第10讲 二次函数与角综合问题（学霸秘籍，压轴题专项训练）2026年中考数学（江苏专用）

可学科网 www zxxk com 让教与学更高效 第十讲二次函数与角综合问题『压轴题大揭秘』 〔技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【原卷版】 讲义说明资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定，不点寸匹和心《π，贴合江苏各地中考命题规律，精 选近两年省内各市中考真题、名校模拟题，按考点分类精讲精练，帮助学生掌握解题方法、强 化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一技巧点拨，方法揭秘一梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点： 模块二核心精讲，典例剖析一针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤： 模块三考题预测，满分训练一立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 技巧点拨方法揭秘 二次函数与角综合问题，常见的主要有三种类型： 1.特殊角问题： (1)利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系 (2)遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60 。构造等边三角形，遇到90°构造直角三角形 2.角的数量关系问题 (1)等角问题：借助特殊图形的性质、全等和相似的性质来解决；构造圆，利用圆周角的性 质来解决 (2)二倍角问题：利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答 (3)角的和差问题 3.角的最值问题：利用辅助圆等知识来解答 模块二 核心精讲典例赔剖析 1/22 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 【典例精讲一】(2025·江苏无锡·三模)已知二次函数y=ax2+bx+4的图像与x轴交于A,B两点(A 在B的左侧)，与y轴交于点C,对称轴经过点E(1,0)且与BC交于点F,CF:BF=1:3 0 (1)求二次函数的表达式： (2)点D是抛物线的顶点，点P在抛物线上，并且位于对称轴的右侧， ①当∠PAB+∠CBA=∠DCB时，求点P的坐标； ②连接AC,点Q是直线BC上一点，当Rt△PEQ∽Rt△COA时，求点P的坐标. 【典例精讲二】(2024·江苏连云港·中考真题)在平面直角坐标系xOy中，己知抛物线y=ax2+bx-1 (a、b为常数，a>0). 2/22 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M (1)若抛物线与x轴交于A-1,0、B(4,0)两点，求抛物线对应的函数表达式： 2)如图，当b=1时，过点C(-1,a、D(1,a+2V2分别作y轴的平行线，交抛物线于点M、N,连接 MN、MD.求证：MD平分∠CMN; (3)当a=1,b≤-2时，过直线y=x-1(1≤x≤3)上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H.若GH的 最大值为4，求b的值. 模块三 考题预测满分训练 3/22 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 1.(2025·江苏徐州·三模)如图，已知抛物线y=ax2+bx-4(a≠0与x轴交于点A和点B(2,0),与y 轴交于点C,且A0=2B0. B (1)求此抛物线的解析式； (2)若点Q是抛物线上的一动点，连接CQ交AB于点P,过点P作PEAC,交BC于点E, ①求△PCE面积的最大值及此时点P的坐标； ②是否存在Q,使∠PEC=∠APC?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 2.(2025·江苏扬州·二模)已知，二次函数y=-x2+bx十c. 4/22 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 A (1)如图，该二次函数图象交x轴于点A(-4,0)、B,交y轴于点C(0,4),点P是函数图象上一动点. ①求该二次函数表达式； ②当∠PBA=45时，求点P的坐标； (2)定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”.在-3≤x≤1的范围内，若该二 次函数的对称轴为直线x=-方，且图象上有且只有1个“三倍点”，直接写出c的取值范围. 3.(2024·江苏无锡·一模)在平面直角坐标系中，二次函数y=mx2+mx-6m的图象与x轴交于A、B 5/22 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (A在B左侧)，与y轴交于C,一次函数y=2x十n的图象经过A、C两点 (1)分别求出m、n的值； (2)在二次函数图象上是否存在点P,且P满足∠POC+∠BC0=45°？若存在，请求出点P的坐标；若不 存在，请说明理由. 4.如图，已知顶点为C(0,-6)的抛物线y=x2+b(a≠0)与x轴交于A,B两点，且0C=0B. 6/22 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 VA B (1)求点B的坐标： (2)求二次函数y=ax2+b(a≠0)的解析式； (3)作直线CB,问抛物线y=x2+b(a≠0)上是否存在点M,使得∠MCB=15°，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由 5.如图①，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A(-4,0)和点B(1,0),与y轴交于点C,点P是直线 7/22 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 下方抛物线上的点，PD⊥AC于点D,PF⊥x轴于点F,交线段AC于点E, OB D B 图① 图② (1)求抛物线的解析式： (2)当△PDE的周长最大时，求P点的坐标； (3)如图(2)，点M是在直线上方的抛物线上一动点，当∠MAO=∠OAC时，求点M的坐标.。 6.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2-3x十C的图象与x轴交于点A,B两点，点A坐标为 8/22 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (3,0),点B坐标为(-10)，与y轴交于点C. 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的函数解析式； (2)若将直线AC绕点A顺时针旋转，交抛物线于一点P,交y轴于点D,使∠BAP=∠BAC,求直线AP函 数解析式： (3)在(2)条件下若将线段AC平移（点A,C的对应点M,N),若点M落在抛物线上且点N落在直线AP上， 求点M的坐标. 7.如图，二次函数y=x2-(m+1x+m(m>1)的图像与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,顶点 9/22 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 为D. B D (1)求A,B,C的坐标（用m的代数式或数字表示） (2)若∠OCA=∠0DA,求m的值. (3)若△ABC面积为3，点P为二次函数y=x2-(m+1x十m的图像上一点，满足∠BCA=∠BPA,则 点P的坐标为 8.如图，平面直角坐标系中，二次函数y=·品2.x十2图象交x轴于点小、B,交y轴于点G,图象的 对称轴交x轴于D点.点P是线段OD上一动点，从O向D运动，H是射线BC上一点. 10/22 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 M 图① 图② (1)直接写出A、B两点的坐标：A(_),B(_): (2)求直线BC的函数表达式： (3)如图①，在P点运动过程中，若△OPC中有一个内角等于∠HCA,求OP的长； (④)如图②，点M(-3,)在二次函数图像上，在P点开始运动的同时，点Q在抛物线对称轴上从D点向上 运动，Q点运动速度是P点运动速度的2倍，连接QM,则QM+CP的最小值为_· 9.综合与探究 如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(-1,0),点B(3,0),与y轴交于点C,对称轴与 11/22 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 x轴交于点D,点P是直线BC上方抛物线上一点. 备用图 (1)求抛物线的解析式； (2)在直线BC上方的抛物线上找一点P,作PG⊥BC,当PG为最大值时，求线段PD的长； (3)连接CD、CB,当∠PCB=∠DCB时，求点P的坐标. (④)若点M为直线BC上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点的四 边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由， 10.(25-26九年级上·安微滁州·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交 于A(-1,0),B两点，与y轴交于点C(0,-3),对称轴为直线x=1· 12/22 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 A :x=1 y:x=1 B A B 备用图1 备用图2 (1)求抛物线的函数表达式. (2)P为抛物线上的一点（不与点A重合），设点P的横坐标为m,连接BC ①若点P在第一象限，且∠OCP=2∠BCP,求点P的坐标. ②若点P在BC的下方，求点P到BC的最大距离，并写出点P的坐标. 11.(2025·山东·二模)二次函数y=ax2+bx的图象过点A(-4,4),B(,子)，连接AB,点C是抛物 线上一个动点. 13/22 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 G B B E 图1 图2 备用图 (1)求二次函数的表达式； (②)如图1，若点C在y轴左侧的抛物线上运动，平移线段AB,使其一个端点与点C重合，另一个端点恰好 落在x轴上，求点C的坐标； (3)如图2，若点C在y轴右侧的抛物线上运动，作直线AC,交x轴于点E,将直线AC绕点A逆时针旋转 45°得直线AG,交y轴于点F,连接EF,若EF=F0,求点C的坐标. 12.(2025·江苏无锡·二模)已知平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax-3(a≠0)与x轴交于点A、 B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,且AB=4. 14/22 命学科网 www zxxk .com 让教与学更高效 (1)求抛物线的解析式： (2)点P是线段BC上一点，若∠PAC=45°，求点P的坐标： (3)在(2)的条件下，将该抛物线向左平移，点D平移至点E处，过点E作EF⊥AP,垂足为点F,若 tanPEF=寺，求平移后抛物线的表达式. 13.(2025·江苏常州·三模)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-2,0)、B(6,0)两点，与y 轴交于点C.直线1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E,点D的坐标为(4,3)· 15/22 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 C D D B B (备用图) (1)求抛物线与直线1的函数表达式： (2)若点P是抛物线上的点且在直线1上方，连接PA、PD,求当△PAD面积最大值时点P的坐标及该面 积的最大值： (3)若点Q是y轴上的点，且∠ADQ=45°，求点Q的坐标. 14.(2025·江苏常州·三模)如图，平面直角坐标系x0y中，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相 交于点A(-1,0)、点B(6,0),与y轴相交于点C. 16/22 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 DB文 (1)填空：a= ,b= (2)当t≤x≤t+1时，函数y=ax2+bx+3的最大值是5，直接写出t的值是 (3)点C关于抛物线对称轴对称的点为E,过E作EF⊥x轴于F,点P为抛物线上一点，且点P在抛物线对 称轴左侧，过P作PM⊥x轴于M,交直线AE于点N.若∠ANM-∠FEB=∠PEA,求点P的坐标. 15.(23-24九年级上·重庆九龙坡·期末)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x 轴交于A-1,0),B(3,0)两点，y轴交于点C. 17/22 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 图1 图2 (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线PE交直线BC于点E,过点P作 x轴的平行线PF交直线BC于点F,求△PEF面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接AC,BC,抛物线上是否存在点Q,使∠CBQ+∠AC0=45°？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 16.(2025·江苏徐州·模拟预测)在平面直角坐标系中x0y中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴 交于点A、B（A在B的左侧)，与y轴交于点C(0,~3),其顶点的横坐标是-1· 18/22 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 B (1)b= ,C= (2)已知一次函数y=kx-3(k为常数)的图象为直线，直线1与x轴交于点D. ①连接BC,若S△BcD<6,求k的取值范围： ②当直线！与该抛物线有且只有一个公共点时，在该抛物线上是否存在点P,使得直线PC与CD所夹的锐角 是∠DCO的2倍？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由. 17.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y 轴交于点C,顶点为D,连接AC,BC,BD 19/22 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 YA D B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)求证：∠AC0=∠CBD; (3)如图2，点E(1,0)在x轴上，点P是线段BC上的动点（不与点B,C重合），连接PE,作 ∠EPQ=45°，PQ交y轴于点Q,设点Q的纵坐标为n,求n的取值范围. 18.抛物线L1:y=x2-2的与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边)，顶点为C 20/22 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 L D A B (备用图) (1)顶点C坐标为 (2)如图，若点D的坐标是(0,4)，连接AD ①把线段AD沿一定的方向平移，平移后，点A的对应点为E,点D的对应点为F,若点E,点F均在抛物线 L上，求点E的坐标： ②将抛物线L沿射线AD方向平移得到抛物线L2,且抛物线L2经过点D.请问在抛物线L2上是否存在点G, 使得∠GAD=45°-∠ADO,若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由. 19.(2025·山东济南·一模)抛物线y=ax2-2x+c与x轴分别交于A(-1,0),B两点（点A在点B的左 21/22 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 侧)，与y轴交于点C(0,-3),D是抛物线的顶点 B D 图1 图2 (1)求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标. (2)如图1，线段BC下方抛物线上是否存在一点E,使S△BcE=S四边形ACEB,若存在，请求出点E的坐标； 若不存在，请说明理由 (3)如图2，P是抛物线第二象限上的点，连接PB,BD.当∠PBA=2∠CBD时，求点P的坐标. 22/22 第十讲 二次函数与角综合问题『压轴题大揭秘』 〔技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【解析版】在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 讲义说明 资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定制，聚焦数学压轴题专项提升，贴合江苏各地中考命题规律，精选近两年省内各市中考真题、名校模拟题，按考点分类精讲精练，帮助学生掌握解题方法、强化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一 技巧点拨，方法揭秘—梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块二 核心精讲，典例剖析—针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤； 模块三 考题预测，满分训练—立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 技巧点拨 方法揭秘 二次函数与角综合问题，常见的主要有三种类型： 1. 特殊角问题： （1） 利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系 （2） 遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60°构造等边三角形，遇到90°构造直角三角形 2.角的数量关系问题 （1）等角问题：借助特殊图形的性质、全等和相似的性质来解决；构造圆，利用圆周角的性质来解决 （2）二倍角问题：利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答 （3）角的和差问题 3.角的最值问题：利用辅助圆等知识来解答 模块二 核心精讲 典例剖析 【典例精讲一】（2025·江苏无锡·三模）已知二次函数的图像与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴经过点且与交于点F，． (1)求二次函数的表达式； (2)点D是抛物线的顶点，点P在抛物线上，并且位于对称轴的右侧， ①当时，求点P的坐标； ②连接，点Q是直线上一点，当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①或；② 【思路点拨】（1）根据题意可得对称轴为直线，，则由对称轴计算公式可得，由平行线分线段成比例定理可得，则可求出，则，，据此利用待定系数法求解即可； （2）①先求出；过点C作于R，则，导角可证明，可求出；取，作直线，连接，可证明，得到，则直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置，求出直线解析式为，联立，解得或，则此时点P的坐标为；同理可证明，则直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置，同理求出点P坐标即可； ②求出，由相似三角形的性质得到，；过点P和点Q分别作直线的垂线．垂足分别为W、V，可证明，得到，设，则，求出直线解析式，把点Q坐标代入直线解析式中求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，∵对称轴经过点， ∴对称轴为直线，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；①在中，当时，，当时，， 当时，解得或， ∴； 如图所示，过点C作于R，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 如图所示，取，作直线，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 同理可证明，则直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； ②∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； 如图所示，过点P和点Q分别作直线的垂线．垂足分别为W、V， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴ 同理可得直线解析式为， ∵点Q在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，平行线分线段成比例定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【典例精讲二】（2024·江苏连云港·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）．    (1)若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； (2)如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分； (3)当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路点拨】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，根据题意，求得，，进而求出，，利用勾股定理求出，求出，从而得到，结合平行线的性质即可证明结论； （3）设，则，，求出当时，，得到点在的上方，设，故，其对称轴为，分为和两种情况讨论即可． 【规范解答】（1）解：分别将，代入， 得， 解得． 函数表达式为； （2）解：连接，   ， ． 当时，，即点，当时，，即点． ，， ，，， 在中，． ， ， ． ， ． ． 平分． （3）解：设，则，． 当时，． 令， 解得，． ， ， 点在的上方（如图1）．      设， 故， 其对称轴为，且． ①当时，即． 由图2可知：    当时，取得最大值． 解得或（舍去）． ②当时，得， 由图3可知：    当时，取得最大值． 解得（舍去）． 综上所述，的值为． 【考点剖析】本题考查抛物线与角度的综合问题，抛物线与x轴的交点，二次函数的解析式及最值等问题，关键是利用二次函数的性质求最值． 模块三 考题预测 满分训练 1．（2025·江苏徐州·三模）如图，已知抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，且． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点Q是抛物线上的一动点，连接交于点P，过点P作，交于点E， ①求面积的最大值及此时点P的坐标； ②是否存在Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①面积的最大值为3，此时；②存在， 【思路点拨】本题是一道函数综合题，主要考查了二次函数图象的性质，二元一次方程组的解法，相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数相关知识是解题的关键． （1）根据A，B，C三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）①本题要通过求的面积与P点横坐标的函数关系式而后根据函数的性质来求的面积的最大值以及对应的P的坐标．的面积无法直接表示出，可用和的面积差来求，设出P点的坐标，即可表示出的长，可通过相似三角形和求出，然后根据二次函数最值即可求出所求的值； ②根据题意易得，然后根据相似比例求出的值，进而求出P的坐标和解析式，再与二次函数解析式联立求出Q的坐标． 【规范解答】（1）解：， ， 将代入， 解这个方程组，得， ∴此抛物线的解析式：； （2）①设，则 ， ， ， ， ∴当时，面积的最大值为3，此时； ②存在，．理由如下： ， ， ， ， ， 解析式为， 联立 解得（不合题意，舍去），， ． 2．（2025·江苏扬州·二模）已知，二次函数． (1)如图，该二次函数图象交轴于点、，交轴于点，点是函数图象上一动点． ①求该二次函数表达式； ②当时，求点的坐标； (2)定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”．在的范围内，若该二次函数的对称轴为直线，且图象上有且只有1个“三倍点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2)或 【思路点拨】此题考查了一次函数和二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）①由待定系数法即可求出答案；②当时，则直线的表达式为，联立解一元二次方程即可得到答案； （2）由定义可知，求得，当与只有一个交点时，有两个相等的实数根，则，解得，当时，，则当函数过时满足题意，当时，，当函数过时满足题意，据此即可得到答案． 【规范解答】（1）解：①由题意可得， ， 解得， ∴该二次函数表达式为； ②当时，， 解得， ∴， 当时，则直线的表达式为， 和抛物线解析式联立得到，或， 解得（舍去）或或， 即点的坐标为或； （2）由定义可知， 由题意可得， ，解得， ∴抛物线解析式为 当与只有一个交点时， 有两个相等的实数根， ∴， 解得， 当时， 当函数过时满足题意， ∴，解得， 当时， 当函数过时满足题意， 则，解得， ∴或 3．（2024·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、（在左侧），与轴交于，一次函数的图象经过、两点． (1)分别求出、的值； (2)在二次函数图象上是否存在点，且满足？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的坐标为或 【思路点拨】（1）由待定系数法即可求解； （2）当点在轴右侧时，利用解直角三角形的方法求出，得到，进而求解；当点在轴左侧时，同理求解即可． 【规范解答】（1）解：令，则或， 即点、的坐标分别为：、， 将点的坐标代入一次函数表达式得：，则， 则一次函数表达式为：， 将点的坐标代入一次函数表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； 即，； （2）解：存在，理由： 当点在轴右侧时， 设交于点，过点作于点， 则， 而，则， 设，则， 在中，， 则， 设直线解析式为， 由点、的坐标得，解得， 则直线的表达式为：， 设点， 则， 解得：或（不合题意，舍去）， 则点， 由点的坐标得，同理可求直线的表达式为：， 联立直线和抛物线的表达式得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 则点的坐标为：． 当点在轴左侧时，同理可求直线的表达式为：， 联立直线和抛物线的表达式得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 则点的坐标为：， 则点的坐标为：或． 【考点剖析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、平行四边形的性质、解直角三角形等，有一定的综合性． 4．如图，已知顶点为的抛物线与x轴交于A，B两点，且．    (1)求点B的坐标； (2)求二次函数的解析式； (3)作直线，问抛物线上是否存在点M，使得，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)M的坐标为或 【思路点拨】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形． （1）根据，直接写出点的坐标即可； （2）待定系数法求解析式即可； （3）分点在点的上方和下方两种情况，讨论求解即可． 正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）∵抛物线过，， ∴，解得：， ∴； （3）存在， ∵， ∴， 如图，分以下两种情况：    ①当点在点上方时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将，代入，得：， ∴， 联立，解得：或， ∴， ②当点在点下方时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将，代入，得：， ∴， 联立，解得：或， ∴． 综上：或． 5．如图①，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的点，于点D，轴于点F，交线段于点E， (1)求抛物线的解析式； (2)当的周长最大时，求P点的坐标； (3)如图（2），点M是在直线上方的抛物线上一动点，当时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，由，得到，则，证明，得到，则，即可推出当最大时，的周长最大；求出直线解析式为，设，则，则，则当时，有最大值，即此时的周长最大，此时； （3）如图所示，设直线交y轴于D，证明，得到，则，同理可得直线解析式为，联立，解得或，则． 【规范解答】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， ∴当最大时，的周长最大， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，即此时的周长最大，此时； （3）解：如图所示，设直线交y轴于D， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，数量掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的图象与x轴交于点A，B两点，点A坐标为，点B坐标为，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若将直线绕点A顺时针旋转，交抛物线于一点P，交y轴于点D，使，求直线函数解析式； (3)在（2）条件下若将线段平移（点A，C的对应点M，N），若点M落在抛物线上且点N落在直线上，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【思路点拨】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）过点P作轴于点E，设点，则，，根据，可得，求出点P的坐标，即可求解； （3）设点，点，根据平移的性质可得四边形或是平行四边形，再根据平行四边形的性质，即可求解． 【规范解答】（1）解：把点，代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点P作轴于点E， 设点，则，， 当时，， ∴点， ∵点A坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或3（舍去）， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：设点，点， 根据平移的性质得：四边形或是平行四边形， 当四边形是平行四边形时， ，解得：或， ∴此时点M的坐标为或； 当四边形是平行四边形时， ，解得：或（舍去）， ∴此时点M的坐标为； 综上所述点M的坐标为或或． 【考点剖析】本题主要考查了二次函数的综合题，解直角三角形，平行四边形的性质，图形的平移，熟练掌握相关知识点，利用数形结合思想解答是解题的关键． 7．如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D． (1)求A，B，C的坐标（用m的代数式或数字表示） (2)若，求m的值． (3)若面积为3，点P为二次函数的图像上一点，满足，则点P的坐标为____________． 【答案】(1)，， (2) (3) 【思路点拨】（1）分别令和求解即可； （2）如图，过点A作于点E，过点D作轴于点F，根据题意表示出，，，，然后由得到，然后代入求解即可； （3）首先表示出，，然后根据面积为3求出，然后得到，，作点C关于抛物线对称轴对称的点P，证明出，得到，然后由轴对称的性质求解． 【规范解答】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， ∴当时，，整理可得， 解得或， ∴，， 当时，， ∴； （2）解：如图，过点A作于点E，过点D作轴于点F， ∵，， ∴，， ∵， ∴顶点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得，， ∵， ∴或， 解得（舍去）或； （3）解：∵，，， ∴，， ∵面积为3， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴，， 如图，作点C关于抛物线对称轴对称的点P， 由轴对称可得，，， 又∵， ∴， ∴， ∴点P即为所求， ∵，对称轴为直线， ∴． 8．如图，平面直角坐标系中，二次函数图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，图象的对称轴交x轴于D点．点P是线段上一动点，从O向D运动，H是射线上一点． (1)直接写出A、B两点的坐标：A（ ），B（ ）； (2)求直线的函数表达式； (3)如图①，在P点运动过程中，若中有一个内角等于，求的长； (4)如图②，点在二次函数图像上，在P点开始运动的同时，点Q在抛物线对称轴上从D点向上运动，Q点运动速度是P点运动速度的2倍，连接，则的最小值为 ． 【答案】(1)； (2) (3)长为或3 (4) 【思路点拨】（1）求出函数值为0时x的值即可得到答案； （2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）可证明，，则可证明；当时，证明，得到，求出的长即可得到答案；当时，取点，连接，则，证明，得到，求出的长即可得到答案； （4），连接，可求出对称轴为直线，则；可证明，则可，得到；作点M关于对称轴的对称点T，连接，则，可证明，则当T、Q、O三点共线时，有最小值，最小值为的值，据此求出的长即可得到答案． 【规范解答】（1）解：在中，当时，则， 解得或， ∴； （2）解：在中，当时，， ∴， 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为； （3）解：与，， ∴， ∴，， 在中，， ∴； ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即 ∴， ∴； 当时，如图所示，取点，连接，则， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或3； （4）解：如图所示，连接， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴； ∵Q点运动速度是P点运动速度的2倍， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，作点M关于对称轴的对称点T，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当T、Q、O三点共线时，有最小值，最小值为的值， ∵， ∴的最小值为． 9．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上找一点P，作，当为最大值时，求线段的长； (3)连接，当时，求点P的坐标． (4)若点M为直线上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为 (4)存在，点M的坐标为或或或． 【思路点拨】（1）将点，代入，即可求解； （2）过点作轴交于点，连接，先求出直线 的解析式为，设，则，则，可得，当时，有最大值，即可求解； （3）作点关于直线的对称点，交于点，连接，过点作轴的垂线交轴于点，则在直线上，分别求出，，则，可知点与点重合，，用待定系数法求出直线的解析式为，联立方程组，即可求； （4）设，，，，分三种情况讨论：①当为菱形对角线时，；②当为菱形对角线时，；③当为菱形对角线时，． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点， ∴， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1，过点作轴交于点，连接， 令，则， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，则， ， ，， ， ， ， ， 点是直线上方抛物线上， ， 当时，有最大值，此时； ∵二次函数对称轴与x轴交于点D，且二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴当为最大值时，线段的长． （3）解：， 抛物线的对称轴为直线， ， 作点关于直线的对称点，交于点，连接，过点作轴的垂线交轴于点， ， ， ， 在直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， 点与点重合， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得或（舍， ； （4）解：存在点和点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设，，，， ①当为菱形对角线时，， ， 解得， ，； ②当为菱形对角线时，， ， 解得， ，或，； ③当为菱形对角线时，， ， 解得或（舍， ； 综上所述：点的坐标为或或或． 10．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)为抛物线上的一点（不与点重合），设点的横坐标为，连接． ①若点在第一象限，且，求点的坐标． ②若点在的下方，求点到的最大距离，并写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)①点的坐标为；②最大值为，此时点的坐标为． 【思路点拨】（1）根据抛物线与轴交点可直接确定的值，再结合点和对称轴，通过待定系数法列方程组求解、，从而得到抛物线的函数表达式． （2）①先由抛物线表达式求出点的坐标，结合得到，再根据推出，进而求出直线的表达式，最后联立抛物线与直线的方程，求解并舍去不合理解，得到点的坐标． ②先求出直线的表达式，设点的横坐标为，表示出、的坐标，用表示出的长度，再利用三角形面积公式和点到直线的距离公式，将点到的距离转化为关于的二次函数，通过求二次函数的最值，得到最大距离及对应点的坐标． 【规范解答】（1）解：抛物线与轴交于点， ． 抛物线与轴交于两点，对称轴为直线， 解得 抛物线的函数表达式为. （2）解：①如图1，设与轴交于点． 抛物线与轴交于两点，对称轴为直线， 点 . 点在第一象限，且， ， 点. 设直线的函数表达式为， 则 解得 直线的函数表达式为. 联立抛物线与直线，得， 解得（舍去），. 将代入，得， 点的坐标为. ②如图2，过点作轴，交于点，连接． 点的横坐标为点． 点， 直线的函数表达式为，且， 点， ，1 ． 设点到的距离为， 则. 当时，有最大值，最大值为，此时点的坐标为. 【考点剖析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质、角的倍分关系、一次函数解析式的求解、二次函数的最值问题以及点到直线的距离计算，熟练掌握待定系数法求函数解析式和利用二次函数求最值是解题的关键． 11．（2025·山东·二模）二次函数的图象过点，，连接，点是抛物线上一个动点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点在轴左侧的抛物线上运动，平移线段，使其一个端点与点重合，另一个端点恰好落在轴上，求点的坐标； (3)如图2，若点在轴右侧的抛物线上运动，作直线，交轴于点，将直线绕点逆时针旋转得直线，交轴于点，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【思路点拨】（1）利用待定系数法解答即可； （2）分两种情况：若点B恰好落在轴上；若点C恰好落在轴上，利用平移的性质解答即可； （3）分三种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵二次函数的图象过点，， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：若点B恰好落在轴上， ∵， ∴线段向下平移个单位， ∵， ∴点C的纵坐标为， 当时，， 解得：（不符合题意）， 此时点C的坐标为； 若点C恰好落在轴上， ∵， ∴线段向下平移4个单位， ∵， ∴点C的纵坐标为， 当时，， 解得：， 此时点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或； （3）解：∵， ∴可设，则， ∴点F的坐标为或 设直线的解析式为， ∴，或 解得：或 ∴直线的解析式为或， ∴， 由旋转的性质得：， 如图，过点E作，交直线于点P，过点A，P作分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，则，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， 把代入得： ， 解得：或， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：或（舍去）， ∴此时点C的坐标为； 如图，过点E作，交直线于点P，作轴，过点A，P作分别作x轴的平行线，交于点M，N，则，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P到y轴的距离为， ∴点P的坐标为， 把代入得： ， 解得：或（舍去）， ∴点E的坐标为， 同理直线的解析式为， 联立得：，解得：或（舍去）， ∴此时点C的坐标为； 如图，过点E作，交直线于点P，作轴，过点A，P作分别作x轴的平行线，交于点M，N，则，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P到y轴的距离为， ∴点P的坐标为， 把代入得： ， 解得：或（舍去）， ∴点E的坐标为， 同理直线的解析式为， 联立得：，解得：或（舍去）， ∴此时点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或． 【考点剖析】本题考查了二次函数综合题，解题时综合运用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用，难度较大． 12．（2025·江苏无锡·二模）已知平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上一点，若，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移，点D平移至点E处，过点E作，垂足为点F，若 ，求平移后抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】（1）先求出抛物线的对称轴为直线，结合得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）过点作于点，过点作轴的垂线交轴于点，交过点和轴的平行线于点，则为等腰直角三角形，得出，设点的坐标为，证明，得出，，即且，求出，，即可得出，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，求解即可； （3）求出，设抛物线向左平移了个单位，则点，新抛物线的解析式为，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点，由（2）可得，，求出直线的解析式为，设点的坐标为，证明，得出，解直角三角形可得，从而可得， 求出，，，，代入式子计算得出，即可得解． 【规范解答】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线 与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），且， ∴，， 将代入抛物线解析式可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作于点，过点作轴的垂线交轴于点，交过点和轴的平行线于点， ， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设点的坐标为， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 即且， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴； （3）解：∵，抛物线的顶点为D， ∴， 设抛物线向左平移了个单位，则点，新抛物线的解析式为， 如图，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点， ， 由（2）可得，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴新抛物线的解析式为． 【考点剖析】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数的解析式、解直角三角形的应用、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 13．（2025·江苏常州·三模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)求抛物线与直线l的函数表达式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接、，求当面积最大值时点P的坐标及该面积的最大值； (3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为；直线l的函数表达式为 (2)的面积最大值为， (3)或 【思路点拨】（1）利用待定系数法求抛物线和直线的解析式即可； （2），过点作轴交于，设，则，表示出，从而可得，再由二次函数的性质即可得解； （3），将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于，则为等腰直角三角形，证明，得出，，求得，待定系数法求出直线的解析式为，当时，，即；作点关于直线的对称点，连接交轴于，由轴对称的性质可得，，证明出点为的中点，即可得出，同理可得，直线的解析式为，当时，，即，由此即可得解． 【规范解答】（1）解：将、、代入二次函数的解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 设直线l的函数表达式为， 将、代入解析式可得， 解得：， ∴直线l的函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴交于， ∵点P是抛物线上的点且在直线l上方， ∴设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，为，此时； （3）解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于， 则为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵轴于，轴于，、， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即； 作点关于直线的对称点，连接交轴于， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵，即， ∴，即点为的中点， ∴， 同理可得，直线的解析式为， 当时，，即， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【考点剖析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式，二次函数综合—面积问题，等腰直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 14．（2025·江苏常州·三模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C． (1)填空： ___________， ___________； (2)当时，函数的最大值是5，直接写出t的值是___________； (3)点C关于抛物线对称轴对称的点为E，过E作轴于F，点P为抛物线上一点，且点P在抛物线对称轴左侧，过P作轴于M，交直线于点N．若，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【思路点拨】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）求出时的自变量的值，根据二次函数的对称轴分两种情况进行解答即可； （3）分两种情况画出图形，进行解答即可． 【规范解答】（1）解：∵二次函数的图象与x轴相交于点、点， ∴， 解得 故答案为：，； （2）由（1）可知，二次函数解析式为， 把代入得到，， 解得， ∵ ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小， ∵当时，函数的最大值是5， ∴当时，时取得最大值，即，解得， 当时，时取得最大值，即， ∴或， 故答案为：或； （3）当时，， 即点C的坐标为， ∵点C关于抛物线对称轴对称的点为E，对称轴为直线， ∴点E的坐标为， 如图，设交轴于点，交于点， ∵轴， ∴， 根据轴对称性可得，， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则 解得 ∴直线的解析式为， ∵点E的坐标为，， ∴设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 由， 解得，或 ∴， 设直线交轴于点，点关于直线对称的点为，连接交于点，连接交抛物线于点，此时也满足条件， ∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为，则 解得 ∴直线的解析式为， 设，则，把代入得到① 由轴对称可得，，则， 即② 由①②得到，或（不合题意，舍去） ∴ 设直线的解析式为，则 解得 ∴直线的解析式为， 由由， 解得，或 ∴ 综上可知，点P的坐标为或． 【考点剖析】此题考查了二次函数的综合题，考查了二次函数和一次函数的图象和性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，难度较大，准确画图是关键． 15．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点E，过点P作x轴的平行线交直线于点F，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点P的坐标为 (3)存在，Q的坐标为或 【思路点拨】（1）利用待定系数法即可求解； （2）可得，求出直线的解析式为，又可得，进而得为等腰直角三角形，得到，设，则，可得，得到当时，即取最大值，此时的面积最大，据此即可求解； （3）分点在上方和点在下方两种情况，画出图形解答即可求解； 【规范解答】（1）解：把代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由可得，， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ， ， ， ∵轴，轴， ， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，即取最大值，此时的面积最大， 则； （3）解：存在． 当点在上方时，作点关于轴的对称点，过点作交抛物线于点， ∵与关于轴对称， ， 又 ∵， ， ， ， ， 同理可得直线解析式为， 设直线解析式为，将代入得，， ， ， 由， 解得或， ； 当点在下方时，作点，直线与抛物线交于点， ， 同理可得直线解析式为， ， ， ， ， 联立， 解得或， ， 综上，点的坐标为或． 【考点剖析】本题考査了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的几何问题，轴对称的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，掌握二次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 16．（2025·江苏徐州·模拟预测）在平面直角坐标系中中，二次函数的图象与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点，其顶点的横坐标是． (1) ________， ________； (2)已知一次函数（k为常数）的图象为直线，直线与x轴交于点． ①连接，若，求的取值范围； ②当直线与该抛物线有且只有一个公共点时，在该抛物线上是否存在点，使得直线与所夹的锐角是的2倍？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2； (2)①或且；②或 【思路点拨】（1）根据顶点横坐标可得对称轴为直线，再由对称轴计算公式可得b的值，把点C坐标代入解析式即可求出c的值； （2）①先求出，再求出，根据，可得；则可求出且，求出直线恰好经过点，点，点时，k的值即可得到答案； ②联立得，根据直线与该抛物线有且只有一个公共点，可得关于x的方程有两个相等的实数根，则可求出，据此可得到，取，作直线，可证明，得到，则，即可得到直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置；求出直线解析式为，联立，解得或，则此时点P的坐标为；过点D作，过点D作交直线于I，则，，可推出直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置；求出直线解析式为，得到设，由，得到，则，同理可得此时点P的坐标为；综上所述，点P的坐标为或． 【规范解答】（1）解：∵抛物线的顶点的横坐标是， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于点， ∴； （2）解：①∵， ∴， 由（1）可得抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴且， 当直线恰好经过点时，则，解得， 当直线恰好经过点时，则，解得， 当直线恰好经过点时，则，解得， ∴当时，或且； ②联立得， ∵直线与该抛物线有且只有一个公共点， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴直线l解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴； 如图所示，取，作直线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线与直线所夹的锐角是的2倍， ∴直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 如图所示，过点D作，过点D作交直线于I， ∴， ∴， ∵ ∴直线与直线所夹的锐角是的2倍， ∴直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置； ∵， ∴可设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【考点剖析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于利用分类讨论的思想求解即可． 17．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接，，． (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)求证：； (3)如图2，点在x轴上，点P是线段上的动点（不与点B，C重合），连接，作，交y轴于点Q，设点Q的纵坐标为n，求n的取值范围． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)． 【思路点拨】（1）将，两点代入抛物线，则可得抛物线的解析式；将求出解析式化成顶点式，即可写出抛物线的顶点D的坐标； （2）连接CD，令，得，由点A、B、C的坐标可得，，进而得．由点B、C、D的坐标可求得，．根据勾股定理逆定理可得．根据三角函数的定义得 ，由，即可求证； （3）先证明，得．设，，则；进而得．可得有最大值．由，得的最小值为．又点Q在线段上，可得点Q纵坐标n的取值范围． 【规范解答】（1）解：把，代入， 得． 解得． 抛物线的解析式为． ， 顶点D的坐标为； （2）解：如图，连接， 在中，令，得， 点C的坐标为，则． ，， ，． ． ，，， 由勾股定理可求得，． ，， ， ． ， 又， ； （3）解：，， ， ，， ， ． ． 设，，则； ； ． 当时，y的最大值为，即有最大值． ， 的最小值为． 又点Q在线段上， 点Q纵坐标n的取值范围是． 【考点剖析】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数图象上的点的坐标特点、相似三角形的判定与性质、三角函数及勾股定理等知识点，数形结合、分类讨论、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 18．抛物线的与轴交于两点（点在点的左边），顶点为． (1)顶点坐标为_________； (2)如图，若点的坐标是，连接． ①把线段沿一定的方向平移，平移后，点的对应点为，点的对应点为，若点，点均在抛物线上，求点的坐标； ②将抛物线沿射线方向平移得到抛物线，且抛物线经过点．请问在抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)① ②存在，点坐标为或或或 【思路点拨】（）根据解析式即可求解； （）①求出所在直线解析式，即得平移后所在直线解析式为，设点坐标为，则点坐标为，可得，解方程组求出的值即可求解；②先求出过点平行于的直线解析式为，设沿射线方向平移得到抛物线的解析式为，进而根据点可得抛物线的解析式为，再分与轴交点在点的下方和上方两种情况解答即可求解； 本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵， ∴顶点的坐标为， 故答案为：； （2）解：①把代入得，， 解得，， ∴， 设所在直线解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴平移后所在直线解析式为， 设点坐标为，则点坐标为， 点，点均在抛物线上， ， 解得， ∴点的坐标为； ②设过点平行于的直线解析式为， 把代入得，， ∴， ∴过点平行于的直线解析式为， 设沿射线方向平移得到抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得（不合题意，舍去）或， ∴抛物线的解析式为， ①如图，若与轴交点在点的下方，设交点为， ， ， ∴点的坐标为， ∴直线的解析式为， ，解得或， ∴点坐标为或 ②如图，若与轴的交点在点的上方，设交点为， 过点作，垂足分别为点和点， 由题意得，， 过点作轴，过点作，垂足分别为点，点， 则，且相似比， 设，则， ， ． 解得， ∴点坐标为， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ，解得或， ∴点坐标为或； 综上所述，点坐标为或或或． 19．（2025·山东济南·一模）抛物线与x轴分别交于，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，D是抛物线的顶点． (1)求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标． (2)如图1，线段下方抛物线上是否存在一点E，使，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，P是抛物线第二象限上的点，连接．当时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)存在，或 (3) 【思路点拨】（1）利用待定系数法求出解析式，再把解析式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）可证明，求出点B坐标，进而得到，则，求出直线解析式，过点E作轴交于F，设，则，根据建立方程求解即可； （3）利用勾股定理的逆定理证明取中点G，连接，过点P作轴于H，过点C作于M，通过导角证明；则，求出的长设，则，据此建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：，代入抛物线解析式中得，解得：， ∴抛物线的表达式为：， ∴点； （2）解：∵， ∴， 在中，当时，解得或， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线解析式为，则， ∴， ∴直线解析式为， 如图所示，过点E作轴交于F，设，则， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴或； （3）解：∵， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形，且， 如图所示，取中点G，连接，过点P作轴于H，过点C作于M， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 解得（经检验是原方程的解）或（舍去）； ∴． 【考点剖析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理及其逆定理，解直角三角形等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $