第02讲 二次函数与直角三角形问题（学霸秘籍，压轴题专项训练）2026年中考数学（江苏专用）

第二讲 二次函数与直角三角形问题『压轴题大揭秘』 〔考法综述+技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【解析版】在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 讲义说明 资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定制，聚焦数学压轴题专项提升，贴合江苏各地中考命题规律，精选近两年省内各市中考真题、名校模拟题，按考点分类精讲精练，帮助学生掌握解题方法、强化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一 考情透视，考法综述—深度剖析江苏中考压轴题命题趋势，明晰考情考点； 模块二 技巧点拨，方法揭秘—梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块三 核心精讲，典例剖析—针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤； 模块四 考题预测，满分训练—立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 考情透视 考法综述 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根． 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起． 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便． 模块二 技巧点拨 方法揭秘 我们先看三个问题： 1．已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？ 2．已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？ 3．已知点A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标． 图1 图2 图3 如图1，点C在垂线上，垂足除外． 如图2，点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外． 如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共6个． 如图4，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标． 我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C． 如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．[来源:学科网] [来源:Zxxk.Com] 设OC＝m，那么． 这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点． 对于代数法，可以采用两条直线的斜率之积来解决. 模块三 核心精讲 典例剖析 【典例精讲一】（2026·江苏无锡·一模）如图，已知二次函数（）的图象与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数表达式； (2)若点、（）是该函数图像上两点． ①证明：； ②连接，若为直角三角形，求t的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②或或 【思路点拨】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①分别求出，再求出，进而求出，根据，利用不等式的性质比较即可； ②分和两种情况结合勾股定理讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，得，解得， 则二次函数表达式为； （2）①证明：根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ②根据题意，得， ∵， ∴，，， ∵为直角三角形， ∴或， 当时，则， 则 或 解得（舍去）或（舍去）或（符合题意）； 当时， 则，则 或 解得或或（舍去）； 综上，若为直角三角形，t的值为或或． 【典例精讲二】（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为点G，与相交于点F． (1)求点A、点B的坐标； (2)用含t的代数式分别表示和的长； (3)是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在， 【思路点拨】（1）在直线中，分别令和，即可求得、两点坐标； （2）由、的长可求得，用可表示出，，和的长，由勾股定理可求得的长，从而可用表示出的长； （3）若为直角三角形时，由条件可知只能是，又，由（）可知又由二次函数的对称性可得到，从而可求出，在中，可得到关于的方程，可求得的值，进一步可求得点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式． 【规范解答】（1）解：在直线中， 令得， 解得： 令得， ∴， （2）解：由（1）可知， ， 运动时间为秒， 轴， 在中，，， 在中，，， ， ； （3）解：存在． 轴， ， 点不能在抛物线的对称轴上， ， 当为直角三角形时，则有， 又， ， ，， ，且 ， 解得： 即当的值为秒时，为直角三角形， 此时 ∴ ∵抛物线的顶点为，设抛物线解析式为， 把点坐标代入得： 解得：， ∴抛物线的解析式为， 即． 【考点剖析】本题主要考查了二次函数综合运用待定系数法，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的对称性等知识点；综合运用以上知识是解题的关键． 模块四 考题预测 满分训练 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段 的最大值及此时点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)有最大值，此时； (3)存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，点的坐标为或或或． 【思路点拨】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，二次函数的最值问题，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）求出解析式为，设，则，则，然后利用二次函数的性质即可求解； （）设，则有，，，分当时，当时，当时三种情况，再通过解方程即可求解． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， 设抛物线的表达式为， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图， 设解析式为且过，， ∴，解得：， ∴解析式为， ∵是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴， ∴设，则， ∴， ∴当时，有最大值， 此时； （3）解：存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，理由， 如图， ∵抛物线的表达式为， ∴对称轴为直线， ∵点在对称轴上， ∴设， ∵，， ∴，，， 当时， ∴， 解得， ∴， 当时， ∴， 解得， ∴或； 当时， ∴， 解得， ∴； 综上：点的坐标为或或或． 2．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图（1），抛物线与轴交于，两点，与轴交于，顶点． (1)写出抛物线的解析式，点，点的坐标； (2)连接，在上方的抛物线上是否存在点使面积最大，若存在，求面积的最大值，若不存在请说明理由； (3)直线交抛物线于点，（点在点的右边），交直线于点，若，求的值； (4)如图（2），点是抛物线对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是直角三角形时，的值为______． 【答案】(1)，点，点 (2)存在，最大值为 (3)的值为或 (4)或或 【思路点拨】本题考查了二次函数、一次函数与几何综合，熟练掌握待定系数法求解析式，二次函数的对称性，直角三角形的性质，勾股定理，二次函数与线段（转化），分类讨论是解题的关键 （1）由顶点可知对称轴为直线，根据对称性知，设抛物线为交点式，即，再代入，可得，故抛物线的解析式为，点，点； （2）先求直线的表达式为，作轴交于点，设，，故，，即当时，最大为 1 ，此时； （3）设对称轴直线交于点，如图 1 所示，先求出直线的解析式为，则，分时和时分别表示出点的坐标，代入二次函数解析式后，从而实现求解； （4）设，则，，再根据每个顶点处都可能出现直角分 3 种讨论，列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：由顶点可知对称轴为直线， 又由抛物线与轴交于， 故根据对称性知，设抛物线为交点式，即，再代入， 可得4＝－4a，解得a＝－1， 故抛物线的解析式为，点，点； （2）解：存在点满足条件，理由如下： ， ∴由待定系数法可知直线的表达式为， 作轴交于点， 设， 故， ， 当时，最大为 1 ，此时； （3）解：设对称轴直线交于点，如图所示， 由待定系数法可知直线的解析式为，则， 当时，由，可知， ∴，则， 故，再将点坐标代入中，得，解得或（舍去）； 当时，如图 所示， ， ， ，， ，把点坐标代入中， 得，解得或（舍去） 综上，的值为或； （4）解：设，，， 则，，， 当时，， 即，解得； 当时，， 即，解得； 当时，， 即，解得， 综上，的值为或或． 故答案为：或或． 3．（2025·江苏常州·一模）已知：如图，抛物线与x轴交于点A、B，它的对称轴交x轴于点Q．点P是对称轴上的一动点(不与点Q重合)，过点P作轴，交抛物线于点C、D．(点C在点D的右侧)． (1)如图1，连接，若四边形是平行四边形，则_____； (2)如图2，连接，交对称轴于点T，连接，当时，求直线的函数表达式； (3)在(2)的条件下，在该抛物线上取一点M，使得是以为斜边的直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)24 (2)或 (3)、、、 【思路点拨】（1）根据抛物线可求得，故抛物线的对称轴为直线，可以求得，从而得到，，根据题意可证C，D两点是一对对称点，得到，，求得，继而得到，根据平行四边形的面积得． （2）当点P在x轴的上方时，C，D两点是一对对称点，得到，，轴，得，，于是点恰好是抛物线与y轴正半轴的交点，设直线的解析式为，由直线经过点，故，解得，故直线的解析式为，同理可求点P在x轴的下方情况，解答即可． （3）根据题意，当点P在x轴的上方时，以为直径作圆交抛物线于点M和，连接，过点M作轴于点H，交于点G，，不妨设，，得到，解得，；；根据题意，当点P在x轴的下方时，以为直径作圆交抛物线于点和，连接，过点作轴于点N，交于点，根据（2）的直线的解析式为，得，求得；得到，不妨设，则，， 解得，此时；；解答即可． 【规范解答】（1）解：由，得， 解得， 故， 故抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点P是对称轴上的一动点(不与点Q重合)，过点P作轴，交抛物线于点C、D． ∴C，D两点是一对对称点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：24． （2）解：当点P在x轴的上方时， ∵点P是对称轴上的一动点(不与点Q重合)，过点P作轴，交抛物线于点C、D． ∴C，D两点是一对对称点， ∴，，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点恰好是抛物线与y轴正半轴的交点， 设直线的解析式为， 由直线经过点， 故， 解得， 故直线的解析式为， 当点P在x轴的下方时， ∵点P是对称轴上的一动点(不与点Q重合)，过点P作轴，交抛物线于点C、D． ∴C，D两点是一对对称点， ∴，，轴， ∴， ∵， ∴， 设直线与y轴交于点N， ∴， 则， 设直线的解析式为， 由直线经过点 故， 解得， 故直线的解析式为， 综上所述，直线的解析式为或． （3）解：根据题意， 当点P在x轴的上方时，以为直径作圆交抛物线于点M和，连接，过点M作轴于点H，交于点G， ∵轴， ∴， 故四边形是矩形， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M在抛物线上， 不妨设， ①当点M在上方时： ， ∵， ∴， 整理，得， 解得（舍去）， 当时，，此时； ②同理可得，当点在下方时： ， 整理，得， 解得（舍去），， 当时，，此时； 根据题意，当点P在x轴的下方时，以为直径作圆交抛物线于点和，连接，过点作轴于点N，交于点， ∵轴， ∴， 故， 根据（2）的直线的解析式为， 根据题意，得， 解得或， 故； ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在抛物线上， 不妨设， ①当点M在x轴上方时： ， ∴， ∴， 整理，得， 解得（舍去），， 当时，，此时； ②同理可得：当点M在x轴下方时， ， 整理，得， 解得，（舍去）， 当时，，此时； 综上所述，符合题意的点有点或或或． 【考点剖析】本题考查了平行四边形的判定和性质，抛物线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，圆的性质，三角函数的综合应用，解一元二次方程，待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握性质，待定系数法，三角函数的应用是解题的关键． 4．（2025·广东清远·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，．抛物线的对称轴直线与经过点A的直线交于点D，与x轴交于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)若在抛物线上存在点M，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标； (3)以点B为圆心，画半径为2的圆，P为上一个动点，请求出的最小值． 【答案】(1) (2)存在，或或 (3) 【思路点拨】（1）根据题意，可求出点的坐标，再运用待定系数法即可求解； （2）根据直角三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；分别求出直线的解析式，再联立二次函数为二元一次方程组求解即可； （3）如图，在上取点，使，连接，可证，得，当点三点共线时，的值最小，运用勾股定理即可求解． 【规范解答】（1）解：∵抛物线的对称轴，， ∴ ，． ∴将代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：存在点，理由如下： 直线的解析式为，将代入得 解得： ∴直线的解析式为： ∵抛物线对称轴与轴交于点， ∴当时，， ∴， ①当时，设直线交对称轴于点， ∵，，二次函数对称轴为， ∴，，轴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴，且， ∵ ∴， ∴， ∴点坐标为， 设直线的解析式为，将点坐标代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 解方程组， 得或， ∴点的坐标为； ②∵，， ∴ ∴ ∴是直角三角形， 当时，根据点关于抛物线对称轴对称， 则直线经过点坐标为， 设直线的解析式为，将点坐标代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 解方程组， 解得或， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或； （3）解：已知，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点， 如图，在上取点，使，连接， ， ∴， ， ， 又， ， ，即， ， 当点三点共线时，的值最小，即为线段的长， ， ， 的最小值为． 【考点剖析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与特殊三角形，圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，特殊三角形的性质，最短路径的计算方法是解题的关键． 5．（2024·山东济宁·一模）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，在对称轴上是否存在点，使是以直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点在直线下方的抛物线上，连接交于点，当最大时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【思路点拨】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，则，，，再分当时，当当时，两种情况利用勾股定理建立方程求解即可； （3）过点A作轴交直线于点E，过P作轴交直线于点F，由， 可得，，设，则，再建立关于t的二次函数即可； 【规范解答】（1）解：解：∵抛物线过、，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∴，，， 当时，则， ∴， 解得：， ∴； 当时，则 ， 解得， ∴； 综上所述：或； （3）解：如图，过点A作轴交直线于点E，过P作轴交直线于点F， ∴， ∴， ∴ ， 设直线的解析式为， ∴， 解得 ， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时， 有最大值， ∴此时的坐标为． 【考点剖析】本题主要考查二次函数的图象及性质，涉及待定系数法确定函数关系式、勾股定理、相似三角形的判定和性质、二次函数最值，解题的关键是熟悉二次函数的性质以及分类讨论思想． 6．如图，抛物线与轴交于点和． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点， 轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形是平行四边形，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)C的坐标是； (3)P的坐标为或 或． 【思路点拨】（1）将，代入，列方程组并且解该方程组求出a、b的值，即可得到抛物线的解析式为； （2）将抛物线的解析式配方成顶点式，求得抛物线的对称轴为直线，，由平行四边形的性质得，则点C的横坐标为5，即可求得点C的坐标是； （3）分三种情况，一是；当时，过点C作轴于点L，作交的延长线于点H，则，证，设，则，于是得，求得，则；二是，可证明，则，得，． 三是，设交于点J，则，由平行四边形的性质得，，所以，则． 【规范解答】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线，， ∵四边形是平行四边形， ， ∴点C的横坐标为， 抛物线， 当时，， ∴点C的坐标是． （3）解：存在点P，使是直角三角形， ①当时， 作交的延长线于点H，则，， ， ， 设，则， ， ， 解得， ， ②点O是直角顶点时，过点C作轴于点L． ， ，， ， ， ， ， ， ． ③当时， 设交于点J，作轴于点L， ，，， ， 轴，， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ； 综上所述，存在点P，使是直角三角形， 点P的坐标为或或或． 【考点剖析】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 7．如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． (3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的图象，若直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值． 【答案】(1) (2)存在，点Q的坐标为或 (3)或 【思路点拨】本题主要考查的是二次函数综合运用． （1）依据题意，求出B、C的坐标，将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解； （2）求出抛物线的顶点坐标及对称轴，设，分 三种情况讨论求解即可； （3）依据题意，分两种情况，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意，对于直线，令，则，令，则， ∴点B、C的坐标分别为、． ∴． ∴． ∴抛物线的解析式为：． （2）解：∵， ∴抛物线顶点P的坐标为，对称轴为直线 设， 又， ∴，， 当时，， ∴， 解得，， ∴点坐标为； 当时，则， ∴点坐标为； 当时，此时直角三角形不存在， 综上，点坐标为或； （3）解：由题意，将图象翻折后的点P对应点的坐标为． 作图如下． ①在如图所示的位置时，直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，此时C、、B三点共线，； ②当直线与x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象相切时， 此时，直线 与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点． 又而向下翻折（在）的那部分抛物线在翻折后的解析式为：， ∴， ∴． ∴解得：． 综上，或 ．​ 8．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数解析式； (2)如图，抛物线对称轴与x轴交于点K，与线段交于点M，点R在对称轴上，其纵坐标为12，连接，已知点N为线段上一动点，连接，将沿 翻折到 ． ①当的中点G落在抛物线上时，直接写出点G的坐标； ②当与重叠部分（如图中的）为直角三角形时，求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2) ①点G的坐标为或或 ②当或或时，为直角三角形 【思路点拨】 （1）将，代入，求出，即可； （2）①设的中点是P，依题意，点P关于直线对称的点其轨迹在以点M为圆心，以为半径的圆上，设点，根据及两点距离公式列关于的方程，解这个方程，从而求得点G的坐标； ②分三种情况讨论：当时，为直角三角形，，，直线的解析式为，由边的关系可求，，从而可求的坐标；当时，为直角三角形，与重合；当时，也是直角三角形． 【规范解答】（1） 解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）①如图，设的中点是P，依题意，点P关于直线对称的点其轨迹在以点M为圆心，以为半径的圆上， 点G在抛物线上， 设点， 由（1）得直线的解析式为， ， ，即， ， ， 整理得， 或或， 将，，分别代入， 得到，，， 或或， 故答案为：点G的坐标为或或； ②情况1：当时，为直角三角形， 对称轴， ，， ， 直线的解析式为， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ； 情况2：当时，为直角三角形， ，， 与重合， ； 情况3：当时，也是直角三角形，此时． 综上所述：当或或时，为直角三角形． 【考点剖析】 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，翻折变换，直角三角形的性质，两点距离公式等，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关数学知识分析和解决问题． 9．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，直线分别与轴，轴交于点，，点为的中点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上的一点，且的面积为． ①求点的坐标； ②点为抛物线上一点，若是以为直角边的直角三角形，求点到抛物线的对称轴的距离． 【答案】(1) (2)①；②0或或 【思路点拨】（1）根据一次函数解析式求得的坐标，进而得出的坐标，待定系数法求解析式即可求解； （2）①过作轴交于，设，则，表示出△的面积，根据其面积为，建立方程，解方程，即可求解； ②若为直角顶点，则与点重合，即，此时点到抛物线对称轴的距离为；若为直角顶点，设，证明，得出 ，进而即可求解． 【规范解答】（1）解：当时，，解得，则，， 当时，，则， 点为的中点， ， 把，代入 得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）①过作轴交于，如图， 设，则， ∵ 整理得，解得， ∴； ②抛物线解析式为， 抛物线的顶点为， ， ， ， ， ， 若为直角顶点，则与点重合，即，如图， 此时点到抛物线对称轴的距离为； 若为直角顶点，如图， 过点作轴，于，于， ， ， ， 设，则：， ， ， ， ， ， 点坐标为或； 若点坐标为，则点到抛物线对称轴的距离为， 若点坐标为，则点到抛物线对称轴的距离为． 【考点剖析】本题考查了二次函数的综合问题，面积问题，勾股定理解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)当轴时，求的面积； (3)当该抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求出m的取值范围并写出这个定值； (4)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使是以为斜边的直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积为1； (3)当的取值范围为，定值为4； (4)或. 【思路点拨】（1）利用待定系数法可得该抛物线的解析式； （2）根据配方法可得抛物线的对称轴，确定点P的坐标，知道轴，根据三角形的面积公式可得结论； （3）根据图象可得当抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为4时，点P的位置，从而确定m的取值范围； （4）设，而、，，，，再利用勾股定理建立方程求解即可. 【规范解答】（1）解：把点、代入得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）由（1）知，， 点为， 当轴时，点与点关于对称轴对称， 点， ，点到的距离为1， ， 的面积为1； （3）设抛物线与轴的另一交点为点，如图所示， 点与点关于直线对称， 点为 当点在点和点之间时，点与点之间（包含点和点的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值4， 此时的取值范围为：； （4）如图，∵， ∴对称轴为直线， 设，而、， ∴，，， ∵为斜边， ∴， 解得：或， ∴或. 【考点剖析】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、轴对称的性质等知识；会利用待定系数法求函数解析式；二次函数与特殊三角形，关键是根据已知条件讨论点P的位置． 11.（2024·江苏连云港·三模）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点与y轴交于点C，B点坐标，C点坐标．    (1)求抛物线的函数关系式和点A坐标； (2)在抛物线上是否存在点P，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)过抛物线上的点Q作垂直于y轴的直线，交y轴于点E，交直线于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接当线段的长度最短时，求出点Q的坐标． 【答案】(1)点坐标 (2)点的坐标是或 (3)点Q的坐标是或时，EF最短 【思路点拨】（1）将点的坐标代入函数解析式中可得关于的二元一次方程组，解出的值得到抛物线的函数关系式，再令，求解即可得出点A的坐标； （2）分两种情况讨论：或，再利用为等腰直角三角形，作垂直构造新的等腰直角三角形，最后设点坐标列出方程求解即可； （3）根据题意画出图形，连接，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，因此当线段的长度最短时，线段最小，由垂线段最短可知当时，最小，此时由等腰三角形的性质可得点D为的中点，可得 ，再由得，即，以此即可求出点Q的坐标． 【规范解答】（1）将B点坐标，C点坐标代入得： ， 解得， ∴， ∴， ∴，， ∴点坐标 （2）①当时，过点P作轴于M，如图1，    ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则，， ∴， 解得：（舍去），， ∴， 即； ②当时，过点P作轴于N，设AP与y轴交于点F，如图2，则有轴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， 即． 综上所述，点的坐标是或； （3）连接，    则四边形为矩形， ∴， ∴当线段的长度最短时，线段最小， ∴当时，最小， ∵为等腰直角三角形，， ∴点D为的中点， ∴ ∵轴， ∴， ∴为三角形AOC的中位线， 令得：， 解得， 当点Q的坐标是或时，最短． 【考点剖析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质，解题关键是：（1）利用点的坐标，正确求出函数解析式；（2）熟知等腰三角的性质，并利用分类讨论思想解决问题；（3）利用矩形的性质将线段转化为，利用垂线段最短来确定的最小值． 12．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线过点，且垂直于轴，与抛物线交于两点（在的右侧）．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为．     　　   (1)当时，求点的坐标； (2)连接，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式； (3)在（2）的条件下，若的面积为两点分别在边上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)，见解析 【思路点拨】（1）将抛物线解析式化为顶点式，进而得出顶点坐标，根据对称性，即可求解． （2）由题意得，的顶点与的顶点关于直线对称，，则抛物线．进而得出可得，①当时，如图1，过作轴，垂足为．求得，代入解析式得出，求得．②当时，如图2，过作，交的延长线于点．同理可得，得出，代入解析式得出代入，得；③当时，此情况不存在． （3）由（2）知，当时，，此时的面积为1，不合题意舍去．当时，，此时的面积为3，符合题意．由题意可求得．取的中点，在中可求得．在中可求得．易知当三点共线时，取最小值，最小值为． 【规范解答】（1）∵， ∴抛物线的顶点坐标． ∵，点和点关于直线对称． ∴． （2）由题意得，的顶点与的顶点关于直线对称， ∴，抛物线． ∴当时，可得． ①当时，如图1，过作轴，垂足为． ∵， ∴． ∵ ∴． ∴． ∵， ∴． ∵直线轴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵点在图像上， ∴． 解得或． ∵当时，可得，此时重合，舍去．当时，符合题意． 将代入， 得． 　　   　　   ②当时，如图2，过作，交的延长线于点． 同理可得． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵点在图像上， ∴．解得或． ∵， ∴．此时符合题意． 将代入，得． ③当时，此情况不存在． 综上，所对应的函数表达式为或． （3）如图3，由（2）知，当时，， 此时 则，，则的面积为1，不合题意舍去． 当时，， 则， ∴，此时的面积为3，符合题意 ∴． 依题意，四边形是正方形， ∴． 取的中点，在中可求得． 在中可求得． ∴当三点共线时，取最小值，最小值为． 【考点剖析】本题考查了二次函数的性质，特殊三角形问题，正方形的性质，勾股定理，面积问题，分类讨论是解题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线经过B，C两点，已知，，且．    (1)试求出点B的坐标． (2)分别求出直线和抛物线的解析式． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或或或 【思路点拨】（1）由，，可由勾股定理求，进而得点B坐标； （2）用待定系数法即可求解函数解析式； （3）设点P坐标为，分三类讨论：①当时；②当时；③当时，分别建立勾股定理方程求解点P坐标即可． 【规范解答】（1） 解：∵点，即． ∵， 在中，根据勾股定理得 ， 即点B坐标为． （2） 把分别代入中， 得，解得． ∴直线解析式为； 把、、分别代入得 ，解得． ∴抛物线的解析式是． （3） 在抛物线的对称轴上存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下： ∵抛物线的解析式是， ∴抛物线对称轴为直线． 设点P坐标为． ①当时，有． ∵，，， ∴， 解得：， 故点； ②当时，有． ∵，，， ∴， 解得：， 故点； ③当时，有． ∵，，， ∴． 解得：，， ∴， ． 综上所述，使得为直角三角形的点P的坐标为或或或． 【考点剖析】本题以二次函数为背景，考查了勾股定理及其逆定理，待定系数法求解析式，分类讨论的数学思想，难度不大．第（3）问特别注意分类讨论思想的运用．做到不重不漏． 14．已知：如图，抛物线经过原点，它的对称轴为直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒个单位的速度向下运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)当三点，，构成以为为斜边的直角三角形时，求的值； (3)将沿直线折叠后，那么点的对称点能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)秒 (3)能， 秒或 秒或 秒 【思路点拨】（1）根据抛物线过原点，对称轴为直线，待定系数求解析式即可求解； （2）设．三点，，构成以为为斜边的直角三角形，勾股定理得出， ．继而得出直线的解析式为 ，当时，，得出，进而即可求解； （3）分三种情况讨论，①点在轴正半轴上；②点在y轴负半轴上，③点在轴负半轴上，分别画出图形，根据轴对称的性质，勾股定理即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得， 解得， 抛物线的解析式为； ， 顶点的坐标为； （2）如图1， 设． 三点，，构成以为斜边的直角三角形， ， 即， 整理，得， 解得 ，舍去， ． 设直线的解析式为，则 ， 解得 ， ． 当时，， ， 秒； （3）分三种情况： ①若点在轴正半轴上，如图2， 可得， 即 ， 解得 ； ②若点在y轴负半轴上，如图3，连接交OB于E． 可得， ， ， ， ， ， ． 在与中， ， ， ， ； ③若点在轴负半轴上，如图 可得， 即， 解得 ； 综上所述，所有满足条件的的值为 秒或 秒或 秒． 【考点剖析】本题考查了二次函数综合问题，特殊三角形问题，轴对称的性质，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键． 15．如图1，抛物线经过点，并交x轴于另一点B，点在第一象限的抛物线上，交直线于点D． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点Р的坐标为时，求四边形BOCP的面积； (3)点Q在抛物线上，当的值最大且是直角三角形时，求点Q的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【思路点拨】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过点P作轴于E，先求出点B的坐标，再根据进行求解即可； （3）如图3-1所示，过点P作轴交直线于F，则，进而推出当最大时，有最大值，直线的解析式为，设点P的坐标为，则，则，据此求解点P的坐标；再分分别以P、Q、A为直角顶点三种情况利用相似三角形的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：把代入抛物线解析式得： ， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点P作轴于E， 令，则， 解得或， ∴， ∴ ； （3）解：如图3-1所示，过点P作轴交直线于F， ∴， ∴， ∵是个定值， ∴当最大时，有最大值， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，此时点P的坐标为； 设点Q的坐标为； 当时，如图3-2所示， 过点P作轴于，过点Q作于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得（不合题意值舍去）； 当时，如图3-3所示，过点P作轴于，过点Q作轴于， 同理可证， ∴，即， 解得（不合题意值舍去）； 当时，如图3-4所示，过点Q作轴于，过点P作于， 同理可证， ∴，即， 解得或； 综上所述，点Q的横坐标为或或或 【考点剖析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 16．抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的表达式和t，k的值； (2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标； (3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求的最大值． 【答案】(1)，，t=3， (2)点 (3) 【思路点拨】（1）分别把代入抛物线解析式和一次函数的解析式，即可求解； （2）作轴于点，根据题意可得，从而得到，，再根据，可求出m，即可求解； （3）作轴交于点，过点作轴于点，则，再根据，可得，，然后根据，可得，从而得到，在根据二次函数的性质，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴，（舍）， ∴． ∵在直线上， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为． （2）解：如图，作轴于点， 对于，令x=0，则y=-6， ∴点C（0，-6），即OC=6， ∵A（3，0）， ∴OA=3， ∵点P的横坐标为m． ∴， ∴，， ∵∠CAP=90°， ∴， ∵， ∴， ∵∠AOC=∠AMP=90°， ∴， ∴， ∴，即， ∴（舍），， ∴， ∴点． （3）解：如图，作轴交于点，过点作轴于点， ∵， ∴点， ∴， ∵PN⊥x轴， ∴PN∥y轴， ∴∠PNQ=∠OCB， ∵∠PQN=∠BOC=90°， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵EN⊥y轴， ∴EN∥x轴， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大值是． 【考点剖析】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键，是中考的压轴题． 17．如图，直线与抛物线相交于点和点，抛物线与轴的交点分别为、（点在点的左侧），点在线段上运动（不与点A、重合），过点作直线轴于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，连接，是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，过点作于点，当的周长最大时，求点坐标，并求出此时的面积． 【答案】(1) (2)存在或 (3)； 【思路点拨】（1）将点B代入一次函数求n，再将A、B代入二次函数表达式即可求解； （2）根据题意，可求，分情况讨论求出点P即可； （3）由（2）知，从而表示的周长，求出最值，进而求面积； 【规范解答】（1）解：将代入中 ∴ 将、代入中 解得： ∴ （2）设，则、 令y=0代入中得，x=-2 ∴与x轴的交点坐标为： ∴ ∴ 如图： 当时， 则 解得：（舍去） ∴ 当时， 解得：（舍去） 综上，或 （3）由（2）知 ∴的周长 当时，最大， ∴ 【考点剖析】本题主要考查二次函数和一次函数的综合应用、锐角三角函数值，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点，且． (1)求二次函数的解析式； (2)若点D的坐标为，试判断的形状，并说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)是直角三角形 (3)存在，，，，，，，，． 【思路点拨】（1）由的坐标确定出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，确定出点坐标，把与坐标代入抛物线解析式求出的值，确定出抛物线解析式即可； （2）根据两点直角的坐标公式分别求出三边的距离长度，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可； （3）在抛物线的对称轴上存在点，使得以，，三点为顶点的三角形是直角三角形，如图所示，分三种情况考虑，分别求出的坐标即可． 【规范解答】（1）解：，即，， 在中，根据勾股定理得：，即， 由，，设抛物线解析式为， 把代入得：， 则抛物线解析式为； （2）解：是直角三角形， ，，， ， ， 是直角三角形； （3）解：存在． 如图所示，分两种情况考虑： 抛物线解析式为， 其对称轴． 当时，△为直角三角形， 直线的ｋ为， 直线ｋ为， 直线解析式为，即， 与抛物线对称轴方程联立得， 解得：， 此时，； 当时，为直角三角形， 同理得到直线的ｋ为， 直线方程为， 与抛物线对称轴方程联立得：， 解得：， 此时，． 综上所示，，或，． 当点为直角顶点时，设，， ，， ， ，即，解得， ，，，． 综上所述，，，，，，，，． 【考点剖析】此题考查的是二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，勾股定理的逆定理，二次函数的性质，以及两直线垂直时斜率的关系，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二讲 二次函数与直角三角形问题『压轴题大揭秘』 〔考法综述+技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【原卷版】在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 讲义说明 资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定制，聚焦数学压轴题专项提升，贴合江苏各地中考命题规律，精选近两年省内各市中考真题、名校模拟题，按考点分类精讲精练，帮助学生掌握解题方法、强化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一 考情透视，考法综述—深度剖析江苏中考压轴题命题趋势，明晰考情考点； 模块二 技巧点拨，方法揭秘—梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块三 核心精讲，典例剖析—针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤； 模块四 考题预测，满分训练—立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 考情透视 考法综述 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根． 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起． 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便． 模块二 技巧点拨 方法揭秘 我们先看三个问题： 1．已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？ 2．已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？ 3．已知点A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标． 图1 图2 图3 如图1，点C在垂线上，垂足除外． 如图2，点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外． 如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共6个． 如图4，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标． 我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C． 如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．[来源:学科网] [来源:Zxxk.Com] 设OC＝m，那么． 这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点． 对于代数法，可以采用两条直线的斜率之积来解决. 模块三 核心精讲 典例剖析 【典例精讲一】（2026·江苏无锡·一模）如图，已知二次函数（）的图象与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数表达式； (2)若点、（）是该函数图像上两点． ①证明：； ②连接，若为直角三角形，求t的值． 【典例精讲二】（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为点G，与相交于点F． (1)求点A、点B的坐标； (2)用含t的代数式分别表示和的长； (3)是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 模块四 考题预测 满分训练 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段 的最大值及此时点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图（1），抛物线与轴交于，两点，与轴交于，顶点． (1)写出抛物线的解析式，点，点的坐标； (2)连接，在上方的抛物线上是否存在点使面积最大，若存在，求面积的最大值，若不存在请说明理由； (3)直线交抛物线于点，（点在点的右边），交直线于点，若，求的值； (4)如图（2），点是抛物线对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是直角三角形时，的值为______． 3．（2025·江苏常州·一模）已知：如图，抛物线与x轴交于点A、B，它的对称轴交x轴于点Q．点P是对称轴上的一动点(不与点Q重合)，过点P作轴，交抛物线于点C、D．(点C在点D的右侧)． (1)如图1，连接，若四边形是平行四边形，则_____； (2)如图2，连接，交对称轴于点T，连接，当时，求直线的函数表达式； (3)在(2)的条件下，在该抛物线上取一点M，使得是以为斜边的直角三角形，请直接写出点M的坐标． 4．（2025·广东清远·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，．抛物线的对称轴直线与经过点A的直线交于点D，与x轴交于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)若在抛物线上存在点M，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标； (3)以点B为圆心，画半径为2的圆，P为上一个动点，请求出的最小值． 5．（2024·山东济宁·一模）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，在对称轴上是否存在点，使是以直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点在直线下方的抛物线上，连接交于点，当最大时，请直接写出点的坐标． 6．如图，抛物线与轴交于点和． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点， 轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形是平行四边形，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． (3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的图象，若直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值． 8．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数解析式； (2)如图，抛物线对称轴与x轴交于点K，与线段交于点M，点R在对称轴上，其纵坐标为12，连接，已知点N为线段上一动点，连接，将沿 翻折到 ． ①当的中点G落在抛物线上时，直接写出点G的坐标； ②当与重叠部分（如图中的）为直角三角形时，求出此时点的坐标． 9．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，直线分别与轴，轴交于点，，点为的中点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上的一点，且的面积为． ①求点的坐标； ②点为抛物线上一点，若是以为直角边的直角三角形，求点到抛物线的对称轴的距离． 10．如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)当轴时，求的面积； (3)当该抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求出m的取值范围并写出这个定值； (4)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使是以为斜边的直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 11.（2024·江苏连云港·三模）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点与y轴交于点C，B点坐标，C点坐标．    (1)求抛物线的函数关系式和点A坐标； (2)在抛物线上是否存在点P，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)过抛物线上的点Q作垂直于y轴的直线，交y轴于点E，交直线于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接当线段的长度最短时，求出点Q的坐标． 12．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线过点，且垂直于轴，与抛物线交于两点（在的右侧）．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为．     　　   (1)当时，求点的坐标； (2)连接，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式； (3)在（2）的条件下，若的面积为两点分别在边上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线经过B，C两点，已知，，且．    (1)试求出点B的坐标． (2)分别求出直线和抛物线的解析式． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 14．已知：如图，抛物线经过原点，它的对称轴为直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒个单位的速度向下运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)当三点，，构成以为为斜边的直角三角形时，求的值； (3)将沿直线折叠后，那么点的对称点能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的的值；若不能，请说明理由． 15．如图1，抛物线经过点，并交x轴于另一点B，点在第一象限的抛物线上，交直线于点D． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点Р的坐标为时，求四边形BOCP的面积； (3)点Q在抛物线上，当的值最大且是直角三角形时，求点Q的横坐标． 16．抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的表达式和t，k的值； (2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标； (3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求的最大值． 17．如图，直线与抛物线相交于点和点，抛物线与轴的交点分别为、（点在点的左侧），点在线段上运动（不与点A、重合），过点作直线轴于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，连接，是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，过点作于点，当的周长最大时，求点坐标，并求出此时的面积． 18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点，且． (1)求二次函数的解析式； (2)若点D的坐标为，试判断的形状，并说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $