可知当x>1时,f(x)>0,易得当x>1时,f(x)＝<0,f(x)＝>0,排除C,故选D. 感悟提升 1.抓住函数的性质,定性分析: (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)从周期性,判断图象的循环往复;(4)从函数的奇偶性,判断图象的对称性. 2.抓住函数的特征,定量计算:寻找函数的特征点,利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 训练2 (1)函数f(x)＝在[－π,π]的图象大致为(　　) D ∵f(－x)＝＝－f(x),且x∈[－π,π], ∴f(x)为奇函数,排除A;当x＝π时,f(π)＝>0,排除B,C,只有D满足. (2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]的大致图象,则该函数是(　　) 对于B,当x＝1时,y＝0,与图象不符,故排除B;对于D,当x＝3时,y＝sin 3>0,与图象不符,故排除D;对于C,当0<x<时,0<cos x<1,故y＝<≤1,与图象不符,所以排除C,故选A. A A.y＝ B.y＝ C.y＝ D.y＝ 角度1　图象法解方程或不等式 例3 已知函数f(x)＝log2x－x＋1,则不等式f(x)<0的解集是(　　) A.(0,1) B.(0,2) C.(1,2) D.(0,1)∪(2,＋∞) D f(x)＝log2x－x＋1的定义域为(0,＋∞), f(1)＝log21－1＋1＝0,f(2)＝log22－2＋1＝0, 由f(x)<0可得log2x<x－1, 即y＝x－1的图象在y＝log2x图象的上方, 画出y＝log2x,y＝x－1的图象,如图, 由图可知,不等式f(x)<0的解集是(0,1)∪(2,＋∞). 考点三　函数图象的应用 角度2　图象法求参数范围 例4 若不等式(x－1)2<logax(a>0且a≠1)在x∈(1,2]内恒成立,则实数a的取值范围为(　　) A.(1,2] B.(1,2) C.(1,] D.(,2) B 若0<a<1,此时x∈(1,2],logax<0, 而(x－1)2>0,故(x－1)2<logax无解; 若a>1,此时x∈(1,2],logax>0, 而(x－1)2>0, 令f(x)＝logax, g(x)＝(x－1)2, 画出函数f(x)与g(x)的图象,如图, 若不等式(x－1)2<logax在x∈(1,2]内恒成立, 则loga2>1,解得a∈(1,2). 感悟提升 1.当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为图象的位置关系问题,从而利用数形结合思想求解. 2.利用图象求参数时,要准确分析函数图象的特殊点,借助函数图象,把原问题转化为数量关系较明确的问题. 训练3 (1)已知函数y＝f(x)是定义域为R的奇函数,当x∈(0,3)∪(3,＋∞)时, f(－x)>2f(x),f(3)＝0,则不等式f(x)>0的解集为_____________________.  (－∞,－3)∪(－3,0) 依题意知,f(0)＝0, 当x∈(0,3)∪(3,＋∞)时,f(－x)>2f(x), 即－f(x)>2f(x),得f(x)<0, 由f(3)＝0,得f(－3)＝－f(3)＝0, 由此画出f(x)的大致图象如图所示, 由图可知,不等式f(x)>0的解集为 (－∞,－3)∪(－3,0). (2)已知f(x)＝若存在x1<x2<x3使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝m,则m的取值范围是____________.  作出函数f(x)的图象,如图, (2,3] 因为存在x1<x2<x3, 使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝m, 所以f(－1)<m≤f(0), 即2<m≤3. 一、单选题 1. (2026·北京海淀区质检)要得到函数y＝的图象,只需将函数y＝的图象(　　) A.向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度 C.向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度 D.向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度 A y＝＝1＋,故将y＝的图象先向右平移1个单位长度, 再向上平移1个单位长度得到y＝的图象. 2.(2026·湖南长沙雅礼中学测试)函数f(x)＝的部分图象大致为(　　) A 因为f(x)＝, 所以f(－x)＝＝－＝－f(x), 所以函数f(x)为奇函数,排除选项C,D; 又当x∈时,f(x)>0,所以排除B,故选A. 3.(2026·潍坊模拟)已知a>0且a≠1,ay与x成正比例关系,其图象如图所示,且y＝logax＋1,则a＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 B 因为ay与x成正比例关系,所以可设ay＝kx,k≠0, 由题图知x＝1时,ay＝2, 故2＝k·1,则k＝2. 由ay＝2x,变形可得y＝loga(2x)＝logax＋loga2, 又y＝logax＋1,所以loga2＝1,则a＝2.故选B. 4.(2026·四川成都石室中学调考)若函数y＝f(x)的图象如图1所示,则如图2对应的函数可能是(　　) A A.y＝f(1－2x) B.y＝f C.y＝－f(1－2x) D.y＝－f 由y＝f(x)的定义域为(－1,＋∞)知,y＝f中,1－x>－1, 则x<4,不符合图2,故排除B,D; 对于C,当x＝时,y＝－f(0)>0,不满足图2,故C错误; 将函数y＝f(x)的图象关于y轴对称变换,得到y＝f(－x)的图象,向右平移1个单位长度得到y＝f(1－x)的图象,最后纵坐标不变,横坐标变为原来的一半,得到函数y＝f(1－2x)的图象可能为图2.故选A. 5.(2026·福州质检)已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的大致图象是(　　) D 法一　先画出函数f(x)＝ 的草图,令函数f(x)的图象关于y轴对称, 得函数f(－x)的图象,再把所得的函数f(－x)的图象,向右平移1个单位长度,得到函数y＝f(1－x)的图象(图略),故选D. 法二　由已知函数f(x)的解析式, 得y＝f(1－x)＝ 故该函数过点(0,3),排除A; 过点(1,1),排除B; 在(－∞,0)上单调递增,排除C. 6.(2026·海南质检)函数y＝f(x)＝的图象如图所示,则下列结论成立的是(　　) A.a>0,b>0,c>0 B.a<0,b>0,c>0 C.a<0,b>0,c<0 D.a<0,b<0,c<0 C f(x)的定义域为{x|x≠－c},结合函数图象可知－c>0, 则c<0,又f(0)>0,即>0,所以b>0. 由f(x)＝0得ax＋b＝0,即x＝－. 由图象可知x＝－>0,所以a<0.故选C. 7.已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,＋∞)上的图象如图所示,则不等式(x2－2)·f(x)>0的解集为(　　) A.(－,0)∪(,2) B.(－∞,－2)∪(2,＋∞) C.(－∞,－2)∪(－,0)∪(,2) D.(－2,－)∪(0,)∪(2,＋∞) C 根据奇函数的图象特征,作出f(x)在(－∞,0)上的图象,如图所示, 由(x2－2)f(x)>0, 得 解得x<－2或－<x<0或<x<2, 故不等式的解集为(－∞,－2)∪(－,0)∪(,2). 8.设函数f(x)的定义域为R,满足f(x)＝2f(x－2),且当x∈(0,2]时,f(x)＝x(2－x),若对任意x∈(－∞,m],都有f(x)≤3,则实数m的最大值是(　　) A. B. C. D. C 因为函数f(x)的定义域为R,满足f(x)＝2f(x－2),且当x∈(0,2]时, f(x)＝x(2－x), 所以当x∈(2,4]时,f(x)＝2(x－2)[2－(x－2)]＝2(x－2)(4－x), 当x∈(4,6]时,f(x)＝4[(x－2)－2][4－(x－2)]＝4(x－4)(6－x), 函数部分图象如图所示, 由4(x－4)(6－x)＝3, 得4x2－40x＋99＝0, 解得x＝或x＝, 因为对任意x∈(－∞,m],都有f(x)≤3, 所以由图可知m≤. 二、多选题 9.(2026·浙江名校协作体调考)为得到函数y＝ln(ex)的图象,可将函数y＝ln x的图象(　　) A.向上平移一个单位长度 B.向下平移一个单位长度 C.纵坐标不变,横坐标伸长为原来的e倍 D.纵坐标不变,横坐标缩短为原来的倍 AD 由题意可得,函数y＝ln x的图象纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,可得到函数y＝ln(ex)的图象,故C错误,D正确. ∵y＝ln(ex)＝ln x＋1,∴将函数y＝ln x的图象向上平移一个单位长度可得到函数y＝ln(ex)的图象,故A正确,B错误. 10.对任意两个实数a,b,定义min{a,b}＝若f(x)＝2－x2,g(x)＝x2,下列关于函数F(x)＝min{f(x),g(x)}的说法正确的是(　　 ) A.函数F(x)是偶函数 B.方程F(x)＝0有三个解 C.函数F(x)在区间[－1,1]上单调递增 D.函数F(x)有4个单调区间 根据函数f(x)＝2－x2与g(x)＝x2, 画出函数F(x)＝min{f(x),g(x)}的图象,如图. 由图象可知,函数F(x)＝min{f(x),g(x)}的图象关于y轴对称, 所以A正确;函数F(x)的图象与x轴有三个交点, 所以方程F(x)＝0有三个解,所以B正确; 函数F(x)在(－∞,－1]上单调递增,在[－1,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增,在[1,＋∞)上单调递减,所以C错误,D正确. ABD 11.(2026·合肥调研)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则(　　) A.x1x2>4 B.0<a≤2 C.x3＋x4>2 D.1<x4<e2 BC 如图,作出函数f(x)的图象, 由题意,直线y＝a与f(x)的图象有4个交点, 由图象可知0<a≤2,故B正确; 且x1＋x2＝－4,－2<x2≤0,－ln x3＝ln x4, 所以ln(x3x4)＝0,即x3x4＝1, 则x3＋x4>2＝2,故C正确; x1x2＝(－4－x2)x2＝－－4x2＝－(x2＋2)2＋4∈[0,4),故A错误; 当f(x4)＝f(0)＝2时,ln x4＝2,x4＝e2, 又0<x3<1<x4,所以1<x4≤e2,故D错误. 三、填空题 12.设函数f(x)＝|x＋a|,g(x)＝x－1,对于任意的x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围是____________.  [－1,＋∞) 如图,作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象,观察图象可知,当且仅当－a≤1,即a≥－1时,不等式f(x)≥g(x)恒成立, 因此a的取值范围是[－1,＋∞). 13.(2026·北京海淀区调研)已知函数f(x)＝则不等式 f(2x－1)<2的解集是____________.  作出函数f(x)的图象如图所示, 由图可知,函数f(x)在R上单调递增, 因为f(4)＝log24＝2,所以f(2x－1)<2等价于f(2x－1)<f(4), 即2x－1<4,解得x<, 所以不等式f(2x－1)<2的解集是. 14.(2022·浙江卷)已知函数f(x)＝则f＝____________; 若当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b－a的最大值是____________.  由题意知f＝－＋2＝, 则f＝f－1＝－1＝. 作出函数f(x)的图象,如图所示, 结合图象,令－x2＋2＝1,解得x＝±1; 令x＋－1＝3,解得x＝2±, 又x>1,所以x＝2＋, 所以(b－a)max＝2＋－(－1)＝3＋. 1.图象的左右平移仅仅是相对于x而言,如果x的系数不是1,常需把系数提出来,再进行变换. 2.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的,利用“上加下减”进行. $