第06讲 二次函数与平行四边形存在性问题（学霸秘籍，压轴题专项训练）2026年中考数学（江苏专用）

第六讲 二次函数与平行四边形存在性问题『压轴题大揭秘』 〔考法综述+技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【解析版】在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 讲义说明 资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定制，聚焦数学压轴题专项提升，贴合江苏各地中考命题规律，精选近两年省内各市中考真题、名校模拟题，按考点分类精讲精练，帮助学生掌握解题方法、强化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一 考情透视，考法综述—深度剖析江苏中考压轴题命题趋势，明晰考情考点； 模块二 技巧点拨，方法揭秘—梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块三 核心精讲，典例剖析—针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤； 模块四 考题预测，满分训练—立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 考情透视 考法综述 以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考的热点难点之一，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解. 模块二 技巧点拨 方法揭秘 解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形. 1.平面直角坐标系中，点 的坐标是，点B的坐标是，则线段AB的中点坐标是. 2.平行四边形ABCD的顶点坐标分别为、、、， 则，. 3.已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内找到一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况： 模块三 核心精讲 典例剖析 【典例精讲一】（2026·江苏苏州·一模）如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接． (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标． (2)若将该二次函数图象向下平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求m的取值范围． (3)点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点P的坐标为或 【思路点拨】（1）利用待定系数法和配方法解答即可； （2）先求出直线的解析式为．过点M作直线轴，分别交于点E，交于点F，利用解析式分别求得E，F的坐标，利用抛物线平移的性质，列出不等式即可求得结论； （3）利用分类讨论的方法分两种情况，结合平行四边形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质解答即可． 【规范解答】（1）解：∵二次函数的图象经过点，点， ∴， 解得：， ∴该二次函数的解析式为， ∵， ∴顶点； （2）解：设直线的解析式为， ∴． 解得：， ∴直线的解析式为． 过点M作直线轴，分别交于点E，交于点F，如图， 当时，， ∴． ∵将该二次函数图象向下平移个单位， ∴平移后的点M的坐标为， ∵平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界）， ∴， ∴； （3）解：当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，点P的坐标为或，理由： ①当四边形为平行四边形时，． 连接，过点M作轴于点H，设与交于点F，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点M关于直线的对称点为Q， ∴． 过点P作轴于点G， 设，则， ∵， ， ∴． ∴， ∴． ∴； ②当四边形为平行四边形时，． 连接，过点M作轴于点H，设与交于点F，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点M关于直线的对称点为Q， ∴， 过点P作轴于点G， 设，则， ∵， ， ∴， ∴， ∴． ∴． 综上，当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，点P的坐标为或． 【考点剖析】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 【典例精讲二】（2026·江苏无锡·一模）已知二次函数的图象经过点，，顶点为点，与轴交于点． (1)求该二次函数的表达式； (2)点和是该二次函数图象上的两点，当时，试比较与的大小，并说明理由； (3)点是直线上的动点，过点作直线的垂线，记点关于直线的对称点为．当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时， (3)和 【思路点拨】（1）将A、B两点坐标代入二次函数解析式中求解即可； （2）把点和代入解析式得、表达式，采用作差法计算并化简，结合已知的取值范围，以差式的正负分三种情况讨论即可明确与的大小关系； （3）先根据二次函数解析式求出顶点、与轴交点的坐标，结合点坐标求出直线的解析式，设出直线上动点的坐标；再利用轴对称的性质，由垂直、与关于对称，得出，结合平移的坐标变化规律、平行线的性质、中点坐标公式，推导出点的坐标；最后根据平行四边形对角线互相平分的核心性质，对四个点构成平行四边形的对角线组合进行分类，利用中点坐标公式建立方程求解，舍去无效解后得到符合条件的点的坐标． 【规范解答】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴，即， 解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：∵点和是二次函数图象上的两点， ∴，， ∴， 结合，分三种情况讨论： ①当，即时，； ②当，即时，； ③当，即时，； （3）解：∵抛物线与轴交于点，顶点为点， ∴，， 设直线的解析式为，将，代入得 ， 解得， ∴直线解析式为， ∵点是直线上的动点， ∴设， ∵、关于直线对称， ∴垂直平分， 又， ∴， ∴到的平移规律，与到的平移规律完全一致， 设到中点的横坐标变化为，则纵坐标变化为， ∴， 如图，中点在对称轴上，且， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ， ， ∴， 整理得， ∵点和点重合时无法构成平行四边形，故， ∴两边同时除以，得 ， ∴， 设，则 ，， 化简得，， ∴， 若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，分以下三种情况讨论： ①以和为平行四边形的对角线，则的中点的中点， ∴横坐标相等，得， 解得， 纵坐标相等，得， 解得， ∴； ②以和为平行四边形的对角线，则的中点的中点， ∴横坐标相等，得， 解得， 纵坐标相等，得， 解得， ∴此情况不成立； ③以和为平行四边形的对角线，则的中点的中点， ∴横坐标相等，得， 解得， 纵坐标相等，得， 解得， ∴； 综上，点的坐标为和． 【考点剖析】四点平行四边形存在性问题，初中阶段最稳、零漏解的通法，就是“对角线中点重合三分类”：四个点中，任选两个点为对角线，仅有种不重复的组合，分别用中点坐标公式列方程，横纵坐标解一致则为有效解，自动舍去无效情况，完全避免了按边分类的漏解、错解问题． 模块四 考题预测 满分训练 1．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式和点、点坐标； (2)若点在轴上，点在抛物线上．是否存在以，，，为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为或或，四边形是平行四边形． 【思路点拨】本题考查二次函数与几何的综合，一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，解一元二次方程，学习数形结合的解题思路． （1）根据点的坐标，，求出点，利用待定系数法求出抛物线解析式，根据抛物线与的交点，则，解出，即可； （2）根据平行四边形的性质，分类讨论当，为边时，即四边形是平行四边形，当，为对角线，即四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质，进行解答，即可． 【规范解答】（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴点，， ∵点的坐标为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴， 解得：，， ∴点． （2）解：存在，理由如下： 设点， 当，为边时，即四边形是平行四边形， ∴轴， ∴， ∴， 解得：，， 当时，点与点重合，不能构成平行四边形，舍去， ∴点； 当，为对角线，即四边形是平行四边形， ∵点，在轴上， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴点或， 综上所述，点的坐标为或或，四边形是平行四边形． 2．（25-26九年级上·山东东营·期末）如图，二次函数的图像与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点的坐标； (3)点在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的表达式为； (2)； (3)点的坐标为或或． 【思路点拨】本题考查了二次函数的图像及性质，平行四边形的性质，待定系数法求解析式，解直角三角形等知识，掌握二次函数的图像及性质并运用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． （1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）如图，过点作轴于点，设，由，即，所以，所以，然后解方程并检验即可； （3）分三种情况：四边形是平行四边形；四边形是平行四边形；四边形是平行四边形，利用中点坐标公式即可解答． 【规范解答】（1）解：把点和点代入二次函数中得， ， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）解：如图，过点作轴于点，设， ∵点是抛物线在第三象限上的一点， ∴， 当时，， ∴或， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； （3）解：由， ∴抛物线的对称轴是直线， 如图，四边形是平行四边形， ∵，，点的横坐标为， ∴点的横坐标为， ∴； 如图，四边形是平行四边形， 同理可得点的横坐标为， ∴； 如图，四边形是平行四边形，此时轴，点在轴上， ∴， 综上，点的坐标为或或． 3．（2024·江苏宿迁·一模）材料一；《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到 一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索题 发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题． 材料二：分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种解题策略，在数学中的应用相当多，它能使许多看似非常复杂的问题简单化．因此在用分类讨论解决数学问题时要遵循一定的规则，注意合理的分类，对全体对象的分类必须做到不重复、不遗漏，每次分类必须保持在同一标准． 请阅读上述材料，完成题目： 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由； (3)点是抛物线对称轴与轴的交点，点是轴上一动点，点在运动过程中，若以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)存在．的最大值为； (3)点坐标为或或，． 【思路点拨】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）设，则，则，根据三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质解决问题； （3）先求出抛物线的对称轴为直线得到，讨论：当时，则，利用平行四边形的性质得，从而得到此时点坐标；当时，由于点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点，所以点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点，设，则，然后把代入得，则解方程求出得到此时点坐标． 【规范解答】（1）解：抛物线经过点，点， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：存在． 当，，解得，则， 设，则， ， ， ， 当时，有最大值为； （3）解：抛物线的对称轴为直线， ， 当时，则， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ， 点坐标为或； 当时， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ， 点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点， 点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点， 设，则， 把代入得，解得，， 此时点坐标为，， 综上所述，点坐标为或或，． 【考点剖析】本题考查了二次函数的综合题，二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；待定系数法求函数解析式；坐标与图形性质；运用分类讨论的思想解决数学问题是解题的关键． 4．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点C． (1)__________，__________； (2)如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发.设运动时间为秒（）；当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4，5 (2)当时，的面积最大，最大面积是 (3)存在，的坐标为或或或 【思路点拨】（1）用待定系数法可得二次函数的表达式为； （2）过点作轴于点，设面积为，由，，可得，，即得，由二次函数性质可得当秒时，的面积最大，最大面积是； （3）由，得直线解析式为，设，，分三种情况：①当，是对角线，有，解得；②当，为对角线，有，解得；③当，为对角线，有，解得或． 【规范解答】（1）解：将点，代入中， 得， 解这个方程组得， 二次函数的表达式为； （2）解：过点作轴于点，如图： 设面积为， 根据题意得：，． ， ， 在中，令得， ， ， ． ， ， ， 当时，的面积最大，最大面积是； （3）解：存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 由，得直线解析式为， 设，，又，， ①当，是对角线，则，的中点重合， ， 解得（与重合，舍去）或， ； ②当，为对角线，则，的中点重合， ， 解得（舍去）或， ； ③当，为对角线，则，的中点重合， ， 解得或， 或， 综上所述，的坐标为或或或 【考点剖析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，三角函数的应用，平行四边形的性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点C，点D关于x轴对称，连结，作直线． (1)求b、c的值； (2)求点A、B的坐标； (3)求证：； (4)点P在抛物线上，点Q在直线上，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)，； (2)、的坐标分别为、； (3)详见解析 (4)点的坐标为：或或或 【思路点拨】（1）用待定系数法即可求解； （2）令，解得或，即可求解； （3）由，，即可求解； （4）当为平行四边形的对角线时，由中点坐标公式列出方程组，进而求解；当、是平行四边形的对角线时，同理可解． 【规范解答】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则， 即，； （2）解：令， 解得：或， 故点、的坐标分别为、； （3）证明：由抛物线的表达式知：点， 则点， 则，，， ，， ； （4）解：设点，点，， 当为平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得：， 整理得：， 解得：舍去或， 则， 即点； 当是平行四边形的对角线时，可得：， 解得：， 即点； 当是平行四边形的对角线时，可得：， 解得：， 即点的坐标为或， 综上，点的坐标为：或或或． 【考点剖析】本题是二次函数的综合题，主要考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，解直角三角形，平行四边形的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． 6．（2024·江苏宿迁·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点，顶点为点，连接、，点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点． (1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标； (2)当的值最大时，求点的坐标及的最大值； (3)如图2，在（2）的条件下，是此抛物线对称轴上长为2的一条动线段（点在点上方），连接、，当四边形周长取最小值时，求点的坐标；在此条件下，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)；最大值为 (3)、、 【思路点拨】（1）由待定系数法求出抛物线的解析式，再求出顶点坐标即可； （2）作交直线于点，作交直线于点，得：，得到，，待定系数法求出直线的表达式，点N的坐标是，求出，求的最大值，就是求的最大值，即的最大值，设，，得PQ＝，进而求出答案； （3）先说明最小，就是最小；作，且，连接，如图4，则；作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点，则点运动到点时，最小；待定系数法求出直线的表达式，得到，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，得出答案． 【规范解答】（1）解：由抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点得： ， 解得：， ∴； 对称轴：直线， ∴， ∴点G的坐标为． （2）解：如图3，作交直线于点，作交直线于点，得：， ∴， ∴， 设直线的表达式为， ∴， 解得， 即； ∵， ∴把x＝﹣2代入得y＝， ∴点N的坐标是， ∴； ∴求的最大值，就是求的最大值，即求的最大值； 设，， ∴ ； 当时，最大值时3，， ∴的最大值的最大值； （3）解：∵在中，， ∴； ∴， ∴最小，就是最小； 作，且，连接，如图4， ∴四边形是； ∴， ∴； 作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点，则点运动到点时，最小； 设直线的表达式为， ∴， 解得， 即； ∴； 以点、、、为顶点的四边形为平行四边形， ∴、、． 【考点剖析】此题是二次函数与几何综合题，考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定和性质、二次函数的图像和性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，作出正确的辅助线是解题的关键． 7．如图，已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点． (1)求抛物线的解析式； (2)若过点的直线交线段于点，且，求的正切值； (3)若点在抛物线上，点在轴上，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3)点的坐标为，或，或，或， 【思路点拨】（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数解析式即可求解； （2）根据面积比求出AE的长度，进而得到OE的长度，求出点E的坐标，结合点C的坐标，利用锐角三角函数的定义求解； （3）根据二次函数解析式求出点D的坐标，分两种情况：当四边形DCQP 为平行四边形时；当四边形 DCQP为平行四边形时来求解． 【规范解答】（1）解：将，，代入解析式中，则有： ， 解得：． 抛物线的解析式为：． （2）解：， ． ． ． ． 点的坐标为，． 又点的坐标为． 在中， ，， . （3）解：点的坐标为，或，或，或，． 理由： ， 顶点的坐标为． ①当四边形为平行四边形时， 四边形为平行四边形， ，． ， 即． ． 令，则． ， 点的坐标为，，，． ②当四边形为平行四边形时， 四边形为平行四边形， ，． ，即． ， 令，则． ． 点的坐标为，，，． 综上所述，满足条件的点的坐标为，或，或，或，． 【考点剖析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，锐角三角函数的定义，平行四边形的性质，理解相关知识是解答关键． 8．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接． (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标． (2)若点E是直线上方的抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． (3)点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点P的坐标为或 【思路点拨】（1）利用待定系数法和配方法解答即可； （2）先求出直线的解析式为．求得面积的最大值即可求得结论； （3）利用分类讨论的方法分两种情况，结合平行四边形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质解答即可． 【规范解答】（1） 解：二次函数的图像经过点，点， ， 解得：， 该二次函数的解析式为， ， 顶点； （2）解：对称轴为直线，点，轴， ， ，， ， 设直线解析式为， 则， 解得， 直线解析式为， 过作轴交于点， 设，则， ， ， ， 当时 ，为最大值， 四边形面积的最大值为； （3）解：当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或， 理由：①当四边形为平行四边形时，． 连接，过点作轴于点，设与交于点，如图， ∵，， ∴，， ， ， ∵，， ∴， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ． 过点作轴于点， 设，则， ∵， ， ． ， ∴． ∴； ②当四边形为平行四边形时，．连接， 过点作轴于点，设与交于点，如图， ∵，， ∴， ， ， ∵， ∴， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ， 过点作轴于点， 设，则， ∵， ∴， ， ． ∴，． 综上，当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或． 9．（2024·江苏连云港·一模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (4)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； (5)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 (4) (5)的值为或 【思路点拨】（1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）根据（1）中所求抛物线解析式可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （3）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值； （4）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可求表示出M点纵坐标，代入抛物线解析式可求得m的值； （5）由条件可得出，结合（2）可得到关于m的方程，可求得m的值． 【规范解答】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：令可得，，解，， ∵点在点右侧， ∴点坐标为， 设直线解析式为， 把、坐标代入可得，解得， ∴直线解析式为； （3）解：∵轴，点的横坐标为， ∴，， ∵在线段上运动， ∴点在点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为； （4）解：∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， ∴点纵坐标为3， ∴，解得或， 当时，则，重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； （5）解：∵， ∴当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴， ∴或， 解方程，即， 此时． ∴方程无解， 解方程，即， ∴， 综上，的值为或． 【考点剖析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（3）中用m表示出的长是解题的关键，在（4）中确定出是解题的关键，在（5）中由平行四边形的性质得到是解题的关键． 10．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)点E的坐标为或或 【思路点拨】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当点P在下方时，可证明点P与点C关于抛物线对称轴对称，据此根据对称性可得点P坐标；当点P在上方时，设直线交x轴于H，则可证明，设，利用两点距离计算公式可得，解得，则；求出直线解析式为，联立直线解析式和抛物线解析式求出点P的坐标即可； （3）先由对称性求出由对称性可得，求出，，则；则可推出将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线，据此打得到新抛物线解析式为；再分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同列出方程求解即可． 【规范解答】（1）解；把代入到中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；如图2-1所示，当点P在下方时， ∵， ∴， ∴点P与点C关于抛物线对称轴对称， ∵抛物线对称轴为直线， ∴点P的坐标为； 如图2-2所示，当点P在上方时，设直线交x轴于H， ∵， ∴， ∴ 设， ∴， 解得， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：由（2）可得原抛物线对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可得， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线， ∴将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线， ∴新抛物线解析式为， 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或或． 【考点剖析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，两点距离计算公式等等，解（2）的关键在于分两种情况讨论求解，解（3）的关键在于利用平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解． 11．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点为抛物线上一点，点为轴上一点，当以为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，求点的坐标； (3)若为线段的中点，为抛物线的顶点，直线交抛物线于两点，直线交轴于点，直线交轴于点．试探究：是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查二次函数的图像和性质，中点坐标公式，二次函数一次函数结合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意求出，将三个点代入函数表达式求解即可； （2）根据题意设，，分两种情况进行讨论，当为平行四边形对角线时；以及为平行四边形对角线时，即可得到答案． （3）设，，求出，根据题意求出，，即可求出答案． 【规范解答】（1）解： ， 将代入， ，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：点为抛物线上一点， 设， 点为轴上一点， 设， 当以为顶点的四边形是以为边的平行四边形时， ①为平行四边形对角线时，对角线交点即为中点，利用中点坐标公式， ， 解得， ， ②为平行四边形对角线时， ， 解得， ， 此时点和点重合，故该情况不成立， 综上所述，点的坐标； （3）解：设的值为定值， 为抛物线上两点， 设，， 为直线与抛物线的交点， 联立得：， 得：， ， 为抛物线的顶点， ， ， 表示为：， 得， 直线交轴于点， 令，得，解得， ， ， 表示为：， 得， 令，得，解得， ， 为线段的中点， ， ， ， ， 故的值为定值，为． 12．（2024·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A，B两点，它的对称轴直线交抛物线于点M，过点M作轴于点C，连接，已知点A的坐标为． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)动点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为，其中． ①若，请求此时点Q的坐标； ②在线段上是否存在一点D，使得以C，P，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出此时m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；② 【思路点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、线段长度的表示方法、一次函数的图象和性质，其中（2），确定是本题解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）①证明，得到直线的表达式为：，联立上式和抛物线的表达式得：，解得： ，即可求解； ②当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当或角线时，同理可解． 【规范解答】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）由抛物线的表达式知，点、的坐标分别为：，则点， 设点， 则点， ①由点的坐标得，直线的表达式为： ， ∵，则， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：， 解得：， 则点的坐标为：； ②存在，理由： 由点、的坐标得，直线的表达式为： ， 当为对角线时， 由中点坐标公式得： ， 解得：(不合题意的值已舍去)； 当或角线时， 同理可得：， 或， 解得：(舍去)； 综上，． 13．若直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象经过点A，点B，且与x轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)若点P为直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为E，作轴交直线于点F，求线段最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线，Q是新抛物线与x轴的交点（靠近y轴），N是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M，使得以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2)线段最大值为，点P的坐标为 (3)满足条件的点M的坐标有或或 【思路点拨】（1）先求出A，B点坐标，根据B点和C点坐标设二次函数交点式，将A点坐标代入即可求解； （2）延长交于点H，设，则，用含m的式子表示出的长，化为顶点式即可求出最值； （3）分为边、为对角线两种情况，利用平行四边形的性质求解． 【规范解答】（1）解：把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴函数的表达式为：， 把代入得：， 解得：， 故该抛物线得表达式为； （2）解：延长交于点H，如图， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ， ∴此时点P的坐标为； （3）解：∵， ∴抛物线y的对称轴为直线，平移后的抛物线表达式为， 把代入得：， 解得：，， ∴， ∵N是原抛物线对称轴上一动点， ∴设， ∵点M在新抛物线上， ∴设， ①当为边时， 点向右平移4个单位得到点， ∴点向右平移4个单位得到，或点向右平移4个单位得到点， ∴或， 解得：或6， 当时，， 当时，， ∴点M的坐标为或； ②当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得：， 当时，， ∴点M的坐标为； 综上，满足条件的点M的坐标有或或． 【考点剖析】本题属于二次函数综合题，考查一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，平行四边形的存在性问题等，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 14．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点． (1)求抛物线对应的函数表达式． (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值． (3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，若以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，请求出所有的Q点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或或 【思路点拨】（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式； （2）设出M点的坐标，利用 即可进行解答； （3）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合． 【规范解答】（1）解：设此抛物线的函数解析式为：， 将，，三点代入函数解析式得： ， 解得， 所以此函数解析式为：； （2）解：∵点的横坐标为，且点在这条抛物线上， ∴点的坐标为：， ∴ ∵， 当时，有最大值为：． 答：时，有最大值． （3）解：设． 当为边时，根据平行四边形的性质知，且， ∴的横坐标等于的横坐标． 又∵直线的解析式为，则． 由，得， 解得，，．（不合题意，舍去） 如图，当为对角线时，知与应该重合，． 四边形为平行四边形则，横坐标为4， 代入得出为． 由此可得或或或． 【考点剖析】本题是对二次函数的综合考查，有待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数的最值问题，平行四边形的对边相等的性质，平面直角坐标系中两点间的距离的表示，理解相关知识是解答关键． 15．如图，已知抛物线（a，b，c是常数）与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点，顶点为点，直线轴于点E，点为抛物线上的一动点．        (1)求该抛物线的解析式； (2)当点P在第一象限内时， ①求的面积的最大值； ②当时，求点P的坐标； (3)在y轴上存在一点Q，使得以P、Q、C、E为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2)①的面积的最大值为；② (3)或或． 【思路点拨】（1）根据与y轴交于点，顶点为点求解析式即可； （2）①过P作轴于点M，交于，根据求最大面积即可； ②当时，，代入计算即可； （3）设，利用平行四边形对角线互相平分求解即可． 【规范解答】（1）∵抛物线顶点为点， ∴设 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式； （2）①过P作轴于点M，交于，    ∵直线轴于点E， ∴， ∴解析式为， ∵点为抛物线上的一动点． ∴， ∵轴于点M，交于， ∴，，， ∴ ∴ ∴当时，的面积的最大，最大值为； ②当时，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵点P在第一象限内， ∴ ∴； （3），，，设， 当以为对角线时，则与互相平分， ∵中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得， 此时， 同理，当以为边，与为对角线时，； 当以为边，与为对角线时，； 综上所述，当以P、Q、C、E为顶点的四边形为平行四边形时或或． 【考点剖析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，坐标系中三角形面积的求法，直角处理，平行四边形存在性问题，用方程或方程组的思想解决问题是解本题的关键． 16．如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．      (1)求该抛物线的表达式； (2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； (3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【思路点拨】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，进而得到的最小值为的长，利用两点间距离公式进行求解即可； （3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴； （2）∵， ∴， 设直线， 则：，解得：， ∴， 当时，， ∴； 作点关于轴的对称点，连接， 则：，， ∴当三点共线时，有最小值为的长，      ∵，， ∴， 即：的最小值为：； （3）解：存在； ∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时： ①为对角线时：，      ∴， 当时，， ∴， ∴； ②当为对角线时：，      ∴， 当时，， ∴， ∴； ③当为对角线时：，      ∴， 当时，， ∴， ∴； 综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或． 【考点剖析】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 17．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，抛物线对应的函数值的最小值为，求的值； (3)当时． ①抛物线与轴的左侧交点为点，点分别为抛物线的顶点，试判断以点为顶点的四边形的形状，并说明理由； ②抛物线与直线相交于点，若轴平分线段，求的值． 【答案】(1) (2)的值为3 (3)①以点为顶点的四边形为平行四边形，见解析，② 【思路点拨】（1）利用待定系数法解答即可； （2）由平移规律得抛物线，其对称轴为直线，顶点的纵坐标为，根据抛物线对应的函数值的最小值为，得抛物线的顶点的横坐标不在内，求得，根据在内，随的增大而增大，得当时，，即，从而可求出的值为3； （3）①根据平行四边形的判定方法判断即可； ②联立方程得，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系得，由轴平分线段得，整理得，再代入可得结论． 【规范解答】（1）解：将和代入抛物线中，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）得抛物线， ∴由题意得抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点的纵坐标为． 要使在时，抛物线对应的函数值的最小值为，则抛物线的顶点的横坐标不在内． ∵，∴， ∴抛物线的对称轴在直线的左侧，此时，即， ∵抛物线的开口向上， ∴在内，随的增大而增大， ∴当时，，即，解得（舍去），， ∴的值为3； （3）解：①以点为顶点的四边形为平行四边形．理由：当时，抛物线的表达式为． 如解图，连接，由抛物线的表达式可得， 由抛物线的表达式可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴以点为顶点的四边形为平行四边形； ②由①可知抛物线， 令， 整理，得， 则关于的一元二次方程的解为，可得， ∵轴平分线段， ∴， 整理，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，平行四边形的判定与性质，抛物线的平移，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 18.如图1，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图2，若P是线段上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交于点N，设点P的横坐标为t，的面积为S．求S关于t的函数关系式；当t取何值时，S有最大值，求出S的最大值； (3)若P是x轴上一个动点，过P作直线交抛物线于点Q，随着P点的运动，在x轴上是否存在这样的点P，使以B，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，该抛物线的顶点坐标为 (2)，当时，有最大值，最大值为 (3)存在，点P的坐标为或或 【思路点拨】（）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式转化为顶点式可得到顶点的坐标； （）求出直线的函数解析式，用含的式子表示出点的坐标，得出，再根据求出关于的函数关系式，最后根据二次函数的性质解答即可求解； （）求出点坐标，得到的长，再分、点在点的左侧，和当点点的右侧，三种情况，画出图形解答即可求解． 【规范解答】（1）解：把，代入得，， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）解：设直线的函数解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∵点的横坐标为， ∴轴， ∴点的横坐标为， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：存在，理由如下： 把代入得，， 解得，， ∴， ∴， 如图，当时，四边形为平行四边形， ∴， 把代入得，， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在点的左侧，时，四边形是平行四边形， 过点作轴于，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的纵坐标为， 把代入得，， 解得，（不符合，舍去）， ∴点的横坐标为， ∴； 如图，当点在点的右侧，时，四边形是平行四边形， 过点作轴于，则， 同理可得； 综上，点的坐标为或或． 【考点剖析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，求二次函数图象的顶点坐标，二次函数与几何图形，二次函数的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六讲 二次函数与平行四边形存在性问题『压轴题大揭秘』 〔考法综述+技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【原卷版】在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 讲义说明 资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定制，聚焦数学压轴题专项提升，贴合江苏各地中考命题规律，精选近两年省内各市中考真题、名校模拟题，按考点分类精讲精练，帮助学生掌握解题方法、强化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一 考情透视，考法综述—深度剖析江苏中考压轴题命题趋势，明晰考情考点； 模块二 技巧点拨，方法揭秘—梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块三 核心精讲，典例剖析—针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤； 模块四 考题预测，满分训练—立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 考情透视 考法综述 以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考的热点难点之一，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解. 模块二 技巧点拨 方法揭秘 解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形. 1.平面直角坐标系中，点 的坐标是，点B的坐标是，则线段AB的中点坐标是. 2.平行四边形ABCD的顶点坐标分别为、、、， 则，. 3.已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内找到一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况： 模块三 核心精讲 典例剖析 【典例精讲一】（2026·江苏苏州·一模）如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接． (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标． (2)若将该二次函数图象向下平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求m的取值范围． (3)点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标． 【典例精讲二】（2026·江苏无锡·一模）已知二次函数的图象经过点，，顶点为点，与轴交于点． (1)求该二次函数的表达式； (2)点和是该二次函数图象上的两点，当时，试比较与的大小，并说明理由； (3)点是直线上的动点，过点作直线的垂线，记点关于直线的对称点为．当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 模块四 考题预测 满分训练 1．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式和点、点坐标； (2)若点在轴上，点在抛物线上．是否存在以，，，为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级上·山东东营·期末）如图，二次函数的图像与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点的坐标； (3)点在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024·江苏宿迁·一模）材料一；《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到 一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索题 发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题． 材料二：分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种解题策略，在数学中的应用相当多，它能使许多看似非常复杂的问题简单化．因此在用分类讨论解决数学问题时要遵循一定的规则，注意合理的分类，对全体对象的分类必须做到不重复、不遗漏，每次分类必须保持在同一标准． 请阅读上述材料，完成题目： 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由； (3)点是抛物线对称轴与轴的交点，点是轴上一动点，点在运动过程中，若以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 4．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点C． (1)__________，__________； (2)如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发.设运动时间为秒（）；当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点C，点D关于x轴对称，连结，作直线． (1)求b、c的值； (2)求点A、B的坐标； (3)求证：； (4)点P在抛物线上，点Q在直线上，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标． 6．（2024·江苏宿迁·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点，顶点为点，连接、，点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点． (1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标； (2)当的值最大时，求点的坐标及的最大值； (3)如图2，在（2）的条件下，是此抛物线对称轴上长为2的一条动线段（点在点上方），连接、，当四边形周长取最小值时，求点的坐标；在此条件下，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标． 7．如图，已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点． (1)求抛物线的解析式； (2)若过点的直线交线段于点，且，求的正切值； (3)若点在抛物线上，点在轴上，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 8．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接． (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标． (2)若点E是直线上方的抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． (3)点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标． 9．（2024·江苏连云港·一模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (4)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； (5)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 10．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 11．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点为抛物线上一点，点为轴上一点，当以为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，求点的坐标； (3)若为线段的中点，为抛物线的顶点，直线交抛物线于两点，直线交轴于点，直线交轴于点．试探究：是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由． 12．（2024·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A，B两点，它的对称轴直线交抛物线于点M，过点M作轴于点C，连接，已知点A的坐标为． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)动点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为，其中． ①若，请求此时点Q的坐标； ②在线段上是否存在一点D，使得以C，P，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出此时m的值；若不存在，说明理由． 13．若直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象经过点A，点B，且与x轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)若点P为直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为E，作轴交直线于点F，求线段最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线，Q是新抛物线与x轴的交点（靠近y轴），N是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M，使得以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标． 14．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点． (1)求抛物线对应的函数表达式． (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值． (3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，若以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，请求出所有的Q点的坐标． 15．如图，已知抛物线（a，b，c是常数）与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点，顶点为点，直线轴于点E，点为抛物线上的一动点．        (1)求该抛物线的解析式； (2)当点P在第一象限内时， ①求的面积的最大值； ②当时，求点P的坐标； (3)在y轴上存在一点Q，使得以P、Q、C、E为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 16．如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．      (1)求该抛物线的表达式； (2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； (3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，抛物线对应的函数值的最小值为，求的值； (3)当时． ①抛物线与轴的左侧交点为点，点分别为抛物线的顶点，试判断以点为顶点的四边形的形状，并说明理由； ②抛物线与直线相交于点，若轴平分线段，求的值． 18.如图1，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图2，若P是线段上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交于点N，设点P的横坐标为t，的面积为S．求S关于t的函数关系式；当t取何值时，S有最大值，求出S的最大值； (3)若P是x轴上一个动点，过P作直线交抛物线于点Q，随着P点的运动，在x轴上是否存在这样的点P，使以B，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $