第08讲 二次函数与单线段最值问题（学霸秘籍，压轴题专项训练）2026年中考数学（江苏专用）

第八讲 二次函数与单线段最值问题『压轴题大揭秘』 〔考法综述+技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【解析版】在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 讲义说明 资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定制，聚焦数学压轴题专项提升，贴合江苏各地中考命题规律，精选近两年省内各市中考真题、名校模拟题，按考点分类精讲精练，帮助学生掌握解题方法、强化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一 考情透视，考法综述—深度剖析江苏中考压轴题命题趋势，明晰考情考点； 模块二 技巧点拨，方法揭秘—梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块三 核心精讲，典例剖析—针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤； 模块四 考题预测，满分训练—立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 考情透视 考法综述 二次函数与单线段最值问题，一般分三步走，第一步设动点参数坐标，第二步表示出线段长度，第三步利用函数性质求最值并判断取值范围。 一般情况下，按照线段平行坐标轴或倾斜分类，然后利用坐标差值、两点间距离公式列代数式。 有时根据垂线段最短、点到直线距离公式求解斜线段最值会更简便。 二次函数单线段最值问题，常常和一次函数解析式、自变量取值范围、二次函数增减性联系在一起。 如果线段不平行于坐标轴，那么合理设出动点横坐标构造函数关系式，转化为二次函数最值求解，结合开口方向与区间端点比较大小更为简便。 模块二 技巧点拨 方法揭秘 1.预备知识：平面直角坐标系中的水平线段与竖直线段最值问题. 竖直线段：AB=y1-y2, 纵坐标相减，上减下； 水平线段：AB=x2-x1，横坐标相减，右减左. 2.抛物线中的竖直线段 解题方法：先由A 、C 左右求出直线 AC 的解析式，利用点P 在抛物线上，点Q 的直线 AC上 ，PQ//y轴，设出点P的横坐标为m, 进而得到点P 和Q 的坐标，两者作差即可得到 PQ 关于m 的二次函数表达式，从而得到PQ的最大值，进而也能求得△APC和四边形ABCP面积的最大值. 3. 抛物线中的斜线段最值问题：如右上图，求PH 的最大值(或点P 到直线AC 的最大距 离 ) 解题方法：利用相似三角形△PQH∽△ACO,得到(常数),进而得到PH 关于 PQ 的数量关系，转化为求kPQ 的最大值. 或者利用锐角三角函数： 模块三 核心精讲 典例剖析 【典例精讲一】（2026·江苏无锡·一模）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当线段最短时，求点的坐标； (3)当时，设函数的最大值为，最小值为，若，直接写出的值． 【答案】(1) (2)点P的坐标为； (3)的值为或 【思路点拨】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）根据点B和点C的坐标可得直线的解析式为，设，则，求得，利用二次函数的性质求解即可； （3）求出当和时的函数值，利用配方法得到顶点坐标，然后分为，，三种情况，利用二次函数的增减性解答即可． 【规范解答】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵和 ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， 又∵轴， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴当时，最短， ∴当时，； ∴点P的坐标为； （3）解：当时，； 当时，； ， ∴抛物线的对称轴为； ①当时，即，在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴最大值与最小值的差为， 解得，不符合题意舍去； ②当时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴最大值与最小值的差为， 解得，不符合题意舍去； ③当时，即，此时最大值为， ∴最小值为， 若，则或（舍去）； 若，则或（舍去）； 故的值为或． 【典例精讲二】（2025·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点为 (1)请直接写出A、B、D三点坐标． (2)如图1，点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线于点N，求线段长度的最大值； (3)如图2，若点P在抛物线上且满足，求点P的坐标． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为； (2) (3)或 【思路点拨】由抛物线，分别令，，则可确定抛物线与坐标轴的交点坐标，根据顶点坐标可确定点D的坐标； 设轴于点E，设，确定直线的解析式为，得到，继而得到，根据二次函数的最值可得结论； 确定直线的解析式为，然后分两种情况进行讨论即可． 【规范解答】（1）解：点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为；理由如下： 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C， 当时，得， 解得：或， 当时，得， ，，， 抛物线， ， 点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为； （2）解：设轴于点E，设，如图1， 设直线的解析式为，将点B，点C的坐标代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 过点M作x轴的垂线，交直线于点N， ， ， ， 当时，线段的长度取得最大值，此时最大值为； （3）解：设直线的解析式为，将点B，点D的坐标代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， ①如图2， ， ∴， 设直线的解析式为，将点C的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， 此时点P的坐标为； ②如图3，设交于点G，作射线交于点F， ， ， ，， ， 垂直平分， 点F是的中点， 点F的坐标是，即， 设直线的解析式为，过点， ， ， 直线的解析式为， 直线：与直线：交于点G， 联立， 解得：， ， 设直线的解析式为，将点C，点G的坐标代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或 【考点剖析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的最值，待定系数法确定函数解析式，平行线的判定，二次函数与一次函数的交点，等角对等边，中点坐标，垂直平分线的判定和性质等知识点．掌握二次函数的性质、确定二次函数与一次函数交点坐标的方法是解题的关键． 模块四 考题预测 满分训练 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段 的最大值及此时点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)有最大值，此时； (3)存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，点的坐标为或或或． 【思路点拨】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，二次函数的最值问题，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）求出解析式为，设，则，则，然后利用二次函数的性质即可求解； （）设，则有，，，分当时，当时，当时三种情况，再通过解方程即可求解． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， 设抛物线的表达式为， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图， 设解析式为且过，， ∴，解得：， ∴解析式为， ∵是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴， ∴设，则， ∴， ∴当时，有最大值， 此时； （3）解：存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，理由， 如图， ∵抛物线的表达式为， ∴对称轴为直线， ∵点在对称轴上， ∴设， ∵，， ∴，，， 当时， ∴， 解得， ∴， 当时， ∴， 解得， ∴或； 当时， ∴， 解得， ∴； 综上：点的坐标为或或或． 2．（2025·江苏宿迁·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路点拨】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，再求出直线的解析式为，设，则，求出，利用二次函数的性质即可求解； （3）先求出，根据以点、、为顶点的三角形与相似，分或，两种情况讨论，设，则，求出，建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：将、两点代入抛物线， 则， 解得：， 即抛物线解析式为：； （2）解：将代入中，则， ∴， 又∵， 设直线的解析为， 则，解得：， ∴直线的解析为， 设，则， ∴， ∵，且， ∴当时，线段有最大值为； （3）解：存在以点、、为顶点的三角形与相似，理由如下： ∵， ∴ ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵以点、、为顶点的三角形与相似， ∴或， ∵， . ∴， 设，则， ∴， ∴或， 解得(P与C重合，舍去)或或， 当时，， 当，时，，, ∴.P的坐标为或． 【考点剖析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，相似三角形性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关 键是分类讨论思想的应用， 3．（2025·江苏扬州·二模）如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 _____． 【答案】4 【思路点拨】本题考查二次函数的综合应用，先由二次函数的解析式求出点A，点B的坐标，然后求出直线的解析式，设出M的坐标，根据平行的性质表示出点N的坐标，然后M、N的横坐标相减，构造函数关系式，求出最大值即可． 【规范解答】解：∵ ∴当时，，解得：或， ∴点B的坐标为，点A的坐标为， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴直线的解析式为：， 设点M的坐标为， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， ∵点M在第一象限， ∴线段， 当时，有最大值为4． 故答案为：4． 4．（2024·江苏连云港·二模）如图，已知、、三点的坐标分别为、、，抛物线的图象经过、两点    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作线段的平行线，交抛物线于点，连接，试判断四边形的形状； (3)点为线段上一动点，过点作轴的平行线，交该抛物线于点，当线段的长最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见解析 (3) 【思路点拨】（1）用待定系数法即可求函数的解析式； （2）利用待定系数法求出的解析式，再求出直线的解析式，联立抛物线与直线解析式，可知点的坐标，即可得出结论； （3）设，则，表示出的长，然后根据二次函数的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：(1)将点，代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）四边形是菱形，理由如下： 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为 ，解得， 直线的解析式为， 联立， 解得或， ， ， ， 四边形是平行四边形， 、、三点的坐标分别为，、，、，， ， 四边形是菱形； （3）设，则， ， 当时，线段的长最大，， 点的坐标为． 【考点剖析】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法，平行四边形的判定，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的判定及性质是解题的关键． 5．（2023·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，直线与x轴相交于点B，连结，抛物线从点O沿方向平移，与直线交于点P，顶点M到A点时停止移动． (1)求线段所在直线的函数解析式； (2)设抛物线顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段最短； (3)当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使的面积与的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，PB最短； (3)抛物线上存在点，使与的面积相等． 【思路点拨】本题考查了一次函数解析式的确定，二次函数图象的平移、函数的交点、图形面积的求法等，主要考查学生数形结合的思想，属于中档题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先得到抛物线解析式为，然后将代入得到，进而求解即可； （3）首先得到当线段最短时，此时抛物线的解析式为，设点Q的坐标为，然后根据题意分两种情况讨论：当点Q落在直线的下方和点Q落在直线的上方，然后根据的面积与的面积相等列方程求解即可． 【规范解答】（1）设OA所在直线的函数解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴OA所在直线的函数解析式为； （2）∵顶点M的横坐标为m，且在线段上移动， ∴． ∴顶点M的坐标为． ∴抛物线函数解析式为． ∴当时，． ∴， 又∵， ∴当时，PB最短； （3）当线段最短时，即当时，此时抛物线的解析式为． 假设在抛物线上存在点Q，使． 设点Q的坐标为． 当点Q落在直线的下方时，过P作直线，交y轴于点C， ∵， ∴， ∴， ∴C点的坐标是． ∵点P的坐标是， ∴直线的函数解析式为． ∵， ∴点Q落在直线上 ∴． 解得，， 即点 ∴点Q与点P重合． ∴此时抛物线上不存在点Q，使与的面积相等． 当点Q落在直线的上方时， 作点P关于点A的对称点D，过D作直线，交y轴于点E， ∵， ∴， ∴E、D的坐标分别是，， ∴直线函数解析式为． ∵， ∴点Q落在直线上． ∴． 解得：，． 代入，得，． ∴此时抛物线上存在点，使与的面积相等． 综上所述，抛物线上存在点， 使与的面积相等． 6．（2026·四川南充·一模）如图，经过，，的抛物线与y轴交于D，点E在第四象限抛物线上，点F在线段上． (1)求抛物线的解析式； (2)当与y轴平行且取最大值时，求点E的坐标； (3)四边形的面积是否存在最大值？若存在，能否求出点E，F的坐标？若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)四边形的面积存在最大值，此时，此时F为上任意一点． 【思路点拨】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式，设出点E的坐标，则可表示出点F的坐标，再表示出的长，利用二次函数的性质求解即可； （3）可证明，则为定值，则可证明当有最大值时，有最大值；根据，推出，仿照（2）求出取得最大值时点E的坐标即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设抛物线的解析式为， 由题意得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为； 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴； （3）解：如图所示，连接，过点E作轴交于点H， 同理可得直线的解析式为， 由（2）得直线的解析式为， ∴， ∴点F到的距离为定值， ∴为定值， ∵， ∴当有最大值时，有最大值； 设，则， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴当时，有最大值，即此时有最大值， 由（2）可知，此时， ∴四边形的面积存在最大值，此时，此时F为上任意一点． 7．（2026·北京西城·模拟预测）已知抛物线经过原点和．点M是抛物线上的动点，其横坐标为m，过点M作轴，与直线交于N． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点M作x轴的垂线，垂足为点P．在点P从点O运动到点的过程中； ①当时，求的最大值； ②若的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)①； ②且 【思路点拨】（1）和代入抛物线，即可求出c的值，a、b的关系式； （2）①可得，由点M的横坐标为m，轴，得，，得，当 时，，得； ②，分两种情况：当时，和当时，分和分别求解即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线经过原点和， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得， ∵点M的横坐标为m， ∴， ∵轴，N 在上， ∴点M与点N的纵坐标相同， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点 P 从 O 到， ∴， 当 时，则， 则（）， ∵二次函数开口向下，顶点在， ∴当时，；    ②， 当时， 此时函数开口向下，对称轴：，在时增大而增大， 当时，则，若 随 m 增大而增大， 则，矛盾； 当时，则，，即在时增大而增大， 则 随 m 增大而增大恒成立； 当时， 此时函数开口向上，对称轴：，在时增大而增大， 当时，则，若 随 m 增大而增大， 则，解得：， ∴； 当时，则，若 随 m 增大而增大， 则，矛盾； 综上，且． 8．（2026·湖南郴州·一模）已知抛物线（a，h为常数且）． (1)抛物线的对称轴为，且经过点． ①求抛物线的表达式； ②如图1，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上一动点，且在直线的下方，过点P作于点Q．请问线段的长度是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，说明理由； (2)如图2，在二次函数（h为常数）中，当时，函数y有最大值为，求h的值． 【答案】(1)①，② (2)或 【思路点拨】（1）①根据抛物线对称轴得，再将点A代入抛物线解析式，即可求得抛物线得表达式； ②过点P作轴交于点M，过点A作轴交y轴于点N，先证得是等腰直角三角形，进而证得是等腰直角三角形，推出，利用待定系数法求得直线的解析式，设，，表示出的长度表达式，此时该表达式为开口向下的二次函数，有最大值，通过最后代入即可求得结果； （2）先得出二次函数的对称轴和顶点坐标，再分情况进行讨论h的变化，从而求得结果． 【规范解答】（1）解：①∵抛物线的对称轴为， ∴， 又∵抛物线经过点， ∴将点A代入抛物线解析式，得：， 解得， ∴抛物线表达式为； ②如图，过点P作轴交于点M，过点A作轴交y轴于点N， 令，则， ∴， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， 将点A，B代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 设，则，其中， ∴， 当时，， ∴． （2）解：∵二次函数的对称轴为，顶点坐标为， 此时分情况讨论： ①如图， 若，则当时，y随x的增大而减小， ∴当时函数取得最大值，即， 解得，（舍去）； ②如图， 若，则函数y的最大值为0， ∴与函数y的最大值为矛盾， ∴此情况不符合题意； ③如图， 若，则当时，y随x的增大而增大， ∴当时，函数取得最大值，即， 解得或（舍去）， 综上所述，或． 9．（25-26九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，已知抛物线 (1)求抛物线的顶点的坐标；（要有过程） (2)若直线与抛物线的一个交点的横坐标为4，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①当时，求的长． ②当点在点的下方，且线段的长随的长的增大而减小时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①10；② 【思路点拨】（1）一般式化成顶点式，根据顶点式，直接写出顶点坐标即可； （2）①求出点坐标，进而求出抛物线的解析式，求出的坐标，进而求出的长即可；②根据点在点的下方，求出，根据，结合二次函数的增减性，进行求解即可． 【规范解答】（1）解： ； ∴顶点的坐标为； （2）解：①当时，， ∴， 把代入，得，解得， ∴， 由题意，，， 当时，，， ∴； ②由①知：，，抛物线的解析式为， 当时，解得或， ∵点在点的下方， ∴， ∴，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵线段的长随的长的增大而减小，即线段的长随的增大而减小，， ∴． 10．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是_____． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握二次函数以及一次函数的性质是解本题的关键． 令可得点的坐标，令可得点的坐标，再运用待定系数法求一次函数解析式；设点，则点，表示出的长度表达式，根据二次函数的性质解答即可． 【规范解答】解：令，即， 解得：， ∴点， 将，代入，得， ∴点， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 设点，则点， ∵点Q在线段上方的抛物线上，始终在一次函数图像的上方， ∴， ∴当时，的长度最大，最大值为． 故答案为：． 11．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与探究 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，点B的坐标为，顶点D的坐标为．点P为抛物线上第一象限内一点，过点P作交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)点F在直线上，平面内存在点Q，使以点C，D，F，Q为顶点的四边形为正方形，点Q的坐标为________； (3)求的最大值； (4)点M为直线上一动点，连接并延长至点N，使，连接，当的值最大时，的最小值为________． 【规范解答】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴当时，，当时，解得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴当点C，D，F，Q为顶点的四边形为正方形时，只能得到正方形， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，解得， ∴或， ∵点先向右平移1个单位，再向上平移一个单位得到， ∴点先向右平移1个单位，再向上平移一个单位得到， ∴或； （3）解： 作 轴，交于点，作于点，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由（2）可知，，直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， 设，则， ∴， ∴当时，最大为，此时最大为； （4）解：由（3）可知，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，的值最大， 延长至点，使，过点作的平行线，作轴，轴， 则， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点在直线上， ∴， ∴，即点在过点且平行于的直线上运动， 作点关于的对称点，连接，则， ∴当三点共线时，最小， 由（2）可知，， ∵，点在直线上， ∴， ∵点关于的对称点为， ∴垂直平分， ∴为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 12.如图，一次函数分别交轴、轴于两点，抛物线过、B两点． (1)求这个抛物线的解析式； (2)作垂直于轴的直线，在第一象限交直线于，交这个抛物线于．求当取何值时，有最大值？最大值是多少？ (3)在（2）的情况下，以、、、为顶点作平行四边形，求第四个顶点的坐标． 【答案】(1) (2)当时，有最大值，最大值为4 (3)或或 【思路点拨】（1）根据一次函数解析式求出点A和点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）用含t的式子表示出点M和点N的坐标，进而表示出的长，再利用二次函数的性质求解即可； （3）根据（2）所求可求出点M和点N的坐标，再分三种情况：为对角线，为对角线和为对角线，根据平行四边形的两条对角线的中点坐标相同建立方程组求解即可． 【规范解答】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∵抛物线过、B两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为4； （3）解：由（2）可知，当时，， ∴． 设， 当为该平行四边形的对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得 ， 解得， ∴点D的坐标为； 当为该平行四边形的对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得 ， 解得， ∴点D的坐标为； 当为该平行四边形的对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得 ， 解得， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 13．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上找一点P，作，当为最大值时，求线段的长； (3)连接，当时，求点P的坐标． (4)若点M为直线上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为 (4)存在，点M的坐标为或或或． 【思路点拨】（1）将点，代入，即可求解； （2）过点作轴交于点，连接，先求出直线 的解析式为，设，则，则，可得，当时，有最大值，即可求解； （3）作点关于直线的对称点，交于点，连接，过点作轴的垂线交轴于点，则在直线上，分别求出，，则，可知点与点重合，，用待定系数法求出直线的解析式为，联立方程组，即可求； （4）设，，，，分三种情况讨论：①当为菱形对角线时，；②当为菱形对角线时，；③当为菱形对角线时，． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点， ∴， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1，过点作轴交于点，连接， 令，则， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，则， ， ，， ， ， ， ， 点是直线上方抛物线上， ， 当时，有最大值，此时； ∵二次函数对称轴与x轴交于点D，且二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴当为最大值时，线段的长． （3）解：， 抛物线的对称轴为直线， ， 作点关于直线的对称点，交于点，连接，过点作轴的垂线交轴于点， ， ， ， 在直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， 点与点重合， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得或（舍， ； （4）解：存在点和点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设，，，， ①当为菱形对角线时，， ， 解得， ，； ②当为菱形对角线时，， ， 解得， ，或，； ③当为菱形对角线时，， ， 解得或（舍， ； 综上所述：点的坐标为或或或． 14．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图甲，若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线的距离最大时，求点P的坐标； (3)图乙中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；点M的坐标为或或 【思路点拨】（1）将A的坐标，点C的坐标代入，即可得抛物线的解析式为； （2）过P作轴于D，交于Q，过P作于H，由可得，故，是等腰直角三角形，可证明是等腰直角三角形，即知，当最大时，最大，待定系数法求出直线解析式为，设，则，，故当时，最大，即点P到直线的距离最大，此时； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，设，，而，，分三种情况：①以、为对角线；②以、为对角线；③以、为对角线，分别根据中点坐标公式列出方程，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：将A的坐标，点C的坐标代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过P作轴于D，交于Q，过P作于H，如图所示： 在中，令得：， 解得：或， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为，将代入得， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，最大为， ∴时，最大，即点P到直线的距离最大，此时； （3）解：存在，理由如下： 抛物线对称轴为直线， 设，，而，， ①以、为对角线，则、的中点重合，如图： ∴， 解得：， ∴； ②以、为对角线，则、的中点重合，如图所示： ∴， 解得， ∴； ③以、为对角线，则、中点重合，如图所示： ， 解得， ∴； 综上所述，M的坐标为：或或． 15．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，抛物线与轴交于A、B两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线解析式为 (2)的最大值为 (3) 【思路点拨】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数最值问题，等腰直角三角形的定义等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）先利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后求得点B的坐标，即可利用待定系数法求得直线的解析式； （2）由题意可知，此时，且点在点上方，据此得到的表达式，然后根据二次函数的性质即可求得最值； （3）当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，可知此时点纵坐标为3，则有，据此即可解答． 【规范解答】（1）解：抛物线过、两点， 代入抛物线解析式可得， 解得， 抛物线解析式为， 令可得，，解， 点在点右侧， 点坐标为， 设直线解析式为， 把B、C坐标代入可得， 解得， 直线解析式为； （2）解：轴，点的横坐标为， ， 在线段上运动， 点在点上方， ， 当时，有最大值，的最大值为； （3）解：轴， 当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， 点纵坐标为3， ，解得或， 当时，则M、C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ． 16．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (4)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； (5)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 (4) (5)的值为或 【思路点拨】（1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）根据（1）中所求抛物线解析式可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （3）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值； （4）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可求表示出M点纵坐标，代入抛物线解析式可求得m的值； （5）由条件可得出，结合（2）可得到关于m的方程，可求得m的值． 【规范解答】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：令可得，，解，， ∵点在点右侧， ∴点坐标为， 设直线解析式为， 把、坐标代入可得，解得， ∴直线解析式为； （3）解：∵轴，点的横坐标为， ∴，， ∵在线段上运动， ∴点在点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为； （4）解：∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， ∴点纵坐标为3， ∴，解得或， 当时，则，重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； （5）解：∵， ∴当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴， ∴或， 解方程，即， 此时． ∴方程无解， 解方程，即， ∴， 综上，的值为或． 【考点剖析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（3）中用m表示出的长是解题的关键，在（4）中确定出是解题的关键，在（5）中由平行四边形的性质得到是解题的关键． 17．（25-26九年级上·贵州黔西南·月考）已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为，B点在y轴上．是x轴上的一个动点，过P作x轴的垂线分别与直线和二次函数的图象交于D、E两点． (1)求m的值及这个二次函数的解析式； (2)若点P的横坐标为2，求的面积； (3)当时，求线段的最大值； (4)当的值最小时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 (4)点P的坐标为． 【思路点拨】本题考查了一次函数与二次函数综合． （1）根据直线经过点求出，设，将代入计算即可； （2）求出，，根据三角形面积公式计算即可； （3）由题意可知，即，根据二次函数的性质作答即可； （4）作B关于x轴对称的点，连接交x轴于P，点P即为所求，求出直线的解析式，将代入计算即可． 【规范解答】（1）解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴设 ∵抛物线经过， ∴， 解得：， ∴； （2）解：把代入得， ∴， ∵， ∴直线为 把代入得， ∴， ∴ ∵点P的横坐标为2， ∴ ∴； （3）解：∵是x轴上的一个动点，过P作x轴的垂线分别与直线和二次函数的图象交于D、E两点， ∴， ∴， ∴由二次函数的性质可知当（属于范围）时， 的最大值为； （4）解：如图，作B关于x轴对称的点，连接交x轴于P，点P即为所求， ∵把代入得， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴点P的坐标为． 18．（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． (1)若． ①求抛物线的解析式； ②求线段长度的最大值； ③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． (2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． 【答案】(1)①；②最大值为9；③见解析 (2)不发生变化，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查二次函数的判定和性质，待定系数法确定函数解析式，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键． （1）①利用待定系数法代入计算求解即可； ②设直线的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，然后结合图形得出，然后利用二次函数的性质求解即可； ③根据二次函数的性质结合图象求解即可； （2）根据题意重新确定二次函数的解析式为，得出，然后即可求解． 【规范解答】（1）解：①∵， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线经过、两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：； ②设直线的解析式为，将点A、B代入得： ，解得：， ∴， ∵点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． ∴，， ∴， 由题意得：， ∴当时，取得最大值为9； ③∵，， ∴当，时，即时，的最大长度在处取得； 当，时，即时，的最大长度在处取得； 当，时，即时，的最大长度在处取得； （2）解：不发生变化，理由如下： ∵抛物线经过、两点． ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵点是线段上的动点， ∴， ∵点Q在抛物线上， ∴点Q的坐标为， ∴， ∵解析式图形开口方向及对称轴同（1）中③的解析图象一致， ∴问题（1）中③的结论未发生变化． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八讲 二次函数与单线段最值问题『压轴题大揭秘』 〔考法综述+技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【原卷版】在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 讲义说明 资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定制，聚焦数学压轴题专项提升，贴合江苏各地中考命题规律，精选近两年省内各市中考真题、名校模拟题，按考点分类精讲精练，帮助学生掌握解题方法、强化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一 考情透视，考法综述—深度剖析江苏中考压轴题命题趋势，明晰考情考点； 模块二 技巧点拨，方法揭秘—梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块三 核心精讲，典例剖析—针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤； 模块四 考题预测，满分训练—立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 考情透视 考法综述 二次函数与单线段最值问题，一般分三步走，第一步设动点参数坐标，第二步表示出线段长度，第三步利用函数性质求最值并判断取值范围。 一般情况下，按照线段平行坐标轴或倾斜分类，然后利用坐标差值、两点间距离公式列代数式。 有时根据垂线段最短、点到直线距离公式求解斜线段最值会更简便。 二次函数单线段最值问题，常常和一次函数解析式、自变量取值范围、二次函数增减性联系在一起。 如果线段不平行于坐标轴，那么合理设出动点横坐标构造函数关系式，转化为二次函数最值求解，结合开口方向与区间端点比较大小更为简便。 模块二 技巧点拨 方法揭秘 1.预备知识：平面直角坐标系中的水平线段与竖直线段最值问题. 竖直线段：AB=y1-y2, 纵坐标相减，上减下； 水平线段：AB=x2-x1，横坐标相减，右减左. 2.抛物线中的竖直线段 解题方法：先由A 、C 左右求出直线 AC 的解析式，利用点P 在抛物线上，点Q 的直线 AC上 ，PQ//y轴，设出点P的横坐标为m, 进而得到点P 和Q 的坐标，两者作差即可得到 PQ 关于m 的二次函数表达式，从而得到PQ的最大值，进而也能求得△APC和四边形ABCP面积的最大值. 3. 抛物线中的斜线段最值问题：如右上图，求PH 的最大值(或点P 到直线AC 的最大距 离 ) 解题方法：利用相似三角形△PQH∽△ACO,得到(常数),进而得到PH 关于 PQ 的数量关系，转化为求kPQ 的最大值. 或者利用锐角三角函数： 模块三 核心精讲 典例剖析 【典例精讲一】（2026·江苏无锡·一模）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当线段最短时，求点的坐标； (3)当时，设函数的最大值为，最小值为，若，直接写出的值． 【典例精讲二】（2025·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点为 (1)请直接写出A、B、D三点坐标． (2)如图1，点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线于点N，求线段长度的最大值； (3)如图2，若点P在抛物线上且满足，求点P的坐标． 模块四 考题预测 满分训练 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段 的最大值及此时点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025·江苏宿迁·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2025·江苏扬州·二模）如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 _____． 4．（2024·江苏连云港·二模）如图，已知、、三点的坐标分别为、、，抛物线的图象经过、两点    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作线段的平行线，交抛物线于点，连接，试判断四边形的形状； (3)点为线段上一动点，过点作轴的平行线，交该抛物线于点，当线段的长最大时，求点的坐标． 5．（2023·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，直线与x轴相交于点B，连结，抛物线从点O沿方向平移，与直线交于点P，顶点M到A点时停止移动． (1)求线段所在直线的函数解析式； (2)设抛物线顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段最短； (3)当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使的面积与的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2026·四川南充·一模）如图，经过，，的抛物线与y轴交于D，点E在第四象限抛物线上，点F在线段上． (1)求抛物线的解析式； (2)当与y轴平行且取最大值时，求点E的坐标； (3)四边形的面积是否存在最大值？若存在，能否求出点E，F的坐标？若不存在，请说明理由． 7．（2026·北京西城·模拟预测）已知抛物线经过原点和．点M是抛物线上的动点，其横坐标为m，过点M作轴，与直线交于N． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点M作x轴的垂线，垂足为点P．在点P从点O运动到点的过程中； ①当时，求的最大值； ②若的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 8．（2026·湖南郴州·一模）已知抛物线（a，h为常数且）． (1)抛物线的对称轴为，且经过点． ①求抛物线的表达式； ②如图1，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上一动点，且在直线的下方，过点P作于点Q．请问线段的长度是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，说明理由； (2)如图2，在二次函数（h为常数）中，当时，函数y有最大值为，求h的值． 9．（25-26九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，已知抛物线 (1)求抛物线的顶点的坐标；（要有过程） (2)若直线与抛物线的一个交点的横坐标为4，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①当时，求的长． ②当点在点的下方，且线段的长随的长的增大而减小时，求的取值范围． 10．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是_____． 11．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与探究 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，点B的坐标为，顶点D的坐标为．点P为抛物线上第一象限内一点，过点P作交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)点F在直线上，平面内存在点Q，使以点C，D，F，Q为顶点的四边形为正方形，点Q的坐标为________； (3)求的最大值； (4)点M为直线上一动点，连接并延长至点N，使，连接，当的值最大时，的最小值为________． 12.如图，一次函数分别交轴、轴于两点，抛物线过、B两点． (1)求这个抛物线的解析式； (2)作垂直于轴的直线，在第一象限交直线于，交这个抛物线于．求当取何值时，有最大值？最大值是多少？ (3)在（2）的情况下，以、、、为顶点作平行四边形，求第四个顶点的坐标． 13．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上找一点P，作，当为最大值时，求线段的长； (3)连接，当时，求点P的坐标． (4)若点M为直线上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由． 14．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图甲，若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线的距离最大时，求点P的坐标； (3)图乙中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，抛物线与轴交于A、B两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值． 16．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (4)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； (5)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 17．（25-26九年级上·贵州黔西南·月考）已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为，B点在y轴上．是x轴上的一个动点，过P作x轴的垂线分别与直线和二次函数的图象交于D、E两点． (1)求m的值及这个二次函数的解析式； (2)若点P的横坐标为2，求的面积； (3)当时，求线段的最大值； (4)当的值最小时，直接写出点P的坐标． 18．（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． (1)若． ①求抛物线的解析式； ②求线段长度的最大值； ③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． (2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $