第05讲 二次函数与面积最值定值问题（学霸秘籍，压轴题专项训练）2026年中考数学（江苏专用）

函学科网 www zxxk com 让教与学更高效 第五讲 二次函数与面积最值定值问题「压轴题大揭秘』 〔考法综述+技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【原卷版】 讲义说明资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定啊， 合江苏各地中考命题规律，精 选近两年省内各市中考真题、名校模拟题，按考点分类精讲精练，帮助学生掌握解题方法、强 化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一考情透视，考法综述一深度剖析江苏中考压轴题命题趋势，明晰考情考点： 模块二技巧点拨，方法揭秘一梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块三核心精讲，典例剖析一针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤： 模块四考题预测，满分训练一立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 考情透视考法综述 面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面 积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角 形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题)以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的 图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问 题产生解的不确定性或多样性。解决这类问题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等 积变形、等比转化等数学方法.面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：一是先根据 几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根.二是先假设关系存在，再列方程，后根 据方程的解验证假设是否正确， 模块二 技巧点拨方法揭秘 解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下： 如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面 积公式 1/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积， 用“割”或“补”的方法. 图1 图2 图3 计算面积长用到的策略还有： 如图4，同底等高三角形的面积相等.平行线间的距离处处相等 如图5，同底三角形的面积比等于高的比. 如图6，同高三角形的面积比等于底的比. 图4 图5 图6 模块三 核心精讲典例剖析 【典例精讲一】(2025·江苏南京·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+3的 图象与x轴交于点A(一1,0)，该抛物线的对称轴为直线x=1,抛物线与x轴的另一个交点为B,与y轴 的交点为C,点D为线段BC上的一动点. 图① 图② 2/21 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (1)求a,b的值； (2)如图①，连接OD,并延长OD交抛物线于点E,若OE垂直平分BC,求点E的坐标； (3)如图②，过动点D作DPAC交抛物线第一象限部分于点P,连接PA,PB,记△PAD与△PBD的面 积和为S,当S取得最大值时，求P点的坐标，并求此时S的最大值. 【典例精讲二】(2025·江苏苏州·中考真题)如图，二次函数y=一x2+2x+3的图像与x轴交于 A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,作直线BC,M(m,y),N(m+2,y2)为二次函数 y=-x2+2x+3图像上两点. 3/21 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B衣 (备用图) (1)求直线BC对应函数的表达式： (2)试判断是否存在实数m使得y1+2y2=10.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. (3)已知P是二次函数y=-x2+2x+3图像上一点（不与点M,N重合），且点P的横坐标为1-m,作 △MNP.若直线BC与线段MN,MP分别交于点D,E,且△MDE与△MNP的面积的比为1：4，请 直接写出所有满足条件的m的值， 模块四 考题预测满分训练 1.(2026·山东枣庄·一模)已知如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(-1,0),B(3,0)两点， 与y轴交于点C. 4/21 厨学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P是抛物线对称轴上一点，若S△Pc4=5,求P点的坐标； (3)若抛物线y=ax2+(b+m)x+3+n上仅存在一个点Q(xy1),使得2x1+y1=0,若0≤m≤2 ,求n的最小值. 2.(2025·江苏准安·二模)如图，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于点A(-,0)和点 B(4,0),与y轴交于点C. 5/21 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 V F B x 图1 图2 (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图1，点P为线段OB上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N,交线段BC于点M, 点D是直线BC上方抛物线上一点.当△MND∽△BPM时，求点N的坐标. (3)如图2，点Q是抛物线上在第一象限的一个动点，连接AQ,交线段BC于点E,交y轴于点F,令 S=S△BQE-S△CEF,求S的最大值. 3.(2025·江苏徐州·三模)如图，已知抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)与x轴交于点A和点B(2,0),与 y轴交于点C,且A0=2B0. 6/21 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 B (1)求此抛物线的解析式； (2)若点Q是抛物线上的一动点，连接CQ交AB于点P,过点P作PEAC,交BC于点E, ①求△PCE面积的最大值及此时点P的坐标； ②是否存在Q,使∠PEC=∠APC?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 4.(2025·江苏苏州·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴分别交 于A(-1,0),B两点，与y轴交于点C,抛物线的顶点D(1,4),对称轴交x轴于点G. 7/21 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 G 图1 图2 (1)求抛物线解析式： (2)如图1，点P是第一象限中抛物线上一动点，连接PC、PA,分别交对称轴于点E、F. ①在点P的运动过程中，DE、EF、FG这三条线段能否相等？若相等，求出点P的坐标；若不相等，请说明 理由； ②如图2，连接AC,BC,AP与BC相交于点所若△PCH的面积为S△ACH的面积为S2,求的最大 值. 5.(2025·福建泉州·二模)定义：三角形的三个顶点都在二次函数的图象上，若该三角形的重心恰好在x 8/21 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 轴上，则称此三角形为“平稳三角形”.如图，二次函数y=x2+x+c的图象与x轴交于点B(4,0), 与y轴交于点C(0,2),A是二次函数图象上的一点，且点A在第三象限。 y B」 G (1)求二次函数的表达式： (2)若△ABC为“平稳三角形”，中线AD交x轴于点G,求△BDG的面积. 6.(2025·江苏苏州·一模)已知二次函数y=一x2+(2a+4)x一a2-4a(a为常数).该函数图像与 x轴交于A,B两点（点A在点B左侧)，与y轴交于点C 9/21 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求线段AB的长度为： (2)若二次函数图像对称轴为直线x=1,点P,Q是直线BC上方二次函数的图像上的两个动点，过点P作y 轴的平行线交x轴于点D,交直线BC于点E,连接CD,EQ,PQ. ①图中二次函数的表达式为； ②已知点Q的横坐标比点P的横坐标大2，△CDE的面积为S,求△PEQ的面积（用含S的代数式表示）. 7.(2025·江苏泰州·一模)在平面直角坐标系x0y中，已知二次函数y=-x2-2ax+3(a≠0). (1)若函数的图象经过点(1,4)，并与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C. ①求该二次函数的表达式： 10/21 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 ②若点D在该二次函数图象上，且D在直线BC上方，当△BCD的面积最大时，试求出点D到直线BC的 距离； 2)点M(xy1),N(3ay2)是二次函数图象上两点，当1≤x1≤3时，始终有y1<y2:求a的取值范 围 8.(2025·江苏徐州·一模)如图，已知抛物线y=-2x2+bx+c与x轴交于点A,B(2,0)(点A在点 B的左侧)，与y轴交于点C,对称轴是直线x=言，P是第一象限内抛物线上一个动点. y A MB (1)求抛物线的解析式： (2)过点P作PH⊥x轴，与线段BC交于点M,垂足为点H,若PM=MH时，求△PBC的面积. 9.(2025·安微·一模)如图，二次函数y=一x2+bx+c的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴的负 11/21 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 半轴交于点B,与x轴的另一个交点为C,且△A0B的面积为6. A D B (1)求b,c: (2)若点M为二次函数y=一x2+bx十C的图象第二象限内一点，求四边形AMBC的面积S的最大值； (3)如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标. 10.(2025·陕西西安·一模)如图，二次函数y=(x+2)2-1的图象与y轴交于点A,与x轴交于点B, 12/21 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 C B (1)求点AB,C的坐标； (2)在抛物线上是否存在一点P,使S△P4B=S△4Bc:若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在， 请说明理由 13/21 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 11.(2024·江苏盐城·三模)如图，抛物线y=一x2+bx十c与轴交于点A,与x轴交于点B、C,已知 A(0,4),B(4,0). 6 (1)求抛物线的表达式，并求出点C的坐标. (2)点M是抛物线（第一象限内）上的一个动点，连接MAMB,当△MAB面积最大时，求M点的坐标. (3)若点M坐标固定为(1,6)，Q是抛物线上除M点之外的一个动点，当△ABM与△ABQ的面积相等求 出点Q的坐标. 14/21 函学科网 www zxxk com 让教与学更高效 12.(2026·江苏扬州·一模)抛物线y=-x2+bx+C(b、c为常数)图象交x轴于点A(1,0)和点B, 交y轴于点C(0,3). 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的表达式及其对称轴； (2)点P是抛物线上的一点，且位于对称轴左侧，PM⊥x轴，交直线BC于点M,PN⊥y轴，交抛物线的 对称轴于点N. ①如图1，连接MN,若sin∠PMN=号，求点P的横坐标， ②如图2，过点A作直线！‖BC,MQ⊥y轴，交抛物线的对称轴于点Q.若四边形PMQN在直线BC与1 之间的部分的面积是它的面积的一半时，则点P的横坐标为 15/21 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 13.(2026·江苏无锡·一模)二次函数y=-x2+bx十c的图象与x轴交于点A、点B(1,0),与y轴交 于点E,且对称轴为直线x=-1·该抛物线与直线y=x+m交于C、D两点（点C在点D的左侧）. B 备用图 (1)求二次函数的表达式： (2)若△ACD与△CDE的面积相等时，求m的值； (3)当m为何值时，在x轴上存在唯一的点Q,使∠CQD=90°？（直接写出m的值） 16/21 函学科网 www zxxk com 让教与学更高效 14.(2026·江苏宿迁·二模)如图，抛物线y=mx2+nx-3与x轴交于A(-4,0),B(2,0)两点，与 y轴交于C点. (1)填空：m= (2)设D为此抛物线的对称轴上一点，当△ACD的面积等于△ABC的面积时，求D点坐标： (3)直线y=kx+b.经过点E(4,0),点P为该直线上一动点，当有且只有一点P满足∠APB=90·时， 求直线y=kX+b的函数表达式. 17/21 函学科网 www zxxk com 让教与学更高效 15.(2024·江苏扬州·三模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴交于 A(-2,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C,且0C=20A. M B 图1 图2 (1)试求抛物线的解析式： (2)直线y=kx+1(k>0)与V轴交于点D,与抛物线在第一象限交于点P,与直线BC交于点M,记 m=x，试求m的最大值及此时点P的坐标： SACDN (3)在(2)的条件下，m取最大值时，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样 的点Q、N,使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的N点的坐标. 18/21 函学科网 www zxxk com 让教与学更高效 16.(2026·江苏无锡·一模)如图，己知二次函数y=-x2+bx+c(其中b,c为常数)的图象经过 点A(6,2),点C(0,8),顶点为点M,过点A作AB‖x轴，交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连接 BC. C B D D 备用图 (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标. (2)若点E是直线AC上方的抛物线上的动点，求四边形AECB面积的最大值， (3)点P是直线AC上的动点，过点P作直线AC的垂线PE,记点M关于直线PE的对称点为Q.当以点P、A、 M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标. 19/21 函学科网 www zxxk com 让教与学更高效 17.(2023·辽宁鞍山·一模)已知抛物线y=x2+bx十C与x轴交于A、B两点，点A在点B左边，点B的 坐标为(3,0)，且抛物线的对称轴是直线x=月， (1)求此抛物线的表达式. (2)在抛物线的对称轴右边的图象上，是否存在点M,使锐角三角形AMB的面积等于3.若存在，请求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由. (3)在(1)(2)条件下，若P点是抛物线上的一点，且∠PAM=90°，求△APM的面积. 20/21 函学科网 www zxxk com 让教与学更高效 18.(23-24九年级下·广东广州·月考)已知：y关于x的二次函数y=(a-2)x2+（a+1)x+b A B右 (1)若函数的图象过点(2,1)，求a与b的关系； (2)如图，若函数的图象与x轴有两个公共点A(一2,0)，B(4,0),并与动直线：x=m(0<m<4)交 于点P,连接PA,PB,PC,BC,其中PA交y轴于点D,交BC于点E.设△PBE的面积为S1, △CDE的面积为S2 ①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积： ②探究直线1在运动过程中，S1一S2是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，说明理由. 21/21 第五讲 二次函数与面积最值定值问题『压轴题大揭秘』 〔考法综述+技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【解析版】在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 讲义说明 资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定制，聚焦数学压轴题专项提升，贴合江苏各地中考命题规律，精选近两年省内各市中考真题、名校模拟题，按考点分类精讲精练，帮助学生掌握解题方法、强化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一 考情透视，考法综述—深度剖析江苏中考压轴题命题趋势，明晰考情考点； 模块二 技巧点拨，方法揭秘—梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块三 核心精讲，典例剖析—针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤； 模块四 考题预测，满分训练—立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 考情透视 考法综述 面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决这类问题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法. 面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．二是先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确． 模块二 技巧点拨 方法揭秘 解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下： 如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式． 如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法． 图1 图2 图3 计算面积长用到的策略还有： 如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等． 如图5，同底三角形的面积比等于高的比． 如图6，同高三角形的面积比等于底的比． 图4 图5 图6 模块三 核心精讲 典例剖析 【典例精讲一】（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点，该抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，点D为线段上的一动点． (1)求a，b的值； (2)如图①，连接，并延长交抛物线于点E，若垂直平分，求点E的坐标； (3)如图②，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求P点的坐标，并求此时S的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，S的最大值为 【思路点拨】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴计算公式可得，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可得抛物线解析式，则可求出，则，的中点坐标为，根据垂直平分，则直线经过的的中点，即直线经过点，据此求出直线解析式，再联立直线解析式与抛物线解析式求出点E坐标即可； （3）求出直线的解析式为；过点P作轴交于F，连接，根据，可得，则；设，则，可得；则可求出，据此利用二次函数的性质求解即可． 【规范解答】（1）解；∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴，即， ∴； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， 在中，当时，，当时，解得或， ∴， ∴，的中点坐标为， ∵垂直平分， ∴， ∴直线经过的的中点，即直线经过点， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或（不合题意，舍去）， ∴点E的坐标为； （3）解：设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作轴交于F，连接， ∵， ∴， ∴； 设，则， ∴； ∴ ， ， ∵， ∴当，即时，S有最大值，最大值为， ∴此时， ∴． 【典例精讲二】（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)或 【思路点拨】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及求直线表达式、函数值计算及三角形相似与面积比应用，解题关键是利用函数性质、坐标关系及相似三角形性质建立等式求解 ． （1）先通过二次函数与坐标轴交点的求法，确定、坐标，再用待定系数法，将两点坐标代入设好的一次函数表达式，求解出直线的函数表达式． （2）先根据二次函数表达式，分别写出、两点的函数值、，进而得出的表达式，再通过配方或判别式判断是否存在实数使等式成立． （3）通过作辅助线构造平行关系，利用二次函数求出点坐标，结合坐标关系得出角的度数，推出，进而得到三角形相似，根据面积比与相似比的关系建立等式，求解出的值． 【规范解答】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于两点， ∴令，则， 点C的坐标为． 令，则． 解得，或， ∴点B的坐标为． 设直线对应函数的表达式为，由题意，得 解得 直线对应函数的表达式为． （2）不存在实数m使得，理由如下： 方法一：为二次函数图像上两点， ， ． ． 配方，得． ∴当时，有最大值为． ， ∴不存在实数m使得． 方法二：由方法一，得． 当时，，即． ， ∴方程没有实数根． 不存在实数m使得． （3），或．解答如下： 如图，作轴，交x轴于点H，交于点， 作，垂足为Q，作轴，交于点，则． 当时，． 点P的坐标为． 点N的坐标为， 点Q的坐标为，点H的坐标为， 点的坐标为． ， ． ， ． ． ，即． ． ，即． 点M的坐标为， 点的坐标为． ，即． 解得或． 模块四 考题预测 满分训练 1．（2026·山东枣庄·一模）已知如图，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P是抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标； (3)若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求n的最小值． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)或 (3)当时，n有最小值 【思路点拨】（1）利用待定系数法即可得到函数解析式，即可得到顶点坐标； （2）设与y轴交于点D，利用面积得到或，求出一次函数解析式，求出与对称轴的交点即可； （3）由题意得：，仅存在一个点，使得，即抛物线与直线仅有一个交点，得到，根据二次函数的性质求出最值即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与x轴交于点两点， ∴设， 又∵抛物线，即， 解得， 故抛物线解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）知抛物线解析式为， 则， 设与y轴交于点D， ， 又，对称轴为直线， ， 或， 设直线，由得， 解得 ∴， 当时，， ∴； 由同理可得，得到 综上，P点的坐标为或； （3）解：由题意得：， 仅存在一个点，使得， 抛物线与直线仅有一个交点， ， 整理得， ， ， ， 又，当时，随着的增大而减小， ∴时，n最小为． ∴当时，即当时，n有最小值． 2．（2025·江苏淮安·二模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图1，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交线段于点M，点D是直线上方抛物线上一点．当时，求点N的坐标． (3)如图2，点Q是抛物线上在第一象限的一个动点，连接，交线段于点E，交y轴于点F，令，求S的最大值． 【答案】(1) (2)， (3) 【思路点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）直线，设点，则点，点，表示出，，再由相似三角形的性求解即可； （3）设点，求出，从而得出，再由计算即可得解． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，，即， 设直线的解析式可得， 将代入解析式可得， 解得：， ∴直线 设点，则点，点， ，， ∵， ∴， ， ， ，即， 解得：，（舍去），，（舍去）， ， （3）解：设点， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴， 当时，， ， ， ∴当时，． 3．（2025·江苏徐州·三模）如图，已知抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，且． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点Q是抛物线上的一动点，连接交于点P，过点P作，交于点E， ①求面积的最大值及此时点P的坐标； ②是否存在Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①面积的最大值为3，此时；②存在， 【思路点拨】本题是一道函数综合题，主要考查了二次函数图象的性质，二元一次方程组的解法，相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数相关知识是解题的关键． （1）根据A，B，C三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）①本题要通过求的面积与P点横坐标的函数关系式而后根据函数的性质来求的面积的最大值以及对应的P的坐标．的面积无法直接表示出，可用和的面积差来求，设出P点的坐标，即可表示出的长，可通过相似三角形和求出，然后根据二次函数最值即可求出所求的值； ②根据题意易得，然后根据相似比例求出的值，进而求出P的坐标和解析式，再与二次函数解析式联立求出Q的坐标． 【规范解答】（1）解：， ， 将代入， 解这个方程组，得， ∴此抛物线的解析式：； （2）①设，则 ， ， ， ， ∴当时，面积的最大值为3，此时； ②存在，．理由如下： ， ， ， ， ， 解析式为， 联立 解得（不合题意，舍去），， ． 4．（2025·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点，对称轴交x轴于点G． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，点P是第一象限中抛物线上一动点，连接，分别交对称轴于点E、F． ①在点P的运动过程中，这三条线段能否相等？若相等，求出点P的坐标；若不相等，请说明理由； ②如图2，连接与相交于点H，若的面积为的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2)①存在，；② 【思路点拨】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）写出顶点式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）①假设能相等，求出的坐标，进而求出直线的解析式，联立后求出交点坐标，进而代入抛物线进行判断即可；②求出点坐标，进而求出直线的解析式，作轴，交的延长线于点，作轴，交于点，设设，则：，求出，证明，得到，根据同高三角形的面积比等于底边比得到，转化为二次函数求最值即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：，解得：， ∴； （2）①存在，理由如下： 假设存在， ∵， ∴， ∴当时，， ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把，，代入，得： ，解得：， ∴； 同法可得：直线的解析式为：， 联立，解得：， ∴两条直线的交点坐标为， 对于，当时，， 故两条直线的交点在抛物线上， ∴存在，； ②令，解得：， ∴， 同①法可得：直线的解析式为直线， 作轴，交的延长线于点，作轴，交于点， 则：， ∵， ∴当时，， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是同高三角形， ∴， ∴当时，的值最大，为． 5．（2025·福建泉州·二模）定义：三角形的三个顶点都在二次函数的图象上，若该三角形的重心恰好在x轴上，则称此三角形为“平稳三角形”．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，A是二次函数图象上的一点，且点A在第三象限． (1)求二次函数的表达式； (2)若为“平稳三角形”，中线AD交x轴于点G，求的面积． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查二次函数与几何综合，待定系数法求函数表达式、重心的概念，正确利用中点公式是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）为“平稳三角形”，则可得到点，求出直线的表达式为，进而求解． 【规范解答】（1）解：将点，代入， 得， 解得， 所以二次函数的表达式为； （2）解： 为“平稳三角形”，是的中线，交x轴于G点， G是的重心， 设交x轴于点H， 是的中线， 点的纵坐标为， 令，则，解得，（舍去）， ． 是的中线， D为的中点， ， 设直线的表达式为， 将与代入， 得， 解得， 所以直线的表达式为， 令，则，解得， ， ． 6．（2025·江苏苏州·一模）已知二次函数（为常数）．该函数图像与x轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求线段的长度为； (2)若二次函数图像对称轴为直线，点是直线上方二次函数的图像上的两个动点，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，连接． ①图中二次函数的表达式为______； ②已知点的横坐标比点的横坐标大2，的面积为，求的面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①② 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，抛物线与轴的交点，三角形面积，熟练掌握相关知识得是解题的关键． （1）令，则，解得，得到，即可得到答案； （2）①根据题意得到，得到，即可得到答案； ②由抛物线解析式得到，得到，求出直线的解析式为，设点的横坐标为，则点的横坐标为，得到，，，，求出的面积，得到 的面积． 【规范解答】（1）解：令，则， 解得， ； （2）解：①抛物线的对称轴为直线， ，， 抛物线解析式为， 故答案为：； ②抛物线解析式为， ， 令，则， 解得或， 点在点左侧， ， 设直线的解析式为， 将代入得，解得， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的横坐标为， ，，，， ， 的面积， 的面积． 7．（2025·江苏泰州·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)若函数的图象经过点，并与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． 求该二次函数的表达式； 若点在该二次函数图象上，且在直线上方，当的面积最大时，试求出点到直线的距离； (2)点，是二次函数图象上两点，当时，始终有，求的取值范围． 【答案】(1) ； ； (2)且． 【思路点拨】本题考查了二次函数与一次函数的性质，二次函数的最值问题，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； 过作轴，交于点，过作于点，再求出解析式为，设，则，则，当时，有最值，为，然后用面积公式即可求出点到直线的距离； （）通过二次函数一一元二次方程的关系，二次函数的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：∵二次函数过点点， ∴，解得：， ∴该二次函数的表达式为； 如图，过作轴，交于点，过作于点， 由得，二次函数的表达式为， 当时，，当时，，解得：，， ∴，， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 设，则， ∴ ， ∴当时，有最值，为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点到直线的距离为； （2）解： ∵当时，总有， ∴且． 8．（2025·江苏徐州·一模）如图，已知抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点P作轴，与线段交于点M，垂足为点H，若时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质． （1）待定系数法求解析式即可； （2）先求出C点坐标，进而求出直线的解析式，设，则，根据得，列出方程，求出m的值，进而求出P点坐标，分割法求出三角形的面积即可． 【规范解答】（1）解：抛物线的对称轴为直线，过点， ∴ 解得， ； （2）当时，， ， 设直线的解析式为，把代入，得：， ， 设，则：， ， ，即：， 解得：或（舍去）， ，， ， ． 9．（2025·安徽·一模）如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，与x轴的另一个交点为C，且的面积为6． (1)求b，c； (2)若点M为二次函数的图象第二象限内一点，求四边形的面积S的最大值； (3)如果点P在x轴上，且是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【思路点拨】（1）根据点，得到，由几何面积得到，即点，将点的坐标代入二次函数表达式即可求解； （2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算得到点，，如图所示，过点作轴于点，设点M的坐标为，则，，，，根据，代入，结合二次函数求最值的计算方法即可求解； （3）设点P的坐标为，则，，，根据等腰三角形的定义，分类讨论：当时，即；当时，则；当时，则；由此解方程即可求解． 【规范解答】（1）解：∵二次函数的图象与y轴交于点， ∴， ∵的面积， ∴，即点， 将点的坐标代入二次函数表达式得：， 解得． （2）解：由（1）得抛物线的表达式为， 令，即， 解的，或， ∴点，， 如图所示，过点作轴于点， 设点M的坐标为， ∴，，，， ∵ ∴ ， ∵， ∴当时，S最大值， 答：四边形的面积S的最大值为． （3）解：设点P的坐标为，则，，， 当时，即， 解得（舍去）或3，即点P的坐标为； 当时，则， 解得或，即点P的坐标为或； 当时，则， 解得，即点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或或或． 【考点剖析】本题主要考查二次函数几何图形的综合，掌握二次函数图象与坐标轴的交点的计算，二次函数图象与几何图形面积的计算，等腰三角形的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键． 10．（2025·陕西西安·一模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，．    (1)求点的坐标； (2)在抛物线上是否存在一点，使：若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)或或 【思路点拨】本题考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数的平移问题，求三角形的面积，分类讨论是解题的关键. （1）在解析式中，由，求得的对应值可得点的坐标；由，求得对应的的值可得点、的坐标； （2）根据可得到的距离等于到的距离，设过点且与平行的直线为，分类讨论得出直线的解析式，进而联立抛物线解析式，即可求解． 【规范解答】（1）在中，当时，， ∴点A的坐标为． 当时，，解得：， ∴点C的坐标为，点B的坐标为； （2）存在点，使， 设直线的解析式为，代入，， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 ∵ ∴到的距离等于到的距离，设过点且与平行的直线为， 当时，直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴； ∵， ∴ 当点在上方时，将向左平移个单位时，则过点 ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴或 综上所述，或或 11．（2024·江苏盐城·三模）如图，抛物线与轴交于点A，与x轴交于点B、C，已知． (1)求抛物线的表达式，并求出点C的坐标． (2)点M是抛物线(第一象限内)上的一个动点，连接，当面积最大时，求M点的坐标． (3)若点M坐标固定为，Q是抛物线上除M点之外的一个动点，当与的面积相等求出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为：或或 【思路点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行线的性质、面积的计算等，用平行线的方法处理面积之间的关系是解题的关键． （1）用待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）由面积，即可求解； （3）过点M作直线交y轴于点R，得到直线的表达式为：，即可求解；过点T作直线，得到直线的表达式为：，即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 令，则，解得：（舍去）或， 即； （2）解：过点M作轴交于点H， 由点A、B的坐标设直线的表达式为：，则，解得：， 故直线的表达式为：， 设点，则点， 则面积 ， ∵，故当时，面积最大， 此时点； （3）解：由（2）知，直线的表达式为：， 过点M作直线交y轴于点R， 设直线的表达式为：，则，解得：， 则直线的表达式为：，则点， 则， 联立和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或3，即点， 则点A下方取点T，使，则点， 过点T作直线， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：， 则点或， 综上，点Q的坐标为：或或． 12．（2026·江苏扬州·一模）抛物线（b、c为常数）图象交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的表达式及其对称轴； (2)点P是抛物线上的一点，且位于对称轴左侧，轴，交直线于点M，轴，交抛物线的对称轴于点N． ①如图1，连接，若，求点P的横坐标； ②如图2，过点A作直线，轴，交抛物线的对称轴于点Q．若四边形在直线与l之间的部分的面积是它的面积的一半时，则点P的横坐标为______． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)①或；②或 【思路点拨】（1）利用待定系数法求解函数解析式，再根据对称轴公式求解对称轴即可； （2）①先求出直线，设（），表示出，，再由正弦得到，据此解方程即可； ②可得四边形是矩形，连接，分两种情况讨论求解：当落在上时，符合题意；当矩形的对角线的中点落在直线上，符合题意． 【规范解答】（1）解：由题意得，将点，代入， 则 解得 ∴抛物线表达式为， ∴对称轴为直线； （2）解：①∵抛物线对称轴为直线，且抛物线交x轴于点和点B， ∴， 设直线， 则代入点得，， 解得， ∴直线 设（）， ∵轴，交直线于点M，轴，交抛物线的对称轴于点N ∴，， ∴， ∵， 则， ∴ ∴ 当时，解得或（舍去）； 当时，解得或（舍去） 综上：点P的横坐标为或； ②由题意得，， ∴四边形是矩形， 连接，当落在上时，如图： 此时四边形在直线与l之间的部分是，符合题意， 将点代入， 则 解得或（舍去）； 当矩形的对角线的中点落在直线上，中点记为点， ∵矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的中点， ∴此时四边形在直线与l之间的部分的面积是它的面积的一半， ∵， ∴设直线， 代入点得，， 解得， ∴直线， ∵，， ∴，即， 将点代入， 则， 解得或（舍去）， 综上：点P的横坐标为或． 13．（2026·江苏无锡·一模）二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，且对称轴为直线．该抛物线与直线交于、两点（点在点的左侧）． (1)求二次函数的表达式； (2)若与的面积相等时，求的值； (3)当为何值时，在轴上存在唯一的点，使？（直接写出的值） 【答案】(1) (2) (3)的值为或或或． 【思路点拨】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出直线的表达式，得到与相交，过点作、过点作，作出图形，由与的面积相等得出，求证，进而得到点是线段的中点，求出点的坐标并代入直线求解即可； （3）在轴上存在唯一的点，使，可以理解为以为直径的圆与轴相切，分四种情况，由圆心到轴的距离等于半径，列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：二次函数的图象与轴交于点， ； 对称轴为直线， ，则； 将代入得， 二次函数的表达式为； （2）解：由（1）知二次函数的表达式为，则点， 令，则， 解得或， 点， 设直线， 将、代入得， 解得， 直线， 直线， 与相交， 过点作、过点作，与相交于点，如图所示： 与的面积相等， ， 则， 在和中， ， ， ，即点是线段的中点， 、， 的坐标为，即， 将代入直线得， 解得； （3）解：在轴上存在唯一的点，使，可以理解为以为直径的圆与轴相切，或与重合，或与重合，分四种情况： 当交点、均在轴上方时，，如图所示： 设抛物线与直线交点坐标、（点在点的左侧）， 联立， 消去得， ，， ， 则以为直径的圆的圆心， ， 当与轴相切时，， 即， ， 解得或（负值舍去）； 当交点、均在轴下方时，，如图所示： 同理可知， ， 解得或（正值舍去）； 当点与点重合时， 将代入，得， 解得； 或点与点重合时， 将代入，得， 解得； 综上所述，的值为或或或． 14．（2026·江苏宿迁·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)填空：__________，__________； (2)设为此抛物线的对称轴上一点，当的面积等于的面积时，求点坐标； (3)直线．经过点，点为该直线上一动点，当有且只有一点满足时，求直线的函数表达式． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【思路点拨】（1）把，代入，解出即可； （2）求出直线与直线交点M坐标，及，求出，进而求出结论； （3）点P在以为直径的圆上，设其圆心为N，得出直线与相切于点，分两种情况：当点P在x轴上方，且直线与相切于点P时，或当点在x轴下方，且直线与相切于点时，分别求出即可． 【规范解答】（1）解：把，代入，得： ， 解得； （2）解：， ∴此抛物线的对称轴是直线， 当时，， ， 设直线的表达式为，直线交直线于点M， 把，代入，得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， 当时，， ， ，，， ， ， ∵的面积等于的面积， ， ， ， 或； （3）解：， ∴点P在以为直径的圆上，设其圆心为N， ，，， ，的半径为3， ∵直线经过点，有且只有一点满足， ∴直线与相切于点， ∴分两种情况： 当点P在x轴上方，且直线与相切于点P时，连接，作于点H， ， ，， ， 在和中，， ， ， ， ， ， 把，代入直线，得： ， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 当点在x轴下方，且直线与相切于点时， 同理，， 同理，得出直线的函数表达式为； 综上，直线的函数表达式为或． 15．（2024·江苏扬州·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． 　 (1)试求抛物线的解析式； (2)直线与轴交于点，与抛物线在第一象限交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，取最大值时，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)取得最大值，此时点的坐标为 (3)存在，满足条件的的坐标为或 【思路点拨】（1）根据已知条件求得点的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）过点作轴交直线于，连接，先求得直线的解析式，设，则，可得，再由，根据相似三角形的性质及等高三角形的面积比等于底的比可得，利用二次函数的性质解决问题即可； （3）存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形，分是矩形的边和是矩形的对角线两种情况求点的坐标． 【规范解答】（1）解： ， ， ， ， ， 抛物线经过点，，， ， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）解：如图1，过点作轴交直线于，连接， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， 直线与轴交于点， ， ， 轴，即， ， ， ， ， ， 当时，取得最大值，此时点的坐标为； （3）解：存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形． ①当是矩形的边时，有两种情形， a、如图2﹣1中，四边形是矩形时， 由（2）可知，代入中，得到 ， 直线的解析式为，可得，， 由可得， , ， ， ． 根据矩形的性质，将点向右平移个单位，向下平移1个单位得到点， ，即， b、如图2﹣2中，四边形是矩形时， 直线的解析式为，， 直线的解析式为， ， 根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N， ，即． ②当是对角线时，设， 则，，， 是直角顶点， ， ， 整理得，方程无解，此种情形不存在， 综上所述，满足条件的的坐标为或． 16．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接． (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标． (2)若点E是直线上方的抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． (3)点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点P的坐标为或 【思路点拨】（1）利用待定系数法和配方法解答即可； （2）先求出直线的解析式为．求得面积的最大值即可求得结论； （3）利用分类讨论的方法分两种情况，结合平行四边形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质解答即可． 【规范解答】（1） 解：二次函数的图像经过点，点， ， 解得：， 该二次函数的解析式为， ， 顶点； （2）解：对称轴为直线，点，轴， ， ，， ， 设直线解析式为， 则， 解得， 直线解析式为， 过作轴交于点， 设，则， ， ， ， 当时 ，为最大值， 四边形面积的最大值为； （3）解：当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或， 理由：①当四边形为平行四边形时，． 连接，过点作轴于点，设与交于点，如图， ∵，， ∴，， ， ， ∵，， ∴， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ． 过点作轴于点， 设，则， ∵， ， ． ， ∴． ∴； ②当四边形为平行四边形时，．连接， 过点作轴于点，设与交于点，如图， ∵，， ∴， ， ， ∵， ∴， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ， 过点作轴于点， 设，则， ∵， ∴， ， ． ∴，． 综上，当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或． 17．（2023·辽宁鞍山·一模）已知抛物线与轴交于、两点，点在点左边，点的坐标为，且抛物线的对称轴是直线， (1)求此抛物线的表达式． (2)在抛物线的对称轴右边的图象上，是否存在点M，使锐角三角形的面积等于3．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在（1）（2）条件下，若P点是抛物线上的一点，且，求的面积． 【答案】(1)； (2)存在点，使锐角三角形的面积等于3； (3)8 【思路点拨】（1）根据抛物线对称轴解析式列式求出，再把点的坐标代入求出，即可得解； （2）根据抛物线解析式求出点的坐标，再求出的长度，然后利用三角形的面积公式求出点到的距离，然后根据是锐角三角形判断点在轴下方，从而确定点的纵坐标，再代入抛物线解析式计算求出横坐标，从而得解； （3）根据点的坐标可得，然后求出，从而写出直线的解析式，与抛物线解析式联立求出点的坐标，再利用勾股定理求出、的长度，然后根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半计算即可得解． 【规范解答】（1）解：抛物线的对称轴是直线， 解得， 点在抛物线上， ， 解得． 所以此抛物线的表达式为； （2）解：存在． 理由如下：令，则， 解得，， 点在点左边， 点的坐标为， ， 设点到的距离为，则， 解得， 是锐角三角形， 点应该在轴的下方， 点的纵坐标为， 代入抛物线解析式得，， 即， 解得，， 又点在对称轴右边的图象上， 点的横坐标为2， 点的坐标为， 此时，过点作轴于点，则，， ，， ，是锐角， 是锐角三角形， 故存在点，使锐角三角形的面积等于3； （3） 解：由（2）得， ， ， 点在直线上， 联立， 解得（舍去），， 点的坐标为， 根据勾股定理，， ， 所以的面积． 【考点剖析】本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数的对称轴，点在抛物线上，三角形的面积，直角三角形的面积以及直线与抛物线的交点的求解，难度不是很大，先求出抛物线的解析式是解题的关键，数据的巧妙设计也是本题的一大特点． 18．（23-24九年级下·广东广州·月考）已知：y关于x的二次函数．    (1)若函数的图象过点，求a与b的关系； (2)如图，若函数的图象与x轴有两个公共点，并与动直线交于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为． ①当点P为抛物线顶点时，求的面积； ②探究直线l在运动过程中，是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①6 ，②存在； 【思路点拨】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，相似三角形的判定和性质，以及二次函数的图象和性质． （1）把代入即可解答； （2）①设直线l与交于点F，用待定系数法求出抛物线的解析式为，则，，再求出直线的解析式为，则，进而得出，最后根据的面积即可解答；②设直线交x轴于H，则，通过证明，得出，根据得出函数关系式，结合二次函数的性质，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵函数的图象过点， ∴代入得：， 化简得：； （2）解：①如图1，设直线l与交于点F，    把代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴， ∵，点P为抛物线顶点， ∴， ∵， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴， ∴， ∴的面积， ②存在最大值，理由如下： 如图2，设直线交x轴于H，    由①得，，，，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴当时，存在最大值，最大值为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $