第03讲 二次函数与等腰直角三角形问题（学霸秘籍，压轴题专项训练）2026年中考数学（江苏专用）

第三讲 二次函数与等腰直角三角形问题『压轴题大揭秘』 〔考法综述+技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【解析版】在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 讲义说明 资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定制，聚焦数学压轴题专项提升，贴合江苏各地中考命题规律，精选近两年省内各市中考真题、名校模拟题，按考点分类精讲精练，帮助学生掌握解题方法、强化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一 考情透视，考法综述—深度剖析江苏中考压轴题命题趋势，明晰考情考点； 模块二 技巧点拨，方法揭秘—梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块三 核心精讲，典例剖析—针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤； 模块四 考题预测，满分训练—立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 考情透视 考法综述 解等腰直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。 一般情况下，按照直角顶点分类，再结合等腰直角三角形两直角边相等、直角边与斜边满足1:1：的关系，利用距离公式、勾股定理或全等三角形性质列方程。 有时根据一线三直角全等模型列方程更简便，也可借助旋转的性质快速构建等量关系。 解等腰直角三角形的问题，常常和全等三角形、相似三角形、图形旋转、坐标运算的问题联系在一起。 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造一线三直角全等的等腰直角三角形，利用对应直角边相等建立等式，列方程求解更加简便。 模块二 技巧点拨 方法揭秘 二次函数与等腰直角三角形的相结合的综合问题，是中考数学压轴题中比较常见的一种，涉及到的知识点有：等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、斜边的中线、全等三角形与相似三角形、角平分线、方程与函数模型、函数的基本性质等。等腰直角三角形与二次函数综合问题常见的有三种类型：两定一动探索直角三角形问题；一定两动探索等腰直角三角形问题；三动探索等腰直角三角形问题；常见的思路中，不管是哪种类型的等腰直角三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角，解决的思路是通过构造K型全等或相似图来列方程解决。 在Rt△ACB和Rt△BEF中，若∠A=∠EBF，则△ACB∽BFE，则=; 若Rt△ACB和Rt△BEF是等腰直角三角形，则==1. 模块三 核心精讲 典例剖析 【典例精讲一】（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）的对称轴为直线，且经过点，该抛物线与x轴的负半轴交于点B． (1)此抛物线对应的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一点，当的面积为某一值时，符合该值的点P恰好有三个，求对应点P的横坐标； (3)点M为抛物线对称轴上一点，点N为抛物线上一点，若是以为斜边的等腰直角三角形，直接写出点N的坐标． 【答案】(1) (2)点P的横坐标为1或 (3)若是以为斜边的等腰直角三角形，则点N的坐标或 【思路点拨】（1）根据待定系数法可进行求解； （2）由题意可知要使当的面积为某一值时，符合该值的点P恰好有三个，则当点P在直线上方时，只有一个点P满足，那么我们只需求此时的面积即可，即求的面积最大值，过点P作y轴的平行线，交直线于点H，进而根据铅垂法可求解； （3）设点，由题意可分：当点N在对称轴的右侧时，满足是以为斜边的等腰直角三角形，当点N在对称轴的左侧时，满足是以为斜边的等腰直角三角形，然后分类进行求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得： ， 解得：， ∴； （2）解：连接，如图所示：    要使当的面积为某一值时，符合该值的点P恰好有三个，则当点P在直线上方时，只有一个点P满足，那么我们只需求此时的面积即可，即求的面积最大值， 过点P作y轴的平行线，交直线于点H，如图所示， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则有， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积取最大值，最大值为，此时点P的横坐标为1； 当点P在直线的下方时，即点，如图， ∵， ∴同理可得：， 解得：； 综上所述：点P的横坐标为1或； （3）解：设点，由题意可分：当点N在对称轴的右侧时，满足是以为斜边的等腰直角三角形，如图所示，过点N作一直线，分别过点A、M作，垂足分别为E、F，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 当点N在对称轴的左侧时，满足是以为斜边的等腰直角三角形，如图所示，    同理可得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 综上所述：若是以为斜边的等腰直角三角形，则点N的坐标或． 【考点剖析】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数与几何的综合是解题的关键． 【典例精讲二】（2025·江苏扬州·三模）已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)___________，___________． (2)如图1，点P为直线下方抛物线上一点，连接交于点D，求的最大值． (3)点N是抛物线上一动点，M是直线上一动点，当是以N为直角顶点的等腰直角三角形时，直接写出N的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【思路点拨】（1）把点，代入抛物线，即可求解； （2）对于抛物线为，令，得到，运用待定系数法求出直线的解析式为．过点P作轴于点Q，交于点E，设（），则，，由，得到，根据二次函数的性质即可求解； （3）设，连接，分两种情况分别求解：①将线段绕着点N逆时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰；②将线段绕着点N顺时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴，解得． 故答案为：， （2）解：∵，， ∴抛物线为， 令，则， ∴， ∴． 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点P作轴于点Q，交于点E， 设（），则， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴． ∴当时，有最大值，为． （3）解：∵点N在抛物线上， ∴设． 连接， ①将线段绕着点N逆时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰， 过点N作x轴的垂线，垂足为点F，过点M作于点G， ∵，， ∴，， ∵轴，， ∴， ∴， ∵是以点N为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点M在直线上， ∴ 解得， ∴． ②将线段绕着点N顺时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰， 过点N作x轴的平行线，分别过点A，点M作该平行线的垂线，垂足分别为点Q，点H， ∵，， ∴，， 同①同理可得， ∴，， ∴， ∵点M在直线上， ∴， 解得， ∴或． 综上所述，点N的坐标为或或． 【考点剖析】本题考查待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定及性质，二次函数的性质，全等三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 模块四 考题预测 满分训练 1．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (4)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； (5)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 (4) (5)的值为或 【思路点拨】（1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）根据（1）中所求抛物线解析式可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （3）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值； （4）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可求表示出M点纵坐标，代入抛物线解析式可求得m的值； （5）由条件可得出，结合（2）可得到关于m的方程，可求得m的值． 【规范解答】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：令可得，，解，， ∵点在点右侧， ∴点坐标为， 设直线解析式为， 把、坐标代入可得，解得， ∴直线解析式为； （3）解：∵轴，点的横坐标为， ∴，， ∵在线段上运动， ∴点在点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为； （4）解：∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， ∴点纵坐标为3， ∴，解得或， 当时，则，重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； （5）解：∵， ∴当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴， ∴或， 解方程，即， 此时． ∴方程无解， 解方程，即， ∴， 综上，的值为或． 【考点剖析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（3）中用m表示出的长是解题的关键，在（4）中确定出是解题的关键，在（5）中由平行四边形的性质得到是解题的关键． 2．已知二次函数（其中、为常数）． (1)若，判断二次函数的图象与轴公共点的个数，并说明理由； (2)若点，都在二次函数的图象上，试比较、的大小． (3)若该函数图象经过点和，若点在轴上，过作轴的垂线，交直线于点，以为斜边作等腰直角．当点落在抛物线上时，求此时的横坐标． 【答案】(1)二次函数的图象与轴有个公共点； (2)； (3)点横坐标为或． 【思路点拨】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）利用判别式判断即可； （2）开口向上的抛物线，点距离对称轴的距离越大函数值越大； （3）设，则，则PH的中点为，根据等腰直角三角形的性质可得或，将点代入函数解析式即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴二次函数的图象与轴有个公共点； （2）∵的对称轴为， ∴，， ∵开口向上，越靠近对称轴的函数值越小， 又∵， ∴； （3）将点和代入， 得， 解得，， ∴， ∵设直线的解析式为：， 将点和代入，得：， 解得，， ∴， ∵设，轴，点在直线上， ∴， ∴的中点为， ∵为斜边，根据等腰直角三角形的性质，点在直线上，点到的距离， ①当时，，点到的距离， 当在的左侧，，当在的右侧， ∴或， ∵点在抛物线上， ∴当时，， 解得(舍)或； 当时，， 当时， 解得或(舍)； 当时，， ②当时，，点到的距离， 当在的左侧，，当在的右侧， ∴或， ∵点在抛物线上， ∴或， 当时，， 解得(舍)或(舍)； 当时， 解得(舍)或(舍)； 综上所述：点横坐标为或． 3．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标； (3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)，理由见解析 【思路点拨】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，设与交于点，当点F在x轴上方时，过点作于点，证明，设，则，，进而得出点的坐标，代入抛物线解析式，求得的值即可求出点F的坐标；当点F在x轴上方，且点E与点A重合时，利用等腰直角三角形的性质求出，即可求出点F的坐标；同理可求得当点F在x轴下方时的坐标；当点与点重合时，求得另一个解，进而即可求解； （3）设，直线的解析式为，的解析式为，求得解析式，然后求得，即可求解． 【规范解答】（1）解：将点，，代入中得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵点，， ∴抛物线的对称轴为直线：， 如图所示，当点F在x轴上方时，设与交于点，过点作于点，     ∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点在抛物线上 ∴ 解得：（舍去）或, ∴； 如图所示，当点F在x轴上方时，且点E与点A重合时，设直线l与x轴交于G， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴； 如图所示，当点F在x轴下方时，，设与交于点，过点作于点    ∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点在抛物线上 ∴ 解得：（舍去）或， ∴， 如图所示，当点F在x轴下方，当点与点重合时，     ∵，是等腰直角三角形，且， ∴ ∴， 综上所述，或或或； （3）解：设，直线的解析式为，的解析式为， ∵点，，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为，的解析式为， 对于，当时，，即， 对于，当时，，即， ∵在抛物线上，则 ∴ ∴为定值． 【考点剖析】本题主要考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题，全等三角形的性质与判定等等，熟练掌握二次函数的性质并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．    (1)顶点D的坐标为 ； (2)过点C作轴交抛物线于点F，点P在抛物线上，，求点P的坐标； (3)点G是一次函数图像上一点，点Q是抛物线上一点，是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，则点Q的横坐标为 ． 【答案】(1)； (2)或； (3)或或． 【思路点拨】（1）由顶点公式求出即可； （2）先按照直线上下方分类，按照角度要求找出点P所在的直线，得到直线与抛物线交点为点P，利用特点求其正切值，可设点P的坐标，结合点C坐标，表示出值，再求出点P坐标； （3）先按照图中点Q的大致位置确定等腰直角三角形只有3种位置，再由等腰直角三角形构造三垂直全等，最后设长度表示出点Q、P坐标，代入函数求出点Q坐标． 【规范解答】（1），， 故； （2）， 点P存在如下图直线上下两种位置，，    ， 由点P在抛物线上，设点， 作于点， ， 解得或， 或； （3）当点Q在x轴上方左侧抛物线上时，，点Q不存在； 当点Q在x轴上方右侧抛物线上时，，点Q不存在； 当点Q在x轴下方时，存在以下三种情况： 当点Q在轴左侧时， 分别过点G、B作竖直线交过Q的水平线于N、M，    由等腰直角三角形得， ，， 设，， 则， 将点G代入得， 得，代入得：，得， ； 当点Q在轴右侧，点C下方时， 分别过点G、B作水平线交过Q的竖直线于N、M， 同理可得，， 将点G代入得， 得，代入得：， ； 当点Q在轴右侧，点C上方时， 分别过点G、B作竖直线交过Q的水平线于N、M，    同理可得，， 将点G代入得， 得，代入得：，得 ； 综上所述点Q的坐标为或或． 【考点剖析】本题考查二次函数于几何结合的综合问题，包含特殊角和特殊三角形．通常求解抛物线上的点使角为特殊角，先找到满足角度关系的射线，目标点为抛物线与射线交点采用联立方程求出，当角度具有特殊情况时可结合相似、三角函数、全等构造出适合求出射线的方式，有时也可利用动点所在函数直接设动点坐标，表述出长度，来计算几何特性．构造等腰直角三角形时通常采用三垂直得到点的边长关系，再通过设元表示坐标代入函数求出点坐标． 5．（2024·江苏宿迁·一模）如图，二次函数与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求函数表达式及顶点坐标； (2)连接，点P为线段上方抛物线上一点，过点P作轴于点Q，交于点H，当时，求点P的坐标； (3)是否存在点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在；或或或 【思路点拨】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，并转化为顶点式，即可求出顶点坐标； （2）先求出直线的解析式，设点，则，则，，根据，列出关于m的方程，解方程即可； （3）过点M作轴，交对称轴于点F，过点B作于点E，证明，得出，设点，则，，得出，求出s的值即可． 【规范解答】（1）解：把点、代入得：， 解得： ∴， ∴顶点坐标为：； （2）解：把代入得：， ∴， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴， 设点，则， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）， ∴； （3）解：过点M作轴，交对称轴于点F，过点B作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点，则，， ∴， 当时，解得：或； 当时，解得：或； 综上分析可知，点M的横坐标为：或或或． 【考点剖析】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，三角形全等的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明． 6．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B，且与x轴交于点C，连接BC． (1)求b，c的值． (2)点P为线段AC上一动点（不与点A，C重合），过点P作直线，交BC于点D，连接PB，设，的面积为S．求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值． (3)若点M在抛物线的对称轴上运动，点N在x轴运动，当以点B，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，称这样的点N为“美丽点”．请直接写出“美丽点”N的坐标． 【答案】(1) (2)，S的最大值为． (3)点N的坐标为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）． 【思路点拨】（1）先求得点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求解； （2）由求得，再利用构造关于t的二次函数，利用二次函数的性质即可求解； （3）分别以点M、N为直角顶点分四种情况进行讨论，利用全等三角形的判定和性质求解即可． 【规范解答】（1）解：将代入，得． 解得． ∴点A的坐标为． 将代入，得． ∴点B的坐标为． 将点，代入， 得解得 （2）解：将代入， 得．解得，． ． 又，， ，． ， ． ， ． ，即， ． ，即． ， ∴S的最大值为． （3）解：抛物线的对称轴为x==， 设对称轴直线交x轴于点E，则OE=， 当点M为直角顶点时，过点M作MF⊥轴于点F，如图： ∴四边形MEOF为矩形， MF=OE=， ∵∠BMN=∠BFM=90°，BM=MN， ∴∠BMF+∠BME=90°，∠NME+∠BME=90°， ∴∠BMF=∠NME， ∴Rt△BMF≌Rt△NME， ∴MF=ME=，NE=BF， ∴NE=BF=， ∴NO= NE+OE=， ∴点N的坐标为（，0）； 当点M为直角顶点时，过点M作MF⊥轴于点F，如图： 同理可证Rt△BMF≌Rt△NME， ∴MF=ME=，NE=BF， ∴NE=BF=， ∴NO= NE-OE=， ∴点N的坐标为（，0）； 当点N为直角顶点时，如图： 同理可证Rt△BON≌Rt△NEM， ∴NO=ME，NE=BO=， ∴NO= NE+OE=， ∴点N的坐标为（，0）； 当点N为直角顶点时，如图： 同理可证Rt△BON≌Rt△NEM， ∴NO=ME，NE=BO=， ∴NO= NE-OE=， ∴点N的坐标为（，0）； 综上，点N的坐标为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）． 【考点剖析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 7．我们约定：如果抛物线的顶点坐标满足条件，那么称抛物线为“同频”拋物线．如抛物线的顶点坐标为，此时，，满足条件，所以它是“同频”拋物线． (1)抛物线是“同频”拋物线，请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）． 当时，；（   ） 当时，；（   ） 抛物线与轴可能只有一个交点；（   ） (2)是否存在点，是“同频”拋物线上的点，其中，且，若存在，请求该抛物线的解析式，若不存在，请说明理由； (3)“同频”抛物线的顶点为，它与直线交于，两点，若是等腰直角三角形，求代数式的值． 【答案】(1)√；√；×； (2)不存在，理由见解析 (3)代数式的值为或． 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数的应用，二次函数与一元二次方程的关系，待定系数法求解析式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出顶点坐标为，根据“同频”拋物线可得，整理得，再结合已知条件分别判断； （2）由（1）得抛物线的顶点坐标为，，又，是“同频”拋物线上的点，则，得出，再结合，得，然后求出的值即可，再联立抛物线与直线，得出无交点，即可求解； （）先求出抛物线的顶点坐标为，又抛物线是“同频”拋物线，则，整理得，所以，根据题意得，解得，，所以，又是等腰直角三角形，所以顶点到的距离等于，得，整理得，求得，然后分情况求解即可． 【规范解答】（1）解：由抛物线， ∴顶点坐标为， 根据“同频”拋物线可得：，整理得：， 当时，； ∵，， ∴； 由， ∴抛物线与轴没有交点， 故答案为：√；√；×； （2）解：不存在，理由如下： 由（1）可得抛物线，顶点坐标为，根据“同频”拋物线可得：，整理得： ∵，是“同频”拋物线上的点， ∴， 得：， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴该抛物线的解析式为； ∵， ∴在直线上， 联立 消去得， 即 ∴ ∴不在抛物线上，故不存在 （3）解：由抛物线， ∴顶点坐标为， ∵抛物线是“同频”拋物线， ∴，整理得：， ∴， ∵抛物线与直线交于，两点， ∴， ， 解得：，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴顶点到的距离等于， ∴， 整理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，， ∴ ； 当时，， ∴ ； 综上可得：代数式的值为或． 8．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点左侧），交轴正半轴于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在点下方的轴上，点在第一象限的抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标； (3)如图2，已知动点在抛物线上，为的三等分点且靠近点，作轴交抛物线于点．设点的横坐标为，线段的长为． ①求出关于的函数解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或或或 【思路点拨】（1）由得，得，把B的坐标代入得，求出a的值即可； （2）解：设，则，过E作于F，根据等腰直角三角形的性质可求出，，则，然后把E的坐标代入求解即可； （3）①根据相似三角形的判定与性质求出M的坐标，根据轴求出N的坐标，然后求出，分三种情况讨论即可； ②分或，讨论，分别求出抛物线于直线，的交点坐标，然后画出草图，数形结合求解即可． 【规范解答】（1）解：当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入，得， 解得， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， 过E作于F， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点在第一象限的抛物线上， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：当时，解得，， ∴， 当P和B重合时，， ∴， ∵为的三等分点且靠近点， ∴， ∴，此时M、N重合， 当P和C重合时，、都在y轴上，则P和N重合， 设， 当时，如图，过P作轴于H，设与x轴相交于G， 则轴， 又轴， ∴， ∴， ∴， ∵为的三等分点且靠近点， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∵轴， ∴N的横坐标为， ∵N在抛物线上， ∴N的纵坐标为， ∴， ∴； 当时，即或时，； 当时，即时，； 当时，（、重合）； 综上，； ②当或时，， 时，，解得， 时，，解得， 函数图象草图如图， 由图象可知：当或时，， 当时，， 时，，解得， 时，，解得， 函数图象草图如图， 由图象可知：当或时，， 综上，当或或或时，． 9．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究，如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． (4)点在直线上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)存在，或或或 【思路点拨】（1）由对称轴直线，以及A点坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线解析式； （2）如图，作点关于轴的对称点为点，连接，交x轴于点D，则，，此时取得最小值，则此时的周长最小，再求出直线解析式，即可求解； （3）求出直线解析式为，设直线与交于点P，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则，可得，然后根据直线将的面积分成两部分，可得或，即可求解； （4）分四种情况讨论，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵与轴交于点，对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵对称轴为直线，， ∴点横坐标为，横坐标为1． 把代入抛物线解析式得：， ∴，．    如图，作点关于轴的对称点为点，连接，交x轴于点D，则，， 此时取得最小值，则此时的周长最小， 设直线解析式为， 把坐标代入得：， 解得：， 即直线解析式为， 令，解得， 即点D的坐标为； 故答案为： （3）解：由（2）得：，， 设直线解析式为， ∴ 解得：， ∴直线解析式为， 设直线与交于点P，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则， ∴， ∴．    ∵直线将的面积分成两部分， ∴或， ∴或， ∵， ∴或 ∴或， ∴点P的横坐标为或， 把代入得：， 此时； 把代入得：， 此时； 综上所述，点P的坐标为或； 故答案为：或 （4）解：存在， 设点Q的坐标为， 设交y轴于点K，则， 根据题意得：， 如图，过点M作于点N，则，此时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：（舍去）或0； 此时点Q的坐标为； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点G，过点A作于点E，此时，， 同理 ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：或（舍去）， ∴点； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时，， 同理 ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：（舍去）或； ∴点； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时，， 同理 ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：或0（舍去）； ∴点； 综上所述，点Q的坐标为或或或． 【考点剖析】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，以及几何变换轴对称—最短距离，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 10．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系． (3)连接、，当为何值时？ (4)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)，且 (3)或 (4)存在，点的坐标为或 【思路点拨】（1）直线与抛物线交于、两点，可得点和点坐标，再求出点、的坐标分别为：、，利用待定系数法即可求解； （2）分别求出和的长，根据待定系数法求出直线的解析式，即可求解； （3）根据题意将的面积和的面积表示出来，令，即可解出的值； （4）分、、三种情况，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：直线与抛物线交于、两点，则点、点． ∵，， ∴点的坐标为， 故抛物线的表达式为， 将点的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴顶点的坐标为． （2）解：，且，理由： ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 故直线的解析式为； ∵、点， ∴， 故； ∵直线的解析式为，直线的解析式为， 故将直线向上平移个单位得到直线， ∴， 故，且． （3）解：∵， 解得，， ∴点的坐标为． 如图，过点作轴的平行线，交于点， 设点，则点， ∴． 解得或． （4）解：存在，点的坐标为或． 设点，点，，而点， ①当时， 如图，过点作轴的平行线，过点、点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点、， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 即，， 解得． 当时，， 解得，（舍去）， ∴点． ②当时，如图： 此时，则点、关于抛物线的对称轴对称， 点在抛物线上， 由抛物线的对称性可知，点在抛物线上， 又点在直线上， 点与点重合，此时纵坐标为3， ∴点． ③当时， 当点在抛物线对称轴的右侧时，如图， 点在的下方，与题意不符，舍去； 当点在抛物线对称轴的左侧时，如图，同理可得， 解得（舍去），． 故点． 综上可得，点的坐标为或． 【考点剖析】本题考查的是二次函数综合运用，难度较大，涉及到一次函数、三角形全等、图形的面积计算等，要注意分类求解，避免遗漏．熟练掌握这些性质、判定、二次函数的图象和性质是解题的关键． 11．二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点M作轴交直线于点N，交抛物线于点D，连接，设运动的时间为t秒． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上存在一点P，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【思路点拨】本题考查了二次函数与几何的综合题，待定系数法求二次函数表达式，根据等腰直角三角形求点的坐标，解题的关键是根据点的坐标求出函数解析式，同时根据解析式将点表示出来，列出方程进行计算． （1）将、两点的坐标代入二次函数解析式中，求出系数与即可； （2）由的值得出的坐标，因此设，由勾股定理可得，，根据题意，所以，得出的坐标为，再利用勾股定理列出方程，解得或，代入求值即得出答案． 【规范解答】（1）解：将 ， 代入中， 得： ， 解得： ． 二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴， ． 对于，当， ∴， ∴， 设， 则，． ， ， ， ． ， ∴， ， 将代入整理得：， 解得：或． 将或分别代入中， 或． 12．（2025·宁夏·模拟预测）已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标； (2)如图，若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与B，C重合），过点M作y轴的平行线，交直线于点N； ①设点M的横坐标为m，用含m的式子表示出的长，并求出的最大值及此时点M的坐标； ②过点M作，交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出点M的横坐标m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为 (2)①点M的坐标为；②存在，点M的横坐标m的值为或 【思路点拨】本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，其中（2）要分类求解，避免遗漏． （1）由抛物线的对称轴是直线，解出a的值，即可求得抛物线解析式，在令其y值为零，解一元二次方程即可求出A和B的坐标； （2）①易求点C的坐标为，设直线的解及此时M点的坐标析式为，将，代入，解出k和b的值，即得直线的解析式；设点M的坐标为，则点N的坐标为，表示出的长得出关于m的二次函数，从而求得其最值及此时M点的坐标； ②由得中，，可得当时为等腰直角三角形，分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧，根据得出关于m的方程，从而求解． 【规范解答】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． 令，得， 解得， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． （2）解：①当时，， ∴点C的坐标为． 设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为． 设点M的坐标为，则点N的坐标为， ∴， ∴当时，的最大值是4． ∵点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与B，C重合）， ∴， ∴此时点M的坐标为． ②当点M在对称轴右侧时，如图： ∵，交抛物线于点D，轴，抛物线的对称轴是直线，点M的横坐标为m， ∴， ∴当时，为等腰直角三角形． ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当点M在对称轴左侧时，如图： ∵，交抛物线于点D，轴，抛物线的对称轴是直线，点M的横坐标为m， ∴， ∴当时，为等腰直角三角形． ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 综上，存在，点M的横坐标m的值为或． 13.如图，已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点． (1)求线段的长； (2)若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与点，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点． （ⅰ）当线段的长有最大值时，求点的坐标； （ⅱ）过点作交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ） ；（ⅱ）或． 【思路点拨】本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、二次函数的性质，等腰三角形的性质． （1）由待定系数法求出抛物线表达式，进而求解； （2）（Ⅰ）由题意知点的坐标为，点的坐标为，即可求解； （Ⅱ）由得到当时，为等腰直角三角形，再根据点在对称轴右侧或左侧分情况讨论，分别画出图形求解即可． 【规范解答】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． 令，得，解得，， ，， ； （2）解：（ⅰ）由（1）知抛物线的解析式为． 令，得， ． 设直线的解析式为， 将，代入，得 解得， 直线的解析式为， 由题意知点的坐标为，点的坐标为， ， 当时，线段的长有最大值， 此时， 点的坐标为； （ⅱ）， ， 即当时，为等腰直角三角形． ①如图1，点在对称轴右侧． ，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ． 由（ⅰ）知， ， 解得或（不合题意，舍去）， ； ②如图2，点在对称轴左侧． ，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ． 由（ⅰ）知， ， 解得或（不合题意，舍去）， ． 存在，的值为或． 14．（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点．点、，当点不在轴上时，连结，，，得到．    (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当时，求证：是等腰直角三角形． (3)当抛物线在三角形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，求的取值范围； (4)当时，若抛物线与有交点，设交点为．当点与的顶点所连的直线恰好平分的面积时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)且； (4)或或． 【思路点拨】本题考查二次函数与几何图形的综合应用，用待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程，熟练掌握相关知识，运用分类讨论思想是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）当时，则，，所以，，，然后通过等腰直角三角形的定义即可求证 ； （）找出临界值，当在上时，当直线经过顶点时，分别出的值即可； （）当点与的顶点所连的直线恰好平分的面积时，分 为中点时， 为中点时， 为中点时三种情况分析求解即可． 【规范解答】（1）解：把代入，得， ∴， ∴该抛物线对应的函数表达式为； （2）证明：当时，，， ∵点， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：如图，当在上时，    ∴，整理得：， 解得：， 如图，当直线经过顶点，    设解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∵ 上， ∴，解得：， ∴抛物线在三角形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，的取值范围且； （4）解：当点与的顶点所连的直线恰好平分的面积时， 如图，为中点时，    ∵，点， ∴， ∵在上， ∴，整理得， 解得：，（舍去）， 如图，为中点时，    ∵，， ∴， ∵在上， ∴，整理得， 解得：，（舍去）， 如图，为中点时，    ∵，， ∴， ∵在上， ∴，整理得， 解得：，（舍去）， 综上可知：的值为或或． 15．（2025·宁夏银川·二模）已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点右侧），与轴交于点. (1)求抛物线的解析式和，两点的坐标； (2)如图，若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与，重合），过点M作y轴的平行线，交直线于点； ①设点的横坐标为，用含的式子表示出的长，并求出的最大值及此时点的坐标； ②过点作，交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点的横坐标的值． 【答案】(1)抛物线的解析式为：；点的坐标为，点的坐标为 (2)①用含的式子表示出的长为，的最大值是4，此时点的坐标为；②或 【思路点拨】（1）由抛物线的对称轴是直线，解出的值，即可求得抛物线解析式，在令其值为零，解一元二次方程即可求出和的坐标； （2）①易求点的坐标为，设直线的解析式为，将，代入，解出和的值，即得直线的解析式；设点的坐标为，则点的坐标为，表示出的长得出关于的二次函数，从而求得其最值及此时点的坐标；②由得中，，可得当时为等腰直角三角形，分点在对称轴右侧和点在对称轴左侧，根据得出关于的方程，从而求解． 【规范解答】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ，解得， 抛物线的解析式为：． 当时，，解得，， 点的坐标为，点的坐标为． ∴抛物线的解析式为：；点的坐标为，点的坐标为； （2）解：①当时，， 点的坐标为． 设直线的解析式为，将，代入得： ，解得， 直线的解析式为． 设点的坐标为，则点的坐标为， ， 当时，的最大值是4， 点是抛物线上、两点之间的一个动点（不与、重合）， ， 此时点的坐标为． 用含的式子表示出的长为，的最大值是4，此时点的坐标为； ②， ， 当时，为等腰直角三角形， 点在对称轴右侧时，如图： ，交抛物线于点，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ，， 当时为等腰直角三角形， 的长为， ，解得：或（舍去）， ； 点在对称轴左侧时，如图： ，交抛物线于点，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ，， 当时为等腰直角三角形， 的长为， ，解得：或（舍去）， ； 存在，点的横坐标的值为或. 【考点剖析】本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、二次函数的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是充分掌握分类讨论的思想，对（2）要分类求解，避免遗漏． 16．（2025·山东青岛·二模）已知平面直角坐标系的原点为O，抛物线的顶点为C，该抛物线与x轴的正半轴交于点B，若为等腰直角三角形，则b的值为________． 【答案】2 【思路点拨】考查了二次函数的图象和性质、等腰直角三角形的性质等知识．画出图象，抛物线的对称轴为直线，对称轴与x轴交于点D，开口向下，顶点坐标为，得到，进一步求出，由等腰直角三角形的性质得到，则，解方程并检验即可． 【规范解答】解：如图，抛物线的对称轴为直线，对称轴与x轴交于点D，开口向下，顶点坐标为， ∴， 当时，， 解得或， ∴点B的坐标为， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴ 解得，或， 经检验，或是方程的解， 当时，顶点为原点，不合题意； ∴， 故答案为： 17．（2025·陕西西安·三模）如图，抛物线：()与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)将抛物线上下平移，请问在平移后的抛物线上是否存在点，使得是以为腰，点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在请求出平移的方式． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)存在，将抛物线向上平移个单位或向下平移个单位 【思路点拨】（）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，进而把解析式转化为顶点式可求出顶点的坐标； （）设平移后解析式为，过点作的垂线并在垂线上取一点，使得，记上方的点为，下方的点为，连接，则为等腰直角三角形，过点作轴于点，可证，可得，，得到点坐标为，进而把点坐标代入可得，即可得将抛物线向上平移个单位；同理可得点坐标为，进而可得将抛物线向下平移个单位，即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， 将点代入得，， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：存在，理由如下： ∵将抛物线上下平移， ∴，抛物线对称轴， ∴设平移后解析式为， 过点作的垂线并在垂线上取一点，使得，记上方的点为，下方的点为，连接，则为等腰直角三角形， 过点作轴于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点坐标为， 把代入得，， 解得， ∴将抛物线向上平移个单位； 同理可得点坐标为， 把代入得，， 解得， ∴将抛物线向下平移个单位； 综上，将抛物线向上平移个单位或向下平移个单位，平移后的抛物线上存在点，使得是以为腰，点为直角顶点的等腰直角三角形． 18．（2025·江西萍乡·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，点在轴上，点在轴上，点，抛物线的图象经过点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)把沿轴正方向平移，当点落在抛物线上时，求扫过区域的面积； (3)在抛物线上是否存在异于点的点，使是以为直角边的等腰直角三角形?如果存在，请求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)9.5 (3)存在， 【思路点拨】（1）将点C的坐标代入抛物线的解析式，可求得b的值，从而可得到抛物线的解析式； （2）过点C作轴，垂足为点K，首先证明，从而可得到，，于是可得到点A、B的坐标，然后依据勾股定理求得的长，然后求得点D的坐标，从而可求得三角形平移的距离，最后，依据扫过区域的面积为，求解即可； （3）当时，过点P作轴，垂足为G，先证明，从而可得到点P的坐标，然后再判断点P的坐标是否满足抛物线的解析式即可，当，过点P作轴，垂足为点F，同理可得到点P的坐标，然后再判断点P的坐标是否满足抛物线的解析式即可． 【规范解答】（1）解：∵点在二次函数的图象上， ，解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：过点C作轴，垂足为K． 为等腰直角三角形， ． 又， ． 又， ． 在和中， ， ， ，． ，． ∴当点B平移到点D时，设， 则，解得（舍去）或． 由题意可得扫过区域的面积为平行四边形和的面积和， 即； （3）解：存在； 当时，过点P作轴，垂足为G． 为等腰直角三角形， ，． ． 又， ． 在和中， ， ， ，， ∴． 当时，， ∴点不在抛物线上． 当，过点P作轴，垂足为F． 同理可知：， ，， ． 当时，， ∴点在抛物线上， 综上，所有符合条件的点P的坐标为． 【考点剖析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平移的性质、全等三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三讲 二次函数与等腰直角三角形问题『压轴题大揭秘』 〔考法综述+技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【原卷版】在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 讲义说明 资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定制，聚焦数学压轴题专项提升，贴合江苏各地中考命题规律，精选近两年省内各市中考真题、名校模拟题，按考点分类精讲精练，帮助学生掌握解题方法、强化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一 考情透视，考法综述—深度剖析江苏中考压轴题命题趋势，明晰考情考点； 模块二 技巧点拨，方法揭秘—梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块三 核心精讲，典例剖析—针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤； 模块四 考题预测，满分训练—立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 考情透视 考法综述 解等腰直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。 一般情况下，按照直角顶点分类，再结合等腰直角三角形两直角边相等、直角边与斜边满足1:1：的关系，利用距离公式、勾股定理或全等三角形性质列方程。 有时根据一线三直角全等模型列方程更简便，也可借助旋转的性质快速构建等量关系。 解等腰直角三角形的问题，常常和全等三角形、相似三角形、图形旋转、坐标运算的问题联系在一起。 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造一线三直角全等的等腰直角三角形，利用对应直角边相等建立等式，列方程求解更加简便。 模块二 技巧点拨 方法揭秘 二次函数与等腰直角三角形的相结合的综合问题，是中考数学压轴题中比较常见的一种，涉及到的知识点有：等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、斜边的中线、全等三角形与相似三角形、角平分线、方程与函数模型、函数的基本性质等。等腰直角三角形与二次函数综合问题常见的有三种类型：两定一动探索直角三角形问题；一定两动探索等腰直角三角形问题；三动探索等腰直角三角形问题；常见的思路中，不管是哪种类型的等腰直角三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角，解决的思路是通过构造K型全等或相似图来列方程解决。 在Rt△ACB和Rt△BEF中，若∠A=∠EBF，则△ACB∽BFE，则=; 若Rt△ACB和Rt△BEF是等腰直角三角形，则==1. 模块三 核心精讲 典例剖析 【典例精讲一】（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）的对称轴为直线，且经过点，该抛物线与x轴的负半轴交于点B． (1)此抛物线对应的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一点，当的面积为某一值时，符合该值的点P恰好有三个，求对应点P的横坐标； (3)点M为抛物线对称轴上一点，点N为抛物线上一点，若是以为斜边的等腰直角三角形，直接写出点N的坐标． 【典例精讲二】（2025·江苏扬州·三模）已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)___________，___________． (2)如图1，点P为直线下方抛物线上一点，连接交于点D，求的最大值． (3)点N是抛物线上一动点，M是直线上一动点，当是以N为直角顶点的等腰直角三角形时，直接写出N的坐标． 模块四 考题预测 满分训练 1．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (4)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； (5)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 2．已知二次函数（其中、为常数）． (1)若，判断二次函数的图象与轴公共点的个数，并说明理由； (2)若点，都在二次函数的图象上，试比较、的大小． (3)若该函数图象经过点和，若点在轴上，过作轴的垂线，交直线于点，以为斜边作等腰直角．当点落在抛物线上时，求此时的横坐标． 3．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标； (3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．    (1)顶点D的坐标为 ； (2)过点C作轴交抛物线于点F，点P在抛物线上，，求点P的坐标； (3)点G是一次函数图像上一点，点Q是抛物线上一点，是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，则点Q的横坐标为 ． 5．（2024·江苏宿迁·一模）如图，二次函数与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求函数表达式及顶点坐标； (2)连接，点P为线段上方抛物线上一点，过点P作轴于点Q，交于点H，当时，求点P的坐标； (3)是否存在点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B，且与x轴交于点C，连接BC． (1)求b，c的值． (2)点P为线段AC上一动点（不与点A，C重合），过点P作直线，交BC于点D，连接PB，设，的面积为S．求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值． (3)若点M在抛物线的对称轴上运动，点N在x轴运动，当以点B，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，称这样的点N为“美丽点”．请直接写出“美丽点”N的坐标． 7．我们约定：如果抛物线的顶点坐标满足条件，那么称抛物线为“同频”拋物线．如抛物线的顶点坐标为，此时，，满足条件，所以它是“同频”拋物线． (1)抛物线是“同频”拋物线，请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）． 当时，；（   ） 当时，；（   ） 抛物线与轴可能只有一个交点；（   ） (2)是否存在点，是“同频”拋物线上的点，其中，且，若存在，请求该抛物线的解析式，若不存在，请说明理由； (3)“同频”抛物线的顶点为，它与直线交于，两点，若是等腰直角三角形，求代数式的值． 8．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点左侧），交轴正半轴于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在点下方的轴上，点在第一象限的抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标； (3)如图2，已知动点在抛物线上，为的三等分点且靠近点，作轴交抛物线于点．设点的横坐标为，线段的长为． ①求出关于的函数解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 9．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究，如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． (4)点在直线上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 10．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系． (3)连接、，当为何值时？ (4)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点M作轴交直线于点N，交抛物线于点D，连接，设运动的时间为t秒． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上存在一点P，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标． 12．（2025·宁夏·模拟预测）已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标； (2)如图，若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与B，C重合），过点M作y轴的平行线，交直线于点N； ①设点M的横坐标为m，用含m的式子表示出的长，并求出的最大值及此时点M的坐标； ②过点M作，交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出点M的横坐标m的值；若不存在，说明理由． 13.如图，已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点． (1)求线段的长； (2)若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与点，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点． （ⅰ）当线段的长有最大值时，求点的坐标； （ⅱ）过点作交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 14．（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点．点、，当点不在轴上时，连结，，，得到．    (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当时，求证：是等腰直角三角形． (3)当抛物线在三角形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，求的取值范围； (4)当时，若抛物线与有交点，设交点为．当点与的顶点所连的直线恰好平分的面积时，直接写出的值． 15．（2025·宁夏银川·二模）已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点右侧），与轴交于点. (1)求抛物线的解析式和，两点的坐标； (2)如图，若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与，重合），过点M作y轴的平行线，交直线于点； ①设点的横坐标为，用含的式子表示出的长，并求出的最大值及此时点的坐标； ②过点作，交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点的横坐标的值． 16．（2025·山东青岛·二模）已知平面直角坐标系的原点为O，抛物线的顶点为C，该抛物线与x轴的正半轴交于点B，若为等腰直角三角形，则b的值为________． 17．（2025·陕西西安·三模）如图，抛物线：()与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)将抛物线上下平移，请问在平移后的抛物线上是否存在点，使得是以为腰，点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在请求出平移的方式． 18．（2025·江西萍乡·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，点在轴上，点在轴上，点，抛物线的图象经过点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)把沿轴正方向平移，当点落在抛物线上时，求扫过区域的面积； (3)在抛物线上是否存在异于点的点，使是以为直角边的等腰直角三角形?如果存在，请求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $