第07讲 二次函数与矩形、菱形、正方形存在性问题（学霸秘籍，压轴题专项训练）2026年中考数学（江苏专用）

第七讲 二次函数与矩形、菱形、正方形存在性问题『压轴题大揭秘』 〔考法综述+技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【解析版】在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 讲义说明 资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定制，聚焦数学压轴题专项提升，贴合江苏各地中考命题规律，精选近两年省内各市中考真题、名校模拟题，按考点分类精讲精练，帮助学生掌握解题方法、强化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一 考情透视，考法综述—深度剖析江苏中考压轴题命题趋势，明晰考情考点； 模块二 技巧点拨，方法揭秘—梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块三 核心精讲，典例剖析—针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤； 模块四 考题预测，满分训练—立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 考情透视 考法综述 我们已经知道矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形 在做几何证明题的时候我们常用的判定方法主要是前三种. 二次函数和矩形、菱形、正方形存在性问题作为压轴题目，结合了“分类讨论思想”，“方程思想”“菱形的判定方法”，势必要比单纯的菱形判定思考难度要大的多，纵观历年中考真题，矩形、菱形、正方形存在性问题主要是以“两定两动”为设问方式，其中两定指的是四边形四个顶点其中有两个顶点的坐标是确定的或者是可求解的；两动指的是其中一个动点在一条直线或者抛物线上，另外一个动点是平面内任意一点或者该动点也在一条直线或者抛物线上. 模块二 技巧点拨 方法揭秘 1.矩形的判定: （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角为直角的四边形是矩形． 题型分析：矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“一个角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式： 因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解． 确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．下： 同时，也可以先根据A、B的坐标求出直线AB的解析式，进而得到直线AD或BC的解析式，从而确定C或D的坐标. 2.菱形的判定: （1）四边都相等的四边形是菱形； （2）两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ； （3）邻边相等的平行四边形是菱形； （4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ； （5）一条对角线平分一个顶角的平行四边形是菱形. 3.正方形的判定: （1）有一个角为直角的菱形； （2）有一组邻边相等的矩形； （3）对角线互相垂直平分且相等的四边形． 二次函数与正方形存在性问题 （1）作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标． （2）对于二次函数与正方形的存在性问题，常见的处理思路有： 思路1：从判定出发若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件． 思路2：构造三垂直全等若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点． 示例：在平面直角坐标系中，已知A、B的坐标，在平面中求C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是正方形． 如图，一共6个这样的点C使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形． 模块三 核心精讲 典例剖析 在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 二次函数与矩形的存在性问题 【典例精讲】（2025·江苏无锡·二模）已知二次函数的图象与x轴分别交于点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，交x轴于点D，P为抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求点P的坐标； (3)若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或； (3)点Q的横坐标是或4或或． 【思路点拨】（1）先根据对称轴公式，可得，再将点B的坐标代入抛物线的解析式中可得，即可解答； （2）分两种情况：①点P在的下方时，先利用待定系数法可得的解析式，联立抛物线和直线的解析式，解方程可得点P的坐标；②点P在的上方时，证明，可得，即可解答； （3）设点P的坐标为，分三种情况：①如图3，过点P作轴于F，则，②如图4，过点P作轴于G，则，③如图5，，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵二次函数，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将点代入中得：， ∴， ∴这个二次函数的表达式为：； （2）解：分两种情况： ①点P在的下方时，如图1， 当时，， ∴，， 设的解析式为：， ∴， ∴， ∴的解析式为：， ∴， 解得：（舍），， ∴点P的坐标为； ②点P在的上方时，如图2，设直线交x轴于E， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， 同理，的解析式为：， ∴， ∴，即， ∴，， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， 分三种情况： ①如图3，过点P作轴于F，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴点P的横坐标为， ∵，， ∴由平移得点Q的横坐标为； ②如图4，过点P作轴于G，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴或1， ∴点P的横坐标为1， ∵，， ∴由平移得点Q的横坐标为4； ③如图5，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍），，， ∵，， ∴点Q的横坐标是或； 综上，点Q的横坐标是或4或或． 【考点剖析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，利用待定系数法求函数的解析式，三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 二次函数与菱形的存在性问题 【典例精讲】（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)则抛物线解析式中________，________； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【思路点拨】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出抛物线图象与轴的另一个交点的坐标为，分，，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴， 解得； （2）解：由（1）知该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为， 令， 解得或， ∴抛物线图象与轴的另一个交点的坐标为， 当时，即，此时，随的增大先增大到最大值再减小， 此时，，解得（舍去）； 当时，即，此时，随的增大而减小， 此时，，即， 解得或（舍去）； 综上，当时，y的取值范围是，t的值为； （3）解：存在； 将代入，则， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， 解得 ∴， 设，则， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则，即， 解得（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则，即， 解得或（舍去）， 此时菱形的边长为； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或． 在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 二次函数与正方形的存在性问题 【典例精讲】（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由； (3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，；时，；时， (3)存在，或或或或或 【思路点拨】（1）将点A和点B的坐标代入，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达式； （2）根据题意得出，，再用作差法得出，进行分类讨论即可； （3）求出直线的函数解析式为，然后进行分类讨论：当为正方形的边时；当为正方对角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答． 【规范解答】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为； （2）解：∵，都在该二次函数的图象上， ∴，， ∴， 当时，即时，； 当时，即时，； 当时，即时，； （3）解：设直线的函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 当为正方形的边时， ①∵， ∴， 过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作的垂线，垂足为点H， ∵轴， ∴， ∴，则， 设，则， ∴， ∴点N的纵坐标为， 即， ∵以，，，为顶点的四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； ②如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ③如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ④如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； 当为正方形对角线时， ⑤如图：构造矩形，过点P作于点K， 易得， ∴， 设，则， 和①同理可得：， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，则， ∴， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ⑥如图：构造， 同理可得：， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； 综上：或或或或或 ． 【考点剖析】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答． 模块四 考题预测 满分训练 1．已知抛物线：． (1)该抛物线必过点________和________； (2)如图，抛物线：的顶点为，与轴交点分别为，，抛物线：的顶点为，与轴交点分别为，（点在点的左侧）． ①判断抛物线与抛物线是否有交点，并说明理由； ②连接，证明：四边形为平行四边形； (3)在（2）中，若平移抛物线能使四边形为菱形，请求出平移的方式和平移距离． 【答案】(1) (2)①有交点，见解析；②见解析 (3)将抛物线向左平移个单位，即可满足四边形为菱形 【思路点拨】（1）将函数关系式变形整理成，即可得出结论； （2）①令值相等可得一元二次方程，根据根的判别式即可确定是否有交点； ②根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明即可； （3）根据对角形互相垂直的平行四边形是菱形得到与的横坐标相同，进而得出结论． 【规范解答】（1）解：∵， ∴当时，；当时，， ∴二次函数的图象必过点； （2）①解：有交点，理由如下： 令， 化简得：， 则 ∵， ∴， ∴抛物线与抛物线有两个不同的交点； ②证明：由抛物线：， ∴， ∵当时，， 解得：，点在点的左侧， ∴点， ∵抛物线：， ∴， ∵当时，， 解得：，点在点的左侧， ∴， ∴的中点为，的中点为， 即：四边形的对角线互相平分， ∴四边形为平行四边形； （3）解：由（2）知四边形为平行四边形， 当四边形为菱形时，则， 则此时与的横坐标相同，设抛物线平移个单位后的点的坐标为， ∴， ∴， ∴只需要将抛物线向左平移个单位，即可满足四边形为菱形． 2．（2026·湖北黄石·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是直线下方抛物线上的一点，若，求点D的坐标； (3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内两点，连结、，以、为边构造矩形． ①求点N的坐标（用含m的式子表示）； ②当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【思路点拨】（1）先求出点，再将两个点的坐标代入二次函数关系式，求出答案即可； （2）分两种情况：当轴时，，此时直线与直线下方的抛物线没有交点； 当时，，结合点，可知点D的纵坐标是，再代入函数关系式得出答案； （3）①根据点可得答案； ②当点H，M重合时，求出． 再分两种情况：当点M在点H下方时，当时，矩形内没有函数y的图象；当时，矩形区域内的函数y随着x的增大而减小，可得取值范围； 当点M在点H上方时，有两种可能：当时，此时点Q在对称轴左侧，矩形内的抛物线y随着x的增大而增大；当时，此时点H在对称轴的右侧，矩形内没有函数y的图象，综合以上情况可得答案． 【规范解答】（1）解：当时，， 解得； 当时，， ∴点． ∵点B，C在抛物线上， ∴， 解得， ∴二次函数关系式； （2）解：∵点， ∴，且， ∴． 当轴时，，此时直线与直线下方的抛物线没有交点； 当时，， ∵点， ∴点D的纵坐标是， 令，， 解得， ∴点； （3）解：①当时，， ∴点，则点． ②抛物线，顶点坐标为． 当点H，M重合时，则 解得． 当点M在点H下方时，如图所示， 即， 由题意，得． 当点H，N达到对称轴两侧对称的位置时，则，则当时，矩形内没有函数y的图象； 当时，矩形区域内的函数y随着x的增大而减小，即； 当点M在点H上方时，如图， 即或， 当时，，即， 此时点Q在对称轴左侧，矩形内的抛物线y随着x的增大而增大； 当时，此时点H在对称轴的右侧，矩形内没有函数y的图象，则． 综上所述，或． 3．（2023·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)若点A在该抛物线上，过点A平行于x轴的直线交该抛物线于另一点B．当时，求点A的纵坐标； (3)已知该抛物线上一点P，其横坐标为m，点Q的坐标为，以为对角线构造矩形，且矩形的边所在直线垂直于坐标轴． ①当该抛物线在矩形内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为2时，直接写出m的值； ②当该抛物线与矩形的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)①或；②或 【思路点拨】（1）根据抛物线与x轴的交点以及对称轴求解即可； （2）由题意可知，、两点在对称轴两侧，与对称轴距离为，且，则点的横坐标为或，据此求出点A的纵坐标即可； （3）①由题意可知，，，轴，轴，根据点与点的位置关系，分两种情况求解，利用最高点与最低点的纵坐标的差为2，列方程求解即可；②根据的取值范围作图，分情况确定抛物线与矩形的边的交点数量，即可得解． 【规范解答】（1）解：抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线， ，解得：， 抛物线对应的函数表达式为； （2）解：由题意可知，、两点关于对称轴对称， 对称轴为直线，， 、两点在对称轴两侧，与对称轴距离为，且， 点的横坐标为或， 当时，， 点A的纵坐标为； （3）解：①，，以为对角线构造矩形，且矩形的边所在直线垂直于坐标轴， 轴，轴， 若，则， 若，则或， 若，则， 当或时，如图，此时最高点在边上，最低点在边上， ， 解得：， 当时，矩形与抛物线只有一个交点，不符合题意， ； 当时，如图，此时最高点在边上，最低点在边上， ， 解得：， 综上可知，m的值为或； ②若，则 当时，抛物线与矩形的边始终有两个公共点，如图， 当时，抛物线与矩形的边有三个公共点，如图，不符合题意； 当时，抛物线与矩形的边始终有四个公共点，如图，不符合题意； 当时，抛物线与矩形的边始终有三个公共点，如图，不符合题意； 当时，抛物线与矩形的边始终有两个公共点，如图， 当时，抛物线与矩形的边始终有一个公共点，如图， 综上可知，当该抛物线与矩形的边有两个公共点时，m的取值范围为或． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． 　 (1)试求抛物线的解析式； (2)直线与轴交于点，与抛物线在第一象限交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，取最大值时，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)取得最大值，此时点的坐标为 (3)存在，满足条件的的坐标为或 【思路点拨】（1）根据已知条件求得点的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）过点作轴交直线于，连接，先求得直线的解析式，设，则，可得，再由，根据相似三角形的性质及等高三角形的面积比等于底的比可得，利用二次函数的性质解决问题即可； （3）存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形，分是矩形的边和是矩形的对角线两种情况求点的坐标． 【规范解答】（1）解： ， ， ， ， ， 抛物线经过点，，， ， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）解：如图1，过点作轴交直线于，连接， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， 直线与轴交于点， ， ， 轴，即， ， ， ， ， ， 当时，取得最大值，此时点的坐标为； （3）解：存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形． ①当是矩形的边时，有两种情形， a、如图2﹣1中，四边形是矩形时， 由（2）可知，代入中，得到 ， 直线的解析式为，可得，， 由可得， , ， ， ． 根据矩形的性质，将点向右平移个单位，向下平移1个单位得到点， ，即， b、如图2﹣2中，四边形是矩形时， 直线的解析式为，， 直线的解析式为， ， 根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N， ，即． ②当是对角线时，设， 则，，， 是直角顶点， ， ， 整理得，方程无解，此种情形不存在， 综上所述，满足条件的的坐标为或． 5．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上找一点P，作，当为最大值时，求线段的长； (3)连接，当时，求点P的坐标． (4)若点M为直线上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为 (4)存在，点M的坐标为或或或． 【思路点拨】（1）将点，代入，即可求解； （2）过点作轴交于点，连接，先求出直线 的解析式为，设，则，则，可得，当时，有最大值，即可求解； （3）作点关于直线的对称点，交于点，连接，过点作轴的垂线交轴于点，则在直线上，分别求出，，则，可知点与点重合，，用待定系数法求出直线的解析式为，联立方程组，即可求； （4）设，，，，分三种情况讨论：①当为菱形对角线时，；②当为菱形对角线时，；③当为菱形对角线时，． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点， ∴， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1，过点作轴交于点，连接， 令，则， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，则， ， ，， ， ， ， ， 点是直线上方抛物线上， ， 当时，有最大值，此时； ∵二次函数对称轴与x轴交于点D，且二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴当为最大值时，线段的长． （3）解：， 抛物线的对称轴为直线， ， 作点关于直线的对称点，交于点，连接，过点作轴的垂线交轴于点， ， ， ， 在直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， 点与点重合， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得或（舍， ； （4）解：存在点和点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设，，，， ①当为菱形对角线时，， ， 解得， ，； ②当为菱形对角线时，， ， 解得， ，或，； ③当为菱形对角线时，， ， 解得或（舍， ； 综上所述：点的坐标为或或或． 6．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点．D为第一象限的抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求面积的最大值； (3)过点D作，垂足为点E，求线段长的取值范围； (4)若点F、G分别为线段、上的点，且四边形是菱形，直接写出点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)点D坐标为 【思路点拨】（1）设，将点代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）过点作轴于点，直线的解析式为，设点，则点，得出，进而根据三角形的面积公式，得出关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解； （3）过点作轴于点，交于点，同（2）得出，证明，得出，根据二次函数的性质即可求解； （4）设，，表示出，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【规范解答】（1）解：抛物线与轴交于点，， 设，将点代入， 得：， 解得：， ， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：如图所示，过点作轴于点，交于点， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则点， ， ， 当时，面积的最大值为2； （3）解：如图，过点作轴于点，交于点， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则点， ， 在中，， ，轴， ， ， ， 又， ， ，即， ， 当时，取得最大值为， ； （4）解：设，， ， 四边形是菱形， ， ， 解得：， ． 【考点剖析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，菱形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 7．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ． (2)点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线交线段于点． ①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长． 【答案】(1)； (2)①存在，点的坐标为或；② 【思路点拨】（1）解方程可求得、的坐标，令，可求得点的坐标，即可得解； （2）①设点的坐标为，其中，可得，，，分两种情况画出图形，并根据菱形的性质求解即可； ②设点的坐标为，其中，由直线可设直线的解析式为，由点的坐标可得，则，根据的函数表达式可得，求出，根据可求得，求出点，点的坐标，即可得的长． 【规范解答】（1）解：当时，，解得：，， ∵点在点的左侧 ∴，， 当时，，即． 故答案为：，． （2）解：①存在，理由如下： ∵，， ∴直线的函数表达式为， 设点的坐标为，其中， ∵，， ∴，，， ∵， ∴当时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴，解得：，（舍去）， ∴点的坐标为， ∵点向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点， ∴点的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴，解得：，（舍去）， ∴点的坐标为， ∵点向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点， ∴点的坐标为； 综上，存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或； ②设点的坐标为，其中， ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长． ∵，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴直线的函数表达式为； ∵直线， ∴设直线的解析式为， ∵点的坐标， ∴， ∴ ∴， ∵抛物线的对称轴与直线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质、坐标与图形、勾股定理、二次函数与面积的综合等知识点，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 8．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，于点，轴于点．当时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，直线与相交于点，点在抛物线上，过作轴，交直线于点．是平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点坐标为或或 【思路点拨】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质、一次函数的图象及性质、正方形的性质是解题的关键． （1）令，求点，令，求点，将点、点代入抛物线，即可求解； （2）设，由轴交于点，则，再由，可知，则有，连接，延长交轴于点，可证四边形是平行四边形，为等腰直角三角形，可求， ，，求出，，得到，即可求； （3）先求出，直线的解析式为，联立，求出，分四种情况讨论：①当时，点在上，点在上，可确定或，当时，，；②当时，此时轴，或，当时，；当时，． 【规范解答】（1）解：令，则， ． 令，则， ． 抛物线经过点，， ，解得， 抛物线解析式为． （2）设， 轴交于点， ． ， ． ． ， ． 如图，连接，延长交轴于点， 四边形是平行四边形， ， ． 为等腰直角三角形． ． ． ． 点横坐标为， ∴，即， ． ． ，解得或（舍）． ． （3）令，则，解得或， ． 设直线的解析式为， 将，代入， ，解得， ∴直线的解析式为， ， ． 联立，解得 ． 以点，，，为顶点的四边形是正方形， ①如图2，图3，当时，点在上，点在上， 点在抛物线上， 或． 当时，， ． ． 的中点为，则中点也为， ． 当时，， ． ． 的中点为，则中点也为， ． 此时与轴重合， 不符合题意． ②如图4，图5，当时，此时轴， 或． 当时，， ． 当时，， ． 综上所述，当以点，，，为顶点的四边形是正方形，点坐标为或或． 9．（2025·江苏扬州·一模）如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点E为线段上任意一点（不与端点重合），过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以、为邻边构造矩形．设点E的横坐标为m，矩形的周长为L． ①求L关于m的函数表达式； ②若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)① ② 【思路点拨】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，矩形的性质，数形结合的运用． （1）由待定系数法可求出答案； （2）①求出，，则，分两种情况由矩形的性质可得出答案； ②先根据①的结论画出L的图形，根据题意结合图形即可得出答案． 【规范解答】（1）解：将，代入， ∴， 解得， ∴； （2）解：①抛物线对称轴为直线，与y轴交于点． ∴直线的表达式为， ∴设， ∵过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以、为邻边构造矩形， ∴，， ∴， 分以下两种情况讨论： 当（点E在点H左侧，如图1所示），，， 当时，点E在H右侧，如图2所示，，， ∴； ②L关于m的函数图象如图所示， 当时，， 当时，， 由图象可知，若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，则t的取值范围． 10．（2025·江苏徐州·一模）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点都在这个二次函数的图象上，且，求的最大值； (3)若点是直线上的点，二次函数图象上是否存在点（点在点的左侧），使得四边形是面积为2的正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)n的最大值为 (3)存在，点P的坐标为 【思路点拨】（1）把代入求解即可； （2）根据二次函数的对称性可得出，设，则，解方程组，求出，把代入，求出n关于t的二次函数，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）先求出直线表达式为，当在右上方时，如图，设直线与y轴交于点E，过B作于F，则，，根据正切的定义求出，则可求，进而求出直线表达式为，联立方程组，解方程组即可；当在左下方时，同理求解即可． 【规范解答】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式； （2）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴点关于直线对称， ∴， ∴， 设，则， 解方程组，得， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，n随t的增大而减小， 又， ∴当时，n有最大值为； （3）解：对于，令，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线表达式为， 则， 解得， ∴直线表达式为， ∵正方形的面积为2， ∴正方形的边长为， 当在右上方时，如图，设直线与y轴交于点E，过B作于F 则，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵ ∴直线表达式为， 联立方程组， 解得或， ∴，， ∴，符合题意； 当在左下方时， 同理可求直线表达式为， 联立方程组， 解得或， ∴，， ∴，不符合题意，舍去， 综上，当时，正方形的面积为2． 【考点剖析】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造等腰直角三角形解答． 11.如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，是抛物线上一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点在直线上方时，求面积的最大值； (3)直线轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为； (3)存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，点的坐标为或或． 【思路点拨】（1）把，代入，可得，，即可得二次函数的表达式； （2）设，作轴于点，则，，利用割补法，可得，即可得面积的最大值； （3）由待定系数法，可得直线的解析式为，设，由轴，可得，根据题意进行分类讨论，结合正方形的性质，即可得点坐标． 【规范解答】（1）解：∵二次函数的图象交轴于点，， ∴， 解得， ∴． （2）解：在中，令，得， ∴， 设， ∵点在直线上方，，， ∴，， 作轴于点，则，， 用割补法求面积： ∵的面积等于梯形的面积加的面积减去的面积， 梯形的面积， 的面积， 的面积， ∴面积 ， ∵， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． （3）解：存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 如图，四边形为正方形，则， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 如图，四边形为正方形，点在上方， 连接，，交于点，则，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 如图，四边形是正方形，点在下方， 连接，，交于点，则，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴点的坐标为或或． 12．（2024·江苏徐州·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，抛物线的对称轴轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)动点的坐标为．连结，，当最大时，求出点的坐标； (3)是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使、、、为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)点坐标为，， 【思路点拨】本题考查了抛物线的综合应用，解直角三角形，垂径定理，矩形的性质； （1）结合，由两点式可得抛物线解析式为，求出点坐标，代入即可求出抛物线解析式； （2）记的外心为，则在的垂直平分线上（设与轴交于点），连接、．由圆周角定理和三角函数的定义可表示出，可得出的值随着的增大而减小，则可得与直线相切，再结合勾股定理可求得点的坐标； （3）分类讨论，①若为边，时，将绕点逆时针旋转得到'，根据证明'，依据全等的性质可得点点的坐标，求出直线的表达式与抛物线的解析式联立求解可得点横坐标，由矩形的性质可知 ，，结合点、、点坐标可得点坐标②若为边，时，同理可求：直线的解析式，与抛物线的解析式联立求解可得点横坐标，同理可得点坐标；③若为对角线，由点点坐标可得的中点坐标及的长，点在抛物线上，设点，利用勾股定理可求出的值，选择符合题意的，求出点坐标后结合的中点坐标可知点坐标，综上所述，点的坐标有种情况 【规范解答】（1） ， ，， ， ， 点 设经过点， ， ， 抛物线解析式为：； （2）如图，记的外心为，则在的垂直平分线上（设与轴交于点）． 连接、，则，， ， 的值随着的增大而减小． 又， 当取最小值时最大， 即垂直直线时，最大， 此时，与直线相切． ∵，则 ，， 坐标为． 根据对称性，另一点也符合题意． 综上可知，点坐标为或． （3）若为边，时，如图，将绕点逆时针旋转得到， ， ，， ，且， ，， 点，且 直线'解析式为：， ， ， 点， ， ， ， ， ， 点， 若为边，时， 同理可求：直线的解析式为：， ， ， 点坐标 ， ， ， ， ， 点， 若为对角线， 、、、为顶点的四边形成为矩形， ，与互相平分， ， 中点坐标， ， 设 ， ， ， ，且的中点坐标， 点 综上所述：点坐标为，，． 13．（2024·海南海口·二模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点P在直线的上方运动时，连接，交直线于点D，交y轴于点E． ①若的面积是面积的3倍，求点P的坐标； ②当时，求的长． (3)过点P作轴交直线于点F，在y轴上是否存在点Q，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)存在，或或 【思路点拨】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）①连接，过点P作轴交于点M，过点A作轴交于点N，设，由，则，建立方程求t的值即可； ②设，先求出直线的解析式为，则，再求出，根据，建立方程求出m的值即可求解； （3）设，则，求出，，；分三种情况进行讨论：①当时，②当时，③当时，分别求出结果即可． 【规范解答】（1）解：设抛物线的解析式为， 将点C代入可得， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：①连接， ∵的面积是面积的3倍， ∴， 过点P作轴交于点M，过点A作轴交于点N， 设， 设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴； ②设， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， 当时，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：存在点Q，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设，则， ∵， ∴， ， ； ①当时，， 解得：或 当时，P、F、C、Q四个点都在y轴上，不符合题意； 当时，P、F两个点重合，不符合题意； ②当时，， 解得：或或， 当时，P、F、C、Q四个点都在y轴上，不符合题意； ∵， ∴当时，点在点的下方， ∵，，为菱形的边， ∴此时点Q在点C下方，如图所示： ∵， ∴， ∴点Q的纵坐标为， ∴此时点Q的坐标为； ∵， ∴当时，点在点的上方， ∵，，为菱形的边， ∴此时点Q在点C上方，如图所示： ∵， ∴， 点Q的纵坐标为， ∴此时点Q的坐标为； ③当时，， 解得：或， 当时，P、F、C、Q四个点都在y轴上，不符合题意； ∵， ∴当时，点在点的上方， ∵，，为菱形的边， ∴此时点Q在点C下方，如图所示： ∵， ∴， 点Q的纵坐标为， ∴此时点Q的坐标为； 综上所述：Q点坐标为或或． 【考点剖析】本题考查二次函数的图象及性质，菱形的性质，勾股定理，求二次函数解析式，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，注意进行分类讨论． 14．（2024·江苏无锡·一模）如图1，抛物线与x轴交于点，，且经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)若M、N分别是边、上的动点，且，Q为线段的中点，． ①以为一边，在的上方作正方形，当点H落在该抛物线上时，求此时点H的横坐标； ②如图2，P的坐标为，将绕点P顺时针旋转到，若恰好落在边上，直接写出此时m的值． 【答案】(1) (2)①；② 【思路点拨】（1）运用待定系数法求解即可； （2）①过点M作轴于点D，过点H作于点E，证明可得，设，则，，利用求得，再代入求出k，从而得解； ②先证明，再求出直线和的解析式，从而求出点的坐标，继而求出，从而得解． 【规范解答】（1）解：将点，， 代入得：， 解得：， 故抛物线的表达式是：； （2）①∵，， ， ∴， 如图，过点M作轴于点D，过点H作于点E， 则轴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∴，， ∴，， 即， 将点代入得：， 解得：，(舍去) ∴， 即点H的横坐标是； ②，理由如下： 作图如下：作的角平分线交y轴于点F，作轴于点T， 由旋转可知： 由①可知：， ∴，， 又∵Q为线段的中点， ∴， 设直线的解析式是 ∵， ∴，，， ∵ ∴， 设，则由平分可知中边上的高等于， ∵，即， 解得，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴直线的解析式是：， 设直线的解析式是， 将点代入得到：， 解得：， 即直线的解析式是， 同理由， ，可得直线的解析式是：， 将直线的解析式和直线的解析式联立得：， 解得：， ∴， ∴， ∴，即． 【考点剖析】本题考查二次函数的综合题，涉及相似三角形的判定与性质，全等三角形判定与性质，角平分线的性质，两点间的距离公式等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 15．（2024·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，点P在线段上，过点P作轴，交抛物线于点D，交直线于点E． (1) ， ； (2)在点P运动过程中，若是直角三角形，求点P的坐标； (3)在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【思路点拨】（1）把代入，运用待定系数法解二次函数的解析式，即可作答． （2）因为，先排除一种情况，再进行分类讨论，即和，分别列式计算，即可作答． （3）根据菱形性质，结合图象性质，进行分类讨论，即四边形为菱形或四边形为菱形，运用中点法列式，以及勾股定理，代入数值，进行计算，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵二次函数的图象交x轴于两点， ∴把代入 得 解得 ∴ 故答案为：； （2）解：∵轴 ∴ ∴ ∵是直角三角形 ∴当时， ∴ ∴ ∵对称轴 ∴ 此时点P的坐标为 ∴当时， 设的解析式为 ∴把代入 ∴得 解得 ∴ 设点 则 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 则 即 解得（此时点E和点C重合，故舍去） ∴点 综上或 （3）解：存在，或 如图：依题意，当四边形为菱形时，由（2）知的解析式为 设点， ∵四边形为菱形 ∴ 即 则 由（2）知，此时 ∴ ∴ 即如下图所示： 如图：依题意，当四边形为菱形时 ∵点， ∴ 即 ∵ ∴ ∴解得，（舍去） ∴ ∴ 综上或 【考点剖析】本题考查了二次函数的几何综合，菱形性质，待定系数法解函数解析式，勾股定理，解直角三角形的相关性质，熟练运用分类讨论思想以及数形结合思想是解题的关键． 16．（2024·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为交轴于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知抛物线上点，以点为直角顶点构造，使点在轴上，点在轴上，为的中点，求的最小值； (3)为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的横坐标为或或或 【思路点拨】（1）根据二次函数的顶点坐标列出关于、的方程组，求解即可； （2）证明，得到，设，求出点，，得到点，则，即可求解； （3）分三种情况：①若是斜边，则；②若是斜边，则；③若是斜边，则，分别列出方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， 解得： ∴抛物线的解析式为； （2）如图，连接， ∵抛物线的解析式为，， 当时，得， ∴， ∴轴，即轴， 过点作于点，过点作轴于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， ∴，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵，轴， ∴， 在中，， ， ∴ ， ∴当时，的最小值为； （3）∵抛物线交轴于、两点， 当时，得， 解得：或， ∴，， 设，则 ， ， ∵、、、构成的四边形是矩形， ∴是直角三角形， ①若是斜边，则， ∴， 解得：，，（舍去），（舍去）， 此时点的横坐标为或； ②若是斜边，则， ∴， 解得：或（舍去）， 此时点的横坐标是； ③若是斜边，则， ∴， 解得：或（舍去）， 此时点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或或或． 【考点剖析】本题是二次函数综合运用，考查了待定系数法确定解析式，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的最值，勾股定理，一元二次方程的应用等知识点，正确理解题意并分类求解是解题的关键． 17．如图，点，二次函数的图象顶点为B．与y轴交于点C．连接．过点A作轴于点D，点E是线段上的动点（点E不与A、C两点重合）． (1)直接写出顶点B，点C的坐标； (2)若直线将四边形分成周长相差为4的两个四边形，求点E的坐标； (3)如图，连接，作矩形，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F也恰好落在二次函数的图像上？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，，理由见解析 【思路点拨】（1）将抛物线解析式化为顶点式，即可求得的坐标，令即可求得点的坐标； （2）求出C（0，3），设点E的坐标为（m，3），求出直线BE的函数表达式，则点M的坐标为（4m-6，0），由题意得出OC=3，AC=4，OM=4m-6，CE=m，根据题意建立绝对值方程，解方程求解即可； （3）过点F作FN⊥AC于N，则NF∥CG，设点F的坐标为：，证明△EFN≌△DGO（ASA），得出NE=OD=AC=4，则AE=NC=-a，证△ENF∽△DAE，根据相似三角形的性质求得，根据图形取舍的值，即可求解． 【规范解答】（1）解：由 令，解得 （2）， 四边形是平行四边形 四边形是矩形， 设点E的坐标为（m，3），直线BE的函数表达式为：y=kx+n，直线BE交x轴于点M，如图1所示： 则 直线BE的函数表达式为： 令，解得 ∴点M的坐标为（4m-6，0）． ∵直线将四边形分成周长相差为4的两个四边形， ∵C（0，3），A（4，3），M（4m-6，0），E（m，3）， ∴OC=3，AC=4，OM=4m-6，CE=m． 即 解得或 或 （3）存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上，理由如下： 由题意得：满足条件的矩形DEFG在直线AC的下方， 过点F作FN⊥AC于N，则NF∥CG，如图2所示： 设点F的坐标为（a，-a2+a+3），则NF=3-（-a2+a+3）=a2-a，NC=-a． ∵四边形DEFG与四边形ACOD都是矩形， ∴∠DAE=∠DEF=∠N=90°，EF=DG，EF∥DG，AC∥OD． ∴∠NEF=∠ODG，∠EMC=∠DGO． ∵NF∥CG， ∴∠EMC=∠EFN． ∴∠EFN=∠DGO． 在△EFN和△DGO中， ∴△EFN≌△DGO（ASA）． ∴NE=OD=AC=4． ∴AC-CE=NE-CE，即AE=NC=-a． ∵∠DAE=∠DEF=∠N=90°， ∴∠NEF+∠EFN=90°，∠NEF+∠DEA=90°． ∴∠EFN=∠DEA． ∴△ENF∽△DAE． ∴ 即 整理得 解得或 当时， 点E与点A重合， ∴a=0舍去， ∴AE=NC=- ∴当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上，此时AE的长为 【考点剖析】本题考查了二次函数解析式的求法、二次函数的性质、一次函数解析式的求法、坐标与图形性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，综合运用以上知识是解题的关键． 18．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与探究 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，点B的坐标为，顶点D的坐标为．点P为抛物线上第一象限内一点，过点P作交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)点F在直线上，平面内存在点Q，使以点C，D，F，Q为顶点的四边形为正方形，点Q的坐标为________； (3)求的最大值； (4)点M为直线上一动点，连接并延长至点N，使，连接，当的值最大时，的最小值为________． 【答案】(1) (2)或； (3) (4) 【思路点拨】（1）设出顶点式，待定系数法进行求解即可； （2）求出点坐标，推出，进而得到，推出正方形，求出直线的解析式，设，根据，列出方程求出的值，再根据平移思想，求出点的坐标即可； （3）作 轴，交于点，作于点，求出，进而得到，，得到，证明为等腰直角三角形，推出，进而得到最大时，最大，设，则，利用二次函数求最值即可； （4）根据，得到，进而得到，推出，得到当最大时，的值最大，延长至点，使，过点作的平行线，作轴，轴，利用相似，求出点坐标，推出点在过点且平行于的直线上运动，作点关于的对称点，连接，则，得到当三点共线时，最小，进行求解即可. 【规范解答】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴当时，，当时，解得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴当点C，D，F，Q为顶点的四边形为正方形时，只能得到正方形， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，解得， ∴或， ∵点先向右平移1个单位，再向上平移一个单位得到， ∴点先向右平移1个单位，再向上平移一个单位得到， ∴或； （3）解： 作 轴，交于点，作于点，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由（2）可知，，直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， 设，则， ∴， ∴当时，最大为，此时最大为； （4）解：由（3）可知，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，的值最大， 延长至点，使，过点作的平行线，作轴，轴， 则， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点在直线上， ∴， ∴，即点在过点且平行于的直线上运动， 作点关于的对称点，连接，则， ∴当三点共线时，最小， 由（2）可知，， ∵，点在直线上， ∴， ∵点关于的对称点为， ∴垂直平分， ∴为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七讲 二次函数与矩形、菱形、正方形存在性问题『压轴题大揭秘』 〔考法综述+技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【原卷版】在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 讲义说明 资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定制，聚焦数学压轴题专项提升，贴合江苏各地中考命题规律，精选近两年省内各市中考真题、名校模拟题，按考点分类精讲精练，帮助学生掌握解题方法、强化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一 考情透视，考法综述—深度剖析江苏中考压轴题命题趋势，明晰考情考点； 模块二 技巧点拨，方法揭秘—梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块三 核心精讲，典例剖析—针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤； 模块四 考题预测，满分训练—立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 考情透视 考法综述 我们已经知道矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形 在做几何证明题的时候我们常用的判定方法主要是前三种. 二次函数和矩形、菱形、正方形存在性问题作为压轴题目，结合了“分类讨论思想”，“方程思想”“菱形的判定方法”，势必要比单纯的菱形判定思考难度要大的多，纵观历年中考真题，矩形、菱形、正方形存在性问题主要是以“两定两动”为设问方式，其中两定指的是四边形四个顶点其中有两个顶点的坐标是确定的或者是可求解的；两动指的是其中一个动点在一条直线或者抛物线上，另外一个动点是平面内任意一点或者该动点也在一条直线或者抛物线上. 模块二 技巧点拨 方法揭秘 1.矩形的判定: （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角为直角的四边形是矩形． 题型分析：矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“一个角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式： 因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解． 确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．下： 同时，也可以先根据A、B的坐标求出直线AB的解析式，进而得到直线AD或BC的解析式，从而确定C或D的坐标. 2.菱形的判定: （1）四边都相等的四边形是菱形； （2）两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ； （3）邻边相等的平行四边形是菱形； （4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ； （5）一条对角线平分一个顶角的平行四边形是菱形. 3.正方形的判定: （1）有一个角为直角的菱形； （2）有一组邻边相等的矩形； （3）对角线互相垂直平分且相等的四边形． 二次函数与正方形存在性问题 （1）作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标． （2）对于二次函数与正方形的存在性问题，常见的处理思路有： 思路1：从判定出发若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件． 思路2：构造三垂直全等若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点． 示例：在平面直角坐标系中，已知A、B的坐标，在平面中求C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是正方形． 如图，一共6个这样的点C使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形． 模块三 核心精讲 典例剖析 在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 二次函数与矩形的存在性问题 【典例精讲】（2025·江苏无锡·二模）已知二次函数的图象与x轴分别交于点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，交x轴于点D，P为抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求点P的坐标； (3)若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 二次函数与菱形的存在性问题 【典例精讲】（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)则抛物线解析式中________，________； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 二次函数与正方形的存在性问题 【典例精讲】（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由； (3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 模块四 考题预测 满分训练 1．已知抛物线：． (1)该抛物线必过点________和________； (2)如图，抛物线：的顶点为，与轴交点分别为，，抛物线：的顶点为，与轴交点分别为，（点在点的左侧）． ①判断抛物线与抛物线是否有交点，并说明理由； ②连接，证明：四边形为平行四边形； (3)在（2）中，若平移抛物线能使四边形为菱形，请求出平移的方式和平移距离． 2．（2026·湖北黄石·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是直线下方抛物线上的一点，若，求点D的坐标； (3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内两点，连结、，以、为边构造矩形． ①求点N的坐标（用含m的式子表示）； ②当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，直接写出m的取值范围． 3．（2023·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)若点A在该抛物线上，过点A平行于x轴的直线交该抛物线于另一点B．当时，求点A的纵坐标； (3)已知该抛物线上一点P，其横坐标为m，点Q的坐标为，以为对角线构造矩形，且矩形的边所在直线垂直于坐标轴． ①当该抛物线在矩形内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为2时，直接写出m的值； ②当该抛物线与矩形的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． 　 (1)试求抛物线的解析式； (2)直线与轴交于点，与抛物线在第一象限交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，取最大值时，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的点的坐标． 5．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上找一点P，作，当为最大值时，求线段的长； (3)连接，当时，求点P的坐标． (4)若点M为直线上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由． 6．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点．D为第一象限的抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求面积的最大值； (3)过点D作，垂足为点E，求线段长的取值范围； (4)若点F、G分别为线段、上的点，且四边形是菱形，直接写出点D的坐标． 7．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ． (2)点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线交线段于点． ①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长． 8．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，于点，轴于点．当时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，直线与相交于点，点在抛物线上，过作轴，交直线于点．是平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 9．（2025·江苏扬州·一模）如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点E为线段上任意一点（不与端点重合），过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以、为邻边构造矩形．设点E的横坐标为m，矩形的周长为L． ①求L关于m的函数表达式； ②若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，请直接写出t的取值范围． 10．（2025·江苏徐州·一模）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点都在这个二次函数的图象上，且，求的最大值； (3)若点是直线上的点，二次函数图象上是否存在点（点在点的左侧），使得四边形是面积为2的正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11.如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，是抛物线上一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点在直线上方时，求面积的最大值； (3)直线轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2024·江苏徐州·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，抛物线的对称轴轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)动点的坐标为．连结，，当最大时，求出点的坐标； (3)是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使、、、为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 13．（2024·海南海口·二模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点P在直线的上方运动时，连接，交直线于点D，交y轴于点E． ①若的面积是面积的3倍，求点P的坐标； ②当时，求的长． (3)过点P作轴交直线于点F，在y轴上是否存在点Q，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（2024·江苏无锡·一模）如图1，抛物线与x轴交于点，，且经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)若M、N分别是边、上的动点，且，Q为线段的中点，． ①以为一边，在的上方作正方形，当点H落在该抛物线上时，求此时点H的横坐标； ②如图2，P的坐标为，将绕点P顺时针旋转到，若恰好落在边上，直接写出此时m的值． 15．（2024·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，点P在线段上，过点P作轴，交抛物线于点D，交直线于点E． (1) ， ； (2)在点P运动过程中，若是直角三角形，求点P的坐标； (3)在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 16．（2024·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为交轴于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知抛物线上点，以点为直角顶点构造，使点在轴上，点在轴上，为的中点，求的最小值； (3)为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图，点，二次函数的图象顶点为B．与y轴交于点C．连接．过点A作轴于点D，点E是线段上的动点（点E不与A、C两点重合）． (1)直接写出顶点B，点C的坐标； (2)若直线将四边形分成周长相差为4的两个四边形，求点E的坐标； (3)如图，连接，作矩形，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F也恰好落在二次函数的图像上？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 18．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与探究 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，点B的坐标为，顶点D的坐标为．点P为抛物线上第一象限内一点，过点P作交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)点F在直线上，平面内存在点Q，使以点C，D，F，Q为顶点的四边形为正方形，点Q的坐标为________； (3)求的最大值； (4)点M为直线上一动点，连接并延长至点N，使，连接，当的值最大时，的最小值为________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $