第04讲 二次函数与相似问题（学霸秘籍，压轴题专项训练）2026年中考数学（江苏专用）

第四讲 二次函数与相似问题『压轴题大揭秘』 〔考法综述+技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【解析版】在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 讲义说明 资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定制，聚焦数学压轴题专项提升，贴合江苏各地中考命题规律，精选近两年省内各市中考真题、名校模拟题，按考点分类精讲精练，帮助学生掌握解题方法、强化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一 考情透视，考法综述—深度剖析江苏中考压轴题命题趋势，明晰考情考点； 模块二 技巧点拨，方法揭秘—梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块三 核心精讲，典例剖析—针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤； 模块四 考题预测，满分训练—立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 考情透视 考法综述 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。 模块二 技巧点拨 方法揭秘 相似三角形常见的判定方法： （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 判定定理“两边及其夹角法”是常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验． 如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分和两种情况列方程． 应用判定定理“两角法”解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理“三边法”解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）． 还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题． 模块三 核心精讲 典例剖析 【典例精讲一】（2025·江苏无锡·模拟预测）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点P作直线，交y轴于点Q．若平分线段，求点P的坐标； (3)如图（2），点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点（点E在x轴下方），线段交抛物线于另一点G，连接．若，求直线的解析式． 【答案】(1)，，； (2) (3) 【思路点拨】（1）在中，令得，令得，； （2）由，得直线的解析式为，设直线的解析式为，，可得，故；根据平分线段，知的中点在直线上，求得直线解析式为，有，解出t的值从而可得； （3）过点G作轴，过点E，F分别作的垂线，垂足分别为T，S，证明，可得，求出，设直线的解析式为，直线的解析式为，联立得，联立得，设，，，故，，，从而知，，，故，可得，即得，，得直线解析式为． 【规范解答】（1）解：在中，令得， ∴， 令得， 解得或， ∴，； （2）解：设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 由，设直线的解析式为， 设， ∴ ∴， ∴直线的解析式为， 令得， ∴； ∵平分线段， ∴的中点在直线上， 设直线的解析式为， 将代入直线解析式可得， 解得：， ∴直线解析式为， ∴， 解得或（舍去）， 当时，， ∴； （3）解：过点G作轴，过点E，F分别作的垂线，垂足分别为T，S，如图： ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵点D与原点O关于对称， ∴， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 联立得：， 联立 得：， 设，，， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴直线解析式为． 【考点剖析】本题考查二次函数综合问题，一次函数与二次函数综合，中点坐标公式，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【典例精讲二】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线）与x轴交于A，B两点，顶点，． (1)求抛物线的解析式． (2)作，斜边的两个端点D与E都在抛物线上，且分别位于第二象限和第一象限，过点E作垂直于x轴于点F．若与相似，求点E的坐标． (3)将抛物线平移，得到新抛物线W，已知W的对称轴为直线，点，，均在新抛物线W上．若时，都有，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为， (3)或 【思路点拨】本题考查二次函数与几何的综上，涉及待定系数法、二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，分类讨论是解答的关键． （1）先求得点B坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）分和两种情况，画出相应的图形求解即可； （3）分和两种情况，分别画出图形，利用二次函数的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，则， 将，代入中，得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，如图，则， ∴轴， 设，则，， ∵A与B关于y轴对称， ∴， 过D作轴于G，则， ∴， ∴， ∴，即， 解得（负值已舍去）， 则； 当时，如图，则，延长交延长线于H， 则，又， ∴， ∴， 设，则点H的横坐标为t，点D横坐标为，纵坐标为， ∴， 过D作轴于G，同理可证， ∴，即， 解得（负值已舍去），则， 综上，满足条件的点E坐标为，； （3）解：由题意，， 当时，，，如图， ∴点和点关于对称轴对称， ∵对于时，都有， ∴，则； 当时，，，如图， 点关于对称轴的对称点为，点和点关于对称轴对称， ∵对于时，都有， ∴且，则， 综上，t的取值范围为或． 模块四 考题预测 满分训练 1．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，开口向下的抛物线与轴正负半轴分别交于、点，与轴交于点，且； (1)直接写出点坐标（ ，0），并求的值； (2)抛物线在第三象限内图象上是否存在一点，在轴负半轴上有一点，使以点、点、点为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点坐标，如果不存在，说明理由； (3)在线段上有一点，连结、，若，则直接写出点坐标（ ， ） 【答案】(1)， (2)或 (3) 【思路点拨】（1）令，可解得或，所以，当时，，根据，建立关于的方程，求解即可； （2）设点的横坐标为，则，分情况进行讨论，根据相似三角形的性质进行列方程求解； （3）求出直线的解析式为：，取点，连接，则，作过点，，三点的圆，圆心为，该圆与线段交于点，点即为所求，设，利用半径列出方程求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意可知，当， 解得或， ，， ， 当时，， ， ， ， 解得； （2）解：由（1）得，， 在中，，，根据勾股定理可得， 设点的横坐标为，则， 当点为直角顶点时： ①若，根据相似三角形的性质可知，， 即， ，， ， 解得，不符合题意； ②若，根据相似三角形的性质可知，， 即， ， 解得，此时； 此时点的坐标为； 当点为直角顶点时： ①若，根据相似三角形的性质可知，， 即， ， 解得，此时； 过点作轴，设的长度为， ，， ， ， 解得． ； 点的坐标为； ②若，根据相似三角形的性质可知，， 即， ， 解得，不符合题意， 综上，点的坐标为：或； （3）解：，， 直线的解析式为：， 如图，取点，连接，则， 作过点，，三点的圆，圆心为，该圆与线段交于点，点即为所求， 此时半径， 设， ， ， ， 解得或（舍去， ． 2．（2023·江苏连云港·模拟预测）在四边形中，，，以所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，使点在轴上． (1)求过三点的抛物线的函数表达式； (2)求的外接圆的圆心的坐标，并求的半径； (3)过的顶点作一条直线，将分成两个三角形，其中一个是等腰三角形，则这样的直线最多可以画___________条； (4)设为射线上任意一点，点为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，则说明理由． 【答案】(1) (2)；的半径为 (3)7 (4)存在；，或；，或； ，或；，或 【思路点拨】（1）过点D作轴于点I，由抛物线的对称性可知抛物线与x轴另一交点为．再根据交点式即可求出过A、D、C三点的抛物线的解析式； （2）由外接圆知识知M为对称轴与中垂线的交点．由等腰直角三角形性质可得M点的坐标，连接，根据两点间距离公式求出，即为半径； （3）根据题意画出图形，即可得出答案； （4）分四种情况：当，点P在轴下方时，当，点P在x轴上方时，当，点P在x轴下方时，当，点P在x轴上方时，分别画出图形，根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 如图1，过点D作轴于点I， ∵，， ∴， ∴抛物线的对称轴为：直线， ∴抛物线与x轴另一交点为， 设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵M为的外接圆的圆心 ∴M为对称轴与中垂线的交点， 过点O作于点N，如图1所示： ∵， ∴，平分， ∴垂直平分，， ∴与抛物线对称轴的交点即为点M， 如图1，连接， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的半径为． （3）解：如图2，以D为顶角的顶点可以画等腰和；以A为顶角的顶点可以画等腰；以C为顶角的顶点可以画等腰；以为底边可以画等腰；以为底边可以画等腰；以为底边画等腰；因此这样的直线最多可以画7条； （4）解：在中，， ， ， ∵轴， ∴， 假设存在，显然，则或． 如图3，当，点P在轴下方时， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则R点坐标为， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 令， 解得：，（舍去）， ∴此时， ∴， 设， 当时，， 即， 解得：， 此时点Q的坐标为； 当时，， 即， 解得：， 此时点Q的坐标为； 同理，当，点P在x轴上方时，直线解析式为：， 令， 解得：，， ∴此时P与A重合，即此时点P的坐标为， 当时，， 即， 解得：， 此时点Q的坐标为； 当时，， 即， 解得：， 此时点Q的坐标为； 如图4，当，点P在x轴下方时， 设交y轴于H，抛物线的对称轴交于点E，连接， ∵点A与点D关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 同理，根据，可得，此时直线的解析式为：， 联立， 解得： 或（舍去）， ∴， ∴， 当时，， 即， 解得：， 此时点Q的坐标为； 当时，， 即， 解得：， 此时点Q的坐标为； 当，点P在x轴上方时， 同理可得此时点H的坐标为， 根据点，可得，的解析式为， 联立， 解得： 或（舍去）， ∴， ∴， 当时，， 即， 解得：， 此时点Q的坐标为； 当时，， 即， 解得：， 此时点Q的坐标为； 综上所述，，或；，或； ，或；，或． 3．（2025·江苏苏州·一模）如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点为． (1)抛物线的表达式是：___________；顶点的坐标为（___________，___________）． (2)如图2，在抛物线的对称轴上，有一条自由滑动的线段（点在点的上方），已知，当的值最大时，求四边形的面积． (3)如图3，沿射线方向或其反方向平移抛物线，平移过程中两点的对应点分别记为，抛物线顶点的对应点记为点，在平移过程中，是否存在以为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出此时平移后的抛物线顶点的坐标；若不存在，请简要说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【思路点拨】（1）设抛物线的表达式为：，依此求出a即可． （2）将点向下平移2个单位得到点，推出四边形是平行四边形，推出，可得，推出当共线时，的值最大，再根据计算即可； （3）设，根据平移得到，，则，，再根据两点的位置分情况讨论，根据列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴设抛物线的表达式为：， ∴，解得：， 故抛物线的表达式为：． ∵ ∴顶点； （2）解：∵， ∴， 如图2中， 将点向下平移2个单位得到点，此时，． ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，的值最大， ∴； （3）解：由，，可得直线的解析式为， ∵沿射线方向或其反方向平移抛物线，平移过程中两点的对应点分别记为，抛物线顶点的对应点记为点， ∴设， ∴向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到， ∴向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到， 向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，即， ∴，， ①如图2中，当两点都在x轴的上方时，，，， 只有当和都是钝角三角形时才能满足， ∴， ∴， 整理得，， 解得或（舍去）， ∵， ∴； ②当两点都在x轴的下方时，，，， 只有当和都是钝角三角形时才能满足， ∴， ∴， 整理得，， 解得（舍去）或， ∵， ∴； ③如图3中，当在x轴的两侧时， 始终是钝角三角形，且， 此时与不相似． 综上所述，满足条件的抛物线的顶点或． 【考点剖析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用反例讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 4．（2024·江苏常州·模拟预测）如图1，抛物线经过点两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转，得到新的抛物线． (1)求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标； (2)如图2，直线经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为，连接并延长，交抛物线于点E，交直线l于点M，若，求m的值； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，在直线下方的抛物线C上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【思路点拨】（1）运用待定系数法将代入中，即可求得a和b的值和抛物线C解析式，再利用配方法将抛物线C解析式化为顶点式即可求得顶点G的坐标； （2）根据抛物线C绕点O旋转，可求得新抛物线的解析式，再将代入中，即可求得直线l解析式，根据对称性可得点E坐标，过点D作轴交直线l于H，过E作轴交直线l于K，由，即可得，再证明，即可得，建立方程求解即可； （3）连接，易证是，，可得，在x轴下方过点O作，在上截取，过点E作轴于T，连接交抛物线C于点P，点P即为所求的点；通过建立方程组求解即可． 【规范解答】（1）解：将代入中，得 ， 解得， ∴抛物线C解析式为：， ∴， ∴顶点为：； （2）解：∵抛物线C绕点O旋转，得到新的抛物线， ∴新抛物线的顶点为：，二次项系数为：， ∴新抛物线的解析式为：， 将代入中，得， 解得， ∴直线l解析式为， 设， ∵D、E关于原点O对称， ∴，则 ∵， ∴，则， 过点D作轴于F，过M作轴于R，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴m的值为：； （3）解：由（2）知：，且， ∴， ∴， 如图，连接， 在中，∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 在x轴下方过点O作，在上截取，过点E作轴于T，过点H作轴于点S，连接交抛物线C于点P，点P即为所求的点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，则，则， ∴， 设直线解析式为， 则，解得， ∴直线解析式为：， 解方程组， 整理得，， ∴ ∴， ∴点P的横坐标为：或． 【考点剖析】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，旋转变换，相似三角形判定和性质，直线与抛物线交点，解直角三角形等知识点；综合性强，难度较大． 5．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． 为何值时的面积最大，并求出其最大值； 是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，的值最大，最大值为； 或． 【思路点拨】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先求出直线的表达式为，由题知，则，则，所以，最后通过二次函数的性质即可求解； 要使相似，只有保证是直角三角形即可，然后分当时，当时，两种情况求解即可． 【规范解答】（1）解：把，，代入，得， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵点是二次函数图像在直线上方的点， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的表达式为：， 由题知，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为； 存在，理由如下： ∵轴，即轴， ∴， ∵是直角三角形， ∴要使相似，只有保证是直角三角形即可， 当时，如图， ∴， 此时轴，关于抛物线的对称轴对称， ∴； 当时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由知， ∵，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， 综上，存在点使与相似，此时的坐标为或． 6．（2025·广东珠海·一模）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交x轴于点D，抛物线与双曲线交于点，把点P绕点D顺时针旋转得到的对应点为Q． 【构建联系】 （1）分别求出抛物线和双曲线的解析式，并说明点Q是否在双曲线上． （2）如图2，双曲线与抛物线对称轴交于点E，连接，，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，连接、，将绕着点旋转得到，其中点、分别是、两点的对应点，在旋转的过程中，当与重叠部分恰好是一个点时，求出此时点的坐标． 【答案】（1）双曲线的解析式为；抛物线的解析式为；点在双曲线上；（2）见解析；（3）点的坐标为或 【思路点拨】（1）待定系数法先求出k的值，即可得到反比例的函数解析式，再将，代入中，解方程组即可得到抛物线的解析式；进而得到点D的坐标，分别作轴，轴，分别交轴于、两点，证明，得到点Q的坐标，即可判断； （2）证明，即可得到结论； （3）分与重叠部分是点，与重叠部分是点，两种情况讨论即可． 【规范解答】解：（1）把代入中， ∴ ∴双曲线的解析式为 把，代入中，可得方程组 ， 解得 ∴抛物线的解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线 ∴ 点在双曲线上，理由如下： 分别作轴，轴，分别交轴于、两点，如图 ∴ ∵把点绕点顺时针旋转得到的对应点 ∴， ∴，， ∴ ∵，， ∴ ∴，， ∴ ∴点在双曲线上． （2）∵双曲线与抛物线对称轴交于点， ∴， ∴ ∵，抛物线对称轴为直线，、关于对称轴对称， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ （3）①当与重叠部分是点时，如图 分别作轴，轴，分别交轴于、两点 ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， 点的坐标为． ②当与重叠部分是点时，如图 ∴点在线段上 ∵抛物线解析式为， ∴ ∵， 设的解析式为， 把和代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴设的坐标为 ∵， ∴ 解得，（舍去） ∴点的坐标为． 综上：点的坐标为或． 【考点剖析】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握并综合应用有关性质进行求解． 7．（2025·江苏苏州·二模）如图，二次函数的图象与轴交于点，点在轴的正半轴上，以为边在第一象限作矩形． (1)点的坐标为___________； (2)若点在该函数的图象上，且矩形的长宽之比为，求点的坐标； (3)若矩形的面积为10，则的最大值是___________． 【答案】(1) (2)点 的坐标为（1，0）或（4，0） (3) 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的三边关系求最值，直角三角形的性质，熟练掌握以上内容并正确作出辅助线是解题关键． （1）令，则，即； （2）设，，作轴于点，如图1所示，根据“一线三垂直”模型证明，从而可得比例式，再根据矩形的长宽之比为，可得到当和两种情况，再根据每种情况分别列比例式得到点坐标，把点坐标代入解析式中求解方程即可； （3）如图2所示，作垂直于轴交直线于点，先证明，从而，即，可得，取中点，连接，，，则由斜边中线定理可得，由勾股定理可得，故，当且仅当、、三点共线时取等号，所以最大值为． 【规范解答】（1）解：令，则，即， 故答案为：． （2）解：设，，作轴于点，如图所示， 由， 可得， ， ， ， ， ， ，， 当时，则，， 即点， 把代入中可得， 整理得，解得或（负值舍去）； 当时，则，， 即点， 把代入中可得， 整理得，解得或（负值舍去）， 综上，点坐标为或． （3）解：如图所示，作垂直于轴交直线于点， ，， ， ， ， ，即， ，即， 取中点，连接，，，如图， 则，， 故，当且仅当、、三点共线时取等号， 所以最大值为， 故答案为：． 8．（2025·江苏无锡·三模）已知二次函数的图像与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴经过点且与交于点F，． (1)求二次函数的表达式； (2)点D是抛物线的顶点，点P在抛物线上，并且位于对称轴的右侧， ①当时，求点P的坐标； ②连接，点Q是直线上一点，当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①或；② 【思路点拨】（1）根据题意可得对称轴为直线，，则由对称轴计算公式可得，由平行线分线段成比例定理可得，则可求出，则，，据此利用待定系数法求解即可； （2）①先求出；过点C作于R，则，导角可证明，可求出；取，作直线，连接，可证明，得到，则直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置，求出直线解析式为，联立，解得或，则此时点P的坐标为；同理可证明，则直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置，同理求出点P坐标即可； ②求出，由相似三角形的性质得到，；过点P和点Q分别作直线的垂线．垂足分别为W、V，可证明，得到，设，则，求出直线解析式，把点Q坐标代入直线解析式中求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，∵对称轴经过点， ∴对称轴为直线，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；①在中，当时，，当时，， 当时，解得或， ∴； 如图所示，过点C作于R，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 如图所示，取，作直线，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 同理可证明，则直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； ②∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； 如图所示，过点P和点Q分别作直线的垂线．垂足分别为W、V， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴ 同理可得直线解析式为， ∵点Q在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，平行线分线段成比例定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 9．（2025·江苏淮安·二模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图1，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交线段于点M，点D是直线上方抛物线上一点．当时，求点N的坐标． (3)如图2，点Q是抛物线上在第一象限的一个动点，连接，交线段于点E，交y轴于点F，令，求S的最大值． 【答案】(1) (2)， (3) 【思路点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）直线，设点，则点，点，表示出，，再由相似三角形的性求解即可； （3）设点，求出，从而得出，再由计算即可得解． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，，即， 设直线的解析式可得， 将代入解析式可得， 解得：， ∴直线 设点，则点，点， ，， ∵， ∴， ， ， ，即， 解得：，（舍去），，（舍去）， ， （3）解：设点， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴， 当时，， ， ， ∴当时，． 10．（2025·四川绵阳·一模）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，若N是直线BC下方抛物线上的一点，求面积的最大值； (3)如图②，P，Q两点在抛物线的对称轴上（点P在点Q上方），且，当与相似时，求出P，Q两点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)P，Q两点的坐标分别为，或， 【思路点拨】（1）用待定系数法即可求解； （2）在BC下方抛物线上取一点N，过点N作轴，与直线BC交于点F，连接BN，CN；用待定系数法求出直线BC的解析式为；设，其中，则，从而求得，用代数式表示出的面积，利用二次函数即可求得其最大值； （3）由B，C两点的坐标得是等腰直角三角形，由得是等腰直角三角形，从而可求得其三边长，分∽及∽两种情况考虑，即可求解． 【规范解答】（1）解：将，两点代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图③，在BC下方抛物线上取一点N，过点N作轴，与直线BC交于点F，连接BN，CN， 在中，令，则， ∴． 设直线BC的解析式为， 将，两点代入， 得，解得， ∴直线BC的解析式为． 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为． （3）解：如图④，连接AP，AQ． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设对称轴与x轴的交点为M． ∵，， ∴， ∴，即是等腰直角三角形； 由勾股定理得：； 在中，，． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，． 若∽，则， ∴，解得， ∴， ∴，． 若∽，则， ∴，解得， ∴， ∴，． 综上所述，当与相似时，P，Q两点的坐标分别为，或，． 【考点剖析】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，有一定的综合性，灵活应用是关键． 11．（2025·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于、（点在点左侧），与轴交于．一次函数的图像经过、两点，点． (1)求，的值； (2)点在直线上，直线交轴于点，将点绕点逆时针旋转得到点，连接、，当和相似时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【思路点拨】（1）根据一次函数求得，，代入待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据解析式求得点的坐标，进而得出，，得出，分情况讨论，①当时，，根据相似三角形的性质得出，进而根据旋转的性质，全等三角形的性质，求得点的坐标；②当时，，同法求得，进而求得的坐标，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵二次函数和一次函数的图像经过、两点， 当时，，当时， ∴， 将，代入， 解得： ∴解析式为 （2）解：由， 当时，， 解得： ∵， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 如图所示，过点作于点，连接， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ 设 ∵将点绕点逆时针旋转得到点， ∴， ∴是等腰直角三角形，则 ∴， ①当时， ∴， 又∵ ∴， ∴ 如图，过点作轴于点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， 设，则 ∴ 解得： ∴ 如图，过点作轴交轴于点，过点作轴交的延长线于点 ∴， 又∵ ∴， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴即 ∴ ②当时，， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴，即 ∴， 如图，过点作轴于点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， 设，则 ∴ 解得： ∴ 当，如图， 同理可得， 综上所述，当和相似时，或． 12．（2025·湖北武汉·三模）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，为第二象限内抛物线上一点，交于点，若与相似，求点的横坐标； (3)如图2，直线交抛物线于，两点，直线和交于点，若点在直线上，求的值． 【答案】(1) (2)点的横坐标为或 (3) 【思路点拨】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况：当时，；当时，；分别求解即可； （3）设，，，由题意可得轴，抛物线的对称轴为直线，从而可得，，求出直线的解析式为，同理可得直线的解析式为，结合题意可得，由①可得，由②可得，从而得出，整理可得，即可得解． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，令，则，即， ∵，， ∴，，， ∴为等边三角形，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 连接、， ∵与相似， ∴当时，， ∴， ∴设直线的解析式为， 将代入解析式可得， ∴直线的解析式为， 联立可得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 此时点的横坐标为； 当时，，即， ∴， 过点作于，则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入解析式可得， ∴， ∴直线的解析式为， 联立可得， 解得：，（不符合题意，舍去）； 此时点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或； （3）解：设，，， 由题意可得轴，抛物线的对称轴为直线， ∴，， 设直线的解析式可得， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， ∵直线和交于点， ∴， 由①可得：，由②可得：， ∴， 整理可得： ∴． 【考点剖析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、求一次函数的解析式、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 13．（24-25九年级下·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为拋物线上一点，且横坐标为1，连接，． (1)求拋物线的解析式； (2)如图1，点是第三象限内抛物线上的一个动点，点为轴上一个动点．过点作交于点，连接交于点．当最大时，求的最大值． (3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，使平移后的拋物线经过点，点为平移后抛物线上一点，，连接，．点为平面内任意一点，将绕点旋转后得到对应的（点，，的对应点分别为点，，）．若中恰有两个点落在平移后的抛物线上（点不与点重合），求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【思路点拨】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴交于，过点作轴交的延长线于，则，求出，得出，设，则，，证明，，由相似三角形的性质结合二次函数的性质得出 当时，有最大值，此时，由三角形任意两边之差小于第三边可得，当点、、三点共线时，的值最大，为，最后由勾股定理计算即可得解； （3）求出直线的解析式为，设将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，求出平移后的抛物线的解析式为，其对称轴为直线，从而可得，设点的坐标为，由旋转的性质可得点为、、的中点，从而可得，，，再分三种情况：当点、在平移后的抛物线上时；当点、在平移后的抛物线上时；当点、在平移后的抛物线上时，分别求解即可得解． 【规范解答】（1）解：将，代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点为拋物线上一点，且横坐标为1， ∴当时，，即， 设的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴交于，过点作轴交的延长线于， 则， 在中，当时，，即， ∴， 设，则，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，此时，即， 由三角形任意两边之差小于第三边可得，当点、、三点共线时，的值最大，为，由勾股定理可得 （3）解：， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵将抛物线沿射线方向平移， ∴设将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∵平移后的拋物线经过点， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴平移后的抛物线的解析式为，其对称轴为直线， ∵为平移后抛物线上一点， ∴，即， 设点的坐标为， ∵点为平面内任意一点，将绕点旋转后得到对应的， ∴点为、、的中点， ∴，，， ∵中恰有两个点落在平移后的抛物线上， ∴当点、在平移后的抛物线上时，， 解得：，此时； 当点、在平移后的抛物线上时，， 解得：，此时，与点重合，故不符合题意，舍去； 当点、在平移后的抛物线上时，， 解得：，此时； 综上所述，点的坐标为或． 【考点剖析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—相似三角形的判定与性质、旋转的性质、求一次函数解析式、二次函数图象的平移等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 14．（24-25九年级上·广东湛江·期末）如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是轴正半轴上一动点，过点作轴于点，交直线于点，交抛物线于点，连结． ①当点在线段上时，若与相似，求点的坐标； ②若，求出的值． 【答案】(1) (2)①点的坐标为或；②的值为或5 【思路点拨】（1）把代入求出一次函数解析式，则的坐标为，再把代入中即可求出抛物线的解析式． （2）①求出，根据，求出，，结合轴，求出，设，则，，分为当和当，分别求解即可；②求出直线的解析式，分为当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N，证明，求出，从而求出直线的解析式，即可求解．当点P在x轴下方时，得出，全等三角形的性质求出，求出直线的解析式即可求解． 【规范解答】（1）解：把代入得：， 故， 则的坐标为， 把代入中 得， 解得：， ∴抛物线的解析式的为：． （2）解：①∵， 令，则，解得：或3， ∴， 又∵， ∴，，， 又轴， ， ， ， ∵， ∴，， ， 当，即时，， 解得：（舍去）或， 故； 当，即时，， 解得：（舍去）或， 故， 综上，或． ②∵点，， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：， ， 解得：（舍去）； 当点P在x轴下方时，如下图所示： ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：， ， 解得：（舍去）； 综上所述，的值为：或5． 【考点剖析】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，一次函数解析式求解，注意相似三角形分情况讨论．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． 15．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图1，抛物线（m为常数）与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C．    (1)下列说法正确的是 （填序号）． ①该抛物线开口向上； ②该抛物线与y轴的交点始终在x轴的上方； ③该抛物线的顶点在直线上． (2)如图2，若直线与该抛物线交于M、N两点，试说明：线段的长是一个定值，并求出这个值． (3)在（2）的条件下，点E是直线上的一个动点（图3），当时，与相似，求此时抛物线的函数表达式． 【答案】(1)①③ (2)线段的长度是定值 (3) 【思路点拨】（1）由二次项系数判定①，令计算y的值判定②，由解析式得到顶点的坐标，然后代入直线判定③； （2）联立直线解析式和抛物线解析式得到关于x的一元二次方程，进而由根与系数的关系得到点M和点N两点横坐标之间的关系，再结合两点之间的距离公式求得线段的长度，判定是否为定值； （3）先根据算出的长度，然后利用两点间的距离公式计算得到点N的坐标，再将点N的坐标代入抛物线解析式求出m得到相关抛物线的解析式，进而联立直线和抛物线的解析式求出点M和点N的坐标进行判定三角形是否相似，进而求解． 【规范解答】（1）由得顶点坐标为，二次项系数为1， ∴开口向上，故①正确，符合题意； 当时，， ∴点不一定在轴正半轴上，故②错误，不符合题意； 将顶点坐标代入直线，得，故③正确，符合题意； 故答案为：①③； （2）由，得：， 设，则， ， ， ∴线段的长度是定值． （3）∵， ∴， ， 对直线，当时，， ， 设，则， 解得：或， 或 将代入，得， 解得：或， 当时，， 令时，或， ∴， 由，得：或， ∴，符合条件； ∴， ∴， ∴与不相似，舍去： 当时，， 令时，，无解； 将代入，得， 解得：或， 当时，不符合条件，舍去； 当时，， 由，得：或， ∴， 当时，， 解得：或， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，时，与相似， 则抛物线的表达式为：． 【考点剖析】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、二次函数的性质、两点之间的距离公式、相似三角形的判定、一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是学会将题目中的语句和相关的知识点连接解题． 16．（2024·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B． (1)求该抛物线的解析式以及顶点坐标； (2)若点D是抛物线上的一个动点，满足与的面积相等．求出点D的坐标； (3)若点E在第一象限内抛物线上，过点E作轴于点F，交于点P，且满足与相似，求出点E的横坐标． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3)点E的横坐标为2或 【思路点拨】（1）把，代入，求出a和b的值，即可得出函数解析数，将抛物线解析式化为顶点式，即可得出顶点坐标； （2）根据点是抛物线上的一个动点，与的面积相等，于是得到，求得点的纵坐标为4，解方程即可得到； （3）设直线的解析式为，解方程得到直线的解析式为，设，则，，根据已知条件得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，求得，得到，①当时，②当时，根据相似三角形的性质解方程即可得到结论． 【规范解答】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：抛物线与轴交于点， ， 设在上的高为，在上的高为， ∵与的面积相等， ∴， ， 点的纵坐标为， 当时，即， 解得（舍去），， ； （3）解：设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设，则，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当时， 则， ， 解得或， 且， ， 当时， 则， ， 解得或不合题意舍去， 点的横坐标为或． 【考点剖析】本题是二次函数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积公式，分类讨论是解题的关键． 17．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，（在的左边），与轴相交于点，已知、，，是y轴上的动点（位于点下方），过点的直线l垂直于y轴，与抛物线相交于两点、（在的左边），与直线交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，四边形是正方形，连接，的面积为，正方形的面积为，求的取值范围； (3)如图2，以点为圆心，为半径作． ①动点在上，连接，请直接写出的最小值为 ； ②点是y轴上的一动点，连接，当的值最大时，请直接写出的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①；②点的坐标为或 【思路点拨】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，待定系数法求出直线的解析式为，则，得出，设点，则，即，再表示出，，，结合，，得出，求出，结合二次函数的性质即可得出答案； （3）①连接，在轴上取点，连接，，证明，由相似三角形的性质得出，推出，即当、、共线时，最小，最小值即为的长度，再由勾股定理计算即可得出答案；②分两种情况：当在轴正半轴时；当在轴负半轴时，分别求解即可得出答案． 【规范解答】（1）解：把、，代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：设， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴， ∴， 设点，则，即， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴抛物线顶点坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值随的增大而减小， ∴当时，的值最大，为，当时，的值最小，为， ∴的取值范围为； （3）解：①连接，在轴上取点，连接，，如图， ， ∵的半径， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵当、、共线时，最小， ∴当、、共线时，最小，最小值即为的长度， ∵，， ∴， ∴的最小值为； ②当在轴正半轴时，作的外接圆，作轴于，连接，，，则，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵为定值， ∴当最小时，最大， ∵， ∴当最小时，最小， ∴当轴时，最小， 此时，， ∴， ∴， ∴； 当点在轴负半轴上时，同理可得, 综上所述，点的坐标为或． 【考点剖析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 18．（2024·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标． (3)如图2，连接，与交于点，过点作交于点．记、、的面积分别为．当取得最大值时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）令时，，求出，进一步求出直线的解析式为，设，则，表示出，，利用，可得，可得； （3）由得到，进而得到，作交y轴于N，作轴交于Q，求出直线的解析式为，进而得到，求出，再证明，设，则，得到，得到，即可得到此时，点P的坐标为，点Q的坐标为，求出，，证明，得到，由即可求出答案． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为．； （2）解：∵当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵轴于点D， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，（此时，重合，不合题意舍去）， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ∴， ， 作交y轴于N，作轴交于Q， 直线的解析式为，， 直线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ∴,， ，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ， 设，则， ∴， ， ∴当时，有最大值， 此时，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【考点剖析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、二次函数的图象和性质、解直角三角形等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四讲 二次函数与相似问题『压轴题大揭秘』 〔考法综述+技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【原卷版】在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 讲义说明 资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定制，聚焦数学压轴题专项提升，贴合江苏各地中考命题规律，精选近两年省内各市中考真题、名校模拟题，按考点分类精讲精练，帮助学生掌握解题方法、强化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一 考情透视，考法综述—深度剖析江苏中考压轴题命题趋势，明晰考情考点； 模块二 技巧点拨，方法揭秘—梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块三 核心精讲，典例剖析—针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤； 模块四 考题预测，满分训练—立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 考情透视 考法综述 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。 模块二 技巧点拨 方法揭秘 相似三角形常见的判定方法： （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 判定定理“两边及其夹角法”是常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验． 如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分和两种情况列方程． 应用判定定理“两角法”解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理“三边法”解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）． 还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题． 模块三 核心精讲 典例剖析 【典例精讲一】（2025·江苏无锡·模拟预测）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点P作直线，交y轴于点Q．若平分线段，求点P的坐标； (3)如图（2），点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点（点E在x轴下方），线段交抛物线于另一点G，连接．若，求直线的解析式． 【典例精讲二】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线）与x轴交于A，B两点，顶点，． (1)求抛物线的解析式． (2)作，斜边的两个端点D与E都在抛物线上，且分别位于第二象限和第一象限，过点E作垂直于x轴于点F．若与相似，求点E的坐标． (3)将抛物线平移，得到新抛物线W，已知W的对称轴为直线，点，，均在新抛物线W上．若时，都有，请直接写出t的取值范围． 模块四 考题预测 满分训练 1．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，开口向下的抛物线与轴正负半轴分别交于、点，与轴交于点，且； (1)直接写出点坐标（ ，0），并求的值； (2)抛物线在第三象限内图象上是否存在一点，在轴负半轴上有一点，使以点、点、点为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点坐标，如果不存在，说明理由； (3)在线段上有一点，连结、，若，则直接写出点坐标（ ， ） 2．（2023·江苏连云港·模拟预测）在四边形中，，，以所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，使点在轴上． (1)求过三点的抛物线的函数表达式； (2)求的外接圆的圆心的坐标，并求的半径； (3)过的顶点作一条直线，将分成两个三角形，其中一个是等腰三角形，则这样的直线最多可以画___________条； (4)设为射线上任意一点，点为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，则说明理由． 3．（2025·江苏苏州·一模）如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点为． (1)抛物线的表达式是：___________；顶点的坐标为（___________，___________）． (2)如图2，在抛物线的对称轴上，有一条自由滑动的线段（点在点的上方），已知，当的值最大时，求四边形的面积． (3)如图3，沿射线方向或其反方向平移抛物线，平移过程中两点的对应点分别记为，抛物线顶点的对应点记为点，在平移过程中，是否存在以为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出此时平移后的抛物线顶点的坐标；若不存在，请简要说明理由． 4．（2024·江苏常州·模拟预测）如图1，抛物线经过点两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转，得到新的抛物线． (1)求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标； (2)如图2，直线经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为，连接并延长，交抛物线于点E，交直线l于点M，若，求m的值； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，在直线下方的抛物线C上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 5．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． 为何值时的面积最大，并求出其最大值； 是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2025·广东珠海·一模）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交x轴于点D，抛物线与双曲线交于点，把点P绕点D顺时针旋转得到的对应点为Q． 【构建联系】 （1）分别求出抛物线和双曲线的解析式，并说明点Q是否在双曲线上． （2）如图2，双曲线与抛物线对称轴交于点E，连接，，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，连接、，将绕着点旋转得到，其中点、分别是、两点的对应点，在旋转的过程中，当与重叠部分恰好是一个点时，求出此时点的坐标． 7．（2025·江苏苏州·二模）如图，二次函数的图象与轴交于点，点在轴的正半轴上，以为边在第一象限作矩形． (1)点的坐标为___________； (2)若点在该函数的图象上，且矩形的长宽之比为，求点的坐标； (3)若矩形的面积为10，则的最大值是___________． 8．（2025·江苏无锡·三模）已知二次函数的图像与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴经过点且与交于点F，． (1)求二次函数的表达式； (2)点D是抛物线的顶点，点P在抛物线上，并且位于对称轴的右侧， ①当时，求点P的坐标； ②连接，点Q是直线上一点，当时，求点P的坐标． 9．（2025·江苏淮安·二模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图1，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交线段于点M，点D是直线上方抛物线上一点．当时，求点N的坐标． (3)如图2，点Q是抛物线上在第一象限的一个动点，连接，交线段于点E，交y轴于点F，令，求S的最大值． 10．（2025·四川绵阳·一模）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，若N是直线BC下方抛物线上的一点，求面积的最大值； (3)如图②，P，Q两点在抛物线的对称轴上（点P在点Q上方），且，当与相似时，求出P，Q两点的坐标． 11．（2025·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于、（点在点左侧），与轴交于．一次函数的图像经过、两点，点． (1)求，的值； (2)点在直线上，直线交轴于点，将点绕点逆时针旋转得到点，连接、，当和相似时，求点的坐标． 12．（2025·湖北武汉·三模）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，为第二象限内抛物线上一点，交于点，若与相似，求点的横坐标； (3)如图2，直线交抛物线于，两点，直线和交于点，若点在直线上，求的值． 13．（24-25九年级下·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为拋物线上一点，且横坐标为1，连接，． (1)求拋物线的解析式； (2)如图1，点是第三象限内抛物线上的一个动点，点为轴上一个动点．过点作交于点，连接交于点．当最大时，求的最大值． (3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，使平移后的拋物线经过点，点为平移后抛物线上一点，，连接，．点为平面内任意一点，将绕点旋转后得到对应的（点，，的对应点分别为点，，）．若中恰有两个点落在平移后的抛物线上（点不与点重合），求点的坐标． 14．（24-25九年级上·广东湛江·期末）如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是轴正半轴上一动点，过点作轴于点，交直线于点，交抛物线于点，连结． ①当点在线段上时，若与相似，求点的坐标； ②若，求出的值． 15．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图1，抛物线（m为常数）与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C．    (1)下列说法正确的是 （填序号）． ①该抛物线开口向上； ②该抛物线与y轴的交点始终在x轴的上方； ③该抛物线的顶点在直线上． (2)如图2，若直线与该抛物线交于M、N两点，试说明：线段的长是一个定值，并求出这个值． (3)在（2）的条件下，点E是直线上的一个动点（图3），当时，与相似，求此时抛物线的函数表达式． 16．（2024·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B． (1)求该抛物线的解析式以及顶点坐标； (2)若点D是抛物线上的一个动点，满足与的面积相等．求出点D的坐标； (3)若点E在第一象限内抛物线上，过点E作轴于点F，交于点P，且满足与相似，求出点E的横坐标． 17．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，（在的左边），与轴相交于点，已知、，，是y轴上的动点（位于点下方），过点的直线l垂直于y轴，与抛物线相交于两点、（在的左边），与直线交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，四边形是正方形，连接，的面积为，正方形的面积为，求的取值范围； (3)如图2，以点为圆心，为半径作． ①动点在上，连接，请直接写出的最小值为 ； ②点是y轴上的一动点，连接，当的值最大时，请直接写出的坐标． 18．（2024·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标． (3)如图2，连接，与交于点，过点作交于点．记、、的面积分别为．当取得最大值时，求的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $